高中一年级数学数列通项公式的求法

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求数列通项公式常用的七种方法

求数列通项公式常用的七种方法一、公式法：已知或根据题目的条件能够推出数列{}n a 为等差或等比数列，根据通项公式()d n a a n 11-+=或11-=n n q a a 进行求解.例1：已知{}n a 是一个等差数列，且5,152-==a a ，求{}n a 的通项公式.二、前n 项和法：已知数列{}n a 的前n 项和n s 的解析式，求n a . 例2：已知数列{}n a 的前n 项和12-=n n s ，求通项n a .三、n s 与n a 的关系式法：已知数列{}n a 的前n 项和n s 与通项n a 的关系式，求n a . 例3：已知数列{}n a 的前n 项和n s 满足n n s a 311=+，其中11=a ，求n a .注：解决这类问题的方法，用具俗话说就是“比着葫芦画瓢”，由n s 与n a 的关系式，类比出1-n a 与1-n s 的关系式，然后两式作差，最后别忘了检验1a 是否适合用上面的方法求出的通项.四、累加法：当数列{}n a 中有()n f a a n n =--1，即第n 项与第1-n 项的差是个有“规律”的数时，就可以用这种方法.例4：()12,011-+==+n a a a n n ，求通项n a五、累乘法：它与累加法类似，当数列{}n a 中有()1nn a f n a -=，即第n 项与第1-n 项的商是个有“规律”的数时，就可以用这种方法.例5：111,1n n na a a n -==- ()2,n n N *≥∈ 求通项n a六、构造法：㈠、一次函数法：在数列{}n a 中有1n n a ka b -=+（,k b 均为常数且0k ≠），从表面形式上来看n a 是关于1n a -的“一次函数”的形式，这时用下面的方法:一般化方法：设()1n n a m k a m -+=+ 则()11n n a ka k m -=+- 而1n n a ka b -=+ ∴()1b k m =- 即1b m k =- 故111n n b b a k a k k -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭∴数列11n b a k -⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以k 为公比的等比数列，借助它去求n a例6：已知111,21n n a a a -==+ ()2,n n N *≥∈ 求通项n a㈡、取倒数法：这种方法适用于11n n n ka a ma p--=+()2,n n N *≥∈（,,k m p 均为常数0m ≠），两边取倒数后得到一个新的特殊(等差或等比)数列或类似于1n n a ka b -=+的式子. 例7：已知11122,2n n n a a a a --==+ ()2,n n N *≥∈ 求通项n a㈢、取对数法：一般情况下适用于1k l n n a a -=（,k l 为非零常数）例8：已知()2113,2n n a a a n -==≥ 求通项n a七、“m n n c ba a +=+1（c b ,为常数且不为0，*,N n m ∈）”型的数列求通项n a .例9：设数列{}n a 的前n 项和为n s ，已知*11,3,N n s a a a n n n ∈+==+，求通项n a .注：求m n n c ba a +=+1（c b ,为常数且不为0，*,N n m ∈）”型的数列求通项公式的方法是等式的两边同除以1+n c ，得到一个“1n n a ka b -=+”型的数列，再用上面第六种方法里面的“一次函数法”便可求出n n ca 的通式，从而求出n a .另外本题还可以由n n n s a 31+=+得到nn n n s s s 31+=-+即 n n n s s 321+=+,按照上面求n a 的方法同理可求出n s ,再求n a .您不不妨试一试.除了以上七种方法外，还有嵌套法（迭代法）、归纳猜想法等，但这七种方法是经常用的，将其总结到一块，以便于学生记忆和掌握.。

数列通项公式方法大全很经典

⑤若an恒大于0，则数列为等比数列.
⑥若为正项等差自然数列，则为等比数列.
⑦ 为等比数列.
⑧ ，n>2m，m、n ， .
⑨ .
⑩若
则 .
重要性质
①若 p、q ，且 ,
则 .
②若且 ,则 p、q .
①
= .
②若|q|<1,则 .
求数列{an}通项公式的方法
1． = + 型
累加法：
=（－）+（－）+…+（－）+
[解] = · … ·
=（n－1）·（n－2）…1·1=（n－1）！
∴ =（n－1）！（n∈N+）
4． =p + 型（p为常数）
方法：变形得 = + ，
则{ }可用累加法求出，由此求 .
例4.已知{ }满足 =2， =2 + .求 .
[解] = +1
∴{ }为等差数列.
=
∴ =n·
5． =p ＋q 型（p、q为常数）
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。
变式：
已知数列满足，求数列的通项公式。
已知数列满足，求数列的通项公式。
（5）对数变换法
例5已知数列满足，，求数列的通项公式。
解：因为，所以。在式两边取常用对数得 ⑩
设
将⑩式代入式，得，两边消去并整理，得，则
，故
代入式，得
由及式，
得，
则，
所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，则，因此
则。

求数列通项公式的十种方法

求数列通项公式的十种方法求解数列的通项公式是高中数学中的一个重要问题，通常需要运用数学分析方法、递推关系、差分方法等多种技巧。

下面将列举十种常见的方法来求解数列的通项公式。

方法一：等差数列的通项公式对于等差数列 an = a1 + (n - 1) * d，其中 a1 为首项，n 为项数，d 为公差。

通项公式可以直接通过公式计算得出。

方法二：等差数列的求和公式对于等差数列 S = (n / 2) * (a1 + an)，其中 S 为前 n 项和，a1 为首项，an 为末项，n 为项数。

可以通过求和公式推导出等差数列的通项公式。

方法三：等比数列的通项公式对于等比数列 an = a1 * r^(n - 1)，其中 a1 为首项，r 为公比，n 为项数。

通项公式可以直接通过公式计算得出。

方法四：等比数列的求和公式对于等比数列S=(a1*(r^n-1))/(r-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。

