两条直线平行或重合的条件
2-2-3-1两条直线相交、平行、重合的条件
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第二章
§2 .2
§2 .2.3 第一课时
名师一号 · 新课标B版数学 · 必修2
规律技巧 可将一般式化为斜截式，再利用斜率相等， 纵截距不等来判断两条直线是否平行，若满足，则平行，若 不满足，则相交．
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3 1 5 1 －3 解析 (1)∵15＝5，25＝5， ＝3， －1 3 5 －3 ∴ ＝ ≠ ，∴l1与l2平行． 15 25 －1 2 1 －1 1 (2)∵ ＝ ， ＝－ ， 4 2 2 2 2 －1 ∴ ≠ ，∴l1与l2不平行． 4 2
§2 .2.3 第一课时
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1．直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2. (1)若l1∥l2，则________． (2)若l1与l2相交，则________． (3)若l1与l2重合，则________． 2．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝ 0(其中A2B2C2≠0)． (1)若l1∥l2，则________． (2)若l1与l2相交，则________． (3)若l1与l2重合，则________．
答案 A
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第二章
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§2 .2.3 第一课时
10.2两条直线平行与垂直的条件
10.2.2两条直线垂直的条件
如图，当 l1 l2 时，
（1）斜率均存在时：l1 : y k1x b1 ；l2 : y k2x b2
k1
tan1
BC AB
k2
tan2
tan(π 3 )
tan3
AB BC
所以 k1 k2 1.
（2）如直线 l1 的斜率不存在，即1 90 ，则直线 l2 的倾斜
（1）斜率存在时，l1 : y k1x b1 ；l2 : y k2 x b2（ b1 b2 ）
若 1
平行；
2
0 时，则k1
k2
0，直线
y b1 和直线 y b2
若 1 2 0 时，则 k1 k2 0 ，直线 y k1x b1 和直
线 y k2x b2 平行.
（2）斜率不存在时：l1 : x x1 ，l2 : x x2（ x1 x2 ），
2．P(1,0) 是直线 l上一点，且平行于经过 A(3,5) 和 B(2, 7)两点
的直线，求直线 l 的方程.
3．直线 ax y 5 0 与直线 3x 2y c 0平行，判断 a, c
的取值.
10.2.2两条直线垂直的条件
如图：l1 l2他们的倾斜角之间满足 1 2 90 ，那么 他们的斜率之间又存在着什么样的关系呢？
解：（1）两条直线斜率都不存在，即两条直线都与 x 轴垂直，
所以 l1 / /l2 .
（2）l2 可化为y
以 l1 / /l2 .
3x 5，有 kl1
kl2
3
且 bl1
1 bl2
5，所
（3）kl1
2 3
kl2
2 3
，所以 l1与l2 相交
高考必背知识点之直线与直线平行的判定等
《直线与直线平行的判定》：1、同位角相等，两直线平行。
2、内错角相等，两直线平行。
3、同旁内角互补，两直线平行。
或者：平行于同一直线的两条直线平行。
垂直于同一直线的两直线平行。
《平面与平面平行的判定》判断两平面平行的方法(1)两平面平行的定义(2)两平面平行的判定定理(3)垂直于同一直线的两平面平行(4)平行于同一平面的两平面平行《直线平行于平面的判定》：公理一：如果一条线上的两个点在平面上则该线在平面上公理二：如果两个平面有一个公共点则它们有一条公共直线且所有的公共点都在这条直线上公理三：三个不共线的点确定一个平面推论一：直线及直线外一点确定一个平面推论二：两相交直线确定一个平面推论三：两平行直线确定一个平面公理四：和同一条直线平行的直线平行异面直线定义：不平行也不相交的两条直线判定定理：经过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线。
等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，且方向相同，那么这两个角相等线线平行→线面平行如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
线面平行→线线平行如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。
线面平行→面面平行如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
面面平行→线线平行如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
线线垂直→线面垂直如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
线面垂直→线线平行如果连条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
线面垂直→面面垂直如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
线面垂直→线线垂直线面垂直定义：如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α。
面面垂直→线面垂直如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
两条直线相交、平行与重合的条件
课堂内容展示
【复习回顾】
一、直线方程的五种形式
1.点斜式
2.斜截式:
3.截距式
4.两点式
5.一般式
二、自学课本第81页—第83页解决下列问题：（7分钟）
1.平行与垂直
若直线l1和l2有斜截式方程l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，则
（1）直线l1∥l2的充要条件是----------------
4．直2x－y＋k＝0和直线4x－2y＋1＝0的位置关系是()
A．平行B．不平行
C．平行或重合D．既不平行也不重合
5．下列说法正确的是()
A．若两条直线平行，则它们斜率相等
B．若两直线斜率相等，则它们互相平行
C．若两条直线一条直线斜率不存在，另一条斜率存在，则它们一定不平行
D．若两条直线斜率都不存在，则它们互相平行
（2）直线l1⊥l2的充要条件是——————
（3）直线l1与l2重合的充要条件是——————
（4）直线l1与l2相交的充要条件是——————
若l1和l2都没有斜率，则l1与l2平行或重合.
若l1和l2中有一条没有斜率而另一条斜率为0，则l1⊥l2.
2.若直线l1：A1x+B1y+C1=0和l2：A2x+B2y+C2=0
6.已知过A(－2，m)和B(m,4)的直线与斜率为－2的直线平行，则m的值是()
A．－8B．0
C．2D．10
7.．直线l1：x＝1与直线l2：x＝0的位置关系是()
A．相交B．平行
C．重合D．不确定
8．经过点A(1,1，)和点B(－3,2)的直线l1与过点C(4,5)和点D(a，－7)的直线l2平行，则a＝()
高一数学高效课堂资料两直线平行相交重合的条件
y 7 0, 2y 7 0
的解为
x
y
3， 1.
因此两直线相交，其交点为(3，-1).
(2)方程组
2x 6y 4 0 x 3y 2 0
有无数组解，这表明两条直线重合.
(3)方程组
2x 2x 点，这表明两
直线l3:x+2y-5=0的直线方程.
x 58,
【 点解为析( 85】，解183方)程，组又直3x线xyl35:yx1+1200y,-50=, 0得的斜y率 为18-3
, 1 2
即两直线的交 ，所以所求直
线方程为 y 13 1 (x 5)，即8x+16y+21=0.
【解题指南】1.求出各条直线的斜率，并判断它们是否相等，
注意斜率不存在的情形.
2.在已知直线的斜率的前提下求直线方程,可设直线的斜截式
方程,再利用截距之和等于12求出截距.
【解析】1.(1)k1=
1 2 2 1
1,
k2=
1 4 5， 1 3 4
∵k1≠k2,∴l1与l2不平行.
③有唯一解，所以方程组也有唯一解，此时两条
直线相交；
(2)当(m+1)(m-3)=0,而12-4m≠0，即m=-1时，方
程③无解，所以方程组也无解，此时两条直线平
行；
(3)当(m+1)(m-3)=0且12-4m=0，即m=3时，方程
③有无穷多解，所以方程组也有无穷多解，此时
两条直线重合； (4)当两条直线垂直时，有m-2+3m=0,解得
【解题指南】1.联立方程组，确定解的个数，从而判断直线的 位置关系. 2.判断两条直线的位置关系主要是通过两直线方程联立所得的 二元一次方程组的解的个数来判断.当方程组有唯一解时,两条 直线相交;当方程组无解时,两条直线平行;当方程组有无穷多 解时,两直线重合.
人教版高数必修二第9讲：两条直线的位置关系(教师版)
两条直线的位置关系一、两直线平行、相交与重合的条件1．已知两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 2i ＋B 2i ≠0，i ＝1,2)． (1)l 1与l 2相交的条件：A 1B 2-A 2B 1≠0或．(A 2B 2≠0)(2)l 1与l 2平行的条件：A 1B 2-A 2B 1=0而B 1C 2-B 2C 1≠0或A 2C 1-A 1C 2≠0; 或(A 2B 2C 2≠0(3)l 1与l 2重合的条件：A 1= A 2, B 1= B 2, C 1= C 2 ( ) 或．(A 2B 2C 2≠0)2.已知两直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2. (1)l 1∥l 2的条件：k 1＝k 2且b 1≠b 2.(2)l 1与l 2重合的条件：k 1＝k 2且b 1＝b 2. (3)l 1与l 2相交的条件：k 1≠k . 二、两直线垂直的条件1．两直线垂直的条件 (1)l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 2i ＋B 2i ≠0)， l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.(2)l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2， l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. 类型一 两条直线平行例1：判断下列各组中两条直线的位置关系．(1)l 1：y ＝3x ＋4，l 2：2x －6y ＋1＝0；(2)l 1：2x －6y ＋4＝0，l 2：y ＝x 3＋23；(3)l 1：(2－1)x ＋y ＝3，l 2：x ＋(2＋1)y ＝2； (4)l 1：x ＝5，l 2：x ＝6.解析：有两条直线的位置关系判定公式判定直线的关系.答案：(1)A 1＝3，B 1＝－1，C 1＝4；A 2＝2，B 2＝－6，C 2＝1.∵A 1A 2≠B 1B 2，∴l 1与l 2相交．(2)A 1＝2，B 1＝－6，C 1＝4；把l 2化为x －3y ＋2＝0，∴A 2＝1，B 2＝－3，C 2＝2. ∵A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2，∴l 1与l 2重合． (3)A 1＝2－1，B 1＝1，C 1＝－3；A 2＝1，B 2＝2＋1，C 2＝－2.∵A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2，∴l 1与l 2平行．(4)l 1与l 2平行．练习1：判定下列每组中所给两直线l 1与l 2的位置关系．(1)l 1：x ＋2y －3＝0，l 2：2x ＋4y ＋1＝0.(2)l 1：y ＝－3x ＋1，l 2：y ＝13x ＋2.(3)l 1：2x －3y ＋1＝0，l 2：4x －6y ＋2＝0. 答案：(1)平行 (2)相交 (3)重合 练习2：下列命题：①若直线1l 与2l 的斜率相等，则12//l l ；②若直线12//l l ，则两直线的斜率相等；③若直线12,l l 的斜率均不存在，则12//l l ；④若两直线的斜率不相等，则两直线不平行；⑤如果直线12//l l ，且1l 的斜率不存在，那么2l 的斜率也不存在．其中正确命题的序号为 ___ ．答案：④⑤例2、已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当m 为何值时，直线l 1与l 2 (1)相交；(2)平行；(3)重合．解析：充分利用条件，但要考虑直线垂直于x 轴或平行于x 轴的情况． 答案： 当m ＝0时，则l 1：x ＋6＝0，l 2：2x －3y ＝0，∴l 1与l 2相交；当m ＝2时，则l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：3y ＋4＝0， ∴l 1与l 2相交；当m ≠0，m ≠2时，A 1A 2＝1m －2，B 1B 2＝m 3，C 1C 2＝62m.当A 1A 2＝B 1B 2时，1m －2＝m3，解得m ＝－1，或m ＝3.当A 1A 2＝C 1C 2时 ，1m －2＝62m，解得m ＝3. 综上所述，(1)当m ≠－1，且m ≠3时，⎝ ⎛⎭⎪⎫A 1A 2≠B 1B 2方程组有惟一解，l 1与l 2相交； (2)当m ＝－1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫A 1A 2＝B 1B 1，A 1A 2≠C 1C 2方程组无解，l 1与l 2平行； (3)当m ＝3时，⎝ ⎛⎭⎪⎫A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2方程组有无数组解，l 1与l 2重合． 练习1：(2014·辽宁大连市第三中学高一期末测试)已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0与l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0平行，则实数a 的取值是( )A ．－1或2B ．0或1C ．－1D ．2答案：∵l 1∥l 2，∴a (a －1)－2＝0， ∴a ＝－1或2.当a ＝2时，l 1与l 2重合，∴a ＝－1.练习2：已知两直线l 1：ax ＋3y －3＝0，l 2：4x ＋(a ＋4)y ＋2＝0，若l 1∥l 2，求a 的值． 