高等传热学课件对流换热-第6章-1

第六章高速流动对流换热在前面几章介绍的强制对流换热中，我们假设速度和速度梯度充分小，以致动能和粘性耗散的影响可以忽略不计。

现在考虑高速和粘性耗散的影响。

我们主要介绍有更多重要应用的外部边界层。

6.1 高速流对流换热基本概念高速对流主要涉及以下两类现象：z从机械能向热能的转换，导致流体中的温度发生变化；z由于温度变化使流体的物性发生变化。

空气一类气体若具有极高的速度，将会导致超高温离解、质量浓度梯度，并因此发生质量扩散，使问题变得更加复杂。

这里仅限于关注未发生化学反应的边界层；对空气来说，这意味着我们将不考虑温度超过2000K或者马赫数高于5的情况。

对液体，如果普朗特数足够高的话，粘性耗散实际上在中等速度时就具有很可观的作用。

我们的讨论仅限于普朗特数接近于1的气体。

有关高速对流的研究大都涉及对机械能转换和流体物性随温度变化两个因素的总体考虑，很难看到它们单独的影响。

这里，我们暂不考虑变物性的影响，首先讨论能量转换问题。

能量转换过程能可逆地发生，也能不可逆地发生。

比如，在边界层内，激波与粘性的相互作用使得机械能与热能间的不可逆转换增大，无粘性的速度变化（比如在接近亚音速滞止点附近流体的减速）则产生可逆的，或者非常接近可逆的能量转换。

高速边界层滞止点的比较能很好地说明这两种情况的明显区别。

z在滞止点（图6-1）处速度降低，边界层以外的压力和温度提高。

对于亚音速流动，该过程几乎是等熵的，流体粘度不起什么作用。

无论减速可逆还是不可逆，滞止区边界层以外的流体温度等于滞止温度，也就是说，流体温升来自于绝热减速：（6.1.1） 若不考虑变物性影响，并用*T ∞代替T ∞，低速滞止点的解也能适用于高速滞止点问题： w w ()q h T T ∗∞=− （6.1.2）z 但高速边界层问题有所不同。

如果自由速度很高，边界层以内速度梯度很大，边界层内因粘性切应力产生粘性耗散。

如果物体是绝热的，那么耗散产生的热量可以靠分子或者涡漩传导的机理，从靠近表面的向边界层外传递出去，如图6-2所示。

稳态条件下，在粘性耗散和热传导之间存在一种平衡状态，导致图6-2所示的温度分布。

此条件下的表面温度就等于绝热壁面温度aw T 。

V图6-1 滞止点的流动z 热量究竟是传向壁面还是从壁面传出来取决于表面温度高于还是低于绝热壁面温度aw T 。

z 流体的普朗特数也和绝热壁面温度有一定关系。

普朗特数是粘度（决定能量耗散）与热扩散率（与热量从边界层中逃逸的机理相关）之比。

高普朗特数将导致高的绝热壁面温度。

图6-2 高速边界层中的速度剖面和绝热壁面温度剖面aw6.2 滞止焓方程考虑Pr 数近似等于1的气体的高速流动边界层问题。

忽略体积力所做功、内热源和质量浓度梯度，引进滞止焓*i 、理想气体焓与温度的关系式，以及切应力与粘性系数之间的关系式：d d ()i c T c =是比定压热容对层流边界层，在普朗特数等于或接近等于1的时候，从一般形式的能量方程可推导出以滞止焓为独立变量的能量方程。

（6.2.1）/i y ∂∂并代入上式，移项并引入普朗特数的定义后得出层流边界层的滞止焓能量方程：（6.2.2） 对湍流边界层，也可以用一样的思路推导。

忽略体积力和源项，代入分子热流密度和切应力得出：*i i i u i x y y c y ∗∗⎛⎞∂∂∂∂′′+=−+⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠λρρυρυ21()121u u u y Pr y ⎡⎤∂⎢⎥∂⎛⎞′′−−⎜⎟⎢⎥∂∂⎝⎠⎢⎥⎣⎦µρυ （6.2.3）关于湍流的各种涡漩扩散率模型可用于上式。