可以通过求和公式推导出等比数列的通项公式。

方法五：递推关系法对于一些递推关系的数列，可以通过寻找规律，构建递推关系来求解数列的通项公式。

例如斐波那契数列就可以通过递推关系f(n)=f(n-1)+f(n-2)，其中f(1)=1，f(2)=1，来求解通项公式。

方法六：二项式展开法对于一些满足二项式展开的数列，可以通过展开得到二项式系数，然后通过系数的通项公式来求解数列的通项公式。

例如二项式数列(x+1)^n的展开系数就是通过n阶二项展开推导出来的。

方法七：差分法通过对数列进行差分操作，找到规律来求解数列的通项公式。

例如，如果差分的结果是一个等差数列，那么原数列就是一个二次或高次多项式。

方法八：线性递推法对于一些线性递推关系的数列，可以通过构建矩阵形式或特征方程的方法来求解数列的通项公式。

例如，对于一阶线性递推数列a(n)=p*a(n-1)+q，可以通过特征方程x-p*x-q=0来求解通项公式。

方法九：插值法通过给定数列中的若干项，利用 Lagrange 插值公式来推导数列的通项公式。

高一数列通项公式常见求法

数列通项公式的常见求法一、公式法高中重点学了等差数列和等比数列，当题中已知数列是等差或等比数列，在求其通项公式时我们就可以直接利用等差或等比数列的公式来求通项，只需求得首项及公差公比。

1、等差数列公式例1、已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=-10，求数列{a n }的通项公式。

解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得110,21210,a d a d +=⎧⎨+=-⎩解得11,1.a d =⎧⎨=-⎩ 故数列{}n a 的通项公式为2.n a n =-2、等比数列公式例2、设{}n a 是公比为正数的等比数列，12a =，324a a =+，求{}n a 的通项公式。

解：设q 为等比数列{}n a 的公比，则由21322,4224a a a q q ==+=+得，即220q q --=，解得21q q ==-或（舍去），因此 2.q = 所以{}n a 的通项为1*222().n n n a n N -=⋅=∈3、通用公式若已知数列的前n 项和n S 的表达式，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥-==-211n S S n S a n n n n 求解。

一般先求出11S a =，若计算出的n a 中当n=1适合时可以合并为一个关系式，若不适合则分段表达通项公式。

例3、已知数列}{n a 的前n 项和12-=n S n ，求}{n a 的通项公式。

解：011==s a ，当2≥n 时由于1a 不适合于此等式。

∴⎩⎨⎧≥-==)2(12)1(0n n n a n二、当题中告诉了数列任何前一项和后一项的递推关系即：n a 和1+n a 的关系时，我们可以根据具体情况采用下列方法：1、累加法一般地，对于形如)(1n f a a n n +=+类型的通项公式，且)()2()1(n f f f +++ 的和比较好求，我们可以采用此方法来求n a 。

求数列通项公式的11种方法

求数列通项公式的11种方法数列通项公式是数学中一种重要的概念，它通过确定数列中任意一项的值来描述数列的规律。

它与算法不同，可在一定程度上减少计算量。

本文将介绍求数列通项公式的11种方法，帮助读者更好地理解数列通项公式的意义。

第一种方法是利用数列中已知项，来求数列通项公式。

比如，一个数列已知前五项a1,a2,a3,a4,a5，那么数列的通项公式为a1+a2+ a3+ a4+a5，通过求和得出该数列的公式。

第二种方法是使用特征系数展开式求数列通项公式。

比如，一个数列已知前五项a1,a2,a3,a4,a5，那么可以使用特征系数展开式求出该数列的通项公式：a1+2a2+3a3+4a4+5a5。

第三种方法是倒数展开式求数列通项公式。

比如，一个数列已知前五项a1,a2,a3,a4,a5，那么可以使用倒数展开式求出该数列的通项公式：a1+a2/2+a3/3+a4/4+a5/5。

第四种方法是由观察法求数列通项公式。

比如，一个数列已知前五项a1,a2,a3,a4,a5，那么可以通过观察发现，这是一个等比数列，则该数列的通项公式为a1qn-1，其中q为公比。

第五种方法是由增量法求数列通项公式。

比如，一个数列已知前五项a1,a2,a3,a4,a5，增量法可以用来求出a2=a1+d1，a3=a2+d2，a4=a3+d3，a5=a4+d4，其中d1,d2,d3,d4为增量。

将这四式代入原式：a1+a2+a3+a4+a5，即可求出该数列的通项公式：a1+(n-1)(d1+d2+d3+d4)/2+nd5。

第六种方法是由公因式法求数列通项公式。

比如，一个数列已知前五项a1,a2,a3,a4,a5，那么可以将这五项分别除以共同的因子，求出最小因式，例如给定数列a1,a2,a3,a4,a5=2,4,8,16,32，其中32是最大因子，将其他四项都除以32，得到d1=1/2,d2=1/4,d3=1/8,d4=1/16，将d1,d2,d3,d4代入原式a1+a2+a3+a4+a5，即可求出该数列的公式。