答案：当a ＝－4时，l 1：4x －3y ＋3＝0与l 2：4x ＋2＝0不平行，∴a ≠－4.∵l 1∥l 2，∴－a 3＝－4a ＋4，∴a 2＋4a －12＝0，∴a ＝2或a ＝－6.当a ＝－6时，l 1：－6x ＋3y －3＝0，即2x －y ＋1＝0，l 24x －2y ＋2＝0，即2x －y ＋1＝0， 此时l 1与l 2重合，∴a ≠－6.当a ＝2时，l 1：2x ＋3y －3＝0，l 2：4x ＋6y ＋2＝0，即2x ＋3y ＋1＝0，∴l 1∥l 2. 综上可知，a ＝2.例3：试求三条直线ax ＋y ＋1＝0，x ＋ay ＋1＝0，x ＋y ＋a ＝0构成三角形的条件． 解析：三条直线构成三角形，则任两条直线都相交，且不能相交于一点． 答案：解法一：任两条直线都相交，则a 1≠1a ，a 1≠11，故a ≠±1. 且三条直线不共点，故⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ay ＋1＝0x ＋y ＋a ＝0的交点(－1－a,1)不在ax ＋y ＋1＝0上，即a (－1－a )＋1＋1≠0，a 2＋a －2≠0，(a ＋2)(a －1)≠0，∴a ≠－2且a ≠1，综合上述结果，此三条直线构成三角形的条件是a ≠±1，a ≠－2.解法二：∵三条直线能构成三角形，∴三条直线两两相交且不共点，即任意两条直线都不平行，且三线不共点，若l 1、l 2、l 3交于一点，则l 1：x ＋y ＋a ＝0与l 2：x ＋ay ＋1＝0的交点P (－a －1,1)在l 3：ax ＋y ＋1＝0上， ∴a ·(－a －1)＋1＋1＝0，∴a ＝1或a ＝－2.若l 1∥l 2，则有1a ＝1，a ＝1.若l 1∥l 3，则有1a ＝1，a ＝1. 若l 2∥l 3，则有1a＝a ，a ＝±1.∴l 1、l 2、l 3构成三角形时，a ≠±1，a ≠－2.练习1：三条直线l 1：x ＋y ＝2，l 2：x －y ＝0，l 3：x ＋ay －3＝0能构成三角形，求实数a 的取值范围．答案：∵kl 1＝－1，kl 2＝1，∴当a ＝±1时，l 3与l 1、l 2中一条平行，此时三条直线不能构成三角形．又l 1与l 2交点为(1,1)，若点(1,1)在l 3上，则a ＝2，综上可知：a ≠2，且a ≠±1时，三条线可构成三角形．练习2：直线l 经过2320x y -+=和3420x y --=的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l 的方程．答案：由23203420x y x y -+=⎧⎨--=⎩ 得410x y =⎧⎨=⎩∴交点坐标是()14,10∵直线l 与两坐标轴围成等腰直角三角形 ∴其斜率为1± ∴所求直线的方程为：()1014y x -=±- 即40x y --=或240x y +-=类型二 两条直线垂直例4：当a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？解析：在利用k 1·k 2＝－1判定垂直关系时，一定要注意直线的斜率是否有可能不存在这一情况．答案：解法一：①当1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0显然垂直；②当2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直；③若1－a ≠0且2a ＋3≠0，则直线l 1、l 2的斜率k 1、k 2存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3.当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋21－a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －12a ＋3＝－1，∴a ＝－1. 综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.解法二：∵直线l 1⊥l 2，∴(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，解得a ＝±1. 故当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.练习1：判断下列各组中两条直线l 1与l 2是否垂直． (1)l 1：2x －y ＝0，l 2：x －2y ＝0；(2)l 1：2x －4y －7＝0，l 2：2x ＋y －5＝0； (3)l 1：2x －7＝0，l 2：6y －5＝0. 答案：(1)不垂直．∵k 1＝2，k 2＝12，∴k 1k 2＝1，故l 1与l 2不垂直． (2)垂直．k 1＝12，k 2＝－2，∴k 1k 2＝－1，故l 1⊥l 2.(3)l 1：x ＝72，l 2：y ＝56，故l 1⊥l 2.练习2：如图，直线l 1的倾斜角α1＝30°，直线l 1⊥l 2，则l 2的斜率为( )A ．－33B.33C ．－ 3D. 3 答案：C例5：若直线(a ＋2)x ＋(1－a )y ＝a 2(a >0)与直线(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直，则a 等于( )A ．1B ．－1C ．±1D ．2解析：由题意得，(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，即a 2＝1， 又∵a >0，∴a ＝1. 答案：A练习1：若直线l 1：(2a ＋5)x ＋(a －2)y ＋4＝0与直线l 2：(2－a )x ＋(a ＋3)y －1＝0互相垂直，则( )A ．a ＝2B ．a ＝－2C ．a ＝2或a ＝－2D ．a ＝2,0，－2 答案：C练习2：已知直线2ax ＋y －1＝0与直线(a －1)x ＋ay ＋1＝0垂直，则实数a 的值等于( )A.12B.32C ．0或12D ．0或32答案：C1．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0 答案：A 2．经过两条直线2x ＋y －4＝0和x －y ＋1＝0的交点，且与直线2x ＋3y －1＝0平行的直线方程是( )A ．2x ＋3y －7＝0B ．3x －2y ＋1＝0C ．2x ＋3y －8＝0D ．2x －3y ＋2＝0 答案：C3．直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，则m 的值为( )A ．2B ．－3C ．2或－3D ．－2或－3 答案：C4．直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0垂直，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．－1D ．2 答案：B5．过点P (－1,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( )A ．2x ＋y －5＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋2y －5＝0D ．x －2y ＋7＝0 答案：B6. 以A (－2,1)、B (4,3)为端点的线段的垂直平分线的方程是( )A ．3x －y ＋5＝0B ．3x －y －5＝0C ．3x ＋y －5＝0D ．3x ＋y ＋5＝0 答案：C7. l 1过点A (m,1)、B (－3,4)，l 2过点C (0,2)、D (1,1)，且l 1∥l 2，则m ＝________. 答案：08.求过直线x －y －2＝0和4x －2y －5＝0的交点且与直线2x ＋3y ＋5＝0垂直的直线方程．答案：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2＝04x －2y －5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12y ＝－32.∴过点(12，－32)且与直线2x ＋3y ＋5＝0垂直的直线方程为y ＋32＝32(x －12)，即6x －4y －9＝0._________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1．若直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点在第一象限，则实数k 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫－16，12B.⎝⎛⎭⎫－12，12C.⎝⎛⎭⎫0，12D.⎝⎛⎭⎫－∞，－16∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 答案：A2．对于直线ax ＋y －a ＝0(a ≠0)，以下说法正确的是( )A ．恒过定点，且斜率与纵截距相等B ．恒过定点，且横截距恒为定值C ．恒过定点，且与x 轴平行D ．恒过定点，且与x 轴垂直 答案：B3．和直线3x ＋4y －7＝0垂直，并且在x 轴上的截距是－2的直线方程是________________． 答案：4x －3y ＋8＝0 4．下列命题：①若两条直线平行，则其斜率必相等；②若两条直线垂直，则其斜率的乘积必是1-；③过点()1,1-且斜率为2的直线方程是121y x -=+；④同垂直于x 轴的两条直线都和y 轴平行或重合．其中真命题的由 ．答案：④5．已知三角形三顶点A (4,0)、B (8,10)、C (0,6)，求：(1)AC 边上的高所在的直线方程； (2)过A 点且平行于BC 的直线方程．答案：(1)k AC ＝6－00－4＝－32，∴AC 边上的高所在的直线的斜率k ＝23，其方程为y －10＝23(x －8)，即2x －3y ＋14＝0.(2)k BC ＝6－100－8＝12，∴过A 点且平行于BC 的直线方程为y ＝12(x －4)，即x －2y －4＝0.能力提升6．设P 1(x 1，y 1)是直线l ：f (x ，y )＝0上一点，P 2(x 2，y 2)是不在直线l 上的点，则方程f (x ，y )＋f (x 1，y 1)＋f (x 2，y 2)＝0所表示的直线与l 的关系是( )A ．平行B ．重合C ．相交D ．位置关系不确定 答案：A7. 设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|y －3x －1＝2，x 、y ∈R ，B ＝{(x ，y )|4x ＋ay －16＝0，x ，y ∈R }，若A ∩B ＝∅，则a 的值为( )A ．4B ．－2C ．4或－2D ．－4或2答案：C8. 已知直线3ax －y ＝1与直线⎝⎛⎭⎫a －23x ＋y ＋1＝0互相垂直，则a 的值是( ) A ．－1或13B ．1或13C ．－13或－1D ．－13或1答案：D 由(2m ＋1)x －(m －2)y ＋5(m ＋2)＝0，得m (2x －y ＋5)＋(x ＋2y ＋10)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋5＝0x ＋2y ＋10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4y ＝－3.故无论m 取何值，直线(2m ＋1)x －(m －2)y ＋5(m ＋2)＝0都过定点(－4，－3)．9. 无论m 取何值，直线(2m ＋1)x －(m －2)y ＋5(m ＋2)＝0都过定点________．答案：(－4，－3)10. 已知直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －5y ＋C ＝0垂直相交于点(1，m )，则a ＝________，C ＝________，m ＝________.答案：∵直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －5y ＋C ＝0垂直，∴－a 2·25＝－1，∴a ＝5.又∵点(1，m )在直线5x ＋2y －1＝0上，∴m ＝－2.又∵点(1，－2)在直线2x －5y ＋C ＝0上， ∴C ＝－12.11. 平行四边形的两邻边的方程是x ＋y ＋1＝0和3x －y ＋4＝0，对角线的交点是O ′(3,3)，求另外两边的方程．答案：建立如图所示的直角坐标系，根据⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝03x －y ＋4＝0，得顶点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，14.因为O ′是对角线AC 的中点，且O ′为(3,3)，所以顶点C 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫294，234.由x ＋y ＋1＝0知，k AB ＝－1，所以k CD ＝－1，由点斜式得y －234＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －294，即x ＋y －13＝0.因为k AD ＝3，所以k BC ＝3，由点斜式得y －234＝3⎝⎛⎭⎪⎫x －294，即3x －y －16＝0，∴另外两边的方程分别为x ＋y －13＝0,3x －y －16＝0.12.已知△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0.求：(1)顶点C 的坐标； (2)直线BC 的方程．答案：(1)设点C 的坐标为(m ，n )，∵k BH ＝12，∴k AC ＝－2，∴n －1m －5＝－2. 又点C (m ，n )在直线2x －y －5＝0上， ∴2m －n －5＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2m －n －5＝0n －1m －5＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4n ＝3.∴点C 的坐标为(4,3)．(2)设点B 的坐标为(a ，b )，则a －2b －5＝0，AB 的中点M 的坐标为(a ＋52，1＋b2)，∴2×a ＋52－1＋b2－5＝0，即2a －b －1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧a －2b －5＝02a －b －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－3.∴点B 的坐标为(－1，－3)， ∴直线BC 的方程为y －3－3－3＝x －4－1－4，即6x －5y －9＝0.。
高中数学同步教学 两条直线的位置关系 第1课时 两条直线相交、平行与重合的条件
解:法一
解方程组
x 2y 1, 2x ky 3,
得
x
y
k k
k
1
6, 4
. 4
即前两条直线的交点为(
k k
6 4
,
k
1
4
).
