湖南师大附中2019-2020学年上学期第二次检测高二数学试卷附答案解析
2019-2020学年湖南师范大学附属中学高二上学期第一次阶段性检测数学试题答案
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湖南省长沙市岳麓区湖南师范大学附中2019-2020学年高二上学期期末数学试题(解析版)
2019—2020学年度第一学期高二年级期末考试数学时量：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分） （一）单选题1.设i 为虚数单位，已知复数z 满足(1)2i z +=，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的基本运算解得1z i =-再判断即可. 【详解】因为22(1)2(1)11(1)(1)2i i z i i i i --====-++-, 所以复数z 在复平面内对应的点在第四象限, 故选：D .【点睛】本题主要考查了复数的基本运算与几何意义,属于基础题型.2.如图，在三棱锥O ABC -中，,M N 分别是,AB OC 的中点，设,,OA a OB b OC c ===u u u r r u u u r r u u u r r，用,,a b c r r r表示NM u u u u r，则NM u u u u r等于（ ）A. 1()2a b c -++r r rB. 1()2a b c +-r r rC. 1()2a b c -+r r rD. 1()2a b c --+r r r【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的基本运算求解即可.【详解】1()2NM NA AM OA ON AB =+=-+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r11()22OA OC OB OA =-+-u u u r u u u r u u u r u u u r1111()2222OA OB OC a b c =+-=+-u u ur u u u r u u u r r r r . 故选：B .【点睛】本题主要考查了空间向量的基本运算,需要根据三角形法则对向量进行转换,属于基础题型. 3.设,a b ∈R ，则||||4a b +>成立的一个充分不必要条件是（ ）A. 4a b +…B. 4a …C. 2a …且2b … D. 4b <-【答案】D 【解析】 【分析】根据充分不必要条件的定义辨析即可. 【详解】由4b <-可得||||4a b +>,但由||||4a b +>得不到4b <-,如1,5a b ==. 故选：D .【点睛】本题主要考查了充分不必要条件的辨析,属于基础题型.4.设在ABC ∆中,角,A B C ，所对的边分别为,a b c ，, 若cos cos sin b C c B a A +=, 则ABC ∆的形状为 （ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定【答案】B【解析】 【分析】利用正弦定理可得()2sin sin B C A +=，结合三角形内角和定理与诱导公式可得sin 1,2A A π==，从而可得结果.【详解】因为cos cos sin b C c B a A +=，所以由正弦定理可得2sin cos sin cos sin B C C B A +=，()22sin sin sin sin B C A A A +=⇒=，所以sin 1,2A A π==，所以是直角三角形.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题. 弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.5.在101)的展开式中，x 项的系数为（ ） A. 45- B. 90-C. 45D. 90【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式定理公式分析求解即可.【详解】101)展开式中的通项公式是：(10)10211010(1)(1)k kkkk k k T C C x--+=⋅-=⋅-,令1012k-=,则8k =, 故x 项的系数为：8882101010109(1)4521C C C ⨯⨯-====⨯, 故选：C .【点睛】本题主要考查了求二项式中系数的问题,属于基础题型.6.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1632015,218a S S =--=，则2020S =（ ）A. 8080-B. 4040-C. 8080D. 4040【答案】C 【解析】 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ,根据等差数列的基本量求法求解基本量,再求和即可. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,因为63218S S -=, 则()123456123218a a a a a a a a a +++++-++=, 即33318d d d ++=,则2d =.因为12015a =-,则2020202020192020(2015)280802S ⨯=⨯-+⨯=,故选：C .【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量求解方法以及前n 项和公式,属于基础题型.7.袋中有大小完全相同的2个红球和3个黑球，不放回地摸出两球,设“笫一次摸得红球”为亊件A , “摸得的两球同色”为亊件B ,则概率()|P B A 为（ ） A.14B.12C.13D.34【答案】A 【解析】试题分析：依题意，()121525C P A C ==,()11211154110C C P AB C C ==,则条件概率()|P B A ()()1110245P AB P A ===，故选A.考点：条件概率8.某单位有4位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是0，1，2，5，为遵守所在城市元月15日至18日4天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），四人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车（车牌尾数为2）最多只能用一天，则不同的用车方案种数是（ ） A. 4B. 12C. 16D. 24.【答案】B 【解析】 【分析】根据题意先安排安排奇数日出行再安排偶数日出行分步分类求解即可.【详解】15日至18日,有2天奇数日和2天偶数日,车牌尾数中有2个奇数和2个偶数. 第一步安排奇数日出行,每天都有2种选择,共有224=种. 第二步安排偶数日出行,分两类：第一类,先选1天安排甲的车,另外一天安排其他车,有2种； 第二类,不安排甲的车,只有1种选择,共计123+=. 根据分步计数原理,不同的用车方案种数共有4312⨯=, 故选：B .【点睛】本题主要考查了排列组合的运用,属于基础题型.（二）多选项择题：本题共1小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.甲、乙两类水果的质量（单位：kg ）分别服从正态分布()()221122,,,N N μσμσ，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是（ ）A. 甲类水果的平均质量10.4kg μ=B. 甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值附近C. 甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D. 乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于平均值附近 【答案】ABC 【解析】【分析】根据正态分布的图像意义判定即可.【详解】由图像可知,甲类水果的平均质量10.4kg μ=,乙类水果的平均质量20.8kg μ=,12σσ<,则A ,B ,C 都正确；D 不正确. 故选：ABC .【点睛】本题主要考查了正态分布图像的理解,属于基础题型.10.设椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 为椭圆C 上一动点，则下列说法中正确的是（ ） A. 当点P 不在x 轴上时，12PF F ∆的周长是6B. 当点P 不在x 轴上时，12PF F ∆C. 存在点P ，使12PF PF ⊥D. 1PF 的取值范围是[1,3] 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据椭圆的几何性质逐个分析即可.【详解】由椭圆方程可知,2,a b ==,从而1c ==. 据椭圆定义,1224PF PF a +==,又1222F F c ==, 所以12PF F ∆的周长是6,A 项正确. 设点()()000,0P x y y ≠,因为122F F =, 则12120012PF F S F F y y ∆⋅==.因为00y b <=…,则12PF F ∆B 项正确. 由椭圆性质可知,当点P 为椭圆C 短轴的一个端点时,12F PF ∠为最大.此时,122PF PF a ===,又122F F =,则12PF F ∆为正三角形,1260F PF ︒∠=,所以不存在点P ,使12PF PF ⊥,C 项错误.由图可知,当点P 为椭圆C 的右顶点时,1PF 取最大值,此时13PF a c =+=； 当点P 为椭圆C 的左顶点时,1PF 取最小值,此时11PF a c =-=, 所以1[1,3]PF ∈,D 项正确, 故选：ABD .【点睛】本题主要考查了椭圆的几何意义与性质的运用,属于基础题型. 11.下列命题中为真命题的是（ ） A. (0,),ln(3)sin x x x ∀∈+∞+>B. 2000,2x R x x ∃∈+=-C. 220001,sincos 333x x x R ∃∈+= D. 13110,,log 32xx x ⎛⎫⎛⎫∀∈< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】AD 【解析】 【分析】根据全称命题与特称命题以及函数的性质逐个判定即可. 【详解】A 项,当0x >时,则ln(3)ln3ln 1x e +>>=,又1sin 1x -剟,所以ln(3)sin x x +>恒成立,命题为真； B 项,因为221772244x x x ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭…,所以方程22x x +=-无解,命题为假；C 项,因为对22,sincos 133x xx R ∀∈+=恒成立,则命题错误；D 项,结合指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与对数函数13log y x =在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上的图像,命题为真, 故选：AD【点睛】本题主要考查了函数性质与全称命题和特称命题的真假判定,属于基础题型.12.若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：①直线l 在点()00,P x y 处与曲线C 相切；①曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C .则下列结论正确的是（ ） A. 直线:0l y =在点(0,0)P 处“切过”曲线3:C y x =B. 直线:1l y x =-在点(1,0)P 处“切过”曲线:ln C y x =C. 直线:l y x =在点(0,0)P 处“切过”曲线:sin C y x =D. 直线:l y x =在点(0,0)P 处“切过”曲线:tan C y x = 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据“切过”的定义以及导数的几何意义逐个选项判定即可.【详解】A 项,因为23y x '=,当0x =时,0y '=,所以:0l y =是曲线3:C y x =在点(0,0)P 处的切线.当0x <时,0y <；当0x >时,0y >,所以曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧,结论正确；B 项,1y x'=,当1x =时,1y '=,在(1,0)P 处的切线为:1l y x =-. 令()1ln h x x x =--,则11()1(0)x h x x x x-'=-=>, 当1x >时,()0h x '>；当01x <<时,()0h x '<,所以min ()(1)0h x h ==.故1ln x x -…, 即当0x >时,曲线C 全部位于直线l 的下侧（除切点外）,结论错误； C 项,cos y x '=,当0x =时,1y '=,在(0,0)P 处的切线为:l y x =,.由正弦函数图像可知,曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧,结论正确； D 项,21cos y x'=,当0x =时,1y '=,在(0,0)P 处的切线为:l y x =, 由正切函数图像可知,曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧,结论正确. 故选：ACD .【点睛】本题主要考查了导数的几何意义运用,属于中等题型.二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.设曲线3ln(1)y x x =-+ 在点(0,0)处切线方程_________________.【答案】20x y -= 【解析】 【分析】求出函数的导函数，得到函数在0x =处的导数，即为切线的斜率，由直线方程的点斜式得答案． 【详解】由题意，函数3ln(1)y x x =-+的导数为131y x '=-+， 可得曲线3ln(1)y x x =-+在点(0,0)处的切线斜率为312-=，即切线的斜率为2， 则曲线在点(0,0)处的切线方程为02(0)y x -=-，即为2y x =，即20x y -=． 故答案为20x y -=．【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，其中解答中明确曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 14.已知随机变量ξ的分布列为若()2E ξ=，则p =_____________ 【答案】12【解析】 【分析】的根据数学期望的求法列式求解即可.【详解】113()1232222p p E p ξ-=⨯+⨯+⨯=+, 令322p +=,则12p =.故答案为：12【点睛】本题主要考查了数学期望的求法,属于基础题型.15.设12,F F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，A 是双曲线的左顶点，点P 在过点A 且斜率为7的直线上，若12PF F ∆为等腰三角形，且12120F F P ︒∠=，则双曲线C 的离心率为___________. 【答案】3 【解析】 【分析】过点P 作PB x ⊥轴,垂足为B 再根据三角形中的边角关系与双曲线的定义求解即可. 【详解】过点P 作PB x ⊥轴,垂足为B .由已知,21226,20PF F F c BF P ︒==∠=,则2,BF c BP =,所以tan PAB ∠=由27a c =+,解得3c a =,所以双曲线的离心率3e =. 故答案为：3【点睛】本题主要考查了根据双曲线的几何意义与三角形中的关系求解离心率的方法,需要找到对应的基本量的关系列式求解.属于中等题型.16.已知ABC ∆是边长为D 为BC 的中点，沿AD 将ABC ∆折成一个大小为60︒的二面角B AD C --，设O 为四面体ABCD 的外接球球心.则（1）球心O 到平面BCD 的距离为_____________（2）球O 的体积为_____________.【答案】 (1).32 (2). 6【解析】【分析】 (1)做辅助线构造三角形,根据球心到球面距离的点相等以及三角形中的关系求解即可.(2)根据立体几何中的边角关系求解球的半径,再求体积即可.【详解】（1）如图,在四面体ABCD 中,,AD DC AD DB ⊥⊥,则60BDC ︒∠=.因为DB DC ==则BC =.设BCD ∆的外心为E ,则OE ⊥平面BCD .因为AD ⊥平面BCD ,则//OE AD .取AD 的中点F ,因为OA OD =,则OF AD ⊥, 所以1322OE DF AD ===.（2）在正BCD ∆中,由正弦定理,得112sin 60DE ︒=⨯=.在Rt OED ∆中,OD ==,所以34326V π⎛=⋅= ⎝⎭球.故答案为：(1). 32 (2). 6【点睛】本题主要考查了立体几何中的外接球问题,需要做辅助线构造三角形,再根据平面几何中的边角关系求解.所以中等题型.三、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积为S ，若2224S c a b =--.（1）求角C 的大小；（2）若b =，ABC ∆sin A B ，求sin A 及c 的值.【答案】（1）34C π=（2）sin 10A =；1c = 【解析】【分析】 (1)根据面积公式与余弦定理求解即可.(2)先根据余弦定理与b =求得c =,继而利用正弦定理求得sin A =,再利用面积公式与正弦定理化简求解即可.【详解】（1）因为in 12s S ab C =, 所以22214sin 2ab C c a b ⨯=--, 即222sin cos 2c a b C C ab--==-,所以tan 1=-C , 又因为0180C ︒︒<<,所以34C π=. （2）因为2222222cos 325c a b ab C a a a =+-=+=,所以c =,即sin C A =所以sinA C ==因1sin 2ABC S ab C ∆=,且s in sin 2ABC S A B ∆=,所以1sin sin 2ab C A B =,即sin sin sin ab C A B =由正弦定理得2sin sin c C C ⎛⎫= ⎪⎝⎭解得1c =.【点睛】本题主要考查了利用正余弦定理与面积公式求解三角形的问题.包括边角转换的运用方法等.属于中等题型.18.已知等差数列{}n a 满足13a =，当2n …时14n n a a n -+=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足1*12(22)n n n b b b na n N -+++=∈L ，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）21n a n =+（2）147142n n n S -+=-【解析】【分析】 (1)代入2n =可求得25a =,进而求得公差与通项公式即可.(2)由(1)21n a n =+,再利用前n 项和与通项的关系求解{}n b 的通项公式,再利用错位相减求解n S 即可.【详解】（1）因为14n n a a n -+=,则128a a +=,又13a =,则25a =.所以等差数列{}n a 的公差212d a a =-=,又因为13a =,所以21n a n =+.（2）因为）11222n n n b b b na -+++=L ,则121122(1)n n n b b b n a +++++=+L ,两式相减,得112(1)n n n n b n a na ++=+-(1)(23)(21)43n n n n n =++-+=+,所以当2n …时,1412n n n b --=. 经检验,13b =也符合该式,所以{}n b 的通项公式是1412n n n b --=. 因为11137(41)22n n S n -⎛⎫=+⋅++-⋅ ⎪⎝⎭L , 则211111137(45)(41)22222n n n S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 两式相减,得211111134(41)22222n n n S n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++--⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L 11147341(41)7222n n n n n -⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=+---⋅=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以147142n n n S -+=-. 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式求解与数列的前n 项和与通项的关系.同时也考查了错位相减的方法,属于中等题型.19.如图，直三棱柱ABC DEF -的底面是边长为2的正三角形，侧棱1AD =，P 是线段CF 的延长线上一点，平面PAB 分别与,DF EF 相交于,M N .（1）求证：//MN 平面CDE ；（2）求当PF 为何值时，平面PAB ⊥平面CDE .【答案】（1）证明见解析（2）2PF =【解析】【分析】(1)根据线面平行的性质证明//DE MN 即可.(2)分别取线段,AB DE 的中点,G H ,再根据题意分析PG ⊥平面CDE 时的点P ,根据三角形的全等与相似的关系求得PF 的长度即可.或者建立空间直角坐标系求解.【详解】（1）因为//AB DE ,AB 在平面DEF 外,则//AB 平面DEF .因为平面PAB ⋂平面DEF MN =,则//AB MN ,从而//DE MN .因为MN 在平面CDE 外,所以//MN 平面CDE .（2）解法一：分别取线段,AB DE 的中点,G H ,则//GH CP ,所以,,,P C G H 四点共面.因为Rt PCA Rt PCB ∆≅∆,则PA PB =,所以PG AB ⊥.因为//AB DE ,则PG DE ⊥.若PG CH ⊥,则PG ⊥平面CDE ,从而平面PAB ⊥平面CDE .此时,CPG HCG ∠=∠,则PC CG CG GH=.因为ABC ∆是边长为2的正三角形,则2sin 60CG ︒==又1GH =,则23CG PC GH==, 从而2PF PC FC =-=,所以当2PF =时,平面PAB ⊥平面CDE .（2）解法二：如图,分别取,AB DE 的中点,O H ,以O 为原点,直线,,OB OC OH 分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系由已知,2,1,AB OH OC ===则点(1,0,0),(0,0,1)B C H ,从而(0,(1,0,0)CH HE OB ===u u u ru u u ru u u r设平面CDE 的法向量为()111,,m x y z =u r ,由00m CH m HE ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ,得111(010y z x ⎧⋅+=⎪⎨⋅=⎪⎩ 取11y =,则m =u r设CP t =则点)P t ,从而)OP t =u u u r设平面PAB 的法向量()222,,n x y z =r ,由00n OP n OB ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v v ,得222010tz x +=⋅=⎪⎩ 取2y t =,则(0,,n t =r .因为平面PAB ⊥平面CDE ,则0m n ⋅=u r r ,得,3t =,从而2PF PC FC =-=所以当2PF =时,平面PAB ⊥平面CDE . 【点睛】本题主要考查了线面平行的性质与判定,同时也考查了判断面面垂直的条件等.需要根据题意根据线面的关系求解各边的长度分析垂直关系等.属于难题.20.在一场抛掷骰子的游戏中，游戏者最多有三次机会抛掷一颗骰子，游戏规则如下：抛掷1枚骰子，第1次抛掷骰子向上的点数为奇数则记为成功，第2次抛掷骰子向上的点数为3的倍数则记为成功，第3次抛掷骰子向上的点数为6则记为成功.游戏者在前两次抛掷中至少成功一次才可以进行第三次抛掷，其中抛掷骰子不成功得0分，第1次成功得3分，第2次成功得3分，第3次成功得4分.（1）求游戏者有机会第3次抛掷骰子的概率；（2）设游戏者在一场抛掷骰子游戏中所得的分数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望.【答案】（1）23（2）详见解析 【解析】【分析】(1)分别求得第一、二、三次抛掷骰子成功的概率,再根据概率的加法公式分情况求解即可.(2)根据题意可知ξ的可能取值为0,3,6,7,10.再分情况求解每个可能值的分布列,再求数学期望即可.【详解】（1）据题意,游戏者第一、二、三次抛掷骰子成功的概率分别为： 123111,,236p p p === 设游戏者有机会抛挪第3次骰子为事件A ,则()()1212122()113P A p p p p p p =-+-+=所以游戏者有机会抛掷第3次骰子的概率为23. （2）据题意,ξ的可能取值为0,3,6,7,10.()()121(0)113P p p ξ==--=； ()()()()123123555(3)1111183612P p p p p p p ξ==--+--=+=； ()1235(6)136P p p p ξ==-=； ()()123123211(7)11363612P p p p p p p ξ==-+-=+=； 1231(10)36P p p p ξ===. ξ的分布列为ξ的数学期望为155115303671031236123618E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查了分情况讨论求解概率的问题以及离散型随机变量的分布列与数学期望的问题,需要根据题意分析所有可能的情况与概率,属于中等题型.21.如图，拋物线的顶点O 在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上，过点(0,2)M -作直线l 与拋物线相交于,A B 两点，且满足(4,12)OA OB +=--u u u r u u u r .（1）求直线l 和拋物线的方程；（2）当拋物线上一动点P 从点A 运动到点B 时，求ABP ∆面积的最大值.【答案】（1）直线l 的方程为22y x =-，抛物线方程为22x y =-（2）【解析】【分析】(1)设直线l 的方程为2y kx =-,抛物线方程为22(0)x py p =->,再联立方程利用韦达定理表达OA OB +u u u r u u u r,继而求得直线l 的斜率与方程.(2)根据当抛物线过点P 的切线与l 平行时,APB ∆面积最大,利用导数的几何意义求解.或者设点21,2P t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭,再表达出APB ∆面积根据参数的范围分析面积表达式再求最值即可. 【详解】（1）据题意可设直线l 的方程为2y kx =-,抛物线方程为22(0)x py p =->由222y kx x py=-⎧⎨=-⎩, 得,2240x pkx p +-=.设点()()1122,,,A x y B x y ,则122x x pk +=-,()21212424y y k x x pk +=+-=--.所以()()21212,2,24OA OB x x y y pk pk +=++=---u u u r u u u r因为(4,12)OA OB +=--u u u r u u u r ,所以224,2412pk pk -=-⎧⎨--=-⎩,解得12p k =⎧⎨=⎩故直线l 的方程为22y x =-,抛物线方程为22x y =-. （2）解法一：据题意,当抛物线过点P 的切线与l 平行时,APB ∆面积最大设点()00,P x y ,因为y x '=-, 由20000122,22x x y x -=⇒=-=-=-,所以(2,2)P --.此时,点P 到直线l 的距离d === 由2222y x x y=-⎧⎨=-⎩,得,2440x x +-=.所以AB ==故APB ∆面积的最大值为1122AB d ⋅⋅=⋅= 解法二：由2222y x x y=-⎧⎨=-⎩,得,2440x x +-=.所以AB ==设点21,(222P t t t ⎛⎫---<<-+ ⎪⎝⎭,点P 到直线l 的距离为d ,则22d t ==--<<-+,当2t =-时,max d =此时点(2,2)P --. 故APB ∆面积的最大值为11225AB d ⋅⋅=⋅= 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线相交、相切的位置关系,包括联立直线与抛物线方程,利用韦达定理表示向量数量积进而求得参数的方法.同时也考查了抛物线中的面积问题.属于难题.22.已知函数21()x x ax f x e++=，其中e 为自然对数的底，a 为实常数. （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当1a >-时，求函数()f x 在区间[1,2]-上的最大值.【答案】（1）单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(,0)-∞和(1,)+∞（2）()()22max 2221(2),11()212,1e a e a e f x e a a ee ⎧-⎪--<<⎪+=⎨-⎪+⎪+⎩… 【解析】【分析】(1)求导后分析导数()0f x '>求单调增区间,再求单调递减区间即可.(2)求导后根据极值点的大小关系,分a 的情况讨论函数()f x 的单调性与最值即可.【详解】（1）当1a =时,21()x x x f x e++=,(1)()x x x f x e --'=. 由()0f x '>,得,(1)0x x -<,即01x <<.所以()f x 的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(,0)-∞和(1,)+∞.（2）(1)[(1)]()x x x a f x e----'=. 因为1a >-,则12a -<.1.当112a <-<,即10a -<<时,由()0f x '>,得11x a <<-, 则()f x 在(1,1)a -上单调递增,在[1,1)-和(1,2]a -上单调递减, 所以max ()max{(1),(1)}f x f f a =--.因为(1)(2)f a e -=-,211(1)(1)1(1)(2)a a a a a f a a e e---+-+-==- 则(1)(1)f f a ->-,所以max ()(2)f x a e =-.2.当11a -=,即0a =时,210(())x x f ex -'-=„, 所以()f x 在[1,2]-上单调递减,所以max ()(1)(2)f x f a e =-=-.3.当111a -<-<,即02a <<时,由()0f x '>,得11a x -<<, 则()f x 在(1,1)a -上单调递增,在[1,1)a --和(1,2]上单调递减, 所以max ()max{(1),(1)}f x f f =-, 因为()()221212(1)(1)(2)a e e a f f a e e e+--+--=+-=,则 当()222101e a e -<<+时,(1)(1)f f ->,max ()(1)(2)f x f a e =-=-；当()222121e a e -<+„时,(1)(1)f f -…,max 2()(1)a f x f e+==. 4.当11a --„,即2a …时,()f x 在[1,1)-上单调递增,(1,2]上单调递减, 则max 2()(1)a f x f e+==. 综上分析,()()22max 2221(2),11()212,1e a e a e f x e a a e e ⎧-⎪--<<⎪+=⎨-⎪+⎪+⎩…【点睛】本题主要考查了利用导数求函数单调性的问题,同时也考查了含参的导数单调性与最值的问题,需要根据极值点的大小进行分情况讨论,同时需要判断可能存在的最值,再分参数的不同范围确定最值.属于难题.。
2019-2020学年湖南师大附中高二上学期期中考试数学答案
设 "%&2!'2&!由0('"1#"(',!得* +&2110$&+! ,'21'$+!