高中数列的通项公式的几种常用求法

高中数列的通项公式的几种常用求法数列是高考的必考内容，也是同学们比较怕的一个知识点。

其实归结起来数列常考的就三个知识点：等差等比数列性质的应用、求数列的通项公式、求数列的前n 项和。

而数列的通项公式往往又决定着前n 项和的求法，所以求出数列的通项公式至关重要。

下面我将对数列通项公式的几种常用求法进行总结。

一．观察法1 适用类型：已知数列前若干项，求该数列的通项时。

2 具体方法：一般对所给的项观察分析，找出项数n 与项n a 之间的关系，从而根据规律写出此数列的一个通项.3 例题示范例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1）4，44,444，4444，…（2） ,17164,1093,542,211 （3） ,52,21,32,1 （4） ,54,43,32,21--4 方法总结：(1）有分式又有整式的统一表示成假分式，再分子分母分别观察规律。

（2）正负相间的先把负号去了观察规律，再用1)1()1(+--n n 或来调节符号.二．公式法1 适用类型：当已知数列为等差或等比数列时。

2 具体方法：可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比.等差数列：d n a a n )1(1-+=等比数列:)0(11≠=-q q a a n n三．已知n s 求n a1适用类型：已知数列的前n 项和求通项时。

2具体发方法：通常用公式⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n 。

3例题示范例1、已知数列{}n a 的前n 项和为：① n n S n -=22 ② 12++=n n S n求数列{}n a 的通项公式。

四．由递推式求数列通项1 适用类型:已知数列的递推公式求通项公式时.2 具体方法：（1）形如d a a n n +=-1或q a a n n 1-=——-—利用等差等比来求例1 n n n a a a a 求已知2,111=-=+的通项公式（2）形如q pa a n n +=+1--——---构造等比数列例2 已知数列}{n a 满足11=a ，321+=+n n a a ,求n a【解析】123n n a a +=+,∴1326n n a a ++=+，即)3(231+=++n n a a ，1323n n a a ++∴=+． ∴{3}n a +是以134a +=为首项，2为公比的等比数列,∴113422n n n a -++=⨯=，即321-=+n n a ．（3）形如--——--——累加法例3 已知数列}{n a 满足12a = ,121,(2)n n a a n n -=+-≥,求n a【解析】∵当2n ≥时,121n n a a n -=+-，∴121n n a a n --=-，∴11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++-1a +[(21)(23)3]2n n =-+-+++2[(21)3](1)212n n n -+=⋅-+=+， ∵21211a ==+，∴21n a n =+（4)形如——-—--——-累乘法例4 已知数列}{n a 满足11a =，12n n n a a +=⋅，求n a ．【解析】∵12n n n a a +=⋅，∴12n n na a +=， ∴3241231n n a a a a a a a a -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅121222n -=⨯⨯⋅⋅⋅⋅⨯, ∴(1)12(1)2122n n n n a a -++⋅⋅⋅+-==，又11a =，∴(1)22n n n a -=．（5）形如1n n n a pa q +=+方法：①将原递推公式两边同除以1n q +，②得111n n n n a a p q q q q ++=⋅+，③n n n a b q =，得11n n p b b q q+=+， ④再利用“递推关系形如1n n a pa q +=+”方法来求. 例5 已知数列}{n a 满足11a =，123n n n a a +=+，求n a【解析】在123n n n a a +=+两边除以13n +，得11213333n n n n a a ++=⋅+，令3n n n a b =，则12133n n b b +=+，∴121(1)3n n b b +-=-， ∴11221(1)()()33n n n b b --=-⋅=-， ∴21()3n n b =-．∴332n n n n n a b =⋅=-．总之，数列的通项公式的求法有很多，着需要我们多做题，多总结.做到从题目中来到题目中去.。

数列求通项的方法(完整版本)

四、连续迭代型：形如 an2 pan1 qan （其中 p，q 均为常数）。先把原递推公式转化为
s t p an2 san1 t (an1 san ) 其中 s，t 满足 st q
2、设等比数列 an 1 f (n) ，公比为 4、比较系数求 1 ， 2
3、列出关系式 an1 1 f (n 1) 2 [an 2 f (n)] 5、解得数列 an 1 f (n) 的通项公式
6、解得数列 an 的通项公式
为了方便同学们更好地掌握待定系数法求通项，以下再进行分类。 1）常数型。可转化为特殊数列{a n +k}的形式求解。一般地，形如 a n1 =p a n +q（p≠1，pq ≠0）型的递推式均可通过待定系数法对常数 q 分解法：设 a n1 +k=p（a n +k）与原式比较系数可得 pk－k=q，即 k= 系数就行。 1、数列{a n }满足 a 1 =1， 3an1 an 7 0 ,求数列{a n }的通项公式。
2. 已知数列 {an } 满足 a1 2,
1 a n 1

1 2 ，求数列 an 的通项公式； an
3. 已知数列 {an } 满足 a1 2, an 3an1 (n 1) ，求数列 {an } 的通项公式；
4.已知数列 {an } 满足 a1 2，a2 4且an2 an an1 公式；
高中数学常见求数列通项的方法
一、公式法。即是题目说清楚该数列是等比或者等差数列时，直接套用公式。但是难点在于，一旦给出的条件，不是具体的数字而是字母参数时，就是对个人运算能力的考验。 1.已知数列 {an } 满足 a1 2, an an1 1(n 1) ，求数列 {an } 的通项公式；

高中数学-数列求通项公式方法汇总及经典练习(含答案)

