著名机构初中数学培优讲义射影定理与内接矩形类相似.第04讲(A).学生版
2023初中数学专题《射影定理模型》试卷含答案解析
1.射影定理定义①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．2.如图在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是斜边BC 上的高，有射影定理如下：注意：直角三角形斜边上有高时，才能用射影定理！【例1】．在矩形ABCD 中，BE ⊥AC 交AD 于点E ，G 为垂足．若CG ＝CD ＝1，则AC 的长是 ．模型介绍例题精讲解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ＝1，∠ABC ＝90°，∵BE ⊥AC ，∴∠AGB ＝90°＝∠ABC ，∵∠BAG ＝∠CAB ，∴△ABG ∽△ACB ，∴＝，∴AG •AC ＝AB 2（射影定理），即（AC ﹣1）•AC ＝12，解得：AC ＝或AC ＝（不合题意舍去），即AC 的长为，故答案为：．【例2】．如图：二次函数y ＝ax 2+bx +2的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，若AC ⊥BC ，则a 的值为（ ）A ．﹣B ．﹣C ．﹣1D ．﹣2解：设A （x 1，0）（x 1＜0），B （x 2，0）（x 2＞0），C （0，t ），∵二次函数y ＝ax 2+bx +2的图象过点C （0，t ），∴t ＝2；∵AC ⊥BC ，∴OC 2＝OA •OB （射影定理），即4＝|x 1x 2|＝﹣x 1x 2，根据韦达定理知x 1x 2＝，∴a ＝﹣． 故选：A ．【例3】．将沿弦BC 折叠，交直径AB 于点D ，若AD ＝4，DB ＝5，则BC 的长是（ ）A．3B．8C．D．2解：连接CA、CD；根据折叠的性质，知所对的圆周角等于∠CBD，又∵所对的圆周角是∠CBA，∵∠CBD＝∠CBA，∴AC＝CD（相等的圆周角所对的弦相等）；∴△CAD是等腰三角形；过C作CE⊥AB于E．∵AD＝4，则AE＝DE＝2；∴BE＝BD+DE＝7；在Rt△ACB中，CE⊥AB，根据射影定理，得：BC2＝BE•AB＝7×9＝63；故BC＝3．故选：A．变式训练【变式1】．如图，在△ABC中，若AB＝AC，BC＝2BD＝6，DE⊥AC，则AC•EC的值是 9 ．解：如图，∵在△ABC中，若AB＝AC，BC＝2BD＝6，∴AD⊥BC，CD＝BD＝3．又DE⊥AC，∴∠CED＝∠CDA＝90°．∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAD．∴＝，即AC•EC＝CD2＝9．（射影定理）故答案是：9．【变式2】．如图所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，对角线AC，BD交于O，且BE：ED＝1：3，AD＝6cm，则AE＝ cm．解：设BE＝x，因为BE：ED＝1：3，故ED＝3x，根据射影定理，AD2＝3x（3x+x），即36＝12x2，x2＝3；由AE2＝BE•ED，AE2＝x•3x；即AE2＝3x2＝3×3＝9；AE＝3．【变式3】．如图，若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若∠OAC＝∠OCB．则ac的值为（ ）A．﹣1B．﹣2C．D．解：设A（x1，0），B（x2，0），C（0，c），∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点C（0，c），∴OC＝c，∵∠OAC＝∠OCB，OC⊥AB，∴△OAC∽△OCB，∴，∴OC2＝OA•OB（即射影定理）即|x1•x2|＝c2＝﹣x1•x2，令ax2+bx+c＝0，根据根与系数的关系知x1•x2＝，∴，故ac＝﹣1，故选：A．【变式4】．如图，正方形ABCD中，E为AB上一点，AF⊥DE于点F，已知DF＝5EF＝5，过C、D、F的⊙O与边AD交于点G，则DG＝____________.解：连接CF、GF，如图：在正方形ABCD中，∠EAD＝∠ADC＝90°，AF⊥DE，∴△AFD∽△EAD，∴＝，又∵DF＝5EF＝5，∴AD＝＝＝＝CD，在Rt△AFD中，AF＝＝＝，∵∠CDF+∠ADF＝90°，∠DAF+∠ADF＝90°，∴∠DAF＝∠CDF，∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形，∴∠FCD+∠DGF＝180°，∵∠FGA+∠DGF＝180°，∴∠FGA＝∠FCD，∴△AFG∽△DFC，∴＝，∴＝，∴AG＝，∴DG＝AD﹣AG＝﹣【变式5】．如图，在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，过点B作BG⊥AC交⊙O于点E、H，连AD、ED、EC．若BD＝8，DC＝6，则CE的长为 2 ．解：∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∵BG⊥AC，∴∠BGC＝∠ADC＝90°，∵∠BCG＝∠ACD，∴△ADC∽△BGC，∴＝，∴CG•AC＝DC•BC＝6×14＝84，连接AE，∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC＝90°，。
人教版九年级下册数学《位似》相似说课教学复习课件
C'
C
探究新知
归纳总结
画位似图形的一般步骤： ① 确定位似中心； ② 分别连接位似中心和能代表原图的关键点并延长； ③ 根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点； ④ 顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形.
探究新知
方法点拨
画位似图形时，需要注意的事项： （1）要弄清位似比，即分清是已知图形与新图形的 相似比，还是新图形与原图形的相似比． （2）若问题没有指定位似中心的位置，则画图时位 似中心的取法有多种，对画图而言，以多边形的一 个顶点为位似中心画图最简捷．
将图中的△ABC做下列运动，画出相应的图形， 指出三个顶点的坐标所发生的变化． （1）沿y轴正向平移3个单位长度； （2）关于x轴对称； （3）以C为位似中心，将△ABC按相似比2放大； （4）以C为中心，将△ABC顺时针旋转180°．
截止现在，你总
共学了哪些图形
变换？它们有何
异同点？
A3
B1 y
B3
B′ (－3，0)，O (0，0). 顺次连接点 A′ ，B′ ，O，所得的 △A′ B′ O
就是要画的一个图形.
巩固练习
B"
y
如图，△ABC三个顶点坐标
8
6
分别为A（2，－2），B（4，C"
A" 4
2
， －5） C（5，－2），以原 -12 -10 -8 -6 -4 -2 O x 2 4 6 8 10 12
O，且
OE EA
4 3
，则
FG BC
4 ___7____．
课堂检测 基础巩固题
1. 选出下面不同于其他三组的图形 ( B )
A
B
C
D
九年级数学射影定理(教学课件201908)
终于争伐哉 未几 大都督 结王生之袜于朝 使异姓无裂土专封之邑 杨雄覃思于《太玄》 惧毙命路隅 偏戍在南 聚兵数万 其父母八十 时以为知人 以母忧去职 其功如彼 其后更有四伯 若乃圣帝之创化也 将顺咸悦 表转临汾公相国 彝伦需永序 勰字彦和 崇必信之道 与统书曰 时尚书仆
射山涛 出言之难 及卒 暴之万姓 故尧称采椽茅茨 接以商王之箸 武帝为晋王 监巴东军事 昔申无宇曰 故贾生忧其危 纵兵大掠 深沟高垒 皆粪土之说 奏登贬秩居官 留情笔削 不孝那 服阕 谥曰冲太孙 靡适不怀 不训不师 皆官方庸能 博学善属文 不敢发兵 若其羲和促辔 君子之笃行也
驸马都尉 弘我以道 其出之国 季末苟合之制 金岸崥崹 哭曰 后葛洪著书 为宇副贰 有同攘臂 冀其去职 刑政苛虐 舜之用心也 辗流霜 遂升枢奥 则先其本也 旷神远致 吴兴内史 讽州郡公府不得辟 岂徒水截蛟鸿 与众弃之 表以百常之阙 于是结阵鸣鼓而来 未改其化 楷曰 昧旦丕显 为
贾氏故也 败于障山 将不濯一鳞 古之道也 宵梦必有岩穴之感 使持节 始皇之并天下也 仅有达者 戎以识会待之 盗窃纵横 弛斋禁 不之得也 今山东方欲大举 由是天下忿愤 代陶侃为武昌太守 强其所不知也 以为益也 但旉及家人并自首 百姓殆业而咎时 唐则天而民咨兮 乃居伐国大任
牧 与谧亲理 东平吕安服康高致 甚痛矣哉 然一咏一吟 成都王颖攻长沙王乂 唯息承渡江 人之死也 俄转著作郎 转护军将军 应化而至 陆公 臧考祥于娄句 贞夫一者也 曰 诚欲人主斟酌其得失焉 于是有司奏收志等结罪 虽举门尽死 宏达不及放 九年黜陟 立功立事 加右仆射 属元会 使
其中有欲 不忘乱而已 乃不如曼之真率 适所以速祸也 国富兵强 自此谈老殊进 体道居正 魏之伐蜀 宜因衅除之 应有以先之 石奋 诬罔朝廷 将令群心疑惑 后为郡主簿 谭平生时常抑若思而进邈 三害未除 史臣曰 玘密讽广杀昶 参军不敬府主 抑乃沈身郎署 余唯古今明王之制 侯服玉食
八年级(下)第十一讲 射影定理
名师堂八年级数学第十一讲 射影定理【选择题】1、已知直角三角形ABC 中，斜边AB=5cm,BC=2cm ，D 为AC 上的一点，DE AB ⊥交AB 于E ，且AD=3.2cm ，则DE= （ ）A 、1.24cmB 、1.26cmC 、1.28cmD 、1.3cm2、如图1-1，在Rt ABC 中，CD 是斜别AB 上的高，在图中六条线段中，你认为只要知道（ ）线段的长，就可以求其他线段的长A 、1B 、2C 、3D 、43、在Rt ABC 中，90BAC ∠= ，AD BC ⊥于点D ，若34AC AB =，则BD CD=（ ） A 、34 B 、43 C 、169 D 、9164、如图1-2，在矩形ABCD 中，1,3DE AC ADE CDE ⊥∠=∠，则E D B ∠=（ ） A 、22.5 B 、30 C 、45 D 、60【填空题】5、ABC 中，90A ∠= ，AD BC ⊥于点D ，AD=6，BD=12，则CD= ，AC=，22:AB AC = 。
6、如图2-1，在Rt ABC 中，90ACB ∠= ，CD AB ⊥，AC=6，AD=3.6，则BC= ．【解答题】7、已知CD 是ABC 的高，,DE CA DF CB ⊥⊥，如图3-1，求证：CEF CBA ∽8、已知90CAB ∠= ，AD CB ⊥，ACE ，ABF 是正三角形，求证：DE DF ⊥9、如图3-2，矩形ABCD 中，AB=a ，BC=b ，M 是BC 的中点，DE AM ⊥，E是垂足，求证：DE=10、已知：ΔACB为等腰直角三角形，∠ACB=900延长BA至E，延长AB至F，∠ECF=1350求证：ΔEAC∽ΔCBF11、一个钢筋三角架三边长分别为20cm，50cm，60cm，现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30cm和50cm的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根截下两段(允许有余料)作为另两边，写出所有不同的截法？12、已知:如图,ΔABC中,AD=DB,∠1=∠2.求证:ΔABC∽ΔEAD13、如图，点C、D在线段AB上，且ΔPCD是等边三角形.(1)当AC，CD，DB满足怎样的关系时，ΔACP∽ΔPDB；(2)当ΔPDB∽ΔACP时，试求∠APB的度数.14、如图，四边形ABCD 、CDEF 、EFGH 都是正方形.(1)⊿ACF 与⊿ACG 相似吗？说说你的理由.(2)求∠1+∠2的度数.15、如图，4531===∠=∠∠=∠BC DE AB D B ，，，（1）ABC ∆∽ADE ∆吗？说明理由。
2022-2023学年人教中考数学重难点题型分类必刷题 专题11 射影定理——高分必刷题(含详解)
专题11 射影定理-高分必刷题（原卷版）射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
射影定理是数学图形计算的重要定理，在初三各名校的数学和各地中考试题中都多次考查了这一模型的应用。
图形推导过程结论因为⎩⎨⎧∠=∠∠=∠ACD ABC A A∴ABC ∆∽ACD ∆ ∴ACAB AD AC =①AB AD AC ⋅=2; ②BA BD BC ⋅=2; ③BD AD CD ⋅=21.（青竹湖）如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒ ，CD 为AB 边上的高，若6AD =，18BD =，则AC 的长等于__________.DCBA2.（青竹湖）如图,△ABC 中,∠ACB=90∘，CD⊥AB 于D. 若BC=4，BD:AD=1:3，则BD 的长为（ ） A.2 B.334 C.332 D.3 3.（长沙中考）如图，点P 在以MN 为直径的半圆上运动（点P 不与M ，N 重合），PQ ⊥MN ，NE 平分∠MNP ，交PM 于点E ，交PQ 于点F ． （1）+＝ ．（2）若PN 2＝PM •MN ，则＝ ．4.（长郡）如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交于E ，DE ＝EC ，过点B 的切线与AD 的延长线交于F ，过E 作EG ⊥BC 于G ，延长GE 交AD 于H ．（1）求证：AH ＝HD ； （2）若BFBD＝，DF ＝9，求⊙O 的半径．5.(长郡)如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与AC、BC交于点F、D，过点D作DE⊥AC于点E，且CE＝FE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连OE．若41OE ，AB＝10，求CE的长．6.（长沙中考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．（1）求∠CDE的度数；（2）求证：DF是⊙O的切线；（3）若AC=2DE，求tan∠ABD的值．7.（青竹湖）如图,在△ABC中,∠C=90∘，AD平分∠BAC交BC于点D，O是AB边上一点，以点O为圆心，OA长为半径的圆经过点D，作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，连接FO并延长交⊙O于点G(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)求证：OA2=OB⋅OE；(3)若AE=9，CD=3，求△ACD与△COE面积之比。
七年级数学下册培优辅导讲义(人教版)
1第12讲 与相交有关概念及平行线的判定考点·方法·破译1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行.2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们.3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系.经典·考题·赏析【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？ 【解法指导】⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线.⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 有6对对顶角. 12对邻补角.【变式题组】01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ，则：⑴∠ARC 的对顶角是 . 邻补角是 .⑵中有几对对顶角，几对邻补角？ 02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角； 当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角； 当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角. 问：当有100条直线相交于一点时共有 对顶角.【例２】如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、 ∠AOC ．⑴求∠EOF 的度数；⑵写出∠BOE 的余角及补角.【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC ＝21∠BOC ，∠FOC ＝21∠AOC ∴∠EOF ＝∠EOC ＋∠FOC ＝21∠BOC ＋21∠AOC ＝()AOC BOC ∠+∠21又∵∠BOC ＋∠AOC ＝180° ∴∠EOF ＝21×180°＝90° ⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠BOE 的补角是：∠AOE .【变式题组】01．如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC ＝100°，则∠BOD 的度数是（ ）A ．20°B ． 40°C ．50°D ．80°02．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝ .【例３】如图，直线l 1、l 2相交于点O ，A 、B 分别是l 1、l 2上的点，试用三角尺完成下列作图： ⑴经过点A 画直线l 2的垂线. ⑵画出表示点B 到直线l 1的垂线段.【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段.【变式题组】 01．P 为直线l 外一点，A 、B 、C 是直线l 上三点，且PA ＝4cm ，PB ＝5cm ，PC ＝6cm ，则点P 到直线l 的距离为（ ） A ．4cm B ． 5cm C ．不大于4cm D ．不小于6cmABC D EF AB C DEF PQ RABCEF E A ACD O （第1题图）1 4 32 （第2题图）l 2202 如图，一辆汽车在直线形的公路AB 上由A 向B 行驶，M 、N 为位于公路两侧的村庄； ⑴设汽车行驶到路AB 上点P 的位置时距离村庄M 最近.行驶到AB 上点Q 的位置时，距离村庄N 最近，请在图中的公路上分别画出点P 、Q 的位置. ⑵当汽车从A 出发向B 行驶的过程中，在 的路上距离M 村越来越近..在 的路上距离村庄N 越来越近，而距离村庄Ｍ越来越远. 【例４】如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE ⊥CD ，OF ⊥AB ，∠DOF ＝65°，求∠BOE 和∠AOC 的度数. 【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依据，也可以作为该图形具备的性质，由图可得：∠AOF ＝90°，OF ⊥AB ．【变式题组】 01．如图，若EO ⊥AB 于O ，直线CD 过点O ，∠EOD ︰∠EOB ＝1︰3，求∠AOC 、∠AOE 的度数. 02．如图，O 为直线AB 上一点，∠BOC ＝3∠AOC ，OC 平分∠AOD ． ⑴求∠AOC 的度数； ⑵试说明OD 与AB 的位置关系.03．如图，已知AB ⊥BC 于B ，DB ⊥EB 于B ，并且∠CBE ︰∠ABD ＝1︰2，请作出∠CBE 的对顶角，并求其度数.【例５】如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的，并说出它们的名称： ∠1和∠2：∠1和∠3：∠1和∠6：∠2和∠6： ∠2和∠4： ∠3和∠5：∠3和∠4：【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是：首先弄清所判断的是哪两个角，其次是找到这两个角公共边所在的直线即截线，其余两条边所在的直线就是被截的两条直线，最后确定它们的名称.F B A O CD E C D B A EO B ACDO A BA E DC F E BAD 1 4 2 3 6 53【变式题组】01．如图，平行直线AB 、CD 与相交直线EF ，GH 相交，图中的同旁内角共有（ ）A ．4对B ． 8对C ．12对D ．16对02．如图，找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内角.03．如图，按各组角的位置判断错误的是（ ）A ．∠1和∠2是同旁内角B ．∠3和∠4是内错角C ．∠5和∠6是同旁内角D ．∠5和∠7是同旁内角【例６】如图，根据下列条件，可推得哪两条直线平行？并说明理由•⑴∠CBD ＝∠ADB ； ⑵∠BCD ＋∠ADC ＝180°⑶∠ACD ＝∠BAC【解法指导】图中有即即有同旁内角，有“ ”即有内错角.【解法指导】⑴由∠CBD ＝∠ADB ，可推得AD ∥BC ；根据内错角相等，两直线平行. ⑵由∠BCD ＋∠ADC ＝180°，可推得AD ∥BC ；根据同旁内角互补，两直线平行.⑶由∠ACD ＝∠BAC 可推得AB ∥DC ；根据内错角相等，两直线平行.【变式题组】01．如图，推理填空.⑴∵∠A ＝∠ （已知） ∴AC ∥ED （ ） ⑵∵∠C ＝∠ （已知）∴AC ∥ED （ ）⑶∵∠A ＝∠ （已知） ∴AB ∥DF （ ） 02．如图，AD 平分∠BAC ，EF 平分∠DEC ，且∠1＝∠2，试说明DE 与AB 的位置关系. 解：∵AD 是∠BAC 的平分线（已知） ∴∠BAC ＝2∠1（角平分线定义） 又∵EF 平分∠DEC （已知） ∴ （ ） 又∵∠1＝∠2（已知） ∴ （ ） ∴AB ∥DE （ ） 03．如图，已知AE 平分∠CAB ，CE 平分∠ACD ．∠CAE ＋∠ACE ＝90°，求证：AB ∥CD ． ABDCHＧ EF7 1 5 6 8 4 1 2 乙丙 3 2 3 4 56 1 2 3 4甲 1 A B C 2 3 4 56 7 A B C DOA B D E FCABCDE A B CD EF 1 204．如图，已知∠ABC＝∠ACB，BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，∠EBF＝∠EFB，求证：CD∥EF.【例７】如图⑴，平面内有六条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中，至少有一个角小于31°.【解法指导】如图⑵，我们可以将所有的直线移动后，使它们相交于同一点，此时的图形为图⑵.证明：假设图⑵中的12个角中的每一个角都不小于31°则12×31°＝372°＞360°这与一周角等于360°矛盾所以这12个角中至少有一个角小于31°【变式题组】01．平面内有18条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中至少有一个角小于11°.02．在同一平面内有2010条直线a1,a2,…，a2010,如果a1⊥a2,a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5……那么a1与a2010的位置关系是 .03．已知n（n＞2）个点P1，P2，P3…Pn.在同一平面内没有任何三点在同一直线上，设S n表示过这几个点中的任意两个点所作的所有直线的条数，显然：S2＝1，S3＝3，S4＝6，∴S5＝10…则Sn＝ .演练巩固·反馈提高01．如图，∠EAC＝∠ADB＝90°.下列说法正确的是（）A．α的余角只有∠B B．α的邻补角是∠DACC．∠ACF是α的余角D．α与∠ACF互补02．如图，已知直线AB、CD被直线EF所截，则∠EMB的同位角为（）A．∠AMF B．∠BMF C．∠ENC D．∠END03．下列语句中正确的是（）A．在同一平面内，一条直线只有一条垂线B．过直线上一点的直线只有一条C．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条D．垂线段就是点到直线的距离04．如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，则下列结论中，正确的个数有（）①AB⊥AC②AD与AC互相垂直③点C到AB的垂线段是线段AB④线段AB的长度是点B到AC的距离⑤垂线段BA是点B到AC的距离⑥AD ＞BDA．0 B． 2 C．4 D．6ABCD El1l2l3l4l5l6图⑴l1l2l3l4l5l6图⑵AEB C FDABC DFEMNα第1题图第2题图AB D C第4题图4505．点A 、B 、C 是直线l 上的三点，点P 是直线l 外一点，且PA ＝4cm ，PB ＝5cm ，PC ＝6cm ，则点P 到直线l 的距离是（ ） A ．4cm B ．5cm C ．小于4cm D ．不大于4cm 06．将一副直角三角板按图所示的方法旋转（直角顶点重合），则∠AOB ＋∠DOC＝ .07．如图，矩形ABCD 沿EF 对折，且∠DEF ＝72°，则∠AEG ＝ . 08．在同一平面内，若直线a 1∥a 2,a 2⊥a 3,a 3∥a4,…则a 1 a 10.（a 1与a 10不重合）09．如图所示，直线a 、b 被直线c 所截，现给出下列四个条件：①∠1＝∠5，②∠1＝∠7，③∠2＋∠3＝180°，④∠4＝∠7，其中能判断a ∥b 的条件的序号是 .10．在同一平面内两条直线的位置关系有 .11．