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当!=&(&"时由于;&在区间 +上 单 调 递 减所 以 存 在 &+ . +使 ;&+1+且 当 &.+&+时;&#+所以/&在区间+&+上单调递增当&.&+时;&&+ 所以/&在区间&+上单调递减与已知不符! 故所求的(的取值范围是!4!=4"04! "#分
【高中数学】3.2.1 双曲线及其标准方程
3.2 双曲线3.2.1 双曲线及其标准方程基础过关练题组一 双曲线的定义及其应用1.(2020辽宁六校协作体高二上月考)已知M(-3,0),N(3,0),|PM|-|PN|=6,则动点P 的轨迹是( )A.一条射线B.双曲线右支C.双曲线D.双曲线左支2.设F 1,F 2分别是双曲线x 2-y29=1的左、右焦点.若点P 在双曲线上,且|PF 1|=5,则|PF 2|=( )A.5B.3C.7D.3或73.(2019河北唐山一中高二上月考)已知平面内两定点F 1(-2,0),F 2(2,0),下列条件中满足动点P 的轨迹为双曲线的是( ) A.|PF 1|-|PF 2|=±3 B.|PF 1|-|PF 2|=±4 C.|PF 1|-|PF 2|=±5 D.|PF 1|2-|PF 2|2=±44.已知双曲线x 24-y 25=1上一点P 到左焦点F 1的距离为10,则PF 1的中点N 到坐标原点O 的距离为( ) A.3或7B.6或14C.3D.75.已知F 1,F 2分别为双曲线C:x 2-y 2=1的左,右焦点,点P 在C 上,∠F 1PF 2=60°,则|PF 1|·|PF 2|等于 .6.已知双曲线的左,右焦点分别为F 1,F 2,过F 1的直线与双曲线的左支交于A,B 两点,线段AB 的长为5.若2a=8,那么△ABF 2的周长是 .题组二 双曲线的标准方程 7.(2019北京一一中学高二上期中)双曲线x 23-y 24=1的焦点坐标为()A.(±1,0)B.(±√7,0)C.(±√5,0)D.(±4,0) 8.已知动点P 到A(-5,0)的距离与它到B(5,0)的距离之差等于6,则P 点的轨迹方程是( )A.x 29-y 216=1B.y 29-x 216=1 C.x 29-y 216=1(x ≤3) D.x 29-y 216=1(x ≥3) 9.已知双曲线的一个焦点为F 1(-√5,0),点P 在该双曲线上,线段PF 1的中点坐标为(0,2),则该双曲线的标准方程是( )A.x 24-y 2=1 B.x 2-y24=1C.x 22-y 23=1 D.x 23-y 22=1 10.如图所示,已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A,B 为左,右焦点,且双曲线过C,D 两顶点.若AB=4,BC=3,则此双曲线的标准方程为 .11.经过点P(-3,2√7)和Q(-6√2,-7)的双曲线的标准方程是 .12.已知与双曲线x 216-y 29=1共焦点的双曲线过点P (-√52,-√6),求该双曲线的标准方程.题组三 双曲线的综合运用13.椭圆x 24+y 2a 2=1与双曲线x 2a -y 22=1有相同的焦点,则a 的值为( )A.1B.1或-2C.1或12D.1214.已知方程x 21+k -y 21−k=1表示双曲线,则k 的取值范围是( )A.(-1,1)B.(0,+∞)C.[0,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)15.若ax 2+by 2=b(ab<0),则这个曲线是( ) A.双曲线,焦点在x 轴上 B.双曲线,焦点在y 轴上 C.椭圆,焦点在x 轴上 D.椭圆,焦点在y 轴上16.(2020湖南长沙长郡中学高二上期中) 设F 1,F 2是双曲线x 25-y 24=1的两个焦点,P 是该双曲线上一点,且|PF 1|∶|PF 2|=2∶1,则△PF 1F 2的面积等于 .能力提升练题组一 双曲线的定义及其应用 1.(2020辽宁大连二十四中高二期中,)已知双曲线x 216-y 220=1的左,右焦点分别为F 1,F 2,P 为双曲线右支上一点,且PF 2的中点M 在以O 为圆心,OF 1为半径的圆上,则|PF 2|=( )A.6B.4C.2D.12.(2020湖南师大附中高二上期中检测,)已知双曲线C:x 216-y 29=1的左,右焦点分别是F 1,F 2,P 是双曲线C 的右支上的一点(不是顶点),过F 2作∠F 1PF 2的平分线的垂线,垂足是M,O 是原点,则|MO|=( ) A.随P 点变化而变化 B.2C.4D.53.(2020广东东莞高二上期末教学质量检查,)已知双曲线C:x 216-y 29=1的左、右焦点分别为F 1、F 2, P 为双曲线C 上一点,直线l 分别与以F 1为圆心,F 1P 为半径的圆和以F 2为圆心,F 2P 为半径的圆相切于点A,B,则|AB|=( ) A.2√7 B.6 C.8 D.104.()给出问题:F 1,F 2分别是双曲线x 216-y 220=1的左,右焦点,点P 在双曲线上,若点P 到焦点F 1的距离等于9,求点P 到焦点F 2的距离.某学生的解答如下: 由||PF 1|-|PF 2||=2a=8,即|9-|PF 2||=8,得|PF 2|=1或|PF 2|=17.该学生的解答是否正确?若正确,请将他的解题依据填在下面横线上;若不正确,将正确答案填在横线上..题组二 双曲线的标准方程及其应用 5.()在平面直角坐标系Oxy 中,点B 与点A(-1,1)关于原点O 对称,P 是动点,且直线AP 与BP 的斜率之积等于13,则动点P 的轨迹方程为( ) A.x 2-3y 2=-2 B.x 2-3y 2=2(x ≠±1) C.x 2-3y 2=2 D.x 2-3y 2=-2(x ≠±1) 6.(2020山东菏泽一中高二期中,)“实数mn<0”是“方程x 2m +y 2n=1表示焦点在x 轴上的双曲线”的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 7.(2019河北邯郸一中高二期末,)如图,F 1,F 2分别是双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0)的左,右焦点,过F 1(-√7,0)的直线l 与双曲线的左,右两支分别交于点A,B.若△ABF 2为等边三角形,则双曲线的方程为( )A.5x 27-5y 228=1B.x 26-y 2=1 C.x 2-y 26=1 D.5x 228-5y 27=1 8.()已知双曲线的两个焦点分别是F 1(-√5,0),F 2(√5,0),P 是双曲线上一点,且PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,|PF 1|·|PF 2|=2,则双曲线的标准方程为 . 题组三 双曲线的综合运用 9.()已知点P 在曲线C 1:x 216-y 29=1上,点Q 在曲线C 2:(x+5)2+y 2=1上,点R 在曲线C 3:(x-5)2+y 2=1上,则|PQ|-|PR|的最大值是( ) A.6 B.8 C.10 D.1210.(2019黑龙江齐齐哈尔四校联盟高二上期中,)已知双曲线x 2m -y 23m=1的一个焦点是(0,2),椭圆y 2n -x 2m=1的焦距等于4,则n= .11.(2019江西南昌二中高二上期中,)若点(x,y)在双曲线x 24-y 2=1上,则3x 2-2y 的最小值是 . 12.()已知双曲线x 24-y 29=1,F 1,F 2是其两个焦点,点M 在双曲线上.(1)若∠F 1MF 2=90°,求△F 1MF 2的面积;(2)若∠F 1MF 2=120°,△F 1MF 2的面积是多少?若∠F 1MF 2=60°,△F 1MF 2的面积又是多少?答案全解全析基础过关练1.A因为|PM|-|PN|=6=|MN|,所以动点P的轨迹是一条射线.故选A.2.D依题意得,a=1,b=3,因此c=√10,因为|PF1|=5>a+c=1+√10,所以点P可以在双曲线的左、右两支上,因此|PF1|-|PF2|=±2,即5-|PF2|=±2,所以|PF2|=3或7,故选D.3.A当|PF1|-|PF2|=±3时,||PF1|-|PF2||=3<|F1F2|=4,满足双曲线的定义,所以点P的轨迹是双曲线.故选A.4.A连接ON,PF2(F2为双曲线的右焦点),则ON是△PF1F2的中位线,∴|ON|=12|PF2|,∵||PF1|-|PF2||=4,|PF1|=10,∴|PF2|=14或6,∴|ON|=12|PF2|=7或3.5.答案4解析在△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos60°=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|,即(2√2)2=22+|PF1|·|PF2|,解得|PF1|·|PF2|=4.6.答案26解析|AF2|-|AF1|=2a=8,|BF2|-|BF1|=2a=8,∴|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=16.∴|AF2|+|BF2|=16+5=21,∴△ABF2的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=21+5=26.7.B由题意得双曲线的焦点在x轴上,且a2=3,b2=4,∴半焦距c=√a2+b2=√7,∴双曲线的焦点坐标为(±√7,0).故选B.8.D由题意知,动点P的轨迹应为以A(-5,0),B(5,0)为焦点的双曲线的右支.由半焦距c=5,实半轴长a=3,知b2=16,所以P点的轨迹方程为x29-y216=1(x≥3).故选D.9.B 设双曲线的标准方程为x 2a2-y 2b 2=1(a>0,b>0),因为半焦距c=√5,c 2=a 2+b 2,所以b 2=5-a 2,所以x 2a2-y 25−a 2=1.因为线段PF 1的中点坐标为(0,2),所以点P 的坐标为(√5,4).将P(√5,4)代入双曲线方程,得5a2-165−a 2=1,解得a 2=1或a 2=25(舍去),所以双曲线的标准方程为x 2-y24=1.故选B.10.答案 x 2-y23=1解析 设双曲线的标准方程为x 2a2-y 2b2=1(a>0,b>0).由题意得B(2,0),C(2,3),∴{4=a 2+b 2,4a2-9b2=1,解得{a 2=1,b 2=3或{a 2=16,b 2=−12(舍去).∴双曲线的标准方程为x 2-y23=1.11.答案y 225-x 275=1解析 设双曲线的方程为mx 2+ny 2=1(mn<0), 则{9m +28n =1,72m +49n =1,解得{m =−175,n =125,故双曲线的标准方程为y 225-x 275=1.12.解析 已知双曲线x 216-y 29=1,则c 2=16+9=25,∴c=5.设所求双曲线的标准方程为x 2a2-y 2b2=1(a>0,b>0).∵所求双曲线与双曲线x 216-y 29=1共焦点,∴b 2=25-a 2,故所求双曲线方程可写为x 2a 2-y 225−a 2=1.∵点P (-√52,-√6)在所求双曲线上, ∴(-√52)2a 2-(-√6)225−a 2=1,化简得4a 4-129a 2+125=0,解得a 2=1或a 2=1254.当a 2=1254时,b 2=25-a 2=25-1254=-254<0,不合题意,舍去,∴a 2=1,b 2=24,∴所求双曲线的标准方程为x 2-y224=1.13.A 由题意知{a >0,0<a 2<4,4−a 2=a +2,解得a=1.14.A 由题意得(1+k)(1-k)>0, 所以(k-1)(k+1)<0,所以-1<k<1. 故选A.15.B 原方程可化为x 2b a+y 2=1,因为ab<0,所以ba<0,所以方程表示的曲线是双曲线,且焦点在y 轴上.16.答案 12解析 ∵F 1,F 2是双曲线x 25-y 24=1的两个焦点,∴可设F 1(-3,0),F 2(3,0),∴|F 1F 2|=6,∵|PF 1|∶|PF 2|=2∶1,∴设|PF 2|=x(x>0),则|PF 1|=2x. 由双曲线的性质知2x-x=2√5,解得x=2√5. ∴|PF 1|=4√5,|PF 2|=2√5, ∴cos ∠F 1PF 2=2×4√5×2√5=45,∴sin ∠F 1PF 2=35.∴△PF 1F 2的面积为12×4√5×2√5×35=12.能力提升练 1.B 依题意得,a 2=16,b 2=20,∴c 2=36,从而c=6. 且|OM|=|OF 2|=c=6,由M 是PF 2的中点,O 是F 1F 2的中点得,|PF 1|=2|OM|=12. ∵P 在双曲线的右支上,∴|PF 1|-|PF 2|=2a=8,因此|PF 2|=12-8=4,故选B.2.C 延长F 2M 交PF 1于Q,据题意得PM 是线段F 2Q 的中垂线,即|PQ|=|PF 2|,由双曲线的定义得|PF 1|-|PF 2|=|PF 1|-|PQ|=|QF 1|=8,又线段MO 是△F 2F 1Q 的中位线,所以|MO|=4.3.B 依题意得,a=4,b=3,c=√a 2+b 2=5.设点P 在双曲线的右支上,如图所示,过F 2作F 2D ⊥AF 1于点D.易得四边形ABF 2D 为矩形.∵|AF 1|=|PF 1|,|BF 2|=|PF 2|,∴|F 1D|=|AF 1|-|AD|=|AF 1|-|BF 2|=|PF 1|-|PF 2|=2a=8. 又∵|F 1F 2|=2c=10,∴在Rt △F 1DF 2中,|F 2D|=√|F 1F 2|2-|F 1D|2=√102-82=6, ∴|AB|=|F 2D|=6.4.答案 学生的解答不正确,|PF 2|=17解析 由双曲线的定义知,||PF 1|-|PF 2||=2a,即|PF 1|-|PF 2|=±2a.正负号的取舍取决于点P 的位置是在双曲线的左支上还是右支上.因为点(4,0)到左焦点(-6,0)的距离为10>9,所以点P 只能在双曲线的左支上. 所以|PF 2|=17.5.D 由题意得,A(-1,1),B(1,-1),设P(x,y)(x ≠±1),则k AP =y -1x+1,k BP =y+1x -1.由k AP ·k BP =13,得x 2-3y 2=-2(x ≠±1).6.B 若曲线x 2m+y 2n=1是焦点在x 轴上的双曲线,则m>0,n<0,因此mn<0;若mn<0,可能有m<0,n>0的情况,此时双曲线的焦点在y 轴上,因此“mn<0”是“曲线x 2m+y 2n=1是焦点在x 轴上的双曲线”的必要而不充分条件.故选B.7.C 根据双曲线的定义,有|AF 2|-|AF 1|=2a ①,|BF 1|-|BF 2|=2a ②,由于△ABF 2为等边三角形,因此|AF 2|=|AB|=|BF 2|,①+②,得|BF 1|-|AF 1|=4a, 则|AB|=|AF 2|=|BF 2|=4a,|BF 1|=6a,又∠F 1BF 2=60°,所以(2c)2=(6a)2+(4a)2-2×6a×4a×12,即7a 2=c 2=7,解得a 2=1,则b 2=c 2-a 2=6,所以双曲线的方程为x 2-y26=1.8.答案x 24-y 2=1解析 由题意得,双曲线的焦点在x 轴上,且|F 1F 2|=2c=2√5.由双曲线的定义,知||PF 1|-|PF 2||=2a,得|PF 1|2-2|PF 1|·|PF 2|+|PF 2|2=4a 2.① 由PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0知PF 1⊥PF 2,∵|PF 1|·|PF 2|=2, ∴|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=20. 代入①式,解得a 2=4. 又c=√5,∴b 2=c 2-a 2=1, ∴双曲线的标准方程为x 24-y 2=1.9.C 由双曲线的知识,不妨设C 1:x 216-y 29=1的两个焦点分别是F 1(-5,0)与F 2(5,0),且|PF 1|-|PF 2|=8,而这两点恰好是两圆(x+5)2+y 2=1和(x-5)2+y 2=1的圆心,且两圆的半径分别是r 2=1,r 3=1,所以|PQ|max =|PF 1|+1,|PR|min =|PF 2|-1,所以|PQ|-|PR|的最大值为(|PF 1|+1)-(|PF 2|-1)=|PF 1|-|PF 2|+2=8+2=10. 故选C. 10.答案 5解析 因为双曲线的一个焦点是(0,2),所以设双曲线的标准方程为y 2a2-x 2b 2=1,a>0,b>0,又由题意得,双曲线的标准方程是y 2-3m -x 2-m=1,所以a 2=-3m,b 2=-m,所以c 2=-4m=4,即m=-1,所以椭圆方程是y 2n+x 2=1,因为椭圆的焦距2c=4,所以c=2,所以n-1=4,解得n=5.11.答案14312解析 因为点(x,y)在双曲线x 24-y 2=1上,所以x 24=1+y 2,则3x 2-2y=3(1+y 2)×4-2y=12y 2-2y+12,令f(y)=12y 2-2y+12,则二次函数的图象的对称轴为y=112,结合二次函数的图象及性质可知,当y=112时,f(y)最小,为14312.12.解析 设|MF 1|=r 1,|MF 2|=r 2(不妨设r 1>r 2),θ=∠F 1MF 2, 因为S △F 1MF 2=12r 1r 2sin θ,θ已知,所以只需求r 1r 2即可.(1)当θ=90°时,S △F 1MF 2=12r 1r 2sin θ=12r 1r 2.由双曲线方程知a=2,b=3,c=√13,由双曲线的定义,得r 1-r 2=2a=4,两边平方,得r 12+r 22-2r 1r 2=16,又r12+r22=|F1F2|2,即|F1F2|2-4S△F1MF2=16,也即52-16=4S△F1MF2,求得S△F1MF2=9.(2)若∠F1MF2=120°,则在△F1MF2中,|F1F2|2=r12+r22-2r1r2cos120°=(r1-r2)2+3r1r2=52,所以r1r2=12,求得S△F1MF2=12r1r2sin120°=3√3.同理,可求得∠F1MF2=60°时,S△F1MF2=9√3.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
2019-2020学年湖南师大附中高二(上)第一次段考数学试卷试题及答案(解析版)
2019-2020学年湖南师大附中高二（上）第一次段考数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．学校要从353名学生干部中任意选取35名学生代表参加“重走办学路”远志夏令营活动．若采用系统抽样方法，首先要随机剔除3名学生，再从余下的350名学生干部中抽取35名学生，则其中学生干部甲被选中参加活动的概率为( ) A ．110B ．3353C ．35353D ．33502．对以下命题：①随机事件的概率与频率一样，与试验重复的次数有关； ②抛掷两枚均匀硬币一次，出现一正一反的概率是13；③若一种彩票买一张中奖的概率是11000，则买这种彩票一千张就会中奖； ④“姚明投篮一次，求投中的概率”属于古典概型概率问题． 其中正确的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．33．写出命题p ：“0x R ∃∈，使得00sin cos x x +=”的否定并判断p ⌝的真假，正确的是()A ．p ⌝是“,sin cos x R x x ∀∈+≠B ．p ⌝是“0x R ∃∈，使得00sin cos x x +≠C ．p ⌝是“,sin cos x R x x ∀∈+=D ．p ⌝是“0x R ∃∉，使得00sin cos x x +≠4．如图是一组样本数据的频率分布直方图，则依据图形中的数据，可以估计总体的平均数与中位数分别是( )A ．12.5，12.5B ．13.5，13C ．13.5，12.5D ．13，135．已知如表所示数据的回归直线方程为ˆ5yx a =-，且由此得到当7x =时的预测值是28，则实数m 的值为( )A ．18B ．20C ．21D ．226．设等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，已知21832a a +=，则145(S S -= ) A ．102SB ．144C ．288D ．1145()a a +7．“方程22195x y m m +=--的曲线是椭圆”的一个必要不充分条件是( ) A ．“7m =” B ．“79m <<”C ．“59m <<”D ．“59m <<”且“7m ≠”8．甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件A = “甲击中靶”，事件B = “乙击中靶”，事件E = “靶未被击中”，事件F = “靶被击中”，事件G = “恰一人击中靶”，对下列关系式(A 表示A 的对立事件，B 表示B 的对立事件）：①E AB =，②F AB =，③F A B =+，④G A B =+，⑤G AB AB =+，⑥()1P F P =-（E ），⑦()P F P =（A ）P +（B ）．其中正确的关系式的个数是( ) A ．3B ．4C ．5D ．69．已知圆221:(1)16F x y ++=，定点2(1,0)F ，点P 在圆1F 上移动，作线段2PF 的中垂线交1PF 于点M ，则点M 的轨迹方程为( )A ．22134x y += B ．221169x y += C ．22143x y += D ．22143x y -= 10．已知双曲线22:1169x y C -=的左右焦点分别是1F ，2F ，点P 是C 的右支上的一点（不是顶点），过2F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足是M ，O 是原点，则||(MO = ) A ．随P 点变化而变化 B ．2 C ．4D ．511．如图，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别是1F ，2F ，点P 、Q 是C 上的两点，若212QF PF =，且120F P F P =，则椭圆C 的离心率为( )A B C D 12．已知椭圆22221x y a b +=过定点(1,1)，则22222b a b +的最大值是( )A ．516B ．12C ．916D ．34二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在对应题号的横线上. 13．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待10秒才出现绿灯的概率为 ．14．设a ，b R ∈，则“2log ()0a b ->”是“a b >”的 条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要” )15．设函数2()3f x x x a =-+，已知0(1t ∃∈，3]，使得当[1x ∈，0]t 时，()0f x …有解，则实数a 的取值范围是 ．16．设数列{}n a 满足1221,180,(1)n n n a a a a n n +===++-，则： （1）1352019a a a a +++⋯+= ；（2）数列22n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项对应的项数n 为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．ABC ∆内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c sin sin 2C c A =． （1）求A ；（2）若a =b =ABC ∆的面积．18．“双节”期间，高速公路车辆较多，某调查公司在一服务区从七座以下的小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的样本方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速(/)km h 分成六段；[60，65)，[65，70)，[70，75)，[75，80)，[80，85)，[85，90]后得到如图所示的频率分布直方图．（1）求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；（2）若从车速在[60，70)内的车辆中任抽取2辆，求车速在[65，70)内的车辆恰有一辆的概率．19．设双曲线时22:13yxΓ-=，正项数列{}nx满足11x=，对任意的2n…，*n N∈，都有1()n nx-是Γ上的点．（1）求数列{}nx的通项公式；（2）记12231111nn nSx x x x x x+=++⋯++++，是否存在正整数m，使得22133my xS-=与Γ有相同的渐近线？如果有，求出m的值；如果没有，请说明理由．20．某大学生参加社会实践活动，对某公司1月份至6月份销售某种配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价z和销售量y之间的一组数据如下表所示：（1）根据1至5月份的拮据，先求出y关于z的回归直线方程；6月份的数据作为检验数据．若由回归直线方程得到的预测数据与检验数据的误差不超过0.5，则认为所得到的回归直线方程是理想的．试问所求得的回归直线方程是否理想？（2）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的回归关系，如果该种机器配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得得最大利润？<注：利润=销售收入一成本>．参考数据：5211392,502.5ni i ii ix y x====∑∑．参考公式：对于一组数据1(x，1)y，2(x，2)y，(nx⋯，)ny，其回归直线ˆˆˆy bx a=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：1122211()()ˆ()nnii i ii i nniii i xx y y x ynxy bxx xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆ)ay bx =- 21．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点(0,1)．（1）设过点11(,)36P -的直线与椭圆E 相交于M 、N 两点，若MN 的中点恰好为点P ，求该直线的方程；（2）过右焦点F 的直线l （与x 轴不重合）与椭圆E 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交y 轴于点(0,)Q m ，求实数m 的取值范围． 22．已知函数21()log (),0f x a a x=+>．（1）若命题：“0[1x ∃∈，4]，0()1f x >”是真命题，求a 的取值范围； （2）若2a =，10x >，20x >，121x x +=，求12()()f x f x +的最小值；（3）若1[,1]2t ∀∈，函数()f x 在区间[t ，1]t +的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．2019-2020学年湖南师大附中高二（上）第一次段考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．学校要从353名学生干部中任意选取35名学生代表参加“重走办学路”远志夏令营活动．若采用系统抽样方法，首先要随机剔除3名学生，再从余下的350名学生干部中抽取35名学生，则其中学生干部甲被选中参加活动的概率为()A．110B．3353C．35353D．3350【解答】解：从353名学生干部中任意选取35名学生，先要随机剔除3名学生，再从余下的350名学生干部中抽取35名学生，因为被剔除与被选中的概率相同，所以甲被选中的概率为35353P=．故选：C．2．对以下命题：①随机事件的概率与频率一样，与试验重复的次数有关；②抛掷两枚均匀硬币一次，出现一正一反的概率是13；③若一种彩票买一张中奖的概率是11000，则买这种彩票一千张就会中奖；④“姚明投篮一次，求投中的概率”属于古典概型概率问题．其中正确的个数是()A．0B．1C．2D．3【解答】解：对于①，随机事件的概率是确定的值，与实验次数无关，而频率是实验值，与试验重复的次数有关，∴①错误；对于②，抛掷两枚均匀硬币一次，出现的基本事件是：{正、正}、{正、反}、{反、正}、{反、反}共4种，出现一正一反的概率是12P=，∴②错误；对于③，若一种彩票买一张中奖的概率是1 1000，则买这种彩票一千张也有可能不会中奖，∴③错误；对于④，“姚明投篮一次，求投中的概率”出现的事件有“投中”和“未中”两种，但是这两种事件的概率是不同的，不属于古典概型概率问题，④错误． 综上知，正确的个数是0． 故选：A ．3．写出命题p ：“0x R ∃∈，使得00sin cos x x +=”的否定并判断p ⌝的真假，正确的是( )A ．p ⌝是“,sin cos x R x x ∀∈+≠B ．p ⌝是“0x R ∃∈，使得00sin cos x x +≠C ．