高中数学-数列求通项公式方法汇总及经典练习（含答案）1、定义法：直接求首项和公差或公比。

2、公式法：1 (1) (2)n n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩两种用途（列举），结果要验证能否写成统一的式子．例、数列{}n a 的各项都为正数，且满足()()2*14nna S n N +=∈，求数列的通项公式．解一：由()()2*14nna S n N +=∈得()()()221114411n n n n n aS S a a +++=-=---化简得()()1120n n n n a a a a +++--=，因为10,2n n n a a a +>∴-=，又()2111441S a a ==-得11a =，故{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，所以21n a n =-．解二：由()()2*14nn a S n N +=∈，可得()11,12n n n a S S n -=-∴=--≥化简可得)211n S -=，即1=，又11S =，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，∴n =，从而2n S n =，所以121n n n a S S n -=-=-，又11a =也适合，故21n a n =-．练习：已知数列{a n }的前n 项和S n 满足120n n n a S S -+=（2n ≥），a 1=21，求n a ．答案：a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--=)2()1(21)1(21n n n n ．扩展一：作差法例、在数列}{n a 中，11a =，212323(1)n a a a na n n ++++=-+，求n a ．解：由212323(1)n a a a na n n ++++=-+，得2123123(1)(2)1n a a a n a n n -++++-=-+-，两式相减，得66n na n =-+，∴ 1 (=1)66 (2)n n a n n n⎧⎪=-⎨≥⎪⎩．练习（理）：已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥，，求n a ．解：由123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥，得1123123(1)n n n a a a a n a na +-=++++-+，两式相减，得1n n n a a na +-=，即11(2)n na n n a +=+≥，所以13222122![(1)43]2n n n n n a a a n a a n n a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅=-⋅⋅⨯=又由已知，得2122a a a =+，则211a a ==，代入上式，得!13452n n a n =⋅⋅⋅⋅⋅=，所以，{}n a 的通项公式为 1 (1)! (2)2n n a n n =⎧⎪=⎨≥⎪⎩．扩展二、作商法例、在数列}{n a 中，11a =，对所有的2n ≥，都有2123n a a a a n ••••=，求n a ．解：∵2123n a a a a n ••••=，∴21232(1)n a a a a n -••••=-，故当2n ≥时，两式相除，得22(1)n n a n =-， ∴221 (=1) (2)(1)n n a n n n ⎧⎪=⎨≥⎪-⎩．3、叠加法：对于型如)(1n f a a n n =-+类的通项公式．例、在数列{n a }中，31=a ,)1(11++=+n n a a n n ，求通项公式n a .答案：na n 14-=. 例、已知数列{}n a 满足112231n n n n a a ++=++-（*n N ∈），352a =，求通项n a .解：由112231n nn n aa ++=++-，两边同除以12n +，得()111131112222n n n n n n n a a n ++++-=-+≥，列出相加得121212121332323212212121-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=---n a a n n n n又由已知求得16a =，∴()*231n n n n N a n ∈=•++．练习：已知数列}a {n 满足3a 132a a 1nn 1n =+⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式．答案：1n 32n 31332a n nn -+=++--⋅=．4、叠乘法：一般地，对于型如1+n a =f (n)·n a 的类型例（理）、已知数列{}n a 满足112(1)53nn n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式．解：因为112(1)53nn n a n a a +=+⨯=，，所以0n a ≠，则12(1)5n n na n a +=+，故13211221n n n n n a a a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅⋅121[2(11)5][2(21)5][2(11)5]3n n n n --=-+-++⨯⨯(1)1(1)(2)21122[(1)32]53325!n n n n n n n n n ---+-+++-=-⋅⋅⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，所以数列{}n a 的通项公式为(1)12325!n n n n a n --=⨯⨯⨯．练习：在数列{a n }中，112a =，11(1n n n a a a n --=⋅+≥2），求n a ．答案：）1(1+=n n a n ． 5、构造法：型如a n+1=pa n +f(n) (p 为常数且p ≠0， p ≠1)的数列(1)f(n)= q (q 为常数) 一般地，递推关系式a +1=pa n +q (p 、q 为常数，且p ≠0，p ≠1)等价与)1(11pqa p p q a n n --=--+，则{p q a n --1}为等比数列，从而可求n a ．例、已知数列{}n a 满足112a =，132n n a a --=（2n ≥），求通项n a ．解：由132n n a a --=，得111(1)2n n a a --=--，又11210a -=≠，所以数列{1}n a -是首项为12，公比为12-的等比数列，∴11111(1)()1()22n nn a a -=---=+-．练习：已知数列}{n a 的递推关系为121+=+n n a a ，且11=a ，求通项n a ．答案：12-=n na ．(2) f(n)为等比数列，如f(n)= q n (q 为常数) ，两边同除以q n ，得111+=++nn n n qa p q a q ，令nn n a b q =，则可转化为b n+1=pb n +q 的形式求解．例、已知数列{a n }中，a 1=65，1111()32n n n a a ++=+，求通项n a ．解：由条件，得2 n+1a n+1=32(2 n a n )+1，令b n =2 n a n ，则b n+1=32b n +1，b n+1-3=32（b n -3）易得 b n =3)32(341+--n ，即2 n a n =3)32(341+--n ， ∴ a n =n n 2332+-．练习、已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求通项n a ．答案：31()222nn a n =-．(3) f(n)为等差数列，如1n n a Aa Bn C +=++型递推式，可构造等比数列．（选学，注重记忆方法）例、已知数列{}n a 满足11=a ，11212n n a a n -=+-（2n ≥），求．解：令n n b a An B =++，则n n a b An B =--，∴11(1)n n a b A n B --=---，代入已知条件，得11[(1)]212n n b An B b A n B n ---=---+-，即11111(2)(1)2222n n b b A n A B -=++++-，令202A +=，1022A B +-=，解得A=－4，B=6，所以112n n b b -=，且46n n b a n =-+， ∴{}n b 是以3为首项、以12为公比的等比数列，故132n n b -=，故13462n n a n -=+-．点拨：通过引入一些尚待确定的系数，经过变形与比较，把问题转化成基本数列（等差或等比数列）求解．练习：在数列{}a n 中，132a =，1263n n a a n --=-，求通项a n ．答案：a n nn -+=69912·()．解：由1263n n a a n --=-，得111(63)22n n a a n -=+-，令11[(1)]2n n a An B a A n B -++=+-+，比较系数可得：A=－6，B=9，令n n b a An B =++，则有112n n b b -=，又1192b a A B ==++，∴{}n b 是首项为92，公比为12的等比数列，所以b n n =-92121()，故a n n n-+=69912·()． (4) f(n)为非等差数列，非等比数列法一、构造等差数列法例、在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>，求数列{}n a 的通项公式．解：由条件可得111221n nn nn n a a λλλλ+++⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴数列2n n n a λλ⎧⎫⎪⎪⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是首项为0，公差为1的等差数列，故21nnn a n λλ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∴(1)2n n n a n λ=-+．练习：在数列{a n }中，a na n a n n n n n 1132212==+++++，()()()，求通项a n 。

