湖南师大附中2019-2020学年上学期第二次检测高二数学试卷附答案解析

A．11 种
B．20 种
C．21 种
D．12 种
【答案】C
【解析】试题分析：设 5 个开关依次为 1、2、3、4、5，由电路知识分析可得电路接通，则开关 1、2 与 3、4、
5 中至少有 1 个接通，依次分析开关 1、2 与 3、4、5 中至少有 1 个接通的情况数目，由分步计数原理，计算
可得答案．
心率 e 的取值范围是（ ）
A．
0,
3 5
B．
3 5
,
2
2
C．
2 2
,1
D．
1 5
,
2 2
11．已知函数 f x 在 R 上可导，其导函数为 f ' x ，若函数 f x 满足： x 1 f ' x f x 0 ，
f 2 x f x e22x ，则下列判断一定正确的是（）
成立，求 的取值范围.注： e 2.71828为自然对数的底数.
解析
湖南师大附中 2019-2020 学年上学期第二次检测
一、单选题
1．
2i 1i
（i 为虚数单位）的值等于（
高二数学卷
）
A．1
B． 2
C． 3
【答案】B 【解析】根据复数的运算法则以及复数模的概念，可得结果 【详解】
2i 1i
2i 1 i 1 i 1 i
5
C．命题“若 x, y 都是偶数，则 x y 是偶数”的否命题是“若 x, y 都不是偶数，则 x y 不是偶数”
D．设命题 p：所有有理数都是实数；命题 q：正数的对数都是负数，则 p q 为真命题
【答案】C 【解析】采用逐一验证法，根据充分条件、必要条件的概念，命题的否定，否命题概念，以及真值表，可得 结果. 【详解】 A 正确
比如： lg100 2 0 ，所以命题 q 是假命题
则 p q 是真命题.
故选：C 【点睛】 本题主要判断命题的真假，审清题意以及知识的交叉应用，属基础题.
3．在等比数列
an
中， an1
an , a2
a8
6, a4
a6
5
，则
a4 a6
等于（
）
A． 5 6
【答案】C
B． 6 5
C． 2 3
A．2,
B．
13 8
,
C． , 2
D．
,
13 8
二、填空题
13．设 a
sin
24 5
,b
sin
2 5
,c
tan
2 5
，则 a,b, c
的大小关系为_______________.
14．已知
x
0,
y
0
，且
2 x
1 y
1，若
x
2y
m2
2m 有解，则实数
m
的取值范围是_____________.
10 ，
求 ABC 的面积 S 的最大值.
3
19．已知各项均不相等的等差数列 an 的前三项和为 9，且 a1, a3, a7 恰为等比数列 bn 的前三项.
（1）分别求数列an ，bn 的前 n 项和 Sn ,Tn ；
（2）记数列
anbn
的前 n 项和为 K n
，设 cn
SnTn Kn
2i 2i 2 1i2
由i2
1
，所以
2i 1i
2i 2 2
i1
所以 2i i 1 12 12 2
1i
故选：B 【点睛】 本题考查复数的运算以及复数的模，主要是计算，属基础题. 2．下列说法中错误的是（ ）
A．“ x 1”是“ x2 3x 2 0 ”的充分不必要条件
D．2
B．命题“ x R, sin x 1 ”的否定为“ x0 R, sin x0 1 ”
15．已知函数 f x 在定义域 2 a,3 上是偶函数，在 0,3 上单调递减，并且
f
m
2
a 5
f
m2 2m 2
，则 m 的取值范围是______.
2
16．已知函数
f
x
Fra Baidu bibliotek
a ex, x 0 ln x, x 0
，若关于
x
的方程
f
f x 0 有且只有一个实数解，则实数 a 的取
∴sinA＞0．
∵ c ＜cosA， b
由正弦定理可得，sinC＜sinBcosA,
∴sin（A+B）＜sinBcosA,
∴sinAcosB+sinBcosA＜sinBcosA,
∴sinAcosB＜0 , 又 sinA＞0,
∴cosB＜0 , 即 B 为钝角,
故选 B．
5．如图所示,使电路接通,开关不同的开闭方式有( )
电动摩托车编号
1
2
3
4
5
A 型续航里程（km）
120
125
122
124
124
B 型续航里程（km）
118
123
127
120
a
已知 A，B 两个型号被测试电动摩托车续航里程的平均值相等.