p ⌝是“,sin cos x R x x ∀∈+=D ．p ⌝是“0x R ∃∉，使得00sin cos x x +≠【解答】解：由sin cos )4x x x π+=+<…所以命题p ：“0x R ∃∈，使得00sin cos x x +=所以该命题的否定p ⌝：“,sin cos x R x x ∀∈+≠，它是真命题． 故选：A ．4．如图是一组样本数据的频率分布直方图，则依据图形中的数据，可以估计总体的平均数与中位数分别是( )A ．12.5，12.5B ．13.5，13C ．13.5，12.5D ．13，13【解答】解：根据频率分布直方图可以得到第一组的频率为0.2， 第二组的频率为0.5，则第三组的频率为0.3， 则平均数为7.50.212.50.517.50.313⨯+⨯+⨯=，由中位数的概念可以得到中位数在第二组区间(10，15]的35的位置，即中位数为310(1510)135+-⨯=．故选：D ．5．已知如表所示数据的回归直线方程为ˆ5yx a =-，且由此得到当7x =时的预测值是28，则实数m 的值为( )A ．18B ．20C ．21D ．22【解答】解：2345645x ++++==，371223955m my ++++==+，则9545ma +=⨯-，① 又2857a =⨯-，②联立①②解得：7a =，20m =． 故选：B ．6．设等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，已知21832a a +=，则145(S S -= ) A ．102SB ．144C ．288D ．1145()a a +【解答】解：等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，21832a a +=， 111732a d a d ∴+++=，解得1916a d +=， 14511141354(14)(5)22S S a d a d ⨯⨯∴-=+-+ 19(9)916144a d =+=⨯=．故选：B ．7．“方程22195x y m m +=--的曲线是椭圆”的一个必要不充分条件是( ) A ．“7m =” B ．“79m <<”C ．“59m <<”D ．“59m <<”且“7m ≠”【解答】解：因为方程22195x y m m +=--的曲线是椭圆， 则由椭圆的定义可知：905095m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得：59m <<且7m ≠，所以“方程22195x y m m +=--的曲线是椭圆”的充要条件为“59m <<且7m ≠”，所以“方程22195x y m m +=--的曲线是椭圆”的必要不充分条件是：“59m <<”． 故选：C ．8．甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件A = “甲击中靶”，事件B = “乙击中靶”，事件E = “靶未被击中”，事件F = “靶被击中”，事件G = “恰一人击中靶”，对下列关系式(A 表示A 的对立事件，B 表示B 的对立事件）：①E AB =，②F AB =，③F A B =+，④G A B =+，⑤G AB AB =+，⑥()1P F P =-（E ），⑦()P F P =（A ）P +（B ）．其中正确的关系式的个数是( ) A ．3B ．4C ．5D ．6【解答】解：甲、乙两人对同一个靶各射击一次， 设事件A = “甲击中靶”，事件B = “乙击中靶”，事件E = “靶未被击中”，事件F = “靶被击中”，事件G = “恰一人击中靶”， 在①中，事件E 是指事件A 与事件B 同时不发生，∴E AB =，故①正确； 在②中，事件F 表示事件A 和事件B 至少有一个发生， 故F A B =+，故②错误； 在③中，F A B =+，故③正确； 在④中，G AB AB =+，故④错误； 在⑤中，G AB AB =+，故⑤正确；在⑥中，由对立事件概率计算公式得()1P F P =-（E ），故⑥正确； 在⑦中，由互斥事件概率计算公式得()P F P =（A ）P +（B ），故⑦正确． 故选：C ．9．已知圆221:(1)16F x y ++=，定点2(1,0)F ，点P 在圆1F 上移动，作线段2PF 的中垂线交1PF 于点M ，则点M 的轨迹方程为( )A ．22134x y += B ．221169x y += C ．22143x y += D ．22143x y -= 【解答】解：由题意得，1(1,0)F -，则2(1,0)F '， 圆1F 的半径1||4PF =，且2||||MF MP =， 12112||||||42||MF MF PF F F +==>=；∴点M 的轨迹是以1F 、2F 为焦点的椭圆，其中实轴24a =，焦距22c =，则虚半轴b =，椭圆的方程为：22143x y +=．．故选：C ．10．已知双曲线22:1169x y C -=的左右焦点分别是1F ，2F ，点P 是C 的右支上的一点（不是顶点），过2F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足是M ，O 是原点，则||(MO = ) A ．随P 点变化而变化 B ．2 C ．4D ．5【解答】解：双曲线22:1169x y C -=的左右焦点分别是1F ，2F ， 延长2F M 交1PF 于H ，PM 是12F PF ∠的角平分线，2||||PH PF ∴=， P 在双曲线上，12||||2PF PF a ∴-=， 11||||||2PF PH F H a ∴-==，O 是12F F 的中点，M 是2F H 的中点， OM ∴是△21F F H 的中位线，1||2||HF OM ∴=，即||OM a =，双曲线22:1169x y C -=中4a =，则||4OM =． 故选：C ．11．如图，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别是1F ，2F ，点P 、Q 是C 上的两点，若212QF PF =，且120F P F P =，则椭圆C 的离心率为( )ABCD【解答】解：设2QF 的倾斜角α，延长2QF 到P '，显然PP '关于O 对称， 根据椭圆的极坐标方程221cos b a P F e α'=-，221cos b a F Q e α=+， 由221cos 21cos P F e QF e αα'+==-，1cos 3e α=， 又根据正弦定理12122sin 902sin cos F F c e a PF PF αα︒===++， 所以sin cos 1e e αα+=，的2sin 3e α=， 所以22225cos sin 9e e αα+=， 259e =，e =故选：A ．12．已知椭圆22221x y a b +=过定点(1,1)，则22222b a b +的最大值是( )A ．516B ．12C ．916D ．34【解答】解：把(1,1)代入得22111a b +=， 则22222222111211192()()22216b ab a b a b +++=+=…，当且仅当221112a b =+成立，即243a =，24b =， 故选：C ．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在对应题号的横线上. 13．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待10秒才出现绿灯的概率为 4． 【解答】解：因为红灯持续时间为40秒，所以根据已知条件可得至少需要等待10秒才出现绿灯的概率为40103404P -==， 故答案为：34． 14．设a ，b R ∈，则“2log ()0a b ->”是“a b >”的 充分不必要 条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要” )【解答】解：由2log ()0a b ->可知，1a b ->，所以0a b ->，从而得出a b >， 然而由a b >，只能得到0a b ->，得不到1a b ->，故推不出2log ()0a b ->， 所以“2log ()0a b ->”是“a b >”的充分不必要条件， 故答案为：充分不必要．15．设函数2()3f x x x a =-+，已知0(1t ∃∈，3]，使得当[1x ∈，0]t 时，()0f x …有解，则实数a 的取值范围是 (-∞，2] ． 【解答】解：()f x 的对称轴为32x =， 所以，当0(1t ∈，3]2时，[1x ∈，0]t 位于对称轴左侧，草图如下：此时2000()()30min f x f t t t a ==-+…，又对于任意0(1t ∈，3]2均成立，因此200(3)2min a t t --=…；又，当03(2t ∈，3]时，[1x ∈，0]t 越过对称轴，草图如下：此时399()()0242min f x f a ==-+…，解得94a …； 综上，2a …．故答案为：(-∞，2]．16．设数列{}n a 满足1221,180,(1)n n n a a a a n n +===++-，则： （1）1352019a a a a +++⋯+= 1010 ； （2）数列22n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项对应的项数n 为 ．【解答】解：（1）数列{}n a 满足1221,180,(1)n n n a a a a n n +===++-， 则：1311(1)11a a =++-=，3533(1)31a a =++-=，⋯⋯，2017201920172017(1)20171a a =++-=，所以135********10102a a a a +++⋯+==． 故答案为：1010．（2）由题意知：22180,(1)n n n a a a n n +==++-， 因为n 为偶数，所以22n n a a n +=+， 整理得22n n a a n +-=， 22(2)n n a a n --=-， ⋯⋯， 6424a a -=⨯， 4222a a -=⨯，累加得：222(24)n a a n +-=++⋯+， 整理得：2211802n a n n +=++， 所以：21180(2n a n n n =-+为偶数），从而得到 ()18012n a n n n n=+-为偶数，由于18018022n n n n n+==当且仅当即…， 又因为*n N ∈且n 为偶数，所以当18n =或20时，na n的值最小． 所以 数列22n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项对应的项数n 为9或10．故答案为：9或10．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．ABC ∆内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c sin sin 2C c A =． （1）求A ；（2）若a =b =ABC ∆的面积．【解答】解：（1sin sin 2C c A =．sin sin sin 2A C C A =． 因为sin 22sin cos A A A =，sin sin 0A C ≠，所以cos A =． 因为0A π<<， 所以6A π=．（2）因为a =b =6A π=．由余弦定理：2222cos a b c cb A =+- 得2650c c -+=，解得：1c =或5c =，均适合题．当1c =时，ABC ∆的面积．为1sin 2S bc A ==当5c =时，ABC ∆的面积．为1sin 2S bc A ==．18．“双节”期间，高速公路车辆较多，某调查公司在一服务区从七座以下的小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的样本方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速(/)km h 分成六段；[60，65)，[65，70)，[70，75)，[75，80)，[80，85)，[85，90]后得到如图所示的频率分布直方图．（1）求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；（2）若从车速在[60，70)内的车辆中任抽取2辆，求车速在[65，70)内的车辆恰有一辆的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图知[75，80)对应的小矩形最高， ∴这40辆小型汽车车速的众数为：758077.5(/)2km h +=． 由频率分布直方图知[60，75)对应的频率为： (0.0100.0200.040)50.35++⨯=， [75，80)对应的频率为：0.06050.3⨯=，∴中位数的估计值为：(0.50.35)75577.5(/)0.3km h-+⨯=．（2）车速在[60，70)内频率为(0.0100.020)50.15+⨯=，∴车速在[60，70)内的车辆有0.15406⨯=辆，其中车速在[60，65)内的车辆有：0.0105402⨯⨯=辆，车速在[65，70)内的车辆有：0.0205404⨯⨯=辆，∴从车速在[60，70)内的车辆中任抽取2辆，基本事件总数2615n C==，车速在[65，70)内的车辆恰有一辆包含的基本事件个数11428m C C==，∴车速在[65，70)内的车辆恰有一辆的概率815mpn==．19．设双曲线时22:13yxΓ-=，正项数列{}nx满足11x=，对任意的2n…，*n N∈，都有1()n nx-是Γ上的点．（1）求数列{}nx的通项公式；（2）记12231111nn nSx x x x x x+=++⋯++++，是否存在正整数m，使得22133my xS-=与Γ有相同的渐近线？如果有，求出m的值；如果没有，请说明理由．【解答】解：（1）正项数列{}nx满足11x=，对任意的2n…，*n N∈，都有1()n nx-是双曲线22:13yxΓ-=上的点，可得2211n nx x--=，即有2{}nx为首项和公差均为1的等差数列，可得211nx n n=+-=，即nx=；（2）11n nx x+==+，则1223111111 nn nSx x x x x x+=++⋯+=+-+-=+++，假设存在正整数m，使得22133my xS-=与Γ有相同的渐近线，即有y=与y==，即99m S =199-=， 解得9999m =，则存在正整数9999m =，使得22133m y x S -=与Γ有相同的渐近线． 20．某大学生参加社会实践活动，对某公司1月份至6月份销售某种配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价z 和销售量y 之间的一组数据如下表所示：（1）根据1至5月份的拮据，先求出y 关于z 的回归直线方程；6月份的数据作为检验数据．若由回归直线方程得到的预测数据与检验数据的误差不超过0.5，则认为所得到的回归直线方程是理想的．试问所求得的回归直线方程是否理想？（2）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的回归关系，如果该种机器配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得得最大利润？<注：利润=销售收入一成本>．参考数据：5211392,502.5ni i i i i x y x ====∑∑．参考公式：对于一组数据1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，(n x ⋯，)n y ，其回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：1122211()()ˆ()nnii i ii i nniii i xx y y x ynxy bxx xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆ)ay bx =- 【解答】解：（1）1(99.51010.511)105x =++++=，1(1110865)85y =⨯++++=，23925108ˆ 3.2502.5510b-⨯⨯==--⨯， 则ˆˆ8( 3.2)1040ay bx =-=--⨯=， 于是y 关于x 的回归直线方程为ˆ 3.240y x =-+； 取8x =，得ˆ 3.284014.4y=-⨯+=， |14.414.2|0.20.5-=<，∴所求得的回归直线方程是理想的；（2）令销售利润为W ，则2( 2.5)( 3.240) 3.248100(2.512.5)W x x x x x =--+=-+-<<，当7.5x =时，W 取最大值80．∴该产品的销售单价定为7.5元/件时，获得的利润最大．21．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点(0,1)．（1）设过点11(,)36P -的直线与椭圆E 相交于M 、N 两点，若MN 的中点恰好为点P ，求该直线的方程；（2）过右焦点F 的直线l （与x 轴不重合）与椭圆E 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交y 轴于点(0,)Q m ，求实数m 的取值范围． 【解答】解：设椭圆的焦距为2c ，由题意，222211b c e a a b c⎧=⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆E 的标准方程为2212x y +=，（1）设点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，则221122221212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得121212122()y y x x x x y y -+=--+， 由点P 为MN 的中点得直线的斜率231123k -=-=，∴该直线的方程为：1163y x -=+，化简得一般式方程为：2210x y -+=； （2）由椭圆的方程可得(1,0)F ，由题意可设直线l 的方程为1x ty =+，设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由22121x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(2)210t y ty ++-=，由韦达定理得12222t y y t +=-+，12212y y t =-+， 易求得线段AB 的垂直平分线的方程为202ttx y t +-=+， 由0x =得：22tm t =+， ①当0t =时，0m =； ②当0t ≠时，12m t t=+，当0t <时，2t t +-…，0m <，当0t >时，2t t+…0m <…综上：实数m的取值范围是[． 22．已知函数21()log (),0f x a a x=+>．（1）若命题：“0[1x ∃∈，4]，0()1f x >”是真命题，求a 的取值范围； （2）若2a =，10x >，20x >，121x x +=，求12()()f x f x +的最小值；（3）若1[,1]2t ∀∈，函数()f x 在区间[t ，1]t +的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．【解答】解：（1）21()log (),0f x a a x=+>在定义域上单调递减，0[1x ∃∈，4]，0()1f x >”是真命题， ()max f x f ∴=（1）2log (1)1a =+>， 12a ∴+>， 1a ∴>，a 的取值范围(1,)+∞；（2）若2a =，21()(2)f x log x =+，10x >，20x >，121x x +=， ∴212121()24x x x x +=…， ∴1214x x …，12221211()()(2)(2)f x f x log log x x ∴+=+++， 122212121223(4)(4)4x x log log x x x x ++=+=+…，即最小值4；（3）1[,1]2t ∀∈，函数()f x 在区间[t ，1]t +上单调递减，故()(1)1f t f t -+…，∴2211()()11log a log a t t +-++…，即112()1a a t t +++…， ∴1211(1)ta t t t t --=++…， 设1t r -=，则1[0,]2r ∈，∴21(1)(1)(2)32t r rt t r r r r -==+---+ 当0r =时，2032rr r =-+，当0r ≠时，212323r r r r r=-++-，根据对勾函数的单调性可知，当r =，12时，2r r +取得最小值92， ∴22323r r r -+…， ∴23a …．故a 的取值范围2[3，)+∞．。
湖南师大附中2019届高三摸底考试(高二上学期期末考试)理数试卷含答案
炎德 ·英才大 考 湖南 大附中2018 年春天高二期末考2019 届高三摸底考 数学(理科)命 ： 仁亮朱修周刘 才：高二数学量： 120 分分： 150 分得分： ______________一、 ：本大 共第Ⅰ卷12 小 ，每小 5 分，共 60 分，在每个小 出的四个 中，只有一 是切合 目要求的．1．已知复数 z 足 (2 ＋ i )z ＝ 2－ i ( i 虚数 位 ) ， z 等于A ．3＋ 4iB ． 3－ 4i. 3 ＋ 4. 3 － 4 C 5 5i D5 5i2．已知 P ＝{x|x2－ 5x ＋4＜ 0} ， Q ＝ { x|y ＝4－ 2x} ， P ∩Q 等于A ．(1 ， 4)B ．[2 ，4)．(1 ， 2]．( －∞， 2]CD3．已知两 本数据 {x 1，x 2，⋯， x n } 、{y1，y 2，⋯， y m } 的均匀数分h 和 k ， 把两数据归并成一 此后， 本的均匀数h ＋ k nh ＋ mk A . 2B . m ＋ nmh ＋ nkh ＋ kC .m ＋ nD .m ＋ n4．已知 {a} 等比数列， a >0， a ＋a ＝ 2， a a ＝－ 8， a ＋ a ＋ a ＋ a 等于n 1 4 7 5 614710A ．－ 7B ．－ 5C ．5D ． 75．如 是一几何体的平面睁开 ，此中四 形点，在此几何体中， 出下边4 个 ：①直 BE 与直 CF 异面； ②直 BE 与直 AF 异面； ③直 EF ∥平面 PBC ； ④平面 BCE ⊥平面 PAD.此中正确的有ABCD 正方形， E ，F 分PA ，PD 的中A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个x2y2y2x2 6．已知双曲a2 －＝ 1(a>0 ，b>0) 以及双曲b2－a2b2＝ 1(a>0 ， b>0) 的 近 将第一象限三平分，则双曲线x2－y2＝ 1(a>0 ，b>0) 的离心率为a2 b22 32 3 A ．2或 3B .6或3．2或 3.3或 6CD7．函数 f(x) ＝ sin (2x ＋φ )( 0≤φ≤ π) 图像向右平移π y 轴对称，则 φ个单位后对于6的值是π π 5πA ．0B . 6C . 3D . 68．在正三角形 ABC 内任取一点P ，则点 P 到 A ， B ，C 的距离都大于该三角形边长一半的概率为3π3π 3π3πA ．1－ 6B ． 1－ 12C ．1－ 9D ． 1－ 189．底面是边长为 1 的正方形，侧面是等边三角形的四棱锥的外接球的体积为2 2π3π23π2πA .B .3 C .3 D .3 3 10．在平面直角坐标系中， A ，B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以 AB 为直径的圆 C 与直线 2x ＋y － 4＝ 0 相切，则圆 C 面积的最小值为4π 3π5π A . 5B . 4C ． (6 － 2 5) πD . 4ex ， x ≤ 0，F(x) ＝ f(x) － x － 1，且函数 F(x) 有 2 个零点，11．已知函数 f(x) ＝x2＋ ax ＋ 1， x ＞ 0，则实数 a 的取值范围为．( －∞， 0]．( －∞， 1)ABC ．[1 ，＋∞ )D ． (0 ，＋∞ )12．已知 [ x ) 表示大于 x 的最小整数，比如[ 3) ＝ 4，[ － 1.3 ) ＝－ 1，以下命题中正确的是①函数 f(x) ＝ [ x ) － x 的值域是 ( 0， 1] ；②若 {a n } 是等差数列，则 { [ an ) } 也是等差数列；③若 {a n } 是等比数列，则 { [ an ) } 也是等比数列； ④若 x ∈ (1 ，2 018) ，则方程 [ x ) －x ＝1有 2 017 个根．2A ．②④B ．③④C ．①③D ．①④选择题答题卡题 号 123456789101112得 分答 案第Ⅱ卷二、填空题：本大题共 5 小题，每题 4 分，共20 分．13．从 3 名男同学和2 名女同学中任选2 名参加体能测试，则恰有 1 名男同学参加体能测试的概率为 ________． ( 结果用最简分数表示 )14．《九章算术》 是我国古代内容较为丰富的数学名著，书中有以下问题： “今有圆堡壔，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？答曰：二千一百一十二．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡壔就是圆柱体，它的体积为“周自相乘， 以高乘之， 十二而一． ”1 就是说： 圆堡壔 ( 圆柱体 ) 的体积 V ＝12× ( 底面的圆周长的平方×高 ) ，则该问题中圆周率 π的取值为 ________． ( 注：一丈＝ 10 尺)15. 1＋ 1(1 ＋ x) 6 睁开式中 x 2 的系数为 ________． ( 结果用数字表示 )x216．如图 2，“六芒星”由两个全等的正三角形构成，中心重合于点O 且三组对边分别平行．点 A ，B 是“六芒星” ( 如图 1) 的两个极点， 动点 P 在“六芒星”上( 内部以及界限 →) ，若OP→ →＝ xOA ＋yOB ，则 x ＋y 的最大值是 ________．三、解答题：本大题共6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17． ( 本小题满分 11 分 )如图，△ ABC 是等边三角形， D 是 BC 边上的动点 ( 含端点 ) ，记∠ BAD ＝α，∠ ADC ＝β. (1) 求 2cos α－ cos β的最大值；1(2) 若 BD ＝ 1， cos β＝ 7，求△ ABD 的面积．18.( 本小题满分11 分)已知正项等比数列{an} 的公比为3457534的等差中项．数列 {bn} q，且 a＋a ＋ a ＝16，3a是 a ，a知足 b1＝ 1，数列{( bn＋ 1－ bn)·an}的前 n 项和为 2n2＋ n.(1)求数列 { an} 的通项公式；(2)求数列 {b n } 的通项公式．19.( 本小题满分12 分)已知某几何体的直观图和三视图以以下图所示，此中正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．(1)→ 1→；设Μ为ΑΒ中点，若 BP＝ PC. 求证：ΜΡ∥平面 CΝΒ13(2)设二面角Β－ CΒ1－Ν大小为θ，求sinθ的值．20.(本小题满分12 分)某卫生监察检查部门对 5 家餐饮店进行卫生检查，若检查不合格，则一定整顿．若整顿后经复查仍不合格，则强迫封闭．设每家餐饮店检查能否合格是互相独立的，且每家餐饮店整顿前合格的概率是 0.5 ，整顿后复查合格的概率是 0.8. 计算：(1)恰巧有两家餐饮店一定整顿的概率；(2)均匀有多少家餐饮店一定整顿；(3)起码封闭一家餐饮店的概率． ( 精准到 0.01)21.( 本小题满分12 分)x2y2223已知椭圆 C：a2＋b2＝ 1(a>b>0) ，其焦点为F1， F2，离心率为2，若点 P 2 ，2知足12|PF| ＋ |PF | ＝ 2a.(1)求椭圆 C的方程；(2)若直线 l ：y＝ kx ＋ m(k，m∈ R) 与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，△AOB的重心→→5G知足： F1G· F2G＝－9，务实数 m的取值范围．22.( 本小题满分12 分)设函数 f ( x)＝ln( x＋a)＋ x2.(1) 若f ( x) 为定义域上的单一函数，务实数 a 的取值范围；x 2(2)若 g( x)＝e＋ x － f ( x)，当 a≤2时，证明： g( x)>0.炎德·英才大 考湖南 大附中2018 年春天高二期末考 2019 届高三摸底考数学 ( 理科 ) 参照答案一、2－i（2－i ）（ 2－i ） 3 41． D 【分析】由 ( 2＋ i ) z ＝ 2－ i ，得 z ＝2＋i ＝（2＋i ）（ 2－i ）＝5－5i ，故 D.2． C 【分析】解 x 2－ 5x ＋ 4＜ 0，即 ( x － 1)( x －4) ＜ 0，得 1＜x ＜ 4，故 P ＝( 1，4) ．Q 表 示函数 y ＝ 4－2x 的定 域 ，所以 4－2x ≥ 0，所以 x ∈ ( －∞ ，2] ，即 Q ＝ ( － ∞ ，2] ．