首先，利用时均场封闭性重写湍流热流通量和雷诺应力：然后，引进有效粘度、有效导热系数和有效普朗特数的定义：eff t t =+=+µµµµρνeff t t ca =+=+λλλλρefft eff eff t t1//1/(/)/Pr c Pr Pr +==+µννλνν得到湍流边界层的滞止焓方程为：（6.2.4） 根据式（6.2.2）或式（6.2.4）的解，就可由下式（对于湍流，用时均量代替层流的量）求出表面上的热流密度w q ：w wT q y ⎛⎞∂=−⎜⎟∂⎝⎠λ 在壁面处，有：于是，得到根据滞止焓确定表面热流的关系式：（6.2.5）z 如果比热容并非常数（对高速流往往如此），以焓为变量的能量方程会比较便于应用和表达。

z 在利用上述滞止焓方程式，定义一个焓传导系数i g 作为对流换热系数h 的替代量会很方便。

（6.2.6） 于是，表面热流密度的计算式可改写为：()w w i q g i i ∗∗∞=− （6.2.7）如果速度低（*i i =）、且比热容c 为常数，那么，焓传导系数i g 与流换热系数h 之间存在简单的关系：/i g h c = （6.2.8）6.3 高速流边界层对流换热一、1Pr=流体的高速流边界层Pr=流通过应用层流边界层的滞止焓方程（6.2.2）式，来考察1体的高速边界层的一些特征。

定义滞止温度T∗：Pr=和c等于常数的情况，层流边界层的滞止焓方程对于1（6.2.2）式变成：（6.3.1）Pr=和c等于常数的情况下，µ和λ仍可随温度变化，对大在1多数气体来说，可以假设它们具有相同的温度函数（如萨瑟兰公式）。

上式与针对低速边界层对流换热的能量方程形式相同，因此，在1Pr =的条件下，只要在解中用*T 替代T ，则低速层流边界层解的表达式即可适用于高速层流边界层换热。

如果假设1t Pr =、1Pr =，那么对湍流边界层也可以得出和层流边界层同样的结论。

z 注意：除了静态温度分布会影响流体物性以外，高速流动量方程并不受粘性耗散的影响。

对恒壁温低速边界层，其求解的边界条件为：0x =： u u ∞=、T T ∞=；0y =： 0u ==υ、w T T =；y →∞： u u ∞=、T T ∞=。

当用*T 替代T 时，恒温平板的高速绕流层流边界层的滞止温度形式能量方程（6.3.1）式的边界条件为：0x =： u u ∞=、T T ∗∗∞=；0y =： 0u ==υ、w T T ∗∗=；y →∞：u u ∞=、T T ∗∗∞=。

低速边界层问题的解最终表示为局部对流换热系数h ：()w w wT q h T T y ∞⎛⎞∂=−=−⎜⎟∂⎝⎠λ 对高速边界层，在0y =处0u =，有()()*//w w T y T y ∂∂=∂∂、*s s T T =，所以（6.3.2）该式表明，如果在对流速率方程中用自由流滞止温度代替自由流温度，就能够算出1Pr =时表面上的热流密度；而这正是高速粘性耗散的主要影响。

令上式中的0w q =，即可计算出1r P =情况下的绝热壁面温度：()w 0h T T ∗∞−＝ ⇒（6.3.3） 根据这些结果可画出边界层中的温度分布，如图6-3所示。

因为所有气体的普朗特数都接近1，所以实际气体的情况不会与上述结果有重大的差别。

图6.3 1P r =的高速边界层中温度分布sq s q sq ＝∗∞∞二、1Pr≠时恒物性流体的高速流层流边界层换热现在我们考虑绕流平板的层流高速边界层，T∞和u∞等于常数但Pr≠。

