初三数学最新课件-69两圆相切★2 精品
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27.2.3 第2课时 切线长定理及三角形的内切圆(课件)2024-2025九年数学下(华东师大版)
推理验证
已知：如图，PA、PB 是☉O 的两条切线，A、B 为切点.
求证：PA = PB，∠APO =∠BPO.
证明：∵ PA、PB 是☉O 的两条切线， A
∴ OA⊥PA，OB⊥PB.
O.
∵ OA = OB，OP = OP，
∴ Rt△OAP≌Rt△OBP(HL).
∴ PA = PB，∠APO =∠BPO.
∴∠
DOE= ∠
AOB= ×130°=65°.
1-1. (易错题) 如图，直线AB，AD 分别与⊙ O 相切于点B，
D，C 为⊙ O 上一点， 且∠ BCD=130°，则∠ A的度
数是(
A. 70°
B. 85°
C. 80°
D. 100°
)
1-2. 如图，PA，PB切⊙ O 于A，B 两点，CD 切⊙ O 于点
(2)若∠ P=50°，求∠ DOE 的度数.
解：如图27.2-22，连结OA，OC，OB.
∵ PA，PB，DE 是⊙ O 的切线，
∴ OA ⊥ PA，OB ⊥ PB，OC ⊥ DE.
∴∠ DAO= ∠ EBO=90°.∴∠ P+ ∠ AOB=180°.
∴∠ AOB=180°－50°=130°.
易知∠ AOD= ∠ DOC，∠ COE= ∠ BOE，
圆心 I 应满足什么条件？
(2) 在△ABC 的内部，如何找到满足条件的圆心 I 呢？
三角形角平分线的这个
圆心 I 为什么呢？
到三角形三边的距离相等，都等于 r.
性质，你还记得吗？
圆心 I 应是三角形的
三角形三条角平分线交
三条角平分线的交点.
于一点，这一点到三角
九年级数学两圆相切2PPT课件
知识要点：
1.当两个圆有唯一公共点时，叫做两
圆 .这个唯一的公共点叫做 .当
圆相切可分为
.
2.设两个圆的半径分别为R和r，圆心距
为d，则：
① d＞R-r
；
②
.
两圆外切.
3.相切两圆的
必经过 .
检测练习：
1.已知两圆相切,半径分别为4和9,
那么两圆的圆心距为
.
2O.1O已2=知6,⊙⊙O1O与2的⊙半O2径,连为结11O,1、则O⊙2.若O1的
⑴求证:PA·AB=AC·AD.
C
⑵当弦AC绕A点旋 B M
转,弦AC的延长线
D
N
交直线BN于D点时, O1
O2
试问⑴的结论是否
成立?试证明.
A
8.如图⊙O和⊙B外切于A点,两圆的外
公切线CD交OB的延长线于点P,C、D为
切点.连结OC,BD,设R,r分别为
⊙O,⊙B的半径(R＞r),Rr=25,AC,AD
是方程x2-2(m+2)x+2m2-m+3=0的两个
根(AC＞AD). ⑴求证:∠CAD=900
⑵求m的值;
C
D
⑶求PO的
长.
O AB
P
课堂作业:
1.已知两圆半径是方程x2-12x+6=0
的两根,且圆心距为12,则两圆的
位置关系是
.
2.两圆相切,公切线共有 条.
3.若半径分别为4cm和2cm的两圆外
复习六
两圆相切
复习目标：
1.了解两圆相切、外切、内切的概念; 理解相切两圆的性质. 2.会判断两圆外切或内切,会用两圆相切 的判定、性质进行计算或证明. 3.会用相切两圆的知识解相关的综合性 问题.
最新人教版初中九年级上册数学《切线长定理》精品课件
E O CD
P
（1）写出图中所有的垂直关系；
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
B
（2）写出图中与∠OAC相等的角和图中相等的线段；
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC，
OA=OB=OD=OE,PA=PB,AC=BC.
（3）写出图中所有的全等三角形； △AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP
D
C
因此，AF=4，BD=5，CE=9.
随堂演练
基础巩固
1.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB 分别相切于点D，E，F，且AB=11cm， BC=14cm，CA=13cm，则AF的长为( C )
A.3cm
B.4cm
C.5cm
D.9cm
2.如图，点O是△ABC的内心，若∠BAC=86°， 则∠BOC=(C ) A.172° B.130° C.133° D.100°
5.如图，一个油桶靠在墙 边，量得WY =1.65m， 并且XY⊥WY，这个油桶 底面半径是多少?