故 P ∩ Q＝(1 ，2] ．故 C.3．B 【分析】因 本数据 { x 1，x 2，⋯ ，x n } 的均匀数 h ，{ y 1，y 2，⋯ ，y m } 的均匀数 k ，所以第一 数据和，第二 数据和 ，所以把两 数据归并成一 此后， 本nhmknh ＋mk的均匀数m ＋n ，故 B. 4．B 【分析】 由等比数列的性 可得 a 5a 6＝ a 4a 7＝－ 8，又 a 4＋ a 7＝2，解得 a 4＝－ 2，a 7＝4 或 a 7＝－ 2，a 4＝ 4，因 a 7＝ a 1q 6>0，所以 a 4 ＝－ 2， a 7＝ 4，a 7＝ a 4q 3＝－ 2q 3＝ 4，所以 q 3＝－a43＝－ 8，所以a1＋ 4＋ 7＋ 10＝－ 5，故 B.2，所以 1＝ ＝1， 10＝ 7aq3a a qaaa5． B 【分析】将睁开 原 几何体 ( 如 ) ，因 E ，F 分 PA ， PD 的中点，所以EF ∥ AD ∥ BC ，即直 BE 与 CF 共面，① ；因 B ?平面 PAD ， E ∈平面 PAD ，E ?AF ，所以 BE 与AF 是异面直 ， ②正确； 因 EF ∥ AD ∥ BC ，EF 平面 PBC ，BC 平面 PBC ，所以 EF ∥平面 PBC ，③正确；平面 PAD 与平面 BCE 不必定垂直，④ ．故 B.6．A【分析】由 意可知，双曲 x2 － y2 ＝1(＞ 0， ＞ 0) 的 近 的 斜角30° 或a2b2abb3cc2 a2＋b2 b22 360° ， k ＝ a ， ∴ k ＝ 3或 3 ， e ＝ a ， ∴ e ＝ a2＝a2 ＝1＋a2＝ 2 或 3 .7． D【分析】 f ( x ) ＝ sin ( 2x ＋ φ)( 0≤ φ≤ π ) 像向右平移π6 个 位后获得的函数是ππππg ( x ) ＝ si n 2x － 3 ＋φ ，又 g ( 0) ＝ sin － 3 ＋φ ＝ ±1，得 φ－ 3 ＝ k π ＋ 2 ( k ∈ Z) ，∴ φ＝5πk π ＋ 6 ( k ∈Z) ，故 D.8．A 【分析】 足条件的正三角形ABC 如 所示：2，此中正三角形 ABC 的面S △3ABC 的 点 A ，B ，C 的距离起码有一个小于1 的平面区＝ 4 ×4＝ 3. 足到正三角形ABC1域如 中暗影部分所示，其加起来是一个半径1 的半 ， S 暗影 ＝2π ， 使取到的点到三个 点 A ， B ， C 的距离大于 1 的概率 P ＝1－3π6 ，故 A.9．D【分析】 设四棱锥为 P － ABCD ，底面 ABCD 是边长为 1 的正方形， PA ＝ PB ＝ PC ＝PD ＝1 的外接球的半径为 R ，过 P 作 PO ⊥ 底面 ABCD ，垂足 O 为正方形 ABCD 的对角线 AC ，BD 的交点 ，11222 设球心为 O ，连结 AO ，因为 AO ＝ PO ＝ R ，AO 1＝ PO 1＝ 2 ，OO 1＝ 2 － R ，在 Rt △ AOO 1中， 2 －R2222 24342 3 2π＋ 2＝ R ，解得 R ＝ 2 ， V 球＝ 3π R ＝ 3π2＝ 3.110． A 【分析】设直线 l ： 2x ＋ y － 4＝ 0. 因为 | OC |＝2| AB | ＝ d 1，此中 d 1 为点 C 到直线 l1 1 4的距离 ，所以圆心 C 的轨迹为以 O 为焦点 ，l 为准线的抛物线 ．圆 C 半径最小值为2d 2＝ 2×5＝222＝4π.应选 A.，此中 d 2 为点 O 到直线 l 的距离 ，圆 C 面积的最小值为 π5 5511．B 【分析】因为 F ( x ) ＝ f ( x ) － x －1，且函数 F ( x ) 有 2 个零点，即 f ( x ) － x － 1＝0 有2 个实数根 ，所以当 x ≤ 0 时，令 e x －x － 1＝ 0，解得 x ＝ 0，此时只有一个实数根 ，当 x ＞ 0 时， 令 f ( x ) －x － 1＝ 0，即 x 2＋ ( a － 1) x ＝ 0，即 x [ x － ( 1－ a )] ＝ 0，此时解得 x ＝ 1－ a ，要使得函数F ( x ) 有 2 个零点，则 1－ a ＞ 0，所以 a ＜1，应选 B.12． D 【分析】当 x ∈Z 时， [ x ) ＝x ＋ 1， f ( x ) ＝ [ x ) － x ＝ x ＋ 1－x ＝ 1；当 x Z 时，令 [)x ＝ n ＋ a n Z a ∈ ( 0 ， 1) ，则 [ x ) n 1 ， f ( x )＝ [ x )－ x ＝ 1 a ( 0， 1) ，所以 f ( x )＝ x ， ∈ ， ＝ ＋－ ∈－ x 的值域是 ( 0，1 ； 0.9 ， ， 1.1 是等差数列 ，但 [ 0.9 ) ＝ ， [ 1 ) ＝ ， [ 1.1 ) ＝ 2 不行等 差] 1 1 2数列； 0.5 ，1，2 是等比数列 ，但 [ 0.5 ) ＝ 1，[ 1) ＝ 2，[ 2) ＝ 3 不行等比数列；由前剖析可得 当 x ∈Z 时， f ( x ) ＝1；当 x Z ， ＝ ＋ ， ∈Z ， ∈ (0 ，1) 时， f ( x ) ＝1－ a ＝1－( － ) ＝ ＋ 1) x n a n x a1 ( 1 x n n1 x ，所以 f ( x ＋ ＝ f ( x ) ，即 f ( x ) ＝ [ ) － 是周期为 的函数 ，因为 x ∈ ，2) 时 f ( x ) ＝ － x1 312－ x ＝ 2，x ＝ 2，即一个周期内有一个根，所以若 x ∈ ( 1， 2 018) ，则方程 [ x ) － x ＝ 2有 2 017个根．①④正确，应选 D.二、填空题313. 5【分析】 从 3 名男同学和2 名女同学中任选 2 名参加体能测试 ，则恰有 1 名男同学C13C123参加体能测试的概率为C25＝5.21214．3【分析】圆柱体体积公式V ＝π r h ，而由题意有 V ＝12× ( 2π r ) × h ，所以 π ＝3.15．30 【分析】 因为 1＋1( 1＋ ) 6＝ 1·( 1＋ ) 6＋ 1 ·( 1＋ ) 6，则 ( 1＋ ) 6 睁开式中含x2 xxx2x x22216214 2 2x 的项为 1·C62x ＝ 15x ， x2·( 1＋ x ) 睁开式中含 x 的项为 x2·C64x ＝ 15x ，故 x 的系数为 15＋ 15＝ 30.16．5 【分析】令正三角形边长为3，则 →＝ ( 1，0) ，→＝33，设直线与OBOA－2，2AB OC→ → →P 在 C 点时，x ＋y 有最大的交点为点 D ，若OD ＝ xOA ＋ yOB ，则 x ＋y ＝ 1. 又由线性规划知识知当值，此时 →＝ 5→，故 x ＋ y 的最大值是 5.OP OD三、解答17．【分析】 ( 1) 由 △是等 三角形 ，得 β ＝α ＋π，ABC3ππ3sinπ0≤ α≤ 3 ，故 2cos α－ cosβ ＝2cos α－cos α＋ 3 ＝ α＋ 3 ，π故当 α＝ 6 ，即 D BC 中点 ，原式取最大3.5分1 4 3( 2) 由 cos β＝ 7，得 sin β ＝ 7，πππ 3 3故 sin α＝ sinβ－3 ＝sinβcos3 － cos βsin3＝14 ， 7 分由正弦定理AB＝ sin BD，sin ∠ADB ∠BAD4 3故 AB ＝ sin β BD ＝ 7 ×1＝ 8 ， 9 分sin α33 314△ ABD11 8 323 .11 分故 S＝ 2AB · BD · sin B ＝ 2× 3×1× 2 ＝3 34 57 534 5 1343a5 a518．【分析】 ( 1) 依 意 ，a ＋ a ＋ a ＝ 16，6a＝ a ＋ a ， a＝16，a ＋ a ＝ 8，得 q2＋ q ＝38，21 1 11即 6q － q － 1＝ 0，解得 q ＝ 2或 q ＝－ 3( 舍 ) ，所以 q ＝ 2，a＝ 1，∴数列 { an } 的通 公式 a n ＝1 n －1分2.5 ( 2)c n ＝ ( b n ＋ 1－ b n ) · a n ，数列 { cn } 的前n 和S n ，S n ＝ 2n 2 ＋ n ，所以 c n ＝S1 （ n ＝1），Sn －Sn －1 （n ≥2）解得 c n ＝ 4n －1.7 分nnn － 1nnn － 2b所以 b ＋1－ b＝ ( 4n － 1)·2 ，故 b－b － 1＝( 4n － 5) ·2 ， n ≥ 2，b1＝()＋ (bn －1－bn －2 )＋⋯ ＋() ＋ ()n － bn －bn －1 b3－b2 b2－b1n － 2 n － 3 1分＝(4 －5)·2 ＋(4 －9) ·2 ＋⋯＋7·2＋3，9n1nn －3n －2n＋，T ＝3＋7·2＋ ⋯ ＋( 4n － 9) ·2( 4n － 5) ·22 n ＝ 3·2＋2n －2 ＋ ( 4n －1，7·2＋⋯ ＋(4 －9)·2－5) ·2Tnn1n － 3n －2－n －1，所以 ，－ T n ＝ 3＋ 4·2＋ ⋯＋ 4·2 ＋ 4·2( 4n － 5) ·2所以 T n ＝ ( 4n －n －19) ·2 ＋ 5，n ≥ 2，又 b 1＝ 1，n分所以 b n ＝( 4n － 9) ·2－ 1＋ 6.11 19．【分析】 (1) 明：∵ 几何体的正 矩形， 等腰直角三角形，俯 直角梯形 ， ∴ ， ， 1 两两垂直 ．且 ＝ 4， ＝ 4， 1＝ 8， ＝ 4，BA BC BBBCBABBAN以 BA ， BB 1， BC 分 x ， y ， z 成立空 直角坐 系，如则 N ( 4， 4，0) ， B 1( 0，8， 0) ，C 1( 0， 8， 4) ， C ( 0，0， 4) ，∴ M ( 2， 0，0) ．BP 12＝ (， ， ) 为平面1的一个法向∵ ＝ ，∴ ( 0，0，1) ，则→＝ ( － 2， 0，1) ，设n xPC 3PMPy z NCB量，→（x ， y ，z ）·（ 4，4，－4）＝ 0 x ＋y － z ＝0，n2·CN ＝0则（x ， y ，z ）·（－ 4，4，0）＝ 0 －x ＋y ＝0，→n2·NB1＝→取 n ＝ ( 1，1，2) ，∴MP · n ＝ ( － 2，0，1) ·( 1，1，2) ＝ 0，又 PM 平面 CNB ，∴ MP ∥平221面16 分CNB( 2) 由 ( 1) 可知平面 ΒC Β的一个法向量为 BA ＝ ( 4，0，0) ，平面 C Β Ν的法向量为 n ＝( 1，1→1 21，2) ，→（4，0，0）·（1，1，2）630BA ·n2， ∴ sin θ ＝分则 cos θ＝ →＝＝66.12|BA||n2|4× 6【注】此题只给出向量法，其余方法请参照标准酌情给分．20．【分析】 (1) 每家餐饮店一定整顿的概率是1－0.5＝ 0.5 ，且每家餐饮店能否整顿是相互独立的． 所以恰巧有两家餐饮店一定整顿的概率是P 1＝C52× ( 1－0.5 ) 2× 0.5 3＝ 5.4 分16 (2) 由题知，一定整顿的餐饮店数 ξ 听从二项散布 B (5 ， 0.5) ．进而 ξ 的数学希望是E ξ＝5×0.5 ＝ 2.5 ，即均匀有 2.5 家餐饮店一定整顿 .8 分(3) 某餐饮店被封闭，即该餐饮店第一次检查不合格，整顿后经复查仍不合格，所以该餐饮店被封闭的概率是 P 2＝ ( 1－0.5 ) × ( 1－ 0.8 ) ＝0.1 ，进而该餐饮店不被封闭的概率是 0.9. 由题意 ，每家餐 饮店能否被封闭是互相独立的 ，所以起码封闭一家餐饮店的概率是 3＝ 1－ 0.9 5≈P分21．【分析】 ( 1) 由 ＝ 2C 的方程为 x2 2y2，可设椭圆＋＝ 1，e2a2 a2点 P231322，2知足PF ＋ PF ＝2a ，等价于点 P 在椭圆上 ，∴2a2＋ 2a2＝1，∴ a＝ 2，12x22所以椭 圆 C 的方程为 2 ＋ y＝1.5 分(2)设 ( 1， y 1)， (2， y 2) ，联立得 方程组 y ＝kx ＋m ，A xB xx2＋2y2－ 2＝0，2 22消去 y 并整理得 ( 1＋2k ) x ＋ 4kmx ＋ 2m － 2＝ 0，则错误!①.7分→→52 24设 △ AOB 的重心为 G ( x ， y ) ，由 F1G ·F2G ＝－ 9，可得 x ＋ y ＝ 9. ②由重心公式可得G x1＋x2 y1＋y2，代入 ② 式，3 ， 3整理可得 ( x 1＋ x 2) 2＋ ( y 1＋ 2) 2＝4 ( x 1＋ x 2)2＋[ k ( 1＋ 2)＋2 ] 2＝4， ③yxxm2 （1＋2k2） 2 分将 ① 式代入③式并整理 ，得 m ＝ 1＋4k2 ，102（1＋2k2）24k4412则 m ＝1＋4k2 ＝ 1＋1＋4k2＝ 1＋ 41.又由>0 可知 k ≠0， 令 t ＝ k2>0，∴ t＋k2＋k44 >0，2t∪ (1，＋∞) .12分∴ m >1， ∴ m ∈ ( － ∞ ，－ 1)22．【分析】 ( 1) 解法 1： f ( x ) 的定义域为 ( － a ，＋ ∞) ， f ′ ( x ) ＝2x2＋ 2ax ＋1x ＋a方程 2x 2＋ 2ax ＋ 1＝0 的鉴别式 ＝ 4a 2－ 8.(ⅰ)若<0，即－< <2 ，在 f ( ) 的定义域内 f ′ ( x ) >0，故 f ( x ) 单一递加 ．2 ax( ⅱ ) 若 ＝ 0，则 a ＝ 2或 a ＝－ 2.若 ＝ 2 ， x ∈( －2 ，＋∞)，′ (x （ 2x ＋1）2) ＝.afx ＋ 2222当 x ＝－2 时，f ′( x ) ＝ 0，当 x ∈－ 2，－ 2∪ － 2 ，＋∞ 时，f ′ ( x ) >0，所以 f ( x )单一递加． 若 a ＝－2， x ∈ ( 2，＋ ∞ ) ，f ′ ( x ) ＝ （ 2x －1）2x － 2>0，f ( x ) 单一递加 ．(ⅲ)若 >0，即 >2 或 a <－2 ，a则2＋ 2ax ＋1＝ 0 有两个不一样的实根 x 1＝ －a － a2－2 －a ＋ a2－22x2 ， x 2＝2.当 a <－ 2时，x 1<－ a ，x 2<－ a ，进而 f ′( x ) 在 f ( x ) 的定义域内没有零点，故 f ( x ) 单一递增．当 a > 2 时， x >－ ， x >－ ， f ′ ( x ) 在 f ( ) 的定义域内有两个不一样的零点 ，12即 f ( x ) 在定义域上不但一 ． 综上：实数 a 的取值范围为 a ≤ 2.6 分解法 2：很明显 f ′ ( x ) 不行能有连续零点，若 f ( x ) 为定义域上的单一函数，1则 f ′( x ) ≤0或 f ′ ( x ) ≥0恒成立 ，又 f ′ ( x ) ＝ x ＋a ＋ 2x ，因为 x ＋a >0，所以 f ′ ( x )<0 不行能恒成立， 所以 f ( x ) 为定义域上的单一函数时，只可能 f ′ ( x ) ≥0恒成立，1111即 x ＋ a ＋ 2x ≥0恒成立 ，即 x ＋a ＋ 2( x ＋a ) － 2a ≥0，即 2a ≤ x ＋a ＋ 2( x ＋ a ) ，而 x ＋ a ＋ 2( x＋ a ) ≥2 2，所以 2a ≤2 2，a ≤2，即实数 a 的取值范围为 a ≤ 2.12x2＋2ax ＋1解法 3：由解法 2 可知 x ∈( － a ，＋ ∞) ，x ＋a ＋ 2x ≥0恒成 立，得x ＋a≥0恒成立 ，2aa即 2x＋ 2ax ＋ 1≥0恒成立 ，( ⅰ )当 a ≤0时 ， － a － －2 ＝－ 2≥0，所以 2x 2＋ 2ax ＋ 1>2a 2－ 2a 2＋ 1＝1，所以当 a ≤0时 2x 2＋ 2ax ＋1≥0恒成立；(ⅱ)当 a >0 时， － － －a ＝－ a <0，所以 ( 2 x 2＋2 ＋ 1) min ＝－ a2＋ 1，a22ax2a22所以－2 ＋1≥0时 2x ＋ 2ax ＋1≥0恒成立 ，解得 0<a ≤2，综上：实数 a 的取值范围为a ≤ 2.( 2) 因为 g ( x ) ＝e x ＋ x 2－ f ( x ) ＝ e x － ln ( x ＋a ) ， 当 a ≤2， x ∈ ( － a ，＋∞ ) 时， ln( x ＋ a ) ≤ln( x ＋ 2) ，故只要证明当 a ＝2 时， g ( x )>0.当 a ＝ 2 时，函数 ′( x ) ＝ e x －1在(－2，＋∞) 上单一递加 ， g x ＋2又 g ′ ( －1) <0， g ′( 0) >0，故 g ′ ( x ) ＝ 0 在 ( － 2，＋ ∞ ) 上有独一 实根 x 0，且 x 0∈ ( － 1，0) ，当 x ∈ ( －2，x 0) 时，g ′ ( x ) <0，当 x ∈ ( x 0，＋ ∞ ) 时，g ′ ( x ) >0，进而当 x ＝ x 0 时， g ( x ) 取得最小值 g ( x 0) ．1由 g ′( x 0) ＝ 0 得 e x 0＝ x0＋2， ln ( x 0＋ 2) ＝－ x 0，1x20＋ 2x0＋ 1（x0＋1）2故 g( x0)＝e x0－ln ( x0＋2)＝x0＋2＋ x0＝x0＋2＝x0＋2>0，所以g( x) ≥g( x0 ) >0.综上，当a≤2时， g( x)>0.12分。
湖南省师大附中高二数学上学期第一次阶段性检测试题理(含解析)
湖南省师大附中2018-2019学年高二数学上学期第一次阶段性检测试题理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知，都是实数，那么“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】；，与没有包含关系，故为“既不充分也不必要条件”.2.如图，在中，点在线段上，且，若，则（）A. B. C. 2 D.【答案】A【解析】，故故选3.对于程序：试问，若输入，则输出的数为（）A. 9B. -7C. 5或-7D. 5【答案】D【解析】【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y的函数值．【详解】由图可知：该程序的作用是计算分段函数的函数值．当输入时，输出的是：．故选：．【点睛】本题主要考查了条件结构的程序语句及分段函数的解析式，属于基础题.4.定义运算，若复数满足（为虚数单位），则的共轭复数在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】由已知得，变形后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】由题意，，∴，则，∴在复平面内对应的点的坐标为，在第一象限．故选：．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．5.已知正项等差数列的前项和为()，，则的值为( ).A. 11B. 12C. 20D. 22【答案】D【解析】【分析】本道题结合等差数列性质，结合，代入，即可。
【详解】结合等差数列的性质，可得，而因为该数列为正项数列，可得，所以结合，可得，故选D。
【点睛】本道题考查了等差数列的性质，关键抓住，即可，难度中等。
6.某城市有连接8个小区和市中心的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图所示．某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区前往小区，则他经过市中心的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】此人从小区A前往H的所有最短路径共6条．记“此人经过市中心O”为事件M，则M包含的基本事件为共4个．由此能求出他经过市中心的概率．【详解】此人从小区A前往H所有最短路径为：A→B→C→E→H，A→B→O→E→H，A→B→O→G→H，A→D→O→E→H，。
2019-2020学年湖南省长沙市湖南师大附中高二上学期第二次大练习数学试题(含答案解析)
2019-2020学年湖南省长沙市湖南师大附中高二上学期第二次大练习数学试题一、单选题1．21i i-（i 为虚数单位）的值等于（ ）A ．1 BC D ．2【答案】B【解析】根据复数的运算法则以及复数模的概念，可得结果 【详解】()()()22212221111i i i i i i i i i ++==-+-- 由21i =-，所以222112i i i i -==--所以211ii i=-==-故选：B 【点睛】本题考查复数的运算以及复数的模，主要是计算，属基础题. 2．下列说法中错误的是（ ）A ．“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件B ．命题“,sin 1x R x ∀∈≤”的否定为“00,sin 1x R x ∃∈>”C ．命题“若,x y 都是偶数，则x y +是偶数”的否命题是“若,x y 都不是偶数，则x y +不是偶数”D ．设命题p ：所有有理数都是实数；命题q ：正数的对数都是负数，则()()p q ⌝∨⌝为真命题 【答案】C【解析】采用逐一验证法，根据充分条件、必要条件的概念，命题的否定，否命题概念，以及真值表，可得结果. 【详解】 A 正确由23201x x x -+>⇒<或2x >，故“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件 B 正确特称命题的否定式全称命题，命题的否定只否定结论 C 错，“若,x y 都是偶数，则x y +是偶数”的否命题是 “若,x y 不都是偶数，则x y +不是偶数” D 正确命题p ：所有有理数都是实数，是真命题 命题q ：正数的对数都是负数，比如：lg10020=>，所以命题q 是假命题 则()()p q ⌝∨⌝是真命题. 故选：C 【点睛】本题主要判断命题的真假，审清题意以及知识的交叉应用，属基础题. 3．在等比数列{}n a 中，12846,6,5n n a a a a a a +>⋅=+=，则46a a 等于（ ） A ．56B ．65C ．23 D ．32【答案】C【解析】根据4268a a a a =⋅⋅，然后与465a a +=，可得46,a a ，最后简单计算，可得结果. 【详解】在等比数列{}n a 中，4268a a a a =⋅⋅ 由28466,5a a a a ⋅=+=所以464656a a a a +=⎧⎨⋅=⎩，又1n n a a +>，所以462,3a a ==所以4623a a = 故选：C【点睛】本题考查等比数列的性质，重在计算，当m n p q +=+，在等差数列中有m n p q a a a a +=+，在等比数列中m n p q a a a a =，灵活应用，属基础题.4．ABC ∆中，角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，若cos cA b<，则ABC ∆为( ) A ．直角三角形 B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形【答案】B【解析】由已知结合正弦定理可得sinC ＜sinBcosA,利用三角形的内角和及诱导公式可得，sin （A+B ）＜sinBcosA,整理可得有sinAcosB ＜0,结合三角形的性质可求. 【详解】∵A 是△ABC 的一个内角，0＜A ＜π， ∴sinA ＞0． ∵cb＜cosA ， 由正弦定理可得，sinC ＜sinBcosA, ∴sin （A+B ）＜sinBcosA, ∴sinAcosB+sinBcosA ＜sinBcosA, ∴sinAcosB ＜0 , 又sinA ＞0, ∴cosB ＜0 , 即B 为钝角, 故选B ．5．如图所示,使电路接通,开关不同的开闭方式有( )A ．11种B ．20种C ．21种D ．12种【答案】C【解析】试题分析：设5个开关依次为1、2、3、4、5，由电路知识分析可得电路接通，则开关1、2与3、4、5中至少有1个接通，依次分析开关1、2与3、4、5中至少有1个接通的情况数目，由分步计数原理，计算可得答案．解：根据题意，设5个开关依次为1、2、3、4、5，若电路接通，则开关1、2与3、4、5中至少有1个接通，对于开关1、2，共有2×2=4种情况，其中全部断开的有1种情况，则其至少有1个接通的有4-1=3种情况，对于开关3、4、5，共有2×2×2=8种情况，其中全部断开的有1种情况，则其至少有1个接通的8-1=7种情况，则电路接通的情况有3×7=21种；故选C ． 【考点】分步计数原理点评：本题考查分步计数原理的应用，可以用间接法分析开关至少有一个闭合的情况，关键是分析出电路解题的条件． 6．设函数()12f x x b=+-，若,,a b c 成等差数列（公差不为0），则()()f a f c +=（ ） A ．2 B ．4C ．bD ．2b【答案】B【解析】根据等差数列的性质可得2b a c =+，根据函数()12f x x b=+-关于(),2b 对称，可得结果. 【详解】 由题可知： 函数()12f x x b=+-关于(),2b 对称 又,,a b c 成等差数列（公差不为0），则2b a c =+， 所以()()()(),,,a f a c f c 关于(),2b 对称 所以()()224f a f c +=⨯= 故选：B 【点睛】本题考查了等差数列的性质，还考查了反比例型函数的对称性，关键在于函数的关于(),2b 对称，熟悉基础的函数以及函数的平移知识（左加右减），属中档题.7．已知ABC ∆为等腰三角形，满足AB AC ==2BC =，若P 为底BC 上的动点，则()AP AB AC ⋅+=u u u v u u u v u u u vA ．有最大值8B ．是定值2C ．有最小值1D ．是定值4【答案】D【解析】设AD 是等腰三角形的高.将AP u u u r 转化为AD DP +u u u v u u u v ，将AB AC u u u v u u u v +转化为2AD uuu r ，代入数量积公式后，化简后可得出正确选项. 【详解】设AD 是等腰三角形的高，长度为312-=.故()AP AB AC u u u v u u u v u u u v⋅+=()()2222222224AD DP AD AD DP AD AD +⋅=+⋅==⨯=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v .所以选D.【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查向量的数量积运算，还考查了化归与转化的数学思想方法.属于基础题.8．在学校举行的演讲比赛中，共有6名选手进入决赛，则选手甲不在第一个也不在最后一个演讲的概率为（ ） A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】D【解析】计算6位选手演讲的排法有66A ，然后计算甲不在第一个也不在最后一个演讲排法数为1444C A ，最后简单计算，可得结果. 【详解】由题可知：6位选手演讲的排法有66A甲不在第一个也不在最后一个演讲排法数为1545C A所以所求概率为15456623C A A = 故选：D 【点睛】本题主要考查排列、组合的应用，重在审清题意，排列、组合方法：特殊元素法，特殊位置法，捆绑法，插空法等，熟练使用，属基础题.9．设1F ，2F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若126PF PF a +=，且12PF F ∆的最小内角的大小为30o ，则双曲线C 的渐近线方程是（ ） A．0x ±= B0y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=【答案】B【解析】假设点P 在双曲线的右支上，由题得1212126,4,2.2PF PF aPF a PF a PF PF a⎧+=⎪∴==⎨-=⎪⎩ 12|22F F c a =Q ，所以最短边是2,PF 最小角为12PF F ∠.由余弦定理得2220224164242cos30,30.a a c a c c a =+-⨯⨯⨯∴-+=2222222230,3,3,2.ce e c a a b a b a a∴-+=∴=∴==∴+=∴=ba∴=0y ±=，故选B. 10．已知椭圆()222222210,x y a b c a b c a b +=>>>=+的左右焦点分别为12,F F ，若以2F 为圆心，b c -为半径作圆2F ，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且PT 的)a c -，则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ） A ．30,5⎛⎤ ⎥⎝⎦B．3,52⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D．1,52⎡⎢⎣⎭【答案】B 【解析】根据PT =，计算2PF 最小值为a c -，可知min PT ，然后min()2c PTa ≥-，结合c e a =，计算，可得结果.