第六章样本及抽样分布
概率论与数理统计 第六章 样本及抽样分布
x0 o.w.
n 1
n5
n 15
15
（2）t-分布（学生分布）
设 X ~ N ( 0 ,1), Y ~ 2 ( n ) 且X、Y为独立随 机变量，则称随机变量
t
X Y /n
X
1 n 2 ( X 12 ...... X n )
为自由度为n的t-分布。记为： t ~ t ( n ) 。
3
§1 随机样本
总体: 研究对象在某项数量指标的全体. 记为X。通常称总体X。 个体: 总体X中的每一个元素（实数）xi。 根据总体所含的个体数分为： 有限总体和无限总体。
4
总体与取样
X1
X
X2 X3 Xn
取样模型
X
X2 X1
X3
X4
X5
河流污染取样
5
总体、样本、统计量
总体 样本 统计量
X1 X2
2 ( n ) 分布:
具有可加性
2 X X 12 ...... X n , X i ~ N (0,1)
3. 4.
t ( n ) 分布:
X ~ N (0,1), Y ~ 2 ( n )
t(n) X Y /n
F ( n1 , n 2 ) 分布: U ~ 2 ( n1 ), V ~ 2 ( n 2 )
F (n1 , n2 )
19
分位点及性质:
定义: Pr[ X z ]
z
(1)标准正态分布分位点
(x)
( x)dx 1 ( x)dx
z
z1
( x)
Pr[ X z ]
概率论与数理统计(06)第6章 统计量及其抽样分布
σx =
σ
n
当样本容量足够 大时( 大时(n ≥ 30) ， 样本均值的抽样 分布逐渐趋于正 态分布
6 - 11
µx = µ
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x 的分布趋 于正态分布 的过程
6 - 12
6.4 正态总体 6.3.1 χ2分布 6.3.2 t 分布 6.3.3 F 分布
6 - 13
χ2 分布
第六章 样本与统计量
6.1引言 6.1引言
数理统计学： 运用概率论的基础知识，对要研究的随机现象进行 多次观察或试验，研究如何合理地获得数据资料， 建立有效的数学方法，根据所获得的数据资料，对 所关心的问题作出估计与检验。
6-1
§6.2总体与样本 6.2总体与样本
对某一问题的研究对象全体称为总体。 组成总体的某个基本单元，称为个体。 总体可以是具体事物的集合，如一批产品。 也可以是关于事物的度量数据集合，如长度测量。 总体可以包含有限个个体，也可以包含无限个个体。 有限总体在个体相当多的情况下，可以作为无限 总体进行研究。 总体中的个体，应当有共同的可观察的特征。该 特征与研究目的有关。
6 - 16
χ2分布
(图示) 图示)
n=1 n=4 n=10
n=20
6 - 17 不同容量样本的抽样分布
χ2
t 分布
6 - 18
t 分布
1. 高 塞 特 (W.S.Gosset) 于 1908 年 在 一 篇 以 (W. “Student”(学生)为笔名的论文中首次提出 Student”(学生)
X ~ N(µ,σ ) ，则
2
χ2分布
2. 3.
z=
X −µ
Y=z
6教育统计学第六章
n
（3）总体非正态分布条件下平均数的显著性检验
① 当 n≥30 时，尽管总体分布非正态，对于平均数的显 著性检验仍可用Z 检验。
Z
X
0（σ
已知）或
Z
X 0（ σ 未知）
S
n
n
② 当 n＜30 时，若总体分布非正态，对于平均数的显著 性检验不符合近似 Z 检验的条件，严格讲此时也不符合t 检验 的条件。
计算其置信区间：
X t SX （其X 中 t SX
2
2
）
SX
S n
小样本的情况
例如，从某小学二年级随机抽取12名学生，其阅读能 力得分为28、32、36、22、34、30、33、25、31、33、 29、26.试估计该校二年级阅读能力总体平均数95%和 99%的置信区间。
X 29.917 , S 4.100 , X 3.926
三、样本平均数与总体平均数离差统计量的形态
从正态总体中随机抽取样本容量为n的一切可 能样本平均数以总体平均数为中心呈正态分布。
当总体标准差已知时：
Z
X
X
X
n
当总体标准差未知时：
N (0,1)
总体标准差 的无偏估计量为
S (X X )2 n 1
S S X
X 2 ( X )2 / n
抽样分布是统计推断的理论依据。实际中只能抽取一个 随机样本根据一定的概率来推断总体的参数。即使是抽取一 切可能样本，计算出的某种统计量与总体相应参数的真值， 大多也是不相同的，这是由于抽样误差的缘故。抽样误差用 抽样分布的标准差来表示。因此，某种统计量在抽样分布上 的标准差称为该种统计量的标准误。
标准误越小，表明样本统计量与总体参数的值越接近， 样本对总体越有代表性，用样本统计量推断总体参数的可靠 度越大，所以标准误是统计推断可靠性的指标。
概率论 第六章 样本及抽样分布
一般，设 x1,x2, …,xn 是总体F的一个容 量为n的样本值，先将x1,x2, …,xn 按自小到 大的次序排列，并重新编号，设为
x(1) ≤x(2) ≤…≤x(n) 则经验分布函数Fn(x)的观察值为
0,
若x x(1) ,
性质：
(1) limf (t)
1
e ; t2 2
n
2
(2)当n 45时 取t (n) Z .