解：设圆心为O，连接OW,OX. ∵YW,YX均是⊙O的切线， ∴OW⊥WY,OX⊥XY， 又∵XY⊥WY, ∴∠OWY＝∠OXY＝∠WYX＝90°， ∴四边形OWYX是矩形，又∵OW=OX. ∴四边形OWYX是正方形. ∴OW=WY=1.65m. 即这个油桶底面半径是1.65m.
P.
A
B
. O
(1)知道什么是圆的切线长，能叙述并证明切线长定理. (2)会作三角形的内切圆，知道三角形内心的含义和性质. (3)能用切线长定理和三角形内心的性质来解决简单的问题.
推进新课
知识点1 切线长定理
画一画：1.如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线？
九年级数学上册22.2.2圆的切线课件新版北京课改版
预习反馈
1.如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上
底AD、下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E．若半
圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是（ A ）
A.14B.9Fra bibliotekC.10
D.12
预习反馈
2.如图，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直 径，已知∠BAC=35°，∠P的度数为（ D ）
典例精析
典例精析
典例精析
典例精析
例2、如图所示， ⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为E， F，C，AB = 9，BC = 13，AC=10。求AE、BF和CG的长。
典例精析
分析：∵⊙ O是△ABC的内切圆，切点分别为E， F，G， ∴AE=AG，BE=BF，CG=CF 设AE=x，BF=y，CG=z。 ∴ x + y =9，y + z = 13，z + x = 10。 解这个方程组，得 x =3，y = 6，z = 7。 ∴AE = 3，BF = 6， CG = 7。
A. 35° C. 60°
B. 45° D. 70°
预习反馈
3.如图，AB、CD分别为两圆的弦，AC、BD为两圆的公切线且
相交于P点．若PC=2，CD=3，DB=6，则△PAB的周长为何
（ D）
A. 6
B. 9
C. 12
D. 14
预习反馈
4.如图，AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点，若
∠A=70°，则∠BOC的度数为（ C ）
本课小结
（4）切线长定理包含着一些隐含结论： ①垂直关系三处； ②全等关系三对； ③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到。
湘教版九年级下册数学精品教学课件 第2章 圆 第2课时 切线的性质
∴ ∠CAD = ∠CAO. 故 AC 平分∠DAB.
方法总结
利用切线的性质解题时，
常需连接辅助线，一般连接圆
心与切点，构造直角三角形， A
再利用直角三角形的相关性质
解题.
D C
O
B
例2 证明：经过直径两端点的切线互相平行.
已知：如图，AB 是圆 O 的直径，l1，l2 分别是经过
点 A，B 的切线. 求证：l1 // l2. 证明：∵AB 是圆 O 的直径，
在 △OAF 和 △OCF 中， OA ＝ OC，∠3 ＝ ∠2，OF ＝ OF， ∴△OAF ≌ △OCF（SAS）. ∴∠OAF = ∠OCF. ∵PC 是 ⊙O 的切线， ∴∠OCF = 90°， ∴∠OAF = 90°， ∴FA ⊥ OA. ∴AF 是 ⊙O 的切线.
（2）若 ⊙O 的半径为 4，AF = 3，求 AC 的长．
合作探究
切线的性质
问题1 如果直线 l 是 ⊙O 的切线，A 为切点，那么切
线 l 和半径 OA 垂直吗？
O
A
l
大家可以先用量角器 量量看.
两者成 90°角，也 就是说切线 l 与半
径 OA 垂直.
推导与验证 反证法证明这个结论
假设 l 与 OA 不垂直
则过点 O 作 OM ⊥ l，垂足为 M
4. 如图，PA 为 ⊙O 的切线，A 为切点．直线 PO 与
⊙O交于 B、C 两点，∠P ＝ 30°，连接 AO、AB、AC.
(1) 求证：△ACB ≌ △APO；
(1) 证明：∵PA 为 ⊙O 的切线，A 为切点， ∴∠OAP ＝ 90°. 又∵∠P ＝ 30°，∴∠AOB ＝ 60°， 又OA ＝ OB，∴△AOB 为等边三角形． ∴AB ＝ AO，∠ABO ＝ 60°.
