环的同态与反同态(大学优秀论文)

齐齐哈尔大学
毕业（设计）论文
题目环的同态与反同态
学院理学院
专业班级数学与应用数学专业062班
学生姓名赵娜
指导教师李立
成绩
2010年 6 月 16 日
摘要
环的同态与反同态在代数学中具有非常重要的地位, 因此研究环的同态与反同态是尤为重要的. 本文主要从环的同态的性质、环的反同态的性质、环的同态与反同态的应用三个方面研究了环的同态与反同态. 通过利用环的同态的一些基本性质诱导出环的反同态所具有的性质, 给出了环的反同态的性质. 这些反同态性质有些是环的同态所具有的, 还有些是同态所不具有的, 这些性质为以后研究反同构问题提供了有利条件.
本文重点研究了无零因子环的幂自同态、有限交换幺环的自同态以及矩阵上的反自同态与反自同构, 还有商环的结构以及在此基础上又研究了反商环的结构, 展现了环的同态与反同态的鲜明对比. 最后研究了同态与反同态在向量空间中和在证明商环同构等问题中的应用, 体现了环的同态与反同态的广泛应用, 从而反映了研究环的同态与反同态的重要性.
关键词：环；同态；反同态；无零因子环；商环
Abstract
The problems of the homomorphism and the anti-homomorphism are very important positions in algebra. It is particularly important to study the homomorphism and the anti-homomorphism. This article mainly studies the homomorphism and the anti-homomorphism of ring from the three aspects whice are the homomorphism properties, the anti-homomorphism properties and the application of the homomorphism and the anti-homomorphism. This article induces the anti-homomorphism with the properties through reference some basic properties of the homomorphism. Moreover, I give the properties through the anti-homomorphism of ring. In these properties, some belong to the homomorphism, but some do not. These properties provide favorable conditions for the research on the isomorphism in future. This paper mainly studies power endomorphism of no zero factor ring, endomorphism of finite commutative unitary ring and matrix anti-endomorphism and anti-automorphism, the structure quotient ring also, and on this basis. I study the structure of anti-quotient ring, shows a sharp contrast of the homomorphism and the anti-homomorphism. Finally, I study the application of the homomorphism and anti-homomorphism in vector space and the problem of proofing quotient ring isomorphism. It reflects the widely applied of the homomorphism and the anti-homomorrphism, Thus those reflects the importance of studying the homomorphism and the anti-homomorphism.
Key words: Ring; Homomorphism; Anti-homomorphism; No zero factor ring; Quo-tient ring
目录
摘要 (I)
Abstract .................................................................................................................................... I I
绪论 (1)
第1章环的同态的性质 (2)
1.1 环的同态与同构 (2)
1.2环的同态的基本性质 (3)
1.3无零因子环的幂自同态 (4)
1.4环的同态象的结构 (6)
1.5同态下的交换环 (7)
1.5.1 有限交换幺环的自同态 (7)
1.5.2 同态下交换环的素理想的象 (8)
第2章环的反同态的性质 (10)
2.1环的反同态与反同构 (10)
2.2环的反同态的基本性质 (10)
2.3反商环的结构 (13)
2.4反同态下交换环的素理想的象 (14)
2.5矩阵上的反自同态与反自同构 (15)
2.5.1n n
F 上的反自同态与反自同构 (16)
上的反自同构 (19)
2.5.2)
(F
GL
n
第3章环的同态与反同态的应用 (21)
3.1环的同态的应用 (21)
3.1.1 环的同态在向量空间中的应用 (21)
3.1.2环的同态在商环中的应用 (22)
3.2环的反同态的应用 (24)
结论 (26)
参考文献 (27)
致谢 (28)
绪论
群的同态与反同态在代数学中具有非常重要的地位, 群是研究一个代数运算的代数系统, 但是我们在高等代数中经常会遇到很多重要的讨论对象. 例如: 数、多项式、函数以及矩阵和线性变换等. 都有两个代数运算. 这一事实说明, 在近世代数中研究有两个代数运算的代数系统也是具有非常重要的现实意义. 因此, 研究环的同态与反同态是尤为重要的. 根据环的同态与反同态, 可以诱导出其他环的同态与反同态. 例如: 无零因子环、HX环及商环, 还可以利用环的同态简化商环同构问题的证明过程. 除此之外, 环的反同态也为以后研究反同构问题打下好的基础, 因此, 对环的同态与反同态的研究在代数学中是至关重要的.
同时环的同态与反同态在国内外也具有广泛的研究. 1996年陈国慧在同态基本定理的应用中用具体的例子说明了当所给的环是商环时, 利用同态基本定理可以简化商环同构问题的证明过程. 2001年姚炳学在LF商环的同态中研究了LF商环的性质, 得到了一系列的同态基本定理. 1998年李月芬和赵英在反商群和反同态中利用反同态和反同构的概念得到了一系列和商环, 群同态、同构完全相同的性质, 同时也得到了反同态基本定理. 1961年Herstein把Jacobson最初的环R满足n
x n=即可交换的结果推广为: 如果对环R有使n x
x→为R的一个自同态[1]. 则R是交换的, 并且对幂自同态的结果进行了研究.
