对面积的曲面积分

解：假设 在曲面 上连续，应用元素法，在曲面上任取一直径很小的曲面块 ，设 使曲面块 内的一点，则由曲面块 很小， 的连续性可知，曲面块 的质量近似等于 ，这部分质量可近似看作集中在点 上，该点到 轴的距离等于 ，于是曲面对于 轴的转动惯量为： ，所以转动惯量为：
2．按对面积的曲面积分的定义证明公式
解 ，
（4） ，其中 为锥面 被柱面 所截得的有限部分.
解
7.求抛物面壳 的质量，此壳的面密度为 .
解 ，
8.求面密度为 的均匀球壳 对于 轴的转动惯量.
解由公式
．
【注】定义中的“ ”是面积元素，因此， ．
2.性质
①关于曲面具有可加性，若 ，且 与 没有公共的内点，则
；
②当被积函数为1时，积分结果在数值上等于曲面 的面积 ，即
．
3.对面积的曲面积分的计算
设曲面 由 给出， 在 面上的投影区域为 ，函数 在 上具有连续偏导数，被积函数 在 上连续，则
．
同样地
，
【分析】]根据积分曲面 的方程，确定投影区域，计算曲面面积微元 ，将曲面积分转化为投影区域上的二重积分进行计算．
解设 , 为锥面 , ，在 上，
= ，
图4-1
为 上 部分，在 上， ，
在 面的投影区域为 ，所以
+
.
例5计算 ，其中 为 介于 之间的部分.
【分析】积分曲面 如图11-13所示，此积分为对面积的曲面积分，积分曲面 关于 面， 面对称，被积函数是偶函数，则有 = ，故可利用对称性解之.
（A） ；（B） ；
（C） ；（D） ．
解因为曲面是上半球面， 关于 面对称且被积函数 ， 都是变量 的奇函数，于是 ．类似地， 关于 面对称且 是变量 的奇函数，于是 ．而 ，故应选（C）．事实上，由对称性， ， ，（C）正确．
【方法点击】在计算对面积的曲面积分时，应注意下列技巧：
（1）利用对称性，但要注意，曲面 关于某坐标面对称，被积函数关于相应变量具有奇偶性，两者缺一不可．
解以球心为原点，铅锤直径为 轴建立直角坐标系，则球面方程为 ，且任意点 处的密度为 ．
设球壳的质心坐标为 ，由对称性知， ．
，
其中 为上半球面 ， ，
于是球壳的质量为
其中 为 在 面上的投影域： ．利用极坐标计算上述二重积分，得
而
故 ，于是半球壳的质心坐标为 ．
教材习题解答
1.有一个分布着质量的曲面 ，在点 处它的面密度 ，用对面积的曲面积分表示这曲面对于 轴转动惯量。
解设 ,其在 面的投影域为 ，
= =4 .
图4-2
【注】该题不能将积分曲面 向 面作投影，因为投影为曲线，不是区域.
基本题型II：对面积的曲面积分的应用
例6求物质曲面 的质量，其面密度 .
解 在 平面上的投影区域 .
于是，所求质量为
例7试求半径为 的上半球壳的质心，已知其各点的密度等于该点到铅锤直径的距离．
对面积的曲面积分
第四节对面积的曲面积分
学习目标
了解对面积的曲面积分的概念、性质，掌握对面积的曲面积分的计算方法，会用曲面积分求一些几何量与物理量.
内容提要
1.定义设函数 在光滑曲面 上有界，将曲面 任意分成n小块 （ 也表示第 小块曲面的面积），在 上任取一点 ，作乘积 （ ），并作和 ，记各小曲面直径的最大值为 ，如果对曲面的任一分法和点 的任意取法，当 时，上述和式的极限都存在且相等，则称此极限值为函数 在曲面 上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记
解：当 时 面内的一个闭区域 时， 在 上的投影区域即为 ， 上的 恒为 ，并且 ，所以 ，即曲面积分与二重积分相等。
4.计算曲面积分 ，其中 为抛物面 在 面上方的部分， 分别如下：
（2） ;（3） ．
解（2） = ，其中 为 在 面上的投影区域，即
.
于是
= .
（3）
= .
5.计算 ，其中 是：
（1）锥面 及平面 所围成的区域的整个边界曲面.
．
4.对面积的曲面积分的应用
设曲面 上任意一点 处的面密度是 ，则
①曲面的质量
．
②曲面的质心
， ．
③曲面的转动惯量
， ，
， ．
典型例题与方法
基本题型I：计算对面积的曲面积分
例1填空题
设 ，则 ．
解由积分wenku.baidu.com域的对称性知 ，于是
．
而积分在 上进行， ，代入上式得，
故应填
例2选择题
设 ， 为 在第一卦限中的部分，则有（）
（2）锥面 被平面 和 所截部分。
解（1）设 中属于锥面部分为 ，上底面部分为 ，而 与 在 面上的投影区域均为
，所以
=
（2）所截的锥面为： ，
所以
6.计算下列对面积的曲面积分：
（1） ，其中 为平面 在第一卦限中的部分.
解 ，
（2） ，其中 为平面 在第一卦限中的部分.
解 ，
（3） ，其中 为球面 上 的部分.
（2）利用积分曲面 的方程化简被积函数．
例3计算曲面积分 ，其中 是平面 被三个坐标面所截下的在第一卦限的部分.
解法一 . 在 平面上的投影是三角形，记为 .
.
解法二 .
【方法点击】在解法二中，将曲面方程代入到了曲面积分里，因为积分曲面是一个三角形，最后用到了三角形的面积公式.
例4计算 , 为立体 的边界.
，其中 由 和 组成
证明：因为 在曲面上对面积的积分存在，所以不论把曲面 怎样分割，积分和总保持不变，因此在分割曲面 时，可以永远把 和 的边界曲线作为分割线，从而保证 整个位于 上，于是 上的积分和等于 上的积分和加上 上的积分和，即
令各小块的直径的最大值趋向于0，去极限得到：
3.当 时 面内的一个闭区域 时，曲面积分 和二重积分有什么关系。