因为三条直线交于一点,所以第三条直线必过此交点,
故有 3k( k 6 )+4( 1 )=5,
k4
k4
解得 k=1 或 k=- 16 . 3
法二 过直线 x-2y-1=0 与 2x+ky-3=0 的交点的直线可设为 x-2y-1+λ (2x+ky-3)= 0(λ∈R),即(1+2λ)x+(kλ-2)y-1-3λ=0.由于三条直线交于
类型三 直线位置关系的综合应用
【例3】 当m为何值时,三条直线l1:4x+y-3=0与l2:x+y=0,l3:2x-3my-4=0能围成一 个三角形?
解:三条直线能围成三角形即三条直线两两相交且不共点, 所以 4×(-3m)-2≠0 且-3m-2≠0,
解得 m≠- 1 且 m≠- 2 ;
6
3
又因为 l1:4x+y-3=0 与 l2:x+y=0 的交点为(1,-1),
解:法一 设直线 l 的斜率为 k,则因 l 与直线 3x+4y+1=0 平行,所以 k=- 3 , 4
又因为 l 经过点(1,2),所以 l 的方程为 y-2=- 3 (x-1),即 3x+4y-11=0. 4
法二 设与直线 3x+4y+1=0 平行的直线的方程为 3x+4y+m=0, 又因为 l 经过点(1,2),所以 3×1+4×2+m=0, 即 m=-11, 所以所求直线 l 的方程为 3x+4y-11=0.
8.4.2两条直线平行垂直的条件
例1 已知两条直线： l1:2x-4y+7=0,l2:2x+y-5=0, 求证:l1⊥l2.
• 变式1:求过点A(2,1)且与直线2x+y10=0垂直的直线方程. • 变式2:已知直线ax+(1-a)y-3=0与直线 (a-1)x+(2a+3)y-2=0互相垂直,求a的值.
判定定理： 当直线Ｌ１和Ｌ２有斜截式方程 L1：y=k1x+b1 L2: y=k2x+b2 时，
结论：
l1 l2 a·b 0 1 k1k 2 0 即k1k 2 1
l1 l2 A1 A2 B1B2 0
④若两直线斜率都不存在,则两直线平 行. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
1. 判断下列直线对是否平行 平行
经过两点A( 2, 3), B(-1, 0)的直线 l1
经过点P(1,0)且斜率为1的直线 l2 2. 已知过A(-2, m)和B(m ,4)的直线与 斜率为-2的直线平行,则m的值为( A ) A. - 8 B. 0 C. 2 D. 10
那么L1∥L2 k1=k2且b1≠b2
l1 // l2 k1 k2且b1 b2或l1 , l2斜率都不存在且不重合
• 练习： 判断下列直线组的位置关系： • (1)l1：2x-4y+7=0，l2：x=2y-5；
•
(2)l1：x-2y+1=0， l2：3x=6y-3．
练习：求过点A(1,-4)，且与直线 2x+3y+5=0平行的直线方程。
例1 ： 两条直线L1:2x-4y+7=0，L2:x-2y+5=0求证:L1∥L2
例 2： 求过点A(1,-4)且与直线2x+3y+5=0平行的直线的方程。
两条直线位置关系以及点到直线距离公式
行()1112222220A B CA B CA B CÛ=¹¹。
3） 对于特殊情况（直线平行于x 轴或垂直于x 轴时需要单独讨论）轴时需要单独讨论） 3.相交：如果两条直线斜率不同那么必然相交与一点。
相交：如果两条直线斜率不同那么必然相交与一点。
1）斜截式：111:l y k x b =+与直线222:l y k x b =+相交12k k Û¹2）一般式：直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=相交1221A B A B Û¹ 3）对于特殊情况（如果一条直线有斜率，而另一条直线没有斜率，那么这两条直线相交）。
例1：已知直线()212:260,:110l ax y l x a y a ++=+-+-=，求适合下列条件的a的取值范围。
的取值范围。
1）1l 与2l 相交；相交； 2）12//l l ； 3）1l 与2l 重合。
重合。
两条直线位置关系以及点到直线距离公式两条直线位置关系以及点到直线距离公式一、两条直线相交、平行、重合条件一、两条直线相交、平行、重合条件1. 重合：如何两条直线重合，那么化简之后的重合：如何两条直线重合，那么化简之后的方程方程是相同的，具体为：是相同的，具体为：1） 斜截式：直线111:l y k x b =+与直线222:l y k x b =+重合1212,k k b b Û==。
2） 一般式：直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=重合()1112222220A B C A B C A B C Û==¹。
3） 对于特殊情况（直线平行于x 轴或垂直于x 轴时需要单独讨论）。
2．平行：如果两条．平行：如果两条直线斜率直线斜率相同或垂直于x 轴，并且不重合，那么这两条直线就是平行的。
备战高考数学复习考点知识与题型讲解61---两条直线的位置关系
备战高考数学复习考点知识与题型讲解第61讲 两条直线的位置关系考向预测核心素养一是利用直线方程判定两条直线的位置关系；二是利用两条直线间的位置关系求直线方程；三是综合运用直线的知识解决诸如中心对称、轴对称等常见的题目，大部分都是客观题.直观想象、数学运算一、知识梳理1．两条直线的平行与垂直 (1)两条直线平行若l 1∥l 2，则l 1与l 2的倾斜角α1与α2相等，由α1＝α2，可得tan α1＝tan α2，即k 1＝k 2.因此，若l 1∥l 2，则k 1＝k 2．(2)两条直线垂直设两条直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，则直线l 1，l 2的方向向量分别是a ＝(1，k 1)，b ＝(1，k 2)，于是l 1⊥l 2⇔a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔1×1＋k 1k 2＝0，即k 1k 2＝－1.也就是说，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1．2．两条直线的交点坐标已知两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0相交，则交点P 的坐标是方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．3．三种距离点点距点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离|P 1P 2|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2点线距点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2线线距两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2|A2＋B2常用结论1．两个充要条件(1)两条直线平行或重合的充要条件直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要条件是A1B2－A2B1＝0.(2)两条直线垂直的充要条件直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.2．三种直线系方程(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B 1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.3．四种常用对称关系(1)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)．(2)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)．(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．(4)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)．二、教材衍化1．(人A选择性必修第一册P67习题2.2 T8(3)改编)已知直线l过点(0，3)，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是( )A ．x ＋y －2＝0 B.x －y ＋2＝0 C ．x ＋y －3＝0D.x －y ＋3＝0解析：选D.依题意得直线l 的斜率为1，又直线l 过点(0，3)，所以直线l 的方程为y －3＝1×(x －0)，即x －y ＋3＝0.2．(人A 选择性必修第一册P 79习题2.3 T 9改编)若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________．解析：由⎩⎨⎧y ＝2x ，x ＋y ＝3，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2.所以点(1，2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0， 即m ×1＋2×2＋5＝0，所以m ＝－9. 答案：－93．(人A 选择性必修第一册P 79习题2.3 T 7改编)两条平行直线l 1：2x ＋3y －8＝0，l 2：2x ＋3y －10＝0之间的距离为________．解析：因为l 1∥l 2，所以由两条平行直线间的距离公式得d ＝|－8－（－10）|22＋32＝21313. 答案：21313一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( ) (2)若两直线的解析式组成的方程组有唯一解，则两直线相交．( ) (3)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k2.( ) (4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ 二、易错纠偏1．(忽略两直线平行的充要条件致误)直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m ＝( )A ．2 B.－3 C ．2或－3D.－2或－3解析：选 C.直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则有2m ＝m ＋13≠4－2，故m ＝2或m ＝－3.故选C. 2．(距离公式使用不当致误)两条平行直线3x ＋4y －12＝0与ax ＋8y ＋11＝0之间的距离为( )A.235B.2310C ．7D.72解析：选D.由题意知a ＝6，直线3x ＋4y －12＝0 可化为6x ＋8y －24＝0， 所以两平行直线之间的距离为|11＋24|36＋64＝72.3．(忽略两直线垂直的充要条件致误)已知直线l 1：ax ＋y －4＝0和l 2：2x ＋ay ＋1＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝________．解析：因为l 1⊥l 2，则2a ＋a ＝0，所以a ＝0. 答案：04．(位置关系考虑不周全致误)已知点A (3，2)和B (－1，4)到直线ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则a 的值为________．解析：由点到直线的距离公式可得|3a ＋2＋1|a 2＋1＝|－a ＋4＋1|a 2＋1，解得a ＝12或a ＝－4. 答案：12或－4考点一 两条直线的位置关系(自主练透)复习指导：能根据斜率判定两条直线的位置关系．1．(多选)(链接常用结论1)(2022·重庆调研)已知直线l 1：x ＋my －1＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋3＝0，则下列说法正确的是( )A ．若l 1∥l 2，则m ＝－1或m ＝3B ．若l 1∥l 2，则m ＝3C ．若l 1⊥l 2，则m ＝－12D ．若l 1⊥l 2，则m ＝12解析：选BD.若直线l 1∥l 2，则3－m (m －2)＝0，解得m ＝3或m ＝－1，但m ＝－1时，两直线方程分别为x －y －1＝0，－3x ＋3y ＋3＝0即x －y －1＝0，两直线重合，只有m ＝3时两直线平行，A 错误，B 正确；若l 1⊥l 2，则m －2＋3m ＝0，解得m ＝12，C 错误，D 正确．2．经过抛物线y 2＝2x 的焦点且平行于直线3x －2y ＋5＝0的直线l 的方程是( ) A ．6x －4y －3＝0 B.3x －2y －3＝0 C ．2x ＋3y －2＝0 D.2x ＋3y －1＝0解析：选A.因为抛物线y 2＝2x 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，直线3x －2y ＋5＝0的斜率为32，所以所求直线l 的方程为y ＝32⎝⎛⎭⎪⎫x －12，化为一般式，得6x －4y －3＝0.3．