本文将主要对环的同态与反同态的性质进行研究. 为了体现环的同态的性质, 首先给出了环同态的所有基本性质. 然后再进一步研究环的同态, 本文将通过对无零因子环的幂自同态、有限交换幺环的自同态、环的同态象的结构、环的同态下素理想的象仍是素理想的一个充分条件等方面的研究, 体现环同态的广泛研究性. 在对环的反同态的研究中, 我们将采取同样的方法, 通过对环的反同态象的结构和环的反同态下素理想的象仍是素理想的一个充分条件等方面的研究, 体现环的同态与反同态的区别和联系. 本文最后研究了同态与反同态在几个方面的主要应用, 例如: 在向量空间中的应用和在证明商环同构问题中的应用, 反映了环的同态与反同态的应用广泛. 从而体现了研究环的同态与反同态的重要性.
第1章 环的同态的性质
1.1 环的同态与同构
为研究环的同态所具有的性质. 首先, 在本节中我们先简单介绍一下环的同态与同构.
定义1.1[2] 设R 与R 是两个环, 如果有一个R 到R 的映射φ满足
)()()(b a b a φφφ+=+
)()()(b a ab φφφ=, ),(R b a ∈∀
则称φ是环R 到R 的一个同态映射.
如果φ是环R 到R 的一个同态满射时, 简称R 与R 同态, 记为R R~, 特别, 当R R =时, 称φ是环R 的一个自同态. 如果φ是环R 到R 的一个同态映射, 而且φ又是双射时, 则称φ是环R 到R 的一个同构映射, 当R 与R 之间存在同构映射时, 称R 与R 同构, 记为R R ≅.
特别, 当R R =时, 称φ是环R 的一个自同构.
当R 与R 为除环或域时, 则以上的同态映射、自同态、同构映射和自同构就称为环或域的同态映射、自同态、同构映射和自同构.
定义 1.2 设φ是环R 到R 的一个同态映射, R 的零元0在φ之下的所有原象)0(1-φ成的集合, 叫做φ的同态核, 记作φKer , 即
==-)0(1φφKer }0)({=∈x R x φ
同态核是环R 的理想, φ是单同态的充要条件是
}0{=φKer
环R 中所有元素在φ之下的象作成的集合)(R φ, 称为φ的同态象, 记为φIm , 即
==)(Im R φφ})({R x x ∈φ
显然同态象也是R 的一个子环.
例1.1 设R 与R 是两个环, 定义映射0: x φ, 对任何R x ∈, 则φ是环R 到R 的一 个同态映射, 且同态象为}0{)(=R φ, 此同态称为零同态, 是任何两个环之间都存在一个同态.
以上我们给出了环的同态和同构的概念, 下一节我们具体介绍一下环的同态的基本性质.
1.2 环的同态的基本性质
定理1.1[2] 设N 是环R 的一个理想，则N R 对陪集的加法与乘法作成一个环, 称为 为R 关于N 的商环, 且N R R~.
定理1.2[2] 如果φ是环R 到R 的一个满同态, 则R Ker R ≅φ.
定理1.3 设I 是环R 的任意一个理想, 则I R R ~.
这个定理表明环R 的任何商环I R 是R 的同态象, 而定理1.1表明环R 的任何同态象实质上只能是R 的一个商环.
定理1.4[2] （环同态基本定理）设R 与R 是两个环, 且R R~, 则
(1) 这个同态核N 是R 的一个理想；
(2) ~N R .
定理1.5 设R 与R 是各有两个代数运算的集合, 且R R~, 则当R 是环时, R 也是一 个环.
定理1.6 在环R 到环R 的同态映射下, 则
(1) R 的子环（理想）的象是R 的一个子环（理想）;
(2) R 的子环（理想）的逆象是R 的一个子环（理想）.
命题1.1 环R 到环R 的任意满同态的核都是R 的理想.
证明 ∀y ,x ∈φKer , 由同态核的定义0)(=x φ, 0)(=y φ.
而
)(y x -φ=000)()(=-=-+y x φφ
)(rx φ00)()()(=⋅==r x r φφφ
0)(0)()()(=⋅==r r x xr φφφφ, R r ∈∀
所以由核的定义有 y x -, rx , φKer xr ∈.
综上说明φKer 是环R 的理想.
定理1.7设R 与是R 两个环, 且R R~, 则R 的零元的象是R 的零元；R 的元素a 的 负元的象是a 的象的负元；当R 是交换环时, R 也是交换环；当R 有单位元时, R 也有, 并且单位的象是单位元.
但是大家要注意 环有没有零因子, 在同态映射下不一定能够保持.
例1.2 设Z 是整数环, R 为4阶循环环, 即
R =,2,,0{a a }3a
其中a 在加群,1)(R 中的阶为4, 且2a =a , 则易知映射
φ: n →na
是环Z 到环R 的一个同态满射, 可知整数环Z 没有零因子, 但是循环环R 却有零子,因为在R 中
04222==⋅a a a
所以a 2是环R 的零因子.
例1.3 设Z 是整数环, 又R =),{(b a b a ,}Z ∈, 则可以验算R 对运算
),(11b a +),(22b a =),(2121b b a a ++
),(11b a ),(22b a =),(2121b b a a
作成一个环, 且易知
φ: ),(b a →a
是环R 到Z 的一个同态满射, 又因为
,0)1(,1)0(=,0)0(
即环R 有零因子, 但是它的同态象Z 却没有零因子. 以上两例说明了若环R R~, 当R 无零因子时, R 也可以有；反之当R 有零因子时, R 可以没有. 如果R 没有零因子, 那么我们可以得到以下性质:
性质1.1设环R 与环R 同态, 如果R 是整环, 且环R 无零因子, 则R 也是整环. 性质1.2设环R 与环R 同态，如果R 是主理想环，且是R 无零因子环，那么R 也是主理想环.