新人教版九年级数学24.2.2圆的切线的判定与性质PPT课件
l
注意：实际证明过程中，通常不采用第一种
方法;方法2从“量化”的角度说明圆的切线的
判定方法。
-
5
请在⊙O上任意取一点A，连接OA， 过点A作直线l⊥OA。思考：
（1） 圆心O到直线l的距离和
圆的半径有什么数量关系?
（2） 二者位置有什么关系？
为什么？
l
（3） 由此你发现了什么？ -
O
A
6
(1)直线l经过半径OA的外端点A；
1、知识：切线的判定定理．着重分析了定理成 立的条件，在应用定理时，注重两个条件缺一不 可． 2、判定一条直线是圆的切线的三种方法说明： 其中(2)和(3)本质相同，只是表达形式不同．解 题时，灵活选用其中之一．
-
22
思考？如图：如果L是⊙O 的切线,切点为A,那么 半径OA与直线L是不 是一定垂直呢? 一定垂直
直线l
与圆有唯一公共点 与圆心的距离等于圆的半径 经过半径外端且垂直这条半径
l是圆的切线 l是圆的切线 l是圆的切线
2. 常用的添辅助线方法？ ⑴直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半径，
再证半径垂直于该直线。（连半径，证垂直） ⑵直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的垂
线段，再证明这条垂线段等于圆的半径。（作垂直， 证半径）
l
-
O r A
9
判断：
(1)过半径的外端的直线是圆的切线（×） (2)与半径垂直的的直线是圆的切线（×）
(3)过半径的端点与半径垂直的直线是圆的
切线（×）
O l
r
A
O r
l
A
-
O l
r
A
10
判定直线与圆相切有哪些方法？
24.2.2 第2课时 切线的判定和性质课件-2024-2025学年人教版数学九年级上册
∴∠BCD=30°,
∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=60°+30°=90°,
即OC⊥CD.
又∵点C在☉O上,∴CD是☉O的切线.
图24-2-15
探 得 锦囊 究 证切线时辅助线的添加方法
与
应 ①有交点,连半径,证垂直; 用 ②无交点,作垂直,证半径.
探
活动2 理解并掌握切线的性质定理
究 [猜想证明]
是 相切 ,理由: 当圆心到直线的距离等于该圆的半径时,直线
就是圆的一条切线 .
图24-2-14
探 究
2.已知一个圆和圆上的一点,如何过这个点画出圆的切线,能
与 画几条?
应
用 解:首先连接圆上这点和圆心得半径,再过圆上这点作半径的垂
线,这条垂线就是圆的切线.能画一条.
探 究
[概括新知]
与 切线的判定定理:经过半径的 外端 并且 垂直于 这条半
数学 九年级上册 人教版
第 二
圆
十
四
第2课时 切线的判定和性质
章
-
第2课时 切线的判定和性质
探究与应用
课堂小结与检测
探
活动1 理解并掌握切线的判定定理
究 与
[问题情境]
应 1.如图24-2-14,在☉O中,经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA,
用
则圆心O到直线l的距离是 OA的长 ;直线l和☉O的位置关系
检 (C)
测
A.25°
B.35°
C.40°
D.50°
图24-2-19
课 2.如图24-2-20,在△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,以点C为圆心的
堂
小 圆与AB相切,则☉C的半径为 ( B )
直线和圆的位置关系(第2课时)(课件)-2022-2023学年九年级数学下册同步精品课件(北师大版)
∴BO,CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线
O C
即∠ OBC= 1 ∠ABC ∠OCB=1 ∠ACB
2
2
∴∠ BOC=180°－(∠ OBC+∠OCB)
=180°－ 1 ( ∠ABC +∠ACB)== 125°.
2
1.下列说法错误的是( ) A．三角形的内切圆与三角形的三边都相切 B．一个三角形一定有唯一一个内切圆 C．一个圆一定有唯一一个外切三角形 D．等边三角形的内切圆与外接圆是同心圆
探索&交流
如图，AB 是 ⊙O 的直径，直线 l 与 AB 的夹角为∠Biblioteka . 当l 绕点 A 旋转时，
B
（1）随着∠α的变化，点 O 到 l 的距 l 离 d 如何变化？直线 l 与 ⊙O 的位置 关系如何变化？
Od α
A
l l
∠α从90°变小到0°，再由0°变大 到90°，点 O 到 l 的距离 d 先由 r 变小到0，再由0变大到 r.