（1）求 a 的值；
（2）求 A 型号被测试电动摩托车续航里程标准差的大小；
（3）从被测试的电动摩托车中随机抽取 A，B 型号电动摩托车各 1 台，求至少有 1 台的续航里程超过 122km
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．锐角三角形
D．等边三角形
【答案】B
【解析】由已知结合正弦定理可得 sinC＜sinBcosA,利用三角形的内角和及诱导公式可得，sin（A+B）＜
sinBcosA,整理可得有 sinAcosB＜0,结合三角形的性质可求.
【详解】
∵A 是△ABC 的一个内角，0＜A＜π，
4
22．已知函数 f x x ln x ，函数 g x a x2 x a(a R) .
2
（1）求函数 f x 在 e, e 1 上的最小值；
（2）函数 F x f x g x ，若 F x 在其定义域内有两个不同的极值点，求 a 的取值范围；
（3）记 F x f x g x 的两个极值点分别为 x1, x2 ，且 x1 x2 .已知 0 ，若不等式 e1 x1 x2 恒
湖南师大附中 2019-2020 学年上学期第二次检测
一、单选题
1．
2i 1i
（i 为虚数单位）的值等于（
高二数学卷
）
A．1
B． 2
C． 3
2．下列说法中错误的是（ ）
A．“ x 1”是“ x2 3x 2 0 ”的充分不必要条件
D．2
B．命题“ x R, sin x 1 ”的否定为“ x0 R, sin x0 1 ” C．命题“若 x, y 都是偶数，则 x y 是偶数”的否命题是“若 x, y 都不是偶数，则 x y 不是偶数”
6
所以 a4 2 a6 3
故选：C 【点睛】
本题考查等比数列的性质，重在计算，当 m n p q ，在等差数列中有 am an ap aq ，在等比数列
中 aman apaq ，灵活应用，属基础题.
4． ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ，若 c cos A ，则 ABC 为( ) b
A． f 1 ef 0 B． ef 1 f 2 C． e3 f 0 f 3 D． e5 f 1 f 4
12．已知
f
x
ax3
3x2
1 ，定义
h
x
max
f
x,
g
x
f g
x, x,
f f
x x
g x, g x
，若
g x xf x ，且存在 x0 1, 2使 h x0 f x0 ，则实数 a 的取值范围是（ ）
21．已知抛物线 E : y2 2 px p 0 经过点 A2, 4 ，过 A 作两条不同直线 l1, l2 ，其中直线 l1, l2 关于直线
x 2 对称.
（1）求抛物线 E 的方程及其准线方程；
（2）设直线 l1, l2 分别交抛物线 E 于 B, C 两点（均不与 A 重合），若以线段 BC 为直径的圆与抛物线 E 的准 线相切，求直线 BC 的方程.
值范围是_____________________.
三、解答题 17．电动摩托车的续航里程，是指电动摩托车在蓄电池满电量的情况下一次能行驶的最大距离.为了解 A，B 两个不同型号电动摩托车的续航里程，现从某卖场库存电动摩托车中随机抽取 A，B 两个型号的电动摩托车 各 5 台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：
的概率.
（注：n
个数据
x1,
x2 ,,
xn
，的方差
s2
1 n
x1
x
2
x2
x
2
xn
x
2
，其中
x
为数据
x1, x2 ,, xn 的平均数）
18．已知向量
a
2
cos
x 2
,1
,
b
cos
2
x
, 3 cos
x
.
