第七章 系统的状态变量分析法
系统的状态变量分析
Chap.9 系统的状态变量分析1.系统状态及状态方程的基本概念2. 信号流图signal flow graph信号流图的代数运算1. 只有一个输入支路的结点值等于输入信号乘以支路增益。
3. 并联支路的合并：并联支路的总增益等于所有各支路增益之和（并联相加）。
2. 串联支路的合并：串联支路的总增益等于所有各支路增益的乘积（串联相乘）。
x 3信号流图的代数运算（续）4.结点的吸收和变换：输出结点可以消掉，混合结点也可以通过增加一个具有单位传输的支路变为输出结点。
5. 环路吸收：带有环路系统的总增益等于断开环路后所有输入输出支路增益乘积除以因式（1-环路增益）。
信号流图简化步骤环路吸收，去掉结点1X 例2结点吸收环路吸收信号流图简化步骤（续）环路吸收，去掉结点闭环4X 结点吸收，去掉结点4X信号流图简化步骤（续）442233221432443322432133222244444321332243211)1)(1(1)1)(1(G H G H G H G H G H H H G H G H G H H H H H H G H G G H H G H G H H H G H G H G H H H H H ++++++=++−−−−++=得到系统函数并联相加环路吸收)()(14422332214324433224321G H G H G H G H G H H H G H G H G H H H H H H ++++++=对于例2, 用梅森公式求系统的转移函数。
求信号流图的特征行列式△△=1+(H 2G 2+ H 3G 3+ H 4G 4+H 2H 3H 4G 1)+(H 2G 2H 3G 3+ H 2G 2H 4G 4)系统具有4个环路，分别为：L1=（X 1→X 2→X 1）=-H 2G 2L2= （X 3→X 4→X 3）=-H 3G 3L3= （X 4→Y →X 4）=-H 4G 4L4= （X 1→X 2→X 3→X 4→Y →X 1）=-H 2H 3H 4G 1互不接触环路为：L1和L2, L1和L3前向通路只有一条：g1=H 1H 2H 3H 4，其特征行列式的余子式△1为△1=1 –0 + 0 -……22)()0t e b)(t e i βp 1i α−1)(t r i p α+321===λλλ&&&321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡λλλ&&&。
2022湘潭大学考研835信号与系统 考试大纲
835《信号与系统》考试大纲一、考试对象报考“信息与通信工程”的考生。
二、考试目的科学、公平、有效地测试考生掌握信号与系统的基本理论、分析方法的水平，以及考察学生的思维推理能力和运算分析能力，属于水平性测试。
三、考试的内容和要求第1章 信号与系统的基本概念（1） 正确理解信号、系统的概念，信号的分类方法；（2） 掌握系统数学模型的建立方法及模拟图的表示；（3）正确理解线性时不变系统的含义，会判断系统的特性。
第2 章 连续信号与系统的时域分析（1）掌握连续时间信号在时域进行分解的方法及其描述；（2）理解卷积的含义；熟练掌握卷积的性质及计算方法（包括图解法）；（3）正确理解单位冲激函数（)(t δ）、单位阶跃函数（()u t ）的概念，熟练掌握单位冲激函数的性质；（4）掌握时域法求解一阶电路的阶跃响应和冲激响应;（5）熟练掌握连续线性时不变系统（LTI ）的数学模型的建立方法, 及系统零输入、零状态响应、全响应的时域求解法，。