练习&巩固
练习&巩固
2.如图，点C 是⊙ O上的一点，AB 是⊙ O的直径，∠CAB=∠DCB，
那么CD 与⊙ O 的位置关系是( )
A. 相交
B. 相离
C. 相切
D. 相交或相切
练习&巩固
3.如图，☉O内切于△ABC，切点D、E、F分别在BC、AB、AC上．已
知∠B＝50°，∠C＝60°，连接OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于
第三章 圆
6.2 直线和圆的位置关系
北师大版九年级数学下册
学习&目标
1.理解并掌握圆的切线的判定定理及运用.（重点） 2.三角形的内切圆和内心的概念及性质.（难点）
O C
即∠ OBC= 1 ∠ABC ∠OCB=1 ∠ACB
2
2
∴∠ BOC=180°－(∠ OBC+∠OCB)
=180°－ 1 ( ∠ABC +∠ACB)== 125°.
2
1.下列说法错误的是( ) A．三角形的内切圆与三角形的三边都相切 B．一个三角形一定有唯一一个内切圆 C．一个圆一定有唯一一个外切三角形 D．等边三角形的内切圆与外接圆是同心圆
探索&交流
如图，AB 是 ⊙O 的直径，直线 l 与 AB 的夹角为∠Biblioteka . 当l 绕点 A 旋转时，
B
（1）随着∠α的变化，点 O 到 l 的距 l 离 d 如何变化？直线 l 与 ⊙O 的位置 关系如何变化？
Od α
A
l l
∠α从90°变小到0°，再由0°变大 到90°，点 O 到 l 的距离 d 先由 r 变小到0，再由0变大到 r.
练习&巩固
练习&巩固
2.如图，点C 是⊙ O上的一点，AB 是⊙ O的直径，∠CAB=∠DCB，
那么CD 与⊙ O 的位置关系是( )
A. 相交
B. 相离
C. 相切
D. 相交或相切
练习&巩固
3.如图，☉O内切于△ABC，切点D、E、F分别在BC、AB、AC上．已
知∠B＝50°，∠C＝60°，连接OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于
第三章 圆
6.2 直线和圆的位置关系
北师大版九年级数学下册
学习&目标
1.理解并掌握圆的切线的判定定理及运用.（重点） 2.三角形的内切圆和内心的概念及性质.（难点）
人教版九年级数学上册《直线和圆的位置关系》圆PPT精品课件
出去的?
情景2：用砂轮磨刀时擦出的火花，:是沿着什么方向飞出的？
知识回顾
推进新课
回顾直线与圆相切：
切线
切点
判断直线和圆相切
有哪两种办法？
.
.O
直线与圆
相切
新知探究
切线具有的性质
1. 定义法：
和圆有且只有一个公共点
的直线是圆的切线.
2. 数量关系法（d=r ）：
圆心到直线的距离等于
半径的直线是圆的切线.
一不可: (1)直线经过半径的外端; (2)直线与这半径垂直.
归纳
切线的判定方法
判断一条直线是圆的切线的 三种方法
O
1.定义法：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；
l
A
2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径，
即d=r；
3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径
O r
d
l
A
O
的直线是圆的切线.
又AP=AC，所以∠P=∠ACP=30°,
所以∠OAP=∠AOC-∠P=90°.
所以OA⊥PA，所以PA是⊙O的切线.
人教版 数学 九年级上册
直线和圆的位置关系
第3课时
学习目标
1.掌握切线长的定义及切线长定理.
2. 运用切线长定理进行计算与证明.
复习引入
问题1
在同一个平面内，有一点 和⊙，过点 能否作
1
• ∴MN= 2 OM=2.5cm.
• 所以(1)⊙M与直线OA相离，因为r<MN.
• (2)⊙M与直线OA相交，因为r>MN.
• (3)⊙M与直线OA相切，因为r=MN.
综合应用
• 6.已知⊙O的半径为 2 ，直线l与点O的距离为d，
情景2：用砂轮磨刀时擦出的火花，:是沿着什么方向飞出的？
知识回顾
推进新课
回顾直线与圆相切：
切线
切点
判断直线和圆相切
有哪两种办法？
.
.O
直线与圆
相切
新知探究
切线具有的性质
1. 定义法：
和圆有且只有一个公共点
的直线是圆的切线.