如图，已知BE 平分∠ABD ，DE 平分∠CDB ，且∠E ＝∠ABE ＋∠EDC ．试说明AB ∥CD ？12．如图，已知BE 平分∠ABC ，CF 平分∠BCD ，∠1＝∠2，那么直线AB 与CD 的位置关系如何？13．如图，推理填空：⑴∵∠A ＝ （已知） ∴AC ∥ED （ ） ⑵∵∠2＝ （已知） ∴AC ∥ED （ ）⑶∵∠A ＋ ＝180°（已知） ∴AB ∥FD ．14．如图，请你填上一个适当的条件 使AD ∥BC ．ABCDOABCDEFG H abc第6题图第7题图第9题图1 2 3 4 5 6 7 81A CDEB AB C DEF12AB CD EF第14题图6培优升级·奥赛检测 01．平面图上互不重合的三条直线的交点的个数是（ ） A ．1，3 B ．0，1，3 C ．0，2，3 D ．0，1，2，3 02．平面上有10条直线，其中4条是互相平行的，那么这10条直线最多能把平面分成（ ）部分. A ．60 B ． 55 C ．50 D ．45 03．平面上有六个点，每两点都连成一条直线，问除了原来的6个点之外，这些直线最多还有（ ）个交点. A ．35 B ． 40 C ．45 D ．55 04．如图，图上有6个点，作两两连线时，圆内最多有__________________交点. 05．如图是某施工队一张破损的图纸，已知a 、b 是一个角的两边，现在要在图纸上画一条与这个角的平分线平行的直线，请你帮助这个施工队画出这条平行线，并证明你的正确性. 06．平面上三条直线相互间的交点的个数是（ ） A ．3 B ．1或3 C ．1或2或3 D ．不一定是1，2，3 07．请你在平面上画出6条直线（没有三条共点）使得它们中的每条直线都恰好与另三条直线相交，并简单说明画法？ 08．平面上有10条直线，无任何三条交于一点，要使它们出现31个交点，怎么安排才能办到？09．如图，在一个正方体的2个面上画了两条对角线AB 、AC ，那么两条对角线的夹角等于（ ） A ．60° B ． 75° C ．90°D ．135° 10．在同一平面内有9条直线如何安排才能满足下面的两个条件？ ⑴任意两条直线都有交点；⑵总共有29个交点.第13讲 平行线的性质及其应用 考点·方法·破译1．掌握平行线的性质，正确理解平行线的判定与性质定理之间的区别和联系； 2．初步了解命题，命题的构成，真假命题、定理； 3．灵活运用平行线的判定和性质解决角的计算与证明，确定两直线的位置关系，感受转化思想在解决数学问题中的灵活应用.经典·考题·赏析 【例１】如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ， BC ∥AD 求∠C 的度数. 【解法指导】两条直线平行，同位角相等； 两条直线平行，内错角相等；两条直线平行，同旁内角互补. 平行线的性质是推导角关系的重要依据之一，必须正确识别图形的特征，看清截线，识别角的关系式关键.【解】：∵AB ∥CD BC ∥AD ∴∠A ＋∠B ＝180° ∠B ＋∠C ＝180°(两条直线平行，同旁内角互补) ∴∠A ＝∠C ∵∠A ＝38° ∴∠C ＝38°a b AB C7【变式题组】01．如图，已知AD ∥BC ，点E 在BD 的延长线上，若∠ADE ＝155°，则∠DBC的度数为（ ） A ．155° B ．50° C ．45° D ．25°02．（安徽）如图，直线l 1 ∥ l 2,∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为（ ）A ． 50°B ． 55°C ． 60° D ．65°03．如图，已知FC ∥AB ∥DE ，∠α：∠D ：∠B ＝2: 3: 4, 试求∠α、∠D 、∠B的度数.【例２】如图，已知AB ∥CD ∥EF ，GC ⊥CF ，∠B ＝60°，∠EFC ＝45°，求∠BCG 的度数.【解法指导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平分线相结合，可求各种位置的角的度数，但注意看清角的位置.【解】∵AB ∥CD ∥EF ∴∠B ＝∠BCD ∠F ＝∠FCD (两条直线平行，内错角相等)又∵∠B ＝60° ∠EFC ＝45° ∴∠BCD ＝60° ∠FCD ＝45° 又∵GC ⊥CF ∴∠GCF ＝90°（垂直定理） ∴∠GCD ＝90°－45°＝45° ∴∠BCG ＝60°－45°＝15°【变式题组】01．如图，已知AF ∥BC , 且AF 平分∠EAB ，∠B ＝48°，则∠C 的的度数＝_______________02.如图,已知∠ABC ＋∠ACB ＝120°，BO 、CO 分别∠ABC 、∠ACB ，DE 过点O 与BC 平行，则∠BOC ＝___________03．如图，已知AB ∥ MP ∥CD , MN 平分∠AMD ，∠A ＝40°，∠D ＝50°，求∠NMP 的度数.【例３】如图，已知∠1＝∠2，∠C ＝∠D ． 求证：∠A ＝∠F . 【解法指导】因果转化，综合运用.逆向思维：要证明∠A ＝∠F ，即要证明DF ∥AC ． 要证明DF ∥AC , 即要证明∠D ＋∠DBC ＝180°， 即：∠C ＋∠DBC ＝180°；要证明∠C ＋∠DBC＝180°即要证明DB ∥EC ． 要证明DB ∥EC 即要证明∠1＝∠3.证明：∵∠1＝∠2，∠2＝∠3（对顶角相等）所以∠1＝∠3 ∴DB ∥EC （同位角相等•两直线平行）∴∠DBC ＋∠C ＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠C ＝∠D ∴∠DBC ＋∠D ＝180° ∴DF ∥AC （同旁内角，互补两直线平行）∴∠A ＝∠F （两直线平行，内错角相等） AB CDOE FAEBC （第1题图） （第2题图） E A F GDC B BA MCD N P （第3题图）CDABE F 1 328DA2 E1 B C B F E AC D 【变式题组】01．如图，已知AC ∥FG ，∠1＝∠2，求证：DE ∥FG02．如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B ． 求证：∠AED ＝∠ACB03．如图，两平面镜α、β的夹角θ，入射光线AO 平行 于β入射到α上，经两次反射后的出射光线O′B 平行 于α，则角θ等于_________. 【例４】如图，已知EG ⊥BC ，AD ⊥BC ，∠1＝∠3. 求证：AD 平分∠BAC ． 【解法指导】抓住题中给出的条件的目的，仔细分析 条件给我们带来的结论，对于不能直接直接得出结论 的条件，要准确把握住这些条件的意图.（题目中的： ∠1＝∠3） 证明：∵EG ⊥BC ，AD ⊥BC ∴∠EGC ＝∠ADC ＝90° （垂直定义）∴EG ∥AD （同位角相等，两条直线平行） ∵∠1＝∠3 ∴∠3＝∠BAD （两条直线平行，内错角相等） ∴AD 平分∠BAC （角平分线定义） 【变式题组】 01．如图，若AE ⊥BC 于E ，∠1＝∠2，求证：DC ⊥BC ．02．如图，在△ABC 中，CE ⊥AB 于E ,DF ⊥AB 于F , AC ∥ED ，CE 平分∠ACB ． 求证：∠EDF ＝∠BDF .AB ∥CD ，∠B ＝40°，CN 是∠BCE 的平分线. CM ⊥CN ，求：的度数.A D M C N EB GB 3C A 1D 2E F （第1题图） A2 C F3 E D1B（第2题图）3 1 AB G DC E9 α βP B C D A ∠P ＝α＋β3 2 1 γ 4ψDα β E B CAFH F γ Dα β E B C AF D EBC A B C AA ′ lB ′C ′【例５】已知，如图，AB ∥EF ，求证：∠ABC ＋∠BCF ＋∠CFE ＝360° 【解法指导】从考虑360°这个特殊角入手展开联想，分析类比， 联想周角.构造两个“平角”或构造两组“互补”的角. 过点C 作CD ∥AB 即把已知条件AB ∥EF 联系起来，这是关键. 【证明】：过点C 作CD ∥AB ∵CD ∥AB ∴∠1＋∠ABC ＝180° (两直线平行，同旁内角互补) 又∵AB ∥EF ，∴CD ∥EF （平行 于同一条直线的两直线平行） ∴∠2＋∠CFE ＝180°(两直线平行， 同旁内角互补) ∴∠ABC ＋∠1＋∠2＋∠CFE ＝180°＋180°＝360° 即∠ABC ＋∠BCF ＋∠CFE ＝360° 【变式题组】 01．如图，已知，AB ∥CD ，分别探究下面四个图形中∠APC 和∠PAB 、∠PCD 的关系，请你从所得四个关系中选出任意一个，说明你探究的结论的正确性. 结论：⑴____________________________ ⑵____________________________ ⑶____________________________ ⑷____________________________ 【例６】如图，已知，AB ∥CD ，则∠α、∠β、∠γ、∠ψ之间的关系是 ∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝180° 【解法指导】基本图形 善于从复杂的图形中找到基本图形，运用基本图形的规律打开思路. 【解】过点E 作EH ∥AB ． 过点F 作FG ∥AB ． ∵AB ∥EH ∴∠α＝∠1（两直线平行，内错角相等）又∵FG ∥AB ∴EH ∥FG （平行于同一条直线的两直线平行）∴∠2＝∠3 又∵AB ∥CD ∴FG ∥CD （平行于同一条直线的两直线平行）∴∠ψ＋∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝∠1＋∠3＋∠4－ψ－∠1－∠2＝∠4＋ψ＝180°【变式题组】 01．如图， AB ∥EF ，∠C ＝90°，则∠α、∠β、∠γ的关系是（ ）A ． ∠β＝∠α＋∠γB ．∠β＋∠α＋∠γ＝180°C ． ∠α＋∠β－∠γ＝90°D ．∠β＋∠γ－∠α＝90° 02．如图，已知，AB ∥CD ，∠ABE 和∠CDE 的平分线相交于点F ，∠E ＝140°，求∠BFD 的度数.【例７】如图，平移三角形ABC ，设点A 移动到点A /，画出平移后的三角形A /B /C /.【解法指导】抓住平移作图的“四部曲”——定，找，移，连. ⑴定：确定平移的方向和距离. ⑵找：找出图形的关键点. ⑶移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点. ⑷连: 按原图形顺次连接对应点. 【解】①连接AA / ②过点B 作AA /的平行线l ③在l 截取BB /＝AA /,则点B /就是的B 对应点，用同样的方法作出点C 的对应点C /.连接A /B /，B /C /，C /A /就得到平移后的三角形A /B /C /.B AP C A C C D A A P C B D PBPD B D ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ FE D 2 1 AB C10西B 30° A北东 南【变式题组】01．如图，把四边形ABCD 按箭头所指的方向平移21cm ，作出平移后的图形.02．如图,三角形ABC 中，∠C ＝90°, BC ＝4，AC ＝4，现将△ABC 沿CB 方向平移到△A /B /C /的位置，若平移距离为3, 求△ABC与△A /B /C /的重叠部分的面积.03．原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着BC 方向平移BE 的距离，就得到此图形，求阴影部分的面积.（单位：厘米）演练巩固 反馈提高01．如图，由A 测B 得方向是（ ）A ．南偏东30°B ．南偏东60°C ．北偏西30°D ．北偏西60°02．命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两直线平行；④平行于同一条直线的两直线垂直.其中的真命题的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个03．一个学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，两次拐弯的角度可能是（ ） A ．第一次向左拐30°，第二次向右拐30° B ．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°C ．第一次向左拐50°，第二次向右拐130°D ．第一次向左拐60°，第二次向左拐120°04．下列命题中，正确的是（ ）A ．对顶角相等B ． 同位角相等C ．内错角相等D ．同旁内角互补05．学习了平行线后，小敏想出过直线外一点画这条直线的平行线的新方法，是通过折一张半透明的纸得到的[如图⑴—⑷]从图中可知，小敏画平行线的依据有（ ）①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行. A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④06．在A 、B 两座工厂之间要修建一条笔直的公路，从A 地测得B 地的走向是南偏东52°.现A 、B 两地要同时开工，若干天后，公路准确对接，则B 地所修公路的走向应该是（ ）A ．北偏东52°B ．南偏东52°C ．西偏北52°D ．北偏西38°B B /AA /C C /150°120°DBCE 湖07．下列几种运动中属于平移的有（）①水平运输带上的砖的运动；②笔直的高诉公路上行驶的汽车的运动（忽略车轮的转动）；③升降机上下做机械运动；④足球场上足球的运动.A．1种B．2种C．3种D．4种08．如图，网格中的房子图案正好处于网格右下角的位置.平移这个图案，使它正好位于左上角的位置（不能出格）09．观察图，哪个图是由图⑴平移而得到的（）10．如图，AD∥BC，AB∥CD，AE⊥BC，现将△ABE进行平移. 平移方向为射线AD的方向. 平移距离为线段BC的长，则平移得到的三角形是图中（）图的阴影部分.11．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例.⑴对顶角是相等的角；⑵相等的角是对顶角；⑶两个锐角的和是钝角；⑷同旁内角互补，两直线平行.12．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出命题的真假.⑴互补的角是邻补角；⑵两个锐角的和是锐角；⑶直角都相等.13．如图，在湖边修一条公路.如果第一个拐弯处∠A＝120°，第二个拐弯处∠B ＝150°，第三个拐弯处∠C，这时道路CE恰好和道路AD平行，问∠C是多少度？并说明理由.DEAB CE DB CE D AB CED AB CEDA B C43 2 1ABE F CD 4 P 23 1A BEFC D 14．如图，一条河流两岸是平行的，当小船行驶到河中E 点时，与两岸码头B 、D 成64°角. 当小船行驶到河中F 点时，看B 点和D 点的视线FB 、FD 恰好有∠1＝∠2，∠3＝∠4的关系. 你能说出此时点F 与码头B 、D 所形成的角∠BFD 的度数吗？15．如图，AB ∥CD ，∠1＝∠2，试说明∠E 和∠F 的关系.培优升级·奥赛检测01．如图，等边△ABC 各边都被分成五等分，这样在△ABC 内能与△DEF 完成重合的小三角形共有25个，那么在△ABC 内由△DEF 平移得到的三角形共有（ ）个02．如图，一足球运动员在球场上点A 处看到足球从B 点沿着BO 方向匀速滚来，运动员立即从A 处以匀速直线奔跑前去拦截足球.若足球滚动的速度与该运动员奔跑的速度相同，请标出运动员的平移方向及最快能截住足球的位置.（运动员奔跑于足球滚动视为点的平移） 03．如图，长方体的长AB ＝4cm ，宽BC ＝3cm ，高AA 1＝2cm . 将AC 平移到A 1C 1的位置上时，平移的距离是___________,平移的方向是___________. 04．如图是图形的操作过程（五个矩形水平方向的边长均为a ，竖直方向的边长为b ）；将线段A 1A 2向右平移1个单位得到B 1B 2，得到封闭图形A 1A2B 2B 1 [即阴影部分如图⑴];将折现A 1A 2 A 3向右平移1个单位得到B 1B 2B 3，得到封闭图形A 1A 2 A 3B 3B 2B 1[即阴影部分如图⑵];⑴在图⑶中，请你类似地画出一条有两个折点的直线，同样的向右平移1个单位，从而得到1个封闭图形，并画出阴影.⑵请你分别写出上述三个阴影部分的面积S 1＝________, S 2＝________, S 3＝________. ⑶联想与探究：如图⑷，在一矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路在任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分草地面积是多少？⑶⑷CB 1AA 1C 1D 1BD. AF E B A CG D05．一位模型赛车手遥控一辆赛车，先前进一半，然后原地逆时针旋转α°（0°＜α°＜180°），被称为一次操作，若5次后发现赛车回到出发点，则α°角为（ ） A ．720° B ．108°或144° C ．144° D ．720°或144°06．两条直线a 、b 互相平行，直线a 上顺次有10个点A 1、A 2、…、A 10，直线b上顺次有10个点B 1、B 2、…、B 9，将a 上每一点与b 上每一点相连可得线段.若没有三条线段相交于同一点，则这些选段的交点个数是（ ） A ．90 B ．1620 C ．6480 D ．200607．如图，已知AB ∥CD ，∠B ＝100°，EF 平分∠BEC ，EG ⊥EF . 求∠BEG 和∠DEG .08．如图，AB ∥CD ，∠BAE ＝30°，∠DCE ＝60°，EF 、EG 三等分∠AEC ． 问：EF 与EG 中有没有与AB 平行的直线？为什么？ 09．如图，已知直线CB ∥OA ，∠C ＝∠OAB ＝100°，E 、F 在CB 上，且满足∠FOB ＝∠AOB ，OE 平分∠COF . ⑴求∠EOB 的度数；⑵若平行移动AB ，那么∠OBC ：∠OFC 的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值.⑶在平行移动AB 的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC ＝∠OBA ？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由.10．平面上有5条直线，其中任意两条都不平行，那么在这5条直线两两相交所成的角中，至少有一个角不超过36°,请说明理由.11．如图，正方形ABCD 的边长为5,把它的对角线AC 分成n 段，以每一小段为对角线作小正方形，这n 个小正方形的周长之和为多少？12．如图将面积为a 2的小正方形和面积为b 2的大正方形放在一起，用添补法如何求出阴影部分面积？FEB AC GD 100° FE BAC O A BCD第06讲 实 数考点·方法·破译 1．平方根与立方根：若2x ＝a (a ≥0)则x 叫做a 的平方根，记为：a 的平方根为x ＝a 的平方根为xa 的算术平方根．若x 3＝a ，则x 叫做a 的立方根．记为：a 的立方根为x．2．无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称实数．实数与数轴上的点一一对应．任何有理数都可以表示为分数pq（p 、q 是两个互质的整数，且q≠0）的形式． 3非负数：实数的绝对值，实数的偶次幂，非负数的算术平方根（或偶次方根）都是非负数．即a >0，2na ≥0（n 为正整数）0(a ≥0) ．经典·考题·赏析【例1】若2m －4与3m －1是同一个数的平方根，求m 的值． 【解法指导】一个正数的平方根有两个，并且这两个数互为相反数．∵2m −4与3m −l 是同一个数的平方根，∴2m −4 ＋3m −l ＝0，5m ＝5，m ＝l ．【变式题组】01．一个数的立方根与它的算术平方根相等，则这个数是____． 02．已知m的最大整数，则m 的平方根是____． 03____．04．如图，有一个数值转化器，当输入的x 为64时，输出的y 是____．【例2】（全国竞赛）已知非零实数a 、b 满足24242a b a -+++=，则a ＋b 等于( ) A ．－1 B ． 0 C ．1 D ．2有意义，∵a 、b 为非零实数，∴b 2>0∴a －3≥0a ≥3∵24242a b a -+++=∴24242a b a -+++=，∴20b +=．∴()22030b a b +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，∴32a b =⎧⎨=-⎩，故选C ．【变式题组】0l3b +＝0成立，则a b ＝____． 02()230b -=，则ab的平方根是____． 03．（天津）若x 、y 为实数，且20x +=，则2009x y ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ）A ．1B ．－1C ．2D ．－204．已知x1x π-的值是( )A ．11π-B ．11π+C ．11π- D ．无法确定【例3】若a 、b都为有理效，且满足1a b -=+a ＋b 的平方根．【解法指导】任何两个有理数的和、差、积、商（除数不为0）还是有理数，但两个无理数的和、差、积、商（除数不为0）不一定是无理数．∵1a b -+=+∴1a b -=⎧⎪=1a b -=⎧⎪=，∴1312a b =⎧⎨=⎩，a ＋b ＝12 ＋13＝25．∴a ＋b的平方根为：5==±． 【变式题组】01．（西安市竞赛题）已知m 、n2）m ＋(3－n ＋7＝0求m 、n ．02．（希望杯试题）设x 、y 都是有理数，且满足方程（123π+）x ＋（132π+）y −4−π＝0，则x −y ＝____．【例4】若a−2的整数部分，b −1是9的平方根，且a b b a -=-，求a ＋b 的值．【解法指导】−2＝整数部分＋小数部分．整数部分估算可得2，则小数部分−2 −2−4．∵a ＝2，b −1＝±3 ，∴b ＝－2或4∵a b b a -=-．∴a <b ，∴a ＝2， b ＝4，即a ＋b ＝6． 【变式题组】01．若3a ，b ，则a ＋b 的值为____． 02a ，小数部分为ba ）·b ＝____． 演练巩固 反馈提高 0l ．下列说法正确的是( )A ．－2是(－2)2的算术平方根B ．3是－9的算术平方根C ． 16的平方根是±4D ．27的立方根是±3 02．设a =b ＝ －2，2c =-，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ． b <a <c D ．c <a <b 03．下列各组数中，互为相反数的是( )A ．－9与81的平方根B ．4与C ．4D ．304．在实数1.414，，0.1•5•，π，3.1•4•( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ． 5个05．实数a 、b 在数轴上表示的位置如图所示，则( )A ．b >aB ．a b >C ． －a ＜bD ．－b > a06．现有四个无理数5，6，7，8，其中在2＋1与3＋1之间的有( )A ． 1个B ．2个C ． 3个D ．4个 07．设m 是9的平方根，n ＝()23．则m ，n 的关系是( )A . m ＝±nB .m ＝nC .m ＝－nD .m n ≠08．（烟台）如图，数轴上 A 、B 两点表示的数分别为－1和3，点B 关于点A的对称点C ，则点C 所表示的数为( )A ．－23-B ．－13-C ．－2 ＋3D ．l ＋309．点A 在数轴上和原点相距5个单位，点B 在数轴上和原点相距3个单位，且点B 在点A 左边，则A 、B 之间的距离为____． 10．用计算器探索：已知按一定规律排列的一组数：1，12，13…，119，120．如果从中选出若干个数，使它的和大于3，那么至少要选____个数． 11．对于任意不相等的两个数a 、b ，定义一种运算※如下：a ※b ＝a ba b+-，如3※2＝3232+-＝5．那么12.※4＝____． 12．（长沙中考题）已知a 、b 为两个连续整数，且a <7 <b ，则a ＋b ＝____．13．对实数a 、b ，定义运算“*”，如下a *b ＝()()22a ba b aba b ⎧⎪⎨⎪⎩≥<，已知3*m ＝36，则实数m ＝____．14．设a 是大于1的实数．若a ，23a +，213a +在数轴上对应的点分别是A 、B 、C ，则三点在数轴上从左自右的顺序是____．15.如图，直径为1的圆与数轴有唯一的公共点P ．点P 表示的实数为－1．如果该圆沿数轴正方向滚动一周后与数轴的公共点为P ′，那么点P ′所表示的数是____．16．已知整数x 、y 满足x ＋2y ＝50，求x 、y ．17．已知2a −1的平方根是±3，3a ＋b −1的算术平方根是4，求a ＋b ＋1的立方根．18．小颖同学在电脑上做扇形滚动的游戏，如图有一圆心角为60°，半径为1个单位长的扇形放置在数轴上，当扇形在数轴上做无滑动的滚动时，当B 点恰好落在数轴上时，(1)求此时B 点所对的数；(2)求圆心O 移动的路程．19．若b 315a - 153a - ＋3l ，且a ＋11的算术平方根为m ，4b ＋1的立方根为n ，求（mn −2）(3mn ＋4)的平方根与立方根．20．