（三）设Ｘ~２(n1), Y~ ２(n2), 且Ｘ 与Ｙ相互独立，则随机变量
F X/ n1 Y / n2
则称F服从第一自由度为n1，第二自由 度为n2的F分布，记作
F~F(n1 ，n2)
F分布的分布密度为
2 2
E( X 2 ) D( X ) (E( X ))2
2 2
n
E(S 2 )
E[ 1 n 1
n i 1
(Xi
X
)2 ]
E[
1
n
(
n 1 i1
X
2 i
2
n X )]
1
n
E(
n 1 i1
X
2 i
nX
2
)
1 [E( n 1
n i 1
X
2 i
)
E(n X
2
)]
1[ n 1
n i 1
考察某厂生产的电容器
的使用寿命。在这个试验 中什么是总体，什么是个 体。
解 个体是每一个电容器 的使用寿命；总体X是各个 电容器的使用寿命的集合。
2. 样本
为推断总体分布及各种特征，按一定规 则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以 获得有关总体的信息，这一抽取过程称为 “抽样”，所抽取的部分个体称为样本. 样 本中所包含的个体数称为样本容量.
统计学第六章抽样和抽样分布
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统计学第六章抽样和抽样分布
4
一、总体与样本
▪ 把握两个问题： ▪ 1、总体和总体参数； ▪ 2、样本和样本统计量。
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统计学第六章抽样和抽样分布
5
1、总体与总体参数
（1）总体：指根据研究目的确定的所 要研究的同类事物的全体，是所要说 明其数量特征的研究对象。按所研究 标志性质不同，分为变量总体和属性 总体，分别研究总体的数量特征和品 质特征。 构成总体的个别事物（基本单元 ）就是总体单位，也称个体。总体单 位的总数称为总体容量，记作N。
缺点：受主观影响易产生倾向性误差； 不能计算、控制误差，无法说明调查结果 的可靠程度。
抽样一般都是指概率抽样。
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统计学第六章抽样和抽样分布
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2、重复抽样和非重复抽样
（1）重复抽样：又称重置抽样，是指从总体 中抽出一个样本单位，记录其标志值后，又将 其放回总体中继续参加下一轮单位的抽取。特 点是：第一，n个单位的样本是由n次试验的结 果构成的。第二，每次试验是独立的，即其试 验的结果与前次、后次的结果无关。第三，每 次试验是在相同条件下进行的，每个单位在多 次试验中选中的机会(概率)是相同的。在重复 试验中，样本可能的个数是 N n ，N为总体单位 数，n为样本容量。
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统计学第六章抽样和抽样分布
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2、重复抽样和非重复抽样
（2）非重复抽样：又称为不重置抽样，即每次从
总体抽取一个单位，登记后不放回原总体，不参加下
一轮抽样。下一次继续从总体中余下的单位抽取样本
。特点是：第一，n个单位的样本由 n 次试验结果构成
统计学第六章抽样和抽样分 布
第六章 抽样与抽样分布
概率论与数理统计-第六章
这200人的年龄数据。
总体：北京市民的年龄 随机变量：年龄X
个体：张三28岁；李四5岁；
样本：{ 28；5；14；56；23；2；39；…；69} 样本容量：200
抽样：随机抽取200人进行调查的过程
6
例2：为了确定工厂生产的电池电量分布情况，在
产品中随机抽取500个，测量其电量。记录了
x
0
F n1 , n2
F分布的分位数
x
F分布的上α分位点
对于给定的 , 0 1, 称满足条件
F n1 , n2
f x; n1 , n2 dx 的点F n1 , n2
为F n1 , n2 分布的上 分位数。F n1 , n2 的值可查F 分布表
17
不易计算！
18