2. 数量关系法（d=r ）：
圆心到直线的距离等于
半径的直线是圆的切线.
一不可: (1)直线经过半径的外端; (2)直线与这半径垂直.
归纳
切线的判定方法
判断一条直线是圆的切线的 三种方法
O
1.定义法：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；
l
A
2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径，
即d=r；
3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径
O r
d
l
A
O
的直线是圆的切线.
又AP=AC，所以∠P=∠ACP=30°,
所以∠OAP=∠AOC-∠P=90°.
所以OA⊥PA，所以PA是⊙O的切线.
人教版 数学 九年级上册
直线和圆的位置关系
第3课时
学习目标
1.掌握切线长的定义及切线长定理.
2. 运用切线长定理进行计算与证明.
复习引入
问题1
在同一个平面内，有一点 和⊙，过点 能否作
1
• ∴MN= 2 OM=2.5cm.
• 所以(1)⊙M与直线OA相离，因为r<MN.
• (2)⊙M与直线OA相交，因为r>MN.
• (3)⊙M与直线OA相切，因为r=MN.
综合应用
• 6.已知⊙O的半径为 2 ，直线l与点O的距离为d，
圆二精品PPT教学课件
所对的弧长 l nR ．
180
2020/12/6
12
3．扇形面积：
若扇形的半径为R，圆心角为n°，
则扇形的面为
S扇
形
nR2
360
．
2020/12/6
13
4．圆锥的侧面积：
若圆锥的母线长为l，底面半径为 r，则圆锥的侧面积为S＝πrl．
2020/12/6
14
二、例题：
【例1】⊙O1和⊙O2的半径分别为3和4，设
2020/12/6
6
设两圆的半径分别为R和r(R＞r)，圆心 距为d．
r
R
O1
O2
两圆外离 d＞R＋r
2020/12/6
7
设两圆的半径分别为R和r(R＞r)，圆心 距为d．
rR
O1
O2
两圆外切 d＝R＋r
2020/12/6
8
设两圆的半径分别为R和r(R＞r)，圆心 距为d．
rR
O1
O2
两圆相交
_8__•_c_m_.全面积是_1_2__•_c_m _.
V
2020/12/6
A
O
B
21
二、例题： 【例7】已知⊙A、⊙B相切，圆心距为10厘米，
其中⊙A的半径为4厘米，求⊙B的半径．
2020/12/6
22
练习.已知⊙O1与⊙O2相切，且O1O2 ＝5cm,若⊙O1的半径是2cm，则⊙O2 的半径是3_c_m_或__7_cm___.
(1)O1O2＝8；
(2)O1O2＝7；
(3)O1O2＝5；
(4)O1O2＝1；
(5)O1O2＝0.5，
试判断⊙O1和⊙O2的位置关系．
2020/12/6
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3．扇形面积：
若扇形的半径为R，圆心角为n°，
则扇形的面为
S扇
形
nR2
360
．
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4．圆锥的侧面积：
若圆锥的母线长为l，底面半径为 r，则圆锥的侧面积为S＝πrl．
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二、例题：
【例1】⊙O1和⊙O2的半径分别为3和4，设
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6
设两圆的半径分别为R和r(R＞r)，圆心 距为d．
r
R
O1
O2
两圆外离 d＞R＋r
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7
设两圆的半径分别为R和r(R＞r)，圆心 距为d．
rR
O1
O2
两圆外切 d＝R＋r
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8
设两圆的半径分别为R和r(R＞r)，圆心 距为d．
rR
O1
O2
两圆相交
_8__•_c_m_.全面积是_1_2__•_c_m _.
V
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A
O
B
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二、例题： 【例7】已知⊙A、⊙B相切，圆心距为10厘米，
其中⊙A的半径为4厘米，求⊙B的半径．
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练习.已知⊙O1与⊙O2相切，且O1O2 ＝5cm,若⊙O1的半径是2cm，则⊙O2 的半径是3_c_m_或__7_cm___.