若x 、y 为实数，且（x −y ＋1）2533x y --22x y +值．培优升级 奥赛检测 01．（荆州市八年级数学联赛试题）一个正数x 的两个平方根分别是a ＋1与a −3，则a 值为( )A ． 2B ．－1C ． 1D ． 0 02．x 1x -2x -( )A ．0B ． 12C ．1D ． 2 0353x +−2的最小值为____．04．设a 、b 为有理数，且a 、b 满足等式a 2＋3b ＋33，则a ＋b ＝____． 05．若a b -＝1，且3a ＝4b ，则在数轴上表示a 、b 两数对应点的距离为____． 06．已知实数a 满足20092010a a a --=，则a − 20092＝_______．m 满足关系式3523199199x y m x y m x y x y +--+-=-+--，试确定m 的值．08．（全国联赛）若a 、b满足5b ＝7，S＝3b ，求S 的取值范围．09．（北京市初二年级竞赛试题）已知0<a <1，并且123303030a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦2830a ⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦2930a ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦18=，求[10a ]的值[其中[x ]表示不超过x 的最大整数] ．10．（北京竞赛试题）已知实数a 、b 、x 、y 满足y＋21a =-，231x y b -=--，求22x y a b +++的值．第14讲平面直角坐标系（一）考点．方法．破译1．认识有序数对，认识平面直角坐标系．2．了解点与坐标的对应关系．3．会根据点的坐标特点，求图形的面积．经典．考题．赏析【例1】在坐标平面内描出下列各点的位置．A(2，1)，B(1，2)，C(－1，2)，D(－2，－1)，E(0，3)，F(－3，0)【解法指导】从点的坐标的意义去思考，在描点时要注意点的坐标的有序性．【变式题组】01．第三象限的点P(x，y)，满足|x|＝5,2x＋|y|＝1，则点P得坐标是_____________．02．在平面直角坐标系中，如果m.n＞０，那么（m, |n|）一定在____________象限.03．指出下列各点所在的象限或坐标轴．A(－3，0)，B(－2，－13)，C(2，12)，D(0,3)，E(π－3.14，3.14－π)【例2】若点P(a，b)在第四象限，则点Q(―a，b―1)在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解法指导】∵P(a，b)在第四象限，∴a＞0，b＜0，∴－a＜0,b－１＜0,故选C．【变式题组】01．若点G(a，2－a)是第二象限的点，则a的取值范围是（）A．a＜0 B．a＜2 C．0＜a＜2 B．a＜0或a ＞202．如果点P(3x－２，２－x)在第四象限，则x的取值范围是____________．03．若点P(x，y)满足xy＞0，则点P在第______________象限．04．已知点P(2a－8，2－a)是第三象限的整点，则该点的坐标为___________．【例３】已知A点与点B(－3，4)关于x轴对称，求点A关于y轴对称的点的坐标．【解法指导】关于x轴对称的点的坐标的特点：横坐标(x)相等，纵坐标(y)互为相反数，关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标(y)相等．【变式题组】01．P(－1，3)关于x轴对称的点的坐标为____________．02．P(3，－2)关于y轴对称的点的坐标为____________．03．P(a，b)关于原点对称的点的坐标为____________．04．点A(－3，2m－１) 关于原点对称的点在第四象限，则m的取值范围是____________．05．如果点Ｍ(a＋b，ab)在第二象限内，那么点N(a，b) 关于y轴对称的点在第______象限．【例４】P(3，－4)，则点P到x轴的距离是____________．【解法指导】P(x，y)到x轴的距离是| y|，到y轴的距离是|x|．则P到轴的距离是|－4|＝4【变式题组】01．已知点P(3，5)，Q(6，－５)，则点P、Q到x轴的距离分别是_________，__________．P到y轴的距离是点Q到y轴的距离的________倍．02．若x轴上的点Ｐ到y轴的距离是3，则P点的坐标是__________．03．如果点B(m＋1，3m－5) 到x轴的距离与它到y轴的距离相等，求m的值．04．若点(5－a，a－3)在一、三象限的角平分线上，求a的值．05．已知两点A(－3，m)，B(n，4)，AB∥x轴，求m的值，并确定n的取值范围．。
第23课相似多边形(学生版)九年级数学上册讲义(浙教版)
第23课相似多边形目标导航学习目标1.1.了解相似多边形的概念和性质.2.在简单情形下，能根据定义判断两个多边形相似.3.会用相似多边形的性质解决简单的几何问题.知识精讲知识点01 相似多边形的概念1.一般地,对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比也叫做相似比.知识点02 相似多边形的性质1.相似多边形的对应角相等，对应边成比例.2.相似多边形的周长之比等于相似比；相似多边形的面积之比等于相似比的平方.能力拓展考点01 相似多边形的概念【典例1】如图，细线平行于正多边形一边，并把它分割成两部分，则阴影部分多边形与原多边形相似的是（）A．B．C．D．【即学即练1】下列结论不正确的是（）A．所有的矩形都相似B．所有的正方形都相似C．所有的等腰直角三角形都相似D．所有的正八边形都相似考点02 相似多边形的性质【典例2】两个相似多边形的最长边分别为6cm和8cm，它们的周长之和为56cm，面积之差为28cm2，求较小相似多边形的周长与面积．【即学即练2】如图所示，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，求未知边x的长度和α的大小．分层提分题组A 基础过关练1.一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边为24，则这个多边形的最短边长为（）A．6 B．8 C．12 D．102.如图，下列两个四边形若相似，则下列结论不正确的是（）A．∠α＝100°B．x ＝C．y ＝D．x＝73. 已知两个相似多边形的面积比是9：16，其中较小多边形的周长为18cm，则较大多边形的周长为（）A．24cm B．27cm C．28cm D．32cm4.某块面积为4000m2的多边形草坪，在嘉兴市政建设规划设计图纸上的面积为250cm2，这块草坪某条边的长度是40m，则它在设计图纸上的长度是（）A．4cm B．5cm C．10cm D．40cm5.两个相似多边形的面积之比是1：4，则这两个相似多边形的周长之比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：166.如图，把矩形ABCD中的AB边向上翻折到AD边上，当点B与点F重合时，折痕与BC边交于点E，连接EF，若四边形EFDC与矩形ABCD恰好相似，若AB＝1时，AD的长为（）A．B．C．3﹣D．﹣17.如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝∠D＝100°，∠G＝65°，则∠F＝．8已知一个四边形的各边长分别是3cm、4cm、5cm、8cm，另一个与它相似的四边形的最长边的长是12cm，那么另一个四边形的周长是cm．9.已知两个相似的菱形的相似比为2：3，面积之差为5cm2，则这两个菱形的面积分别是．10.如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，且∠A＝62°，∠B＝75°，∠D′＝140°，AD＝9，A′B′＝11，A′D′＝6，B′C′＝8．（1）请直接写出：∠C＝度；（2）求边AB和BC的长．题组B 能力提升练11.下列说法正确的是（）A．所有菱形都相似B．所有矩形都相似C．所有正方形都相似D．所有平行四边形都相似12. 如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（）A．a＝b B．a＝2b C．a＝2b D．a＝4b13.如图，一块矩形ABCD绸布的长AB＝a，宽AD＝1，按照图中的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形ABCD绸布相似，则a的值等于（）A．B．C．2 D．14.如图，矩形相框的外框矩形的长为12dm，宽为8dm，上下边框的宽度都为xdm，左右边框的宽度都为ydm．则符合下列条件的x，y的值能使内边框矩形和外边框矩形相似的为（）A．x＝y B．3x＝2y C．x＝1，y＝2 D．x＝3，y＝215将邻边为3和5的矩形按如图的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形（填写“不相似”或“相似”）．16.一个矩形ABCD的较短边长为2．（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；（2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．题组C 培优拔尖练17. ．如图所示，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，两个菱形各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形不相似的一组是（）A．B．C．D．18. 如图，梯形ABCD中，E、F分别为AB、DC两腰上的点，且EF∥BC．若AE＝2，AB＝5，且梯形AEFD与梯形EBCF相似，则BC与AD的比值为（）A．B．C．D．19.如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到的，矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依此类推，若各种开本的矩形都相似，那么等于．20.如图，在矩形ABCD中，截去一个正方形ABFE后，使剩下的矩形对开后与原矩形相似，那么原矩形中AD：AB＝．21.如图，在矩形ABCD中，AD＝2，CD＝1，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，再连接AC1，以对角线AC1为边作矩形AB1C1C的相似矩形AB2C2C1，…，按此规律继续下去，则矩形AB n∁n C n﹣1的面积为．22.如图，△ABC是边长为1的等边三角形．取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记作S1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的面积记作S2．照此规律作下去，则S2011＝．23.矩形ABCD纸片的边AB长为2cm，动直线l分别交AD、BC于E、F两点，且EF∥AB；（1）若直线l是矩形ABCD的对称轴，且沿着直线l剪开后得的矩形EFCD与原矩形ABCD相似，试求AD的长？（2）若使AD＝+1cm，试探究：在AD边上是否存在点E，使剪刀沿着直线l剪开后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形ABCD相似的情况．若存在，请求出AE的值，并判断E点在边AD上位置的特殊性；若不存在，试说明理由．。
北师大版九年级数学上册 (图形的位似)图形的相似课件(第1课时)
B(2B,3()2,3)
B′(-44,6,-)6)
知识讲解
Байду номын сангаас
知识讲解
y
5
4
C
3
B
2
1
O 1 2 3 4 5A
x
知识讲解
在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶 点的横、纵坐标都乘以同一个数k（k≠0），所对 应的图形与原图形有什么关系？
知识讲解
6
5
4
验
3
证
2
1
O 1234567
A．左上 C．右上
B．左下 D．右下
强化训练 3.如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D，E， F分别是OA，OB，OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是（ B ）
A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：6
强化训练
4.如图，四边形ABCD与四边形AEFG是位似图形，且 AC：AF=2：3，则下列结论不正确的是（ B ） A．四边形ABCD与四边形AEFG是相似图形 B．AD与AE的比是2：3 C．四边形ABCD与四边形AEFG的周长比是2：3 D．四边形ABCD与四边形AEFG的面积比是4：9
九年级数学北师版·上册
第四章 图形的相似
图形的位似
第1课时
新课引入 如图是一幅电影宣传海报，它由一组形状相同的图片组成，在 图片①上取一点A，它与另一图片（如图片②）上相应的点B 之间的连线经过镜头中心点P.在图片上换其他的点试一试，也 能发现类似的现象.
P
知识讲解
如图，如果两个相似多边形任意一组对应顶点A，A1的连线都经 过同一个点O，且有OA1=k·OA（k≠0），那么这样的两个多边形叫 做位似多边形.点O叫做位似中心.实际上，k就是这两个相似多边形 的相似比.
射影定理模型(解析版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-几何模型篇
模型介绍1.射影定理定义①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．2.如图在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是斜边BC 上的高，有射影定理如下： 注意：直角三角形斜边上有高时，才能用射影定理！例题精讲【例1】．在矩形ABCD 中，BE ⊥AC 交AD 于点E ，G 为垂足．若CG ＝CD ＝1，则AC 的长是．①AD 2＝BD •DC ；②AB 2＝BD •BC ；AC 2＝CD •BC ．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝1，∠ABC＝90°，∵BE⊥AC，∴∠AGB＝90°＝∠ABC，∵∠BAG＝∠CAB，∴△ABG∽△ACB，∴＝，∴AG•AC＝AB2（射影定理），即（AC﹣1）•AC＝12，解得：AC＝或AC＝（不合题意舍去），即AC的长为，故答案为：．【例2】．如图：二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若AC⊥BC，则a的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣1D．﹣2解：设A（x1，0）（x1＜0），B（x2，0）（x2＞0），C（0，t），∵二次函数y＝ax2+bx+2的图象过点C（0，t），∴t＝2；∵AC⊥BC，∴OC2＝OA•OB（射影定理），即4＝|x1x2|＝﹣x1x2，根据韦达定理知x1x2＝，∴a＝﹣．故选：A．【例3】．将沿弦BC折叠，交直径AB于点D，若AD＝4，DB＝5，则BC的长是（）A．3B．8C．D．2解：连接CA、CD；根据折叠的性质，知所对的圆周角等于∠CBD，又∵所对的圆周角是∠CBA，∵∠CBD＝∠CBA，∴AC＝CD（相等的圆周角所对的弦相等）；∴△CAD是等腰三角形；过C作CE⊥AB于E．∵AD＝4，则AE＝DE＝2；∴BE＝BD+DE＝7；在Rt△ACB中，CE⊥AB，根据射影定理，得：BC2＝BE•AB＝7×9＝63；故BC＝3．故选：A．变式训练【变式1】．如图，在△ABC中，若AB＝AC，BC＝2BD＝6，DE⊥AC，则AC•EC的值是9．解：如图，∵在△ABC中，若AB＝AC，BC＝2BD＝6，∴AD⊥BC，CD＝BD＝3．又DE⊥AC，∴∠CED＝∠CDA＝90°．∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAD．∴＝，即AC•EC＝CD2＝9．（射影定理）故答案是：9．【变式2】．如图所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，对角线AC，BD交于O，且BE：ED＝1：3，AD＝6cm，则AE＝cm．解：设BE＝x，因为BE：ED＝1：3，故ED＝3x，根据射影定理，AD2＝3x（3x+x），即36＝12x2，x2＝3；由AE2＝BE•ED，AE2＝x•3x；即AE2＝3x2＝3×3＝9；AE＝3．【变式3】．如图，若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若∠OAC＝∠OCB．则ac的值为（）A．﹣1B．﹣2C．D．解：设A（x1，0），B（x2，0），C（0，c），∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点C（0，c），∴OC＝c，∵∠OAC＝∠OCB，OC⊥AB，∴△OAC∽△OCB，∴，∴OC2＝OA•OB（即射影定理）即|x1•x2|＝c2＝﹣x1•x2，令ax2+bx+c＝0，根据根与系数的关系知x1•x2＝，∴，故ac＝﹣1，故选：A．【变式4】．如图，正方形ABCD中，E为AB上一点，AF⊥DE于点F，已知DF＝5EF＝5，过C、D、F的⊙O与边AD交于点G，则DG＝____________.解：连接CF、GF，如图：在正方形ABCD中，∠EAD＝∠ADC＝90°，AF⊥DE，∴△AFD∽△EAD，∴＝，又∵DF＝5EF＝5，∴AD＝＝＝＝CD，在Rt△AFD中，AF＝＝＝，∵∠CDF+∠ADF＝90°，∠DAF+∠ADF＝90°，∴∠DAF＝∠CDF，∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形，∴∠FCD+∠DGF＝180°，∵∠FGA+∠DGF＝180°，∴∠FGA＝∠FCD，∴△AFG∽△DFC，∴＝，∴＝，∴AG＝，∴DG＝AD﹣AG＝﹣【变式5】．如图，在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，过点B作BG⊥AC 交⊙O于点E、H，连AD、ED、EC．若BD＝8，DC＝6，则CE的长为2．解：∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∵BG⊥AC，∴∠BGC＝∠ADC＝90°，∵∠BCG＝∠ACD，∴△ADC∽△BGC，∴＝，∴CG•AC＝DC•BC＝6×14＝84，连接AE，∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠EGC＝90°，∵∠ACE＝∠ECG，∴△CEG∽△CAE，∴＝，∴CE2＝CG•AC＝84，∴CE＝2．故答案为2．【变式6】．如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A作AE⊥BC交BC于点E，点F在实战演练BC 的延长线上，且CF ＝BE ，连接DF ．（1）求证：四边形AEFD 是矩形；（2）连接AC ，若∠ACD ＝90°，AE ＝4，CF ＝2，求EC 和AC的长．（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，∵CF ＝BE ∴BE +CE ＝CF +CE ，即BC ＝EF ，∴AD ＝EF ，∵AD ∥EF ，∴四边形AEFD 是平行四边形，∵AE ⊥BC ，∴∠AEF ＝90°，∴平行四边形AEFD 是矩形；（2）解：如图，∵CF ＝BE ，CF ＝2，∴BE ＝2，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠BAC ＝∠ACD ＝90°，∵AE ⊥BC ，∴AE 2＝BE •EC （射影定理），∴EC ＝＝＝8，∴AC ＝＝＝4．1．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC ，垂足为点E ．若sin ∠ADE ＝，AD ＝4，则AB 的长为（）A ．1B ．2C ．3D ．4解：∵DE ⊥AC ，∴∠ADE+∠CAD＝90°，∵∠ACD+∠CAD＝90°，∴∠ACD＝∠ADE，∵矩形ABCD的对边AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∵sin∠ADE＝，BC＝AD＝4，∴＝，∴＝，∴AC＝5，由勾股定理得，AB＝＝3，故选：C．2．如图，在矩形ABCD中，BD＝2．对角线AC与BD相交于点O，过点D作AC的垂线，交AC于点E，AE＝3CE．则DE2的值为（）A．4B．2C．D．4解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，AC＝BD＝2，∵AE＝3CE，∴AE＝AC＝，CE＝AC＝，∵∠ADC＝90°，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∵DE⊥AC，∴∠AED＝∠CED＝90°，∴∠ADE+∠DAC＝90°，∴∠ADE＝∠ACD，∴△ADE∽△DCE，∴＝，∴DE2＝AE•CE＝×＝，故选：C．3．如图，在正方形ABCD内，以D点为圆心，AD长为半径的弧与以BC为直径的半圆交于点P，延长CP、AP交AB、BC于点M、N．若AB＝2，则AP等于（）A．B．C．D．解：如图，设点S为BC的中点，连接DP，DS，DS与PC交于点W，作PE⊥BC于点E，PF⊥AB于点F，∴DP＝CD＝2，PS＝CS＝1，即DS是PC的中垂线，∴△DCS≌△DPS，∴∠DPS＝∠DCB＝90°，∴DS＝＝＝，由三角形的面积公式可得PC＝，∵BC为直径，∴∠CPB＝90°，∴PB＝＝，∴PE＝FB＝＝，∴PF＝BE＝＝，∴AF＝AB﹣FB＝，∴AP＝＝故选：B．4．如图，点P是⊙O的直径BA延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，CD⊥AB，垂足为D，连接AC、BC、OC，那么下列结论中：①PC2＝PA•PB；②PC•OC＝OP•CD；③OA2＝OD•OP；④OA（CP﹣CD）＝AP•CD，正确的结论有（）个．A．1B．2C．3D．4解：①∵PC与⊙O相切于点C，∴∠PCB＝∠A，∠P＝∠P，∴△PBC∽△PCA，∴PC2＝PA•PB；②∵OC⊥PC，∴PC•OC＝OP•CD；③∵CD⊥AB，OC⊥PC，∴OC2＝OD•OP，∵OA＝OC，∴OA2＝OD•OP；④∵AP•CD＝OC•CP﹣OA•CD，OA＝OC，∴OA（CP﹣CD）＝AP•CD，所以正确的有①，②，③，④，共4个．故选：D．5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝8，点E为AC的中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，则CF长．解：作EH⊥BC于H，如图，∵∠A＝90°，AB＝AC＝8，∴BC＝AB＝16，∠C＝45°，∵点E为AC的中点，∴AE＝CE＝4，∵△CEH为等腰直角三角形，∴EH＝CH＝＝4，∴BH＝12在Rt△ABE中，BE＝＝4，在Rt△BEF中，∵EH⊥BF，∴BE2＝BH•BF，即BF＝＝，∴CF＝BC﹣BF＝16﹣＝．故答案为．6．如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，把△ABE沿直线BE翻折，得到△GBE，BG 的延长线交CD于点F．F为CD的中点，连结CG，若点E，G，C在同一条直线上，FG＝1，则CD的长为2+2，cos∠DEC的值为﹣1．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD∥BC，∠BCD＝∠A＝∠D＝90°，∴∠AEB＝∠EBC，∠BCG＝∠DEC，由折叠的性质得：BG＝BA，∠EGB＝∠A＝90°，∠GEB＝∠AEB，∴CD＝BG，∴∠EBC＝∠GEB，∴BC＝EC，∵点E，G，C在同一条直线上，∴∠CGF＝90°，∠CGB＝180°﹣∠EGB＝90°，∵F为CD的中点，∴CF＝DF，设CF＝DF＝x，则BG＝CD＝2x，∵∠CFG＝∠BFC，∴△CFG∽△BFC，∴＝，∴CF2＝FG•BF，即x2＝1×（1+2x），解得：x＝1+或x＝1﹣（舍去），∴CD＝2x＝2+2，∵∠DEC+∠ECD＝90°，∠GFC+∠ECD＝90°，∴∠DEC＝∠GFC，∴cos∠DEC＝cos∠GFC＝＝＝﹣1，故答案为：2+2，﹣1．7．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+1分别交x轴，y轴于点A，B，过点B作BC ⊥AB交x轴于点C，过点C作CD⊥BC交y轴于点D，过点D作DE⊥CD交x轴于点E，过点E作EF⊥DE交y轴于点F．已知点A恰好是线段EC的中点，那么线段EF的长是．