已知三条直线2x －3y ＋1＝0，4x ＋3y ＋5＝0，mx －y －1＝0不能构成三角形，则实数m 的取值集合为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－43，23 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－43，23，43C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫43，－23D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－43，－23，23解析：选D.由题意得直线mx －y －1＝0与2x －3y ＋1＝0或4x ＋3y ＋5＝0平行，或者直线mx －y －1＝0过2x －3y ＋1＝0与4x ＋3y ＋5＝0的交点．当直线mx －y －1＝0与2x －3y ＋1＝0或4x ＋3y ＋5＝0平行时，m ＝23或m ＝－43；当直线mx －y －1＝0过2x －3y＋1＝0与4x ＋3y ＋5＝0的交点时，m ＝－23.所以实数m 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－43，－23，23.4．(多选)(2022·葫芦岛协作校高二考试)已知A (1，2)，B (－3，4)，C (－2，0)，则( )A ．直线x －y ＝0与线段AB 有公共点 B ．直线AB 的倾斜角大于135°C ．△ABC 的边BC 上的中线所在直线的方程为y ＝2D ．△ABC 的边BC 上的高所在直线的方程为x －4y ＋7＝0 解析：选BCD.如图，因为k OA ＝2>1，k OB <0，所以直线x －y ＝0与线段AB 无公共点，A 错误；因为k AB ＝4－2－3－1＝－12>－1，所以直线AB 的倾斜角大于135°，B 正确；因为线段BC 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，2，所以BC 边上的中线所在直线的方程为y ＝2，C 正确；因为k BC ＝4－3＋2＝－4，所以BC 上的高所在直线的方程为y －2＝14(x －1)，即x －4y ＋7＝0，D 正确．(1)两条直线平行、垂直的判断方法 若已知两条直线的斜率存在．①两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等． ②两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1. [提醒] 判断两条直线位置关系应注意： 〈1〉注意斜率不存在的特殊情况．〈2〉注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件． (2)由两条直线平行与垂直求参数的值的解题策略在解这类问题时，一定要“前思后想”．“前思”就是在解题前考虑斜率不存在的可能性，是否需要分情况讨论；“后想”就是在解题后，检验答案的正确性，看是否出现增解或漏解．考点二 两条直线的交点与距离问题(多维探究)复习指导：1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．2．探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．角度1 两条直线的交点(1)对于任给的实数m ，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5都通过一定点，则该定点的坐标为( )A ．(9，－4) B.(－9，－4) C ．(9，4)D.(－9，4)(2)经过两条直线2x ＋3y ＋1＝0和x －3y ＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x ＋4y －7＝0的直线的方程为__________________．【解析】 (1)(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5即为m (x ＋2y －1)＋(－x －y ＋5)＝0，故此直线过直线x ＋2y －1＝0和－x －y ＋5＝0的交点．由⎩⎨⎧x ＋2y －1＝0，－x －y ＋5＝0得定点的坐标为(9，－4)．(2)由方程组⎩⎨⎧2x ＋3y ＋1＝0，x －3y ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－53，y ＝79，即交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，79.因为所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直， 所以所求直线的斜率为k ＝43.由点斜式得所求直线方程为y －79＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋53，即4x －3y ＋9＝0.【答案】 (1)A (2)4x －3y ＋9＝0 角度2 距离问题已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点P . (1)点A (5，0)到直线l 的距离为3，求直线l 的方程； (2)求点A (5，0)到直线l 的距离的最大值．【解】 (1)因为经过两已知直线交点的直线系方程为 2x ＋y －5＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0， 所以|10＋5λ－5|（2＋λ）2＋（1－2λ）2＝3，解得λ＝12或λ＝2.所以直线l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎨⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2，1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到直线l 的距离， 则d ≤|PA |(当l ⊥PA 时等号成立)． 所以d max ＝|PA |＝10.若将本例变为：直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点且到点A (1，0)和点B (3，4)的距离相等，求直线l 的方程．解：由⎩⎨⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0解得交点坐标为(2，1)．当AB ∥l 时，又k AB ＝2，所以直线l 的方程为y －1＝2(x －2)即2x －y －3＝0， 当l 过AB 中点时，又AB 的中点为(2，2)． 所以直线l 的方程为x ＝2.利用距离公式应注意的点(1)点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |. (2)两条平行线间的距离公式要先把两条直线方程中x ，y 的系数化为相等再利用距离公式求解．|跟踪训练|1．(多选)已知直线l 1：2x ＋3y －1＝0和l 2：4x ＋6y －9＝0，若直线l 到直线l 1的距离与到直线l 2的距离之比为1∶2，则直线l 的方程为( )A ．2x ＋3y －8＝0 B.4x ＋6y ＋5＝0 C ．6x ＋9y －10＝0 D.12x ＋18y －13＝0解析：选BD.设直线l ：4x ＋6y ＋m ＝0，m ≠－2且m ≠－9，直线l 到直线l 1和l 2的距离分别为d 1，d 2，由题知：d 1＝|m ＋2|16＋36，d 2＝|m ＋9|16＋36，因为d 1d 2＝12，所以2|m ＋2|16＋36＝|m ＋9|16＋36，即2|m ＋2|＝|m ＋9|，解得m ＝5或m ＝－133，即直线l 为4x ＋6y ＋5＝0或12x＋18y －13＝0.2．(多选)(2022·北京昌平区一中上学期期中)点(0，1)到直线y ＝k (x ＋1)的距离可能为( )A ．0 B.1 C. 2D. 3解析：选ABC.直线y ＝k ()x ＋1过点()－1，0，所以()0，1到直线y ＝k ()x ＋1的距离的最大值为()－1－02＋()0－12＝ 2.3．若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为________．解析：因为36＝48≠－125，所以两条直线平行，将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910.答案：2910考点三 对称问题(思维发散)复习指导：对称问题的核心是点关于直线的对称问题，要把握两点，点M 与点N 关于直线l 对称，则线段MN 的中点在直线l 上，且直线l 与直线MN 垂直．(链接常用结论3)已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程． 【解】 (1)设A ′(x ，y )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413.所以A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413.(2)在直线m 上取一点，如M (2，0)，则M (2，0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝613，b ＝3013，所以M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ， 则由⎩⎨⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0解得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝3，所以N (4，3)．又因为m ′经过点N (4，3)，所以由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.在本例条件下，求直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程．解：设P (x ，y )为l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )，因为P ′在直线l 上，所以2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0， 即2x －3y －9＝0.对称问题的求解策略(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解． (2)中心对称可以利用中点坐标公式，两点轴对称问题利用垂直和中点两个条件列方程解题．|跟踪训练|如图，已知A (4，0)，B (0，4)，从点P (2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )A ．3 3 B.6 C.210D.2 5解析：选C.直线AB 的方程为x ＋y ＝4，点P (2，0)关于直线AB 的对称点为D (4，2)，关于y 轴的对称点为C (－2，0)，则光线经过的路程为|CD |＝62＋22＝210.[A 基础达标]1．(2022·哈师大附中模拟)已知直线l 1：ax ＋(a ＋2)y ＋1＝0, l 2：x ＋ay ＋2＝0, 其中a ∈R, 则“a ＝－3”是“l 1⊥l 2”的()A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C ．充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选A.直线l 1⊥l 2的充要条件是a ＋(a ＋2)a ＝0， 所以a (a ＋3)＝0，所以a ＝0或a ＝－3 .故选A.2．(2022·广州期末)若直线y ＝－2x ＋3k ＋14与直线x －4y ＝－3k －2的交点位于第四象限，则实数k 的取值范围是()A ．－6＜k ＜－2 B.－5＜k ＜－3 C ．k ＜－6D.k ＞－2解析：选A.解方程组⎩⎨⎧y ＝－2x ＋3k ＋14，x －4y ＝－3k －2，得⎩⎨⎧x ＝k ＋6，y ＝k ＋2.因为直线y ＝－2x ＋3k ＋14与直线x －4y ＝－3k －2的交点位于第四象限，所以⎩⎨⎧k ＋6＞0，k ＋2＜0，解得－6＜k ＜－2.3．已知直线l ：ax ＋by ＋c ＝0与直线l ′关于直线x ＋y ＝0对称，则l ′的方程为()A ．bx ＋ay －c ＝0 B.ay －bx －c ＝0 C ．ay ＋bx ＋c ＝0 D.ay －bx ＋c ＝0解析：选A.在l 的方程中以－x 代替y ，以－y 代替x ，即得l ′的方程．直线ax ＋by ＋c ＝0关于直线x ＋y ＝0对称的直线l ′的方程是a (－y )＋b (－x )＋c ＝0，即bx ＋ay －c ＝0.4．(2022·亳州市质量检测)若动点M ()x 1，y 1，N ()x 2，y 2分别在直线x ＋y ＋7＝0与直线x ＋y ＋5＝0上移动，则MN 的中点P 到原点距离的最小值为()A ．2 3 B.3 3 C.3 2D.2 2解析：选C.由题意知，MN 的中点P 的轨迹为平行于两直线且到两直线距离相等的直线，故其方程为x ＋y ＋6＝0，所以P 到原点的距离的最小值为d ＝612＋12＝3 2. 