【详解】由题可知：PT =由2PF 最小值为a c -， 则minPT=又PT )a c -即min))PTc a a c ≥≥-⇒-)c a ≥- 化简可得：()22()14c a c b -≥-，则()2a c b c -≥- 所以2a c b +≤，由222a b c =+，所以2222a a c c +⎛⎫≤ ⎪⎝+⎭化简可得：223250a ac c --≥，所以23250c c a a ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，由c e a =所以25230e e +-≥，所以()()5310e e -+≥ 则1e ≤-或35e ≥，又()0,1e ∈，所以3,15e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭又b c >，所以22222b c a c c >⇒->，所以212c a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，则0e <<综上所述：3,52e ⎡∈⎢⎣⎭故选：B 【点睛】本题考查椭圆离心率的应用，离心率是热点内容，本题关键在于利用转化法，PT =，熟悉常用结论a c PF a c -≤≤+，把握细节，中档题.11．已知函数()f x 在R 上可导，其导函数为()'f x ，若函数()f x 满足：()()()1'0x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，()()222xf x f x e --=，则下列判断一定正确的是（） A ．()()10f ef < B ．()()12ef f < C ．()()303e f f >D ．()()514e f f -<【答案】C【解析】先设函数()()x f x g x e=，求导可得函数()g x 在(,1)-∞为增函数，()g x 在(1,)+∞为减函数，再由2(2)()xx f x f x e e--=，得()(2)g x g x =-，即函数()g x 的图像关于直线1x =对称，再结合函数()g x 的性质逐一判断即可. 【详解】解：令()()x f x g x e = ，则''()()()xf x f xg x e-= 因为()()()1'0x f x f x --<⎡⎤⎣⎦， 所以当1x >时，'()0g x <，当1x <时，'()0g x >，即函数()g x 在(,1)-∞为增函数，()g x 在(1,)+∞为减函数，又()()222xf x f x e--=，所以2(2)()xx f x f x e e--=， 则 ()(2)g x g x =-，即函数()g x 的图像关于直线1x =对称，则(0)(1)g g <，即()()10f ef >即A 错误；(1)(2)g g >，即()()12ef f >即B 错误；(0)(3)g g >，即03(0)(3)f f e e>，即()()303e f f >，即C 正确；(1)(4)g g ->，即()()514e f f ->，即D 错误.故选C. 【点睛】本题考查了分式函数求导、利用导数的符号研究函数的单调性，再结合函数的单调性、对称性判断值的大小关系，重点考查了函数的性质，属中档题. 12．已知()3231f x ax x =-+，定义()()(){}()()()()()(),,max ,,f x f x g x h x f x g x g x f x g x ⎧≥⎪==⎨<⎪⎩，若()()g x xf x '=，且存在[]01,2x ∈使()()00h x f x =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)2,+∞B ．13,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．(],2-∞D ．13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【答案】C【解析】利用等价转化法可得()()f x g x ≥，然后使用参数分离的方法，并构造新函数，研究新函数的单调性以及计算最值，并与a 比较，可得结果.【详解】 由题可知：()()(){}()()()()()(),,max ,,f x f x g x h x f x g x g x f x g x ⎧≥⎪==⎨<⎪⎩且存在[]01,2x ∈使()()00h x f x = 等价于()()f x g x ≥在[]1,2有解 由()3231f x ax x =-+，则()'236fx ax x =-又()()g x xf x '=，所以()3236g x ax x =- 所以32323136ax x ax x -+≥-在[]1,2有解即3132a x x ≤+在[]1,2有解， 令()313h x x x=+，()'4233h x x x =--所以[]1,2x ∈，则()'0h x <故()313h x x x=+在[]1,2单调递减 所以()()max 14h x h == 所以242a a ≤⇒≤ 故选：C 【点睛】本题考查等价转化思想以及参数分离方法的使用，关键在于得出()()f x g x ≥在[]1,2有解，熟练使用参数分离的方法，考验分析能力以及计算能力，属难题.二、填空题 13．设2422sin,sin ,tan 555a b c πππ===，则,,a b c 的大小关系为_______________. 【答案】c b a >>【解析】利用诱导公式，可得sin5a π=，根据sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭的单调性，可得,a b 大小，然后根据tan y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭的单调性，以及中间值1比较，可得结果. 【详解】由题可知：24sinsin 5sin 555a ππππ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭ 由sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭的单调递增， 所以20sinsin155a b ππ<=<=< 又tan y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭的单调递增 所以2tantan 154c ππ=>= 所以c b a >> 故答案为：c b a >> 【点睛】本题考查利用正切函数，正弦函数单调性比较式子大小，一般把角度化为同一个单调区间中，同时也会借用中间值，比如：0，1等，进行比较，审清题意，细心计算，属基础题.14．已知0,0x y >>，且211x y+=，若222x y m m <++有解，则实数m 的取值范围是_____________. 【答案】()(),42,-∞-+∞U【解析】利用等价转化法，可得()2min 22m m x y >++，根据基本不等式，可得()min 2x y +，简单计算，最后可得结果.【详解】由题可知：若222x y m m <++有解则()2min 22m m x y >++因为211x y+=，且0,0x y >> 所以()2122x y x y x y ⎛⎫+=++⎪⎝⎭42448x y x y y x +=++≥+=当且仅当4x yy x=，即2x y =时，取等号所以228m m +>，则()()2280420m m m m ->⇒+->+所以4m <-或2m >，即()(),42,m ∈-∞-⋃+∞ 故答案为：()(),42,-∞-+∞U 【点睛】本题考查能成立问题以及基本不等式的应用，关键在于利用基本不等式求得28x y +≥，对于“1”在基本不等式中的应用，细心观察，属基础题.15．已知函数()f x 在定义域[]2,3a -上是偶函数，在[]0,3上单调递减，并且()22225a f m f m m ⎛⎫-->-+- ⎪⎝⎭，则m 的取值范围是______.【答案】112m ≤<. 【解析】根据函数定义域的对称性求出a ,再利用函数的单调性及偶函数得到不等式，求解即可. 【详解】因为函数()f x 在定义域[]2,3a -上是偶函数， 所以230a -+=，解得5a =，所以可得()()22122f m f m m -->-+- 又()f x 在[]0,3上单调递减， 所以()f x 在[]3,0-上单调递增,因为210m --<，2222(1)10m m m -+-=---< 所以由()()22122f m f m m -->-+-可得，22221223103220m m m m m m ⎧-->-+-⎪-≤--≤⎨⎪-≤-+-≤⎩解得112m ≤<. 故m的取值范围是112m <. 【点睛】本题主要考查了偶函数的定义域，偶函数的单调性，不等式的解法，属于难题.16．已知函数(),0ln ,0x a e x f x x x ⎧⋅≤=⎨>⎩，若关于x 的方程()()0f f x =有且只有一个实数解，则实数a 的取值范围是_____________________. 【答案】()(),00,1a ∈-∞U【解析】令()t f x =，利用分类讨论0,0,0a a a =><，通过()0f t =，计算t ，然后比较(),y t y f x ==图象交点个数，可得结果 【详解】令()t f x =，方程()()0ff x =有且只有一个实数解即等价于(),y t y f x ==图象只有一个交点当0a =时，()0,0ln ,0x f x x x ≤⎧=⎨>⎩ 则0000t t ≤⎧⇒≤⎨=⎩或01ln 0t t t >⎧⇒=⎨=⎩ 如图若1t =时，有1个交点 当0t ≤时，有无数个交点， 所以0a =，不符合题意 当0a >时，则00t t t ae ≤⎧⇒∈∅⎨=⎩或01ln 0t t t >⎧⇒=⎨=⎩ 如图当1t =时，要使(),y t y f x ==图象只有一个交点 则011ae a <⇒<，所以01a << 当0a <时， 则00tt t ae ≤⎧⇒∈∅⎨=⎩或01ln 0t t t >⎧⇒=⎨=⎩ 如图当1t =时，(),y t y f x ==图象只有一个交点 所以0a <综上所述：()(),00,1a ∈-∞U 故答案为：()(),00,1a ∈-∞U 【点睛】本题考查镶嵌函数的应用，掌握等价转化思想，化繁为简以及数形结合，形象直观，考验分析能力以及逻辑推理能力，属难题.三、解答题17．电动摩托车的续航里程，是指电动摩托车在蓄电池满电量的情况下一次能行驶的最大距离.为了解A ，B 两个不同型号电动摩托车的续航里程，现从某卖场库存电动摩托车中随机抽取A ，B 两个型号的电动摩托车各5台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：已知A ，B 两个型号被测试电动摩托车续航里程的平均值相等. （1）求a 的值；（2）求A 型号被测试电动摩托车续航里程标准差的大小；（3）从被测试的电动摩托车中随机抽取A ，B 型号电动摩托车各1台，求至少有1台的续航里程超过122km 的概率.（注：n 个数据12,,,n x x x ⋯，的方差()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦L ，其中x 为数据12,,,n x x x ⋯的平均数）【答案】（1）127；（2（3）2125【解析】（1）分别计算A ，B 两个型号被测试电动摩托车续航里程的平均值，然后根据平均值相等，可得结果.（2）根据（1）的结论，计算A 型号被测试电动摩托车续航里程方差2A s ，然后可得A s （3）先计算抽取A ，B 型号电动摩托车各1台的总数1155C C ，然后计算没有1台续航里程超过122km 的数目，最后求比值，可得结果. 【详解】（1）A 型续航里程的平均数：120+125+122+124+124=1235A x =B 型续航里程的平均数：118+123+127+120+488=55B a a x +=又B A x x =，所以127a = （2）由()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦L A 型号被测试电动摩托车续航里程方差：()()()()()2222223211115A s ---⎡⎤=+-+-+⎣+⎦则23.2A s =（km 2）所以标准差为A s =（3）抽取A ，B 型号电动摩托车各1台的总数115525C C = 没有1台续航里程超过122km 的数目为11224C C =所以至少有1台的续航里程超过122km 的概率：42112525P =-=【点睛】本题考查统计量的计算，以及古典概型的应用，重在于对数据的处理，审清题意，细心计算，掌握基本统计量：平均数，方差，标准差，中位数，卡方等计算方法，属基础题18．已知向量2cos ,1,cos,3cos 22x x a b x π-⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r . （1）当a b ⊥r r时，求2cos sin 2x x +的值；（2）设函数()()f x a b a =-⋅r r r，在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()4,f A a ==ABC ∆的面积S 的最大值.【答案】（1）710；（2）52【解析】（1）向量垂直的坐标表示，可得tan 3x =，所求式子利用二倍角正弦公式以及平方关系，结合弦化切可得22tan 1tan 1x x ++，然后简单计算，可得结果. （2）根据向量的坐标运算，以及辅助角公式，可得()f x ，根据()4f A =，可得2A π=，然后用勾股定理以及基本不等式，可得bc 的最大值，最后根据三角形面积公式，可得结果. 【详解】（1）由a b ⊥r r，所以0a b ⋅=r r ，又2cos ,12x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭rcos ,3cos sin ,3cos 22x x b x x π-⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r所以2cossin 3cos 3cos sin 022x x x x x ⎛⎫-+=-= ⎪⎝⎭又cos 0x ≠，所以tan 3x =22222cos 2sin cos 2tan 1cos sin 2cos sin tan 1x x x x x x x x x +++==++ 所以222317cos sin 23110x x ⨯++==+（2）2cos +sin ,13cos 22x x a b x ⎛⎫-=-⎪⎝⎭r r 所以()2cos +sin 2cos 13cos 222x x xf x x ⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭ 则()24cos2sin cos 13cos 222x x xf x x =++- 则()()21cos sin 13cos f x x x x =+++- 所以()sin cos 334f x x x x π⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭由()4f A =344A π⎛⎫-+= ⎪⎝⎭则sin 4A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 由()0,A π∈，所以3,444A πππ⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以442A A πππ-=⇒=所以可知三角形ABC ∆为直角三角形则2222a b c bc =+?（当且仅当b c =时，取等号）又a =，所以5bc ≤ 所以1522S bc =? 【点睛】本题考查向量的坐标运算以及二倍角公式的使用，还考查了辅助角公式以及基本不等式的应用，本题主要就是在于计算，考验分析能力以及计算能力，注意知识的交叉应用，属中档题19．已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前三项和为9，且137,,a a a 恰为等比数列{}n b 的前三项.（1）分别求数列{}n a ，{}n b 的前n 项和,n n S T ； （2）记数列{}n n a b 的前n 项和为n K ，设n n n nS T c K =，求证：()*1n n c c n N +>∈. 【答案】（1）1n a n =+，2nn b =，()32n n n S +=，122n nT+=-；（2）证明见详解【解析】（1）根据等差数列的前n 项和公式以及通项公式，结合等比数列的性质，可得()()1211133926a d a d a a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩，可得1,a d ，进一步可得q ，然后利用公式法，可得结果. （2）根据（1）的结论可得n n a b ，然后使用错位相减法求和可得n K ，进一步得到n c ，然后使用作差法可得结果. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠， 等比数列{}n b 的公比为q 则由题可知：()()112322317111339926a d a a a a a a a d a a d +=⎧++=⎧⎪⇒⎨⎨=+=+⎩⎪⎩ 所以121a d =⎧⎨=⎩或130a d =⎧⎨=⎩（舍）所以()111n a a n d n =+-=+ 由11232,4b a b a ====，则212b q b == 所以2nn b =，()()1+322n n a a n n n S +==，()111221nn n b q T q+-==--（2）由（1）可知：()12n nn n a b =+⋅所以()23223242...12nn n K =⋅+⋅+⋅+++⋅①则()2341223242 (12)2n n n K +=⋅+⋅+⋅+++⋅②所以①-②可得：()()2231222...212n n n n K +=++++-+⋅-所以()()1211412212212n n n nn n K -++-=+-+⋅=-⋅--所以12n n K n +=⋅()()()()111322222321n n n n n n n nn S T c K n nn ++++-+-=⋅==()()()()121142122321n n n n n n c n n c ++++-=-+--+则1122202n n n n n c c +++++-=> 所以()*1n n c c n N +>∈【点睛】本题考查数列的综合应用，识记公式，掌握数列求和的常用方法，比如：错位相减，裂项相消法，分组求和等，同时熟悉式子比较大小，常用作差法，考验计算能力，属中档题20．在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆为正三角形，点D 在棱BC 上，且3CD BD =，点E 、F 分别为棱AB 、1BB 的中点．（1）证明：1//A C 平面DEF ；（2）若1A C EF ⊥，求直线11A C 与平面DEF 所成的角的正弦值． 【答案】（1）见解析；（26【解析】（1）连接1AB ，连接1A B 分别交EF 、1AB 于点G 、O ，再连接DG ，证明出13AG BG =，结合条件3CD BD =可得出1//A C DG ，然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出1//A C 平面DEF ；（2）取11A B 的中点M ，连接EC 、EM ，证明出EM ⊥平面ABC ，且CE AB ⊥，设等边三角形ABC 的边长为2，并设1AA a =，以点E 为坐标原点，EA 、EM 、EC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系E xyz -，由1A C EF ⊥得出a 的值，并计算出平面DEF 的法向量，利用空间向量法求出直线11A C 与平面DEF 所成的角的正弦值. 【详解】（1）如下图所示，连接1AB ，连接1A B 分别交EF 、1AB 于点G 、O ，再连接DG ，E Q 、F 分别为AB 、1BB 的中点，则1//EF AB ，EF BOG =Q I ，则G 为OB 的中点，在直三棱柱111ABC A B C -中，11//AA BB ，则四边形11AA B B 为平行四边形，11A B AB O =Q I ，O ∴为1A B 的中点，11124BG BO A B ∴==，13A G BG ∴=， 13AGCD BD BG∴==，1//AC DG ∴， 1A C ⊄Q 平面DEF ，DG ⊂平面DEF ，1//AC ∴平面DEF ；（2）取11A B 的中点M ，连接EC 、EM ，Q 四边形11AA B B 为平行四边形，则11//AB A B ，E Q 、M 分别为AB 、11A B 的中点，1//AE A M ∴，所以，四边形1AEMA 是平行四边形，1//EM AA Q ，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，EM ∴⊥平面ABC ，ABC ∆Q 是等边三角形，且点E 是AB 的中点，CE AB ∴⊥，以点E 为坐标原点，EA 、EM 、EC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系E xyz -，设ABC ∆的边长为2，1AA a =，则点()1,0,0A 、()11,,0A a、(10,C a、(C 、()0,0,0E、3,0,44D ⎛- ⎝⎭、1,,02a F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(11,AC a =--u u u r ，1,,02a EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，1A C EF ⊥Q ，则21102a AC EF ⋅=-=u u u r u u u r，得a =(11AC AC ==-u u u u r u u u r Q，34ED ⎛=- ⎝⎭u u u r，EF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r . 设平面DEF 的法向量为(),,n x y z =r，由30402n ED x z n EF x y ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩u u u v v u u u v v，得y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩. 令1x =，可得y，z =DEF的一个法向量为(n =r，111111cos ,A C n A C n A C n ⋅===⋅u u u u r ru u u u r r u u u u r r ，因此，直线11A C 与平面DEF【点睛】本题考查直线与平面平行的证明，同时也考查了直线与平面所成角的正弦值的计算，一般建立空间直角坐标系，利用空间向量法来求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.21．已知抛物线()2:20E y px p =>经过点()2,4A ，过A 作两条不同直线12,l l ，其中直线12,l l 关于直线2x =对称.（1）求抛物线E 的方程及其准线方程；（2）设直线12,l l 分别交抛物线E 于,B C 两点（均不与A 重合），若以线段BC 为直径的圆与抛物线E 的准线相切，求直线BC 的方程.【答案】（1）抛物线E 的方程为28y x =，准线方程为2x =-；（2）20x y +-=【解析】（1）代值计算，可得结果.（2）假设直线AB 方程()42x t y =-+（且B 在直线2x =左边），然后抛物线方程结合韦达定理，可得B ，同理得C ，然后利用准线与圆的位置关系得t ，最后简单计算，可得结果.【详解】（1）由题可知：2444px p =⇒=所以抛物线E 的方程为28y x =，准线方程为2x =-（2）由题可知：设直线AB 方程()42x t y =-+设直线AC 方程()42x t y =--+且B 在直线2x =左边，则0t >另设()()1122,,,B x y C x y ()22428321608x t y y ty t y x⎧=-+⇒-+-=⎨=⎩ 则114321684y t y t =-⇒=-所以()21142882x t y t t =-+=-+ 故()2882,84B t t t -+-同理()2882,84C t t t ++--所以线段BC 的中点()282,4t +-由线段BC 为直径的圆与抛物线E 的准线相切，则22822t =++2168t =+，化简可得：2210t -+=，所以2t =由0t >，所以2t =所以()()64,64B C -+- 则直线BC的斜率为441BC k --==- 所以直线BC 方程为()(164y x ⎡⎤=-⨯-+-⎣⎦即20x y +-=【点睛】本题考查抛物线与直线的几何关系应用，直线与圆锥曲线的应用常常联立方程，结合韦达定理，考验计算能力以及分析能力，属难题.22．已知函数()ln f x x x =，函数()2()2a g x x x a a R =+-∈. （1）求函数()f x 在[],1e e +上的最小值；（2）函数()()()F x f x g x =-，若()F x 在其定义域内有两个不同的极值点，求a 的取值范围；（3）记()()()F x f x g x =-的两个极值点分别为12,x x ，且12x x <.已知0λ>，若不等式112e x x λλ+<⋅恒成立，求λ的取值范围.注： 2.71828e =⋯为自然对数的底数.【答案】（1）e ；（2）10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）1λ≥ 【解析】（1）计算()'fx ，判断()'f x 在[],1e e +的符号，可得()f x 的单调性，可得结果. （2）计算()'F x ，采用等价转化思想，()'0F x =有两个不同的实数根，然后分离参数，并构建新的函数，判断新函数的单调性，求得极值，最后与a 比较大小，可得结果. （3）通过两边取对数以及1122ln ,ln ax x ax x ==，1212ln ln x x a x x -=-化简式子， 可得()()112212ln1x x x x x x λλ<++-，利用换元法并构造函数，根据导数研究函数的性质，可得结果 【详解】（1）由题可知：()'ln 1fx x =+ 当[],1x e e ∈+，()'0f x > 所以()f x 在区间[],1e e +单调递增，所以()()min f x f e e ==，（2）()2ln 2a F x x x x x a =--+，定义域为()0,∞+ 则()'ln F x x ax =-，由()F x 在其定义域内有两个不同的极值点则()'0F x =在()0,∞+有两个不同的实数根 等价于ln x a x=在()0,∞+有两个不同的实数根 等价于函数()ln ,x y a h x x==图象在()0,∞+有两个交点 则()'21ln x h x x -= 令()'0h x >，则0x e << 令()'0h x <，则x e > 所以()h x 在()0,e 递增，在(),e +∞递减则()h x 有极大值为()1h e e=， 当(),x e ∈+∞时，ln y x =递增，且ln 1x >所以当(),x e ∈+∞时，()0h x > 所以10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（3）由（2）可知：()'ln F x x ax =- 由()F x 两个极值点分别为12,x x所以1122ln 0,ln 0x ax x ax -=-=所以1122ln ,ln ax x ax x == 则12121212ln ln ln ln x x ax ax x x a x x --=-⇒=-由1212e x x λ+<⋅，所以两边取对数可知：121ln ln x x λλ+<+，所以121ax a x λλ+<+ 则121a x x λλ+>+，所以121212ln ln 1x x x x x x λλ->-++ 由12x x < 所以()()112212ln 1x x x x x x λλ<++- 令()12,0,1x t t x =∈ 所以()()11ln t t t λλ+-<+，则()()ln 011t t t λλ+--<+ 若不等式112e x x λλ+<⋅恒成立等价于()()ln 011t t t λλ+--<+，()0,1t ∈恒成立 令()()()11ln t h t t t λλ+-=-+，()0,1t ∈ 则()()()()()()222'2111h t t t t t t t λλλλ--+=-=++ 当21λ≥，即1λ≥，可得()'0h t > 所以()h t 在()0,1单调递增，又()10h =所以当()0,1t ∈时，()0h t <恒成立当21λ<，即01λ<<时，若()20,t λ∈，()'0h t > 若()2,1t λ∈，()'0h t <所以()h t 在()20,λ递增，在()2,1λ递减 又()10h =，所以当()0,1t ∈时，()0h t <不恒成立综上所述：1λ≥【点睛】本题考查导数的综合应用，关键在于构造函数以及换元法的使用，考验分析能力，观察能力以及极强的逻辑推理能力，属难题.。
湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期入学考试数学试题 - 副本