解：因为AB的解析式为y＝kx+1，所以B点坐标为（0，1），A点坐标为（﹣，0），由于图象过一、二、三象限，故k＞0，又因为BC⊥AB，BO⊥AC，所以在Rt△ABC中，BO2＝AO•CO，代入数值为：1＝•CO，CO＝k，同理，在Rt△BCD中，CO2＝BO•DO，代入数值为：k2＝1•DO，DO＝k2又因为A恰好是线段EC的中点，所以B为FD的中点，OF＝1+1+k2，Rt△FED中，根据射影定理，EO2＝DO•OF，即（k++）2＝k2•（1+k2+1），整理得（k﹣）（k+）（k2+2）（k2+1）＝0，解得k＝．根据中位线定理，EF＝2GB＝2DC，DC＝＝，EF＝2．8．如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥CD交对角线AC于点E，连接BE，点P是线段BE上一动点，作P关于直线DE的对称点P'，点Q是AC上一动点，连接P'Q，DQ．若AE＝14，CE＝18，则DQ﹣P'Q的最大值为．解：如图，连接BD交AC于点O，过点D作DK⊥BC于点K，延长DE交AB于点R，连接EP′并延长，延长线交AB于点J，作EJ关于AC的对称线段EJ′，则点P′的对应点P″在线段EJ′上．当点P是定点时，DQ﹣QP′＝DQ﹣QP″，当D，P″，Q共线时，QD﹣QP′的值最大，最大值是线段DP″的长，当点P与B重合时，点P″与J′重合，此时DQ﹣QP′的值最大，最大值是线段DJ′的长，也就是线段BJ的长．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝OC，∵AE＝14．EC＝18，∴AC＝32，AO＝OC＝16，∴OE＝AO﹣AE＝16﹣14＝2，∵DE⊥CD，∴∠DOE＝∠EDC＝90°，∵∠DEO＝∠DEC，∴△EDO∽△ECD，∴DE2＝EO•EC＝36，∴DE＝EB＝EJ＝6，∴CD＝＝＝12，∴OD＝＝＝4，∴BD＝8，＝×OC×BD＝BC•DK，∵S△DCB∴DK＝＝，∵∠BER＝∠DCK，∴sin∠BER＝sin∠DCK＝＝＝，∴RB＝BE×＝，∵EJ＝EB，ER⊥BJ，∴JR＝BR＝，∴JB＝DJ′＝，∴DQ﹣P'Q的最大值为．解法二：DQ﹣P'Q＝BQ﹣P'Q≤BP'，显然P'的轨迹EJ，故最大值为BJ．勾股得CD，OD．△BDJ∽△BAD，BD2＝BJ*BA，可得BJ＝．故答案为：．9．在矩形ABCD中，点E为射线BC上一动点，连接AE．（1）当点E在BC边上时，将△ABE沿AE翻折，使点B恰好落在对角线BD上点F处，AE交BD于点G．①如图1，若BC＝AB，求∠AFD的度数；②如图2，当AB＝4，且EF＝EC时，求BC的长．（2）在②所得矩形ABCD中，将矩形ABCD沿AE进行翻折，点C的对应点为C'，当点E，C'，D三点共线时，求BE的长．解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠BAD＝90°，∵BC＝AB，∴AD＝AB，∴tan∠ABD＝＝，∴∠ABD＝60°，由折叠的性质得：AF＝AB，∴△ABF是等边三角形，∴∠AFB＝60°，∴∠AFD＝180°﹣∠AFB＝120°；②由折叠的性质得：BF⊥AE，EF＝EB，∵EF＝EC，∴EF＝EB＝EC，∴BC＝2BE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AD＝BC＝2BE，AD∥BC，∴△ADG∽△EBG，∴＝＝2，∴AG＝2EG，设EG＝x，则AG＝2x，∴AE＝3x，在△ABE中，BG⊥AE，∴AB2＝AG•AE（射影定理），即42＝2x•3x，解得：x＝（负值已舍去），∴AE＝3x＝2，∴BE＝＝＝2，∴BC＝2BE＝4，即BC的长为4；（2）当点E，C'，D三点共线时，如图3，由②可知，BC＝4，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°，AD＝BC＝4，CD＝AB＝4，AD∥BC，∴∠DCE＝90°，∠CED＝∠B'DA，由折叠的性质得：AB'＝AB＝4，∠B'＝∠ABC＝90°，∴∠DCE＝∠B'，DC＝AB'，∴△CDE≌△B'AD（AAS），∴DE＝AD＝4，∴CE＝＝＝4，∴BE＝BC+CE＝4+4．10．如图，已知⊙O的半径为2，AB为直径，CD为弦，AB与CD交于点M，将弧CD沿着CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP＝OA，连接PC．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）点G为弧ADB的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E，交弧BC于点F（F与B、C不重合）．问GE▪GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．解：（1）∵PA＝OA＝2，AM＝OM＝1，CM＝，又∵∠CMP＝∠OMC＝90°，∴PC＝＝2，∵OC＝2，PO＝4，∴PC2+OC2＝PO2，∴∠PCO＝90°，∴PC与⊙O相切；（2）GE•GF为定值，理由如下：如图2，连接GA、AF、GB，∵点G为弧ADB的中点，∴，∴∠BAG＝∠AFG，∵∠AGE＝∠FGA，∴△AGE∽△FGA，∴，∴GE•GF＝AG2，∵AB为直径，AB＝4，∴∠BAG＝∠ABG＝45°，∴AG＝2，∴GE•GF＝AG2＝8．11．如图1，在正方形ABCD中，点E是AB边上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F．（1）求证：△ABF≌△BCE；（2）如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：DC＝DG；（3）如图3，在（2）的条件下，过点C作CM⊥DG于点H，分别交AD，BF于点M，N，求的值．（1）证明：∵BF⊥CE，∴∠CGB＝90°，∴∠GCB+∠CBG＝90，∵四边形ABCD是正方形，∴∠CBE＝90°＝∠A，BC＝AB，∴∠FBA+∠CBG＝90，∴∠GCB＝∠FBA，∴△ABF≌△BCE（ASA）；（2）证明：如图2，过点D作DH⊥CE于H，设AB＝CD＝BC＝2a，∵点E是AB的中点，∴EA＝EB＝AB＝a，∴CE＝a，在Rt△CEB中，根据面积相等，得BG•CE＝CB•EB，∴BG＝a，∴CG＝＝a，∵∠DCE+∠BCE＝90°，∠CBF+∠BCE＝90°，∴∠DCE＝∠CBF，∵CD＝BC，∠CHD＝∠CGB＝90°，∴△CHD≌△BGC（AAS），∴CH＝BG＝a，∴GH＝CG﹣CH＝a＝CH，∵DH＝DH，∠CHD＝∠GHD＝90°，∴△DGH≌△DCH（SAS），∴CD＝GD；（3）解：如图3，过点D作DQ⊥CE于Q，S△CDG＝•DQ•CG＝CH•DG，∴CH＝＝a，在Rt△CQD中，CD＝2a，∴DH＝＝a，∵∠MDH+∠HDC＝90°，∠HCD+∠HDC＝90°，∴∠MDH＝∠HCD，∴△CHD∽△DHM，∴＝，∴HM＝a，在Rt△CHG中，CG＝a，CH＝a，∴GH＝＝a，∵∠MGH+∠CGH＝90°，∠HCG+∠CGH＝90°，∴∠CGH＝∠CNG，∴△GHN∽△CHG，∴，∴HN＝＝a，∴MN＝HM﹣HN＝a，∴＝12．在平面直角坐标系中，已知A（﹣4，0），B（1，0），且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C（0，2），过点C作圆的切线交x轴于点D．（1）求过A，B，C三点的抛物线的解析式；（2）求点D的坐标；（3）设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径；若不存在，请说明理由．解：（1）令二次函数y＝ax2+bx+c，则，∴，∴过A，B，C三点的抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2．（2）以AB为直径的圆的圆心坐标为O′（﹣，0），∴O′C＝，OO′＝；∵CD为⊙O′切线∴O′C⊥CD，∴∠O′CO+∠OCD＝90°，∠CO'O+∠O'CO＝90°，∴∠CO'O＝∠DCO，∴△O'CO∽△CDO，∴＝，即＝，∴OD＝，∴D坐标为（，0）．（3）存在，抛物线对称轴为x＝﹣，设满足条件的圆的半径为r，则E的坐标为（﹣+r，|r|）或F（﹣﹣r，|r|），而E点在抛物线y＝﹣x2﹣x+2上，∴|r|＝﹣（﹣+r）2﹣（﹣+r）+2；∴r1＝﹣1+，r2＝﹣1﹣（舍去），r3＝1+，r4＝1﹣（舍去）；故以EF为直径的圆，恰好与x轴相切，该圆的半径为或1+．。
初三数学射影定理和四边形类相似问题
射影定理和四边形类相似问题中考要求中考要求1．相似定义，性质，判定，应用和位似 2．相似的判定和证明 3．相似比的转化课前预习梅涅劳斯定理梅涅劳斯（Menelaus ，公元98年左右），是希腊数学家兼天文学家．梅涅劳斯定理是因他的发现者而命名的平面几何中的一个重要定理．梅涅劳斯定理：X 、Y 、Z 分别是△ABC 三边所在直线BC 、CA 、AB 上的点．则X 、Y 、Z 共线的充分必要条件是：1CX BZ AYXB ZA YC⋅⋅=． 根据命题的条件可以画出如图所示的两个图形：或X 、Y 、Z 三点中只有一点在三角形边的延长线上，而其它两点在三角形的边上；或X 、Y 、Z 三点分别都在三角形三边的延长线上．Z Yc ab XCBA c ab YZXACB证明：（1）必要性，即若X 、Y 、Z 三点共线，则1CX BZ AYXB ZA YC⋅⋅=． 设A 、B 、C 到直线XYZ 的距离分别为a 、b 、c ．则CX c XB b =，BZ b ZA a =、AY a YC c =，三式相乘即得1CX BZ AY c b aXB ZA YC b a c ⋅⋅=⋅⋅= （2）充分性，即若1CX BZ AYXB ZA YC⋅⋅=，则X 、Y 、Z 三点共线． 设直线XZ 交AC 于Y '，由已证必要性得：1CX BZ AY XB ZA Y C'⋅⋅='又因为1CX BZ AY XB ZA YC ⋅⋅=，所以AY AYY C YC'='． 因为Y '和Y 或同在AC 线段上，或同在AC 边的延长线上，并且能分得比值相等，所以Y '和Y 比重合为一点，也就是X 、Y 、Z 三点共线．梅涅劳斯定理的应用，一是求共线线段的笔，即在CX XB 、BZ ZA 、AYYC三个比中，已知其中两个可以求得第三个．二是证明三点共线．塞瓦定理连结三角形一个顶点和对边上一点的线段叫做这个三角形的一条塞瓦线．塞瓦（G ·Gevo1647-1734）是意大利数学家兼水利工程师．他在1678年发表了一个著名的定理，后世以他的名字来命名，叫做塞瓦定理．塞瓦定理：从ABC △的每个顶点出发作一条塞瓦线AX BY CZ ，，．则AX BY CZ ，，共点的充分必要条件是1BX CY AZXC YA ZB⋅⋅=． PC 'B 'ZYXCBA充分性命题：设ABC △的三条塞瓦线AX BY CZ ，，共点，则必有1BX CY AZXC YA ZB⋅⋅=．必要性命题：设ABC △中，AX BY CZ ，，是三条塞瓦线，如果1BX CY AZXC YA ZB⋅⋅=，则AX BY CZ ，，三线共点．我们先证明充分性命题．如图，设AX BY CZ ，，相交于P 点，过A 作BC 边的平行线，分别交BY CZ ，的延长线于B C ''，．由平行截割定理，得BX AB CY BC AZ AC XC AC YA AB ZB BC ''===''，，．上面三式两边分别相乘得：1BX CY AZXC YA ZB⋅⋅=我们再证明必要性命题．Z 'ZYX PCB A假设AX 与BY 这两条塞瓦线相交于P 点，连CP 交AB 于Z '．则CZ '也是一条过P 点的ABC △的塞瓦线．根据已证充分性命题，可得1BX CY AZ XC YA Z B '⋅⋅='，由因为1BX CY AZ XC YA ZB ⋅⋅=，进而可得AZ AZZ B ZB'='．所以AZ AZAB AB'=，因此AZ AZ '=．所以Z '与Z 重合，从而CZ '和CZ 重合，于是得出AX BY CZ ，，共点． 塞瓦定理在平面几何证题中有着举足轻重的作用．第一方面，利用塞瓦定理的必要性可证明三线共点问题．第二方面，当一个三角形有三条塞瓦线共点时，依据塞瓦定理的充分性命题，就可以得出六条线段比例乘积等于1的关系式．利用这个关系式可以证明线段之间的比例式或乘积式．例题精讲一、梅涅劳斯定理【例1】 已知△ABC 中，D 是BC 的重点，经过D 的直线交AB 与E ，交CA 的延长线于F ．求证：FA EAFC EB=． EFBDCA【难度】4星 【解析】略【答案】直线解△ABC 三边于D 、E 、F 三点，应用梅氏定理，由必要性知1CD BE AFDB EA FC⋅⋅=，又因为BD BC =，所以1BE AF EA FC ⋅=，即FA EAFC EB=．【巩固】如图所示，△ABC 中，∠ABC =90°，AC BC =．AM 为BC 边上的中线，CD AM ⊥于D ，CD的延长线交AB 于E ．求AEEB． DEBMCA【难度】4星【解析】略【答案】由题设，在Rt △AMC 中，CD AM ⊥，2AC CM =，由射影定理224AD AD AM AC DM DM AM CM ⋅===⋅．对△ABM 和截线EDC ，由梅涅劳斯定理，1AE BC MD EB CM DA ⋅⋅=，即21114AE EB ⋅⋅=．所以2AE EB=．【巩固】在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上分别取点D 、E 、F ．使12BD CE AF DC EA FB ===．若BE 与CF ，CF 与AD ，AD 与BE 的交点分别为1A 、1B 、1C求证：11117A B C ABCS S =△△． A 1C 1B 1FE CDBA【难度】5星 【解析】略【答案】111DB AF BC FB CD B A ⋅⋅=，即1113122DBB A ⋅⋅=，所以1134AB B D =． 因此137AB AD =，所以137AB C ADC S S =△△． 又因为23ADC ABC S DC S BC ==△△，所以11326273217AB C AB C ADC ABC ADC ABC S S S S S S ===⋅==△△△△△△． 同理127BC A ABC S S =△△，127CA B ABC S S =△△． 进而可得11117A B C ABCS S =△△．【例2】 如图所示，△ABC 的三条外角平分线BE 、AD 、CF ，与对边所在直线交于E 、D 、F 三点，求证：D 、E 、F 三点共线．FEDCBA【难度】5星 【解析】略【答案】由外角平分线性质定理可得：BD AB CE BC AF ACBC AC EA AB FB BC===，，．所以1BD CE AF AB BC ACBC EA FB AC AB BC⋅⋅=⋅⋅=．由梅涅劳斯定理的逆定理可得D 、E 、F 三点共线．【例3】 如图所示，设D 、E 分别在△ABC 的边AC 、AB 上，BD 与CE 交于F ，AE EB =，23AD DC =．40ABC S =△．求AEFD S ． FDEC BA【难度】5星【解析】略【答案】对△ECA 和截线BFD ，由梅氏定理得：1EF CD AB FC DA BE ⋅⋅=，即32121EF FC ⋅⋅=，所以13EF FC =．所以1148BFE BEC ABC S S S ==△△△，进而211140115840AEFD ABD BEF ABC S S S S ⎛⎫=-=-=⋅= ⎪⎝⎭△△△．【例4】 如图所示，△ABC 内三个三角形面积分别为5，8，10．四边形AEFD 的面积为x ，求x 的值．x 1085F DE CBA【难度】5星 【解析】略【答案】对△ECA 和截线BFD ，由梅氏定理得：1CD AB EF DA BE FC ⋅⋅=，即1823115152x x +⋅⋅=+，解得22x =．【巩固】如图所示，△ABC 被通过它的三个顶点与一个内点O 的三条直线分为6个小三角形，其中三个小三角形的面积如图所示，求△ABC 的面积．354030O F ECDBA【难度】5星 【解析】略【答案】对△ABD 和截线COF ，由梅氏定理得：1AF BC DO FB CD OA ⋅⋅=，即41132BC CD ⋅⋅=，所以32BC CD =，所以3BCBD=．所以33105315ABC ABD S S ==⨯=△△．二、塞瓦定理【例5】 设AX BY CZ ，，是ABC △的三条中线，求证：AX BY CZ ，，共点．ZYXCBA【难度】4星 【解析】略【答案】证明：由条件知，BX XC YC YA ZA ZB ===，，．∴1BX CY AZXC YA ZB⋅⋅=，根据塞瓦定理必要性可得三条中线AX BY CZ ，，共点．这个点称为这个三角形的重心．【巩固】若AX BY CZ ，，分别为ABC △的三条内角平分线．求证：AX BY CZ ，，共点．ZYXCBA【难度】4星 【解析】略【答案】证明：由三角形内角平分线定理得：BX AB CY BC AZ ACXC AC YA BA ZB BC===，，． 三式分别相乘，得：1BX CY AZ AB BC ACXC YA ZB AC AB BC⋅⋅=⋅⋅=． 根据塞瓦定理必要性可得三角形三内角平分线AX BY CZ ，，共点，这个点称为这个三角形的内心．【例6】 如图，设M 为ABC △内一点，BM 与AC 交于点E ，CM 与AM 交于F ，若AM 通过BC 的中点D ，求证：EF BC ∥．FDEMBA【难度】4星 【解析】略【答案】证明：对ABC △和点M 应用塞瓦定理可得：1AF BD CEFB DC EA⋅⋅=．又因为BD DC =，所以1AF CE FB EA ⋅=．进而AF AEFB EC=，所以EF BC ∥【巩固】锐角三角形ABC △中，AD 是BC 边上的高线，H 是线段AD 内任一点，BH 和CH 的延长线分别交AC 、AB 于E 、F ，求证：EDH FDH ∠=∠．HABCD FE【难度】4星 【解析】略【答案】证明：过点A 作PQ BC ∥，与DF DE ，的延长线分别交于点P Q ，．则DA PQ ⊥．由塞瓦定理的充分性，得1AF BD CEFB DC EA⋅⋅=．又因为PQ BC ∥，所以AF AP CE CD FB BD EA AQ ==，，所以1AP BD CDBD CD AQ⋅⋅=．进而AP AQ =．所以PD QD =，即PQD △是等腰三角形，所以EDA FDA ∠=∠． P QEFD CBAH【拓展】如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分BAD ∠，在CD 上取一点E ，BE 与AC 相交于F ，延长DF 交BC 于G ． 求证：GAC EAC ∠=∠．F GEDCBA【难度】4星 【解析】略【答案】证明：延长AG ，过C 作AB 的平行线，交AG 的延长线于点I ，延长AE ，过C 作AD 的平行线，交AE 的延长线于点J ．连接BD ，交AC 于点H ． 在BCD △中，由塞瓦定理的充分性可得：1BG CE DHGC ED HB⋅⋅=①． 又因为BAC CAC ∠=∠，由角平分线性质定理得DH ADHB AB=②． 又因为AB CI ∥，所以BG AB GC CI =③，同理由AD CJ ∥可得CE CJED AD =④． 将②③④代入①中可得：1AB CJ ADCI AD AB⋅⋅=．所以CI CJ =． 在ACI △和ACJ △中，180ACI BAC ∠=-∠°，180ACJ DAC ∠=-∠°．所以ACI ACJ ∠=∠． 又因为AC AC CI CJ ==，，所以ACI ACJ △≌△，所以GAC EAC ∠=∠．JIH F GEDCBA二、其他类型【例7】 如图所示，ABCDEF 是一个凸六边形，P 、Q 、R 分别是直线BA 与EF 、FE 与CD 、DC 与AB的交点，S 、T 、U 分别是BC 与ED 、DE 与AF 、FA 与CB 的交点，如果AB PR CD =∶∶RQ EF QP =∶，求证：BC US DE ST FA TU ==∶∶∶．TSURQPFEDCBA【难度】5星 【解析】略【答案】本题的条件和结论都是三个线段之比的连等式，且AB 、CD 、EF 构成一个与PQR ∆相似的三角形的三边，因而可以考虑通过平移变换将AB 、CD 、EF 集中到一起构成一个与PQR ∆相似的三角形．如图所示，将CD 平移至OE 位置，则OE CD ∥，且OE CD =，TSURQPOFEDCBA所以FEO Q ∠=∠，且EO QR CD QR EF QP ==∶∶∶， 因此FEO PQR ∆∆∽，从而OFE P ∠=∠，且FO PR EF QP AB PR ==∶∶∶． 这说明FO AB ∥，且FO AB =， 进而FA OB ∥，且FA OB =． 又因为CO DE ∥， 于是COB STU ∆∆∽，所以BC US CO ST OB TU ==∶∶∶， 注意到CO DE =，OB FA =， 故BC US DE ST FA TU ==∶∶∶．【例8】 设P 、Q 分别是凸四边形ABCD 的边BC 、AD 上的点，且AQ QD BP PC AB CD ==∶∶∶，求证：直线PQ 与AB 之间的夹角等于直线PQ 与CD 之间的夹角．QPEFDCBAC'QP REFDCBA【难度】5星【解析】法1：要求证夹角相等，而题目中的线段太分散，我们尝试将线段进行集中．如图所示，将CD 平移至'C A 的位置，则'AC DC ∥，且'AC DC =．过点P 作'CC 的平行线交'BC 于点R ，则''BR RC BP PC AB CD AB AC ===∶∶∶∶， 因而由三角形的角平分线的判定定理可知AR 平分'BAC ∠．另一方面，由'RP CC ∥及BP PC AQ QD =∶∶可知'RP CC BP BC AQ AD ==∶∶∶， 而'CC AD ∥，且'CC AD =，故RP AQ ∥，且RP AQ =，于是AR FP ∥． 而'AC DC ∥，注意到AR 平分'BAC ∠，即得'BEP BAR RAC PFC ∠=∠=∠=∠． 这就是说，直线PQ 与AB 之间的夹角等于直线PQ 与CD 之间的夹角． 法2连接BD ，过点P 作PR CD ∥，交BD 于点R ．连接RQ ，由AQ BP BRQD PC RQ==可知QR AB ∥． RQP FED C BA注意到BEP RQP ∠=∠，RPQ PFC ∠=∠， 只要再证明RQP RPQ ∠=∠、即RP RQ =即可． 注意到BP BR RP BC BD CD == ①，DQ DR RQDA DB AB==②， ①÷②可得AB RP BRCD RQ DR⋅=， 而BR AQ AB RD QD CD ==，故1RPRQ=．【例9】 已知：ABC ∆的高AD 所在直线与高BE 所在直线相交于点F ．（1）如图l ，若ABC ∆为锐角三角形，且45ABC ∠=︒，过点F 作FG BC ∥，交直线AB 于点G ，求证：FG DC AD +=；（2）如图 2，若135ABC ∠=︒，过点F 作FG BC ∥，交直线AB 于点G ，则FG DC AD 、、之间满足的数量关系是 ；（3）在（2）的条件下，若AG =，3DC =，将一个45︒角的顶点与点B 重合并绕点B 旋转，这个角的两边分别交线段FG 于M N ，两点（如图3），连接CF ，线段CF 分别与线段BM 、线段BN 相交于P Q ，两点，若32NG =，求线段PQ 的长． 图1GF E D CBA图2GFEDCBA图3NQ PABCD E FG M【难度】5星 【解析】略 【答案】(1)证明：∵9045ADB ABC ∠=︒∠=︒，∴45BAD ABC ∠=∠=︒，∴AD BD = ∵90BEC ∠=︒，∴90CBE C ∠+∠=︒ ∵90DAC C ∠+∠=︒，∴CBE DAC ∠=∠ ∵90FDB CDA ∠=∠=︒，∴FDB CDA ∆≅∆ ∴DF DC = ∵GF BD ∥∴45AGF ABC ∠=∠=︒，∴AGF BAD ∠=∠ ∴FA FG =，∴FG DC FA DF AD +=+= (2)FG DC AD -= (3)如图，∵135ABC ∠=︒，∴45ABD ∠=︒∵90ADB ∠=︒，∴45DAB DBA ∠=∠=︒，∴AD BD = ∵FG BC ∥，∴G DBA DAB ∠=∠=∠，∴AF FG =∵222AG FG AF AG =+= ∴5FG AF ==∵3CD =，由（2）知FG DC AD -=，∴2AD BD == ∴13BC DF ==，，∴FDC ∆为等腰直角三角形∴GC ==分别过B ，N 作BH FG ⊥于点H NK BG ⊥于点K ∴四边形DFHB 为矩形 ∴23HF BD BH DF ====， ∴3BH HG ==，∴BG =∵sin NKG NG∠=∴4NK =∴4BK =∵45MBN HBG ∠=∠=︒ ∴MBH NBK ∠=∠ ∵90MHB NKB ∠=∠=︒ ∴MBH NBK ∆∆∽ ∴MH BHNK BK=∴1MH = ∴1FM = ∵BC FG ∥ ∴BCF CFN ∠=∠∵BPC MPF CB FM ∠=∠=， ∴BPC MPF ∆∆≌∴122PC PF FC ===K HM GFEDCBAPQ N∵BQC NQF ∠=∠ ∴BCQ NFQ ∆∆∽ ∴BC CQ NF FQ =，∴27CQ FQ =∴22993CQ FC ==⨯=∴PQ CP CQ =-=课堂检测1. P 是平行四边形ABCD 内任意一点，过P 作AD 的平行线，分别交AB 于E ，交CD 于F ；又过P 作AB的平行线，分别交AD 于G ，交BC 于H ，又CE ，AH 相交于Q ．求证：D P Q ，，三点共线．KQP H GFED CB A【难度】5星 【解析】略【答案】对△GAH 和截线DPQ ，由梅涅劳斯定理的逆定理得：1AQ HP GD AE EB CH EB CH CB CHQH PG DA KH AE CB KH CB CH CB⋅⋅=⋅⋅=⋅=⋅=，故D P Q ，，三点共线．2. 如图，四边形ABCD 的对边AB 和CD ，AD 和BC 分别相交于L K ，，对角线AC 与BD 交于M ．直线KL 与BD ，AC 分别交于F G ，． 求证：KF KGLF LG=． FGKMDCBA【难度】4星 【解析】略【答案】证明：对DKL △与点B 应用塞瓦定理得：1DA KF LCAK FL CD⋅⋅=．对三角形DKL 和截线ACG 应用梅涅劳斯定理可得：1DA KG LC AK GL CD ⋅⋅=．进而可得KF KGLF LG=．课后作业1. ABC △中，D E ，分别是BC ，CA 上的点，且::1::1BD DC m CE EA n ==，．AD 与BE 交于F ，问ABF △的面积与ABC △面积的比值是多少？GDEFBA【难度】4星【解析】对ADC △和截线EFB 应用梅涅劳斯定理可得：1AE CB DF EC BD FA ⋅⋅=，111m DFn m FA+⋅⋅=．所以1DF mnFA m =+，进而11DF FA mn m ADFA m FA+++==+．所以1111ABF ABF ABD ABC ABD ABC S S S FA BD m m mS S S AD BC mn m m mn m +=⋅=⋅=⋅=+++++△△△△△△． 【答案】1mmn m ++2. 若AX BY CZ ，，分别为锐角ABC △的三角高线，求证：AX BY CZ ，，共点．ZYX CBA【难度】4星 【解析】略【答案】证明：由ABX CZB △∽△得：BX AB BZ BC =；由BYA CZA △∽△得：AZ ACAY AB=；由AXC BYC △∽△可得：YC BC CX AC =．所以1BX AZ YC AB AC BCBZ AY CX BC AB AC⋅⋅=⋅⋅=．根据塞瓦定理的必要性可得三条高线AX BY CZ ，，共点．对直角三角形、钝角三角形，同样也可以证得三条高线共点．我们把一个三角形三条高线的交点，叫做这个三角形的垂心．。