5．(多选)(2022·宜昌市夷陵中学检测)已知直线l 的一个方向向量为u ＝(－36，12)，且l 经过点()1，－2，则下列结论中正确的是() A ．l 的倾斜角等于150° B ．l 在x 轴上的截距等于233C ．l 与直线3x －3y ＋2＝0垂直D ．l 与直线3x ＋y ＋2＝0平行解析：选CD.因为直线l 的一个方向向量为u ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，12，所以直线l 的斜率为k ＝12－36＝－3，设直线的倾斜角为α(α∈[0°，180°))，则tan α＝－3，所以α＝120°，所以A错误；因为l经过点()1，－2，所以直线l的方程为y＋2＝－3(x－1)，令y＝0，则x＝－233＋1，所以l在x轴上的截距为－233＋1，所以B错误；因为直线3x－3y＋2＝0的斜率为33，直线l的斜率为－3，所以－3×33＝－1，所以l与直线3x－3y＋2＝0垂直，所以C正确；因为直线3x＋y＋2＝0的斜率为－3，直线l的斜率也为－3，且两直线截距不相等，故两直线平行，所以D正确．6．过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为________．解析：过两直线交点的直线系方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，代入原点坐标，求得λ＝－45，故所求直线方程为x－3y＋4－45(2x＋y＋5)＝0，即3x＋19y＝0.答案：3x＋19y＝07．已知点P(m，n)是直线2x＋y＋5＝0上的任意一点，则（m－1）2＋（n＋2）2的最小值为________．解析：因为点P(m，n)是直线2x＋y＋5＝0上的任意一点，所以（m－1）2＋（n＋2）2的最小值为点(1，－2)到直线2x＋y＋5＝0的距离，即最小值为d＝|2－2＋5|22＋12＝ 5.所以（m－1）2＋（n＋2）2的最小值为 5.答案： 58．已知直线l1：ax＋y＋3a－4＝0和l2：2x＋(a－1)y＋a＝0，则原点到l1的距离的最大值是________；若l1∥l2，则a＝________．解析：直线l1：ax＋y＋3a－4＝0等价于a(x＋3)＋y－4＝0，则直线过定点A(－3，4)，当原点到l1的距离最大时，满足OA⊥l1，此时原点到l1的距离的最大值为|OA|＝（－3）2＋42＝5.若a ＝0，则两直线方程为y －4＝0和2x －y ＝0，不满足直线平行； 若a ＝1，则两直线方程为x ＋y －1＝0和2x ＋1＝0，不满足直线平行；当a ≠0且a ≠1时，若两直线平行，则a 2＝1a －1≠3a －4a ，由a 2＝1a －1得a 2－a －2＝0，解得a ＝2或a ＝－1. 当a ＝2时，a 2＝3a －4a，舍去， 当a ＝－1时，a 2≠3a －4a，成立，即a ＝－1. 答案：5 －19．已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且直线l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 解：(1)因为l 1⊥l 2，所以a (a －1)－b ＝0. 又因为直线l 1过点(－3，－1)， 所以－3a ＋b ＋4＝0.故a ＝2，b ＝2. (2)因为直线l 2的斜率存在，l 1∥l 2， 所以直线l 1的斜率存在． 所以a b＝1－a .①又因为坐标原点到这两条直线的距离相等， 所以l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b .②联立①②可得a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.10．已知四边形ABCD 为平行四边形，A (0，3)，B (4，1)，D 为边AB 的垂直平分线与x 轴的交点．(1)求点C 的坐标；(2)一条光线从点D 射出，经直线AB 反射，反射光线经过CD 的中点E ，求反射光线所在直线的方程．解：(1)如图，设AB 中点为M ，则M (2，2)， 由AB 的垂直平分线与x 轴交于点D ， 可知k MD ·k AB ＝－1， 因为k AB ＝1－34－0＝－12，所以k MD ＝2， 所以直线MD 的方程为y －2＝2(x －2)，即y ＝2x －2. 令y ＝0，则x ＝1，所以D 点的坐标为(1，0)． 又因为四边形ABCD 为平行四边形，设C (a ，b )，因为＝，即(a －1，b )＝(4，－2)，所以a ＝5，b ＝－2，即点C 的坐标为(5，－2)．(2)由(1)知，直线AB 的方程为x ＋2y －6＝0， 如图，设点D 关于直线AB 的对称点为D ′(m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n －0m －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，m ＋12＋2·n2－6＝0，整理可得⎩⎨⎧2m －n －2＝0，m ＋2n －11＝0，解得⎩⎨⎧m ＝3，n ＝4，所以D ′(3，4)， 又因为CD 的中点E 的坐标为E (3，－1)，因此，反射光线所在直线D ′E 的方程为x ＝3.[B 综合应用]11．(多选)(2022·重庆市永川景圣中学月考)下列说法正确的是() A ．过点P ()1，2且在x ，y 轴截距相等的直线方程为x ＋y －3＝0 B ．直线y ＝3x －2在y 轴上的截距为－2 C ．直线3x ＋y ＋1＝0的倾斜角为60°D ．过点()－1，2且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为2x ＋y ＝0解析：选BD.过点P ()1，2且在x ，y 轴截距相等的直线方程为x ＋y －3＝0和y ＝2x ，A 错误；取x ＝0，y ＝－2，则直线y ＝3x －2在y 轴上的截距为－2，B 正确； 直线3x ＋y ＋1＝0的斜率为k ＝－3，倾斜角为120°，C 错误；垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程斜率为k ＝－2，过点()－1，2的直线方程为y ＝－2()x ＋1＋2＝－2x ，即2x ＋y ＝0，D 正确．12．(2022·山东省精英对抗赛)直线ax ＋y ＋3a －1＝0恒过定点N ，则直线2x ＋3y －6＝0关于点N 对称的直线方程为()A ．2x ＋3y －12＝0 B.2x ＋3y ＋12＝0 C ．2x －3y ＋12＝0 D.2x －3y －12＝0解析：选B.由ax ＋y ＋3a －1＝0可得a (x ＋3)＋y －1＝0， 令⎩⎨⎧x ＋3＝0，y －1＝0，可得x ＝－3，y ＝1，所以N (－3，1)． 设直线2x ＋3y －6＝0关于点N 对称的直线方程为2x ＋3y ＋c ＝0(c ≠－6)． 则|－6＋3－6|4＋9＝|－6＋3＋c |4＋9，解得c ＝12或c ＝－6(舍去)．所以所求直线方程为2x ＋3y ＋12＝0，故选B.13．(2022·宝鸡模拟)光线沿着直线y ＝－3x ＋b 射到直线x ＋y ＝0上，经反射后沿着直线y ＝ax ＋2射出，则有()A ．a ＝13，b ＝6B.a ＝－3，b ＝16C ．a ＝3，b ＝－16 D.a ＝－13，b ＝－6解析：选D.由题意，直线y ＝－3x ＋b 与直线y ＝ax ＋2关于直线y ＝－x 对称， 所以直线y ＝ax ＋2上的点(0，2)关于直线y ＝－x 的对称点(－2，0)在直线y ＝－3x ＋b 上，所以(－3)×(－2)＋b ＝0，所以b ＝－6，所以直线y ＝－3x －6上的点(0，－6)关于直线y ＝－x 的对称点(6，0)在直线y ＝ax ＋2上，所以6a ＋2＝0， 所以a ＝－13.14．(2022·乳山市第一中学月考)从点A (2，3)射出的光线沿与向量a ＝(8，4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在直线的方程为________．解析：点A ()2，3关于y 轴的对称点为()－2，3， 由于入射光线与a ＝(8，4)平行， 所以反射光线的斜率是－48＝－12，所以反射光线所在直线方程为y －3＝－12(x ＋2)，即x ＋2y －4＝0.答案：x ＋2y －4＝0[C 素养提升]15．已知方程(2＋λ)x －(1＋λ)y －2(3＋2λ)＝0与点P (－2，2)．(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；(2)证明：该方程表示的直线与点P 的距离d 小于4 2.解：(1)显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线．因为方程可变形为2x －y －6＋λ(x －y －4)＝0，所以⎩⎨⎧2x －y －6＝0，x －y －4＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－2，故直线经过的定点为M (2，－2)．(2)证明：过点P 作直线的垂线段PQ ，由垂线段小于斜线段知|PQ |≤|PM |，当且仅当Q 与M 重合时，|PQ |＝|PM |，此时对应的直线方程是y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0. 但直线系方程唯独不能表示直线x －y －4＝0， 所以M 与Q 不可能重合，|PM |＝42， 所以|PQ |<42，故所证成立． 16.如图所示，m ，n ，l 是三条公路，m 与n 是互相垂直的，它们在O 点相交，l 与m ，n 的交点分别是M ，N ，且|OM |＝4，|ON |＝8，工厂A 在公路n 上，|OA |＝2，工厂B 到m ，n 的距离分别为2，4.货车P 在公路l 上．(1)要把工厂A ，B 的物品装上货车P ，问：P 在什么位置时，搬运工走的路程最少？ (2)P 在什么位置时，工厂B 搬运工与工厂A 搬运工走的路程差距最多？(假设货物一次性搬运完)解：以m ，n 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系(图略)，则有A (2，0)，B (－2，－4)，M (0，4)，N (－8，0)，故公路l 所在的直线方程为x －2y ＋8＝0.(1)P 在什么位置时，搬运工走的路程最少，即求|PA |＋|PB |的值最小时P 的位置． 设点A 关于直线l 的对称点A ′(m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n －0m －2＝－2，m ＋22－2×n ＋02＋8＝0，解得⎩⎨⎧m ＝－2，n ＝8，所以A ′(－2，8)． 又P 为直线l 上的一点，则|PA |＋|PB |＝|PA ′|＋|PB |≥|A ′B |，当且仅当B ，P ，A ′三点共线时等号成立，此时|PA |＋|PB |取得最小值|A ′B |，点P 就是直线A ′B 与直线l 的交点．联立⎩⎨⎧x ＝－2，x －2y ＋8＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝3，所以P (－2，3)．(2)由题意可知，原问题等价于求点P 的位置，使||PB |－|PA ||的值最大．A ，B 两点在直线的同侧，P 是直线上的点，则||PB |－|PA ||≤|AB |，当且仅当A ，B ，P 三点共线时等号成立，此时||PB |－|PA ||取得最大值|AB |，点P 即为直线l 与直线AB 的交点．又直线AB 的方程为y ＝x －2，由⎩⎨⎧y ＝x －2，x －2y ＋8＝0，得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝10，所以P (12，10)．。
两条直线的位置关系(1)两条直线的相交、平行与重合
Ax+By+m=0(m≠C),代入已知条件求出m即可.
当堂达标
堂达标
1.判断下列各对直线是否平行 : （p91练习A）
(1) 3x+4y-5=0, 6x+8y-7=0
平行
(2) y=3x+4, 2y-6x+1=0
平行
(3) x=3, 3x+5=0
平行
(4) x+y=0 , x-y=0
不平行
2.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方
程是(
)
A.x-2y-1=0
B.x-2y+1=0
C.2x+y-2=0
D.x+2y-1=0
解析:因为所求直线与直线x-2y-2=0平行,所以所求
直线斜率k= 12 ,排除C,D.又直线过点(1,0),排除B.
答案:A
课堂小结
判断两直线位置关系的解法有三种:
一是根据方程组的解的个数判定;
二是根据方程的系数间的关系判定;
三是化成斜截式方程判定.
作业布置
P91练习A1，2，3
感谢观看
(方法二)(1)因为 A1=4,B1=3,C1=-2,A2=1,B2=2,C2=2,
所以 A1B2-A2B1=4×2-1×3=5≠0,所以两直线相交.
4 + 3-2 = 0,
= 2,
解方程组
得
= -2,
+ 2 + 2 = 0,
所以两直线的交点坐标为(2,-2).