求通项公式的常用方法

求通项公式的常用方法通项公式是数列中每一项与序号n之间的关系式，可通过递推关系和数列特点来确定。

下面将介绍几种常用的方法来求解通项公式。

一、等差数列等差数列是一种公差固定的数列，通项公式可以通过公差和首项求得。

1.递推法：设等差数列的首项为a₁，公差为d，则通项公式为an = a₁ + (n -1)d。

2.求和法：对于等差数列，可以根据前n项和与首项之间的关系来求解通项公式。

设前n项和为Sn，首项为a₁，公差为d，则有等差数列求和公式Sn =n/2(a₁ + an)。

二、等比数列等比数列是一种比值固定的数列，通项公式可以通过公比和首项求得。

1.递推法：设等比数列的首项为a₁，公比为r，则通项公式为an = a₁ * r^(n -1)。

2.求和法：对于等比数列，可以根据前n项和与首项之间的关系来求解通项公式。

设前n项和为Sn，首项为a₁，公比为r，则有等比数列求和公式Sn=a₁(r^n-1)/(r-1)。

三、斐波那契数列斐波那契数列是一种特殊的数列，前两项为1，之后的每一项都是前两项的和。

1.递推法：设斐波那契数列的第n项为F(n)，则通项公式为F(n)=F(n-1)+F(n-2)，其中F(1)=1，F(2)=12.通项公式法：利用通项公式公式Fn = (Phi^n - (-Phi)^(-n))/sqrt(5)，其中Phi是黄金分割比(约为1.618）。

四、多项式数列多项式数列是指通项由多项式表达的数列。

1.解线性递推关系：对于多项式数列，可以根据给定的递推关系式来推导通项公式。

具体的方法可以通过代入法、特征根法、辅助方程法等来求解。

2.拉格朗日插值法：对于已知部分数列项的数值，可以利用拉格朗日插值法求解通项公式。

该方法需要确定数列项数目与已知项数目一致。

以上是一些常见的求通项公式的方法，不同的数列类型可能需要不同的方法来求解。

在实际问题中，还可以根据数列性质和给定条件等将其转化为已知的数列类型，从而应用相应的求解方法。

求数列通项公式方法总结

求数列通项公式的方法总结：1)观察法。

例如1、3、5、7、9……2)公式法。

对于等差数列：a n=a1+(n-1)d;对于等比数列：a n=a1·q n-1。

3)形如a n+1=pa n+q,变形为（a n+1+k）=p(a n+k),其中k=q／(p-1)构造数列｛a n+k｝是以a1+k为首项，p为公比的等比数列。

4)形如a n+2=pa n+1+qa n,,变形为a n+2+ma n+1=n(a n+1+ma n),自行解出m和n构造数列｛a n+1+ma n｝是以a2+ma1为首项，n为公比的等比试列。

5)形如a n+1=pa n+q n,变形为a n+1/q n=p/q·a n/q n-1+1,再利用3）的步骤即可求出通项公式。

6)形如a n+1=pa n+q n+t n,变形为a n+1/q n=p/q·a n/q n-1+（t/q）n+1,则先忽略（t/q）n这一项,利用3）的方法配出3）的形式，然后再同时除以（t/q）n，再利用3）的步骤即可求出通项公式。

7)a n+1=ta n/(p+qa n)变形为1/a n+1=p/t·1/a n+q/t, 再利用3）的步骤即可求出通项公式。

8)利用s n-s n-1=a n的关系求出通项公式。

利用以上方法求通项公式时，要用到数列求和的方法，下面予以归纳：1)公式法。

对于等差数列s n=na1+n·(n-1)d或s n=n(a1+a n)/2,对于等比数列s n=a1·q n-I。

2)常用的几个基本求和公式a)1+2+3+……+n=n·(n+1)/2b)12+22+32+……+n2=n·(n+1)·(2n+1)/6c)13+23+33+……+n3=n2·(n+1)2/4d)1+3+5+……+（2n-1）=n23)倒序相加法。