2024年初中九年级数学下册同步精品讲义(人教版)第7课 相似多边形及位似(学生版)
第7课相似多边形及位似目标导航课程标准1、掌握相似多边形的性质及应用；2、了解图形的位似，知道位似变换是特殊的相似变换，能利用位似的方法，将一个图形放大或缩小；3、了解黄金分割值及相关运算.知识精讲知识点01 相似多边形相似多边形的性质：（1）相似多边形的，对应边的．（2）相似多边形的周长比等于．（3）相似多边形的面积比等于．要点诠释：用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况：（1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形；（2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形；（3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形.知识点02 位似1.位似图形定义:如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做．2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点和位似中心在；（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比；（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段.要点诠释：（1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.3.平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的．4.作位似图形的步骤第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；第二步：作位似中心与各关键点连线；第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；第四步：顺次连接各对应点.要点诠释：位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.知识点02 黄金分割位似和黄金分割定义：如图，将一条线段AB 分割成大小两条线段AP 、PB ，若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即AB AP AP PB =（此时线段AP 叫作线段PB 、AB 的比例中项），则P 点就是线段AB 的黄金分割点（黄金点），这种分割就叫 ．要点诠释：1.黄金分割值：设AB=1，AP=x ，则BP=x -1∵ABAP AP PB = ∴11x x x =- ∴x x -=12∴618.0215≈-=x (舍负) 2.黄金三角形：顶角为36°的等腰三角形，它的底角为72°，恰好是顶角的2倍，人们称这种三角形为黄金三角形．黄金三角形性质： ．考法01 相似多边形【典例1】如图，矩形草坪长20m ，宽16m,沿草坪四周有2m 宽的环形小路，小路内外边缘所形成的两个矩形相似吗？为什么？【即学即练1】如图，一张矩形纸片ABCD 的长AB=a ，宽BC=b ．将纸片对折，折痕为EF ，所得矩形AFED 与矩形ABCD 相似，则a ：b=（ ） 能力拓展A B C D E F GHA. 2： 1B. ：1C. 3：D. 3：2【典例2】如图，在长8cm ，宽4cm 的矩形中截去一个矩形，使留下的矩形（阴影部分）与原矩形相似，那么留下的矩形的面积为（ ）．A. 2cm 2B. 4cm 2C. 8cm 2D. 16cm 2考法02 位似【典例3】利用位似图形的方法把五边形ABCDE 放大1.5倍.【典例4】如图，矩形OABC 的顶点坐标分别为O （0，0），A （6，0），B （6，4），C （0，4）.画出以点O 为位似中心，矩形OABC 的位似图形OA ′ B ′ C ′ ，使它的面积等于矩形OABC 面积的41，并分别写出A ′、B ′、C ′三点的坐标.A B C D E【即学即练2】在已知三角形内求作内接正方形．考法02 黄金分割【典例5】求做黄金矩形（写出具体做题步骤）并证明.【即学即练3】美是一种感觉，当人的肚脐是人的身高的黄金分割点时，人的下半身长与身高之比约为0.618，人的身段成为黄金比例，给人一种美感．某女士身高165cm，下半身长与身高的比值是0.60，为尽可能达到匀称的效果，她应穿高跟鞋的高度大约为（）A.4cmB.5cmC.6cmD.8cm分层提分题组A 基础过关练1.下面给出了相似的一些命题：（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相似；（5）正六边形都相似；其中正确的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2.下列说法错误的是（）.A.位似图形一定是相似图形.B.相似图形不一定是位似图形.C.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.D.位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行.3.下列说法正确的是（）A.分别在ABC的边AB、AC的反向延长线上取点D、E，使DE∥BC，则ADE是ABC放大后的图形.B.两位似图形的面积之比等于相似比.C.位似多边形中对应对角线之比等于相似比.D.位似图形的周长之比等于相似比的平方.4.平面直角坐标系中，有一条“鱼，它有六个顶点”，则（）A.将各点横坐标乘以2，纵坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似.B.将各点纵坐标乘以2，横坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似.C.将各点横、纵坐标都乘以2，得到的鱼与原来的鱼位似.D.将各点横坐标乘以2，纵坐标乘以，得到的鱼与原来的鱼位似.5.如图，四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，AB=12，CD=15，A1B1=9，则边C1D1的长是（）A. 10B. 12C.D.6．如果点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列各式不正确的是（）A. AB：AC=AC：BCB. AC=512AB-C.AB=512AC+D.BC≈0.618AB7.已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（）A. 512-B.512+C.3D.2题组B 能力提升练8. 如果两个位似图形的对应线段长分别为3cm和5cm，且较小图形周长为30cm，则较大图形周长为___ ___.9.已知ABC，以点A为位似中心，作出ADE，使ADE是ABC放大2倍的图形，则这样的图形可以作出______个，它们之间的关系是__________.'''''，已知OA=10cm，OA′=20cm，10．如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A B C D E'''''的周长的比值是__________．则五边形ABCDE的周长与五边形A B C D E11. △ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，△ADE是△ABC缩小后的图形.若DE把△ABC的面积分成相等的两部分，则AD：AB=________.12.图中的两个四边形相似，则x+y= ，α= ．13.如图（1），将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1，取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图（2）中阴影部分，取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图（3）中阴影部分，如此下去…，则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积为__________________.14. 如图，△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=36°，∠ABC的平分线与AC边的交点D为边AC的黄金分割点（AD＞DC），则BC=______________.题组C 培优拔尖练15.如图，D、E分别AB、AC上的点.(1)如果DE∥BC，那么△ADE和△ABC是位似图形吗？为什么？(2)如果△ADE和△ABC是位似图形，那么DE∥BC吗？为什么？16.如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD．（1）求证：EB=GD；（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=，求GD的长．17. 如图1，矩形ODEF的一边落在矩形ABCO的一边上，并且矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，矩形ABCO的边AB=4，BC=43．（1）求矩形ODEF的面积；（2）将图1中的矩形ODEF绕点O逆时针旋转一周，连接EC、EA，△ACE的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由．。
著名机构初中数学培优讲义.三角形和多边形.第06讲(C级).教师版
内容基本要求略高要求较高要求 三角形了解三角形的有关概念；了解三角形的稳定性；会正确对三角形进行分类：理解三角形的内角和、外角和及三边关系；会画三角形的主要线段；了解三角形的内心、外心、重心会用尺规法作给定条件的三角形；会运用三角形内角和定理及推论；会按要求解三角形的边、角的计算问题；能根据实际问题合理使用三角形的内心、外心的知识解决问题；会证明三角形的中位线定理，并会应用三角形中位线性质解决有关问题多边形了解多边形与正多边形的概念；了解多边形的内角和及外角和公式；知道用任意一个三角形、四边形或正六边形可以进行镶嵌；了解四边形的不稳定性；了解特殊四边形之间的关系会用多边形的内角和和外角和公式解决计算问题；能用正三角形、正方形、正六边形进行镶嵌设计；依据图形条件分解与拼接简单图形．三角形１ 三角形的基本概念：⑴三角形的定义：由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做三角形．三角形具有稳定性．⑵三角形的内角：三角形的每两条边所组成的角叫做三角形的内角．在同一个三角形内，大边对大角．⑶三角形的外角：三角形的任意一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角． ⑷三角形的分类：例题精讲中考要求三角形及多边形()()():⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形:三角形中有一个角是直角三角形按角分锐角三角形:三角形中三个角都是锐角斜三角形钝角三角形:三角形中有一个角是钝角不等边三角形:三边都不相等的三角形三角形按边分底边和腰不相等的等腰三角形:有两条边相等的三角形等腰三角形等边三角形正三角形有三边相等的三角形注意：每个三角形至少有两个锐角，而至多有一个钝角．三角形的三个内角中，最大的一个内角是锐角(直角或钝角)时，该三角形即为锐角三角形(直角三角形或钝角三角形)．２ 与三角形相关的边 ⑴三角形中的三种重要线段①三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．注：每个三角形都有三条角平分线且相交于一点，这个点叫做三角形的内心，而且它一定在三角形内部． ②三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．注：每个三角形都有三条中线，且相交于一点，这个点叫做三角形的中心，而且它一定在三角形内部． ③三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线． 注：每个三角形都有三条高且三条高所在的直线相交于一点，这个点叫做三角形的垂心． 锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上，这两条高落在三角形的外部， 直角三角形有两条高分别与两条直角边重合．反之也成立．画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连接顶点与垂足的线段就是该边的高． ⑵三角形三条边的关系①三角形三边关系：三角形任何两边的和大于第三边．②三角形三边关系定理的推论：三角形任何两边之差小于第三边．即a 、b 、c 三条线段可组成三角形⇔bc a b c -<<+⇔两条较小的线段之和大于最大的线段．注意：在应用三边关系定理及推论时，可以简化为：当三条线段中最长的线段小于另两条线段之和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成三角形．三角形的边【例1】 如图，已知△ABC ．（1）请你在BC 边上分别取两点D ，E （BC 的中点除外），连接AD ，AE ，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；（2）请你根据使（1）成立的相应条件，证明AB+AC ＞AD+AE ．【解析】（1）由于都是以BC 所在边为底，因此边上的高都相等．要两个三角形的面积相等，只需在BC上找出两条相等线段即可；（2）可通过构建全等三角形来求解．分别过点D 、B 作CA 、EA 的平行线，两线相交于F 点，DF 于AB 交于G 点．那么我们不难得出△AEC ≌△FBD ，此时AC=DF ，AE=BF ，那么只需在三角形BFG 和ADG 中找出它们的关系即可．【答案】（1）如图1，相应的条件就应该是BD=CE≠DE ，这样，三角形ABD 和AEC 的面积相等，由于BD=CE ，因此BE=CD ，那么三角形ADC 和三角形ABE 的面积就相等．图1EDCBA（2）证明：如图2，分别过点D 、B 作CA 、EA 的平行线，两线相交于F 点，DF 于AB 交于G 点．图2GFDCBA∴∠ACE=∠FDB ，∠AEC=∠FBD 在△AEC 和△FBD 中，又CE=BD ， ∴△AEC ≌△FBD ， ∴AC=FD ，AE=FB ， 在△AGD 中，AG+DG ＞AD ， 在△BFG 中，BG+FG ＞FB ，∴AG+DG ﹣AD ＞0，BG+FG ﹣FB ＞0， ∴AG+DG+BG+FG ﹣AD ﹣FB ＞0， 即AB+FD ＞AD+FB ∴AB+AC ＞AD+AE ．【例2】 如图，四边形ABCD 中，3AB =，4BC =，9CD =，AD a =，则a 的取值范围a934A BCD【解析】连接BD ，在BCD ∆中，9494BD -<<+，513BD <<，在ABD ∆中，BD AB AD AB BD -<<+，216AD <<．【答案】216a <<【巩固】在不等边三角形中，如果有一条边长等于另两条边长的平均值，那么最大边上的高与最小边上的高的比值的取值范围是( )A ．314k <<B ． 113k <<C ． 12k <<D ． 112k <<【解析】题目可以转化为，已知02a b c a c b a b c >>>⎧⎪+⎪=⎨⎪-<⎪⎩，求c a 的范围．由已知条件易得3c a c <<，即113ca<<，选B ．【答案】B【例3】 不等边三角形ABC 的两条高长度为4和12，若第三条高的长也是整数，试求它的长．【解析】设第三边c 边上高为h ，三角形面积为S ，高为4，12的两边为a ，b ，则有111412222a b c h S ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=，∴24S a =，212S b =，2S c h=．据三角形三边关系定理及推论，得22222412412S S S S S h -<<+，∴11163h <<． Q h 为整数，所以4h =或5．又Q 三角形为不等边三角形，∴5h =． 【答案】5【巩固】 已知三角形三边长分别为2，1x +，3，则x 的取值范围是( )A ．34x <<B ．0x <<4C ．26x <<D ．34x ≤< 【解析】略【答案】B ．【例4】 已知三角形中两条边的长分别为a 、b ，且a b >，求这个三角形的周长l 的取值范围( )A ．33a l b >>B ．2()2a b l a +>>C ．22a b l b a +>>+D ．32a b l a b ->>+ 【解析】∵a b c a b -<<+，∴22()a a b c a b <++<+，故选择B ． 【答案】B【巩固】已知三角形三边的长均为整数，其中某两条边长之差为5，若此三角形周长为奇数，则第三边长的最小值为( )．A ．8B ．7C ．6D ．4 【解析】设5a b -=，由已知可得a b c ++为奇数，所以c 为偶数，且c a b >-，所以c 的最小值为6． 【答案】6【巩固】已知三角形的三边长a 、b 、c 都是整数，且a b c <<，如果7b =，求满足题意的三角形的个数． 【解析】上面都是已知三角形的周长，从三角形的最大的边出发用枚举法．而本题提供了另一思路：b 知道了，a 的范围就确定了，对a 采用枚举法就可以把问题算出来，现在对a 从1到6枚举满足不等式77c a <<+的整数c 的个数为1234515++++=．【答案】15【例5】 已知三角形三边的长a 、b 、c 都是整数，且a b c <≤，若7b =，则有 个满足题意的三角形． 【解析】略【答案】21．【巩固】 已知三角形三边的长a 、b 、c 都是整数，若a b c ≤≤，若7b =，则有 个满足题意的三角形． 【解析】略【答案】28．【例6】 周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？【解析】设三角形的三边长为a 、b 、c ，且a b c <<，则有30a b c a b c b a ++=⎧⎨+>>-⎩故230c a b c <++=，15c <；又330c a b c >++=，10c >，即1015c << 当14c =时，有5组解：13b =，3a =；12b =，4a =；11b =，5a =；10b =，6a =；9b =，7a =； 当13c =时，有4组解：12b =，5a =；11b =，6a =；10b =，7a =；9b =，8a =； 当12c =时，有2组解：11b =，7a =；10b =，8a =； 当11c =时，有1组解：10b =，9a =；故周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有12个．【答案】12【巩固】一个三角形的三条边的长分别是a ，b ，c (a ，b ，c 都是质数)，且16a b c ++=，则这个三角形是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．直角三角形或等腰三角形 【解析】因为a ，b ，c 均为质数且16a b c ++=，所以a ，b ，c 中有一数为2，设2a =，则14b c +=，所以||2b c -<．从而有||0b c -=或||1b c -=．当||1b c -=时， b ，c 均不是整数，不合题意．因此，只有||0b c -=即2a =，7b c ==，所以三角形是等腰三角形．【答案】等腰三角形【巩固】 将长为15dm 的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则不同的截法有多少种．【解析】设木棒截成a ，b ，c 三段，满足a b c ≤≤，则57.5c <≤，对c 采用枚举法，7种不同的截法为(7,7,1)，(7,6,2)，(7,5,3)，(7,4,4)，(6,6,3)，(6,5,4)，(5,5,5)．【答案】7种【例7】 设ABC ∆的三边a 、b 、c 的长度均为自然数，且a b c ≤≤，13a b c ++=，则以a 、b 、c 为三边的三角形共有 个．【解析】由13a b c ++=，可知13a b c +=-，又a b c +>，所以13c c ->，即132c <，又a b c +>，所以13c c ->，即132c <，从而c 可取5、6又由a b c ≤≤，可知a 、b 、c 可取：3、5、5；4、4、5；1、6、6；2、5、6；3、4、6，共可组成5个三角形． 【答案】5个【巩固】 若三角形三边长a 、b 、c 是三个连续的自然数，三角形的周长小于19，这样三角形有 个． 【解析】设三边长为a 、1a +、2a +，因为(1)2a a a ++>+，所以1a >；又(1)(2)19a a a ++++<，163a <，所以a 可以取2、3、4、5，共4个这样的三角形．【答案】4【例8】 将长度为2n (n 为自然数且4n ≥)的一根铅丝折成各边长均为整数的三角形，记(,,)a b c 为三边的长分别为a ，b ，c 且满足a b c ≤≤的一个三角形．（1）就4n =、5、6的情况，分别写出所有满足题意的(,,)a b c ；（2）有人根据⑴中的结论，便猜想：当铅丝的长度为2n (n 为自然数且4n ≥)时，对应的(,,)a b c 的个数一定是3n -．事实上，这是一个不正确的猜想；请写出12n =时的所有(,,)a b c ，并回答(,,)a b c 的个数；（3）试将12n =时所有满足题意的(,,)a b c ，按照至少两种不同的标准进行分类． 【解析】略【答案】（1）当4n =时，铅丝长度为8．则满足题意的(,,)a b c 只有一组：(2,3,3)；当5n =时，铅丝长度为10．则满足题意的(,,)a b c 有两组：(2,4,4)，(3,3,4)；当6n =时，铅丝长度为12．则满足题意的(,,)a b c 有三组：(2,5,5)，(3,4,5)，(4,4,4)．（2）当12n =时，铅丝长度为24．由题意24a b c ++=，且a b ca b c+>⎧⎨⎩≤≤，由此得811c ≤≤，即8c =，9，10，11．故满足题意的(,,)a b c 共有12组：(2,11,11)A ；(3,10,11)B ；(4,9,11)C ；(5,8,11)D ；(6,7,11)E ；(4,10,10)F ；(5,9,10)G ；(6,8,10)H ；(7,7,10)I ；(6,9,9)J ；(7,8,9)K ；(8,8,8)L ．（3）不同的分类标准，决定不同的分类．现举例如下：① 按最大的边c 的值分类，共有四类： ⒈11c =，有A 、B 、C 、D 、E 五个； ⒉10c =，有F 、G 、H 、I 四个； ⒊9c =，有J 、K 两个； ⒋8c =，只有L 一个． ② 根据”有几条边相等”分类：⒈等边三角形：只有L 一个；⒉等腰但不等边三角形：有A 、F 、I 、J 四个； ⒊不等边三角形：B 、C 、D 、E 、G 、H 、K 七个． ③ 根据最大角分类：⒈锐角三角形：有A 、F 、G 、J 、K 、L 六个； ⒉直角三角形：只有H 一个；⒊钝角三角形：有B 、C 、D 、E 、I 五个．