第3章 连续信号与系统的频域分析（1） 正确理解周期信号、非周期信号的含义，掌握其表示方法；（2） 正确理解周期信号分解为傅立叶级数的条件；熟练掌握周期信号分解为傅立叶级数的方法；（3） 正确理解周期信号与非周期信号的关系；熟练掌握傅立叶变换及其主要性质；（4） 熟练掌握非周期信号及周期信号频谱的求取方法；（5） 熟练掌握f(t)信号频谱()(ωH )图的绘制及过零点参数的求取；带宽与周期的关系（方波信号脉宽与谱线密度的关系）；（6） 正确理解理想滤波器的概念，及理想滤波器的幅频、相频特性；（7） 掌握抽样定理，理解f(t)时域抽样，对应频域频谱的变化及抽样率对谱线分布的影响；)(ωF 频域抽样，对应时域时间波形的变化及抽样率对时间波形分布的影响，能够灵活应用抽样定理。
第4章 连续系统的S 域分析（1） 正确理解傅立叶变换与拉氏变换的关系；（2） 掌握单边拉氏变换的定义、各类信号拉氏变换收敛域的基本特征；（3） 熟练掌握常用信号的拉氏变换（4） 熟练掌握拉氏变换的性质；（5） 掌握部分分式展开法，能用常用变换对求取反变换的方法；（6）熟练掌握LTI系统的复频域分析方法，会用拉氏变换法分析电路模型，求解系统全响应（零输入、零状态响应与初始条件的关系及特征）；（7）了解系统函数的零、极点分布对系统时域、频域的影响；对系统稳定性的影响；（8）了解围线积分法。
自动控制原理第七章
2013-12-13
<<自动控制原理>>第七章
9
4、非线性系统不适用叠加原理
在线性系统中，若干个信号作用于系统上，我们可以分 别求单独信号作用的响应，然后再叠加就可以求出总的响应。
这给分析综合线性系统带来了很大方便。通常在典型输入函
<<自动控制原理>>第七章
22
2013-12-13
<<自动控制原理>>第七章
23Leabharlann 二、相平面图的分析 1．线性系统奇点的类型 假设奇点在相平面的原点上， f ( x, x) 是解析函数，可用泰勒 级数将其在原点附近展开：
f ( x, x) f ( x, x) f ( x, x) f ( x, x) x 0 x 0 x x 0 x g ( x, x ) x x x 0 x 0 x 0 其中，g ( x, x) 是包含 x, x 二次以上的项，在原点附近，x, x 都很小，g ( x, x) 可以忽略。注意到在奇点处有
即
dx d ( x) dx dx
表示在 ( x, x) 点和 ( x, x) 点相轨迹曲线的斜率大小相等，符 号相反，故关于 x 轴对称。
2013-12-13 <<自动控制原理>>第七章 14
若 f ( x, x)是 x 的奇函数，即 f ( x, x) f ( x, x)
2013-12-13
<<自动控制原理>>第七章
17
c.系统的状态沿相轨迹曲线转移的方向
系统的状态变量分析法
出
状
方
态
程
方
程
9-1 连续系统状态空间方程建立
一、引例 t<0，K在2；t=0，K从2打到1。求t>0时，电压uR和uL。
（
状
态
方
程
）
（ 输 出
uR t Ri(t)
方 程
uL t Ri(t) uc (t) us (t)
）
状态方程和输出方程通称为
状态空间方程
uc(t)和i(t)称为状态变量
说明：同一系统函数或微分方程，可以有不同的模拟图或信号流图，所以 可以得到不同的状态方程和输出方程，但特征根相同，同一系统，它的系 统矩阵A相似。
练习1：列写状态方程和输出方程，已知系统函数为
状态变量：选积分器输出。
练习2：已知系统函数，用级联型信号流图列写状态方程和 输出方程
状态变量：选积分器输出。来自3、系统函数矩阵与单位冲激响应矩阵 1）系统函数矩阵
2）单位冲激响应矩阵： 3）系统自然频率：
意义：第j个激励单独作用时 与所产生的第i个响应之间的 关系。
3、状态方程：描述系统状态变量和激励与状态变量一阶导数关系 的微分方程组。
