概率论-第三章-3.2 边缘分布

利用上面所给公式，容易求得 X , Y 关于随机变量 X 和 Y 的边缘分布函数分别为
1 e x , FX ( x) F ( x, ) 0, y 1 e , FY ( y ) F ( , y ) 0,
x0 x0
y0 y0
注意 边缘分布与参数 无关！这 说明研究多维随机变量,仅仅研究边
1 0 x x 2 x e x e dx
dx
0
xe
2
y
dx dy
1 2e e
1
yx
2
(3) 显然当 x 0 时， f X x =0，
当 x 0 时， f X x

x y

f x, y dy
0 y 1 其他
二维正态分布
若二维随机变量 X , Y 的联合密度函数为
f x, y 1 2 1 2 1 2

e
2 1 2

1

2 x 2 x y y 1 1 2 2 2 1 2 2 1
p00 P{X1 0, X 2 0}
2 2 5 5 4 25
类似的,可求得其它的 pij ,最后可得 ( X 1 , X 2 ) 的联合分 布律与边缘分布律如下表:
X2
X1
0
4 6
2
1
6 9
3
pi
2 3 5 5
0 1
p j
25 25
5
25 25
5
(2)无放回的情形.此时

同理：
FY ( y ) F (, y) f ( x, t )dx dt y fY (t )dt y

例1：对一群体的吸烟及健康状况进行调查，引入随机变量 0, 健康 0, 不吸烟 X 和Y 如下：X 1, 一般 , Y 10, 一天吸烟不多于15支 2, 不健康 20, 一天吸烟多于15支 根据调查结果,得 X , Y 的如下的联合概率分布：
FX ( x) F ( x, ) FY ( y ) F (, y )
事实上， FX ( x) P( X x) P( X x, Y ) F ( x, )
即在分布函数F ( x, y)中令y ， 就能得到FX ( x)
同理得：FY ( y) P(Y y) F (, y)
2 2 D {( x , y ) : x y 1} 上的均匀分 例 设(X,Y)服从单位圆 布，求X与Y的边缘概率密度。
解 由题意知,(X,Y)的概率密度为
1 , f ( x, y ) 0,

1
y 1 x2
x2 y2 1 其它
于是，有 f X ( x)
pi
2 3 5 5
0
1
p j
2
5
3
5
注:两种情形的边缘分布律是相同的!
例 设随机变量(X,Y)的分布函数为
x y F ( x, y) A B arctan C arctan 2 3
1) 求常数A,B,C的值; 2)求( X , Y )的概率密度 f ( x, y) ; 3)求边缘概率密度 f X ( x). 解 1) 由于 1 F (, ) A B C 2 2 1 0 F (, ) A B C A 2 2 2 解得:
2


f ( x, y)dy
-1
y 1 x2
x
-1
1
1 x 1 2 2 dy, | x | 1 1 x , | x | 1 1 x 2 0, 其它 0 , 其它
由对称性可知
2 2 1 y , | y | 1 fY ( y ) 0, 其它 注意此时
若 ( X , Y ) ~ N ( μ1 , μ2 , σ1 , σ 2 , ρ) ,则
2 2
X ~ N 1 ,
2 1
， Y ~ N , ．
2 2 2
二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分 布，而且这两个边缘分布都不依赖于参数 ．这就 意 味 着 ， 如 果 1
分别称 FX ( x) 和 FY ( y ) 为 ( X , Y ) 关于 X 和 Y 的边 际分布函数，简称边际分布或边缘分布．
§2 边缘分布
二维随机变量(X,Y)作为整体，有分布函数 F ( x, y), 其中X和Y都是随机变量，它们的分布函数 FX ( x)， FY ( y) 称为边缘分布函数。 记为：
0.25 0.794 2 P X 2 | Y 20 0.315
例 假设二维随机变量 X , Y 的联合分布函数为
1 e x e y e x y xy F x, y 0 x 0, y 0 其它
称这分布为二维指数分布，其中参数 0 ．
缘分布是不够,而必须将他们作为一 个整体来研究.
整体大于部分之和!
例 假设5件产品中有3件正品,2件次品,从中取两
次,每次取一件,记
1, 第i次取到正品 Xi i 1,2 0, 第i次取到次品
分别对有放回抽样和无放回抽样两种情况,求(X1,X2)的
联合分布律和边缘分布律. 解 (1)有放回的情形.此时
2