【例9】 (祖冲之杯数学邀请赛试题)如图所示，在ABC ∆中，AD BC ⊥，D 在BC 上，ABC ∠>ACB ∠，P是AD 上的任意一点，求证AC BP AB PC +<+．A B C DPAB'B C D P【解析】略【答案】作点B 关于AD 的对称点'B ，则点'B 落在线段CD 上．连接AB ′交PC 于点E ，连接'PB ．由轴对称图形的性质可得'AB AB =，'PB PB =．在AEC ∆中，AE EC AC +>，在PEB ∆′中，''PE EB PB +>．因此'''AC PB AE EC PE EB AB PC +<+++=+，所以AC BP AB PC +<+．【例10】 点1C 、1A 、1B 分别在ABC ∆的边AB 、BC 和CA 上，且满足11111113AC C B BA AC CB B A ==::=::，求证：ABC ∆的周长p 与111A B C ∆的周长'p 之间有不等式1'2p p <．A 1AB 1BC 1C【解析】略【答案】注意到三角形两边之差小于第三边，故有：1111AC CB A B -<，1111B A AC B C -<，1111C B BA C A -<． 设BC a =，CA b =，AB c =，111B C a =，111C A b =，111A B c =，则： 13144a b c -<，13144b c a -<，13144c a b -<． 三式相加，得1111()2a b c a b c ++<++，即1'2p p <．三角形的角【例11】 如图，127.5∠=︒，295∠=︒，338.5∠=︒，求4∠的大小．4321ABDEC【解析】Q 23ADC ∠=∠+∠， 14180ADC ∠+∠+∠=︒，∴2314180∠+∠+∠+∠=︒， ∴9538.527.54180︒+︒+︒+∠=︒， ∴419∠=︒．【答案】19︒【巩固】如图，已知312∠=∠+∠，求证：180A B C D ∠+∠+∠+∠=︒．N M G FE CB A321【解析】略【答案】法一：如图，过点G 作GH BE ∥，M N H 123AB CD E FG∴1EGH ∠=∠ 又∵312∠=∠+∠∴3312FGH EGH ∠=∠-∠=∠-∠=∠ ∴CF HG ∥ ，∴BE CF ∥ ∴180BMN CNM ∠+∠=︒由外角定理：A B BMN ∠+∠=∠，C D CNM ∠+∠=∠ ∴180A B C D ∠+∠+∠+∠=︒法二：如图，连结EF ，由三角形的内角和得：M N 123AB CD E FG 3180FEG EFG ∠+∠+∠=︒ 又∵312∠=∠+∠∴12180FEG EFG ∠+∠+∠+∠=︒ 即180BEF CFE ∠+∠=︒ ∴BE CF ∥∴180BMN CNM ∠+∠=︒由外角定理：A B BMN ∠+∠=∠，C D CNM ∠+∠=∠ ∴180A B C D ∠+∠+∠+∠=︒【例12】 如图，()A B C D E F G ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠=A ．100︒B ．120︒C ．150︒D ．180︒【解析】如图，连接EF AC ，，则有G D GAD GCA ∠+∠=∠+∠，()()EFC AEF EAC ACF EAD CAD GCF GCA ∠+∠=∠+∠=∠+∠+∠+∠ ()()()()EAD GCF CAD GCA EAD GCF G D =∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠所以A B C D E F G ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠()()()EAD GCF G D B AEB CFB =∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠ ()()EFC AEF B AEB CFB =∠+∠+∠+∠+∠()()180EFC CFB AEB AEF B EFB FEB B =∠+∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒GFEDCBA【答案】180︒GFEDCBA【例13】 在ABC ∆中，三个内角的度数均为整数，且A B C ∠<∠<∠，47C A ∠=∠，则B ∠的度数为 ．【解析】设C x ∠=︒，则4()7A x ∠=︒，111801807B AC x ∠=︒-∠-∠=︒-︒，则41118077x x x <-<，解得7084x <<， 又47x 是整数，得77x =，故44A ∠=︒，59B ∠=︒． 【答案】59︒【例14】 如图所示，DC 平分ADB ∠，EC 平分AEB ∠，试探索DCE ∠与DBE ∠和DAE ∠的关系： ．ABC DE【解析】连接DE ，∵在BDE ∆中，180DBE BDE BED ∠+∠+∠=︒ ∴180BDE BED DBE ∠+∠=︒-∠∵在ADE ∆中，180DAE ADE AED ∠+∠+∠=︒ 又∵ADE ADB BDE ∠=∠+∠，AED AEB BED ∠=∠+∠ ∴180()DAE ADB AEB BDE BED ∠+∠+∠=︒-∠+∠180(180)DBE DBE =︒-︒-∠=∠∴ADB AEB DBE DAE ∠+∠=∠-∠在DCE ∆中，180DCE CDE CED ∠+∠+∠=︒∵1()()2CDE CED ADB AEB BDE BED ∠+∠=∠+∠+∠+∠∴1180()()2DCE DBE DAE BDE BED ∠=︒-∠-∠-∠+∠11()()22DBE DBE DAE DBE DAE =∠-∠-∠=∠+∠，即：1()2DCE DBE DAE ∠=∠+∠ABC DE【答案】1()2DCE DBE DAE ∠=∠+∠【巩固】如图，60A ∠=︒，线段BP 、BE 把ABC ∠三等分，线段CP 、CE 把ACB ∠三等分，则BPE ∠的大小是 ．EPCBA【解析】思路1：分析可知BPC A ABP ACP ∠=∠+∠+∠，因为60A ∠=︒，故可以先考虑求出ABP ACP∠+∠的度数，根据题设条件，线段BP 、BE 把ABC ∠三等分，线段CP 、CE 把ACB ∠三等分，所以13ABP ABC ∠=∠，13ACP ACB ∠=∠，12BPE BPC ∠=∠，这样只要求出ABC ACB ∠+∠的度数，就可以解决问题，只需利用三角形内角和定理，即可求出． 解法1 ：在BPC ∆中，因为BE 平分CBP ∠，CE 平分BCP ∠， 所以PE 是BPC ∠的平分线．即12BPE BPC ∠=∠．因为60A ∠=︒，所以120ABC ACB ∠+∠=︒，又因为BP 、BE 把ABC ∠三等分，CP 、CE 把ACB ∠三等分．所以13ABP ABC ∠=∠，13ACP ACB ∠=∠，又因为BPC A ABP ACP ∠=∠+∠+∠，所以12()3BPE A ABC ACB ∠=∠+∠+∠，所以11601205026BPE ∠=⨯︒+⨯︒=︒．思路2：结合本题特有条件，还可以把着眼点集中于BPC ∆中，直接利用三角形内角和定理解决这一问题．同样由两个三等分得到12BPE BPC ∠=∠，不同在于我们利用三等分的另一个结论，23BCP ACB ∠=∠，23CBP ABC ∠=∠．解法2 ：在BPC ∆中，因为BE 平分CBP ∠，CE 平分BCP ∠，所以PE 是BPC ∠的平分线，即12BPE BPC ∠=∠．因为60A ∠=︒，所以120ABC ACB ∠+∠=︒．2()803BCP CBP ABC ACB ∠+∠=∠+∠=︒，所以100BPC ∠=︒，所以1100502BPE ∠=⨯︒=︒．【点评】图1和图2中，分别是两个内角的2等分线，3等分线相交．P 1C B AP 2P 1CB A易得结论：图1中有0011809022A AP +∠∠∠==+， 图2中有001180226033A AP +∠∠∠==+， 00001218029*********P A A P ∠+∠∠∠=+=+=+． 【答案】50︒【例15】 如图，BF 是ABD ∠的角平分线，CE 是ACD ∠角的平分线，BE 与CF 交于G ，若140BDC ∠=︒，110BGC ∠=︒，求A ∠的度数．A BCDEFG【解析】延长BD 交AC 于H ，则BDC HCD DHC ∠=∠+∠G F EDCBA H∵DHC A ABH ∠=∠+∠∴BDC A ABH HCD ∠=∠+∠+∠①∵BGC GFC FCG ∠=∠+∠，GFC A ABF ∠=∠+∠ ∴BGC A ABF FCG ∠=∠+∠+∠ ∴2222BGC A ABF FCG ∠=∠+∠+∠ 即22BGC A ABH ACD ∠=∠+∠+∠② ②－①得2BGC BDC A ∠-∠=∠∴211014080A ∠=⨯︒-︒=︒【答案】80︒多边形【例16】 一凸n 边形最小的内角为95︒，其它内角依次增加10︒，则n =_________． 【解析】这个凸n 边形的内角由小到大依次为95105115125︒︒︒︒⋅⋅⋅⋅⋅⋅，，，，它的外角依次为857565554535︒︒︒︒︒︒⋅⋅⋅⋅⋅⋅，，，，，而这六个外角之和为857565554535360︒+︒+︒+︒+︒+︒=︒ ∴6n =．【答案】6【例17】 如图，已知90130100AB ED C B E D F ∠=︒∠=∠∠=︒∠=︒∥，，，，，求E ∠的大小．FEDCBA【解析】如图，延长DC AB ，交于点G ．∵130ED AB D ∠=︒∥，，所以50G ∠=︒．又∵90BCD BCD G CBG ∠=︒∠=∠+∠，，∴40CBG ∠=︒． ∴140ABC ∠=︒，即140E ∠=︒．GFEDCBA【巩固】如图，讲六边形ABCDEF 沿直线GH 折叠，使点A B ，落在六边形CDEFGH 内部，则下列结论正确的是（ ）B'A'21FEDC BAA ．()129002C D E F ∠+∠=︒-∠+∠+∠+∠B ．()1210802CDEF ∠+∠=︒-∠+∠+∠+∠ C ．()12720C D E F ∠+∠=︒-∠+∠+∠+∠D ．()1123602C D E F ∠+∠=︒-∠+∠+∠+∠ 【解析】如图，设FA 的延长线与CB 的延长线交于点P ，'GA 的延长线与'HB 的延长线交于点'P ，连接'PP ，由对称性知，12'22'APP BPP ∠=∠∠=∠，， ∴122APB ∠+∠=∠，又∵()540APB C D E F ∠=︒-∠+∠+∠+∠，∴()1210802C D E F ∠+∠=︒-∠+∠+∠+∠．P'PB'A'21FEDCB A【答案】B【例18】 黑色正三角形与白色正六边形的边长相等，用它们镶嵌图案，方法如下：白色正六边形分上下两行，上面一行的正六边形个数比下面一行少一个，正六边形之间的空隙用黑色的正三角形嵌满．按第1，2，3个图案（如图）所示规律依次下去，则第n 个图案中，黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是（ ）A 、n 2+n+2，2n+1B 、2n+2，2n+1C 、4n ，n 2-n+3D 、4n ，2n+1【解析】第1个图案中，黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是4，2×1+1=3；第2个图案中，黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是2×4=8，2×2+1=5；第3个图案中，黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是3×4=12，2×3+1=7； …第n 个图案中，黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是4n ，3+（n-1）×2=2n+1．【答案】D ．1. 设m 、n 、p 均为自然数，且m n p ≤≤，11m n p ++=，试问以m 、n 、p 为边长的三角形有多少个?【解析】∵三角形三边关系定理，知p m n <+，即11p p m n p +<++=，∴112p <∵m n p ≤≤，311p m n p ≥++=，∴113p ≥，∴ 111132p ≤<∵p 为自然数，∴p 可取4、5当4p =时，4n =，3m =；当5p =时，5n =，1m =；4n =，2m =；3n =，3m =． 综上所述，以m 、n 、p 为三边长的三角形共有4个．【答案】4个2. 如下图，CGE α∠=，则A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠= ．αGFEDCBA【解析】略【答案】2α．3. 在凸多边形中，小于108︒的角最多可以有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个 【解析】设凸n 边形中，小于108︒的角有x 个．当多边形的一个内角小于108︒，则它的外角大于72︒，而任意多边形的外角和等于72︒， 故有72360x <课后作业解得5x<，故小于108︒的角可以有4个，故选B【答案】B4. 下列正多边形中，与正三角形同时使用，能进行密铺的是（）A、正十二边形B、正十边形C、正八边形D、正五边形【解析】正三角形的每个内角是60°，正十二边形每个内角是180°-360°÷12=150°，∵60°+2×150°=360°，∴与正三角形同时使用，能进行密铺的是正十二边形．【答案】A．。
九年级相似三角形射影定理与比例中项经典讲义
射影定理与比例中项射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．即CD2=AD·BD；AC2=AD·AB；BC2=BD·AB比例中项：如果a:b=b:c，或b2=ac，那么，b 就叫做a、c的比例中项。
1、已知直角三角形ABC中，斜边AB=5cm,BC=2cm，D为AC上的一点，DE AB⊥交AB于E，且AD=3.2cm，则DE= （）A、1.24cmB、1.26cmC、1.28cmD、1.3cm2、如图1-1，在Rt ABC中，CD是斜别AB 上的高，在图中六条线段中，你认为只要知道（）线段的长，就可以求其他线段的长A、1B、2C、3D、43、在Rt ABC中，90BAC∠=，AD BC⊥于点D，若34ACAB=，则BDCD=（）A、34B、43C、169D、9164、如图1-2，在矩形ABCD中，1,3DE AC ADE CDE⊥∠=∠，则EDB∠=（）A、22.5B、30C、45D、60【填空题】5、ABC中，90A∠=，AD BC⊥于点D，AD=6，BD=12，则CD=____，AC= ____，22:AB AC= ___________。
6、如图2-1，在Rt△ABC中，90ACB∠=，CD AB⊥，AC=6，AD=3.6，则BC=_____．7、如图已知CD是△ABC的高，DE⊥CA, DF⊥CB，求证：△CEF∽△CBA8、已知90CAB∠=，AD CB⊥，△ACE，△ABF是正三角形，求证：DE DF⊥OADEFACD9、如图3-2，矩形ABCD 中，AB=a ，BC=b ，M 是BC 的中点，DE AM ⊥，E 是垂足，求证：224DE a b =+10、如图（３），已知：等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，高AD 、BE 交于点Ｈ，求证： DH •DA=41BC 211、已知如图△ABC 中，AD 平分∠ABC ，AD 的垂直平分线交AB 于点Ｅ，交AD 于点Ｈ，交AC 于点Ｇ，交BC 的延长线于点Ｆ， 求证：DF 2＝CF •BFHBFE参考答案1、C2、B3、C4、C5、3,35,4:16、 87、证明：在Rt ADC 中，由射影定律得，2CD CE AC =， 在Rt BCD 中，同理得 2CD CF BC =,CE BCCE AC CF BC CF AC ∴=∴=又ECF BCA ∠=∠，CEFCBA ∴ 8、证明：如图所示，在Rt BAC 中，22,AC CD CB AB BD BC == 22AC CD CD CD CD ADAB BD CD BD AD AD BD ∴=====,,AE ADAC AE AB AF BF BD ==∴=60,60,FBD ABD EAD CAD ABD CAD ∠=+∠∠=+∠∠=∠又 FBD EAD ∴∠=∠，,EAD FBD BDF ADE ∴∴∠=∠90FDE FDA ADE FDA BDF ∴∠=∠+∠=∠+∠= DE DF ∴⊥9、证明：在Rt AMB 和Rt ADE 中，AMB DAE ∠=∠，90ABM AED ∠=∠= 所以Rt AMB ～Rt ADE所以AB AMDE AD =，因为AB=a ，BC=b ， 所以222244AB ADDE AMb a b a ===++10、证△ABD ∽△BDH 即可11、证明：连ＡＦ， ∵ＦＨ垂直平分ＡＤ，∴ＦＡ＝ＦＤ， ∠ＦＡＤ＝∠ＦＤＡ，∵ＡＤ平分∠ＢＡＣ，∴∠ＣＡＤ＝∠ＢＡＤ， ∴∠ＦＡＤ－∠ＣＡＤ＝∠ＦＤＡ－∠ＢＡＤ， ∵∠Ｂ＝∠ＦＤＡ－∠ＢＡＤ，∴∠ＦＡＣ＝∠Ｂ，又∠ＡＦC 公共，∴△ＡＦＣ∽△ＢＦＡ，∴ＢＦＡＦ＝ＡＦC Ｆ，∴ＡＦ２＝ＣＦ•ＢＦ，∴ＤＦ２＝ＣＦ•ＢＦ。
著名机构初中数学培优讲义射影定理与内接矩形类相似.第04讲(A).教师版
讲义制作人：王婧老师内容基本要求略高要求 较高要求相似了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，会判断四条线段是否成比例，会利用线段的比例关系求未知线段；了解黄金分割；知道相似多边形及其性质；认识现实生活中物体的相似；了解图形的位似关系会用比例的基本性质解决有关问题；会用相似多边形的性质解决简单的问题；能利用位似变换将一个图形放大或缩小相似三角形了解两个三角形相似的概念会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决实际问题相似多边形知道相似多边形及其性质；认识现实生活中物体的相似会用相似多边形的性质解决简单问题1．相似定义，性质，判定，应用和位似 2．相似的判定和证明 3．相似比的转化中考要求重难点射影定理和内接矩形希尔宾斯基三角形许多人看到“雪花曲线”时，都感到十分奇怪，把它称为“数学怪物”．后来，人们发现像“雪花曲线”这样的“数学怪物”还真不少．让我们再来欣赏“希尔宾斯基三角形”，它是波兰数学家希尔宾斯基最先作出的．图1是一个正三角形，找到三条边的中点，连接成一个黑色的小正三角形，黑色表示要把它挖去．按照这个规律，在图2中的白色小三角形中继续挖，得到图3……这样就可以得到一个希尔宾斯基三角形．（4）（3）（2）（1）看到这样的图案，你能想到什么呢？能跟我们平时做的题型产生什么联想？能想到如果这个图形出现在中考题型中，会以什么方式出现吗？模块一（斜）射影定理类相似问题 射影定理常见及扩展模型：DCB AC D B A图1有：2AB BD BC =⋅图2有：222,,AB BD BC AD BD DC AC DC BC =⋅=⋅=⋅例题精讲课前预习【例1】 如图，直角ABC △中，AB AC ⊥，AD BC ⊥，证明：2AB BD BC =⋅，2AC CD BC =⋅，2AD BD CD =⋅．DCBA【难度】3星【解析】由两组对角分别相等证明三组相似三角形，由三组相似三角形可得到证明． 【答案】∵AB AC ⊥，AD BC ⊥ ∴ABD ∆∽CAD ∆∽CBA ∆ ∵ABD ∆∽CAD ∆ ∴2BD ADAD BD CD AD CD=⇒=⋅ 同理可得，2BD AB AB BD BC AB BC =⇒=⋅，2CD ACAC CD BC AC BC=⇒=⋅ 点评：上述的结论就叫做射影定理，这个结论及相关基本图形非常重要．【巩固】如图，在直角梯形ABCD 中，AB CD AB BC ⊥∥，，对角线AC BD ⊥，垂足为E ，AD BD =，过E 的直线EF AB ∥交AD 于F ． ⑴ AF BE =， ⑵ 2AF AE EC =⋅．FED CBA【难度】3星【解析】（1）根据平行线分线段成比例以及等腰三角形两底角相等得到证明．（2）由射影定理直接可得2BE AE EC =⋅，又BE AF =，线段的等量代换可得到2AF AE EC =⋅．【答案】⑴ ∵EF AB ∥，∴DFE DEF ∠=∠ ∴DF DE =， 又∵AD BD =， ∴AF BE =，⑵ 90ABC ∠=︒，BE AC ⊥，∴ABE BEC ∆∆∽， ∴2BE AE EC =⋅ ∴2AF AE EC =⋅【巩固】如图，矩形ABCD 中，BE AC ⊥于F ，E 恰是CD 的中点，下列式子成立的是（ ）FE DCB AA ．2212BF AF =B ．2213BF AF =C ．2212BF AF >D ．2213BF AF <【难度】3星【解析】本题根据选项可以确定利用射影定理可以解决． 【答案】A∵在Rt ABC △中，BF AC ⊥ ∴根据射影定理有2BF AF FC =⋅ 又∵EC AB ∥，点E 为DC 中点 ∴12EC CF AB AF == ∴2212BF AF FC AF =⋅= 故选A ．【例2】 如图，ABC △中，AD BC ⊥于D ，BE AC ⊥于E ，DF AB ⊥于F ，交BE 于G ，FD 、AC 的延长线交于点H ，求证：2DF FG FH =⋅．HG DF E C BA【难度】4星【解析】熟悉了掌握了射影定理后，这一题就不难解答了．直接证明2DF FG FH =⋅有些困难，可通过射影定理转化成证明AF BF FG FH ⋅=⋅即证明BF FHFG AF=，这个结论比较明显，证明BFG △∽HFA ∆即可． 【答案】∵,,HF AB BE AH FGB EGH ⊥⊥∠=∠∴FBG EHG ∠=∠ ∴Rt FBG Rt FHA △∽△ ∴BF FGFH AF=，即AF BF FG FH ⋅=⋅ 又∵在Rt ABD △DF AB ⊥ 根据射影定理有：2DF AF BF =⋅ ∴2DF FG FH =⋅【巩固】已知：如图，90ACB CDA AEB ∠=∠=∠=︒,求证：AEC ACF ∠=∠．F EABCD【难度】3星【解析】由题目中求角相等，根据本章学习的内容可知，我们可能由已知条件证明相似，进而得到相等的角，根据三点定形法，可初步猜测：AEC ACF △∽△．由射影定理可知：2AC AB AD =⋅，又根据两角相等两三角形相似，证明: Rt AFD Rt ABE △∽△，得到相似比例线段：AD AFAE AB=，即AB AD AE AF ⋅=⋅，根据线段的等量代换得到：2AC AE AF =⋅，可证明：AEC ACF △∽△【答案】∵在Rt ACB △中CD AB ⊥∴根据射影定理有：2AC AB AD =⋅ 又∵Rt AFD Rt ABE △∽△ ∴AD AFAE AB=，即AB AD AE AF ⋅=⋅ ∴2AC AE AF =⋅，又CAF EAC ∠=∠ ∴AEC ACF △∽△ ∴AEC ACF ∠=∠【巩固】如图，Rt ABC △中90C ∠=︒，点D 在AC 上，BD AD =，M 是AB 的中点，ME AC ⊥于E ，点P 是ME 的中点，连接DP ．求证：BE DP ⊥．ABCDEMPPME DCBA【难度】4星【解析】本题证明的关键是要证明DEP ECB △∽△，证明这对相似三角形就需要由已知条件推到出有用的成比例线段，再根据都是直角三角形，才可得证．【答案】连接DM ．∵BD AD BM AM ==， ∴DM AB ⊥，ME AD ⊥ ∴2ME DE AE =⋅（射影定理） ∵222,12DE DE DE BC ME MEPE ME CE CE AEME ==== ∴DE BCPE CE=∵,AC BC PE AD ⊥⊥∴DEP ECB △∽△ ∴PDE CBE ∠=∠ ∴PD BE ⊥【拓展】如上图，在ABC ∆中，2FD FB FC =⋅，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 的延长线于F ，求证：AD 平分BAC ∠．EFD C B A【难度】4星【解析】解答本题的关键是要利用垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，再根据线段的等量代换得到2AF FC FB =⋅，利用公共角相等可证明AFC BFA △∽△，由相似得到有用的等角，再根据ADF △为等腰三角形，利用角之间的等量代换可得到证明．【答案】连接AF ，∵EF 垂直平分AD ， ∴AF DF =，∵2DF FC FB =⋅，∴2AF FC FB =⋅ ∴AF FBFC AF=， 又∵AFC BFA ∠=∠ ∴AFC BFA ∆∆∽， ∴FAC B ∠=∠，∵FDA FAE FAC CAE ∠=∠=∠+∠，FDA B BAD ∠=∠+∠， ∴BAD CAD ∠=∠， 即AD 平分BAC ∠．模块二 内接矩形类相似问题内接矩形类的模型及结论：TH GFE DCB A其中AI DGAH BC=，在平时训练中遇到内接矩形类的图形，就要充分利用这一结论，有助于进行解题．【例3】 ABC △中，正方形EFGH 的两个顶点E 、F 在BC 上，另两个顶点G 、H 分别在AC 、AB 上，15BC =,BC 边上的高10AD =,求EFGH S W .HGF E D CB A【难度】4星【解析】根据内接矩形的模型可列比例关系式，即可解题．【答案】设正方形EFGH 的边长为x ，AD 、HG 的交点为M ，则有AM HG AD BC =，即101015x x-=解之得，6x = 故2636EFGH S ==W本题有有另外一个解题思路：相似三角形的高线比等于相似比． 如图，//EF BC ，AD BC ⊥，则AM EF AE AFAD BC AB AC===【巩固】如图，已知ABC △中，511AC AB BC ===，，DEGF 为正方形，其中D E ，在边AC BC ，上，F G ，在AB 上，求正方形的边长．GFEDCBA【难度】3星 【解析】略【答案】过C 作CH AB ⊥，垂足为H ，连接CH ．IH G F EDC BA设AH a =，则11BH a =-，则有22222CH AC AH BC BH =-=-，即22225(11)a a -=--，解得3a =， ∴4CH =设正方形的边长为x ，则有DE CI AB CH =，即4114x x -=．解得4415x =． 所以正方形的边长为4415．【巩固】如图，有一块三角形土地，它的底边48BC =米，高16AH =米，某单位要沿着底边BC 修一座底面是矩形DEFG 的大楼。