湖南师大附中2023-2024学年度高二第一学期入学考试数 学时量：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合=>A x x log 02}{，==≤B y y x x2,0}{，则=AB ( )A.∅B.>x x 0}{ C.<≤x x 01}{D.>x x 1}{2.已知复数=+z a i (>a 0，i 是虚数单位)，若=z z1的虚部是( ) A.101 B.-101 C.10i 1D.-10i 13.下列命题错误的是( )A.“=x 1”是“-+=x x 3202”的充分不必要条件B.“=πx k 4，Z ∈k ”是“=x tan 1”的必要不充分条件 C.对于命题R ∃∈p x :，使得++<x x 102，则⌝p 是：R ∀∈x ，均有++≥x x 102 D.命题“R ∃∈x ，+≥x x 21”的否定形式是“R ∀∈x ，+>xx 21” 4.已知扇形的周长为10cm ，面积为4cm 2，则该扇形圆心角的弧度数为( )A.1或4B.21或8C.1D.21 5.在空间中，l ，m 是不重合的直线，α，β是不重合的平面，则下列说法正确的是( )A.若⊥αl ，l m //，αβ//，则⊥βmB.若l m //，⊂βm ，则βl //C.若⊥αβ，=αβm ，⊥l m ，则⊥βlD.若⊂αl ，⊂βm ，αβ//，则l m //6.函数()1sin ln1x f x x x -=⋅+的大致图象为( ) A. B.C. D.7.天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，用数字0，1，2，3表示下雨，数字4，5，6，7，8，9表示不下雨，由计算机产生如下20组随机数：977，064，191，925，271，932，812，458，569，683， 431，257，394，027，556，488，730，113，537，908.由此估计今后三天中至少有一天下雨的概率为( )A.0.6B.0.7C.0.75D.0.88.下列命题不正确的是( )A.若非零向量a ，b ，c 满足//a b ，//b c ，则//a cB.向量a ，b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得λ=b a 成立C.在ABC △中，16b =，20c =，60B =︒，则该三角形不存在D.若()3,1AB =，()1,AC m m =-，BAC ∠为锐角，则实数m 的取值范围是34m >二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.下列各式中值为的是( )A.tan12tan 331tan12tan 33︒︒-︒+︒B.sincos1212ππC.sin 72cos18cos72sin18-︒︒︒︒22cos sin 88ππ⎫-⎪⎭10.下列命题正确的有( )A.若0a b <<，则22a ab b <<B.若a b >，c d >，则a d b c ->-C.若0b a <<，0c <，则c c a b < D.若0a >，0b c >>，则b b ac c a+<+11.2020年，我国全面建成小康社会取得伟大历史性成就，脱贫攻坚战取得了全面胜利.下图是20132019年我国农村减贫人数(按现行农村贫困标准统计)统计图，2019年末我国农村贫困人口仅剩的551万人也在2020年标准下全部脱贫.以下说法正确的是( )A.2013~2020年我国农村贫困人口逐年减少B.20132019年我国农村贫困人口平均每年减少了1300万人以上C.2017年末我国农村贫困人口有3046万人D.2014年末与2016年末我国农村贫困人口基本持平12.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11A D 的中点，Q 为11A B 上任意一点，E 、F 为CD 上任意两点，且EF 的长为1，则下列四个值中为定值的是( )A.点P 到平面QEF 的距离B.二面角P EF Q --的大小C.直线PQ 与平面PEF 所成的角D.三棱锥P QEF -的体积三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.事件A 、B 是相互独立事件，若()0.3P A =，()P B n =，()0.9P A B +=，则实数n 的值等于________. 14.某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分成5组：[)13,14，[)14,15，[)15,16，[)16,17，[]17,18，已知各组频数之比为1:3:7:5:4，那么成绩的第70百分位数约为________秒.15.设点P 在ABC △内部且为ABC △的外心，6BAC π∠=，如图.若PBC △，PCA △，PAB △的面积分别为12，x ，y ，则x y +的最大值是________. 16.“求方程34155xx⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解”有如下解题思路：构造函数()y f x =，其表达式为()35xf x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭45x⎛⎫⎪⎝⎭，易知函数()y f x =在R 上单调递减，且()21f =，故原方程有唯一解2x =.类比上述解题思路，不等式()3622323x x x x -->+-的解集为________.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分)设ABC △的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且3b =，1c =，2A B =.(1)求a 的值； (2)求cos 3A π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.18.(本小题满分12分)用斜二测画法画一个水平放管的平面图，其直观图如图所示，已知3A B ''=，1B C ''=，3A D ''=，且//A D B C ''''.(1)求原平面图形ABCD 的面积；(2)将原平面图形ABCD 绕BC 旋转一周，求所形成的几何体的表面积和体积.某学校高一年级在期末考试成绩中随机抽取100名学生的数学成绩、按成绩分组，得到的频率分布表如下所示.(1)请先求出频率分布表中①，②位置相应数据，并估计这次考试中所有同学的平均成绩；(2)为了解学生的学习状态，年级决定在第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生作为第一批座谈对象，第3，4，5组每组各有多少名学生是座谈对象？如果年级决定在这6名学生中随机抽取2名学生单独交流，求第4组有且只有一名学生被选中的概率.20.(本小题满分12分)已知向量sin2x ω⎫=-⎪⎭a ，sin ,2sin2x x ωω⎛⎫= ⎪⎝⎭b ，函数()1f x =⋅+a b (其中01ω<<)，函数()f x 的图象的一条对称轴是直线2x π=.(1)求ω的值； (2)若03πα<<且3423f α⎛⎫=⎪⎝⎭，求3328f πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值.如图，在四棱锥P ABCD -中，ABD △是边长为2的正三角形，BC CD ⊥，BC CD =，PD AB ⊥，平面PBD ⊥平面ABCD .(1)求证：PD ⊥平面ABCD ；(2)若1PD =，求二面角C PB D --的平面角的余弦值.22.(本小题满分12分)已知函数()22xxf x -=-，()2log g x x =.(1)若对任意的()0,1x ∈，()()f g x kx <恒成立，求实数k 的取值范围； (2)设函数()()sin 4xh x g x π=+，()h x 在区间()0,+∞上连续不断，证明：函数()h x 有且只有一个零点0x ，且05sin 46x f π⎛⎫< ⎪⎝⎭.。
2019-2020学年湖南师范大学附属中学高二上学期第一次阶段性检测数学试题(含答案解析)
2019-2020学年湖南省长沙市湖南师范大学附属中学高二上学期第一次阶段性检测数学试题一、单选题1．学校要从353名学生干部中任意选取35名学生代表参加“重走办学路”远志夏令营活动．若采用系统抽样方法，首先要随机剔除3名学生，再从余下的350名学生干部中抽取35名学生，则其中学生干部甲被选中参加活动的概率为（）A．110B．3353C．35353D．3350【答案】C【解析】每位同学被选中的概率都相等，为35 353.【详解】由题：甲被选中，必须首先要没有被剔除，然后再被选中，所以其概率为3503535 353350353⨯=.故选：C【点睛】此题考查概率的计算，其本质反映了采取此种抽样方法对每个个体公平. 2．对以下命题：①随机事件的概率与频率一样，与试验重复的次数有关；②抛掷两枚均匀硬币一次，出现一正一反的概率是13；③若一种彩票买一张中奖的概率是11000，则买这种彩票一千张就会中奖；④“姚明投篮一次，求投中的概率”属于古典概型概率问题．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】概率与试验重复的次数无关，抛掷两枚均匀硬币一次，出现一正一反的概率是1 2，若一种彩票买一张中奖的概率是11000，则买这种彩票一千张仍然不一定中奖，姚明投篮的结果中与不中概率不相等.【详解】随机事件的概率与频率不一样，与试验重复的次数无关，所以①错误；抛掷两枚均匀硬币一次，可能的结果：正正，正反，反正，反反，所以出现一正一反的概率是12，所以②错误； 若一种彩票买一张中奖的概率是11000，这是随机事件，则买这种彩票一千张不一定会中奖，所以③错误；“姚明投篮一次，求投中的概率”， 姚明投篮的结果中与不中概率不相等，不属于古典概型概率问题，所以④错误． 故选：A 【点睛】此题考查概率及相关概念的辨析，涉及古典概型的辨析，对基本事件的认识.3．写出命题:p “0x R ∃∈，使得00sin cos x x +=的否定并判断p ⌝的真假，正确的是（ ）A ．p ⌝是“x R ∀∈，sin cos x x +≠且为真B ．p ⌝是“0x R ∃∈，使得00sin cos x x +≠且为真C ．p ⌝是“x R ∀∈，sin cos x x +=且为假D ．p ⌝是“0x R ∃∉，使得00sin cos x x +≠且为假 【答案】A【解析】根据特称命题的否定方式写出命题，并判断真假. 【详解】命题:p “0x R ∃∈，使得00sin cos x x +=”的否定：p ⌝是“x R ∀∈，sin cos x x +≠，sin cos 4x x x π⎛⎫+=+≤ ⎪⎝⎭p ⌝是真命题.故选：A 【点睛】此题考查特称命题的否定，并判断命题的真假，关键在于准确写出命题的否定，结合三角函数相关知识判断真假.4．如图是一组样本数据的频率分布直方图，则依据图形中的数据，可以估计总体的平均数与中位数分别是（ ）A ．12.5,12.5B ．13.5,13C ．13,12.5D ．13,13【答案】D【解析】根据频率分布直方图的平均数与中位数的计算方式即可求解. 【详解】由题：第一组面积50.040.2⨯=，第二组面积50.10.5⨯=，所以第三组面积0.3 平均数为：0.27.50.512.50.317.5 1.5 6.25 5.2513⨯+⨯+⨯=++=， 设中位数为x ，()0.2100.10.5x +-⨯=，解得13x =. 故选：D 【点睛】此题考查根据频率分布直方图求平均数和中位数，关键在于熟练掌握频率分布直方图相关数据的计算方法，准确计算.5．已知下表所示数据的回归直线方程为$5y x a =-，且由此得到当7x =时的预测值是28，则实数m 的值为（ ）x2 3 4 56 y3712m23A ．18B ．20C ．21D ．22【答案】B【解析】根据当7x =时的预测值是28，求出7a =，求出样本点的中心，根据平均数求解. 【详解】当7x =时的预测值是28，2835a =-， 得7a =，4x =，可得13y =，∴()371223513m ++++÷=，得20m =．此题考查根据回归直线特征求已知数据中的值，关键在于准确掌握回归直线必过的点，建立等式求解.6．设等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，已知21832a a +=，则145S S -=（ ） A ．102S B ．144C ．288D ．()1145a a +【答案】B【解析】根据等差数列求和公式表示出145S S -，根据21832a a +=结合等差数列性质求解. 【详解】由题：等差数列中：()()614218145671499 (14422)a a a a S S a a a ++-=+++===．故选：B 【点睛】此题考查等差数列求和公式和等差数列性质的综合应用，熟练掌握相关性质可以减少计算量.7．“方程22195x y m m +=--的曲线是椭圆”的一个必要不充分条件是（ ）A ．“7m =”B ．“79m <<”C ．“59m <<”D ．“59m <<且7m ≠”【答案】C【解析】先解出曲线表示椭圆的充要条件，再结合选项求解. 【详解】考虑：方程22195x y m m +=--的曲线是椭圆，则：905095m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，即()()5,77,9m ∈U ，A 是其既不充分也不必要条件，B 是其充分不必要条件，C 是其必要不充分条件，D 是其充要条件.此题考查充分条件与必要条件的辨析，关键在于根据曲线表示椭圆准确求解参数的范围，准确辨析必要不充分条件的集合表示关系.8．甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件A =“甲击中靶”，事件B =“乙击中靶”，事件E =“靶未被击中”，事件F=“靶被击中”，事件G =“恰一人击中靶”，对下列关系式（A 表示A 的对立事件，B 表示B 的对立事件）：①E AB =，②F AB =，③F A B =+，④G A B =+，⑤G AB AB =+，⑥()()1P F P E =-，⑦()()()P F P A P B =+．其中正确的关系式的个数是（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】根据事件关系，靶为被击中即甲乙均未击中；靶被击中即至少一人击中，分为恰有一人击中或两人都击中，依次判定即可. 【详解】由题可得：①E AB =，正确；②事件F=“靶被击中”，AB 表示甲乙同时击中，F AB AB AB =++，所以②错误；③F A B =+，正确，④A B +表示靶被击中，所以④错误；⑤G AB AB =+，正确；⑥,E F 互为对立事件，()()1P F P E =-，正确；⑦()()()()P F P A P B P AB =+-，所以⑦不正确． 正确的是①③⑤⑥． 故选：B 【点睛】此题考查事件关系和概率关系的辨析，需要熟练掌握事件的关系及其运算，弄清事件特征及其概率特征准确辨析.9．已知圆()221:116F x y ++=，定点()21,0F ，点P 在圆1F 上移动，作线段2PF 的中垂线交1PF 于点M ，则点M 的轨迹方程是（ ）A ．22134x y +=B ．221169x y +=C ．22143x y +=D ．22143x y -= 【答案】C【解析】根据线段2PF 的中垂线上的点到两端点距离相等，转化成12MF MF +为定值，即可得到椭圆. 【详解】因为线段2PF 的中垂线交1PF 于点M ，2MF MP =，则点M 满足：1211242MF MF F P F F +==>=，故点M 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，且24a =，22c =，所以椭圆的方程为22143x y +=．故选：C 【点睛】此题考查根据定义方法判定曲线轨迹为椭圆，需要熟练掌握平面图形的几何特征，根据几何关系判定曲线轨迹.10．已知双曲线22:1169x y C -=的左右焦点分别是12,F F ，点P 是C 的右支上的一点（不是顶点），过2F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足是M ，O 是原点，则||MO =（ ） A ．随P 点变化而变化 B ．2 C ．4D ．5【答案】C【解析】根据题意作出图形，由几何知识可知，()1121122MO DF PF PF a ==-=，即可求出． 【详解】如图所示：延长F 2M 交PF 1于D由几何知识可知，PM 垂直平分2DF ，而4a =，所以()11211422MO DF PF PF a ==-==． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查双曲线的定义应用，属于基础题．11．如图，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别是12,F F ，点P 、Q 是C 上的两点，若212QF PF =u u u u r u u u r，且120F P F P ⋅=u u u r u u u u r ，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．5B ．7 C ．5 D ．7 【答案】A【解析】延长2QF 交椭圆C 于点M ，在1Rt F MQ ∆和12Rt F MF ∆两个直角三角形中结合勾股定理和椭圆的几何性质建立等量关系求解. 【详解】延长2QF 交椭圆C 于点M ，得1Rt F MQ ∆，12Rt F MF ∆，设2QF m =，则122PF MF m ==，据椭圆的定义有12QF a m =-，122MF a m =-，在1Rt F MQ ∆中，()()()22222323a a m m a m m -+=-⇒=，在12Rt F MF ∆中，()()222225222459c a m m c a c e a -+=⇒=⇒==． 故选：A【点睛】此题考查根据椭圆中焦点三角形结合几何意义求解离心率，关键在于准确找出其中的几何关系，列方程求解.12．已知椭圆22221x y a b+=过定点()1,1，则22222b a b +的最大值是（ ）A ．516B ．12C ．916D ．34【答案】C【解析】根据椭圆经过的点得出等量关系22111a b +=，根据22222211122b a b a b +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭构造基本不等式或换元法构造二次函数求解最值. 【详解】由题意有22111a b +=，2222222211121119222216b a b a b a b ⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥+⎛⎫⎝⎭⎢⎥=+≤= ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦．当221112a b =+时取得等号，即2114b =时，取得最大值. 故选：C 【点睛】此题考查根据椭圆上的点的坐标建立等量关系，利用基本不等式或二次函数求解最值，需要注意求最值一定考虑最值成立的条件能否取到.二、填空题13．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待10秒才出现绿灯的概率为______． 【答案】34【解析】至少需要等待10秒才出现绿灯说明该行人在红灯亮起前30秒内到达该路口，根据几何概型求解. 【详解】行人在红灯亮起30秒内到达该路口，则至少需要等待10秒才出现绿灯， 根据几何概型的概率公式可知，所求事件的概率303404P ==．故答案为：34【点睛】此题考查几何概型，关键在于准确识别概率模型，利用长度求解概率.14．设,R a b ∈，则“()2log 0a b ->”是“a b >”的______条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 【答案】充分不必要【解析】()2log 0a b ->一定能推出a b >，但是a b >不能推出1a b ->，所以不能得出()2log 0a b ->，即可得解. 【详解】“()2log 0a b ->”的充要条件是1a b ->，1a b ->是a b >的充分不必要条件，则“()2log 0a b ->”是“a b >”的充分不必要条件． 故答案为：充分不必要 【点睛】此题考查充分条件与必要条件的辨析，关键在于准确掌握其中的逻辑关系，正确识别其中能否相互推出.15．设函数()23f x x x a =-+，已知(]01,3t ∃∈，使得当[]01,x t ∈时，()0f x ≤有解，则实数a 的取值范围是______． 【答案】9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】由题可得：()0f x ≤有解，只需()min 0f x ≤即可，根据题意求出最小值解不等式得解. 【详解】依题意，只需[]01,3x ∃∈，()00f x ≤，即()min 39024f x f a ⎛⎫==-≤⎪⎝⎭， 就一定(]01,3t ∃∈，使得当[]01,x t ∈时，()0f x ≤有解， 故94a ≤． 故答案为：9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【点睛】此题考查根据不等式关系求参数范围，属于能成立问题即有解问题，需要区分清楚能成立与恒成立求参数之间的差别，避免出现混淆.16．设数列{}n a 满足11a =，2180a =，()21nn n a a n n +=++-，则：（1）1352019...a a a a ++++=______； （2）数列22n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项对应的项数n 为______． 【答案】1010 9或10【解析】（1）根据递推关系：当n 为奇数时，211n n a a a +==⋅⋅⋅==，即可求解； （2）当n 为偶数时，()22241k k a a k -=+-结合()()2242222...n n n a a a a a a -=+-++-求出公式，即可得解. 【详解】（1）当n 为奇数时，211n n a a a +==⋅⋅⋅==， 即21211k k a a +-==，1352019...1010a a a a ++++=．（2）由()22241k k a a k -=+-，知()()2242222...n n n a a a a a a -=+-++-()()180412...118021n n n =++++-=+-⎡⎤⎣⎦，于是()21802190122n n n a n n n n+-==+-，由对勾函数的性质知，9n =或10． 故答案为：（1）1010；（2）9或10. 【点睛】此题考查根据数列的递推关系进行数列求和以及求通项公式，求数列的最小项，关键在于根据递推关系合理变形，找准利于解题的关系或代数特征.三、解答题17．ABC ∆内角,,A B C 的对边分别为,,a b c sin sin 2C c A ⋅=⋅. （1）求A ；（2）若a =b =ABC ∆的面积.【答案】（1）6π；（2. 【解析】（1）应用正弦的二倍角公式结合正弦定理可得cos A ，从而得A ．（2）用余弦定理求得c ，再由三角形面积公式可得三角形面积． 【详解】（1sin sin 2C c A ⋅=⋅，sin sin sin 2A C C A ⋅=⋅， 因为sin 22sin cos A A A =，sin sin 0A C ≠，所以cos 2A =. 因为0A π<<， 所以6A π=.（2）因为a =b =6A π=，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得2650c c -+=， 解得1c =或5c =，均适合题.当1c =时，ABC ∆的面积为1sin 22S bc A ==.当5c =时，ABC ∆的面积为1sin 22S bc A ==. 【点睛】本题考查二倍角公式，正弦定理，余弦定理，考查三角形面积公式．三角形中可用公式很多，关键是确定先用哪个公式，再用哪个公式，象本题第（2）小题选用余弦定理求出c ，然后可直接求出三角形面积，解法简捷．18．“中秋节”期间，高速公路车辆较多，某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中，按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法，抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km /h ）分成六段：[)60,65，[)65,70，[)70,75，[)75,80，[)80,85，[]85,90后得到如图所示的频率分布直方图．（1）求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；（2）若从车速在[)60,70内的车辆中任意抽取2辆，求车速在[)65,70内的车辆至少有一辆的概率．【答案】（1）77.5，77.5 （2）1415【解析】（1）众数的估计值是最高组的中间值，寻找中位数的估计值为x ，使其左右两侧频率相等，列方程求解；（2）求出车速在[)60,65有2辆，车速在[)65,70有4辆，根据古典概型求解概率. 【详解】（1）由频率分布直方图可知众数的估计值为77.5． 设中位数的估计值为x ，由()50.010.020.040.350.5⨯++=<，0.350.0650.650.5+⨯=>，得7580x <<． 所以()0.350.06750.5x +⨯-=，解得77.5x =， 即中位数的估计值为77.5．（2）从题图中可知，车速在[)60,65内的车辆数为0.015402⨯⨯=， 车速在[)65,70内的车辆数为0.025404⨯⨯=．记车速在[)60,65内的两辆车为,a b ，车速在[)65,70内的四辆车为,,,c d e f ， 则所有的基本事件有：(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),a f ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),b f ，(),c d ，(),c e ，(),c f ，(),d e ，(),d f ，(),e f ，共15个，其中车速在[)65,70内的车辆没有一辆的基本事件只有一个：(),a b ，所以车速在[)65,70内的车辆至少有一辆的概率为11411515P =-=． 【点睛】此题考查根据频率分布直方图求众数和中位数，结合直方图的特征求解频数，利用古典概型求解概率，考查基础知识.19．设双曲线22:13y x Γ-=，正项数列{}n x 满足11x =，对任意的2n ≥，*N n ∈，都有()1n n x -是Γ上的点． （1）求数列{}n x 的通项公式；（2）记12231111...n n n S x x x x x x +=++++++，是否存在正整数m ，使得22133m y x S -=与Γ有相同的渐近线？如果有，求出m 的值；如果没有，请说明理由． 【答案】（1）n x = （2）存在，9999m =【解析】（1）根据曲线方程求出2211n n x x --=，得出等差数列{}2n x 的通项公式即可求解；（2）使用裂项相消求和，求得n S ，结合渐近线方程求解. 【详解】 （1）由题，)21213n nx --=，即2211n n x x --=，2n ≥，*N n ∈，故{}2n x 是以211x =为首项，1为公差的等差数列，故2n x n =，又0n x >，于是n x =．（2）由11n n x x +==+得)12231111...1 (1)n n n S x x x x x x +=+++=+++=+++，Γ的渐近线方程为y =，22133m y x S -=的渐近线方程为y =，故333mS =，即199m S ==，故9999m =． 【点睛】此题考查圆锥曲线与数列的综合应用，涉及数列通项的求法，数列的裂项求和，与双曲线几何性质的综合使用.20．某大学生参加社会实践活动，对某公司1月份至6月份销售某种配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价x 和销售量y 之间的一组数据如下表所示：（1）根据1至5月份的数据，先求出y 关于x 的回归直线方程；6月份的数据作为检验数据．若由回归直线方程得到的预测数据与检验数据的误差不超过0.5，则认为所得到的回归直线方程是理想的．试问所求得的回归直线方程是否理想？（2）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的回归关系，如果该种机器配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润？（注：利润＝销售收入－成本）． 参考数据：51392i ii x y==∑，521502.5i i x ==∑．