主要用于等差数列或组合数列。

数列求通项的方法总结

数列求通项的方法总结数列是数学中的一个重要概念，它在代数、微积分、概率论等领域都有着广泛的应用。

在数列的研究中，求数列的通项公式是一个重要的问题，因为它可以帮助我们更好地理解数列的规律和性质，从而解决各种数学问题。

本文将总结数列求通项的方法，希望能够对大家有所帮助。

一、等差数列求通项公式。

对于等差数列$a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n$，如果它的公差为$d$，首项为$a_1$，那么它的通项公式可以表示为，$a_n = a_1 + (n-1)d$。

这个公式可以通过数学归纳法来证明，也可以通过观察数列的规律来得到。

二、等比数列求通项公式。

对于等比数列$b_1, b_2, b_3, \cdots, b_n$，如果它的公比为$q$，首项为$b_1$，那么它的通项公式可以表示为，$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$。

这个公式也可以通过数学归纳法来证明，也可以通过观察数列的规律来得到。

三、常数数列求通项公式。

对于常数数列$c, c, c, \cdots, c$，它的通项公式非常简单，即为$c$。

因为它的每一项都是相等的，所以通项公式也就是它的首项。

四、其他数列求通项公式。

除了等差数列和等比数列之外，还有很多其他类型的数列，比如斐波那契数列、幂和数列、递推数列等等。

这些数列的通项公式可能会更加复杂，需要根据数列的特点和规律来进行推导和求解。

五、数列求通项的方法总结。

在实际应用中，我们通常会遇到各种各样的数列，求解它们的通项公式需要根据具体情况来进行分析和推导。

但总的来说，可以通过以下几种方法来求解数列的通项公式：1. 观察数列的规律，找出数列中相邻项之间的关系，从而推导出通项公式；2. 利用数学归纳法来证明数列的通项公式；3. 利用已知的数列类型的通项公式，对数列进行变形和组合，从而得到新的数列的通项公式；4. 利用数列的性质和特点，如等差数列的差分性质、等比数列的比值性质等，来求解数列的通项公式。

数列通项公式的九种求法

数列通项公式的九种求法各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。

特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。

笔者总结出九种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。

一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．例1．等差数列}a {n 是递增数列，前n 项和为n S ，且931a ,a ,a 成等比数列，255a S =．求数列}a {n 的通项公式解：设数列}a {n 公差为)0d (d >∵931a ,a ,a 成等比数列，∴9123a a a =，即)d 8a (a )d 2a (1121+=+，得d a d 12=∵0d ≠，∴d a 1=……………………①∵255S a =∴211)d 4a (d 245a 5+=⋅⨯+…………②由①②得：53a 1=，53d =∴n5353)1n (53a n =⨯-+= 点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。

二、累加法求形如1()n n a a f n --=（f(n)为等差或等比数列或其它可求和的数列）的数列通项，可用累加法，即令n=2，3，…n —1得到n —1个式子累加求得通项。

例2．已知数列{a n}中，a 1=1，对任意自然数n 都有11(1)n n a a n n -=++，求n a ．解：由已知得11(1)n n a a n n --=+，121(1)n n a a n n ---=-，……，32134a a -=⨯，21123a a -=⨯，以上式子累加，利用111(1)1n n n n =-++得n a -1a =1111...23(2)(1)(1)(1)n n n n n n ++++⨯---+ =1121n -+，3121n a n ∴=-+ 点评：累加法是反复利用递推关系得到n —1个式子累加求出通项，这种方法最终转化为求{f(n)}的前n —1项的和，要注意求和的技巧．三、迭代法求形如1n n a qa d +=+(其中,q d 为常数) 的数列通项，可反复利用递推关系迭代求出。