（1）当
a
b
时，求
cos2
x
sin
2x
的值；
（2）设函数 f x a b a ，在 ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a, b, c ，且 f A 4, a
由 x2 3x 2 0 x 1或 x 2 ，
故“ x 1”是“ x2 3x 2 0 ”的充分不必要条件
B 正确 特称命题的否定式全称命题，命题的否定只否定结论
C 错，“若 x, y 都是偶数，则 x y 是偶数”的否命题是 “若 x, y 不都是偶数，则 x y 不是偶数”
D 正确 命题 p：所有有理数都是实数，是真命题 命题 q：正数的对数都是负数，
C． x 2 y 0
D． 2x y 0
10．已知椭圆
x2 a2
y2 b2
1
a
b
c 0, a 2
b2 c2
的左右焦点分别为 F1, F2 ，若以 F2 为圆心，b c 为
半径作圆 F2 ，过椭圆上一点 P 作此圆的切线，切点为 T，且 PT
的最小值不小于
3 (a c) ，则椭圆的离 2
，求证： cn1
cn
n N*
.
20．在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， ABC 为正三角形，点 D 在棱 BC 上，且 CD 3BD ，点 E 、 F 分 别为棱 AB 、 BB1 的中点．
（1）证明： A1C // 平面 DEF ； （2）若 A1C EF ，求直线 A1C1 与平面 DEF 所成的角的正弦值．
况，则电路接通的情况有 3×7=21 种；故选 C．
【考点】分步计数原理
点评：本题考查分步计数原理的应用，可以用间接法分析开关至少有一个闭合的情况，关键是分析出电路解
题的条件．
6．设函数 f x 1 2 ，若 a, b, c 成等差数列（公差不为 0），则 f a f c （ ）
xb
A．2
解：根据题意，设 5 个开关依次为 1、2、3、4、5，若电路接通，则开关 1、2 与 3、4、5 中至少有 1 个接通， 对于开关 1、2，共有 2×2=4 种情况，其中全部断开的有 1 种情况，则其至少有 1 个接通的有 4-1=3 种情况，
7
对于开关 3、4、5，共有 2×2×2=8 种情况，其中全部断开的有 1 种情况，则其至少有 1 个接通的 8-1=7 种情
（）
1
A． 1 6
B． 1 3
C．
1 2
D．
2 3
9．设
F1
，
F2
是双曲线
C
：
x2 a2
y2 b2
1(a 0,b 0) 的两个焦点， P 是 C 上一点，若
PF1
PF2
6a ，
且 PF1F2 的最小内角的大小为 30 ，则双曲线 C 的渐近线方程是（ ）
A． x 2y 0
B． 2x y 0
D．设命题 p：所有有理数都是实数；命题 q：正数的对数都是负数，则 p q 为真命题
3．在等比数列
an
中， an1
an , a2
a8
6, a4
a6
5
，则
a4 a6
等于（
）
A． 5 6
B． 6 5
C． 2 3
D． 3 2
4． ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ，若 c cos A ，则 ABC 为( ) b
B．4
C． b
D． 2b
【答案】B
【解析】根据等差数列的性质可得 2b a c ，根据函数 f x 1 2 关于 b, 2 对称，可得结果.
xb
【详解】
由题可知：
函数 f x 1 2 关于 b, 2 对称
D． 2b
7．已知 ABC 为等腰三角形，满足 AB AC 3 ， BC 2 ，若 P 为底 BC 上的动点，则 AP ( AB AC)
A．有最大值 8
B．是定值 2
C．有最小值1
D．是定值 4
8．在学校举行的演讲比赛中，共有 6 名选手进入决赛，则选手甲不在第一个也不在最后一个演讲的概率为
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．锐角三角形
D．等边三角形
5．如图所示,使电路接通,开关不同的开闭方式有( )
A．11 种 B．20 种 C．21 种 D．12 种
6．设函数 f x 1 2 ，若 a, b, c 成等差数列（公差不为 0），则 f a f c （ ）
xb
A．2
B．4
C． b
D． 3 2
【解析】根据 a2 a8 a4 a6 ，然后与 a4 a6 5 ，可得 a4 , a6 ，最后简单计算，可得结果.
【详解】
在等比数列an 中， a2 a8 a4 a6
由 a2 a8 6, a4 a6 5
所以
aa44
a6 5 a6 6
，又
an1
an
，
所以 a4 2, a6 3