参考公式：对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归直线y bx a =+$$$的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()1122211n ni iiii i nniii i x y nx y x x y y bxnxx x ====-⋅--==--∑∑∑∑u r$，a y bx =-$$．【答案】（1）$ 3.240y x =-+，理想 （2）单价定为7.5元/件时，获得的利润最大 【解析】（1）求出平均数，根据公式求解回归直线方程，结合给定数据检验是否理想； （2）根据单价和销量得出利润关于单价的函数关系，根据函数求解最值. 【详解】 （1）因为()199.51010.511105x =++++=，()1111086585y =++++=， 所以23925108 3.2502.5510b-⨯⨯==--⨯$，则$()8 3.21040a =--⨯=，于是y 关于x 的回归直线方程为$ 3.240y x =-+． 由6月数据有：8x =，此时，$ 3.284014.4y =-⨯+=，则$14.414.20.20.5y y -=-=<， 所以可以认为所得到的回归直线方程是理想的． （2）令销售利润为W ，则()()()22.5 3.240 3.2481002.512.5W x x x x x =--+=-+-<<，因为()2153.215100 3.2100802x x W x x -+⎛⎫=-+-≤⨯-= ⎪⎝⎭，当且仅当15x x =-+，即7.5x =时，W 取最大值． 所以该产品的销售单价定为7.5元/件时，获得的利润最大． 【点睛】此题考查求线性回归直线方程，并检验回归直线是否理想，关键在于根据公式准确计算，建立函数模型，求解利润最大的问题.21．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>经过点()0,1，且离心率为2．（1）设过点11,36P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线与椭圆E 相交于M 、N 两点，若MN 的中点恰好为点P ，求该直线的方程；（2）过右焦点F 的直线l （与x 轴不重合）与椭圆E 交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线交y 轴于点()0,Q m ，求实数m 的取值范围．【答案】（1）102x y -+= （2）,44⎡-⎢⎣⎦【解析】（1）根据椭圆上的点和离心率求出椭圆方程，结合点差法解决中点弦问题，求出直线斜率，求解直线方程；（2）设直线AB 的方程，联立直线和椭圆，根据交点坐标关系，求出线段AB 的垂直平分线方程，得出m 的表达式，利用函数关系求解取值范围. 【详解】（1）由题意，得2222112b c e a a b c⎧=⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆E 的标准方程是2212x y +=．设点()11,M x y ，()22,N x y ，则221122222222x y x y ⎧+=⎨+=⎩ 两式相减得()()()()1212121220x x x x y y y y +-++-=， 又1223x x +=-，1213y y +=，代入得1212x x y y -=-，即1MN k =， 故所求直线的方程是1163y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即102x y -+=． （2）（i ）当直线l 与x 轴垂直时，0m =，符合题意．（ii ）当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为()1y k x =-，0k ≠．联立方程()22112y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，可得()()2222124210kxk x k +-+-=，易知>0∆．设()33,A x y ，()44,B x y ，线段AB 的中点为C ，则2342412k x x k +=+，()23422112k x x k-⋅=+， 所以()343422212ky y k x x k-+=+-=+， 所以线段AB 的中点C 的坐标为2222,1212k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．由题意可知，AB CQ ⊥，0k ≠，故直线QC 的方程为222121212k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭．令0x =，得212k y k =+，即212km k =+．当0k >时，得21011242k m k k k<==≤++，当且仅当2k =时等号成立； 当k 0<时，得()21014122k m k k k -≤==-<+⎛⎫+- ⎪-⎝⎭，当且仅当2k =时等号成立．综上所述，实数m的取值范围为⎡⎢⎣⎦． 【点睛】此题考查求椭圆方程，利用点差法解决中点弦问题，讨论直线与椭圆形成弦的中垂线与坐标轴交点坐标的取值范围，此题也可设直线l 的方程为1x ty =+求解． 22．已知函数()21log f x a x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，0a >． （1）若命题：“[]01,4x ∃∈，()01f x >”是真命题，求a 的取值范围；（2）若2a =，1>0x ，20x >，121x x =+，求()()12f x f x +的最小值；（3）若1,12t ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．【答案】（1）1a >；（2）4 ；（3）2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】（1）[]01,4x ∃∈，()01f x >，结合单调性只需()()max 10f x f =>即可求解； （2）化简()()122221212113log 2log 2log 4f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭结合基本不等式求解最值；（3）根据单调性()()22111log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫-+=+-+≤ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭，转化为()2110at a t ++-≥，对任意的1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立，即可求解．【详解】（1）依题，当120x x <<时，12110a a x x +>+>，221211log log a a x x ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 在()0,+?上单调递减．故()()max 10f x f =>，即21log 11a ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，解得1a >．（2）由1>0x ，20x >，121x x =+及基本不等式得，()21212144x x x x+≤=，故()()1222212121111log 2log 2log 22f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1222121212121111log 24log 24x xx x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎡⎤+=+++=++⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦()22123log 4log 3444x x ⎛⎫=+≥⨯+= ⎪⎝⎭，等号当且仅当1212x x ==时成立． 故()()12f x f x +的最小值为4． （3）由（1）知()f x 在()0,+?上单调递减．函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值分别为()f t ，()1f t +．()()22111log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫-+=+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭即()2110at a t ++-≥，对任意的1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立．因为0a >，所以函数()211y at a t =++-在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，12t =时，y 有最小值3142a -，由31042a -≥，得23a ≥． 故a 的取值范围为2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【点睛】此题考查对数型复合函数相关知识，涉及单调性讨论最值，利用基本不等式求最值，根据不等式恒成立求参数最值，综合性强.。
2019-2020学年湖南师大附中高二上学期入学考试数学试题(解析版)
2019-2020学年湖南师大附中高二上学期入学考试数学试题一、单选题1．若a b > , 则下列不等式正确的是（ ） A ．22a b > B ．ac bc >C ．a c b c ->-D ．22ac bc >【答案】C【解析】根据不等式性质，结合特殊值即可比较大小. 【详解】对于A ，当1,2a b ==-，满足a b >，但不满足22a b >，所以A 错误； 对于B ，当,0a b c >≤时，不满足ac bc >，所以B 错误；对于C ，由不等式性质“不等式两边同时加上或减去同一个数或式子，不等式符号不变”，所以由a b >可得a c b c ->-，因而C 正确；对于D ，当,0a b c >=时，不满足22ac bc >，所以D 错误. 综上可知，C 为正确选项， 故选：C. 【点睛】本题考查了不等式大小比较，不等式性质及特殊值的简单应用，属于基础题. 2．在如图所示的茎叶图中，若甲组数据的众数为11，乙组数据的中位数为9，则x y +=（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】D【解析】由众数就是出现次数最多的数，可确定x ，题中中位数是中间两个数的平均数，这样可计算出y ． 【详解】由甲组数据的众数为11，得1x =，乙组数据中间两个数分别为6和10y +，所以中位数是61092y++=，得到2y =，因此3x y +=.故选：D. 【点睛】本题考查众数和中位数的概念，掌握众数与中位数的定义是解题基础．3．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π【答案】C【解析】试题分析：由三视图分析可知，该几何体的表面积为圆锥的表面积与圆柱的侧面积之和．，，所以几何体的表面积为．【考点】三视图与表面积．4．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若////m n αα，，则//m nB ．若//m n αβαβ⊂⊂，，，则//m nC ．若m n n m αβα=⊂⊥I ，，，则n β⊥D ．若//m m n n αβ⊥⊂，，，则αβ⊥【答案】D【解析】根据各选项的条件及结论，可画出图形或想象图形，再结合平行、垂直的判定定理即可找出正确选项． 【详解】选项A 错误，同时和一个平面平行的两直线不一定平行，可能相交，可能异面； 选项B 错误，两平面平行，两平面内的直线不一定平行，可能异面；选项C 错误，一个平面内垂直于两平面交线的直线，不一定和另一平面垂直，可能斜交；选项D 正确，由m α⊥，//m n 便得n α⊥，又n β⊂，βα∴⊥，即αβ⊥. 故选：D . 【点睛】本题考查空间直线位置关系的判定，这种位置关系的判断题，可以举反例或者用定理简单证明， 属于基础题.5．已知1,6,()2a b a b a ==⋅-=r r r r r ，则向量a r 与向量b r的夹角是（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】C【解析】试题分析：根据已知可得：2.2.3a b a a b -=⇒=rrr rr ，所以.1cos ,2.a b a b a b 〈〉==r r r rr r ，所以夹角为3π，故选择C【考点】向量的运算6．已知圆的方程为，过点的该圆的所有弦中，最短弦的长为（ ） A ． B ．1C ．2D ．4【答案】C【解析】试题分析：，最短的弦长为，选C.【考点】直线与圆位置关系7．设R a ∈，若关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[]1,2上有解，则（ ） A ．2a ≤ B ．2a ≥ C ．52a ≥D ．52a ≤【答案】D【解析】根据题意得不等式对应的二次函数()21f x x ax =-+开口向上，分别讨论0,0,0∆=∆>∆<三种情况即可．【详解】由题意得：当02a ∆=⇒=±当()()22052251020222a a a a f f a a ⎧->⎧⎪⇒⇒<-<≤⎨⎨≥≥≤≤⎩⎪⎩V 或或或或 当022a ∆<⇒-<< 综上所述：52a ≤,选D. 【点睛】本题主要考查了含参一元二次不等式中参数的取值范围．解这类题通常分三种情况：0,0,0∆=∆>∆<．有时还需要结合韦达定理进行解决．8．在ABC ∆中，已知a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若cos cos a Bb A=，则ABC V 的形状为 A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】由a b cosB cosA =，利用正弦定理可得sinA sinBcosB cosA=，进而可得sin2A=sin2B ，由此可得结论． 【详解】∵a b cosB cosA=， ∴由正弦定理可得sinA sinBcosB cosA= ∴sinAcosA=sinBcosB ∴sin2A=sin2B ∴2A=2B 或2A +2B=π ∴A=B 或A +B=2π ∴△ABC 的形状是等腰三角形或直角三角形 故选D ． 【点睛】判断三角形形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.9．已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，()()1618n n n S n T +=+．若nna Zb ∈，则n 的取值集合为（ ） A ．{1,2,3} B ．{1,2,3,4} C ．{1,2,3,5} D ．{1,2,3,6}【答案】D【解析】首先根据()()1618n n n S n T +=+即可得出n nS T ，再根据前n 项的公式计算出nn b a 即可。
湖南师大附中2018-2019学年高二第二学期期中考试 数学(理)(含答案)
湖南师大附中2018－2019学年度高二第二学期期中考试数学(理科)时量：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷 (满分100分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝{}－1，0，1，2，3，4，A ＝{}－1，0，2，4，则∁U A ＝A ．B ．{0，2，4}C ．{1，3}D ．{－1，1，3}2．设f ()x ＝3x ＋3x －8，用二分法求方程3x ＋3x －8＝0在x ∈()1，2内近似解的过程中得f ()1<0，f ()1.5>0，f ()1.25<0，则方程的根落在区间A ．(1，1.25)B ．(1.25，1.5)C ．(1.5，2)D ．不能确定3．如果直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相平行，那么a 的值等于A ．－2B ．－13C ．－23D ．2 4．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝3，A ＝π3，则B ＝ A.π6 B.5π6 C.π6或5π6 D.2π35．如图的程序运行后输出的结果为x ＝5y ＝－20IF x<0 THENx ＝y －3ELSEy ＝y ＋3END IFPRINT x －yENDA ．－17B ．22C ．25D ．286．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面交线的位置关系是A ．异面B ．相交C ．平行D ．平行或重合7．在△ABC 中，已知cos A ＝513，cos B ＝45，则cos C 的值为 A.1665 B.5665 C.1665或5665 D ．－16658．要从已编号(1～60)的60枚最新研制的某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是A ．5，10，15，20，25，30B ．3，13，23，33，43，53C ．1，2，3，4，5，6D ．2，4，8，16，32，489．取一根长度为5 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于2 m 的概率是 A.15 B.13 C.14D ．不确定 10．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是A.⎣⎡⎦⎤0，π6B.⎣⎡⎦⎤π3，πC.⎣⎡⎭⎫π3，πD.⎣⎡⎦⎤π6，π 答题卡二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．11．已知m ＞0，n ＞0，且m ＋n ＝4，则mn 的最大值是________．12．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧log 3x （x>0），2x （x ≤0），则f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫19的值为________． 13．等差数列{}a n 中，a 3＝3，a 8＝33，则数列{}a n 的公差为________．14．函数y ＝2sin x －1的定义域是________．15．如图，正四棱锥P －ABCD 底面的四个顶点A ，B ，C ，D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，如果V P －ABCD ＝163，则球O 的表面积是________． 三、解答题：本大题共5个小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．(本小题满分6分)某校从参加环保知识竞赛的1200名学生中，随机抽取60名，将其成绩(均为整数)分成六段[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后画出如图的频率分布直方图．(1)估计这次竞赛成绩的众数与中位数(结果保留小数点后一位)；(2)若这次竞赛成绩不低于80分的同学都可以获得一份礼物，试估计该校参加竞赛的1200名学生中可以获得礼物的人数．17.(本小题满分8分)已知函数f(x)＝a·2x －12x ＋1的图象经过点⎝⎛⎭⎫1，13. (1)求a 的值；(2)求函数f(x)的定义域和值域；(3)证明：函数f(x)是奇函数．18.(本小题满分8分)如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为2的正方形，PA ⊥底面ABCD ，E 为PD 的中点．(1)求证：PB ∥平面AEC ；(2)求证：CD ⊥平面PAD ；(3)若三棱锥C －ADE 的体积为23，求四棱锥P －ABCD 的侧面积．。
2019-2020学年湖南师大附中高二下学期期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年湖南师大附中高二下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共13小题，共55.0分）1. 已知全集U ={1,2，3}，集合A ={2}，则∁U A 等于( )A. {1}B. {3}C. {l,3}D. {1,2，3}2. 已知P1(a,b 1与2(2,b2)是直线y =kx +1(k)两个同的点则关于x 和y 的方组{a 1x +b 1y =1a 2x +b 2y =1的的情况是( )A. 无论k ，P 1，P 2如何，总是无解B. 无论k ，P 1，P 2如何，总有唯一解C. 存在k ，P 1，P 2，使之恰有两解D. 存在k ，P 1，P 2，使之有无穷多解3. 已知圆：+ =1，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为A. + =1B. + =1C.+=1D.+=14. 若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(sinA −sinB)2=sin 2C −sinAsinB ，则角C 为( )A. π6B. π3C. 2π3D. 5π65. 某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的结果不大于37，则输入的整数i 的最大值为( )A. 3B. 4C. 5D. 66.设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列命题，正确的是()A. 若，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，，则[7.已知sin(π6−α)=13，则cos(π3+α)=()A. 13B. √32C. −13D. −128.某年级有学生560人，现用系统抽样的方法抽取一个容量为70的样本，把学生编号为1～560号，已知编号为20的学生被抽中，则样本中编号最小的是()A. 004B. 005C. 006D. 0079.(文)从[0,3]中随机取一个数a，则事件“不等式|x+1|+|x−1|<a有解”发生的概率为()A. 56B. 23C. 16D. 1310.设向量a⃗=(cosα,sinα)，b⃗ =(sinβ,cosβ)，若a⃗⋅b⃗ =−12，则<a⃗，b⃗ >=()A. 30°B. −30°C. 150°D. 120°11.以下命题正确的个数为()①命题“若x2>1，则x>1”的否命题为“若x2≤1，则x≤1”；②命题“若α>β，则tanα>tanβ”的逆命题为真命题；③命题“∃x∈R，是的x2+x+1<0”的否定是“∀x∈R，都有x2+x+1≥0”；④“x>1”是“x2+x−2>0”的充分不必要条件．A. 1B. 2C. 3D. 412.已知椭圆C1与双曲线C2有相同的焦点F1、F2，点P是C1与C2的一个公共点，△PF1F2是以一个以PF1为底的等腰三角形，|PF1|=4，C1的离心率为37，则C2的离心率是()A. 2B. 3C. 2√3D. √613.11.某次联欢会要安排个歌舞类节目，个小品类节目和个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是A. B. C. D.二、单空题（本大题共6小题，共26.0分）14.若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是______________．15.已知函数，关于的叙述①是周期函数，最小正周期为②有最大值1和最小值③有对称轴④有对称中心⑤在上单调递减其中正确的命题序号是___________.(把所有正确命题的序号都填上)16.已知等差数列{a n}的前n项和为S n=(a+1)n2+a，某三角形三边之比为a2：a3：a4，则该三角形的面积______ ．17.在ΔABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=1，且(1−b)(sinA+sinB)=(c−b)sinC，则△ABC周长的取值范围为______ ．18.极坐标系中，若ρ>0，则曲线ρ=2θ+1与ρθ=1的交点到极点的距离为______ ．19.若函数f(x)=a x−x−a(a>0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是 ____ ．三、解答题（本大题共8小题，共69.0分）20.如图，梯形ABCD中，CE⊥AD于E，BF⊥AD于F，且AF=BF=BC=1，DE=√2，现将△ABF，△CDE分别沿BF与CE翻折，使点A与点D重合．(Ⅰ)设面ABF与面CDE相交于直线l，求证：l//CE；(Ⅱ)试类比求解三角形的内切圆(与三角形各边都相切)半径的方法，求出四棱锥A−BCEF的内切球(与四棱锥各个面都相切)的半径．21.某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获利润50元，未售出的产品，每盒亏损30元．根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示．该同学为这个开学季购进了160盒该产品，以x(单位：盒，100≤x≤200)表示这个开学季内的市场需求量，y(单位：元)表示这个开学季内经销该产品的利润．(Ⅰ)根据直方图估计这个开学季内市场需求量x的众数和中位数(四舍五入取整数)；(Ⅱ)将y表示为x的函数；(Ⅲ)根据直方图估计利润y不少于4800元的概率．(x2+x+1)．22.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)=log13(1)求f[f(1)]的值；(2)求函数f(x)的解析式；(3)求不等式f(2x−1)>−1的解集．23.如图，平行四边形ABCD所在平面与直角梯形ABEF所在平面互相垂直，且AB=BE=12AF=1，BE//AF，AB⊥AF，∠BCA=π6,AC=√3，P为DF中点．(1)求证：直线PE平行于平面ABCD；(2)求PE与平面BCE所成的线面角大小．24.已知m⃗⃗⃗ =(2cosx+2√3sinx,1),n⃗=(cosx,−y)，且m⃗⃗⃗ ⊥n⃗；(1)将y表示为x的函数f(x)，并求f(x)的单调增区间；(2)已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C对应的边长，若f(A2)=3，且，a=2，b=c，求△ABC的面积．25.等比数列{a n}的各项均为正数，且a1+2a2=1，a32=4a2a6．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n+2=3log21，求数列{a n b n}的前n项和．a n26.椭圆的离心率为，且过点直线与椭圆M交于A、C两点，直线与椭圆M交于B、D两点，四边形ABCD是平行四边形(1)求椭圆M的方程；(2)求证：平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于原点O；(3)若平行四边形ABCD为菱形，求菱形ABCD的面积的最小值27.已知函数f(x)=3(2x+1)e x+ax．(1)当a=0时，求函数|f(x)|的单调区间；(2)若f(x)<0的负整数解有且只有两个，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：解：全集U ={1,2，3}，A ={2}，则∁U A ={1,3}． 故选：C ．直接利用补集的定义写出结果即可． 本题考查结合的基本运算，基本知识的考查．2.答案：B解析：解：P1(1,1)与P2(a,b 2是直线y =k(为常数)上两同的点，直线y =kx +1的斜存在， ∴k =b 2−b1a 2−a 1，即a 1a 且b1ka +1，b2=ka21，a2b −a1b2ka1a2−ka1a2a2−a1=2−a1{a 1x +b 1=1…a 2x +b 2=1…， ∴方组唯一解．×b2×b1得：(a12−a2b1)=2−1， 故选：判断线的斜存在，通过点在直线，推a 1，b 1P 2，a 2b 2的系，然求方程组的解即． 本题考查函数根与系数的系直线的斜的求法，方程组的和数的应用．3.答案：B解析：本题考查圆的几何性质，曲线关于直线对称的意义． 圆的圆心为(−1,1)，半径为1；则圆的半径等于圆的半径1，(−1,1)关于直线的对称点就是圆的圆心；设则，解得所以圆的方程为.故选B ．4.答案：B解析：解：△ABC中，由(sinA−sinB)2=sin2C−sinAsinB，得sin2A+sin2B−sin2C=sinAsinB，由正弦定理，得a2+b2−c2=ab，所以cosC=a2+b2−c22ab =ab2ab=12，又C∈(0,π)，所以C=π3．