求数列通项公式常用的七种方法

求数列通项公式常用的七种方法数列通项公式是指一个数列中的每一项可以通过一个公式来表示的规律。

在数学中，有许多方法可以求解数列的通项公式。

本文将介绍常用的七种方法。

第一种方法是观察法。

通过观察数列中的数字规律，可以有时候发现通项公式。

这种方法一般适用于数列中规律较为明显的情况。

例如，对于特殊的等差数列和等比数列，往往可以通过观察数列中的数字规律得到通项公式。

第二种方法是递推法。

通过已知的数列项计算下一项的方法，找到递推关系，从而求得通项公式。

递推法可以通过分析数列前后项之间的关系来得到，常用的有差分法、倍增法等。

第三种方法是数学归纳法。

数学归纳法是一种证明方法，也可以用来求解数列的通项公式。

通过证明当n为任意正整数时，数列第n 项与前面的项之间的关系成立，可以得到通项公式。

这种方法适用于证明递推数列的通项公式。

第四种方法是代数法。

通过构造代数方程来求解数列的通项公式。

一般来说，数列的通项公式可以表示为n的多项式函数。

通过构造适当的方程，可以求得多项式的系数，从而得到通项公式。

第五种方法是级数法。

某些数列可以转化为级数，通过求解级数的通项公式得到数列的通项公式。

级数法一般用于求解数列的求和公式，例如等差数列和等比数列。

第六种方法是线性代数法。

将数列看做一个向量或矩阵，利用线性代数的理论来求解通项公式。

这种方法适用于线性递推数列，可以通过求解矩阵的特征值和特征向量来得到通项公式。

第七种方法是解微分方程法。

数列可以看作是一个离散的函数，而微分方程是描述连续函数变化规律的工具。

通过解微分方程，可以得到数列的通项公式。

这种方法适用于满足某些连续性条件的数列。

综上所述，求数列通项公式可以通过观察法、递推法、数学归纳法、代数法、级数法、线性代数法和解微分方程法等七种方法。

每种方法都有其适用范围和特点，具体选择哪种方法需要根据数列的性质和问题的要求来决定。

无论采用哪种方法，都需要运用数学的思维和方法，通过分析和推理来求解数列的通项公式。

数列通项公式—常见9种求法

数列通项公式—常见9种求法数列通项公式是指能够直接给出数列中任意一项的公式。

找到数列通项公式可以帮助我们快速计算数列中的任意项，同时也能更好地理解数列的性质和规律。

在数学中，有多种方法可以求解数列通项公式，下面我们将介绍其中的9种常见方法。

1.递推关系法递推关系法是求解数列通项公式最常见的方法之一、当我们可以找到数列中每一项与前几项之间的关系时，可以利用递推关系求出通项公式。

例如，斐波那契数列中每一项都等于前两项的和，可以用递推关系f(n)=f(n-1)+f(n-2)来求解。

2.等差数列通项公式等差数列是指数列中每一项与前一项之差都相等的数列。

等差数列通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示第一项，d表示公差。

3.等比数列通项公式等比数列是指数列中每一项与前一项的比都相等的数列。

等比数列通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示第一项，r 表示公比。

4.幂数列通项公式幂数列是指数列中每一项都是一个幂函数的形式。

幂数列通项公式为an = ar^(n-1)，其中an表示第n项，a表示一些常数，r表示递增的比值。

5.组合数列通项公式组合数列是指数列中每一项都是由组合数形成的数列。

组合数列通项公式可以通过求解组合数来获得。

6.一元多项式数列通项公式一元多项式数列是指数列中的每一项都是由一元多项式形成的数列。

可以利用多项式的相关性质和求解方法获得数列通项公式。

7.递推与线性常系数齐次差分方程法递推与线性常系数齐次差分方程法是利用递推关系和差分方程的性质求解数列通项公式的方法。

8.高阶递推关系法当数列中每一项与前面多个项之间有复杂的关系时，可以利用高阶递推关系进行求解。

9.查找数列在数学常数表中的表达式有些数列的通项公式可以在数学常数表中找到，例如斐波那契数列中的通项公式可以在黄金分割数相关的公式中找到。

以上是数列通项公式的9种常见求法，每种方法都可以根据不同的数列规律和特点进行选择和运用。

高一数列求通项公式方法总结

高一数列求通项公式方法总结
求通项公式是数学中一个重要的内容，是分析等差数列的有效方法，也
是中学数学课堂中经常使用的解题技巧。

下面给出求通项公式的方法总结。

1. 首先，分析数列的公差d和首项a，即
d=a2-a1 a=a1
2. 接着，如果想求n项的值，得到公式 an=a1+(n-1)d
3. 最后，有了三个变量a,d,n，可以求出通项公式，an=a+(n-1)d
以上就是求通项公式的方法总结，从最简单的根据首项和公差求解，再
到运用通项公式的方法，可以说求通项公式是等差数列分析的基础，是必须
掌握的知识点。

在使用通项公式解题时，我们要注意两点：
1. 首先，一定要正确判断是等差数列，否则通项公式是求不出来的；
2. 其次，通项公式可以用来求解等差数列的通项，也可以用来计算一组的和，比如求前n项和。