3) f X ( x)
2 d y / 3 2 2 (4 x 2 ) 1 y / 3



6 f ( x, y)dy 2 dy 2 2 (4 x )(9 y )
1



2 2 arctan y / 3 2 2 (4 x ) (4 x 2 )
例 已知二维随机变量 X , Y 的联合密度函数为
A x e y 0 x y f x, y 其它 0 求 (1) 常 数 A ； (2) P X Y 2 ； (3) 边 缘 密 度 函 数
f X x , fY y ．
解 (1) 因为 即
对于离散型随机变量(X,Y)，分布律为
P( X xi， Y y j ) pij， i, j 1, 2,
X,Y的边缘分布律为：
P(Y y j ) P( X ，Y y j ) pij == p j j 1, 2,

记为
P( X xi ) P( X xi，Y ) pij == pi i 1, 2,
Y X
0
0.35
10
0.04
20
0.025
0.04
1 2
试写出关于X 和Y的边缘概率分布； 求P X 2 | Y 20的值。
1 2 0 X p 0.415 0.215 0.370
0 1 2
解： 1由题意可得：
0.025 0.15
0.020 0.10
0.25
10 20 0 Y p 0.395 0.290 0.315
其中 1 , 2 , 1 , 2 0 , 1 ， 则称 X , Y
2 服从参数为 1 , 2 , 12 , 2 , 的二维正态分布，记作
( X , Y ) ~ N ( μ1 , μ 2 , σ , σ , ρ )
2 1
2 2
二维正态分布的边缘分布仍为正态分布
0 F (,) A B C 2 2
BC

2
2) 由性质,得
F ( x, y) 1 1/ 2 1/ 3 f ( x, y ) 2 2 xy 1 x / 2 1 y / 3 2 6 2 (4 x 2 )(9 y 2 )
2 1 1 p00 P{ X 1 0, X 2 0} P{ X 1 0}P{ X 2 0 | X 1 0} 5 4 10
类似的,可求得其它的 pij ,最后可得 ( X 1 , X 2 ) 的联合分 布律与边缘分布律如下表:
X1
X2
0
1 10 3 10
1
3 10 3 10
二维均匀分布 若(X,Y)服从平面区域 D上的均匀分布,则对于D中 任一子区域G,有 SG 1 P{( X , Y ) G} f ( x, y )dxdy dxdy SD SD G G 于是(X,Y)落在D中任一子区 域G的概率与G的面积成正比, D 而与G的形状和位置无关。在 这个意义上我们说,服从某区域 G 上均匀分布的二维随机变量在 该区域内是“等可能”的。
p2·
…
P Y y j p· 1
…
…
pi ·
…
p· 2
p.j
1
对于连续型随机变量(X,Y)，概率密度为 f ( x, y) X,Y的边缘概率密度为： f X ( x) f ( x, y )dy
fY ( y )

f ( x, y )dx
事实上，
FX ( x) F ( x, ) f (t , y)dy dt x f X (t )dt x
1
x eபைடு நூலகம்dy x e
x
x y 2
即
x e x f X ( x) 0
x0 x0
同理
2 y 1 y e 2 fY ( y ) 0
y0 y0
二维均匀分布
设D为平面有界区域,其面积为SD,若二维随机 变量(X,Y)的概率密度为 1 , ( x, y ) D f ( x, y ) S D 其它 0, 则称 ( X , Y ) 服从区域D上的均匀分布.
f ( x, y ) f X ( x ) fY ( y )
例：设G是平面上的有界区域，其面积为A，若二维随机 变量(X,Y)具有概率密度 1 A , ( x, y ) G
f ( x, y ) 0 , 其他
则称(X,Y)在G上服从均匀分布。 现设(X,Y)在有界区域 x 2 y x上均匀分布，其概 率密度为 f ( x, y) 6, x2 y x
边缘分布函数
由于X与Y本身也是一个随机变量,因此也有各自的 分布函数,并且
F X ( x ) P { X x} P { X x , Y } F ( x , )
FY ( y ) P {Y y } P { X , Y y } F ( , y )
0, 其他
fY ( y ) 求边缘概率密度 f X ( x)， 解： x 2 6 dy 6( x x ), 0 x 1 f X ( x) f ( x, y)dy x2 其他 0,
fY ( y )


y 6dx 6( y y ), f ( x, y)dx y 0,


x


f x, y dx dy 1
yx
1
0

0
A e y xdxdy
x
A

xdx
e y dy
A

0
xe x dx A
所以 A 1
(2)
1
P X Y 2
2 x x
x y 2

f ( x, y)dxdy
j 1
i 1
记为
注意：
记号pi表示是由pij关于j求和 后得到的； 同样p j是由pij 关于 i求和后得到的.
X Y y1 x p11
y2 p22 pi2
…
yj
… P X xi
… p1·
x2
1
p12 … p 1j
xi
p21 … pi1
…
… p2j … … pij
… …
… … … … …