证明 设R 是主理想环, 故φ是R 到R 的同态满射, 由于R 是整环, 由性质1.1知R 也是整环. 设A 是R 的任意一个理想, A 是A 在φ作用下的完全原象, 即A 是R 的一个主理想, 所以R 也是主理想环.
性质1.3[3] 设环R 与环R 同态，如果R 是欧式环，且R 是无零因子环，那么R 也是 欧式环.
性质1.4 设环R 与环R 同态, 并且R ≅R , 如果R 是除环(域), 并且R 无零因子环, 那么R 也是除环(域).
1.3 无零因子环的幂自同态
上一节我们总结了环同态的基本性质, 本节我们具体来研究一下无零因子环的幂
自同态. 文献[4]把Jacobson 最初的环R 满足n x =x 的结果推广为：如果对环R 有n >1, 使x n x 为R 的一个自同态, 则R 是交换的. Caslar 在文献[5]中证明了, 特征数是p 的除环是可换的充分必要条件是对于其中任意元b a ,有p p p b a b a +=+)(. 本小节通过对环的幂自同态的结构的研究, 刻画出无零因子环的所有幂自同态的形式.
定义1.3 设R 使一个环, 如果有整数n >1, 使映射ϕ：x n x 为R 的一个自同态, 则称ϕ是R 的一个幂自同态.
例1.4 设R 是一个具有素数特征p 的交换环，则Frobeinius 同态x k p x ，Z k ∈ 是R 的一个幂自同态.
定理1.8[6] 设R 是一个环, R 2≥，：φx n x )1(>n 是R 的一个幂自同态，当满足
下列条件之一时, 就有0≠charR 且22-n charR
(1)R 是一个幺环；
(2)φ是一个满同态.
例1.5 考虑剩余类环4Z , 44=charZ 由于4不整除22-n )1(>n , 故4Z 不存在任何幂自同态.
引理1.1[6] 若无零因子环R 存在幂自同态, 则R 是一个交换环.
引理1.2[6] 设p 是一个素数, 则i n
C p )1,,2,1(-=n i 的充要条件是存在N k ∈使得k p n =
引理1.3[7] 设1>q , 则q 为素数的充要条件是存在N n ∈使 q i n C )1,,2,1(-=n i
引理1.4[7] 设R 是一个无零因子交换环, 如果有N n ∈, R n ≤<1, 对任意R b ,a ∈, 满足n n n b a b a +=+)( , 则charR p =（素数）, 且存在R k ∈, 使k p n =.
定理1.9 设F 是特征为p 0≠的域, 则存在N n ∈, 使得n b a )(+n n b a +=对于任意 F b ,a ∈都成立的充分必要条件是
(1) 当F 为无限域时, 存在非负整数k , 使得k p n =；
(2) F 为有限域时, 存在非负整数k , 使得k p n ≡)1(-F mod 0)(>n .
定理1.10[7] 设R 是一个无零因子环, 如果存在1>n 使x n x 为R 的一个自同态的 充要条件是R 是交换的, charR p =（素数）, 并且
(1) 当n R ≥时, 存在N k ∈使得k p n =；
(2) n R <<2时, 存在N k ∈, 0≥q , 使得q n =)1(-R k p +；
(3) 当2=R 时, n Z R =, N n ∈.
推论1.1 设R 是一个无零因子环, 如果存在1>n 使a a n =对任何R a ∈都成立, 则 charR p =（素数）, 并且当n R ≥时存在N k ∈使得k p n =；当n R <时, 存在0>q 及0≥k , 使得q n =)1(-R k p +.
1.4 环的同态象的结构
由环的第一同态基本定理可知, 研究环的同态象的性质, 等价于研究相应环的商环的性质. 为此, 我们希望有一种非常简单的方法, 明确表示商环的元素. 本节将在一些特定的环上讨论商环的结构, 并得到商环的最简表达式.
性质1.5[8] 设][x F R =为数域F 上的多项式环, R 的理想))((x f N =. 其中∈)(x f R , 且0)(≠x f . 则
})()()({R x g x g x f N ∈=
且
N R =}))(())((0)(,)()({x f x q or x q R x q N x q ︒︒∂<∂=∈+
证明 前一个等式是显然的, 在后一个等式中右包含于左也是显然的. 若R x h ∈)(, 则由带余除法可知, 存在)(x g , )(x q R ∈, 使得
)()()()(x q x g x f x h +=
其中)(x q 0=, 或者))(())((x f x q ︒︒∂<∂, 于是N x q N x h +=+)()(属于右, 即: 左包含于右.
定义1.4 设R 是环, K 是R 的非空子集, N 是R 的理想, 如果
(1) R r ∈∀, 存在K k ∈使得 K k N r +=+；
(2) 21,k k ∀∈K , N k N k +=+21, 当且仅当21k k =,
则称K 为商环N R 的完全代表元集.
性质1.6 在结论1.5 的条件下, K ))}(())((0)(,)()({x f x q or x q R x q x q ︒︒∂<∂=∈= 为商环N R 的完全代表元集.