总之，求解通项公式是一种重要的数学方法。

从最简单的初等数学入门，到深入学习中学数学，都会用到通项公式，需要我们不断练习，才能熟练掌
握这些技巧。

数列通项公式的十种求法

数列通项公式的十种求法方法一：直接法对于一些简单的数列，可以通过观察数列的规律，直接写出通项公式。

例如，对于等差数列an=3n+1，可以观察到每一项都是前一项加上3，因此可以直接写出通项公式。

方法二：递推法递推法是通过数列前一项和通项之间的关系式来推导通项公式。

例如，对于斐波那契数列an=an-1+an-2，可以通过给出前两项的值，然后通过关系式不断求解后续项的值，得到通项公式。

方法三：代数法对于一些特殊的数列，可以通过代数方式求解通项公式。

例如，对于等比数列an=2^n，可以通过代数方法得到通项公式。

方法四：数学归纳法数学归纳法是通过证明法来得到通项公式。

首先证明数列的前几项符合一些表达式，然后假设n=k时表达式成立，再证明n=k+1时也成立，从而得到通项公式。

方法五：求和法有些数列的通项公式可以通过求和公式得到。

例如，对于等差数列an=3n+1，可以通过求和公式求得前n项和Sn=3n(n+1)/2，然后推导出通项公式。

方法六：线性递推法对于一些特殊的数列，可以通过线性递推法求解通项公式。

线性递推法是通过设定通项公式的形式，然后求解出相应的系数。

例如，对于一阶等差数列an=ax+b，可以通过线性递推法求解出通项公式。

方法七：矩阵法矩阵法是通过将数列表示成矩阵的形式，然后通过矩阵运算求解出通项公式。

例如，对于数列an=2n+1，可以将其表示为一个2×2的矩阵，然后通过矩阵运算得到通项公式。

方法八：生成函数法生成函数法是通过定义一个函数来表示数列，然后通过函数运算求解出通项公式。

例如，对于斐波那契数列an=an-1+an-2，可以定义一个生成函数F(x)=a0+a1x+a2x^2+...，然后通过函数运算得到通项公式。

方法九：离散动力系统法离散动力系统法是通过建立数列的动力系统方程，然后求解出通项公式。

例如，对于一阶等差数列an=ax+b，可以将其表示为一个离散动力系统方程xn+1=axn+b，然后通过求解方程得到通项公式。

数列通项公式的五种求法

（n≥2），求 {an}的通项公式。
解：因为 an＝a1＋2a2＋3a3＋……＋（n－1）an－1（n≥2）
①
所以 an＋1＝a1＋2a2＋3a3＋……＋（n－1）an－1＋nan
②
用②式－①式得 an＋1－an＝nan。
则
an＋1＝（n＋1）an（n≥2）故
an＋1 an
＝
2.在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形。
2a2，则
a2=a1，又知
a1=1，则
a2=1，代入 ③得
an=
n！ 2
（n≥2）。
≥1
综上，an 的通项公式为 an= n！ 2
n=1 n≥2 本题解题的关键是
把递推关系式
an+1=（n+1）an（n≥2）转化为
an+1 an
=n+1 （n ≥2），进
而求出
an an－1
·an－1 an－2
∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈
撼，难道他们不应该好好地了解这段历史吗？总之，历史情境的设计必须切合教材和学生的实际，才能达到预期的目的，提高学生对历史的兴趣。
四、用通俗生动的语言导入新课语言的魅力无穷，教师通过对文字的艺术加工，用喜闻乐见的形式生动地展示出来，学生乐于接受。如讲初一历史《南宋与金对峙时的中国》，我编了一段导言：“话说南宋高宗年间，天下实不太平，战乱频起，这情形造就个英雄岳飞，他从小受母训导，精忠报国，尽心尽力。堰城大战，杀得那金人哭爹叫娘、溃不成军，差点儿把金的头目兀术送上了黄泉路。这兀术不甘心，巧

求数列通项公式的11种方法

求数列通项公式的11种方法方法总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、数学归纳法（少用）不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、特征根法二．四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。

等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。

三．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等级差数列或等比数列。

四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。

五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

一、累加法1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。

2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则21321(1)(2) ()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=两边分别相加得111()nn k a a f n +=-=∑例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n nn n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。

例2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

常见求数列通项的方法总结

常见求数列通项的方法总结求数列通项是高中数学中的重点内容之一，也是解决数列相关问题的基础。

常见的求数列通项的方法有递推公式法、通项公式法和逆向代入法等，下面将对这些方法进行详细总结。

一、递推公式法递推公式法是通过利用数列中前几项之间的关系，找出递推公式进而求得通项的方法。

递推公式是指数列中的每一项都可以通过前一项得到的关系式。

1.等差数列等差数列是最简单的一类数列，其中每一项与前一项之间的差值都为常数，称为公差。

求数列通项的递推公式为：an = a1 + (n-1)d，其中an为第n项，a1为首项，d为公差。

2.等比数列等比数列是指数列中每一项与前一项之比都相等的数列。

求数列通项的递推公式为：an = a1 * r^(n-1)，其中an为第n项，a1为首项，r为公比。

3.斐波那契数列斐波那契数列的定义是：F(1)=1，F(2)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)。

通过递推公式可以求得通项公式：Fn = (phi^n - (1-phi)^n) / sqrt(5)，其中phi=(1+sqrt(5))/2二、通项公式法通项公式法是通过观察数列的规律，找到数列的通项公式进行推导。

通项公式是指可以通过项数n直接求得数列中第n项的公式。

1.平方数列平方数列是指数列中每一项都是前一项的平方。

通项公式为：an = n^2，其中an为第n项。

2.立方数列立方数列是指数列中每一项都是前一项的立方。

通项公式为：an = n^3，其中an为第n项。

3.等差数列的通项公式对于已知的等差数列，可以通过解线性方程组来求得通项公式。

假设已知仅知道前几项的数列为an = a1 + (n-1)d，可以通过解方程组来求得首项a1和公差d。

4.等比数列的通项公式对于已知的等比数列，可以通过解对数方程来求得通项公式。

假设已知仅知道前几项的数列为an = a1 * r^(n-1)，可以通过取对数来求得首项a1和公比r。

三、逆向代入法逆向代入法是通过已知数列中的一些特殊项，利用通项公式进行求解其他项的方法。

数列求通项公式的9种方法

例14
已知满足+2 = 3+1 − 2 ，2 = 2, 1 = 1，求的通项公式
九、奇偶分项求通项公式
核心思想：
n为奇数时，设n=2k-1
n为偶数时，设n=2k
例15 数列满足 = ቊ
2，为奇数时
，求的通项公式。

2 ，为偶数时
变式训练15
n2

a n ，求 {an } 的通项公式.
n
变式训练 6 已知数列 {an } 满足 a1 1 ， an1 2n an ，求 {an } 的通项公式.
变式训练 7 已知数列 {an } 满足 a1 1 ， an n(an1 an ) ，求 {an } 的通项公式.
四、加法构造
数列求通项公式常见的9种方法
知识复习
1、等差数列通项公式： an＝a1＋ (n－1)d
an＝am＋(n－m)d
2、等比数列通项公式： an＝ a1·
qn－1
am＝ a1·qn－m
一、利用 an 与 Sn 关系求 an
S1，
n＝1，
an＝
Sn－Sn－1， n≥2.
例1
n＋3.
已知数列{an}的前n项和Sn，求数列{an}的通项公式．(1)Sn＝2n－1；(2)Sn＝2n2＋
17
3
变式训练 10 已知数列 {an } 满足 a1
， an an1 5( n 2) ，求 {an } 的通项公式.
2
2
五、倒数构造
型如 an1
m an

(m pq 0) 的数列直接取倒数
pan q

例 8 已知数列 {an } 满足 a1 1 ， an1