故选：B．由题意利用正弦定理，得a2+b2−c2=ab，利用余弦定理可求cos C，结合C的范围，可求C的值．本题考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，也考查了运算求解能力，属于基础题．5.答案：C解析：解：由S=0，n=0得出S=0+20+1=2，n=1；由S=2，n=1得出S=2+21+1=5，n=2；由S=5，n=2得出S=5+22+1=10，n=3；由S=10，n=3得出S=10+23+1=19，n=4；由S=19，n=4得出S=19+24+1=36<37，n=5；由S=36，n=5得出S=36+25+1>37，∴当S=36时为满足条件时输出的结果，应终止循环，因此判定输入的整数i的最大值为5．故选C．分别计算n=1，2，3，…时的S的值，直到满足S不大于37时，进而即可得出结论．本题主要考查程序框图的识别和应用，正确理解循环结构和判断框的功能是解题的关键．6.答案：B解析：试题分析：A中若，由于为内任意一条直线，不能说明，错误；B中，而，说明内必有一条直线，，则，符合两个平面垂直的判定定理，则考点：空间直线与平面的位置关系；7.答案：A解析：解：∵π6−α+π3+α=π2，∴π3+α=π2−(π6−α)cos(π3+α)=cos[π2−(π6−α)]=sin(π6−α)=13，故选：A．利用三角函数的诱导公式进行转化求解即可．本题主要考查三角函数值的计算，结合三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键，是基础题．8.答案：A解析：解：样本间隔为560÷70=8，则20−8×2=4，则样本中编号最小的是004，故选：A．根据系统抽样的定义求出样本间隔即可求解．本题主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键，是基础题．9.答案：D解析：解：∵在[0,3]中随机取一个数a，∴全部事件构成的区域长度为3，∵|x+1|+|x−1|≥|(x+1)−(x−1)|=2，∴要使不等式|x+1|+|x−1|<a有解，则必有a>2，∴事件“不等式|x+1|+|x−1|<a有解”构成的区域长度为3−2=1，故事件“不等式|x+1|+|x−1|<a有解”发生的概率为13，故选：D．先化简不等式，利用|x+1|+|x−1|≥|(x+1)−(x−1)|=2确定在区间[0,3]内a的范围，根据几何概型利用长度之比可得结论．本题考查几何概型以及含绝对值不等式，充分利用|a|+|b|≥|a−b|是解决问题的关键．10.答案：D解析：解：∵a⃗⋅b⃗ =−12，|a⃗|=√cos2α+sin2α=1，|b⃗ |=√sin2β+cos2β=1．∴cos<a⃗,b⃗ >=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ | |b⃗|=−12，∴<a⃗，b⃗ >=120°．故选：D．利用向量的模的计算公式、向量的夹角公式即可得出．本题考查了向量的模的计算公式、向量的夹角公式，属于基础题．11.答案：C解析：解；命题的否命题分别否定命题的条件和结论，①正确；命题“若α>β，则tanα>tanβ”的逆命题为“若tanα>tanβ，则α>β”为假命题，例如tan45°> tan135°，而45°<135°，②错误；特称命题“∃x∈R，使得x2+x+1<0”的否定是“∀x∈R，都有x2+x+1≥0”，③正确；x2+x−2>0⇔(x+2)(x−1)>0⇔“x<−2，或x>1”，“x>1”是“x<−2，或x>1”的充分不必要条件，④正确．故选：C本题考察四种命题的判断，以及特称命题的否定，充要条件的知识，根据相关性质对四个结论逐一进行判断，可以得到正确的结论．要注意到充要条件首先要判断谁是条件，谁是结论，同时在判定时要理解“小能推大，大不能推小”．12.答案：B解析：解：根据题意知C1的离心率e1=c1a1=2c12a1=丨F1F2丨丨PF1丨+丨PF2丨=37，又|PF1|=4，丨F1F2丨=丨PF2丨∴丨PF2丨=丨F1F2丨=3，∴双曲线的离心率e2=丨F1F2丨丨PF1丨−丨PF2丨=3，故选B．利用离心率的定义，及椭圆C1的离心率的值为37，|PF1|=4，|F1F2|=|PF2|，可求得|PF2|=3，再利用椭圆的离心率e2=丨F1F2丨丨PF1丨−丨PF2丨=3，可得结论．本题考查椭圆与双曲线的几何性质，解题的关键是正确运用离心率的定义，属于中档题．13.答案：D解析：本题考查计数原理的运用，注意分类方法的运用，既要满足题意的要求，还要计算或分类简便．解：将所有的安排方法分成两类，第一类：歌舞类节目中间不穿插相声节目，有(种)；第二类：歌舞类节目中间穿插相声节目，有(种)；根据分类加法计数原理，共有96+24=120种不同的排法．则同类节目不相邻的排法种数是48+72=120，故选：D．14.答案：解析：用基本不等式求出的最大值，利用a大于或等于这个最大值即可求解．解：因为，所以．可得：，又恒成立，所以．故答案为．15.答案：①③⑤解析：试题分析：画出函数图象，由图像观察可得：，最大值1最小值，对称轴，无对称中心，在上单调递减考点：三角函数性质点评：画出分段函数图像，由图像观察性质16.答案：15√34解析：解：∵{a n}是等差数列，∴a=0，S n=n2，∴a2=3，a3=5，a4=7．设三角形最大角为θ，由余弦定理，得cosθ=−12，∴θ=120°．∴该三角形的面积S=12×3×5×sin120°=15√34．故答案为：15√34．利用等差数列{a n}的前n项和为S n=(a+1)n2+a，确定三角形三边为a2=3，a3=5，a4=7，求出θ=120°，即可求出该三角形的面积．本题考查等差数列的求和，考查余弦定理，三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17.答案：(2,3]解析：本题考查了正弦定理、余弦定理以及三角函数的和差公式与辅助角公式，三角函数的值域，属于中档题．由题中的恒等式结合正、余弦定理化简可以求出A=π3，再利用正弦定理可得b=2√33sinB，c=2√33sinC，则△ABC周长通过化简后可以表示为1+2sin(B+π6)，再利用正弦型函数的性质求解即可．解：在ABC中，∵a=1，(1−b)(sinA+sinB)=(c−b)sinC，∴(a−b)(sinA+sinB)=(c−b)sinC，由正弦定理可得：(a−b)(a+b)=(c−b)c，化为：b2+c2−a2=bc．∴cosA=b2+c2−a22bc =12，A∈(0,π)，∴A=π3．由正弦定理可得：bsinB =csinC=1sinπ3=2√33，∴b=2√33sinB，c=2√33sinC，∴△ABC周长=1+b+c=1+2√33sinB+2√33sinC=1+2√33[sinB+sin(2π3−B)]=1+2sin(B+π6)，∵B∈(0,2π3)，∴sin(B+π6)∈(12,1],∴△ABC周长的取值范围是(2,3]．故答案为：(2,3]．18.答案：2解析：解：由ρθ=1可得：θ=1ρ，代入ρ=2θ+1可得：ρ=2×1ρ+1可化为ρ2−ρ−2=0，解得ρ=2(ρ>0)．∴曲线ρ=2θ+1与ρθ=1的交点到极点的距离为2．故答案为：2．由ρθ=1可得：θ=1ρ，代入ρ=2θ+1可得：ρ=2ρρ=2×1ρ+1，解出即可得出．本题考查了极坐标的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．19.答案：(1,+∞)解析：函数f(x)的零点的个数就是函数y=a x与函数y=x+a交点的个数，两函数的图象如图所示，可知a>1时两函数图象有两个交点，0<a<1时两函数图象有唯一交点，故a>1．20.答案：证明：(Ⅰ)∵CE//BF，CE⊄面ABF，BF⊂面ABF，∴CE//面ABF，又∵CE⊂面ACE，面ABF∩面ACE=l，∴l//CE．(Ⅱ)∵AF=BF=BC=1，DE=√2，∴AE2=DE2=AF2+FE2，即AF⊥EF，又∵BF⊥AD于F，即AF⊥BF，EF，BF⊂平面BCEF，EF∩BF=F，∴AF⊥平面BCEF，故四棱锥A−BCEF是以平面BCEF为底面，以AF为高的棱锥，故四棱锥A−BCEF的体积V=13×1×1×1=13，四棱锥A−BCEF的表面积：S=12(1+1+1+√2)×1+12×1×1+12×1×√2=2+√2，类比求解三角形的内切圆(与三角形各边都相切)半径的方法，设四棱锥A−BCEF的内切球半径为R，则V=13SR，故R=2+√2=2−√22．解析：本题考查了线面平行、类比推理及棱锥的体积表面积公式，是立体几何的简单综合应用，难度中档．(Ⅰ)由已知可得CE//BF，由线面平行的判定定理得到CE与平面ABF平行，再由线面平行的性质定理得到l//CE；(Ⅱ)根据线面垂直的判定定理，可得AF ⊥平面BCEF ，故四棱锥A −BCEF 是以平面BCEF 为底面，以AF 为高的棱锥，求出棱锥的体积，类比求解三角形的内切圆(与三角形各边都相切)半径的方法，可得答案．21.答案：解：( I)众数为150，中位数为153 …4分( II)∵每售出1盒该产品获利润50元，未售出的产品，每盒亏损30元， ∴当100≤x ≤160时，y =50x −(160−x)⋅30=80x −1800， 当160<x ≤200时， y =160×50=8000，y ={80x −4800,(100≤x <160)8000,(160≤x ≤200)…8分( III)由80x −4800≥4800得x ≥120估计利润y 不少于4800元的概率P =910 …12分．解析：(Ⅰ)由频率直方图分别求出各组距内的频率，由此能求出这个开学季内市场需求量X 的众数和中位数．(Ⅱ)由已知条件推导出当100≤x ≤160时，y =50x −(160−x)⋅30=80x −1800，当160<x ≤200时，y =160×50=8000，由此能将Y 表示为X 的函数． (Ⅲ)利用频率分布直方图能求出利润不少于4800元的概率．本题考查频率分布直方图的应用，考查函数解析式的求法，考查概率的估计，是中档题，解题时要注意频率分布直方图的合理运用．22.答案：解：(1)根据题意，当x ≥0时，f(x)=log 13(x 2+x +1)，则f(1)=log 133=−1， 又由f(x)为偶函数，则f[f(1)]=f(−1)=f(1)=−1，(2)根据题意，当x <0时，−x >0，则f(−x)=log 13(x 2−x +1)，又由f(x)为偶函数，则f(x)=f(−x)=log 13(x 2−x +1)， 故f(x)={log 13(x 2+x +1),x ≥0log 13(x 2−x +1),x <0，(3)根据题意，当x ≥0时，f(x)=log 13(x 2+x +1)，设t=x2+x+1，则y=log13t，则t=x2+x+1在区间[0,+∞)上为增函数，y=log13t为减函数，则f(x)在区间[0,+∞)上为减函数，f(2x−1)>−1⇒f(2x−1)>f(1)⇒f(|2x−1|)>f(1)⇒|2x−1|<1，解可得：0<x<1，即不等式的解集为(0,1)．解析：(1)根据题意，由函数的解析式可得f(1)的值，结合函数的奇偶性可得答案，(2)根据题意，当x<0时，−x>0，求出f(−x)的表达式，结合函数的奇偶性可得f(x)的解析式，综合可得答案，(3)根据题意，由复合函数的单调性判断方法可得f(x)在区间[0,+∞)上为减函数，结合函数的奇偶性可得原不等式等价于|2x−1|<1，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数解析式的计算，属于基础题．23.答案：(1)证明：取AD中点为Q，连接PQ，QB，则QP=//12AF，由于BE=//12AF，故QP=//BE，∴PE//BQ，∴PE//平面ABCD．(2)解法一：过Q作QM⊥BC于点M，∵AB=1，AC=√3，∠BCA=π6，∴AC⊥AB，又面ABCD⊥面ABEF，∴BE⊥面ABCD，∴BE⊥QM，∴QM⊥面BCE，∠QBM即为所求角，而QA =BA ，∠BAD =2π3∴∠ABQ =π6，∴∠QBM =π6，解法二：由解法一可知AC ⊥AB ，AB ⊥AF ，平行四边形ABCD 所在平面与直角梯形ABEF 所在平面互相垂直，所以以A 为坐标原点，建立如图所示的坐标系，A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,0,√3),D(−1,0,√3)，E(1,1,0),F(0,2,0),P(−12,1,√32)， 所以EP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32,0,√32),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,√3),BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)， 令平面ABCD 的法向量为 n⃗ =(x,y,z) 则由{n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 可得 {−x +√3z =0y =0.不妨x =3，则z =√3，所以n ⃗ =(3,0,√3)，令所求的线面角为θ，则sinθ=|n⃗⃗ ⋅EP ⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ |⋅|EP⃗⃗⃗⃗⃗ ||=|−32×3+√32×√3|√9+3⋅√4+4=12，所以直线PE 与平面BCE 所成的角为π6．解析：本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及逻辑推理能力计算能力，属于中档题．(1)取AD 中点为Q ，连接PQ ，QB ，证明QP =//BE ，然后证明PE//平面ABCD ． (2)解法一：过Q 作QM ⊥BC 于点M ，说明∠QBM 即为所求角，通过求解三角形推出结果． 解法二：建立科技直角坐标系，求出EP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出平面ABCD 的法向量，令所求的线面角为θ，通过空间向量的数量积求解直线PE 与平面BCE 所成的角． 24.答案：解：(1)∵m⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ， ∴m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =(2cosx +2√3sinx)cosx −y =0， 化为f(x)=2cos 2x +√3sin2x=√3sin2x+cos2x+1 =2sin(2x+π6)+1，由−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，解得kπ−π3≤x≤kπ+π6(k∈Z)．∴f(x)的单调增区间为[kπ−π3,kπ+π6](k∈Z)．(2)∵f(A2)=3，∴sin(A+π6)=1，A∈(0,π)．∴A=π3，∵a=2，b=c，∴a2=b2+c2−2bccosA，∴4=2b2−b2，解得b=2=c．∴△ABC的面积S=√34a2=√3．解析：(1)由m⃗⃗⃗ ⊥n⃗，可得m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=0，再利用倍角公式、和差公式、三角函数的单调性即可得出．(2)利用三角函数的单调性、余弦定理、三角形的面积计算公式即可得出．本题考查了相互垂直与数量积运算性质、倍角公式、和差公式、三角函数的图象与性质、余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．25.答案：解：(1)由a32=4a2a6得：a32=4a42∴q2=14即q=12又由a1+2a2=1得：a1=12∴a n=(12)n．(2)∵b n+2=3log21an∴b n+2=3log22n∴b n=3n−2∴c n=(3n−2)⋅(1 )n∴S n=1×12+4×(12)2+7×(12)3+⋯+(3n−5)⋅(12)n−1+(3n−2)⋅(12)n…①1 2S n=1×(12)2+4×(12)3+7×(12)4+⋯+(3n−5)⋅(12)n+(3n−2)⋅(12)n+1…②①−②得：1 2S n=1×12+3((12)2+(12)3+⋯+(12)n)−(3n−2)⋅(12)n+1=1×12+3×(∖f(12)2⋅(1−(12)n−1),12)−(3n−2)⋅(12)n+1=12+3×12(1−(12)n−1)−(3n−2)⋅(12)n+1S n=1+3−3×(12)n−1−(3n−2)⋅(12)n=4−(12)n(6+3n−2)=4−(12)n(3n+4)即：S n=4−3n+42n．解析：本题考查数列的错位相减法求和，考查等比数列的通项公式与求和公式的综合应用，属于中档题．(1)设数列{a n}的公比为q，通过解方程组可求得a1与q，从而可求数列{a n}的通项公式；(2)利用错位相减法可求得数列{a n⋅b n}的前n项和S n．26.答案：(1)；(2)详见解析；(3)最小值为解析：解析：试题分析：(1)依题意有，再加上，解此方程组即可得的值，从而得椭圆的方程(2)由于四边形ABCD是平行四边形，所以ABCD的对角线AC和BD的中点重合利用(1)所得椭圆方程，联立方程组消去得：，显然点A、C的横坐标是这个方程的两个根，由此可得线段的中点为同理可得线段的中点为，由于中点重合，所以，解得：或(舍)这说明和都过原点即相交于原点(3)由于对角线过原点且该四边形为菱形，所以其面积为由方程组易得点A的坐标(用表示)，从而得(用表示)；同理可得(由于，故仍可用表示)这样就可将表示为的函数，从而求得其最小值试题解析：(1)依题意有，又因为，所以得故椭圆的方程为3分(2)依题意，点满足所以是方程的两个根得所以线段的中点为同理，所以线段的中点为5分因为四边形是平行四边形，所以解得，或(舍)即平行四边形的对角线和相交于原点7分(3)点满足 所以是方程的两个根，即 故 同理，9分 又因为，所以，其中 从而菱形的面积为， 整理得，其中10分 故，当或时，菱形的面积最小，该最小值为12分考点：直线与圆锥曲线的位置关系27.答案：解：(1)当a =0时，f(x)=3(2x +1)e x ，所以 f′(x)=(6x +9)e x ．由f′(x)=(6x +9)e x =0，可得：x =−32．所以当x <−32时，f′(x)<0，f(x)是减函数；当x >−32时，f′(x)>0，f(x)是增函数．因为当x <−12时，f(x)<0，当x ≥−12时，f(x)≥0．所以函数|f(x)|的单调递增区间是(−∞,−32)，(−12,+∞)，单调递减区间是(−32,−12).(2)当x <0时，f(x)<0可化为−a 3<(2x+1)e x x ，则f(x)<0的负整数解有且只有两个，等价于满足直线y =−a 3在曲线g(x)=(2x+1)e x x 下方时的负整数x 有且只有两个． g′(x)=e xx 2(2x −1)(x +1)，令{g′(x)=0x <0，得x =−1， 当x ∈(−∞,−1)时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x ∈(−1,0)时，g′(x)<0，g(x)单调递减．g(x)在x <0时有最大值g(−1)=e −1．又g(−12)=0，当x <−12时，g(x)>0，g(−2)=32e −2，g(−3)=5e −33， 所以5e −33≤−a 3<3e −22，解得−92e −2<a ≤−5e −3，所以满足题意的a 的取值范围是(−92e −2,−5e −3].解析：本题主要考查利用导数求函数的单调区间，利用导数研究函数的最值，属于较难题．(1)当a =0时，f(x)=3(2x +1)e x ，由f′(x)=(6x +9)e x =0，可得：x =−32，且当x <−12时，f(x)<0，当x ≥−12时，f(x)≥0.可得函数|f(x)|的单调递增区间是(−∞,−32)，(−12,+∞)，单调递减区间是(−32,−12);(2)当x <0时，f(x)<0可化为−a 3<(2x+1)e x x ，则f(x)<0的负整数解有且只有两个，等价于满足直线y =−a 3在曲线g(x)=(2x+1)e x x 下方时的负整数x 有且只有两个，故5e −33≤−a 3<3e −22，解得即可．。
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况，则电路接通的情况有 3×7=21 种；故选 C．
【考点】分步计数原理
点评：本题考查分步计数原理的应用，可以用间接法分析开关至少有一个闭合的情况，关键是分析出电路解
题的条件．
6．设函数 f x 1 2 ，若 a, b, c 成等差数列（公差不为 0），则 f a f c （ ）
xb
A．2
5
C．命题“若 x, y 都是偶数，则 x y 是偶数”的否命题是“若 x, y 都不是偶数，则 x y 不是偶数”
D．设命题 p：所有有理数都是实数；命题 q：正数的对数都是负数，则 p q 为真命题
【答案】C 【解析】采用逐一验证法，根据充分条件、必要条件的概念，命题的否定，否命题概念，以及真值表，可得 结果. 【详解】 A 正确
2i 2i 2 1i2
由i2
1
，所以
2i 1i
2i 2 2
i1
所以 2i i 1 12 12 2
1i
故选：B 【点睛】 本题考查复数的运算以及复数的模，主要是计算，属基础题. 2．下列说法中错误的是（ ）
A．“ x 1”是“ x2 3x 2 0 ”的充分不必要条件
D．2
B．命题“ x R, sin x 1 ”的否定为“ x0 R, sin x0 1 ”
4
22．已知函数 f x x ln x ，函数 g x a x2 x a(a R) .
2
（1）求函数 f x 在 e, e 1 上的最小值；
（2）函数 F x f x g x ，若 F x 在其定义域内有两个不同的极值点，求 a 的取值范围；
（3）记 F x f x g x 的两个极值点分别为 x1, x2 ，且 x1 x2 .已知 0 ，若不等式 e1 x1 x2 恒
（）
1
A． 1 6
B． 1 3
C．
1 2
D．
2 3
9．设
F1
，
F2
是双曲线
C
：
x2 a2
y2 b2
1(a 0,b 0) 的两个焦点， P 是 C 上一点，若
PF1
PF2
6a ，
且 PF1F2 的最小内角的大小为 30 ，则双曲线 C 的渐近线方程是（ ）
A． x 2y 0
B． 2x y 0
10 ，
求 ABC 的面积 S 的最大值.
3
19．已知各项均不相等的等差数列 an 的前三项和为 9，且 a1, a3, a7 恰为等比数列 bn 的前三项.
（1）分别求数列an ，bn 的前 n 项和 Sn ,Tn ；
（2）记数列
anbn
的前 n 项和为 K n
，设 cn
SnTn Kn
电动摩托车编号
1
2
3
4
5
A 型续航里程（km）
120
125
122
124
124
B 型续航里程（km）
118
123
127
120
a
已知 A，B 两个型号被测试电动摩托车续航里程的平均值相等.
（1）求 a 的值；
（2）求 A 型号被测试电动摩托车续航里程标准差的大小；
（3）从被测试的电动摩托车中随机抽取 A，B 型号电动摩托车各 1 台，求至少有 1 台的续航里程超过 122km
成立，求 的取值范围.注： e 2.71828为自然对数的底数.
解析
湖南师大附中 2019-2020 学年上学期第二次检测
一、单选题
1．
2i 1i
（i 为虚数单位）的值等于（
高二数学卷
）
A．1
B． 2
C． 3
【答案】B 【解析】根据复数的运算法则以及复数模的概念，可得结果 【详解】
2i 1i
2i 1 i 1 i 1 i
B．4
C． b
D． 2b
【答案】B
【解析】根据等差数列的性质可得 2b a c ，根据函数 f x 1 2 关于 b, 2 对称，可得结果.
xb
【详解】
由题可知：
函数 f x 1 2 关于 b, 2 对称
，求证： cn1
cn
n N*
.
20．在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， ABC 为正三角形，点 D 在棱 BC 上，且 CD 3BD ，点 E 、 F 分 别为棱 AB 、 BB1 的中点．
（1）证明： A1C // 平面 DEF ； （2）若 A1C EF ，求直线 A1C1 与平面 DEF 所成的角的正弦值．
21．已知抛物线 E : y2 2 px p 0 经过点 A2, 4 ，过 A 作两条不同直线 l1, l2 ，其中直线 l1, l2 关于直线
x 2 对称.
（1）求抛物线 E 的方程及其准线方程；
（2）设直线 l1, l2 分别交抛物线 E 于 B, C 两点（均不与 A 重合），若以线段 BC 为直径的圆与抛物线 E 的准 线相切，求直线 BC 的方程.
D． 3 2
【解析】根据 a2 a8 a4 a6 ，然后与 a4 a6 5 ，可得 a4 , a6 ，最后简单计算，可得结果.
【详解】
在等比数列an 中， a2 a8 a4 a6
由 a2 a8 6, a4 a6 5
所以
aa44
a6 5 a6 6
，又
an1
an
，
所以 a4 2, a6 3
比如： lg100 2 0 ，所以命题 q 是假命题
则 p q 是真命题.
故选：C 【点睛】 本题主要判断命题的真假，审清题意以及知识的交叉应用，属基础题.
3．在等比数列
an
中， an1
an , a2
a8
6, a4
a6
5
，则
a4 a6
等于（
）
A． 5 6
【答案】C
B． 6 5
C． 2 3
值范围是_____________________.
三、解答题 17．电动摩托车的续航里程，是指电动摩托车在蓄电池满电量的情况下一次能行驶的最大距离.为了解 A，B 两个不同型号电动摩托车的续航里程，现从某卖场库存电动摩托车中随机抽取 A，B 两个型号的电动摩托车 各 5 台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：
C． x 2 y 0
D． 2x y 0
10．已知椭圆
x2 a2
y2 b2
1
a
b
c 0, a 2
b2 c2
的左右焦点分别为 F1, F2 ，若以 F2 为圆心，b c 为
半径作圆 F2 ，过椭圆上一点 P 作此圆的切线，切点为 T，且 PT
的最小值不小于
3 (a c) ，则椭圆的离 2
解：根据题意，设 5 个开关依次为 1、2、3、4、5，若电路接通，则开关 1、2 与 3、4、5 中至少有 1 个接通， 对于开关 1、2，共有 2×2=4 种情况，其中全部断开的有 1 种情况，则其至少有 1 个接通的有 4-1=3 种情况，
7
对于开关 3、4、5，共有 2×2×2=8 种情况，其中全部断开的有 1 种情况，则其至少有 1 个接通的 8-1=7 种情
A．11 种
B．20 种
C．21 种
D．12 种
【答案】C
【解析】试题分析：设 5 个开关依次为 1、2、3、4、5，由电路知识分析可得电路接通，则开关 1、2 与 3、4、
5 中至少有 1 个接通，依次分析开关 1、2 与 3、4、5 中至少有 1 个接通的情况数目，由分步计数原理，计算
可得答案．
6
所以 a4 2 a6 3
故选：C 【点睛】
本题考查等比数列的性质，重在计算，当 m n p q ，在等差数列中有 am an ap aq ，在等比数列
中 aman apaq ，灵活应用，属基础题.
4． ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ，若 c cos A ，则 ABC 为( ) b
由 x2 3x 2 0 x 1或 x 2 ，
故“ x 1”是“ x2 3x 2 0 ”的充分不必要条件
B 正确 特称命题的否定式全称命题，命题的否定只否定结论
C 错，“若 x, y 都是偶数，则 x y 是偶数”的否命题是 “若 x, y 不都是偶数，则 x y 不是偶数”
D 正确 命题 p：所有有理数都是实数，是真命题 命题 q：正数的对数都是负数，
D．设命题 p：所有有理数都是实数；命题 q：正数的对数都是负数，则 p q 为真命题
3．在等比数列
an
中， an1
an , a2
a8
6, a4
a6
5
，则
a4 a6
等于（
）
A． 5 6
B． 6 5
C． 2 3
D． 3 2
4． ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ，若 c cos A ，则 ABC 为( ) b
15．已知函数 f x 在定义域 2 a,3 上是偶函数，在 0,3 上单调递减，并且
f
m
2
a 5
f
m2 2m 2
，则 m 的取值范围是______.
2
16．已知函数
f
x
a ex, x 0 ln x, x 0
，若关于
x
的方程
f
f x 0 有且只有一个实数解，则实数 a 的取
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．锐角三角形
D．等边三角形
5．如图所示,使电路接通,开关不同的开闭方式有( )
A．11 种 B．20 种 C．21 种 D．12 种
6．设函数 f x 1 2 ，若 a, b, c 成等差数列（公差不为 0），则 f a f c （ ）