1
(2)因为 A1=1,B1=2,C1=-2,A2=2,B2=4,C2=-1,所以 A1B2-A2B1=1×41
典例解析
高考数学一轮复习第八章解析几何第二讲两条直线的位置关系学案含解析新人教版
第二讲 两条直线的位置关系知识梳理·双基自测知识梳理知识点一 两条直线的位置关系平面内两条直线的位置关系包括__平行、相交、重合__三种情况． (1)两条直线平行对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，且b 1≠b 2． 对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0， l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)． (2)两条直线垂直对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1．对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1⊥l 2⇔__A 1A 2＋B 1B 2＝0__． 知识点二 两条直线的交点直线l 1和l 2的交点坐标即为两直线方程组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．相交⇔方程组有__唯一解__； 平行⇔方程组__无解__； 重合⇔方程组有__无数个解__． 知识点三 三种距离公式(1)平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2． 特别地，原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2． (2)点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2．(3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2． 归纳拓展1．求解距离问题的规律运用点到直线的距离公式时，需把直线方程化为一般式；运用两平行线间的距离公式时，需先把两平行线方程中x ，y 的系数化为相同的形式．2．对称问题的求解规律(1)中心对称：转化为中点问题处理．(2)轴对称：转化为垂直平分线问题处理．特殊地：点P (a ，b )关于直线x ＋y ＋m ＝0对称的点坐标为(－b －m ，－a －m )，点P (a ，b )关于直线x －y ＋m ＝0对称的点坐标为(b －m ，a ＋m )．双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若两直线的斜率相等，则两直线平行，反之，亦然．( × )(2)如果两条直线l 1与l 2垂直，那么它们的斜率之积一定等于－1．( × )(3)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0．( √ )(4)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k 2．( × )(5)若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k ，且线段AB 的中点在直线l 上．( √ )题组二 走进教材2．(课本习题改编)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( A ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝03．(必修2P 110B 组T2)已知点(a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( C ) A ． 2 B ．2－ 2 C ．2－1D ．2＋1[解析] 由题意得|a －2＋3|1＋1＝1．解得a ＝－1＋2或a ＝－1－2． ∵a ＞0，∴a ＝－1＋2． 题组三 走向高考4．(2020·高考全国Ⅲ)点(0，－1)到直线y ＝k (x ＋1)距离的最大值为( B ) A ．1 B ． 2 C ． 3D ．2 [解析] 解法一：由y ＝k (x ＋1)可知直线过定点P (－1,0)，设A (0，－1)，当直线y ＝k (x ＋1)与AP 垂直时，点A 到直线y ＝k (x ＋1)距离最大，即为|AP |＝2，故选B ．解法二：因为点(0，－1)到直线y ＝k (x ＋1)距离d ＝|1＋k |k 2＋1＝k 2＋2k ＋1k 2＋1＝1＋2k k 2＋1；∵要求距离的最大值，故需k ＞0；可得d ＝1＋2k ＋1k≤2，当且仅当k ＝1时取等号，故选B ．5．(2018·全国)坐标原点关于直线x －y －6＝0的对称点的坐标为__(6，－6)__．[解析] 设坐标原点关于直线x －y －6＝0的对称点的坐标为(a ，b )，则⎩⎨⎧ba ×1＝－1a 2－b2－6＝0，解得a ＝6，b ＝－6，∴坐标原点关于直线x －y －6＝0的对称点的坐标为(6，－6)．考点突破·互动探究考点一 两条直线平行、垂直的关系——自主练透例1 (1)(2021·高安期中)经过抛物线y 2＝2x 的焦点且平行于直线3x －2y ＋5＝0的直线l 的方程是( A )A ．6x －4y －3＝0B ．3x －2y －3＝0C ．2x ＋3y －2＝0D ．2x ＋3y －1＝0(2)“m ＝3”是“直线l 1：2(m ＋1)x ＋(m －3)y ＋7－5m ＝0与直线l 2：(m －3)x ＋2y －5＝0垂直”的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(3)(2021·青岛调研)直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m ＝( C ) A ．2 B ．－3 C ．2或－3D ．－2或－3(4)等腰直角三角形斜边的中点是M (4,2)，一条直角边所在直线的方程为y ＝2x ，则另外两边所在直线的方程为__x －3y ＋2＝0、x ＋2y －14＝0__．[解析] (1)因为抛物线y 2＝2x 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0，直线3x －2y ＋5＝0的斜率为32，所以所求直线l 的方程为y ＝32⎝⎛⎭⎫x －12，化为一般式，得6x －4y －3＝0． (2)由l 1⊥l 2，得2(m ＋1)(m －3)＋2(m －3)＝0，∴m ＝3或m ＝－2，∴m ＝3是l 1⊥l 2的充分不必要条件．(3)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m (m ＋1)＝6，4m ≠－4，解得m ＝2或－3．故选C ．(4)设斜边所在直线的斜率为k ，由题意知tan π4＝2－k 1＋2k ＝1，∴k ＝13，∴斜边所在直线方程为y －2＝13(x －4)，即x －3y ＋2＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x x －3y ＋2＝0可知A ⎝⎛⎭⎫25，45， ∴A 关于M 的对称点B ⎝⎛⎭⎫385，165，∴另一条直角边的方程为y －165＝－12⎝⎛⎭⎫x －385， 即x ＋2y －14＝0，故填x －3y ＋2＝0、x ＋2y －14＝0．名师点拨(1)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论． 〔变式训练1〕(1)(2021·吉林长春模拟)曲线f (x )＝2sin x 在x ＝π3处的切线与直线ax ＋y －1＝0垂直，则a＝__1__．(2)(2012·浙江)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y ＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0”平行的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)由题得f ′(x )＝2cos x ，∴k ＝f ′⎝⎛⎭⎫π3＝1．所以1×(－a )＝－1，∴a ＝1． (2)l 1∥l 2⇔a 2＋a －2＝0⇔a ＝1或－2，∴a ＝1是l 1∥l 2的充分不必要条件．故选A ． 考点二 两直线的交点、距离问题——师生共研例2 (1)两条垂直直线l 1：2x ＋y ＋1＝0与l 2：ax ＋4y －6＝0的交点到原点的距离为__2__．(2)已知点P (2，－1)．①求过点P 且与原点的距离为2的直线l 的方程；②求过点P 且与原点的距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？③是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．(3)(2020·上海)已知直线l 1：x ＋ay ＝1，l 2：ax ＋y ＝1，若l 1∥l 2，则l 1与l 2的距离为__2__． [解析] (1)kl 1＝－2，kl 2＝－a 4，由l 1⊥l 2知－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4＝－1，∴a ＝－2，∴l 2：x －2y ＋3＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋1＝0x －2y ＋3＝0得交点A (－1，1)，∴|AO |＝2． (2)①过点P 的直线l 与原点的距离为2，而点P 的坐标为(2，－1)，显然，过点P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件，此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2． 若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)， 即kx －y －2k －1＝0．由已知得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34．此时l 的方程为3x －4y －10＝0．综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0．②作图可得过点P 与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线，如图．由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1， 所以k l ＝－1k OP＝2．由直线方程的点斜式，得y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0．所以直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝5．③由②可知，过点P 不存在到原点的距离超过5的直线，因此不存在过点P 且到原点的距离为6的直线．(3)直线l 1：x ＋ay ＝1，l 2：ax ＋y ＝1， 当l 1∥l 2时，a 2－1＝0，解得a ＝±1； 当a ＝1时l 1与l 2重合，不满足题意； 当a ＝－1时l 1∥l 2，此时l 1：x －y －1＝0，l 2：x －y ＋1＝0； 则l 1与l 2的距离为d ＝|－1－1|12＋(－1)2＝2．名师点拨距离的求法(1)点到直线的距离：可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式． (2)两平行直线间的距离：①利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；②利用两平行线间的距离公式．提醒：在应用两条平行线间的距离公式时，应把直线方程化为一般形式，且使x 、y 的系数分别相等．〔变式训练2〕(1)(2021·西南名校联盟联考)设直线l 1：3x －y －1＝0与直线l 2：x ＋2y －5＝0的交点为A ，则A 到直线l ：x ＋by ＋2＋b ＝0的距离的最大值为( C )A ．4B ．10C ．3 2D ．11(2)已知两点A (3,2)和B (－1,4)到直线mx ＋y ＋3＝0距离相等，则m 的值可以为( C ) A ．－6或12B ．－12或1C ．12或－6D ．1或－6(3)(2021·绵阳模拟)若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( C )A ．95B ．185C ．2910D ．295[解析] (1)解法一：显然l 1与l 2的交点A (1,2)，又直线l 过点B (－2，－1)，∴所求最大距离为|AB |＝32，故选C ．解法二：显然l 1与l 2的交点为A (1,2)，则A 到直线l 的距离d ＝|1＋2b ＋2＋b |1＋b 2＝31＋b 2＋2b1＋b 2＝31＋2b 1＋b 2≤32(当且仅当b ＝1时取等号)，故选C ． (2)直线mx ＋y ＋3＝0与直线AB 平行或过AB 中点，∴－m ＝4－2－1－3＝－12，即m ＝12；AB中点(1,3)，∴m ＋3＋3＝0即m ＝－6，故选C ．(3)因为36＝48≠－125，所以两直线平行，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910．考点三,对称问题——多维探究 角度1 线关于点的对称例3 (2021·河北五校联考)直线ax ＋y ＋3a －1＝0恒过定点M ，则直线2x ＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为( D )A ．2x ＋3y －12＝0B ．2x －3y －12＝0C ．2x －3y ＋12＝0D ．2x ＋3y ＋12＝0[解析] 由ax ＋y ＋3a －1＝0，可得y －1＝－a (x ＋3)，所以M (－3,1)，M 不在直线2x ＋3y －6＝0上，设直线2x ＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为2x ＋3y ＋c ＝0(c ≠－6)，则|－6＋3－6|4＋9＝|－6＋3＋c |4＋9，解得c ＝12或c ＝－6(舍去)，所以所求方程为2x ＋3y ＋12＝0，故选D ．另解：在直线2x ＋3y －6＝0上取点A (0,2)、B (3,0)，则A 、B 关于M 的对称点分别为A ′(－6,0)，B ′(－9,2)，又k A ′B ′＝2－0－9－(－6)＝－23，故所求直线方程为y ＝－23(x ＋6)，即2x ＋3y＋12＝0．故选D ．角度2 点关于线的对称例4 (2021·长沙一模)已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为__6x －y －6＝0__．