(1)O1O2＝8；
(2)O1O2＝7；
(3)O1O2＝5；
(4)O1O2＝1；
(5)O1O2＝0.5，
试判断⊙O1和⊙O2的位置关系．
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精品【人教版】初三九年级数学上册《24.2.2 直线和圆的位置关系——相交、相切、相离》课件
知识点
1 直线与圆的位置关系的判定
问 题（一）
(1)如图（1），如果我们把太阳看作一个圆，把地平线看作一 条直线，太阳升起的过程中，太阳和地平线会有几种位置关 系？由此你能得出直线和 圆的位置关系吗？
知1－导
（2）如图（2），在纸上画一条直线l，把钥匙环看作一个圆.在纸上 移动钥匙环，你能发现在移动钥匙环的过程中，它与直线l的公
（2）直线和圆相切 d=r；
（3）直线和圆相交 d＜r.
1.必做: 完成教材P101T2 2.补充: 请完成《典中点》剩余部分习题
B．与x轴相离，与y轴相交 C．与x轴相切，与y轴相离 D．与x轴相切，与y轴相交
（来自《典中点》）
知1－练
2 已知⊙O的直径等于12 cm，圆心O到直线l的距离为5 cm， 则直线l与⊙O的公共点个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．无法确定
（来自《典中点》）
3
圆的直径是13 cm,如果圆心与直线的距离分别是： （1）4.5 cm；（2）6.5 cm；（3）8 cm. 那么直线和圆分别是什么位置关系？有几个公共点？
（来自教材）
知2－导
知识点
2
直线与圆的位置关系的性质
O l
O A
O
l
A
B
l
直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． 直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切． 这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点． 直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交． 这条直线叫做圆的割线，公共点叫直线和圆的交点．
知2－导
总 结
1. 直线和圆相离→d＞r； 2. 直线和圆相切→d=r； 3. 直线和圆相交→d＜r.
2.5.2圆与圆的位置关系ppt课件新教材人教A版选择性必修第一册
关系
d>r1＋r2
外离
_________
外切
d＝r1＋r2
|r1－r2|<d<r1＋r2
相交
_____________________
d＝|r1－r2|(r1≠r2)
内切
_______________________
内含
0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)
__________________________
M 3， − 3 的圆的方程．
解：圆C的方程可化为(x－1)2＋y2＝1，圆心C(1，0)，半径为1.设所
求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
−1
由题意可得
+ 3
×
−3
+ 3
2
2
−
+ 2 ＝ + 1，
3
3
＝，
＝0，
＝4，
＝ − 1， 解得ቐ＝0，或ቐ＝ − 4 3，
＝(
)
A．21
B．19
C．9
D．－11
C
解析：圆C2 的方程可化为(x－3)2 ＋(y－4)2 ＝25－m，圆心为
(3 ， 4) ， 半 径 为 25 − ， 依 题 意 ，
25 − ，解得m＝9.故选C.
3−0
2
+ 4 − 0 2 ＝1 +
问题式预习
2.5.2 圆与圆的位置关系
任务型课堂
课后素养评价
所以圆心C1(a，1)，C2(2a，1)，半径r1＝4，r2＝1.
所以|C1C2|＝
− 2
2
+ 1 − 1 2 ＝a.
2.5.2 圆与圆的位置关系
d>r1＋r2
外离
_________
外切
d＝r1＋r2
|r1－r2|<d<r1＋r2
相交
_____________________
d＝|r1－r2|(r1≠r2)
内切
_______________________
内含
0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)
__________________________
M 3， − 3 的圆的方程．
解：圆C的方程可化为(x－1)2＋y2＝1，圆心C(1，0)，半径为1.设所
求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
−1
由题意可得
+ 3
×
−3
+ 3
2
2
−
+ 2 ＝ + 1，
3
3
＝，
＝0，
＝4，
＝ − 1， 解得ቐ＝0，或ቐ＝ − 4 3，
＝(
)
A．21
B．19
C．9
D．－11
C
解析：圆C2 的方程可化为(x－3)2 ＋(y－4)2 ＝25－m，圆心为
(3 ， 4) ， 半 径 为 25 − ， 依 题 意 ，
25 − ，解得m＝9.故选C.
3−0
2
+ 4 − 0 2 ＝1 +
问题式预习
2.5.2 圆与圆的位置关系
任务型课堂
课后素养评价
所以圆心C1(a，1)，C2(2a，1)，半径r1＝4，r2＝1.
所以|C1C2|＝
− 2
2
+ 1 − 1 2 ＝a.
2.5.2 圆与圆的位置关系
第2课时+切线的判定与性质++课件++2024--2025学年人教版九年级数学上册+
①有公共点，连半径，证垂直；
②无公共点，作垂直，证半径.
