反函数、复合函数的求导法则

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复合函数的求导法则：
dy dx
=
dy du

du dx
，或
y=yuux
。
例 9． y
1 sin
=e x
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，求 dy
。
dx
1
1
解：
y

=
sin
(e
x
)
=
sin
e
x
(sin
1
)
=
e
sin
1 x
cos
1
(1)
x
xx
=
1
sin 1
e x
cos 1 。
x2
= ncos nx sin nx+n sin n1x cos x =n sin n1x sin(n+1)x。
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三、求导法则小结
函数的和、差、积、商的求导法则：
(1) (u v)=u v， (2) (Cu)=Cu (C是常数)， (3) (uv)=uvu v，
(10) (ex)=ex，
(16)
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1 (log a x)= x ln a
，(a>0, a
(ln x)=1 ， x
(arcsin x)= 1 ， 1 x2
(arccos x)= 1 ， 1 x2
1
(arctan
x)= 1

x
2
，
(arctan x) = 1 。 1 x2
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二、复合函数的求导法则
如果u=j(x)在点x0可导，函数y=f(u)在点u0=j(x0)可导， 则复合函数y=f[j(x)]在点x 0可导，且其导数为
dy dx
x= x0
= f (u0)j (x0)。
简要证明：
假定u=j(x)在x0的某邻域内不等于常数，则Du0，
此时有
dy = lim Dy = lim Dy Du = lim Dy lim Du dx x=x0 Dx0 Dx Dx0 Du Dx Du0 Du Dx0 Dx
= f (u 0)j (x 0)。
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二、复合函数的求导法则
如果u=j(x)在点x0可导，函数y=f(u)在点u0=j(x0)可导， 则复合函数y=f[j(x)]在点x 0可导，且其导数为
dy dx
x= x0
= f (u0)j (x0)。
如果 u=j(x)在开区间 Ix内可导，y=f(u)在开区间 Iu内 可导，且当xIx时，对应的uIu，那么复合函数y=f[j(x)]
(4)
(u v
)
=
uv uv v2
(v0)。
反函数求导法：
[f 1(y)]= 1 (f (x)0)。 f (x)
复合函数的求导法则：
dy dx
=
dy du

du dx
，或
y=yuux
，其中
y=f(u)，u=j(x)。
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简要证明：
因为y=f(x)连续，所发当Dx0时，Dy0。
f (x) = lim Dy = lim 1 = 1 ，
Dx0 Dx Dy0 Dx j ( y)
Dy
即
f (x) = 1 。
j ( y)
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一、反函数的导数
如果函数x=j(y)在某区间Iy内单调、可导且j (y)0，
那么它的反函数y=f(x)在对应区间Ix内也可导，并且 f (x) = 1 。 j ( y)
例1．求(arcsin x)及(arccos x)。
解：因为y=arcsin x是x=sin y的反函数，所以
(arcsin x) = 1 = 1 =
1
=1 。
(sin y) cos y 1 sin 2 y 1 x 2
x
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复合函数的求导法则：
dy dx
=
dy du

du dx
，或
y=yuux
。
例 10．y=sin nx sin n x (n 为常数)， 求dy 。 dx
解：y=(sin nx) sin nx + sin nx (sin nx)
= ncos nx sin nx+sin nx n sin n1x (sin x )
dy = dy du = eu 3x 2 = 3xe x3 。 dx du dx
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复合函数的求导法则：
dy dx
=
dy du

du dx
，或
y=yuux
。
例 5． y = sin 2x ，求 dy 。
1 x2
dx
解： y = sin 2x 是由 y=sin u，u = 2x 复合而成，

du dx
，或
y=yuux
。
复合函数求导法则可以推广到多个函数的复合。
例 8．y=lncos(e x)，求 dy 。 dx
解： dy = [ln cos(e x )] = 1 [cos(e x )]
dx
cos(e x )
= 1 [ sin(e x )] (e x ) = e x tan(e x ) 。 cos(e x )
解：因为y=arctan x是x=tan y的反函数，所以 (arctan x) = 1 = 1 = 1 = 1 。
(tan y) sec2 y 1 tan 2 y 1 x 2 类似地有： (arc cot x) = 1 。
1 x2
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基本初等函数的导数公式小结：
类似地有：(arccos x) = 1 。 1 x2
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一、反函数的导数
如果函数x=j(y)在某区间Iy内单调、可导且j (y)0，
那么它的反函数y=f(x)在对应区间Ix内也可导，并且 f (x) = 1 。 j ( y)
例2．求(arctan x)及(arccot x)。
du dx
，或
y=yuux
。
例 7． y = 3 1 2x 2 ，求 dy 。 dx
解：
dy
= [(1
1
2x2 )3
]
=
1
(1
2
x
2
)

2 3
(1
2x2 )
dx
3
= 4x 。 33 (1 2x 2 ) 2
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复合函数的求导法则：
dy dx
=
dy du
2 反函数、复合函数的求导法则
一、反函数的导数 基本初等函数的导数公式小结
二、复合函数的求导法则 三、求导法则小结
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一、反函数的导数
如果函数x=j(y)在某区间Iy内单调、可导且j (y)0，
那么它的反函数y=f(x)在对应区间Ix内也可导，并且 f (x) = 1 。 j ( y)
dy = dy du = 1 sec2 x = cot x sec2 x dx du dx u
=1。 sin x cos x
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复合函数的求导法则：
dy dx
=
dy du

du dx
，或
y=yuux
。
例 4．y=e x3 ，求 dy 。
dx 解：函数 y = e x3 是由 y=eu ，u=x3 复合而成，
在区间Ix内可导，且下式成立：
dy dx
=
dy du

du dx
，或
y=yuux
。
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复合函数的求导法则：
dy dx
=
dy du

du dx
，或
y=yuux
。
例 3．y=lntan x ，求 dy 。 dx
解：函数y=lntan x是由y=ln u，u=tan x复合而成，
(1) (C)=0，
(11)
(2) (xm)=m xm1，
(3) (sin x)=cos x，
(12)
(4) (cos x)=sin x， (13)
(5) (tan x)=sec2x，
(6) (cot x)=csc2x，
(14)
(7) (sec x)=sec x tan x，
(8) (csc x)=csc x cot x， (15) (9) (ax)=ax ln a ，
1 x2
1 x2
dy = dy du = cos u 2(1 x 2 ) (2x)2
dx du dx
(1 x 2 )2
2(1 x 2 )
=
cos
2x
。
(1 x 2 ) 2
1 x2
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复合函数的求导法则：
dy dx
=
dy du

du dx
，或
y=yuux
。
对复合函数求导法则比较熟练以后，就不必再写出
中间变量。
例 6．lnsin x，求 dy 。 dx
解： dy = (ln sin x) = 1 (sin x)
dx
sin x
= 1 cos x = cot x 。 sin x
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复合函数的求导法则：
dy dx
=
dy du