[解析] 设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎨⎧b －4a －(－3)＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0．又反射光线经过点N (2，6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0． (代入法)当x ＝－3时，由x －y ＋3＝0得y ＝0， 当y ＝4时，由x －y ＋3＝0得x ＝1． ∴M (－3,4)关于直线l 的对称点为M ′(1,0)．又k NM ′＝6－02－1＝6，∴所求直线方程为y ＝6(x －1)，即6x －y －6＝0．[引申]本例中入射光线所在直线的方程为__x －6y ＋27＝0__．[解析] N (2,6)关于直线l 的对称点N ′(3,5)，又k MN ′＝5－43－(－3)＝16，∴所求直线方程为y－4＝16(x ＋3)，即x －6y ＋27＝0．角度3 线关于线的对称例5 (2021·合肥模拟)已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0．若直线l 2与l 1关于l 对称，则l 2的方程是( B )A ．x －2y ＋1＝0B ．x －2y －1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋2y －1＝0[解析] 解法一：因为l 1与l 2关于l 对称，所以l 1上任一点关于l 的对称点都在l 2上，故l 与l 1的交点(1,0)在l 2上．又易知(0，－2)为l 1上一点，设它关于l 的对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋02－y －22－1＝0，y ＋2x ×1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，即(1,0)，(－1，－1)为l 2上两点，可得l 2的方程为x －2y －1＝0．解法二：在l 1上取两点A (0，－2)，B (1,0)，则A 、B 关于l 的对称点分别为A ′(－1，－1)，B ′(1,0)，∴k A ′B ′＝0－(－1)1－(－1)＝12．∴l 2的方程为y －0＝12(x －1)，即x －2y －1＝0．故选B ．解法三：设P (x ，y )是直线l 2上任一点，则P 关于直线l 的对称点为P ′(y ＋1，x －1)，又P ′∈l 1，∴2(y ＋1)－(x －1)－2＝0，即直线l 2的方程为x －2y －1＝0．故选B ．名师点拨对称问题的解法以光线反射为代表的很多实际问题，都可以转化为对称问题，关于对称问题，一般常见的有：(1)中心对称①点P (x ，y )关于O (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y .②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点A ′(m ，n )，则有⎩⎨⎧n －bm －a×(－AB )＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．特别地，当对称轴的斜率为±1时，可类比关于y ＝x 的对称问题采用代入法，如(1,3)关于y ＝x ＋1的对称点为(3－1，1＋1)，即(2,2)．〔变式训练3〕已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)(角度2)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)(角度3)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)(角度1)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程． [解析] (1)设A ′(x ，y )，由已知条件得⎩⎨⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413.∴A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413． (2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设对称点M ′(a ，b )，则⎩⎨⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，得M ′⎝⎛⎭⎫613，3013．设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)． 又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0．(3)设P (x ，y )在l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )， ∵点P ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0．名师讲坛·素养提升巧用直线系求直线方程例6 (1)求证：动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0(其中m ∈R )恒过定点，并求出定点坐标；(2)求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程．[解析] (1)证明：解法一：令m ＝0，则直线方程为3x ＋y ＋1＝0．再令m ＝1时，直线方程为6x ＋y ＋4＝0． ①和②联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y ＋1＝0，6x ＋y ＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.将点A (－1,2)的坐标代入动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0中，(m 2＋2m ＋3)×(－1)＋(1＋m －m 2)×2＋3m 2＋1＝(3－1－2)m 2＋(－2＋2)m ＋2＋1－3＝0，故动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0恒过定点A ．解法二：将动直线方程按m 降幂排列整理，得m 2(x －y ＋3)＋m (2x ＋y )＋3x ＋y ＋1＝0，① 不论m 为何实数，①式恒为零，∴有⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋3＝0，2x ＋y ＝0，3x ＋y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2. 故动直线恒过点A (－1,2)．(2)解法一：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得P (0,2)． 因为l 3的斜率为34，且l ⊥l 3，所以直线l 的斜率为－43， 由斜截式可知l 的方程为y ＝－43x ＋2， 即4x ＋3y －6＝0．解法二：设所求直线方程为4x ＋3y ＋m ＝0，将解法一中求得的交点P (0,2)代入上式可得m ＝－6，故所求直线方程为4x ＋3y －6＝0．解法三：设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0，即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0．又∵l ⊥l 3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0，解得λ＝11．∴直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0．[引申]若将本例(2)中的“垂直”改为“平行”，则直线l 的方程为__3x －4y ＋8＝0__．名师点拨]1．确定方程含参数的直线所过定点的方法：(1)将直线方程写成点斜式y －y 0＝f (λ)(x －x 0)，从而确定定点(x 0，y 0)．(2)将直线方程整理成关于参数的方程，由方程中各项系数及常数项为0确定定点．(3)给参数取两个不同值，再解直线方程构成的方程组，从而确定定点坐标．2．直线系的主要应用(1)共点直线系方程：经过两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，其中A 1B 2－A 2B 1≠0，待定系数λ∈R ．在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，因此它不能表示直线l 2．(2)过定点(x 0，y 0)的直线系方程为y －y 0＝k (x －x 0)(k 为参数)及x ＝x 0．(3)平行直线系方程：与直线y ＝kx ＋b 平行的直线系方程为y ＝kx ＋m (m 为参数且m ≠b )；与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋λ＝0(λ≠C ，λ是参数)．(4)垂直直线系方程：与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋λ＝0(λ为参数)．如果在求直线方程的问题中，有一个已知条件，另一个条件待定时，那么可选用直线系方程来求解．〔变式训练4〕(1)(2021·启东模拟)不论m 为何值时，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过定点( D )A ．⎝⎛⎭⎫1，－12 B ．(－2,0) C ．(2,3) D ．(9，－4)(2)与直线l ：5x －12y ＋6＝0平行且到l 的距离为2的直线的方程是__5x －12y ＋32＝0或5x －12y －20＝0__．[解析] (1)解法一：由(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5，得(x ＋2y －1)m －(x ＋y －5)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，x ＋y －5＝0，得定点坐标为(9，－4)，故选D ． 解法二：令m ＝1，则y ＝－4；令m ＝12，则－12x ＝－92，即x ＝9，∴直线过定点(9，－4)，故选D ． 解法三：将直线方程化为(2m －1)(y ＋a )＝(1－m )(x ＋b )，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝－52a ＋b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝－9，∴y ＋4＝1－m 2m －1(x －9)，故直线过点(9，－4)，故选D ．(2)设所求直线的方程为5x－12y＋c＝0，则|c－6|52＋122＝2，解得c＝32或－20，故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0．。
两直线的位置关系
例 3 求经过两条直线 2x＋3y＋1＝0 和 x－3y＋4＝0 的交 点，并且垂直于直线 3x＋4y－7＝0 的直线方程．
【思路】 (1)先求两条直线的交点坐标，再由两线的垂直 关系得到所求直线的斜率，最后由点斜式可得所求直线方程． (2)因为所求直线与直线 3x＋4y－7＝0 垂直， 两条直线的斜 率互为负倒数，所以可设所求直线方程为 4x－3y＋m＝0，将两 条直线的交点坐标代入求出 m 值，就得到所求直线方程．
5 7 ∴交点为(－ ， )． 3 9
∵所求直线与 3x＋4y－7＝0 垂直， 4 ∴所求直线的斜率 k＝ . 3 7 4 5 由点斜式，得 y－ ＝ (x＋ )． 9 3 3 故所求直线的方程为 4x－3y＋9＝0.
方法二 设所求直线的方程为 4x－3y＋m＝0. 5 x＝－3， 将方法一中求得的交点坐标 y＝7. 9 5 7 代入上式得 4· (－ )－3·＋m＝0. 3 9 ∴m＝9.代入所设方程． 故所求直线的方程为 4x－3y＋9＝0.
1 2 【答案】 a＝2，垂足坐标为( ，－ )或 a＝－3，垂足坐 2 3 9 2 标为(－ ， ) 17 17
例 2
(2013· 北京东城区)若 O(0,0)，A(4，－1)两点到直线
ax＋a2y＋6＝0 的距离相等，则实数 a＝________.
|4a－a2＋6| 6 2 【解析】 由题意，得 2 4＝ ，即 4 a － a ＋ 2 4 a ＋a a ＋a 6＝± 6，解之得 a＝0 或－2 或 4 或 6.检验得 a＝0 不合题意，所 以 a＝－2 或 4 或 6.
(1)当 m＝4 时，直线 l1 的方程为 4x＋8y＋n＝0，把 l2 的方 程写成 4x＋8y－2＝0. |n＋2| ∴ ＝ 5，解得 n＝－22 或 n＝18. 16＋64 所以，所求直线的方程为 2x＋4y－11＝0 或 2x＋4y＋9＝0.
平行线的判定、性质公理及定理
你有几种方法。
1.如图 6-21,已知Z B =142平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
考点一平行线的判定：1两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 2. 两直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.3. 两直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 注意：证明两直线平行，关键是找到与特征结论相关的角 例1.如下图，当/1= /时，直线a 、b 平行吗？当/ 2+ / 3=180 °时，直线a b 平行吗？为什么?例2 •请将下面的空补充完整1. ___________________________ 如右图，若/ 1= / 2，则 ____________________________________ // _______若/ 3= Z 4,则 _______________ // ___________ ( 若/ 5= /B ,贝U __________ / _____________ ( 若 / D + Z DAB =180 ° , 贝U __( )2.如右图，Z 1+ Z 2=180。
(已知)Z 3+ Z 2=180 °()/•Z 1= _________••• AB // CD ()课堂练习：,启FE =38 ° , ZEFD =40 ° , ZD=1402.已知，如下图(1), (2),直线AB // ED . 求证：ZABC +Z CDE =Z BCD .求证：AB // C D .3.如图，如果AB// CD,求角(1) ( 2)4.如图，已知CD是/ ACB的平分线，/求：/ EDC和 / BDC的度数。