性质1.7 在结论1.5的条件下, 如果)(x f 是不可约多项式, 那么
N R ≅}][)()({1x F x q q n -∈β
其中 )}({x f n ︒∂=, β是)(x f 的一个复根.
性质1.8 设=X )}(,),(),({21x f x f x f n , )(X N =是由X 生成的理想, 其中)(x f i ∈ ][x F , 且)(x f i 0≠, 则
=N }][))()({1∑=∈n
i i i i x F (x h x h x f ]}[)()()({x F x h x h x d ∈=
其中
=)(x d ))(,),(),((21x f x f x f n
于是
N R =))((x d R
证明 设=H }][)()({1x F x q q n -∈β, 并令
φ: N R ,H → N x q +)()(βq
∀)(x q R ∈, 且)(x q 0≠or n x q <∂︒)}({. 如果)(1x q , )(2x q ∈][1x F n -, 并且)(1x q ≠ )(2x q , 则
=-)))()((),((21x q x q x f 1
所以存在)(x u , )(x v ][x F ∈, 使得
)(x f )(x u +)}()({21x q x q -)(x v 1=
此式在复数域C 上仍然成立. 而0)(=βf , 显然)()(21ββq q -0≠, 因此φ是单射. 至于φ是满射是显然的. 所以φ是N R H →的恒等映射.
∀)(1x q , )(2x q ∈][1x F n -, 有-)(1x q )(2x q ∈][1x F n -, 即
})({1N x q ++})({2N x q +=)}()({21x q x q +N +
所以
=+++)})(())({(21N x q N x q φ)()(21ββq q +=φ})({1N x q ++φ})({2N x q +
另一方面, 设
)()(21x q x q =)()(x g x f +)(x q
而)(x q ∈][1x F n -, 因此
)(βq =)(1βq )(2βq
于是
=++)})()()({(21N x q N x q φ)(βq =φ})({1N x q +φ})({2N x q +
所以φ是N R H →的同构映射.
1.5 同态下的交换环
1.5.1 有限交换幺环的自同态
本节我们具体来研究一下有限交换幺环的自同态.
定义1.4 设G 为有限无向无环简单图. G 的点色数记为)(G χ，G 的顶点集与边集
分别记为)(G V 与)(G E . )(G V 的一个子集X 被称为是G 的一个团, 如果X 在G 中的导出子图为完全图. G 中所有团的基数的上确界称为G 的融数, 记为)(G c . 若G 是H 的子图, 则记为H G ≤. 此时, )()(H c G c ≤.
引理1.5[9] 若H G ≤, 则)()(H G χχ≤.
性质1.9 若H G f →:为图同态, 则))(()(G f G χχ≤.
性质1.10若EndG f ∈, 则))(())(()(f D G f G χχχ==.
性质1.11 设R 为有限交换幺环, 则)()()()(R l R t R c R +==χ.
性质1.12 设R , S 均为有限交换幺环, S R f →:为保幺同态, 则)()(:S G R G f → 为图同态, 并且
)())(())(())((S G R f D R f G R G f ≤≤≤
定理1.11设R , S 均为有限交换幺环, S R f →:为保幺同态, 则
(1) )()(S R χχ≤；
(2) )()(S c R c ≤；
(3) )()(S l R l ≤.
定理1.12[9] 设R 为有限交换幺环, )(1R End f ∈, 则
(1) ))(()(R f R χχ=；
(2) ))(()(R f c R c =；
(3) ))(()(R f l R l =；
(4) ))(()(R f t R t =；
(5) )()()(R l R t R f +≥.
推论1.2 设R 为有限交换幺环, )(1R End f ∈, 则
(1) )(R J Kerf ⊆, 并且)()(R J Kerf Rad =；
(2) 若R 是Jacobson 半单环, 则f 是环R 的自同构, 从而)()(1R Aut R End =.
证明 (1) 有定理1.12(4)知)(()(R f t R t =, 而由环的同态定理知)((R f t 等于R 中包含Kerf 的极大理想的数目, 故R 得极大理想均包含Kerf . 故)(R J Kerf ⊆.
(2) 若R 是半单环, 则0)(=R J , 由(1)得0=Kerf , 从而f 为单同态. 由R 的有限性知f 也是满同态, 故f 是同构, 即)(R Aut f ∈.
1.5.2 同态下交换环的素理想的象
众所周知, 在环的同态映射下素理想的完全原象仍是素理想, 但是素理想的象却未必是素理想. 本节将要给出在环的同态下交换环的素理想的象仍是素理想的一个充分条件.
对于环R , 以)(R P 表示R 上的全体素理想构成的集合, 我们知道, 给定一个素理想集⊆A )(R P , 则P A
P ∈ 是R 的理想, 由此, 我们便可征得下述结果 性质1.13 R 是交换环, ⊆A )(R P , f 是R 到P R A
P ∈ 的自然同态, 则对每个A P ∈, )(P f 是P R A
P ∈ 的素理想, 并且))((1P f f P -=. 推论1.3 设R 是交换环, ⊆A )(R P , 令*A )}()({1P R P Q Q f A
P ∈-∈= , 则∈A *A , 这里f 是R 到P R A
P ∈ 的自然同态. 定理1.13 如果交换环R 与1R 同态, 同态映射为f , 且=Kerf P P(R)
P ∈ , 则)(P f 是1R 的素理想.
