第七章 系统的状态变量分析法

故x1
'
(t
)
R1 L
x1(t)
1 L
x2 (t)
R1 L
f1(t)
x1'(t) x2 '(t)
1 C
R1 L
1 L 1
R2C
x1 (t ) x2 (t)
R1
L
0
0 1
f1 (t ) f2 (t)
R2C
•
X AX BF
一阶矢量微分方程
单树支割集
单连支 回路
x1' ( t x2' ( t
) )
0
a0
1 a1
x1( t x2( t
) )
0
1
e(
t
)
y( t ) [b0
b1
]
x1( t x2( t
) )
2. 由H(s)或微分方程直接写出状态方程
一个n阶系统：（pn an1 pn 1 a1 p a0 )y( t ) ( bm pm bm1 pm 1 b1 p b0 )e( t )
W s
1
s2
X 3s
X 2 s
5 s 10
X1s ys
1 s 1
解：X1(
s
)
s
5 10
X2(
s
)
SX1(
s
)
10X1(
s
)
5X2(
s
)
X3(
s
)
s
1 1
X1(
s
)
SX 3 (
s
)
第七章 系统的状态变量分析法
Chapter9
本章要点
F 状态变量与状态方程 F 连续时间系统状态方程的建立 F 连续时间系统状态方程的求解 F 离散时间系统状态方程的建立 F 离散时间系统状态方程的求解
7.1 状态变量与状态方程
系统分析的方法: 经典法: 时域法,求解微分方程困难.
拉氏变换法: 变换域法,微分方程变为代数方程. 缺点(1)只适合于线性定常系统 (2)H(S)只适合于单输入单输出系统 (3)很多情况下要求系统的某种性能是最优的， 此法无效.
D矩阵为0。
若 m n ,乘法器 bm 的输入将为 xn t ，这时输出方程为
x1' ( t ) x2 x2' ( t ) x3 xn1' ( t ) xn xn' ( t ) an1xn an2 xn1 a1x2 a0 x1 e y b0 x1 b1x2 bn1xn bn x'n y b0 x1 b1x2 bn1xn bn ( an1xn an2 xn1 a1x2 a0 x1 e )
y(t) b0x1(t) b1x2(t)
y"(t) a1 y' (t) a0 y(t) b1e' (t) b0e(t)
x1'(t) x2'(t)
0
a0
1 a1
x1(t) x2(t)
0
1
e(t)
y(t) [b0 b1]xx12((tt))
et
q' '
x2 '(t)
q'
x2 (t)
有l个激励源e1, e2 el
有m个输出y1, y2 ym
x1' a11 a12 a1n x1 b11 b12 b1l e1
x2
'
a21
a22
a2
n
x2
b21
b22
b2l
e2
x3
'
x3
e3
xn ' an1 an2 ann xn bn1 bn2 bnl el
对应H ( s )为
H ( s ) bmsm bm1sm 1 b1s b0 sn an1sn 1 a1s a0
当m n时
状态变量选择各辅助函数q离连散续时时间间系系统统选选移积位分器器输输出出
bm
e(t)
xn x•n
x•n1
xm2
an1
an2
am
b1
xm1 •
x3
•x2 x•1 b0
状态变量法: 时域法, N维矢量的一阶微分方程求解, 便于计算机求解. 优点：适合于分析多输入-输出系统,或非线性,时变系统
系统的状态变量描述
一.状态,状态变量 例如:质点作直线运动,任一时刻的状态由v(t)和 s(t)确定.
v(t ) s (t )
已知质点在每一个时刻的位置s(t)和速度v(t) 则质点在任一时刻 的状态就确定了. 因为位置相同,速度不同,代表的运动状况不一样. 状态:是指系统过去,现在和将来的状况. 状态变量:描述系统内部状态所需用的最少一组变量.