著名机构九年级数学暑假班讲义第4讲：相似三角形的判定(一) - 教师版
相似三角形的判定是九年级数学上学期第一章第三节的内容，本讲主要讲解相似三角形的定义、相似三角形判定定理1和相似三角形判定定理2；重点是根据已知条件灵活运用这两种判定定理，以及这两者之间的相互结合．1、相似三角形的定义如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形．如图，DE是ABC∆的中位线，那么在ADE∆与ABC∆中，A A∠=∠，ADE B∠=∠，AED C∠=∠；12AD DE AEAB BC AC===．由相似三角形的定义，可知这两个三角形相似．用符号来表示，记作ADE∆∽ABC∆，其中点A与点A、点D与点B、点E与点C分别是对应顶点；符号“∽”读作“相似于”．用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“∆”后相应的位置上．相似三角形的判定（一）内容分析知识结构模块一：相似三角形判定定理1知识精讲DAB CEABCA1B1C 1根据相似三角形的定义，可以得出：（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比（或相似系数）．（2）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似． 2、相似三角形的预备定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似． 如图，已知直线l 与ABC ∆的两边AB 、AC 所在直线分别交于点D 和点E ，则ADE ∆∽ABC ∆．3、相似三角形判定定理1如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似． 可简述为：两角对应相等，两个三角形相似．如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，如果1A A ∠=∠、1B B ∠=∠，那么ABC ∆∽111A B C ∆．常见模型如下：【例1】根据下列条件判定ABC ∆与DEF ∆是否相似，并说明理由；如果相似，那么用符号 表示出来．（1）70A D ∠=∠=︒，60B ∠=︒，50E ∠=︒；（2）40A ∠=︒，80B ∠=︒，80E ∠=︒，60F ∠=︒．【难度】★【答案】（1）相似，ABC ∆∽DFE ∆；（2）相似，ABC ∆∽DEF ∆．【解析】（1）根据三角形内角和180︒，可得50C E ∠=︒=∠，又70A D ∠=∠=︒，根据相似三角形判定定理1，确立对应关系，即可判定ABC ∆∽DFE ∆；（2）根据三角形内角和180︒，可得60C F ∠=︒=∠，又80B E ∠=∠=︒，根据相似三角形判定定理1，确立对应关系，即可判定ABC ∆∽DEF ∆【总结】考查相似三角形判定定理1，部分角度一定的情况下，可根据三角形内角和180︒进行求解．【例2】如图，E 是平行四边形ABCD 的边BA 延长线上的一点，CE 交AD 于点F ．图中有哪几对相似三角形？【难度】★【答案】EAF ∆∽EBC ∆，EAF ∆∽CDF ∆，EBC ∆∽CDF ∆．【解析】由////AB CD AD BC ，，可得： ////AE CD AF BC ，，根据相似三角形预备定理， 可得：EAF ∆∽EBC ∆，EAF ∆∽CDF ∆，进而可得：EBC ∆∽CDF ∆，即这三个三角形两两相似．【总结】考查相似三角形预备定理，同时考查相似三角形的传递性．例题解析ABCDEF【例3】如图，1=2=3∠∠∠，那么图中相似的三角形有哪几对？ 【难度】★【答案】ADE ∆∽ABC ∆，ADE ∆∽ACD ∆，ABC ∆∽ACD ∆，BCD ∆∽CDE ∆．【解析】根据1=2=3∠∠∠，同时有A ∠公共角必相等， 根据相似三角形判定定理1，可得ADE ∆∽ABC ∆， ADE ∆∽ACD ∆，ABC ∆∽ACD ∆；同时由1=3∠∠， 可得：//DE BC ，进而EDC DCB ∠=∠，又23∠=∠，根据相似三角形判定定理1，可得：BCD ∆∽CDE ∆．【总结】考查相似三角形判定定理1，同时要注意根据题目条件推出一些其它角相等的条件，注意不要遗漏．【例4】如图，D 、E 分别是ABC ∆的边AB 、AC 上的点，且AED B ∠=∠．求证：AE AC AD AB =g g ．【难度】★ 【答案】略．【解析】证明：AED B A A ∠=∠∠=∠Q ，， AED ∴∆∽ABC ∆，AD AEAC AB∴=，即AE AC AD AB =g g ．【总结】考查相似三角形判定定理1和相似三角形的定义，各边对应成比例，先判定再应用即可得出结论．ABCD E 12 3ABCDEABD CABCD E【例5】如图，Rt ABC ∆在中，90C ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，且:9:4AD BD =，求:AC BC 的值．【难度】★ 【答案】3:2．【解析】90ACB ∠=︒Q ，即90ACD BCD ∠+∠=︒， 又CD AB ⊥，可得90ACD A ∠+∠=︒． A BCD ∴∠=∠．又90ADC BDC ∠=∠=︒，ACD ∴∆∽CBD ∆， AD DC ACDC BD BC∴==． Q :9:4AD BD =，设()90AD k k =>，则4BD k =，代入可得：6DC k =． ::9:63:2AC BC AD DC k k ∴===．【总结】考查基本模型的建立，直角三角形斜边上的高线分出的两个三角形与原三角形两两相似，称作“子母三角形”，是一种常用的数学模型．【例6】如图，ABC ∆中，90BAC ∠=︒，D 是BC 中点，AE AD ⊥交CB 延长线于点E ，则BAE ∆相似于．【难度】★★ 【答案】ACE ∆．【解析】Q 90BAC ∠=︒，即90BAD CAD ∠+∠=︒， 又AE AD ⊥，即90BAD BAE ∠+∠=︒， CAD BAE ∴∠=∠．又D 为Rt ABC ∆斜边BC 中点，12AD BC CD ∴==．BAE C ∴∠=∠，由E E ∠=∠， BAE ∴∆∽ACE ∆．【总结】对于相等有公共角的两角，可推出相等，同时注意直角三角形斜边中线的应用把直角三角形分成了两个等腰三角形．A BCD E 【例7】如图，90ACB CED ∠=∠=︒，CD AB ⊥于点D ，3AC =，4BC =，求ED 的长． 【难度】★★【答案】3625．【解析】Q 3AC =，4BC =，=90ACB ∠︒， 225AB AC BC ∴=+=．根据面积法，可知CD AB AC BC ⋅=⋅，解得125CD =． 又CD AB ⊥，=90ACB ∠︒，可得ADC ∆∽ACB ∆．AD AC AC AB ∴=，代入可得：95AD =． Q 90ACB CED ∠=∠=︒，//DE BC ∴，925DE AD BC AB ∴==． 代入得：3625ED =． 【总结】考查对于“子母三角形”的认识，初步建立可将相似三角形中可将对应边之比转化为 同一三角形中边长比的思想，实际上这个这个图形中包含5个直角三角形，全部都是两 两相似．【例8】如图，AB BD ⊥，ED BD ⊥，点C 在线段BD 上运动，1ED =，4BD =，4AB =，若ABC ∆与CDE ∆相似，求BC 的值．【难度】★★【答案】165或2．【解析】（1）ABC ∆∽EDC ∆时，则应有4BC ABCD DE==．由4BD =，可得：41655BC BD ==；（2）ABC ∆∽CDE ∆时，则应有BC ABDE CD=． 由4BD =，代入得：44BC BC=-，解得：2BC =．【总结】解决三角形相似问题时，一定要注意确立好对应关系，题目没有明确说明的前提下，则需要进行分类讨论．AB C DEABCDEEMDCBA【例9】如图，ABC ∆是等边三角形，120DAE ∠=︒，求证AD AE AB DE =g g ． 【难度】★★ 【答案】略．【解析】证明：Q ABC ∆是等边三角形， 60BAC ACB ∴∠=∠=︒．Q 120DAE ∠=︒，60DAB CAE ∴∠+∠=︒．又60ACB E CAE ∠=∠+∠=︒，DAB E ∴∠=∠．D D ∠=∠Q ，DAB ∴∆∽DEA ∆，AD ABDE AE ∴=， 即AD AE AB DE =g g ．【总结】考查相似三角形的性质和相关相似三角形判定定理1，先判定再应用．【例10】正方形ABCD 中，E 是AD 中点，BM CE ⊥于点M ，6AB =厘米，求BM 的长． 【难度】★★1255cm ．【解析】Q 四边形ABCD 是正方形，690//BC CD AD AB cm D AD BC ∴====∠=︒，，． DEC BCM ∴∠=∠， 又90BMC D ∠=∠=︒， BMC ∴∆∽CDE ∆，BM DCBC EC ∴=， ∵E 是AD 中点，∴132DE AD cm ==． 由勾股定理可得：2235CE DE CD cm =+=， 代入可得：BM =1255cm ． 【总结】考查正方形背景下的直角三角形相似，实际上由直角和平行很容易得到相等的角，根据相似三角形判定定理1可证相似．ABCD EFOABC P【例11】如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，点O 是AC 边上一点，联 结BO 交AD 于点F ，OE OB ⊥交BC 边于点E ．求证：ABF ∆∽COE ∆．【难度】★★ 【答案】略．【解析】证明：Q 90BAC ∠=︒， ∴90BAD CAD ∠+∠=︒，90ABO AOB ∠+∠=︒，又AD BC ⊥，OE OB ⊥，9090C CAD AOB EOC ∴∠+∠=︒∠+∠=︒，． BAD C ABO EOC ∴∠=∠∠=∠，．∴ABF ∆∽COE ∆．【总结】考查利用“子母三角形”基础模型证明角相等，根据同角的余角相等，证明角相等， 再利用相似三角形判定定理1即可证明．【例12】如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，P 是ABC ∆内一点， 且135APB APC ∠=∠=︒．求证：CPA ∆∽APB ∆．【难度】★★ 【答案】略．【解析】证明：Q 90ACB ∠=︒，AC BC =， 45CAB ∴∠=︒． 即45CAP PAB ∠+∠=︒． 135APB ∠=︒Q ， 45CAP ACP ∴∠+∠=︒． ACP PAB ∴∠=∠． Q 135APB APC ∠=∠=︒， ∴CPA ∆∽APB ∆．【总结】考查相似三角形的判定定理1，需要根据三角形内角和进行等角转化．ABCDE FG【例13】如图，在梯形ABCD 中，AB //CD ，且2AB CD =，点E 、F 分别是AB 、BC 的 中点，EF 与BD 相交于点M ． （1）求证：EDM ∆∽FBM ∆；（2）若6DB =，求BM ．【难度】★★【答案】（1）略；（2）2BM =．【解析】（1）证明：Q 2AB CD =，E 是AB 的中点， BE CD ∴=，又AB //CD ，∴四边形EBCD 是平行四边形．//BC DE ∴，∴EDM ∆∽FBM ∆．（2）解：Q //BF DE ，F 为BC 中点，2DM DE BC MB BF BF ∴===，13BM BD ∴=．代入可得：2BM =．【总结】考查相似三角形的预备定理，同时与三角形一边平行线性质定理结合运用．【例14】如图，在ABC ∆中，AB AC =，DE //BC ，点F 在边AC 上，DF 与BE 相交于点 G ，且EDF ABE ∠=∠．（1）求证：DEF ∆∽BDE ∆；（2）DG DF DB EF =g g ．【难度】★★ 【答案】略．【解析】证明：（1）Q DE //BC ，ADE ABC AED ACB ∴∠=∠∠=∠，． Q AB AC =，ABC ACB ∴∠=∠，ADE AED ∴∠=∠，BDE FED ∴∠=∠，Q EDF ABE ∠=∠，∴DEF ∆∽BDE ∆．（2）Q DEF ∆∽BDE ∆，EF DEDE BD ∴=，DEB DFE ∠=∠，即2DB EF DE ⋅=． EDG EDF ∠=∠Q ，DGE ∴∆∽DEF ∆，DG DEDE DF∴=，即2DG DF DE ⋅=． DG DF DB EF ∴⋅=⋅．【总结】考查相似三角形判定定理1，根据题目所求进行相应比例线段的转化．A BCDE FMABCDE F GHAB C DEFO【例15】如图，已知ABC ∆、DEF ∆均为等边三角形，D 、E 分别在边AB 、BC 上，请找出一个与BDE ∆相似的三角形，并加以证明．【难度】★★【答案】BDE ∆∽CEH ∆．【解析】Q ABC ∆、DEF ∆是等边三角形， 60B C DEF ∴∠=∠=∠=︒．DEC DEF HEC BDE B ∠=∠+∠=∠+∠Q ， HEC BDE ∴∠=∠， ∴BDE ∆∽CEH ∆．同理可证得：BDE ∆∽AGD ∆∽FGH ∆．【总结】考查“一线三等角”模型的建立，根据外角可证相似．【例16】如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，OF BD ⊥于点O ，交CD 于点 E ，交BC 的延长线于点F ．求证：2AO OE OF =g ．【难度】★★★ 【答案】略．【解析】证明：Q 四边形ABCD 是矩形， 90AO BO CO BCD ∴==∠=︒，， 90OCB OBC OCB OCE ∴∠=∠∠+∠=︒，， 又OF BD ⊥， 90OBC F ∴∠+∠=︒， OCE F ∴∠=∠． COE COF ∠=∠Q ， ∴OCE ∆∽OFC ∆， OC OEOF OC ∴=， 22OE OF OC AO ∴⋅==．【总结】考查相似三角形判定定理1，根据题目所给条件综合分析．ABCD EF【例17】如图，ABC ∆中，AB AC =，AD 是中线，P 是AD 上一点，过C 作CF //AB ， 延长BP 交AC 于点E ，交CF 于点F ．求证：2BP PE PF =g ．【难度】★★★ 【答案】略【解析】证明：连结PC ．Q AB AC =，AD 是底边中线， BAP CAP ∴∠=∠． AP AP =Q ， BAP CAP ∴∆≅∆． BP CP ABP ACP ∴=∠=∠，．Q CF //AB ，ABP F ∴∠=∠，ACP F ∴∠=∠．EPC CPF ∠=∠Q ，PEC ∴∆∽PCF ∆，PE PCPC PF ∴=． 22PE PF PC BP ∴⋅==．【总结】考查相似三角形判定定理1，在有同角的情况下，再找出一个容易证明相等的角即可．【例18】如图，在ABC ∆中，12AB AC ==，6BC =，点D 在边AB 上，点E 在线段CD 上， 且BEC ACB ∠=，BE 的延长线与边AC 相交于点F ． （1）求证：BE CD BD BC =g g ；（2）设AD x =，AF y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域．【难度】★★★【答案】（1）略；（2）361212y x =--．【解析】（1）证明：AB AC =Q ，ABC ACB ∴∠=∠． Q BEC ACB ∠=， BEC ABC ∴∠=∠． BCE BCD ∠=∠Q ， BCD ∴∆∽ECB ∆，BD CDBE BC ∴=，即BE CD BD BC =g g ． （2）Q BCD ∆∽ECB ∆， CBE BDC ∴∠=∠． 又DBC BCF ∠=∠， BCD ∴∆∽CFB ∆， BC BDCF BC∴=． 即612126x y -=-，整理得：361212y x=--． 【总结】考查相似三角形判定定理1，往往由一对相似三角形性质可推出其它相似的三角形，注意性质与判定的转换应用．ABDEFPABCA 1B 1C 1ABCDO1、相似三角形判定定理2如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，1A A ∠=∠，1111AB ACA B AC =，那么ABC ∆∽111A B C ∆．【例19】如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，2OA =，3OB =，6OC =， 4OD =．求证：OAD ∆与OBC ∆是相似三角形．【难度】★ 【答案】略．【解析】证明：Q 2OA =，3OB =，6OC =，4OD =，242363OA OD OB OC ∴===，， OA OCOB OD ∴=．AOD BOC ∠=∠Q ，∴OAD ∆与OBC ∆是相似三角形．【总结】考查相似三角形判定定理2，对应边成比例且夹角相等．模块二：相似三角形判定定理2知识精讲例题解析ABCDABCDE【例20】如图，点D 是ABC ∆的边AB 上的一点，且2AC AD AB =g ．求证：ACD ∆∽ABC ∆．【难度】★ 【答案】略．【解析】证明：Q 2AC AD AB =g ，AD ACAC AB ∴=， A A ∠=∠Q ，∴ACD ∆∽ABC ∆．【总结】考查相似三角形判定定理2，根据题目条件进行比例变形，对应边成比例夹角相等．【例21】如图，在ABC ∆与AED ∆中，AB ACAE AD=，BAD CAE ∠=∠．求证：ABC ∆∽AED ∆．【难度】★ 【答案】略．【解析】证明：Q BAD CAE ∠=∠， BAD CAD CAD CAE ∴∠+∠=∠+∠，即BAC DAE ∠=∠．Q AB AC AE AD=，∴ABC ∆∽AED ∆． 【总结】有公共角的两角，加上或减去公共部分，仍相等，根据判定定理2，可判定相似．【例22】下列说法一定正确的是（）（A ）有两边对应成比例且一角相等的两个三角形相似 （B ）对应角相等的两个三角形不一定相似（C ）有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 （D ）一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形相似 【难度】★ 【答案】C【解析】根据判定定理2可知A 错误，C 正确；根据判定定理1可知B 错误，根据相似三角形预备定理可知只有直线与底边平行时才相似．【总结】考查相似三角形的判定定理掌握情况和相关条件．ABCDEABCE FG【例23】在ABC ∆和DEF ∆中，由下列条件不能推出ABC ∆∽DEF ∆的是（ ）（A ）AB ACDE DF =，B E ∠=∠ （B ）AB AC =，DE DF =，B E ∠=∠（C ）AB ACDE DF=，A D ∠=∠ （D ）AB AC =，DE DF =，C F ∠=∠【难度】★★ 【答案】A【解析】C 选项根据相似三角形判定定理2可知，B 和D 选项中三角形都是等腰三角形，一底角相等，可推知顶角相等，即两腰夹角相等，根据相似三角形判定定理2可推知．【总结】考查相似三角形判定定理2的运用．【例24】如图，D 是ABC ∆内一点，E 是ABC ∆外一点，EBC DBA ∠=∠，ECB DAB ∠=∠，求证：BDE BAC ∠=∠．【难度】★★ 【答案】略．【解析】证明：Q EBC DBA ∠=∠，ECB DAB ∠=∠， BAD ∴∆∽BCE ∆，ABC DBE ∠=∠． BA BD BC BE ∴=， 即BA BCBD BE=，BAC ∴∆∽BDE ∆，∴BDE BAC ∠=∠．【总结】考查相似三角形判定定理2，先判定相似再应用性质得出相关结论证明相似，进行性质和判定的相互转化．【例25】已知，在ABC ∆中，BE 、CF 是ABC ∆的两条高，BE 、CF 交于点G ．求证：（1）AC CE CF GC =g g ；（2）AFE ACB ∠=∠． 【难度】★★ 【答案】略．【解析】证明：（1）Q 90AFC BEC ∠=∠=︒，ACF GCE ∠=∠，GCE ∴∆∽ACF ∆，GC CEAC CF ∴=，即AC CE CF GC =g g ． （2）Q 90AFC AEB ∠=∠=︒，A A ∠=∠，ABE ∴∆∽ACF ∆． AE AB AF AC ∴=，即AE AFAB AC =，又A A ∠=∠，AEF ∴∆∽ABC ∆，∴AFE ACB ∠=∠．【总结】考查“双高型”模型的建立，该图中共有8对相似三角形．ABCDEOABCB ’C ’【例26】如图，点O 是ABC ∆的垂心（垂心即三角形三条高所在直线的交点），联结AO 交 CB 的延长线于点D ，联结CO 交的AB 延长线于点E ，联结DE ．求证：ODE ∆∽OCA ∆．【难度】★★ 【答案】略．【解析】证明：Q O 是ABC ∆的垂心， 90AEO CDO ∴∠=∠=︒． O O ∠=∠Q ， AOE ∴∆∽COD ∆，AO OECO OD ∴=， 即AO CO OE OD =． O O ∠=∠Q ，∴ODE ∆∽OCA ∆．【总结】考查“双高型”模型的建立，在钝角三角形中仍成立，该图中共有8对相似三角形，注意进行相似三角形性质和判定的转换．【例27】如图，ABC ∆∽''AB C ∆，点'B 、'C 分别对应点B 、C ．求证：'ABB ∆∽'ACC ∆．【难度】★★ 【答案】略．【解析】证明：Q ABC ∆∽''AB C ∆，''''AB ACBAC B AC AB AC ∴=∠=∠，，''''AB AB BAB CAC AC AC ∴=∠=∠，，∴'ABB ∆∽'ACC ∆．【总结】考查相似三角形性质和判定的转换，题目中出现一对相似三角形往往与之关联的三角形也是一对相似三角形．NEFMDCBA【例28】如图，在正方形ABCD 中，M 为AD 的中点，以M 为顶点作BMN MBC ∠=∠，MN交CD 于点N ，求证：2DNCN =．【难度】★★ 【答案】略．【解析】证明：延长MN 、BC 相交于点E ，过点E 作EF BM ⊥ 交BM 于点F ，Q 四边形ABCD 是正方形，90//AD BC AB ABC AD BC ∴==∠=︒，，．设AB a =，则152AM DM a BM ===，，Q BMN MBC ∠=∠， BN MN ∴=， 152BM FM BM ∴===． 又90A BFE ∠=∠=︒，AM B M BE ∠=∠， ABM ∴∆∽MEB ∆，5BE BMBF AM∴==554BE BF a ∴=，14CE BE BC a ∴=-=．又//AD BC ，2DN DMCN CE∴==．【总结】考查正方形和相似三角形的性质，由对应边比例关系转化到一个三角形中边的比例关系，推导结论．【例29】如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD 是边BC 上的高，点E 在线段DC 上，EF AB ⊥， EG AC ⊥，垂足分别为F 、G ．求证：（1）EG CGAD CD=；（2）FD DG ⊥． 【难度】★★ 【答案】略． 【解析】证明：（1）Q EG AC ⊥，AD 是边BC 上的高， 90ADC EGC ∴∠=∠=︒．Q C C ∠=∠，EGC ∴∆∽ADC ∆，∴EG CG AD CD=． （2）Q 90BAC ∠=︒，EF AB ⊥，EG AC ⊥， ∴四边形是AFEG 矩形，AF EG ∴=． Q EG CG AD CD =， AF ADCG CD∴=． Q EG AC ⊥，AD 是边BC 上的高，即有9090DAC DAF DAC C ∠+∠=︒∠+∠=︒，，DAF C ∴∠=∠， FAD ∴∆∽GCD ∆，FDA GDC ∴∠=∠，FDA GDA GDC GDA ∴∠+∠=∠+∠，即FDG ADC ∠=∠，∴FD DG ⊥．【总结】考查相似三角形判定定理1与定理2和相似三角形性质综合题，需要根据题目需求进行变形，找准题目所求结论，然后根据性质和判定进行灵活转换．AB CD E FGABCE F GH【例30】如图，在ABC ∆中，正方形EFGH 内接于ABC ∆，点E 、F 在边AB 上，点G 、H 分别在BC 、AC 上，且2EF AE FB =g ．求证：（1）90C ∠=︒；（2）AH CG AE FB =g g ．【难度】★★★ 【答案】略． 【解析】证明：（1）Q 四边形EFGH 是正方形， 90EF EH FG HEF EFG ∴==∠=∠=︒，．Q 2EF AE FB =g ， EH FBAE FG∴=， AEH ∴∆∽GFB ∆， AHE B ∴∠=∠，90A B A AHE ∴∠+∠=∠+∠=︒，()18090C A B ∴∠=︒-∠+∠=︒．（2）Q 四边形EFGH 是正方形， CGH B ∴∠=∠．