4、输出方程：描述系统状态变量和激励与输出响应关系的代数方程组。 5、状态向量：由状态变量做分量所构成的向量。（n维） 6、状态空间：状态变量所有取值的集合。即状态向量所在的空间。 7、状态轨迹：在状态空间中状态向量端点随时间变化所形成的轨迹。
（2）便捷的运用到多输入多输出系统； （3）可以分析系统的“可观测性”和“可控制性”； （4）可以描述非线性系统和时变系统； （5）便于计算机求解（一阶微分方程、差分方程）。
4、分析方法：状态变量法
以系统内部的状
第7章动态电路的状态变量分析
iR 2 R2
(a)
解：置换法
duC 4 uC 3 uC 4 C4 iR 2 dt R2
duC 3 uC 3 uC 4 C3 iL 5 iR 2 iL 5 dt R2
diL5 L5 uC 3 R1iL5 us dt
“十一五”国家级规划教材—电路基础
例：图所示电路，已知R1=5Ω，R2=1Ω，L=1H，C=1F， 若以uC，iL为状态变量，u1，i2为输出量，试列写（1）标 准形式的状态方程。 L iL R 解：根据KCL可得： i
duC 4 C4 iR 2 dt
对电感L5确定的基本回路列写KVL方程
5
回路
4
割集 2
1
3 2 割集1
diL5 L5 uC 3 R1iR1 us dt (3) 用uC3、uC4、iL5和uS表示非状态变量iR1和iR2，得到
iR1 iL 5，iR 2
uC 3 uC 4 R2
“十一五”国家级规划教材—电路基础
第七章 动态电路的状态变量分析
7.1 电路的状态和状态变量
7.2 状态方程及其列写
“十一五”国家级规划教材—电路基础
状态变量法不仅适用于分析线性非时变电路，而 且适合用来分析线性时变电路和非线性电路。
7.1 电路的状态和状态变量 一、状态变量 状态变量:对于某个动态电路,如果已知n个独立变量在t0时 刻的初始值以及t≥t0时电路的激励,就可完全确定t≥t0时电 路的响应,那么n个独立变量就称为电路的一组状态变量。 状态方程：以状态变量为未知量列写的一阶微分方程组。 由于计算机求解一阶微分方程组比高阶容易，因此计 算机求解动态电路一般采用状态变量法。
“十一五”国家级规划教材—电路基础
现代控制理论基础 第7章 状态空间分析法在工程中的应用
h2
特征多项式
1 0
0 1
1
w
0
u
h02 h1 h0h1 h2
y
11 0 1 h0h2 11h1
h0
x1
w
h1
y
h2
I (A11 hA21) 3 h02 (11 h1) (11h0 h2 )
期望极点-3, -2+j, -2-j;期望特征方程
g0 9, g1 42, g2 148, g3 492
状态反馈
12
五、降维观测器设计
由于小车位移z可测，无需估计，可用降维观测器进行设计。重新排列系统状 态变量次序，把需由降维观测器估计的变量与可观测的变量分开，则状态方程 和输出方程为
d dt
•
z
•
--z--
0 1 0 0
第七章 状态空间分析法在工程中的应用
第一节 单倒置摆系统的状态空间设计 第二节 大型桥式吊车行车系统的状态空间设计 第三节 液压伺服电机最优控制系统
1
线性控制理论在工程设计中应用最广泛的是状态空 间综合方法，也就是状态反馈与状态观测器的相关理论 与方法。本章通过三个工程实例予以说明状态空间分析 方法的具体应用。
3
若不给小车施加控制力，是一个不稳定系统。 控制的目的是，当倒置摆无论出现向左或向右倾倒时，通过控制直
流电动机使小车在水平方向运动，将倒置摆保持在垂直位置上。
4
一、倒置摆的状态空间描述
根据牛顿定律
M d 2z m d 2 (z l sin ) u
dt 2
dt 2
由于绕摆轴旋转运动的惯性力矩应与重力矩平衡，因而有
(6-3) (6-4)
联立求解
..
