高中一年级数学数列通项公式的求法

解：变形为：101－1，102―1，103―1， 104―1，……
∴通项公式为：an 10n 1
例2，求数列3，5，9，17，33，……
解：变形为：21+1，22+1，23+1， 24+1，25+1，……
∴通项公式为： an 2n 1
可见联想与转化是由已知认识未知的两
种有效的思维方法。
注意：用不完全归纳法，只从数列的有限项
求解：通把由项1，已公2知式，…aa1 ，n 。2n，分an别1 代3n a入n ，上得式：得aan：n1 3n
a2 31，a3 32 ，…， an 3n 1
a1
a2
an 1
例4、已知数列中{an} ，a1 2 ，an1 3n an ，
求解：通把由项1，已公2知式…，aa1 nn分。2，别an代1 入3n a上n ，式得得：：aann1 3n
2
的前n项 3 ，若 {an}
和 为
等差数列，求p与 an 。
例 为
5
sn
．已
Pn
知( p数 1)列n {apn}
2
的前n项 3 ，若 {an}
和 为
等差数列，求p与 an 。
解：∵{an}为等差数列
∴
sn
na1
n(n 1) d 2
d n2 2
(a1
d )n 2
Pn2 (P 1)n p 3
2
an
a1 4[1 2 3 (n 2(n 1)
∴ an 2a2 4n
1)]
3
例10，已知 a1 2 ，an 0 ，
且 an1 an 2an1 • an (n N ) ，求 an 。
解：∵ an1 an 2an1 • an 且an 0
∴ 令 bn 数列
1
an
1 an
1 2即
辅助数列能转化成等差或等比数列的形式。
例8，已知数列{an}的递推关系为an1 2an 1
，解且：∵a1
1 求通项公式 an1 2an 1
an
。
∴ an1 1 2(an 1)
令 bn ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱan 1
∴
bn 1 bn
an1 1 2 an 1
则辅助数列 {bn} 是公比为2的等比数列
d bq 2d bq2
4
7
a 3d bq3 12
q 2
d b
1 1
a 1
cn n 2n1
五、已知数列的前n项和公式，求通项公
式的基本方法是：an
ss1n
(n sn 1
1) (n
2)
注意：要先分n=1和n 2两种情况分别进
行运算，然后验证能否统一。
例7．已知下列两数列 {an} 的前n项和sn的 公式，求 {an} 的通项公式。
或前n项和公式为某一多项式，一般地，
若数列 {an}为等差数列：则 an bn c ， 或是sn bn2 cn （b、ｃ为常数），若数
列 {an} 为等比数列，则 an Aqn1 ，
或 sn Aqn A ( Aq 0, q 1) 。
例 为
5
sn
．已
Pn
知( p数 1)列n {apn}
∴两边迭加得：
an a1 d d n 1d
即：an a1 (n 1)d
返回
解：把1∵，{2an…}为，等n分比别数代列入,∴上式a得ann：1 q
a2 a1
q ，a3
a2
q ，…，
an an 1
q
把上面n-1条式子左右两边同时相乘得：
an q111 qn1
a1
∴ an
a1 qn1
an 1
11 7
an 1 an
，则数列 {bn} 是公差为-2的等差
因此 bn b1 (n 1)d
∴ 1 1 2(n 1) 5 4n
∴an
an
a1
2 5 4n
2
解：∵{an} 为等差数列
∴ a2 a1 d
a3 a2 d a4 a3 d
a5 …a4 d
an an1 d
， a2 31 a3
a1
a2
32 ，…，aann1
3n 1
把上面n-1条式子左右两边同时相乘得：
an
3123(n1)
nn1
3 2
a1
∴
n ( n 1)
an 2 3 2
练习:①用迭加法推导等差数列的通项公式 解答
②用迭积法推导等比数列的通项公式 解答
四、待定系数法：
用待定系数法解题时，常先假定通项公式
∴bn b1qn 即 1 an 1 (a1 1)qn1 2n
∴ an 2n 1
例 9 ， 已 知 数 列 {an} 的 递 推 关 系
为 an2 2an1 an 4，且 a1 1，a2 3 ，
求通项公式 an 。
解：∵ an2 2an1 an 4
∴ (an2 an1) (an1 an ) 4
∴
d
2
p
a1
d 2
P 1
0 P 3
P 3 d 6
a1 5
∴
an
a1
(n 1)d
1 6n
例6．设数列 {cn }的各项是一个等差数列
与一个等比数列对应项的和，若c1=2，
c2=4，c3=7，c4=12，求通项公式cn
解：设 cn a (n 1)d bq
n
1
a b 2
a a
的解通：a项2 公 a式1 {a2n}
aa43 aa32 43
∴两边相加得：
an a1 2 3 4 n
a…5 …a4 5
an an1 n
∴
1 an 2 n(n 1)
三、迭积法（逐积法） 当一个数列每依次相邻两项之商
构成一个等比数列时，就可用迭积法
进行消元
例4、已知数列 {an} 中，a1 2 ，an1 3n an ，
（1）sn n2 1 （2）sn 2n2 3n
例7．已知下列两数列 {an} 的前n项和sn的 公式，求 {an} 的通项公式。
（1）sn n2 1 （2）sn 2n2 3n
解： （1）a1 s1 1，当n 2时
an sn sn1 (2n2 3n) [2(n 1)2 3(n 1)] 4n 5
数列通项公式的求法
数列的通项公式:是一个 数列的第n项（即an）与项数n 之间的函数关系
注： ① 有的数列没有通项公式， 如：3，π，e，6；②有的数列有
多个通项公式,如：an 1n cosn
下面我就谈一谈数列通项公 式的常用求法：
一、观察法（又叫猜想法，不完全归 纳法）：观察数列中各项与其序号间 的关系，分解各项中的变化部分与不 变部分，再探索各项中变化部分与序 号间的关系，从而归纳出构成规律写 出通项公式 例1：数列9，99，999，9999，……
来归纳数列所有项的通项公式是不一定可靠
的，如2，4，8，……。可归纳成
者an n2 n 2两个不同的数列（ a
an 2n 或
4 便不同）
二、迭加法（又叫加减法，逐加法）
当所给数列每依次相邻两项之间的差
组成等差或等比数列时，就可用迭加法
进行消元
例3，求数列：1，3，6，10，15，21，……
由于 a1 也适合于此等式 ∴ an 4n 5
（2）a1 s1 0，当 n 2 时
an sn sn1 (n2 1) [(n 1)2 1] 2n 1
由于 a1 不适合于此等式
∴
0
(n 1)
an 2n 1 (n 2)
六、 换元法
当给出递推关系求 an时，主要掌握通过引进
令bn an1 an 则数列{bn}是以4为公差的等差数列
∴bn b1 (n 1)d b1 a2 a1 2
∴bn an1 an 4n 2 两边分别相加得：
∴a2 a1 4 1 2
a4 a3 4 3 2
a3 …a…2 4 2 2
an an1 4 (n 1)
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