本章我们重点对无零因子环的幂自同态、有限交换幺环的自同态、环的同态象的结构、环的同态下素理想的象仍是素理想的一个充分条件等方面的研究, 体现了环同态的广泛研究性.
在下一章在对环的反同态的研究中, 我们将采取同样的方法, 通过对环的反同态象的结构和环的反同态下素理想的象仍是素理想的一个充分条件等方面的研究, 体现环的同态与反同态的区别和联系.
第2章 环的反同态的性质
在上一章中我们研究了环的同同态及其性质, 相应的这一章我们将要研究一下环的反同态, 反同态在教学中往往是个难点, 我们将仿照环的同态来研究环的反同态.
2.1 环的反同态与反同构
文献[10]引用了群的反同态与反同构的概念, 利用它们得到了一系列与群同态、同构完全相应的性质. 本节我们首先给出环的反同态与反同构的概念.
定义2.1 设R 与R 是两个环, 如果有一个R 到R 的映射φ满足
)()()(b a b a φφφ+=+
)()()(a b ab φφφ=, ),(R b a ∈∀
则称φ是环R 到R 的一个反同态映射.
如果φ是环R 到R 的一个同态满射时, 简称R 与R 反同态, 记为反
~R R .
特别地, 环R 到自身的反同态叫做环R 的反自同态.
交换环的反自同态显然就是自同态.
如果φ是环R 到R 的一个反同态映射, 而且φ又是双射时, 则称φ是环R 到R 的一个反同构映射, 当R 与R 之间存在同构映射时, 称R 与R 反同构, 记为R R 反≅. 特别, 当R R =时, 称φ是环R 的一个反自同构. 当R 与R 为除环或域时, 则以上的反同态映射、反自同态、反同构映射和反自同构就称为环或域的反同态映射、反自同态、反同构映射和反自同构.
定义 2.2设φ是环R 到R 的一个反同态满射, R 的零元0在φ之下的所有原象)0(1-φ作成的集合, 叫做φ的反同态核, 记作φKer 反.
在下一节中我们将进一步研究环的反同态与反同构的性质.
2.2 环的反同态的基本性质
之前我们引入了反同态和反同构的概念, 利用他们我们可以得到一系列好的结果, 我们根据环同态的性质类比的给出环的反同态的性质, 利用反同态在以后的学习中可以讨论各类代数关系.
性质2.1 设R 与R 是两个环, 且反~R R , 则
(1) R 的子环H 的象)(H ϕH =是R 的子环;
(2) R 的理想的象)(N ϕN =是R 的理想;
(3) R 的子环H 的逆象)(1H -ϕH =是R 的子环;
(4) R 的理想的逆象)(1N -ϕN =是R 的一个理想.
证明 (1) 由于)(H ϕ})({H h h ∈=ϕ, 且)0(ϕ0=∈)(H ϕ, 所以)(H ϕΦ≠, ∀)(x ϕ, )(y ϕ∈)(H ϕ, 其中x ,H y ∈则y x -H ∈, H xy ∈. 从而
)()(y x ϕϕ-)(y x -=ϕ∈)(H ϕ
)(x ϕ)(y ϕ)(xy ϕ=∈)(H ϕ
即可证)(H ϕH =是R 的子环.
(2) 如果ϕ: R R →是环的反同态满射, 由(1)知)(N ϕ是R 的子环, ∀)(x ϕ∈)(N ϕ 其中N x ∈, R a ∈, 存在R y ∈, 是的)(y ϕa =, 于是
)(x a ϕ=)(y ϕ)(x ϕ)(xy ϕ=∈)(N ϕ
同理a x )(ϕ∈)(N ϕ, 因此, )(N ϕ是R 的理想. (3), (4)证明从上略.
引理2.1[11] 设1φ是环1R 到2R 的一个反同态映射, 2φ是环2R 到3R 的一个反同态映
射, 则2φ1φ是环1R 到3R 的一个反同态映射.
引理2.2[11] (1)奇数个反同态映射之积是反同态映射;
(2) 偶数个反同态映射之积是同态映射;
(3) 一个反同态映射与一个同态映射之积是反同态映射.
引理2.2[11] 设φ是环R 到R 的一个反同态映射, 则φ是单射的充要条件是
}0{=φKer 反
这里我们设R 是一个环, N 是R 的一个理想, 令}{R a aN S ∈=, 若对于∀aN , S bN ∈, 定义aN N b a bN )(+=+ aN baN bN =⋅. 这种法则是S 的一个加法和乘法.
证明 显然aN N b a bN )(+=+. 设=aN N a ', N b bN '=, 因为∃N n n ∈21,, 使得21,n b b n a a '='=, 所以=ba 2n b '1n a '. 又因为N 是R 的一个理想, 所以N a a N a n '='∈'2, 所以N n ∈∃3 使得 32n a a n '=', 所以=ba )(21n n a b '', 所以N a b N ba )()(''=, 即aN =⋅bN N a 'N b '⋅.
故所定义的法则是S 的一个加法和乘法. 由文献[12]知S 对上面的运算作成一个环. 定义2.3 环R 的一个理想N 的陪集对于上面规定的加法和乘法所作成的环叫做R 关于N 的反商环, 记作N R 反.
定理2.1 一个环同它的一个反商环N R 反反同态.