状态变量分析
RiL (t)
vs
（3）消除中间变量 vC2，将 vC2 vS vC1 代入，得
C1
d vC1 dt
iL
C2
d(vS vC1 ) dt
0
（4）整理，得
diL dt
R L iL
1 L vC1
1 L vS
d
vC1
dt
1 C1 C2
iL
C2 C1 C2
dvS dt
写成矩阵形式，为
diL
x2
dx1 dt
(b1 a1b2 ) f
dy dt
b2
df dt
(b1 a1b2 ) f
正如前面所述，状态变量的选取可以是多种形式的。
输出方程为 y x1 b2 f
写成矩阵形式，为
y 1
0
x1 x2
b2
f
7.2.4 从模拟图建立状态方程
根据系统的输入－输出方程或系统函数可以作出系 统的时域或复频域模拟图，然后选择每一个积分器的输 出端信号作为状态变量，最后得到系统的状态方程和输 出方程。
信号与系统
第七章 状态变量分析
第七章 状态变量分析
状态变量分析概述 7.1 状态与状态空间 7.2 连续系统状态方程的建立 7.3 系连续系统状态方程的 本章要点
状态变量分析概述
系统的描述方法 – 输入－输出描述法、状态变量描述法
输入－输出描述法（端口分析法、外部法） – 用系统的输入－输出变量之间的关系来描述系统的 特性； – 数学模型是 n 阶微分（或差分）方程。
方程。
iS (t)
解 选取 vC (t) 和 iL (t) 为状态变量， 它们都是独立的状态变量。
vC
(t)
智慧树答案信号与系统(山东联盟-山东师范大学)知到课后答案章节测试2022年
第一章1.正弦连续函数一定是周期信号答案:对2.正弦离散函数一定是周期序列。
答案:错3.余弦连续函数一定是周期信号。
答案:对4.余弦离散序列一定是周期的答案:错5.两个离散周期序列的和一定是周期信号。
答案:对6.两个连续周期函数的和一定是周期信号。
答案:错7.两个连续正弦函数的和不一定是周期函数。
答案:对8.取样信号属于功率信号。
答案:错9.门信号属于能量信号。
答案:对10.两个连续余弦函数的和不一定是周期函数。
答案:对第二章1.微分方程的齐次解称为自由响应。
答案:对2.微分方程的特解称为强迫响应。
答案:对3.微分方程的零状态响应是稳态响应的一部分答案:错4.微分方程的零输入响应是稳态响应的一部分答案:错5.微分方程的零状态响应包含齐次解部分和特解两部分。
答案:对6.微分方程的零状态响应中的特解部分与微分方程的强迫响应相等。
答案:对7.对LTI连续系统，当输入信号含有冲激信号及其各阶导数，系统的初始值往往会发生跳变。
答案:对8.对线性时不变连续系统，当输入信号含有阶跃信号，系统的初始值往往会发生跳变答案:错9.冲激函数匹配法是用于由零负初始值求解零正初始值。
答案:对10.LTI连续系统的全响应是单位冲激响应与单位阶跃响应的和。
答案:错第三章1.LTI离散系统的响应等于自由响应加上强迫响应。
答案:对2.LTI离散系统的响应等于齐次解加上零状态响应的和。
答案:错3.设两个子系统并联得到一个复合系统，则复合系统的单位序列响应等于两个子系统的单位序列响应之和。
答案:对4.假设两个子系统级联组成一个复合系统，则复合系统的单位序列响应等于两个子系统的单位序列响应之积。
答案:错5.LTI离散系统的单位阶跃响应等于单位序列响应的前向差分答案:错6.LTI离散系统的单位序列响应等于单位阶跃响应的前向差分答案:错7.离散时不变系统的单位序列响应是指，当激励信号是单位序列时系统的零状态响应。
答案:对8.离散时不变系统的单位阶跃响应是指，当激励信号是单位阶跃序列时，系统的全响应。
信号与线性系统名校真题解析及典型题精讲精练
１．【北京理工大学】 已知 ｆ（ｔ）的波形如下图所示，试作出 ｆ（－２ｔ－１）的波形。
Ｄ．０ Ｄ．２ｆ（１）
Ｄ．－３
２．【中国矿业大学】 已知 ｆ（－０．５ｔ）的波形如图所示，画出 ｙ（ｔ） ＝ｆ（ｔ＋１）ε（－ｔ）的波形。
— ２—
３．【中国矿业大学】
若 ｆ（ｔ）是已录制声音的磁带，则下列叙述错误的是（ ）
Ａ．线性时不变系统
Ｂ．非线性时不变系统
Ｃ．线性时变系统