抽样分布 —— 任意统计量 Q = g (X1, X2, …, Xn ) 的分布函数 抽样分布的计算： 多维随机变量（独立、同分布）的函数的分布 函数的计算问题。
得到统计量 Q 的抽样分布，就可以用来解决
关于总体 X 的统计推断问题。
19
关于随机变量独立性的两个定理
解：(1)作变换 Yi
显然Y1 , Y2 ,
2 n i 1
Xi
, Yn相互独立，且Yi N 0,1 i 1, 2,
Xi
i 1, 2,
,n
,n
于是 (
) Yi 2 2 n
2 i 1
28
n
(2)
2 ( X X ) X1 X 2 ~ N (0, 2 2 ), 1 2 2 ~ 2 (1) 2
管理统计学(李金林版教材)课后习题答案~~~第六章
管理统计学（李金林版教材）课后习题答案~~~第六章基础习题1. 解释总体分布、样本分布和抽样分布的含义。
答：总体分布：整体取值的概率分布规律，即随机变量X 服从的分布；样本分布：从总体中按照一定的抽样规则抽取的部分个体的分布，若从总体中简单随机抽取容量为n 的样本，则样本分布为(X 1,X 2,...,X n )；抽样分布：样本统计量的分布。
2. 简述卡方分布、t 分布、F 分布及正态分布之间的关系，它们的概率密度曲线各有什么特征？答：若随机变量X 服从N(μ,σ2)，则Z =X−μσ服从N(0,1)；若随机变量X 服从N(0,1)，则Y =∑(X i )2n i=1服从自由度为n 的χ2分布；若随机变量X~N(0,1)，随机变量Y~χ2(n)，且X 与Y 相互独立，则称随机变量T =√Y n⁄服从自由度为n 的t 分布；若随机变量X~χ2(n)，若随机变量Y~χ2(m)，且X 与Y 相互独立，则称随机变量F n,m =X n ⁄Y m ⁄服从第一自由度为n ，第二自由度为m 的F 分布，记为F n,m ~F(n,m)。
χ2分布的概率密度曲线分布在第一象限内，随着自由度n 的增大，曲线向正无穷方向延伸，并越来越低阔，越来越趋近于正态分布的曲线形态。
t 分布的概率密度曲线以0为中心，左右对称，随着自由度n 的增大，t 分布的概率密度曲线逐渐接近标准正态分布的概率密度曲线。
F 分布的概率密度曲线分布在第一象限内，当第一个自由度不变，第二个自由度增大时，曲线越来越向右聚拢，当两个自由度都增加时，F 分布概率密度曲线逐渐接近正态分布的概率密度曲线。
3. 解释中心极限定理的含义。
从均值为μ，方差为σ2的任意一个总体中抽取样本容量为n 的随机样本，则当n 充分大时，样本均值x̅的抽样分布近似服从均值为μ，方差为σ2n ⁄的正态分布，即x̅~N(μ, σ2n ⁄)。
4. 某公司有20名销售员，以下是他们每个人的销售量：3，2，2，3，4，3，2，5，3，2，7，3，4，5，3，3，2，3，3，4。
《概率论与数理统计》第六章
既然总体是随机变量X，自然就有其概率分布。
我们把X的分布称为总体分布。
总体的特性是由总体分布来刻画的。因此，常 把总体和总体分布视为同义语。
第六章 样本及抽样分布 ‹#›
例2
在例1中，假定物体真实长度为(未知)。一般 说来，测量值X就是总体，取 附近值的概率要大一 些，而离 越远的值被取到的概率就越小。
k=1,2,…
第六章 样本及抽样分布 ‹#›
它反映了总体k 阶矩的信息
样本k阶中心矩
Bk
1 n
n i 1
(Xi
X )k
它反映了总体k 阶 中心矩的信息
第六章 样本及抽样分布 ‹#›
统计量的观察值
1 n
x n i1 xi;
s2
1 n 1
n i1
(xi
x )2
s
1 n 1
n i1
(xi
x
)2
第六章 样本及抽样分布 ‹#›
实际上，我们真正关心的并不一定是总体或个
体本身，而真正关心的是总体或个体的某项数量指 标。
如：某电子产品的使用寿命，某天的最高气温， 加工出来的某零件的长度等数量指标。因此，有时也
将总体理解为那些研究对象的某项数量指标的全
体。
第六章 样本及抽样分布 ‹#›
为评价某种产品质量的好坏，通常的做法是： 从全部产品中随机(任意)地抽取一些样品进行观测(检
样本X1,X2,…,Xn 既被看成数值，又被看成随机变量， 这就是所谓的样本的二重性。
随机样本
例 4 (例2续） 在前面测量物体长度的例子中，如果我们 在完全相同的条件下，独立地测量了n 次，把这 n 次测 量结果，即样本记为
X1,X2,…,Xn .