证明 令→R :φN R 反, aN a , 易知φ是一个满射, 对于R b a ∈∀,有
=+=+N b a b a )()(φaN =+bN +)(a φ)(b φ
)(b a ⋅φ==⋅N b a )(bN aN )(b φ=)(a φ⋅
故φ是R 是N R 反一个反同态满射, 因此R 反同态于N R 反. 对于任意一个环R , 总可以做出一个环R , 使之与R 反同构. 这只需要取集合R =R , 及环R 的加法为R 的加法, 然后利用给定的环R 的乘法定义R 的乘法⨯为
ba b a =⨯ ),(R b a ∈∀
即可.
因为
)()()(ba c c ba c b a =⨯=⨯⨯
a c
b cb a
c b a )()()(=⨯=⨯⨯)(ba c =
及
c a b a ca ba a c b c b a ⨯+⨯=+=+=+⨯)()(
a c a
b a
c ab c b a a c b ⨯+⨯=+=+=⨯+)()(c a b a ⨯+⨯=
知),,(⨯+R 构成环, 易知恒等映射x x 是),,(⋅+R 到),,(⨯+R 的反同构, 称环),,(⨯+R 为环),,(⋅+R 的反向环. 环R 的反向环记作 R . 显然, R 到任一环的反同构就是 R 到该环的一个同构.
定义2.4 一个环同它的每一个反商环N R
反反同态, 称这样的反同态映射为自然 反同态映射.
定理2.2 （反同态基本定理） 设R 是一个环, 则R 的任意一个反商环都是R 的反 同态象；反之, 若R 是R 的反同态象,R )(R f =, 则反≅R Kerf R
反. 定理2.3 设R 与R 是两个环, 且反~R R ，则R 的零元的象是R 的零元；R 的元素a
的负元的象是a 的象的负元；当R 是交换环时, R 也是交换环；当R 有单位元时, R 也有, 并且单位的象是单位元.
定理2.4 在环R 到环R 的反同态映射下, 则
(1) R 的子环的象是R 的一个子环；
(2) R 的理想的逆象是R 的一个子环理想.
定理2.5 设R 与R 是各有两个代数运算的集合, 且反
~R R , 则当R 是环时, R 也是 环.
定理 2.6 设R 与R 是两个环, 且R 与R 反同态, 如果R 是整环, R 是无零因子环, 那么R 也是整环.
证明 由于R 是整环, 故R 满足交换律, 有单位元, 由文献[2]定理2知R 也满足交
换律, 有单位元, 又因为R 是无零因子环, 因此R 是整环.
定理 2.7 设R 与R 是两个环, 且R 与R 反同态, 如果R 是除环(域), R 是无零因子环, 那么R 也是除环(域).
定理 2.8设R 与R 是两个环, 并且R 与R 反同态, 如果R 是主理想环, R 是无零因子环, 那么R 也是主理想环.
证明 设R 是主理想环, 故R 是整环, 令ϕ是R 到R 的一个反同态满射, 由定理 2.6知R 也是整环. 设N 是R 的任意一个理想, N 是N 在ϕ下的逆象, 则由文献[2]定理3知N 是R 的理想. 由于R 是一个主理想环, 故N 是R 的一个主理想. 设N )(u =, ∈u N , 则u N u ∈=)(ϕ, 于是)(u ⊂N . 任取∈n N , 存在)(u N n =∈, 使得n n =)(ϕ, 设ru n =, 则 )()()()()()(u r u r u ru n n ∈====ϕϕϕϕϕ, 于是N ⊂)(u , 因此 N =)(u . 即N 是R 的一个主理想, 所以R 是一个主理想环.
2.3 反商环的结构
由环的反同态基本定理可知, 研究环的反同态象的性质, 等价于研究相应环的反商环的性质. 按同构意义对反商环进行分类, 其结构就完全由环的理想所确定了, 因此我们希望能够有一种非常简单的方法可以明确表示反商环的元素.
性质2.2 设][x F R =为数域F 上的多项式环, R 的理想))((x f N =, 其中)(x f R ∈, 且)(x f 0≠. 则})()()({R x g x g x f N ∈=, 且反商环
N R 反}))(())((0)(,)()({x f x q or x q R x q N x q ︒︒∂<∂=∈+=
定义2.5 设R 是环，K 是R 的非空子集，N 是R 的理想，如果
(1) R r ∈∀, 存在K k ∈使得 K k N r +=+；
(2) 21,k k ∀∈K , N k N k +=+21, 当且仅当21k k =, 则称K 为反商环N R
反的完
全代表元集
性质2.3 在结论2.1 的条件下
K }))(())((0)(,)()({x f x q or x q R x q x q ︒︒∂<∂=∈= 为反商环N R 反的完全代表元集.
事实上, )(1x q ∀, K x q ∈)(2,
=+N x q )(1N x q +)(2
当且仅当
)(x f ))()((21x q x q -
也就是当且仅当
=)(1x q )(2x q
否则
))(())()((21x f x q x q ︒︒∂≥-∂
这是不可能的.
性质2.4 在结论2.1的条件下, 如果)(x f 是不可约多项式, 那么
N R 反反≅}][)()({1x F x q q n -∈β 其中 n )}({x f ︒∂=, β是)(x f 的一个复根.