切线的
性质定理
圆的切线垂直于 经过切点的半径
性 质 有1个公共点
有切线时常用辅助线 添加方法： 见切线，连切点，得垂直.
d=r
当堂练习
1.判断下列命题是否正确.
⑴ 经过半径外端的直线是圆的切线. （× ）
⑵ 垂直于半径的直线是圆的切线. （× ）
条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.
归结
判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1.定义法：直线和圆只有一个
公共点时，我们说这条直线是
圆的切线;
l
2.数量关系法：圆心到这条 直线的距离等于半径(即d=r)
dr l
时，直线与圆相切；
O
3.判定定理：经过半径的外端且垂
直于这条半径的直线是圆的切线.
N M
A
l
疑探 B
例1：如图,∠ABC=45°，直线AB
是☉O上的直径，点A,且AB=AC.
O
求证：AC是☉O的切线.
A
C
解析：直线AC经过半径的一端，因此只要证OA垂直于AB即可.
证明：∵AB=AC，∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°.
∴∠BAC=180°-∠ABC-ACB=90°.
∵AB是☉O的直径， ∴ AC是☉O的切线.
反证法. 小亮的理由是:直径AB与直线CD要么垂直,要么不垂直.
（1）假设AB与CD不垂直,过点O作一
条直径垂直于CD,垂足为M,
B
（2）则OM<OA,即圆心到直线CD的距
离小于⊙O的半径,因此,CD与⊙O相
交.这与已知条件“直线与⊙O相切”
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你能正确画出表示两圆内切的图形吗？
•经过两圆圆心的直线 叫做连心线。 •有•如相怎果切样两两的个圆位圆置的相关连切系心，呢那线？么必切经点过与切连点心。线
. . . T
01 02
Байду номын сангаас
.. .
01
02
T
两圆的圆心之间的距离 叫做圆心距。
R
r
R O1 O2
r
设两圆的半径分别为R和r (R>r),圆心距为d .
直线PT与⊙O2也相切
(2)若⊙O1和⊙O2内切于T， 上述结论是否仍成立？
T
O1
O2
(3) 请归纳上述结论.
定理3: 如果两圆相切，那么其中 任一个圆的过两圆切点的切线， 也必是另一个圆的切线。
P
O1 O2 T
练一练
• 如图,⊙O1和⊙O相切于点T，PT切⊙O1
于点T.过点P作两条直线，分别交⊙O1，
⊙O于A、B和C、D.
P
A
求证：
PA PC
PD PB
C
B
O1 T O2
D
例2 如图,已知⊙O[1]和⊙O[2]内切于点T. 过T画⊙O[1]的两条弦TA,TB分别交⊙O[2] 于点C,D.连结AB,CD.
(1)读懂题意，补全图形；
(2)请判断AB与CD的位置 关系，你能给出证明吗？
O1 O2
T
(3)还能得出其它的结论吗？
请思考：两圆相切时，d 、R和r 之间
有怎样的数量关系？
做一做
１．⊙O1和⊙O2的半径为5cm,２cm.
(1)若Ｏ1Ｏ2=7cm,则两圆的位置关系为（ A ） (2)若Ｏ1Ｏ2=3cm,则两圆的位置关系为（ B ）
A.外切 B.内切 C.相切 D.不能确定
2．⊙Ｏ和⊙P的半径分别为５cm,２cm,
试试看！
(4)若将题中的两圆内切改为外切，
上述的结论还成立吗？
切换到几何画板自制.exe
畅所欲言 总结新知
谈一谈在这节课中， • 学到了······ • 体会到······
课外作业
1、作业本6.9
2、收集生活中有关两圆相切 的具体事例.
6.9 两圆相切
李素珍 瑞安市滨江中学
生活中的圆······
6.9 两圆相切
当两圆有唯一公共点时，称两圆相 切；这唯一公共点叫切点。
.. .
01
02
T
. . . T
01 02
观外察切两个图形，有什么不同内点？切
..
跟我画
1、画线段O1O2，在O1O2 上取一点T ； 2、以O1为圆心，O1T为半径画⊙O1 ； 3、 以O2为圆心，O2T为半径画⊙O2 .
当两圆相切时，圆心距OP=_7__c_m__或__3_c_m.
3．已知内切两圆的圆心距为5cm，一圆的半径
为•第6c3m题，中则改另一为圆：的圆半心径距为_1为_c_m6__或c_m_1_，1__c一_m. 圆的 半径为5cm，则另一圆的半径为________.