概率论第六章样本及抽样分布
本相互独立，记
1 n1 X Xi n1 i 1 1 n2 Y Yi n2 i 1
则有 ⑴
2 1 2 2 2 1 2 2
1 n1 S12 ( X k X )2 n1 1 k 1 1 n2 2 S2 (Yk Y ) 2 n2 1 k 1
S / ~ F (n1 1, n2 1) S /
⑵ 当 时
2 1 2 2 2
X Y ( 1 2 ) ~ N (0,1) 1 1 n1 n2
(n1 1) S12
2 1
2 (n2 1) S2
2 2
~ 2 (n1 n2 2)
X Y ( 1 2 ) ~ t (n1 n2 2) 1 1 S n1 n2
2
又因为
(n 1)S 2
2
~ (n 1)
2
X n1 X n
故 Y
(n 1) S 2
n n 1 ~ t (n 1) /(n 1)
2
X n1 X n Y S
n ~ t (n 1) n 1
例4
设总体X , Y 相互独立 X ~ N (0,32 ) , Y ~ N (0,32 ) ,
2
X n1 X n n X 1 , X 2 ,, X n , X n1 , 求 Y 的分布 . S n 1 1 n 1 n 2 2 其中 X n X i , S ( Xi X n ) n i 1 n 1 i 1
1 2 解 由已知得 X n1 ~ N ( , ) , X n ~ N ( , ) , n n 1 2 所以 X n1 X n ~ N (0, ) n n 标准化得 X n1 X n ~ N (0,1) n 1
概率论与数理统计基本概念及抽样分布PPT课件
~
2 (n1 ),
2 2
~
2 (n2 ), 且它们相互独立，
则
2 1
2 2
~
2 (n1
n2 )
《概率统计》
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结束
4. 2分布的百分位点
对给定的α（0＜α＜1）
（1）称满足
P{ 2
2
(n)}
，即
f ( y)dy
x2 ( n)
的点为 2分布的上100α百分位点。
f(y)
（2）称满足
注：在研究中，往往关心每个个体的一个(或几个)数量指标和 该数量指标在总体中的分布情况. 这时，每个个体具有的数量 指标的全体就是总体.
或，总体：研究对象的某项数量指标的值的全体.
《概率统计》
某批 灯泡的 寿命
该批灯泡寿命的 全体就是总体
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结束
为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总体中抽取若 干个体进行观察试验，以获得有关总体的信息，这一抽取过程 为 “抽样”.
( x)
（1）称满足条件 P{X＞Xα} =α，
α
即
( x)dx
X
的点Xα为N(0，1)分布的上100α百分位点.
X1－α
0
由于 P{X X } 1 记 －Xα= X1－α
（2）称满足条件 P {| X | X }
2
2
的点 X 为N(0，1)分布的双侧100α百分位点.
X
2
则
E(X )
E(1 n
n i 1
Xi)
1 n
n i 1
E(Xi )
1 n
n
D(X ) D(1 n
n i1
Xi)
(完整版)样本及抽样分布
第六章样本及抽样分布【基本要求】1、理解总体、个体和样本的概念；2、理解样本均值、样本方差和样本矩的概念并会计算；3、理解统计量的概念，掌握几种常用统计量的分布及其结论；4、理解分位数的概念，会计算几种重要分布的分位数。
【本章重点】样本均值、样本方差和样本矩的计算；抽样分布——2 分布，t分布，F分布；分位数的理解和计算。
【本章难点】对样本、统计量及分位数概念的理解；样本矩的计算。
【学时分配】4学时【授课内容】§6.0 前言前面五章我们研究了概率论的基本内容，从中得知：概率论是研究随机现象统计规律性的一门数学分支。
它是从一个数学模型出发（比如随机变量的分布）去研究它的性质和统计规律性；而我们下面将要研究的数理统计，也是研究大量随机现象的统计规律性，并且是应用十分广泛的一门数学分支。
所不同的是数理统计是以概率论为理论基础，利用观测随机现象所得到的数据来选择、构造数学模型（即研究随机现象）。
其研究方法是归纳法（部分到整体）。
对研究对象的客观规律性做出种种合理性的估计、判断和预测，为决策者和决策行动提供理论依据和建议。
数理统计的内容很丰富，这里我们主要介绍数理统计的基本概念，重点研究参数估计和假设检验。
§6.1 随机样本一、总体与样本1.总体、个体在数理统计学中，我们把所研究的全部元素组成的集合称为总体；而把组成总体的每个元素称为个体。
例如：在研究某批灯泡的平均寿命时，该批灯泡的全体就组成了总体，而其中每个灯泡就是个体；在研究我校男大学生的身高和体重的分布情况时，该校的全体男大学生组成了总体，而每个男大学生就是个体。
但对于具体问题，由于我们关心的不是每个个体的种种具体特性，而仅仅是它的某一项或几项数量指标X(可以是向量)和该数量指标X在总体的分布情况。
在上述例子中X是表示灯泡的寿命或男大学生的身高和体重。
在试验中，抽取了若干个个体就观察到了X的这样或那样的数值，因而这个数量指标X是一个随机变量（或向量），而X的分布就完全描写了总体中我们所关心的那个数量指标的分布状况。
6样本及抽样分布
1 n 2 样本方差 S 2 (Xi X ) n 1 i 1 n 2 1 2 X i nX n 1 i 1
1 样本标准差 S S n 1 i 1
2
它反映了总体方差 n ( X 的信息2 X)
i
西华大学数学与计算机学院
西华大学数学与计算机学院
14
它们的观察值分别为：
1 n x xi n i 1
样本均值
概 率 论 与 数 理 统 计 课 件
样本方差
n 1 n 1 2 2 2 s ( xi x ) [ x i nx 2 ] n 1 i 1 n 1 i 1
s
1 n ( xi x )2 n 1 i 1
注：统计量是随机变量。
x1,x2,„, xn是相应于样本X1,X2,„, Xn的样本值, 则称g(x1,x2,„, xn)是g(X1,X2,„, Xn)的观察值。
西华大学数学与计算机学院
11
思考？Biblioteka 概 率 论 与 数 理 统 计 课 件
设 X 1 , X n 为来自总体 X ~ N ( , 2 ) 的一个样本， 其中未知 , 2已知， 问下列随机变量中那些是统计量
数理统计不同于一般的资料统计，它更侧重 于应用随机现象本身的规律性进行资料的收集、 整理和分析. 由于大量随机现象必然呈现出它的规律性，
因而从理论上讲，只要对随机现象进行足够多
次观察，被研究的随机现象的规律性一定能清
楚地呈现出来.