证明 设=H }][)()({1x F x q q n -∈β, 并令
φ：N R 反,H → N x q +)()(βq
∀)(x q R ∈, 且)(x q 0≠or n x q <∂︒)}({.
如果)(1x q , )(2x q ∈][1x F n -, 且)(1x q ≠)(2x q , 则=-)))()((),((21x q x q x f 1, 所以存在)(x u , )(x v ][x F ∈, 使得)(x f )(x u +)}()({21x q x q -)(x v 1=, 此式在复数域C 上仍然成立, 而0)(=βf , 显然)()(21ββq q -0≠, 因此φ是单射. 至于φ是满射, 那是显然的. 所以φ是N R 反H →的恒等映射.
∀)(1x q , )(2x q ∈][1x F n -, 有-)(1x q )(2x q ∈][1x F n -, 即
})({1N x q ++})({2N x q +=)}()({21x q x q +N +
所以
=+++)})(())({(21N x q N x q φ)()(21ββq q +=φ})({1N x q ++φ})({2N x q +
另一方面, 设)()(21x q x q =)()(x g x f +)(x q , 而)(x q ∈][1x F n -, 因此
)(βq =)(2βq )(1βq
于是
=++)})()()({(21N x q N x q φ)(βq =φ})({2N x q +φ})({1N x q +
所以φ是N R
反H →的反同构映射.
2.4 反同态下交换环的素理想的象
上一章中，我们也给出了同态映射下交换环的素理想的象仍是一个素理想的充分条件. 我们知道在环的反同态映射下素理想的完全原象仍是素理想, 但是素理想的象却未必是素理想，本节将给出在环的反同态下交换环的素理想的象仍是素理想的一个充
分条件.
对于环R , 以)(R P 表示R 上的全体素理想构成的集合, 我们知道, 给定一个素理想集)(R P A ⊆，设W 是R 的全体素理想的交，则知W 也是R 的理想，由此，我们便可证得下述结果：
性质2.5 我们设R 是交换环, )(R P A ⊆, f 是R 到W R
反的自然反同态，则对每个A P ∈, )(P f 是W R 反的素理想, 并且))((1P f f P -=.
证明 设A P ∈, )(P f 是W R 反的理想, 这是显然的. 若x , y ∈W R 反, xy ∈)(P f
则存在a , b ∈R , P c ∈, 使得)(a f x =, )(b f y =, )(c f yx =. 从而
)()()()()(c f yx a f b f ba f ab f ====
故∈-c ab W , 而P c ∈, 从而得P ab ∈. 再由P 是素理想，则必有P a ∈或者P b ∈，即 )(P f x ∈或者)(P f y ∈, 所以说)(P f 是W R 反的素理想.
其次, ))((1P f f P -⊆是显然的. 设))((1P f f x -∈, 即)()(P f x f ∈, 必有P y ∈, 使得)()(y f x f =, 从而∈-y x W . 由P y ∈得P x ∈, 说明P P f f ⊆-))((1, 所以
))((1P f f P -=.
推论2.1 设R 是交换环, ⊆A )(R P , 令*A )}()({1W R P Q Q f 反∈=-, 则)(R P A ⊆,
⊆A *A , 这里f 是R 到W R 反的自然反同态.
证明 设A P ∈，有上面结论可知)(P f ∈)(W R P 反，并且))((1P f f P -=∈*A ，即
⊆A *A .
定理2.9 如果交换环R 与1R 反同态, 反同态映射为f , 且W Kerf =反,，则)(P f 是
1R 的素理想.
证明 由于≅R W R 反=Kerf R 反, 设反同构映射为g , 则f g h =是R 到W R
反的反同构映射. 由上面结论得)(R P P ∈∀, ))(()(P f g P h =为W R
反的素理想, 从而
)())((1P f P h g =-为1R 的素理想.
2.5 矩阵上的反自同态与反在自同构
映射1φT )(A A =；2φ*
=A A )(；⎩⎨⎧=⨯-不可逆若,0可逆若,)(13A A A A n n φ 分别是n n F ⨯和)
(F GL n 上的三个重要的反自同态和反自同构, 反同态与反同构在代数系统中是非常重要的, 同时它们也是非常难理解和掌握的, 本节对上述结果给予了一种简单的证明, 该种证明方法简明易懂.
2.5.1 n n F ⨯上的反自同态与反自同构
设F 是一个域, 记n n F ⨯为F 上所有n n ⨯矩阵关于矩阵乘法构成的幺半群. 称n n F ⨯到n n F ⨯的映射φ为n n F ⨯到n n F ⨯的反自同态, 如果
(1) )(B A ⋅φ)()(A B φφ=, A ∀, ∈B n n F ⨯；
(2) )(n I φn I =, n I 为n n F ⨯中的幺元, 即单位元. 如果φ还是双射, 则称φ是n n F ⨯到n n F ⨯的反自同构. 定理2.10 1φ：n n F ⨯→n n F ⨯, 1φT )(A A =是n
n F ⨯到n n F ⨯的反自同构；
2φ：n n F ⨯→n
n F ⨯
2φ*=A A )(
及
3φ：n n F ⨯→n n F ⨯
任意的
⎩⎨⎧=⨯-不可逆若
,0可逆若,)(13A A A A n n φ ∈∀A n
n F ⨯
都是n n F ⨯到n n F ⨯的反自同态.