Ｄ．非线性时变系统
（２）某连续系统满足 ｙ（ｔ） ＝Ｔ[ ｆ（ｔ）] ＝ｔｆ（ｔ），其中 ｆ（ｔ）为输入信号，则该系统为（ ）
Ａ．线性时不变系统
Ｂ．非线性时不变系统
Ｃ．线性时变系统
Ｄ．非线性时变系统
３【北京航空航天大学】
判断下列叙述的正误，正确的打“√”，错误的打“×”。
Ａ．对于有界激励信号产生有界响应的系统是稳定系统
Ｂ．系统稳定性是系统自身的性质之一。
Ｃ．系统是否稳定与激励信号有关
Ｄ．当 ｔ趋于无穷大时，ｈ（ｔ）趋于有限值或 ０，则系统可能稳定。
— ４—
第二章 连续时间系统的时域分析
【考情分析】
本章的考题主要涉及连续时间系统的时域分析。 重点考点： １．ＬＴＩ系统的零输入响应，零状态响应和全响应 ２．单位冲激响应的求解 ３．卷积积分的定义、性质及应用
ｔ）ｅ－ｊ６ｔ ３
的频谱
Ｙ（ｊω）。
４．【江苏大学】
若实信号
ｆ（ｔ）的傅里叶变换为
Ｆ（ｊω） ＝Ｒ（ｊω）＋ｊＸ（ｊω），则信号
ｙ（ｔ） ＝
１[ ２
ｆ（ｔ）＋ｆ（－ｔ）]
的
傅里叶变换为 （ ）
— ９—
Ａ．２Ｒ（ｊω）
Ｂ．Ｒ（ｊω）
系统的状态变量分析
形式与连续时间系统的形式相同。
用状态变量分析法研究系统具有如下优点。
(1) 便于研究系统内部的一些物理量在信号转换过程中的变化。这些物理量可以用状态矢
量的一个分量表现出来，从而便于研究其变化规律。
361
(2) 系统的状态变量分析法与系统的复杂程度无关，它和简单系统的数学模型相似，都表 现为一些状态变量的线性组合，因而这种分析法更适用于多输入多输出系统。
(3) 状态变量分析法还适用于非线性和时变系统，因为一阶微分方程或差分方程是研究非 线性和时变系统的有效方法。
(4) 状态变量分析法可以用来定性地研究系统的稳定性及如何控制各个参数使系统的性能 达到最佳等。
(5) 由于状态方程都是一阶联立微分方程组或一阶联立差分方程组，因而便于采用数值解 法，从而为使用计算机进行分析系统提供有效的途径。
时间信号。
上述关于状态变量和状态方程的基本概念，可用于讨论系统状态方程和输出方程的一般形
式。
1. 连续时间系统状态方程和输出方程的一般形式
一个动态连续时间系统的时域数学模型都是用输入、输出信号的各阶导数来描述的。作为
连续时间系统的状态方程表现为状态变量的一阶联立微分方程组，对于线性时不变系统，状态
方程和输出方程简化为状态变量和输入信号的线性组合，即线性时不变系统的状态方程和输出
的一阶导数与状态变量和激励的关系。式(8-3)形式的代数方程称为输出方程(output equation)，
它描述了系统输出与状态变量和激励之间的关系。
状态变量分析法对于离散时间系统也是同样适用的，即上面给出的概念对离散时间系统同
样有效。只不过对于离散时间系统，其状态方程是一阶联立差分方程组，状态变量λ[n]是离散
（8-8）
第七章 连续与离散系统的状态变量分析
0
tbf ( )ea(t )d
0
eat bf (t)
y(t) y(0)eat eat bf (t)
对状态方程
X(t) AX(t) Bf (t)
其解
x(t) eAtx(0) t eA(t )Bf ( )d 0 eAtx(0) eAt Bf (t)
7.1 线性系统状态方程
状态变量的概念
状态变量是一组反映系统内部状态变化规律的量。如x1( t)， x2(t)，， xn(t)，它们在t = t0时刻的数值连同t t0时的输入，可以唯一地确定t > t0任一时刻的状态和其它
各个响应。
在电系统中，独立的电容上电压uC(t)和电感电流iL(t)有
➢ 级联系统
以积分器的输出为状态变量x，则有
图3
x1 a1x1 x2 x2 a2x2 f (t) 即
x1
x2
a1
0
1
a2
x1
x2
0 1
f (t)
➢ 输出方程
以状态变量和输入信号表示的代数方程组。
资格称为状态变量。
状态方程与输出方程
例 对图1，由KCL和KVL，得
L
diL dt
R2iL
uC
0
C
duC dt
uC R1
iL
0
即有
duC
dt diL
1
R1C 1
dt L
1
C R2 L
【第二版】计算机控制系统(康波 李云霞)第7章.