西华大学数学与计算机学院
5
现实世界中存在着形形色色的数据, 分析这些 数据需要多种多样的方法.
P
依概率收敛的序列性质知道 g为连续函数
第六章 样本及抽样分布
∑
n
i =1
X i , k = 1,2 , L
k
( 5 ) 样本 k 阶（中心）矩 中心）
∑
n
i =1
( X i − X ) k , k = 1,2 , L
常用统计量的性质
以下约定： 表示总体的均值， 表示总体的方差， 以下约定： µ 表示总体的均值， σ 2 表示总体的方差， α k 表示 总体的 k阶原点矩， µ k 表示总体的 k阶中心矩，即记 阶原点矩， 阶中心矩， EX = µ , D ( X ) = E ( X − µ ) 2 = σ 2 EX k = α k , E ( X − µ ) k = µ k 并且约定， 并且约定，在我们用到 α（或 µ k）时，假定它是存在的 。 k 定理 1 设总体 X 服从分布 F ( x ), X = ( X 1 , X 2 , L , X n )是从该总体
第六章 样本及抽样分布
数理统计的基本概念 抽样分布
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数理统计的基本概念
总体和样本 统计量 顺序统计量和经验分布函数
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总体、 总体、个体
总体：在统计学中， 总体：在统计学中，把所研究的全部元素组成 的集合称为母体， 总体。 的集合称为母体，或总体。 个体：而把组成母体的每个元素称为个体， 个体：而把组成母体的每个元素称为个体， 个体 例如：灯泡的平均寿命， 例如：灯泡的平均寿命，该批灯泡的全体就组 成了母体，而其中每个灯泡就是个体。 成了母体，而其中每个灯泡就是个体。但是在统 计里， 计里，由于我们关心的不是每个个体的种种具体 特性，而仅仅是它的某一项或某几项数量指标X 特性，而仅仅是它的某一项或某几项数量指标 和该数量指标X在总体中的分布情况 和该数量指标 在总体中的分布情况
样本及抽样分布
6. 1 数理统计的基本概念
• (2)若X是连续型随机变量，且具有概率密度f (x)，则样本的联合概率 • 密度为
• 二、统计量
• 样本是总体特征及性质的代表和反映，因此我们可以根据样本所提供 的信息对总体进行估计和推断.但是在获取样本后，我们不能直接用 样本进行推断，而是需要对样本进行适当的“加工”，将样本中的主 要信息“提炼”出来.要做到这一点，我们常常利用样本构造出适当 的函数，这个函数只依赖于样本，而不依赖任何未知参数.为此，我 们引入统计量的概念.
• 5.样本k阶中心矩
•用
分别表示
把定义中的Xi改为xi ,改为 即可
的观察值，此时只需
• 我们知道，总体X最基本的两种数字特征是期望E (X)与方差D (X).相
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6. 1 数理统计的基本概念
• 当我们用数理统计的方法来研究总体时，往往关心的不是每个个体本 身，而是每个个体的某种数量指标.例如对于研究学生身高的问题， 我们关心的是数量指标身高X的概率分布问题;对于研究灯泡寿命的问 题，我们关心的是灯泡寿命X的概率分布问题.因此，对总体的研究， 实际上就是对某一个随机变量X的概率分布的研究.为了方便起见，我 们把总体和相应数量指标等同起来，即总体是一个随机变量X，其概 率分布用F(x)来表示.例如对于灯泡寿命的问题，总体就是灯泡的寿命 X，它服从相应的概率分布F(x).
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6. 1 数理统计的基本概念
• 我们知道，对总体X的任何一个容量为n的样本，抽样结果x1， x2，…，xn,，是n个完全确定的数值.但是由于抽样是一个随机试验， 所以这n个结果是随每次抽样而改变的，具有随机性.如果我们对总体 做多次抽样(每次抽取容量为n的样本)，则抽样结果是n个随机变量x1， x2，…，xn, ，我们称这n个随机变量X1 X2 ,…，X n，为总体的一个 样本.当一次抽样完成时，我们就得到一组实数x1，x2，…，xn, ，它 们称为样本x1，x2，…，xn,，的观察值，也叫样本值.
数理统计第六章
称为自由度为n的χ 2 − 分布.