例1：列写图示电路的状态方程
(1)选i(t),uc (t)作为状态变量
+
u(s)
duc dt
1i c
-
di
dt
1 L
u
c
R L
i
1 L
us
(2)选i(t),q(t) i(t)dt作为状态变量
dq dt
i(t)
di
dt
q LC
uc
R L
i
1 L
us
i(t)
RL c u(c)
选x1 Li R idt, x2 idt
病态网络: n nt (nc nL ) nc: 纯电容回路数 nL : 纯电感割集数.
x
状态轨迹
z
X (t1) X (t2 )
y
状态向量(矢量)
X (t) [x1(t) x2 (t) xk (t)]T
状态矢量可以用多维空间中的点 来表示,这个多维空间称为状态空间
k 状态矢量：能完全描述一个系统行为的 个状态变量，可以看作矢量 X (t)
y b0x1 b1x2 bn1xn bn( an1xn an2xn1 a1x2 a0x1 e )
y t b0 bna0 b1 bna1
x1 t
x2
t
bn1 bnan1
bne
t
xn1
t
xn t
m n ，D矩阵不为零。实际的系统，大多数属于 m n 的情况。
y(t)
x1 ' 0 1
x2
'
0
0
x3
'
ຫໍສະໝຸດ Baidu
0 0
xn ' a0 a1
0 0 1 0
0 0 a2 an2
0 x1 0
0
x2
0
x3
0 e(t
)
1
an1 xn 1
x1
x2
y [b0
b1
b2
bm
0
0]x3
xn
H ( s ) bmsm bm1sm 1 b1s b0 sn an1sn 1 a1s a0
1.由系统的模拟框图列写
方法是选取积分器的输出信号作为状态变量。
例1：如图以 x1(t), x2 (t) 为状态变量，以 yt 为响应写出状态方程和输出
方程
b1
et
q''
q'
x2 '(t) x2(t)
a1
q
x1(t)
a0
yt
b0
解：x1'(t) x2(t)
x2'(t) a0x1(t) a1x2(t) e(t)
a0
es
s3q(s) sx3 (s)
b3
1 s2q(s) s x3(s)
1 sq(s) s x2(s)
b2
b1
1 q(s)
s x1(s)
b0
a2 a1
a0
ys
例3：如图以 x1( t ), x2( t ), x3( t )为状态变量，以 y( t )为响应，写状态方程和 输出方程。
F s
y( t ) [ b0 a0b3
b1 a1b3
x1( t )
b2
a2b3
]
x2
(
t
)
b3e(
t
)
x3( t ) D矩阵不为零
es
s3q(s) sx3 (s)
b3
1 s2q(s) s x3 (s)
1 sq (s) s x2 (s)
b2
1 q(s) s x1(s)
b1 b0
y s
a2
a1
x1(t)
y2 (t)
L
R2
f1(t)
R1 y1(t)
c
x2 (t)
f2 (t)
输出方程: y1(t) R1[ f1(t) x1 (t)] y2 (t) x2 (t) f2 (t)
y1(t) y2 (t)
0
R1
0 1
x1 (t )
x2
(t
)
R1 0
0 f1(t)
例2：已知一系统函数bs33s
3 b2s a2s2
2 b1s b0 a1s a0
解：此时：m n b3
b2
es
s3q(s) sx3 (s)
1 s2q(s) s x3(s)
1 sq(s) s x2 (s)
b1
1 q(s)
s x1(s)
b0
a2 a1
a0
ys
x1' ( t ) 0 1 0x1( t ) 0
n 1
nn
n 1
nl
l 1
状态方程的一般形式
•
X AX Be
y1 c11
y2
c21
y3
yn cm1
c12 c1n x1 d11
c22
c2n
x2
d21
x3
cm2 cmn xn dm1
d12 d1l e1
d 22
d2l
e2
e3
dm2 dml el
a1
b1
q
x1(t)
b0
yt
解：由框图，求H ( S ) q'' e( t ) a1q'a0q y q' b1 qb0
a0
q''a1q'a0q e( t )