递推：y(0) = Cx(0)
如果在有限步n内，可以用一个无约束的控制向量 ，使系统由初始状态转移到期望的状态x(n)=0，则 认为系统是能控的。
离散系统的能观测性：由系统的测量确定系统状态 的可能性。 如果系统在初始状态x(0)可通过有限的步数，由输 出量的测量值y(k)确定，则认为系统是能观测的。
离散系统的能控性判据：
0 x(k 1) -0.4
-1 0.3
x(k )
0 1
u(k
),
y(k
)
0
1 x(k )
x(0)
x1(0) x2 (0)
1 1
,
u(k
)
1 0
k 0 k 0
x(k) z1 (zI F)1 zx(0) GU(z)
F : n n 状态矩阵 G : n m 控制矩阵
C : p n 输出矩阵 D : p m 直连矩阵
7.1.2 线性离散状态方程的求解
设：线性离散系统的离散状态方程为：
x(k 1) Fx(k) Gu(k) y(k) Cx(k) Du(k)
已知：k=0时的初始状态为x(0)。 如何确定在控制向量u(k)(k=1,2,…,n-1)的作用下的 未来状态x(k) (k=1,2,…,n)，这就是离散状态方程的 求解问题。
线性连续系统的状态空间表达式：
x(t) Ax(t) Bu(t) y(t) Cx(t) Du(t)
状态方程 输出方程
7.1.1 线性离散系统的状态空间表达式
线性离散系统的状态空间表达式：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
•
X AX BF
Y CX DF
由H ( s )写状态方程的规律： A矩阵：n n.第n行的元素即为 H ( s )分母多项式的系数
a0 ,a1 an1的负值，其它各行除对 角线右边 的元素为1外，其余均为 0。 B矩阵：n 1.最后一行为1，其余均为 0。
C矩阵：1 n.前m＋1个元素即为H ( s )分子多项式的系数 b0 ,b1bm的值，其n m 1个元素均为0。
y(t) b0x1(t) b1x2(t)
y"(t) a1 y' (t) a0 y(t) b1e' (t) b0e(t)
x1'(t) x2'(t)
0
a0
1 a1
x1(t) x2(t)
0
1
e(t)
y(t) [b0 b1]xx12((tt))
et
q' '
x2 '(t)
q'
x2 (t)
例2：已知一系统函数bs33s
3 b2s a2s2
2 b1s b0 a1s a0
解：此时：m n b3
b2
es
s3q(s) sx3 (s)
1 s2q(s) s x3(s)
1 sq(s) s x2 (s)
b1
1 q(s)
s x1(s)
b0
a2 a1
a0
ys
x1' ( t ) 0 1 0x1( t ) 0
dx1 dt
us
1 c
x2
dx2
dt
1 L
x1
R L
x2
上例说明:
状态变量的选择不是唯一的,但对于一个具体系统
而言,不论如何选择,状态变量的个数总是相等的.
一般电网络的状态变量：线性定常网络选------ uc , iL
非线性时变网络选------ qc , L
网络的状态变量的个数:
常态网络:变量个数n = 储能元件数 nt
x1(t)
y2 (t)
L
R2
f1(t)
R1 y1(t)
c
x2 (t)
f2 (t)
输出方程: y1(t) R1[ f1(t) x1 (t)] y2 (t) x2 (t) f2 (t)
y1(t) y2 (t)
0
R1
0 1
x1 (t )
x2
(t
)
R1 0
0 f1(t)
y( t ) [ b0 a0b3
b1 a1b3
x1( t )
b2
a2b3
]
x2
(
t
)
b3e(
t
)
x3( t ) D矩阵不为零
es
s3q(s) sx3 (s)
b3
1 s2q(s) s x3 (s)
1 sq (s) s x2 (s)
b2
1 q(s) s x1(s)
b1 b0
y s
a2
a1
y(t)
x1 ' 0 1
x2
'
0
0
x3
'
0 0
xn ' a0 a1
0 0 1 0
0 0 a2 an2
0 x1 0
0
x2
0
x3
0 e(t
)
1
an1 xn 1
x1
x2
y [b0
b1
b2
bm
0
0]x3
xn
H ( s ) bmsm bm1sm 1 b1s b0 sn an1sn 1 a1s a0
对应H ( s )为
H ( s ) bmsm bm1sm 1 b1s b0 sn an1sn 1 a1s a0
当m n时
状态变量选择各辅助函数q离连散续时时间间系系统统选选移积位分器器输输出出