2.χ 分布的密度函数f(y)曲线 分布的密度函数f(y) 2.χ2—分布的密度函数f(y)曲线
n −1 − y 1 n/2 y2 e 2, y > 0 f ( y ) = 2 Γ(n / 2) 0, y≤0
3. 分位点 设X ~ χ2(n)，若对于α：0<α<1， α α ， 存在
不是
1 2 2 2 T6 = 2 ( X 1 + X 2 + X 3 ). σ
2. 几个常用统计量的定义
设 X 1 , X 2 ,L, X n 是来自总体的一个样本 , x1 , x2 ,L, xn 是这一样本的观察值 . 1 n (1)样本平均值 样本平均值 X = ∑ Xi; n i =1 1 n 其观察值 x = ∑ x i . n i =1
设 x1 , x2 ,L, xn 是相应于样本 X 1 , X 2 ,L, X n 的样本值 , 则称 g ( x1 , x2 ,L, xn ) 是 g ( X 1 , X 2 ,L, X n ) 的观察值 .
实例1 实例 设 X 1 , X 2 , X 3是来自总体 N ( µ ,σ 2 )的一个
2.基本性质 2.基本性质: 基本性质 f(t)关于t=0(纵轴 对称。 关于t=0(纵轴) (1) f(t)关于t=0(纵轴)对称 f(t)的极限为N(0，1)的密度函数 的极限为N(0 的密度函数， (2) f(t)的极限为N(0，1)的密度函数，即
lim f ( t ) = ϕ ( t ) =
f * ( x1 , x 2 , L , x n ) =
例1 设总体 X 服从参数为 λ (λ > 0) 的指数分
第六章样本及抽样分布
P
2 2 (n)
2 (n)
f
(
y)dy
的点2 (n)为2(n)分布的上分位点，
如图所示.
2
(n)可通过查表求，例
02.1(25) 34.382.
2
(
n)
2、t 分布
定义: 设X～N(0,1) , Y～ 2(n) , 且X与Y相互
独立，则称变量
t X Yn
所服从的分布为自由度为 n的 t 分布.
即学生年龄的取值有一定的分布.
总体分布为
年龄 15 16 17 18 19 20 比率 9 21 132 1207 588 43
2000 2000 2000 2000 2000 2000
由于每个个体的出现是随机的，所以相应的数量指 标的出现也带有随机性 . 从而可以把这种数量指标看 作一个随机变量X ，因此随机变量X的分布就是该数 量指标在总体中的分布.
Xi
它反映了 总体均值 的信息
S 2
1 n1
n i 1
(Xi
X )2
n
1
1
n
X
2 i
i 1
nX
2
样本标准差
S
n
1
n
1
(
i 1
X
i
X
)2
样本k阶原点矩
Ak
1 n
n i 1
X
k i
k=1,2,…
样本k阶中心矩
Bk
1 n
n i 1
(Xi
X )k
它反映了总体k 阶矩的信息
它反映了总体k 阶 中心矩的信息
1. 代表性： X1,X2,…,Xn中每一个与所考察的总体有 相同的分布.
概率论与数理统计6.第六章：样本及抽样分布
),
,
,
,
是来
Z=
(
－
证明统计量 Z 服从自由度为 2 的 t 分布。
14
),
,
,
,
是来 ， ．ຫໍສະໝຸດ 自 总 体 X 的 样 本 ， E( ) 则 ，D( )=
是来自总体 X ，D(X)= ． ，
，D( )=
11
3. 设 , 本 ,E(X)=
, , 为来自总体 X 的样 ,D(X)=9, 为样本均值 , 试用 ＜ ≥ ,
切比雪夫不等式估计 P{ P{ 4.设 , 则当 K= ＞ ≤ , , . 是总体 X
lim f (t ) (t )
n
1 e 2
t2 2
, x
3.分位点 设 T～t(n)， 若对 :0<<1,存在 t(n)>0，
4
满足 P{Tt(n)}=， 则称 t(n)为 t(n)的上侧分位点 注: t1 (n) t (n) 三、F—分布 1.构造 若 1 ~2(n1)， 2~2(n2)，1， 2 独立，则
y0
2. F—分布的分位点 对于 ：0<<1，若存在 F(n1, n2)>0， 满足 P{FF(n1, n2)}=， 则称 F(n1, n2)
5
为 F(n1, n2)的上侧 分位点； 注： F1 (n1 , n2 )
1 F (n2 , n1 )
§ 6.3 正态总体的抽样分布定理
X Y /n ~ t ( n)
t(n)称为自由度为 n 的 t—分布。 t(n) 的概率密度为
n 1 ) 1 t 2 n2 2 f (t ) (1 ) , t n n n ( ) 2 (
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第六章样本及抽样分布【授课对象】理工类本科二年级【授课时数】4学时【授课方法】课堂讲授与提问相结合【基本要求】1、理解总体、个体和样本的概念；2、了解经验分布函数和直方图的作法，知道格林汶科定理；3、理解样本均值、样本方差和样本矩的概念并会计算；4、理解统计量的概念，掌握几种常用统计量的分布及其结论；5、理解分位数的概念，会计算几种重要分布的分位数。