我们主要证明第二个结论, 首先给出一个引理. 引理2.4[13] 对于任意的C , D n n F ⨯∈, 都有
=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛*
D I C n-0001**
-*-*⋅⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=
⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫
⎝⎛C D I I C D n n 00000011
（2-1） 证明 设)(,j i c C =, )(,j i d D =, 则
=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D I C n-0001
⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0001n I C ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-D I n 0001
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---00001,211,222211,11211n n n n n n c c c c c c c c c ⎪⎪
⎪⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛---0000,12,11,12222111211
n n n n n n d d d d d d d d d
于是D I C n-⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛000
1的),(j i 的代数余子式为
j
i j i K +-=)
1(,1
,2
1
1
,12,11,11,12,11
,11,11211--+++-----n n n n n i i i n i i i n c c c c c c c c c c c c
n
n j n j n n n
j j n j j d d d d d d d d d d d d ,11,11,11
,121
,21
,22111,11,111-+----+-+-
nj in D C ⋅=
其中nj in D C ,分别为C 的),(n i 元的代数余子式和D 的),(j n 元的代数余子式. 于是
=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛*
D I C n-0001⎪⎪
⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛nn n n D D D 21),,,(21nn n n C C C 而
=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛*
-*00
01n I C D ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛nn n
n
n n D D D D D D D D D 212221212111⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---0001
,21
1,222211,11211
n n n n n n C C C C C C C C C
=⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛nn n n D D D 21),,,(21nn n n C C C
故
=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛*
D I C n-00
01*
-*
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0001n I C D 同理可证
**
-*
-*⋅⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C D I I C D n n 00
000
011
证明 (2) 由于)(2n I φn n I I ==*
, 为证2φ是反自同态, 只需证
=)(2AB φ)(2B φ)(2A φ
即
*
**=A B AB )(
1 },min{
B A 秩秩n =时, 1)()(-*=AB AB .
**--=⋅==A B A A B B AB A B AB --))((1111
2 },min{B A 秩秩=1-n 时, 若秩A n =, 秩1-=n B , 设=B P ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-00
01
n I Q , P , Q 可逆, 于是由上面引理及1 得
=*
)(AB *
-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫
⎝⎛Q I AP n 0001 **
-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=)(00
01
AP Q I C n =***-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫
⎝⎛A P Q I n 0001
**-⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=A Q I P n 00
01
=**A B
若秩1-=n A , 秩B n =, 类似可证***=A B AB )(. 若秩=A 秩B 1-=n , 设
1P A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00
01
n I 1Q ；2P B =⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-0001n I 2Q 其中1P , 1Q , 2P , 2Q 都可逆. 由引理及1 得
*
)(AB *
--⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=212111000000Q I P Q I P n n =*
-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21
00
0Q I n *
-⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫
⎝⎛211100
0P Q I P n =*
-⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫
⎝⎛21
000Q I n *)(21P Q *
-⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛0001
1n I
P =***
-⋅⋅⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫
⎝⎛1221
00
0Q P Q I n *
-⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0001
1n I P =*
-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛21
200
0Q I P n *
-⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11
1000Q I P n =**⋅A B
3 },min{
B A 秩秩1-<n 时, 不妨设A 1-<n , 则n n A ⨯*=0, 而秩<AB 秩A 1-<n , 于是*)(AB =n n ⨯0, 从而有
*
)(AB =n n ⨯0 =**⋅A B
故 2φ是n n F ⨯到n n F ⨯的反自同态. (3) 由于)(3n I φn n
I I ==-1
, 为证3φ是反自同态, 只需证
=)(3AB φ)(3B φ)(3A φ
1 当0≠AB 时, A , B 都可逆.
=)(3AB φ111)(---=A B AB =)(3B φ)(3A φ
2 当0=AB 时, 不妨令0=A , 则A 不可逆, 0)(3=A φ；从而
=)(3AB φ)(3B φ)(3A φ
故 3φ是n n F ⨯到n n F ⨯的反自同态.
2.5.2 )(F GL n 上的反自同构
定理2.11 记)(F GL n 为域F 上所有n n ⨯非奇异矩阵的全体关于矩阵乘法构成的群.
)(F GL n 到)(F GL n 的映射
1φT )(A A =, ∈∀A )(F GL n
2φ*=A A )(, ∈∀A )(F GL n
3φ1)(-=A A , ∈∀A )(F GL n
都是)(F GL n 到)(F GL n 的反自同构. 并且1φ, 2φ, 3φ都是可换的.
证明 (1) 对任意A , ∈B )(F GL n , 有
1φ)()()()(11T T T A B A B AB AB φφ===
2φ)()()()()(22111A B A B A A B B AB AB AB AB φφ==⋅⋅⋅===**---*
3φ)()()()(33-111A B A B AB AB φφ===--
故1φ, 2φ, 3φ都是)(F GL n 到)(F GL n 的反自同态. (2) 对任意A ∈)(F GL n , 由0≠A , 有
1φA A =)(T
2φ=⋅)(-11A A n-=⋅*)(-11A A n-A A A A A A A A ===---**-1111)()()(
3φA A A ==---111)()(
故1φ, 2φ, 3φ都是满射.
(3) 设A , B 是)(F GL n 中任意两个矩阵,
如果=)(1A φ)(1B φ, 则T
T B A =, 于是B A =. 如果=)(2A φ)(2B φ, 那么*
*=B A , 从而有。