bm
e(t)
xn x•n
x•n1
xm2
an1
an2
am
b1
xm1 •
x3
•x2 x•1 b0
有l个激励源e1, e2 el
有m个输出y1, y2 ym
x1' a11 a12 a1n x1 b11 b12 b1l e1
x2
'
a21
a22
a2
n
x2
b21
b22
b2l
e2
x3
'
x3
e3
xn ' an1 an2 ann xn bn1 bn2 bnl el
W s
1
s2
X 3s
X 2 s
5 s 10
X1s ys
1 s 1
解：X1(
s
)
s
5 10
X2(
s
)
SX1(
s
)
10X1(
s
)
5X2(
s
)
X3(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
s
)
s
1 1
X1(
s
)
SX 3 (
s
)
故x1
'
(t
)
R1 L
x1(t)
1 L
x2 (t)
R1 L
f1(t)
x1'(t) x2 '(t)
1 C
R1 L
1 L 1
R2C
x1 (t ) x2 (t)
R1
L
0
0 1
f1 (t ) f2 (t)
R2C
•
X AX BF
一阶矢量微分方程
单树支割集
单连支 回路
列单树支割集KCL得
cx2 ' (t )
x1(t)
1 R2
y2 (t )
x1(t)
1 R2
[x2(t)
f 2 (t )]
x1(t)
1 R2
x2(t)
1 R2
f 2 (t )
x1 (t )
y2 (t)
L
R2
f1(t)
R1 y1(t)
c
x2 (t)
f2 (t)
列单连支回路 KVL得 : x2 (t) Lx1'(t) y1(t) R1[ f1(t) x1(t)]
a1 a0
y(t)
取每一积分器的输出作为状态变量
bm b1
e(t)
xn x•n
x•n1
xm2
xm1 •
x3
•x2 x•1 b0
x1' ( t ) x2
x2' ( t ) x3
an1 an2
am
a1 a0
xn1' ( t ) xn xn' ( t ) an1xn an2 xn1 a1x2 a0 x1 e y b0 x1 b1x2 bm xm1
的各个分量。
二.状态方程和输出方程
状态方程:描述系统状态变量与系统输入之间关系的一阶微分方程 组称为状态方程. 其中方程组左边是状态变量的一阶导数,右边是只包含 系统参数,状态变量和激励的一般函数表达式,其中没有 变量的微分和积分运算.
例2:列出图示电路的状态方程和输出方程, y1(t), y2 (t)为响应变量.
a0
es
s3q(s) sx3 (s)
b3
1 s2q(s) s x3(s)
1 sq(s) s x2(s)
b2
b1
1 q(s)
s x1(s)
b0
a2 a1
a0
ys
例3：如图以 x1( t ), x2( t ), x3( t )为状态变量，以 y( t )为响应，写状态方程和 输出方程。
F s
x1(t)
y2 (t)
L
R2
f1(t)
R1 y1(t)
c
x2 (t)
f2 (t)
x1 (t )
y2 (t)
单树支割集
L
R2
f1(t)
R1 y1(t)
c
x2 (t)
f2 (t)
解: 选一特有树 树支:电压源,电容，电阻。
单连支回路
连支:电流源,电感，电阻。
选x1(t), x2 (t)为状态变量 . x1(t) iL (t), x2 (t) uc (t)
y b0x1 b1x2 bn1xn bn( an1xn an2xn1 a1x2 a0x1 e )
y t b0 bna0 b1 bna1
x1 t
x2
t
bn1 bnan1
bne
t
xn1
t
xn t
m n ，D矩阵不为零。实际的系统，大多数属于 m n 的情况。
x1' ( t x2' ( t
) )
0
a0
1 a1
x1( t x2( t
) )
0
1
e(
t
)
y( t ) [b0
b1
]
x1( t x2( t
) )
2. 由H(s)或微分方程直接写出状态方程
一个n阶系统：（pn an1 pn 1 a1 p a0 )y( t ) ( bm pm bm1 pm 1 b1 p b0 )e( t )
病态网络: n nt (nc nL ) nc: 纯电容回路数 nL : 纯电感割集数.
x
状态轨迹
z
X (t1) X (t2 )
y
状态向量(矢量)
X (t) [x1(t) x2 (t) xk (t)]T
状态矢量可以用多维空间中的点 来表示,这个多维空间称为状态空间