【本章重点】样本均值、样本方差和样本矩的计算；抽样分布——2 分布，t分布，F分布；分位数的理解和计算。
【本章难点】对样本、统计量及分位数概念的理解；样本矩的计算。
【授课内容及学时分配】§6.0 前言前面五章我们研究了概率论的基本内容，从中得知：概率论是研究随机现象统计规律性的一门数学分支。
它是从一个数学模型出发（比如随机变量的分布）去研究它的性质和统计规律性；而我们下面将要研究的数理统计，也是研究大量随机现象的统计规律性，并且是应用十分广泛的一门数学分支。
所不同的是数理统计是以概率论为理论基础，利用观测随机现象所得到的数据来选择、构造数学模型（即研究随机现象）。
其研究方法是归纳法（部分到整体）。
对研究对象的客观规律性做出种种合理性的估计、判断和预测，为决策者和决策行动提供理论依据和建议。
数理统计的内容很丰富，这里我们主要介绍数理统计的基本概念，重点研究参数估计和假设检验。
§6.1 随机样本一、总体与样本1.总体、个体在数理统计学中，我们把所研究的全部元素组成的集合称为总体；而把组成总体的每个元素称为个体。
例如：在研究某批灯泡的平均寿命时，该批灯泡的全体就组成了总体，而其中每个灯泡就是个体；在研究我校男大学生的身高和体重的分布情况时，该校的全体男大学生组成了总体，而每个男大学生就是个体。
但对于具体问题，由于我们关心的不是每个个体的种种具体特性，而仅仅是它的某一项或几项数量指标X (可以是向量)和该数量指标X 在总体的分布情况。
在上述例子中X 是表示灯泡的寿命或男大学生的身高和体重。
在试验中，抽取了若干个个体就观察到了X 的这样或那样的数值，因而这个数量指标X 是一个随机变量（或向量），而X 的分布就完全描写了总体中我们所关心的那个数量指标的分布状况。
由于我们关心的正是这个数量指标，因此我们以后就把总体和数量指标X 可能取值的全体组成的集合等同起来。
定义1：把研究对象的全体（通常为数量指标X 可能取值的全体组成的集合）称为总体；总体中的每个元素称为个体。
我们对总体的研究，就是对相应的随机变量X 的分布的研究，所谓总体的分布也就是数量指标X 的分布，因此，X 的分布函数和数字特征分别称为总体的分布函数和数字特征。
今后将不区分总体与相应的随机变量，笼统称为总体X 。
根据总体中所包括个体的总数，将总体分为：有限总体和无限总体。
例1：考察一块试验田中小麦穗的重量：X =所有小麦穗重量的全体（无限总体）；个体——每个麦穗重x 对应的分布：+∞<<σμσπ=≤=≤ξ=⎰∞-σμ--x N dt ex 重量x P x F xt 0),(~21}{)(22)(22总麦穗数的麦穗数例2：考察一位射手的射击情况：X =此射手反复地无限次射下去所有射击结果全体； 每次射击结果都是一个个体（对应于靶上的一点）个体数量化⎩⎨⎧=未中射中01x1在总体中的比例p 为命中率 0在总体中的比例p -1为非命中率总体X 由无数个0，1构成，其分布为两点分布),1(p B p X P p X P -====1}0{,}1{ 2.样本与样本空间为了对总体的分布进行各种研究，就必需对总体进行抽样观察。
抽样——从总体中按照一定的规则抽出一部分个体的行动。
一般地，我们都是从总体中抽取一部分个体进行观察，然后根据观察所得数据来推断总体的性质。
按照一定规则从总体X 中抽取的一组个体),,,(21n X X X 称为总体的一个样本，显然，样本为一随机向量。
为了能更多更好的得到总体的信息，需要进行多次重复、独立的抽样观察（一般进行n 次），若对抽样要求①代表性：每个个体被抽到的机会一样，保证了n X X X ,,,21 的分布相同，与总体一样。
②独立性：n X X X ,,,21 相互独立。
那么，符合“代表性”和“独立性”要求的样本),,,(21n X X X 称为简单随机样本。
易知，对有限总体而言，有放回的随机样本为简单随机样本，无放回的抽样不能保证n X X X ,,,21 的独立性；但对无限总体而言，无放回随机抽样也得到简单随机样本，我们本书则主要研究简单随机样本。
对每一次观察都得到一组数据（n x x x ,,,21 ），由于抽样是随机的，所以观察值（n x x x ,,,21 ）也是随机的。
为此，给出如下定义：定义2:设总体X 的分布函数为)(x F ，若n X X X ,,,21 是具有同一分布函数)(x F 的相互独立的随机变量，则称（n X X X ,,,21 ）为从总体X 中得到的容量为n 的简单随机样本，简称样本。
把它们的观察值（n x x x ,,,21 ）称为样本值。
定义3:把样本(n X X X ,,,21 )的所有可能取值构成的集合称为样本空间,显然一个样本值(n x x x ,,,21 )是样本空间的一个点。
二、样本的分布：设总体X 的分布函数为)(x F ，（n X X X ,,,21 ）是X 的一个样本，则其联合分布函数为：)x ,,x ,x (F n *21=∏=ni 1)(i x F 。