ACB = 50 / B = 7C°, DE // BC,达标训练：一•选择题1 .下列命题中，不正确的是(A .两条直线被第三条直线所截，B .两条直线被第三条直线所截，C.两条直线被第三条直线所截，)如果同位角相等，那么这两条直线平行如果同旁内角互补，那么这两条直线平行那么这两条直线平行D .如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行2. 如右图，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件：(1) Z 1= Z 2,其中能判定a//A. (1)(3)3. 如右图，如果ZA . AD // BC C.Z 3= Z4(2) / 3= / 6, (3) / 4+ / 7=180b的条件是()B.⑵⑷C. (1)(3)(4) D .1= / 2，那么下面结论正确的是(B. AB / CDD. Z A=Z C(,(4) Z 5+ Z(1)⑵⑶⑷))8=1804 .一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来) 的方向相同，这两次拐弯的角度可能是(A.第一次向右拐40 °，第二次向左拐40 °B.第- 次向右拐50 °，第二次向左拐130C.第- 次向右拐50 °，第二次向右拐130D.第一次向左拐50 °，第二次向左拐130填空题o o o求证.AB / CD .5.如右图，/ 1= / 2= / 3，则直线、12、l a 的关系是 ______________6•如果两条直线被第三条直线所截，一组同旁内角的度数之比为3 : 2，差为36。
平行线与垂直线的判定条件
平行线与垂直线的判定条件直线是几何学中最基本的概念之一，而平行线和垂直线又是直线中的两个重要特殊情况。
判定两条直线是否平行或垂直是解决几何问题时的关键步骤之一。
本文将介绍平行线与垂直线的判定条件，并对其进行详细解析。
一、平行线的判定条件在平面几何中，判定两条直线是否平行的条件有多种，常见的有以下几种：1. 相交角定理判定法当两条直线被一条截线所分成四个角时，如果其中一个角等于另一个角的余角（即两个角之和为180度），则这两条直线是平行的。
这是最常见、也是最直观的平行线判定方法。
2. 遥相平行判定法如果两条直线被平面内的一组平行线所截断，并且这些截线所得的对应线段成比例关系，那么这两条直线就是平行的。
这个方法基于线段成比例的性质，通过观察线段之间的关系来判断直线的平行性。
3. 平行线间的距离判定法两条直线平行的条件之一是它们上的任意两点连线所得线段之间的距离相等。
如果两条直线上的所有线段间的距离都相等，那么这两条直线就是平行的。
这是一种利用距离性质进行判断的方法。
二、垂直线的判定条件垂直线的判定条件相对简单，只有一条：两条直线互相垂直的条件是它们之间的任意两个相邻角的和为90度。
如果两条直线上的相邻角之和为90度，则这两条直线是垂直的。
这一条件可通过测量角度来判断。
需要注意的是，垂直线和平行线是两种不同的关系，两条直线要么平行，要么垂直，不能同时平行又垂直于彼此。
结论通过相交角定理判定法、遥相平行判定法和平行线间的距离判定法可以判断两条直线是否平行。
而垂直线的判定条件是两条直线之间的相邻角的和为90度。
这些判定条件在解决几何问题时起到重要的作用，帮助确定直线之间的关系。
以上就是平行线与垂直线的判定条件的详细介绍。
了解并掌握这些判定条件对于解决几何问题，特别是涉及到直线关系的问题至关重要。
通过运用这些条件，我们可以轻松地确定直线之间的平行或垂直关系，为解决几何问题提供有力的支持。
一次函数与直线的位置关系与判定
一次函数与直线的位置关系与判定一次函数是指形如y=ax+b的函数，其中a和b都是实数且a不等于0。
直线则是由无限多个点组成的，每个点都满足同一条斜率为a的条件。
一次函数与直线之间的位置关系有三种情况：平行、相交以及重合。
下面将详细介绍每种情况的判定方法。
1. 平行关系：当两条直线的斜率相等但截距不相等时，它们是平行的。
对于一次函数y=ax+b和一条直线y=cx+d，如果a=c且b不等于d，则它们是平行关系。
2. 相交关系：当两条直线的斜率不相等时，它们会相交于某一点。
对于一次函数y=ax+b和一条直线y=cx+d，如果a不等于c，则它们会相交。
3. 重合关系：当两条直线完全重合时，它们是重合的。
对于一次函数y=ax+b和一条直线y=cx+d，如果a=c且b=d，则它们是重合关系。
判定一次函数与直线的位置关系可以根据上述三种情况进行判断。
需要注意的是，我们需要知道两条直线的斜率和截距才能进行判定。
示例1：考虑一次函数y=2x+3和直线y=2x+1，它们的斜率都为2，但截距不相等。
因此，这两条直线是平行的。
示例2：考虑一次函数y=3x+1和直线y=2x-1，它们的斜率不相等。
因此，这两条直线会相交。
示例3：考虑一次函数y=4x+2和直线y=4x+2，它们的斜率和截距都相等。
因此，这两条直线是重合的。
根据上述示例，我们可以通过比较一次函数和直线的斜率和截距来判定它们的位置关系，进而确定平行、相交或重合的情况。
总结：一次函数与直线之间的位置关系与判定可以通过比较它们的斜率和截距来确定。
当斜率相等但截距不相等时，它们是平行的；当斜率不相等时，它们会相交；当斜率和截距都相等时，它们是重合的。
这些判定方法可以帮助我们准确理解和描述一次函数与直线的位置关系。
通过对一次函数与直线位置关系的判定，我们可以进一步研究它们的性质和应用。
例如，在几何中，直线的斜率可以表示其倾斜的方向和程度，而一次函数可以用于描述线性关系和预测变量之间的关联。
判断两直线平行的方法
判断两直线平行的方法
一、满足以下条件的两条直线平行：
1．两直线都具有相同的斜率；
2．两直线的正切值相等；
3．两直线的法线方向相同；
4．两直线的倾斜角度相同；
二、根据斜率判断两直线平行：
1．先求出两条直线的斜率，斜率的计算公式是 y=kx+b，可以把两条直线分别写成 y1=k1x+b1,y2=k2x+b2 ，其中 k1,k2 分别就是这两条直线的斜率；
2．如果 k1=k2 的话，就说明这两条直线是平行的，反之则不是平行的。
三、根据正切值判断两直线平行：
1．正切值可以使用公式tan θ = y/x 来计算出来，正切值θ 就是两直线之间的夹角；
2．如果tan θ1=tan θ2 说明这两条直线是平行的，反之则不是平行的。
四、根据法线方向判断两直线平行：
1．首先要先求出两条直线的法线方向，可以计算出来两条直线的斜率，然后进行弦传递变换，就能得到两条直线的法线方向；
2．如果两条直线的法线方向完全一致，就说明这两条直线是平行的，反之则不是平行的。
五、根据倾斜角度判断两直线平行：
1．可以使用数学公式tan θ = y/x 来算出两条直线之间的倾斜角度；
2．如果倾斜角度θ1=θ2，就说明这两条直线是平行的，反之则不是平行的。
两条直线平行的条件平行线的特征
两条直线平行的条件平行线的特征主讲：方敏文一周强化一、一周知识概述1、两条直线平行的条件(1)同位角相等，两直线平行；(2)内错角相等，两直线平行；(3)同旁内角互补，两直线平行．上述方法可表述为：如图．(1)如果∠1=∠2，那么AB∥CD；(2)如果∠3=∠2，那么AB∥CD；(3)如果∠2＋∠4=180°，那么AB∥CD．关键是－定要看清哪两条直线被哪－条直线所截形成的同位角或同旁内角或内错角相等或互补，才能正确判断是哪两条直线平行．2、平行线的特征(1)两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，简单地说成“两直线平行，同位角相等”．可表述为：如图，因为a∥b(已知)，所以∠l=∠2(两直线平行，同位角相等)．(2)两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，简单地说成“两直线平行，内错角相等”．可表述为：如图，因为a∥b(已知)，所以∠2=∠3(两直线平行，内错角相等)．(3)两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，简单地说成“两直线平行，同旁内角互补”．可表述为：如图，因为a∥b(已知)，所以∠2＋∠4=180°(两直线平行，同旁内角互补)．注意：①只要两条直线被第三条直线所截，都存在这三类角，但同位角、内错角不－定相等，同旁内角也不－定互补；②同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，都是平行线的特有性质，在使用时，切不可忽略前提条件“两直线平行”．当两直线不平行时，同位角与内错角就不相等，同旁内角也不互补．3、直线平行的条件与平行线的特征区分几何中，图形之间的“位置关系”－般都与某种“数量关系”有着内在联系，常有“位置关系”决定其“数量关系”，反之也可以由“数量关系”去确定“位置关系”．正确区分平行线的判定方法和平行线的特征是十分重要的．从表中可以看出，由角的相等或互补关系，得到两直线平行的结论是判定方法；而由两条直线平行，得到角相等或互补关系的结论是平行线的特征．二、典型例题剖析例1、如图，下列条件中，不能判断直线l 1∥l 2的是（ ）A ．∠1=∠3B ．∠2=∠3C ．∠4=∠5D ．∠2＋∠4=180°分析：主要考查平行线的判定条件，在辨认三种角时，抓住截线是关键，即“先辨截线，再判位置”．当∠1=∠3时，由内错角相等，两直线平行可得l 1∥l 2；当∠4=∠5时，由同位角相等，两直线平行可得l 1∥l 2；当∠2＋∠4=180°时，由同旁内角互补可得l 1∥l 2． 答案：B例2、如图，已知AC 平分∠DAB ，∠BAC ＝∠ACB ，那么AD 与BC 平行吗?请写出推理过程．分析：要判定AD与BC平行，应先观察AD与BC被哪条直线所截，然后设法由已知条件推出同位角或内错角相等，或同旁内角互补．本例把AB看作截线，不能得出结论，而把AC看作截线即可推出∠ACB＝∠CAD，从而得出AD∥BC．（关键是要找准截线）解：∵AC平分∠DAB（已知），∴∠BAC＝∠CAD（角平分线定义），∵∠BAC＝∠ACB（已知），∴∠CAD＝∠ACB（等量代换），∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）．例3、如图，如果两个角满足某种关系，就可以判断AE∥BF．请你将这样的相关的角写出几组，并说明理由．分析：本题属于条件开放性问题，由于图形比较复杂，很容易找不全所有符合条件的答案．解题时要紧紧抓住判定两条直线平行的三种判定方法，以顶点为出发点来寻找符合条件的两个角．由以B为顶点的∠B，可以得到以下条件：∠B=∠7，∠B=∠6，∠B＋∠BAE=180°；然后再找以C为顶点的角有∠1，∠3，∠BCE和∠ACF(∠2不能和其他角构成符合条件的－组角)，可以得到以下条件：∠1=∠5，∠l＋∠CAG=180°，∠3=∠E，∠BCE＋∠E=180°，∠ACF=∠CAG，∠ACF＋∠5=180°，由此可以得到符合条件的全部答案．解：满足条件的两个角有：(1)∠B=∠7(内错角相等，两直线平行)；(2) ∠B=∠6(同位角相等，两直线平行)；(3) ∠B＋∠BAE=180°(同旁内角互补，两直线平行)；(4) ∠1=∠5(内错角相等，两直线平行)；(5) ∠1＋∠CAG=180°(同旁内角互补，两直线平行)；(6) ∠3=∠E(内错角相等，两直线平行)；(7) ∠BCE＋∠E=180°(同旁内角互补，两直线平行)；(8) ∠ACF=∠CAG(内错角相等，两直线平行)；(9) ∠ACF十∠5=180°(同旁内角互补，两直线平行)．小结：以顶点为出发点，有规律、有顺序地寻找符合条件的两角，关键是要从简单情形入手，逐步过渡到复杂情形．例4、如图(1)，线段AB//CD，点P是AB、CD间的－个点．(1)试判断∠A、∠C与∠APC的数量关系；(2)如果点P移动到线段AC的左侧，那么你发现的上述结论还成立吗?说明理由；(如图(2))(3)如果点P移到两平行线的同侧，那么你发现的上述结论还成立吗?说明理由．(如图(3))分析：图中虽然有平行线，但是缺少和两条平行线都相交的第三条直线，因此也就没有同位角、内错角的相等关系以及同旁内角的互补关系，如何构造出这三类角，充分利用平行线的性质是解决问题的关键，因此，需要构造满足平行线的性质的基本图形．解：(1) ∠A＋∠C=∠APC．理由：如图(1)，过P作直线PM∥AB．由AB//PM，得∠A=∠APM．由AB//CD，PM//AB，得CD//PM．于是∠C=∠CPM．而∠APC=∠CPM＋∠APM，故∠APC=∠A＋∠C；(2)不成立，∠BAP＋∠PCD＋∠APC=360°．理由：如图(2)，过P作PM//AB，而AB∥CD，所以AB∥PM∥CD．所以∠1＋∠BAP=180°，∠2＋∠PCD=180°．所以∠1＋∠BAP＋∠2＋∠PCD=180°×2=360°，即∠APC＋∠BAP＋∠PCD=360°；(3)不成立．∠APC=∠C－∠A．理由：如图(3)，过P作PM∥AB，从而知PM∥AB∥CD，于是有∠MPA=∠A，∠MPC=∠C，而∠MPC=∠MPA＋∠APC，故∠C=∠A＋∠APC．即∠APC=∠C－∠A．小结：两条平行线中出现折线时，过折线的折点作平行线是解决问题的关键．。
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引导分析、提高学生的思维能力
学会归纳小结
教学内容
师生活动
设计意图、教学方法、学法指导
教
学
过
程
思考：如果不重合的两条直线斜率都不存在，则它们是什么关系？
3、学习例题（课本第166页）
判断下列各对直线的位置关系
，
，
三、巩固练习
课本第166页A1、2
四、课堂小结
引导学生借用图形理解
学生先试完成（1）
《两条直线平行或重合的条件》教学设计
课题
两条直线平行或重合的条件
授课时间：40分钟
授课班级：
教学目标
1、理解两条直线平行或重合的条件；
2、能根据两条直线的方程判断它们是否平行。
教材分析
重点：目标1、2
难点：目标2
学法
教学内容
师生活动
设计意图、教学方法、学法指导
教
学
过
程
1、课前引入
点评，规范解题格式，引导学生小结解题步骤
培养学生数形结合的思想
引导学生抓住关键，先把直线方程化为斜截式
作
业
必做：课本第166页A2
选做：课本第167页B2
教
学
后
记
练习本上画一画（平行、重合、相交）
2、直线的斜截式方程
3、直线的倾斜角与斜率的关系
2、新课学习
1、探究
如图，设直线 的斜率为 ，倾斜角为 ，其方程为：
2、两条直线平行、重合的充要条件
学生回答，在练习本上画一画，
教师黑板示范
学生回答
教师板书
结合图形，引导学生分析、推导、归纳
直线的斜截式方程能直观地反映直线的斜率和在 轴上的截距，这一点要明确。为判断两直线的位置关系做好铺垫。