画一画
如图⊙O1的半径为3cm, 请画出半径为 ２cm 的⊙O2与 ⊙O1相切于P。
O1
P
•例1 如图，⊙O1和⊙O2外切 于T, PT是⊙O1的切线； (1)直线PT也是⊙O2的切线吗？
请证明你的结论。
P
T
O1
O2
直线PT与⊙O2也相切
证明：连结O1 O2，
⊙O1和⊙O2外切于T
O1、O2、T共线
PT 是⊙O1的切线
O1T⊥PT
PT⊥O2T 直线PT与⊙O2相切
•例1 如图，⊙O1和⊙O2外切于 T,PT是⊙O1的切线；
•经过两圆圆心的直线 叫做连心线。 •有•如相怎果切样两两的个圆位圆置的相关连切系心，呢那线？么必切经点过与切连点心。线
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01 02
Байду номын сангаас
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01
02
T
两圆的圆心之间的距离 叫做圆心距。
R
r
R O1 O2
r
设两圆的半径分别为R和r (R>r),圆心距为d .
直线PT与⊙O2也相切
(2)若⊙O1和⊙O2内切于T， 上述结论是否仍成立？
T
O1
O2
(3) 请归纳上述结论.
定理3: 如果两圆相切，那么其中 任一个圆的过两圆切点的切线， 也必是另一个圆的切线。
P
O1 O2 T
练一练
• 如图,⊙O1和⊙O相切于点T，PT切⊙O1
于点T.过点P作两条直线，分别交⊙O1，
⊙O于A、B和C、D.
P
A
求证：
PA PC
PD PB
C
B
O1 T O2
D
例2 如图,已知⊙O[1]和⊙O[2]内切于点T. 过T画⊙O[1]的两条弦TA,TB分别交⊙O[2] 于点C,D.连结AB,CD.
(1)读懂题意，补全图形；
(2)请判断AB与CD的位置 关系，你能给出证明吗？
O1 O2
T
(3)还能得出其它的结论吗？
请思考：两圆相切时，d 、R和r 之间
有怎样的数量关系？
做一做
１．⊙O1和⊙O2的半径为5cm,２cm.
(1)若Ｏ1Ｏ2=7cm,则两圆的位置关系为（ A ） (2)若Ｏ1Ｏ2=3cm,则两圆的位置关系为（ B ）
A.外切 B.内切 C.相切 D.不能确定
2．⊙Ｏ和⊙P的半径分别为５cm,２cm,
试试看！
(4)若将题中的两圆内切改为外切，
上述的结论还成立吗？
切换到几何画板自制.exe
畅所欲言 总结新知
谈一谈在这节课中， • 学到了······ • 体会到······
课外作业
1、作业本6.9
2、收集生活中有关两圆相切 的具体事例.
6.9 两圆相切
李素珍 瑞安市滨江中学
生活中的圆······
6.9 两圆相切
当两圆有唯一公共点时，称两圆相 切；这唯一公共点叫切点。
.. .
01
02
T
. . . T
01 02
观外察切两个图形，有什么不同内点？切
..
跟我画
1、画线段O1O2，在O1O2 上取一点T ； 2、以O1为圆心，O1T为半径画⊙O1 ； 3、 以O2为圆心，O2T为半径画⊙O2 .
当两圆相切时，圆心距OP=_7__c_m__或__3_c_m.
3．已知内切两圆的圆心距为5cm，一圆的半径
为•第6c3m题，中则改另一为圆：的圆半心径距为_1为_c_m6__或c_m_1_，1__c一_m. 圆的 半径为5cm，则另一圆的半径为________.
画一画
如图⊙O1的半径为3cm, 请画出半径为 ２cm 的⊙O2与 ⊙O1相切于P。
O1
P
•例1 如图，⊙O1和⊙O2外切 于T, PT是⊙O1的切线； (1)直线PT也是⊙O2的切线吗？
请证明你的结论。
P
T
O1
O2
直线PT与⊙O2也相切
证明：连结O1 O2，
⊙O1和⊙O2外切于T
O1、O2、T共线
PT 是⊙O1的切线
O1T⊥PT
PT⊥O2T 直线PT与⊙O2相切
•例1 如图，⊙O1和⊙O2外切于 T,PT是⊙O1的切线；