这样，我们能更清楚地看到粘性耗散的影响以及Pr数所起1的作用，首先考虑流体物性恒定的情况。

其连续方程、动量方程与相应低速流问题中的一样，但能量方程中包含粘性耗散项。

于是，该问题适用的微分方程为：（6.3.3）（6.3.4）（6.3.5）因为连续方程和动量方程与低速边界层时相同，且速度边界条件也相同，所以显然存在速度场的相似解。

对能量方程，需要重新寻求相似解，可采用和求解动量方程时一。

如果假设：()f f =η、()T T η=，而且这样，能量微分方程(6.3.5）式就变成了常微分方程：（6.3.6） 定义一个独立变量:，上式可变为： （6.3.7）我们首要关心的是绝热壁面情况，即0s q =时相似方程式（6.3.7）的特解，用aw Θ。

那么，绝热壁面情况下，上式的边界条件是： ()0Θ∞=， ()00′Θ=由式（6.3.7）可积分得到绝热壁面条件的表面温度：（6.3.8） 针对不同Pr 数，利用Blasius 相似解中的()f η值，可得到上式的数值积分。

其结果是Pr 数的函数，当Pr 位于0.5～10之间时，可用下式近似地表示：1/2aw (0)Pr Θ≈ （6.3.8）通常认为，(0)aw Θ被就是恢复系数c r 。

绝热壁面温度aw T 可以从下式得出：（6.3.9） 这里，1/2c r Pr ≈。

当1Pr =时1c r =，上式就简化为式（6.3.3）。

上面，我们已经得出了一个特解aw Θ，但它仅给出了壁面上没有传热时的温度场。

如果我们求出相似方程式（6.3.7）齐次部分的一个通解，就能够推导出它的完整解。

在低速边界层相似解中：1Pr 02f ′′′+=θθ 对()θη，有(0)0θ=和()1θ∞=两个边界条件，我们已得到了一个通解。

于是式相似方程式（6.3.7）的完整解为：aw 12ΘC C θΘ=++ （6.3.10）将该式代入式（6.3.7）即可得到证明。

下面确定系数。

根据边界条件：()0Θ∞=， w 2(0)/2T T u c ∞∞−Θ= 由第一项边界条件，得出：12C C =−于是，定壁温下，高速流层流边界层的解为：（6.3.11）（6.3.12）根据温度分布，可计算壁面对气流的加热热流密度w q 。

由上式导出温度梯度：⇒于是有：由低速流层流边界层相似解， ()11/30010exp()0.3322Pr d Pr ηθζη−∞⎡⎤′=−≈⎢⎥⎣⎦∫∫于是，壁面对气流的加热热流密度w q 为：（6.3.13）对于高速边界层，定义一个建立在表面温度和绝热壁面温度之差基础上的对流换热系数h 。

令：w aw ()w q h T T =− （6.3.14）则高速流层流边界层的对流换热系数计算关系式为：（6.3.15） 或 1/31/20.332Pr x x Nu Re = （6.3.16）该结果与低速流边界层对流换热问题的结果形式上完全一样，只是定义对流换热系数的温差不同。

实际上，在常物性假设下，如果将对流换热系数定义式中的主流温度T ∞替换为aw T ，那么低速流强制对流边界层的对流换热系数关系式（层流、湍流），也可适用于高速流边界层对流换热。

三、变物性气体的高速流层流边界层对流换热如果流体物性是变化的，高速流层流边界层的微分方程为：∂ ( ρu ) ∂x+∂ ( ρv) ∂y=0（6.3.17）∂u ∂u ∂ ⎛ ∂u ⎞ ρu + ρ v = ⎜ µ ⎟ ∂x ∂y ∂y ⎝ ∂y ⎠（6.3.18）2ρ c ⎢u⎡ ∂T ∂T ⎤ ∂ ⎛ ∂T + v ⎥ = ⎜λ ∂y ⎦ ∂y ⎝ ∂y ⎣ ∂x⎞ ⎛ ∂u ⎞ µ + ⎟ ⎜ ∂y ⎟ ⎠ ⎝ ⎠（6.3.19）如果忽略能量方程中的耗散项， 上述方程组就转换为变物性流体 低速流的层流边界层对流换热微分方程。