知输入－输出方程为 y''a1 y'a0 y b1e' ( t ) b0e( t ) H ( s ) Y ( s ) b1s b0 E( s ) s 2 a1s a0
x1(t)
y2 (t)
L
R2
f1(t)
R1 y1(t)
c
x2 (t)
f2 (t)
x1 (t )
y2 (t)
单树支割集
L
R2
f1(t)
R1 y1(t)
c
x2 (t)
f2 (t)
解: 选一特有树 树支:电压源,电容，电阻。
单连支回路
连支:电流源,电感，电阻。
选x1(t), x2 (t)为状态变量 . x1(t) iL (t), x2 (t) uc (t)
a1 a0
y(t)
取每一积分器的输出作为状态变量
bm b1
e(t)
xn x•n
x•n1
xm2
xm1 •
x3
•x2 x•1 b0
x1' ( t ) x2
x2' ( t ) x3
an1 an2
am
a1 a0
xn1' ( t ) xn xn' ( t ) an1xn an2 xn1 a1x2 a0 x1 e y b0 x1 b1x2 bm xm1
x2'
(
t
)
0
0
1
x2
(
t
)
0e(
t
)
x3' ( t ) a0 a1 a2 x3( t ) 1
y( s ) b3sx3( s ) b2 x3( s ) b1x2 ( s ) b0 x1( s )
y( t ) b3 [ a0x1( t ) a1x2( t ) a2x3( t )] b3e( t ) b2x3( t ) b1x2( t ) b0x1( t )
•
X AX BF
Y CX DF
由H ( s )写状态方程的规律： A矩阵：n n.第n行的元素即为 H ( s )分母多项式的系数
a0 ,a1 an1的负值，其它各行除对 角线右边 的元素为1外，其余均为 0。 B矩阵：n 1.最后一行为1，其余均为 0。
C矩阵：1 n.前m＋1个元素即为H ( s )分子多项式的系数 b0 ,b1bm的值，其n m 1个元素均为0。
的各个分量。
二.状态方程和输出方程
状态方程:描述系统状态变量与系统输入之间关系的一阶微分方程 组称为状态方程. 其中方程组左边是状态变量的一阶导数,右边是只包含 系统参数,状态变量和激励的一般函数表达式,其中没有 变量的微分和积分运算.
例2:列出图示电路的状态方程和输出方程, y1(t), y2 (t)为响应变量.
dx1 dt
us
1 c
x2
dx2
dt
1 L
x1
R L
x2
上例说明:
状态变量的选择不是唯一的,但对于一个具体系统
而言,不论如何选择,状态变量的个数总是相等的.
一般电网络的状态变量：线性定常网络选------ uc , iL
非线性时变网络选------ qc , L
网络的状态变量的个数:
常态网络:变量个数n = 储能元件数 nt
1
f
2
(t
)
Y CX DF
输出方程------ 用状态变量和输入激励表示输出量的方程。其中每一
等式左边是输出变量，右边是只包含系统参数，状态
变量和激励的一般函数表达式，其中没有变量的微分 和积分运算。
7.2 连续时间系统状态方程的建立
一.状态方程和输出方程的一般形式
假设有一个系统
有n个状态变量x1, x2 xn
m1
mn
n 1
ml
l 1
输出方程的一般形式 Y CX De
二．由电路图直接列写状态方程(参看上节例1、例2）
1. 状态变量的选取 2. 状态方程的建立
三．由系统的输入－输出方程或模拟图列写状态方程
由于状态方程更便于用计算机进行计算，有时就会要求从输入－输出方程 去写出状态方程。
由输入－输出方程求状态方程
列单树支割集KCL得
cx2 ' (t )
x1(t)
1 R2
y2 (t )
x1(t)
1 R2
[x2(t)
f 2 (t )]
x1(t)
1 R2
x2(t)
1 R2
f 2 (t )
x1 (t )
y2 (t)
L
R2
f1(t)
R1 y1(t)
c
x2 (t)
f2 (t)
列单连支回路 KVL得 : x2 (t) Lx1'(t) y1(t) R1[ f1(t) x1(t)]