例3：设总体),,(,),1(~21n X X X p B X 为其一个简单随机样本，则样本空间}n ,,,i ;,x )x ,,x ,x {(i n 211021===Ω，因为1{}(1)x x P X x p p -==⋅-，0,1x = 所以样本的联合分布列为：11221122{,,,}{}{}{}n n n n P X x X x X x P X x P X x P X x ======= n i x p p p p p p i x x x x x x nn ,,2,11,0)1()1(.)1(1112211 ==---=---§6.2 分布函数与概率密度函数的近似解在概率论中，我们介绍了几种常用的分布函数以及它们的性质，当时我们总假定它们都是先给定的，而在实际中，所遇到的用于描述随机现象的随机变量，事先并不知道其分布函数，甚至连其分布类型也一无所知，那么，怎么样才能确定它的分布函数)(x F 呢？一般地，利用样本及样本值，建立一定的概率模型，用由此获得的概率统计信息来对总体X 的)(x F 进行估计和推断，这就是： 一、经验分布函数1.定义：设（n X X X ,,,21 ）是来自总体X 的样本，用()S x 表示：x R ∀∈，12,,,nX X X 中不大于x 的随机变量的个数，定义经验分布函数为1()()n F x S x x R n=∈。
设(n x x x ,,,21 )是样本的一个观察值，令这n 个数值由小到大的顺序排列后为：*1x ≤*2x ≤*3x ≤……≤*n x ，对∀x ∈R由定义很容易得到经验分布函数的观察值：*()n F x =⎪⎩⎪⎨⎧10n k *n *k *k *x x x x x x x ≥<≤<+11 1,,2,1-=n k通常也称*()n F x 是总体X 的经验分布函数,在不至于混淆的情况下统一用)(x F n 来表示总体X 的经验分布函数。
显然，)(x F n 是单调非降右连续的跳跃函数（阶梯函数），在点*k x x =处有间断，在每个间断点的跃度为n1，（k =1，2，3，…，n ）且1)(0≤≤x F n ，)(lim x F n x -∞→=0，)(lim x F n x +∞→=1，它满足分布函数的三个性质，所以必是一个分布函数。
一般地，随着n 的增大，)(x F n 越来越接近X 的分布函数)(x F ，关于这一点，格列汶科（Glivenko ）在1953年给了理论上的论证，即：2.定理1(Glivenko-Th )：若总体X 的分布函数为)(x F ，经验分布函数为)(x F n ，则对R x ∈∀，有：}lim(sup |()()|)01n n x P F x F x →∞-∞<<+∞⎧-==⎨⎩[.()()a en F x F x −−−→一致] 定理表明，)(x F n 以概率1一致收敛于)(x F ，即：可以用)(x F n 来近似)(x F ，这也是利用样本来估计和判断总体的基本理论和依据。
例4：某厂从一批荧光灯中抽出10个，测其寿命的数据（单位千时）如下：95.5， 18.1， 13.1， 26.5， 31.7， 33.8， 8.7， 15.0， 48.8， 48.3求该批荧光灯寿命的经验分布函数)(x F n （观察值）。
解：将数据由小到大排列得：8.7，13.1，15.0，18.1，26.5，31.7，33.8，48.8，49.3，95.5， 则经验分布函数为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=19.08.07.06.05.04.03.02.01.00)(x F n 5.955.953.493.498.488.488.338.337.317.315.265.261.181.180.150.151.131.137.87.8≥<≤<≤<≤<≤<≤<≤<≤<≤<≤<x x x x x x x x x x x 二、利用直方图求密度函数的近似解：设（n X X X ,,,21 ）为来自总体X 的一个样本，其样本观察值为(n x x x ,,,21 )，将该组数值n x x x ,,,21 分成l 组，可作分点：l a a a a ,,,,210 （各组距可以不相等），则各组为：(0a ,1a ],(1a ,2a ]，……，(1-l a ，l a ],若样本观察值中每个数值落在各组中的频数分别为1m ，2m ，3m ，…，l m ，则频率分别为：n m 1，n m2……nm l ；以各组为底边，以相应组的频率除以组距为高，建立l 个小矩形，即得总体X 的直方图。
由上分析可知：直方图中每一矩形的面积等于相应组的频率设总体X 的密度函数为)(x f ，则：总体X （真实值）落在第k 组(1-k a ，k a ]的概率为：⎰-kk a a dx x f 1)(。
由Bernoulli 大数定理可知：当n 很大时，样本观察值（单个）落在该区间的频率趋近于此概率；即：(1-k a ，k a ]上矩形的面积接近于)(x f 在此区间上曲边梯形的面积，当n 无限增大时，分组组距越来越小，直方图就越接近总体X 的密度函数)(x f 的图象。