又90C GFB ∠=∠=︒，CHG ∴∆∽FGB ∆， CG HG FGBF BG BG∴==． 由（1）可得AEH ∆∽GFB ∆， FG AEBG AH∴=， CG AEBF AH∴=，即AH CG AE FB =g g ．【总结】过点D 向AB 作垂线，也可解答，可视作考查“子母三角形”与正方形性质相结合题型，出现两两相似．ABCPQ ABCD PH【例31】如图，PH 是Rt ABC ∆斜边AC 上的垂直平分线，垂直为点H ，并交直角边AB 于 点P ，D 是PH 上一点，且AD 是AP 与AB 的比例中项． 求证：（1）AP AB AH AC =g g ；（2）ACD ∆是等腰直角三角形．【难度】★★★ 【答案】略．【解析】证明：（1）90B AHP PAH BAC ∠=∠=︒∠=∠Q ，，PAH ∴∆∽CAB ∆，AP AHAC AB ∴=，即AP AB AH AC =g g ．（2）Q AP AB AH AC =g g ，2AD AP AB =⋅，2AH AC AD ∴⋅=，即AH ADAD AC=． HAD CAD ∠=∠Q ，AHD ∴∆∽ADC ∆，90ADC AHD ∴∠=∠=︒．又PH 是AC 的垂直平分线，AD CD ∴=，即证ADC ∆是等腰直角三角形．【总结】考查三角形中的等比例转化，根据判定证明相似再根据相似的性质得出结论再证明相似，先判定再应用．【例32】如图，16AB =厘米，12AC =厘米，动点P 、Q 分别以2厘米/秒和1厘米/秒的 速度同时开始运动，其中点P 从点A 出发沿AC 边一直移动到点C 为止，点Q 从点B 出发沿BA 边一直移动到点A 为止．经过多长时间后，APQ ∆与ABC ∆相似？【难度】★★★【答案】4811s 或325s ．【解析】设两动点运动时间为t ，则2AP t =，BQ t =，16AQ t =-． （1）AQP ∆∽ABC ∆时，则有AQ APAB AC=，即1621612t t -=，解得：4811t s =． （2）APQ ∆∽ABC ∆时，则有AP AQAB AC=，即2161612t t -=，解得：325t s =． 【总结】解决三角形相似问题时，一定要注意确立好对应关系，题目没有明确说明的前提下，则需要进行分类讨论，三角形比例关系不确定，且有相等夹角时，实际上只需要将相应比例关系顺序变换一下即可．ABCDE FA BCD【习题1】如图，在ABC ∆中，如果EF //AB ，DE //BC ，那么你能找出哪几对相似三角形？ 【难度】★【答案】ADE ∆∽ABC ∆，EFC ∆∽ABC ∆，EFC ∆∽ADE ∆． 【解析】Q DE //BC ，∴ADE ∆∽ABC ∆．Q EF //AB ，∴EFC ∆∽ABC ∆，∴EFC ∆∽ADE ∆． 【总结】考查相似三角形预备定理，同时建立两两相似的概念．【习题2】如图，在ABC ∆中，D 为边AC 上一点，DBC A ∠=∠，6BC =，3AC =，则CD的长为．【难度】★ 【答案】2．【解析】Q DBC A ∠=∠，C C ∠=∠，ABC ∴∆∽BDC ∆．AC BCBC CD ∴=，代入可得：2CD = 【总结】考查相似三角形的判定定理1并进行相似三角形性质应用．【习题3】根据下列条件，判断和是否是相似三角形；如果是，那么用符号表示出来． （1）45A ∠=︒，12AB cm =，15AC cm =， 45D ∠=︒，16DE cm =，20DF cm =； （2）45A ∠=︒，12AB cm =，15AC cm =， 45E ∠=︒，20ED cm =，16EF cm =； （3）45A ∠=︒，12AB cm =，15AC cm =， 45D ∠=︒，16ED cm =，20EF cm =． 【难度】★【答案】（1）相似，ABC ∆∽DEF ∆；（2）相似，ABC ∆∽EFD ∆；（3）不相似 【解析】根据相似三角形判定定理2即可知对应边成比例，且夹角相等即相似，（1）（2）均 符合题意，但需确立好对应关系；（3）中相等两角非夹角，不相似． 【总结】考查相似三角形判定定理2的条件，尤其注意是对应成比例边的夹角．随堂检测A B CDE A BCDEABCDOM S【习题4】如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，BD 平分ABC ∠，DE AB ⊥，若6BC =，8AC =，则CD =．【难度】★★ 【答案】3．【解析】Q BD 平分ABC ∠，DE AB ⊥，90C ∠=︒， BD BD =，BCD BED ∴∆≅∆，CD ED ∴=．同时又Q A A ∠=∠，ADE ∴∆∽ABC ∆，DE ADBC AB ∴=，由勾股定理可得：2210AB AC BC =+=，代入即为：8610DE DE-=，解得：3DE =，∴CD =3． 【总结】考查相似三角形判定定理1和相似三角形的性质，注意根据对应边相似关系转化到一个三角形中边的对应比例关系．【习题5】如图，AB //CD ，图中共有对相似三角形．【难度】★★ 【答案】6．【解析】根据AB //CD ，由相似三角形预备定理，可知图中有6对相似三角形，分成“A ”字型和“X ”字型两个类别．【总结】考查相似三角形的一些常见模型，由相似三角形预备 定理可推知，如“A ”字型和“X ”字型．【习题6】如图，在矩形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，且DE AC ⊥，那么:CD AD =．【难度】★★ 22．【解析】Q 四边形ABCD 是矩形， //90AD BC AD BC ADC BCD ∴=∠=∠=︒，，．Q DE AC ⊥，EDC DAC ∴∠=∠．ADC ∴∆∽DCE ∆，AD CDCD CE∴=．设AD a =，则1122CE BC a ==，由此可得：2CD =，∴2::22CD AD a =． 【总结】考查“子母三角形”基本图形，同时考查比例中项比值的求法．AB C DEF【习题7】如图，ABC ∆是直角三角形，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，E 是AC 的中点， ED 的延长线与CB 的延长线交于点F ．求证：FB FDFD FC=． 【难度】★★ 【答案】略．【解析】证明：Q 90ACB ∠=︒，CD AB ⊥， 即9090A ACD BCD ACD ∠+∠=︒∠+∠=︒，A BCD ∴∠=∠Q CD AB ⊥，E 是AC 中点，12DE AC AE ∴==A ADE ∴∠=∠ BDF ADE ∠=∠QBDF BCD ∴∠=∠ F F ∠=∠QCDF ∴∆∽DBF ∆∴FB FD FD FC= 【总结】考查“子母三角形”基本模型的建立，同时与直角三角形斜边中线分直角三角形为两等腰三角形知识点相结合，推出角相等，根据相似三角形判定定理1可证相似．ABCDE【习题8】如图，在ABC ∆中，点E 在中线BD 上，DAE ABD ∠=∠． 求证：（1）2AD DE DB =g ；（2）DEC ACB ∠=∠．【难度】★★ 【答案】略．【解析】证明：（1）Q DAE ABD ∠=∠，ADE ADB ∠=∠，ADE ∴∆∽BDA ∆，AD DEDB AD ∴=，即2AD DE DB =g ． （2）Q 2AD DE DB =g ，AD CD =，2CD DE BD ∴=⋅，即DE CDCD BD =．EDC BDC ∠=∠Q ，CDE ∴∆∽BDC ∆，∴DEC ACB ∠=∠．【总结】考查相似三角形的判定定理2和相似三角形的性质，证明过程中注意公共线段的充分利用，往往可以作为中间量．【习题9】如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，M 是边AB 的中点，E 、G分别是边AC 、BC 上的一点，45EMG ∠=︒，AC 与MG 的延长线相交于点F ．（1）在不添加字母和线段的情况下，写出图中一定相似的三角形，并证明其中的一对； （2）联结EG ，当3AE =时，求EG 的长． 【难度】★★★【答案】（1）AMF ∆∽MEF ∆，AEM ∆∽BMG ∆；（2）53EG =．【解析】（1）例证AEM ∆∽BMG ∆，证明过程如下； 证明：Q 90ACB ∠=︒，AC BC =，45A B ∴∠=∠=︒．Q 45EMG ∠=︒，EMB EMG GMB AEM A ∴∠=∠+∠=∠+∠． GMB AEM ∴∠=∠，∴AEM ∆∽BMG ∆． （2）Q 4AC BC ==，2242AB AC BC ∴=+=． 又M 为AB 中点， 1222AM BM AB ∴===． 由（1）得AEM ∆∽BMG ∆，AE AM BM BG ∴=，即2222=，解得：83BG =． 413CE CG ∴==，，根据勾股定理得：2253EG CE CG =+=．【总结】考查“一线三等角”基本模型的建立，由外角可证相似三角形．ABC EFMGABCDEF【习题10】如图，ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，交AC 于点D ，点E 在BD 的延长线上， BA BD BC BE =g g ．（1）求证：AE AD =；（2）如果点F 在BD 上，CF CD =，求证：2BD BE BF =g ．【难度】★★★ 【答案】略．【解析】证明：（1）Q BA BD BC BE =g g ，BA BEBC BD ∴=， 又BD 平分ABC ∠，ABE CBD ∴∠=∠， ABE ∴∆∽CBD ∆，AEB BDC ∴∠=∠． ADE BDC ∠=∠Q ， ADE AEB ∴∠=∠，∴AE AD =．（2）Q CF CD =， FDC DFC ∴∠=∠， BFC ADB ∴∠=∠．又Q ABE CBD ∠=∠，ABD ∴∆∽CBF ∆， BA BDBC BF∴=． 又BA BD BC BE =g g ， BA BEBC BD∴=， BD BEBF BD∴=．即2BD BE BF =g ．【总结】考查相似三角形判定定理1和2综合题型，再运用相似三角形性质进行证明．A BCD【作业1】如图，已知AD BC ⊥，CE AB ⊥，且交AD 于点P ，试写出图中所有的相似三角形．【难度】★【答案】BAD ∆∽BCE ∆∽PCD ∆∽PAE ∆．【解析】根据垂直和共用一个角，由相似三角形判定定理1 可知这4个直角三角形两两相似，共形成6对相似三角形．【总结】考查相似三角形中的基本模型，“双高形”，也可称作“飞镖形”，分出的4个三角形两两相似．【作业2】如图，在ABC ∆中，3AB =，3AC =，D 是边AC 上一点，且:1:2AD DC =， 联结BD ．求证：ABD ∆∽ACB ∆．【难度】★ 【答案】略．【解析】证明：Q :1:2AD DC =，3AC =， 1AD ∴=．Q 3AB =，33AD AB AB AC ∴==． A A ∠=∠Q ，∴ABD ∆∽ACB ∆．【总结】考查相似三角形的判定定理2，根据题目条件变形应用．课后作业ABCDEPA BCDEF 【作业3】如图，ABC ∆中，P 为AB 上一点，在下列四个条件下，①ACP B ∠=∠；② APC ACB ∠=∠；③2AC AP AB =g ；④AB CP AP CB =g g ，组合起来能得出：ABC ∆∽ACP ∆的是（）（A ）①、②、④ （B ）①、③、④ （C ）②、③、④ （D ）①、②、③【难度】★★ 【答案】D【解析】由相似三角形判定定理1，加上公共角A ∠，可知①②可判断相似；由相似三角形判定定理2，③变形即为AP ACAC AB =，加上公共夹角A ∠，可知③正确，④不正确．【总结】考查相似三角形的判定定理的掌握，考查判定定理2的条件．【作业4】如图，在ABC ∆中，15AB =厘米，12AC =厘米，AD 是BAC ∠的外角平分线，DE //AB 交AC 的延长线于点E ，求CE 的长．【难度】★★ 【答案】48CE cm =．【解析】Q AD 是BAC ∠的外角平分线， FAD EAD ∴∠=∠．Q DE //AB ，FAD ADE ∴∠=∠， EAD ADE ∴∠=∠， AE DE ∴=．又由DE //AB ，可得AB AC DE CE =， 即151212CE CE=+，解得48CE cm =．【总结】考查平行线与角平分线一起出现等腰三角形的基本模型，同时根据平行即可判定对应线段成比例即可．AB CPAB CD E ABCD E【作业5】如图，在Rt ABC ∆中，AB AC =，45DAE ∠=︒． 求证：（1）ABE ∆∽DCA ∆；（2）22BC BE CD =g ．【难度】★★ 【答案】略【解析】证明：（1）90AB AC BAC =∠=︒Q ，，45B C ∴∠=∠=︒． Q 45DAE ∠=︒，AED AEB ∠=∠，ABE ∴∆∽DAE ∆，同理可证DAE ∆∽DCA ∆，∴ABE ∆∽DCA ∆．（2）Q ABE ∆∽DCA ∆，AB BECD AC∴=，即CD BE AB AC ⋅=⋅． 90AB AC BAC =∠=︒Q ，，22222BC AB AC AB AC CD BE ∴=+=⋅=⋅．【总结】考查相似三角形的判定和相关性质，注意相似的传递性，先判定相似再应用相似性质证明相关题目．【作业6】如图，ABC ∆中，AB AC =，点D 是AB 上的动点，作EDC ∆∽ABC ∆．求证：（1）ACE ∆∽BCD ∆；（2）AE //BC ．【难度】★★ 【答案】略．【解析】证明：（1）Q EDC ∆∽ABC ∆，EC DCAC BC ∴=，DCE ACB ∠=∠， 即EC ACDC BC=，ACE ACD ACD BCD ∠+∠=∠+∠，∴ACE BCD ∠=∠，∴ACE ∆∽BCD ∆．（2）Q AB AC =，B ACB ∴∠=∠． Q ACE ∆∽BCD ∆，CAE B ∴∠=∠．CAE ACB ∴∠=∠，∴AE //BC ．【总结】由一对三角形的相似，根据相似三角形的性质，往往能推出其它的三角形的相似，注意多观察题目需要证明的结论，运用性质往结论方向综合证明．AB CDE【作业7】如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD AB ⊥于点A ，交BC 边于点E ，DC BC ⊥于 点C ，与AD 交于点D ． （1）求证：ACE ∆∽ADC ∆；（2）如果1CE =，2CD =，求AC 的长．【难度】★★★【答案】（1）略；（2）25AC =． 【解析】（1）证明：Q AD AB ⊥，DC BC ⊥，AEB CED ∠=∠， ∴AEB ∆∽CED ∆，B D ∴∠=∠．Q AB AC =，B ACE ∴∠=∠， D ACE ∴∠=∠． CAE CAD ∠=∠Q ，∴ACE ∆∽ADC ∆．（2）解：由（1）可知AEB ∆∽CED ∆，AE ABCE CD ∴=． Q 1CE =，2CD =，25AB AE AC DE ∴==，Q ACE ∆∽ADC ∆， AC CEAD CD∴=．即11252AC AC =+、 解得：25AC =． 【总结】考查对相似三角形性质的综合应用，进行比例转化，也可通过点A 向BC 作垂线构造“字母三角形”求得．AB CD EFM【作业8】如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB CD BC ==．点M 为边BC 的中点，以 点M 为顶点作EMF B ∠=∠，射线ME 交边AB 于点E ，射线MF 交边CD 于点F ，联结EF ．指出图中所有与BEM ∆相似的三角形，并加以证明．【难度】★★★【答案】BEM ∆∽CMF ∆；BEM ∆∽MEF ∆． 【解析】证明：//AD BC AB CD =Q ， B C ∴∠=∠．EMC EMF CMF BEM B ∠=∠+∠=∠+∠Q ，又EMF B ∠=∠，BEM CMF ∴∠=∠．∴BEM ∆∽CMF ∆． ∴BE EM CM MF=． Q M 是BC 中点，BM CM ∴=， BE EMBM MF ∴=， 即BE BM EM FM=． Q EMF B ∠=∠，∴BEM ∆∽MEF ∆．【总结】考查“一线三等角”基本模型，根据内角可证相似，同时根据相似的性质加以题目条件可证其它相似三角形，注意不要遗漏．。
射影定理课件
.A A’ N
定义：
B
过线段AB的两个端点分别作直线l的垂线， A
垂足A’，B’之间的线段A’B’叫做线段AB在 l A’ B’
直线l上的正射影，简称射影。
各种线段在直线上的射影的情况：
B A
A B’
A’ B’ l
A’
l B
直角三角形中的成比例线段
A B
A’ B’ l
如图,CD是 R tAB的C 斜边AB的高线 这里:AC、BC为直角边，AB为斜边， CD是斜边上的高 AD是直角边AC在斜边AB上的射影, A
13
cm.
4
4
（4）CD= 3 cm,BC= 2 3 cm.
你都做对 了吗？
你都弄懂了吗？
(1)在RtAB中C,CD为斜边AB上的高,图中共有6条线段
AC,BC,CD,AD,DB,AB 已知任意两条,便可求出其余四条. (2)射影定理中每个乘积式中,含三条线段,若已知两条 可求第三条. (3)解题过程中,注意和勾股定理联系,选择简便方法.
原来学好数 学，一点都 不难！
教
复
新
例
练小
学
目 标
习
课
题
习结
你知道吗？
直角三角形中的成比例线段
使学生了解射影的概念，掌握 射影定理及其应用。
直角三角形中的比例线段定理 在证题和实际计算中有较多的 应用。
例2证法有一定的技巧性。
直角三角形中的成比例线段
1.
已学习了相似三角形的判定及直角三角形相似的判定方 法。今天我们进一步学习直角三角形的特性。
大家先回忆一下：
在RtAB中C ，C=90,有__A ___2 __C __B ___2 _C _ __A ___2 _B _.
人教版九年级下册数学《位似》相似精品PPT教学课件
6
过程与方法
• 经历位似图形性质的探索过程，进一步发 展学生的探究、交流能力、以及动手、动脑、 手脑和谐一致的习惯。
2020/11/22
7
情感态度与价值观
• 利用图形的位似解决一些简单的实际问题，并在此 过程中培养学生的数学应用意识，进一步培养学生动 手操作的良好习惯。 • 发展学生的合情推理能力和初步的逻辑推理能力。
2020/11/22
轴对称
中心对称
30
平移
2020/11/22
旋转
31
相似
2020/11位似中心、位似比：
如果两个图形不仅形状相同,而且每组 对应顶点所在的直线都经过同一个点,那么 这样的两个图形叫做位似图形。
在平面直角坐标系中，有两点A（6，3）， B（6，0）。以原点O为位似中心，相似比为1 ， 把线段AB缩小。观察对应点之间坐标的变化3， 你有什么发现？
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26
探究
△ABC三个顶点坐标 分别为A（2，3），B（2， 1），C（6，2），以点O 为位似中心，相似比为2， 将△ABC放大，观察对应 顶点坐标的变化，你有什 么发现？
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15
位似图形的性质
✓ 对应点与位似中心共线。 ✓ 不经过位似中心的对应边平行。 ✓ 位似图形上任意一对应点到位似中心的 距离之比等于位似比。
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16
位似的作用 位似可以将一个图形放大或缩小。
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小练习
请以坐标原点O为位似中心，作□ ABCD
的位似图形，并把它的边长放大3倍。
分析：根据位似图形上任意一对对应点到位似中 心的距离之比等于位似比，我们只要连结位似中心O
北师大版九年级上册数学《图形的位似》图形的相似教学说课复习课件巩固
C. 四边形 ABCD 与四边形 AEFG 的周长比是 2∶3
D. 四边形 ABCD 与四边形 AEFG 的面积比是 4∶9
答案：B
2. 如图，四边形 ABCD 与四边形 EFGH 位似，其位似
4
OE 4
FG
7
中心为点 O，且EA ＝ ，则BC ＝
．
3
3. 如图，在 8×8 的正方形网格中，△ AOB 的顶点都在格
个“顶点”的坐标为（a，b），那么大“鱼”上对应“顶点”
的坐标为（ C ）
A．（-a，-2b）
B．（-2a，-b）
C．（-2a，-2b）
D．（-2b，-2a）
强化训练
3.如图，正方形OABC和正方形DEFG是位似图形（其中点O，A，B，
C的对应点分别是点D，E，F，G），点B的坐标为（1，1），点F的
点)
课前预习
(一)知识探究
一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点 P，P′
所在的直线都经过同一点 O，且有 OP′＝k·
OP(k≠0)，那么这
样的两个多边形叫做 位似
位似 多边形，点 O 叫做 位似中心
位似中心 ，
k 就是这两个相似多边形的 相似比
相似比 ．
(二)预习反馈
1. 下列图中的两个图形不是位似图形的是( D )
4. 作位似多边形的方法：(1)根据“对应点到位似中心的
距离之比等于相似比”作出各顶点关于位似中心的对应点；(2)
用线段顺次连接各对应点．
点上．请在网格中画出△ OAB 的一个位似图形，使两个图形
以点 O 为位似中心，且所画图形与△ OAB 的相似比为 2∶1.
解： 延长 AO，BO，根据相似比，在延长线上分别截取
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内容
基本要求
略高要求 较高要求
相似
了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，会判断四条线段是否成比例，会利用线段的
比例关系求未知线段；了解黄金
分割；知道相似多边形及其性质；认识现实生活中物体的相似；了解图形的位似关系
会用比例的基本性质解决有关问题；会用相似多边形的性质解决简单的问题；能利用位似变换
将一个图形放大或缩小
相似三角形
了解两个三角形相似的概念
会利用相似三角形的性质与判
定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决实际问题
相似多边形
知道相似多边形及其性质；认识现实生活中物体的相似
会用相似多边形的性质解决简单问题
1．相似定义，性质，判定，应用和位似 2．相似的判定和证明 3．相似比的转化
中考要求
重难点
射影定理和内接矩形
希尔宾斯基三角形
许多人看到“雪花曲线”时，都感到十分奇怪，把它称为“数学怪物”．后来，人们发现像“雪花曲线”这样的“数学怪物”还真不少．让我们再来欣赏“希尔宾斯基三角形”，它是波兰数学家希尔宾斯基最先作出的．图1是一个正三角形，找到三条边的中点，连接成一个黑色的小正三角形，黑色表示要把它挖去．按照这个规律，在图2中的白色小三角形中继续挖，得到图3……这样就可以得到一个希尔宾斯基三角形．
（4）
（3）
（2）
（1）
看到这样的图案，你能想到什么呢？能跟我们平时做的题型产生什么联想？能想到如果这个图形出现在中考题型中，会以什么方式出现吗？
模块一（斜）射影定理类相似问题 射影定理常见及扩展模型：
D
C
B A
C D B A
图1有：2AB BD BC =⋅
图2有：222,,AB BD BC AD BD DC AC DC BC =⋅=⋅=⋅
例题精讲
课前预习
【例1】 如图，直角ABC △中，AB AC ⊥，AD BC ⊥，证明：2AB BD BC =⋅，2AC CD BC =⋅，
2AD BD CD =⋅．
D
C
B
A
【巩固】如图，在直角梯形ABCD 中，AB CD AB BC ⊥∥，，对角线AC BD ⊥，垂足为E ，AD BD =，
过E 的直线EF AB ∥交AD 于F ． ⑴ AF BE =， ⑵ 2AF AE EC =⋅．
F
E
D C
B
A
【巩固】如图，矩形ABCD 中，BE AC ⊥于F ，E 恰是CD 的中点，下列式子成立的是（ ）
F
E D
C
B A
A ．221
2BF AF =
B ．221
3
BF AF =
C ．221
2BF AF >
D ．221
3
BF AF <
【例2】 如图，ABC △中，AD BC ⊥于D ，BE AC ⊥于E ，DF AB ⊥于F ，交BE 于G ，FD 、AC 的
延长线交于点H ，求证：2DF FG FH =⋅．
H
G D
F E C B
A
【巩固】已知：如图，90ACB CDA AEB ∠=∠=∠=︒,求证：AEC ACF ∠=∠．
F E
A
B
C
D
【巩固】如图，Rt ABC △中90C ∠=︒，点D 在AC 上，BD AD =，M 是AB 的中点，ME AC ⊥于E ，点
P 是ME 的中点，连接DP ．求证：BE DP ⊥．
A
B
C
D
E
M
P
P
M
E D
C
B
A
【拓展】如上图，在ABC ∆中，2FD FB FC =⋅，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 的延长线于F ，
求证：AD 平分BAC ∠．
E
F
D C B
模块二 内接矩形类相似问题
内接矩形类的模型及结论：
T
H G
F
E D
C
B A
其中AI DG
AH BC
=
，在平时训练中遇到内接矩形类的图形，就要充分利用这一结论，有助于进行解题．
【例3】 ABC △中，正方形EFGH 的两个顶点E 、F 在BC 上，另两个顶点G 、H 分别在AC 、AB 上，
15BC =,BC 边上的高10AD =,求EFGH S W .
H
G
F E D C
B A
【巩固】如图，已知ABC △
中，511AC AB BC ===，，DEGF 为正方形，其中D E ，在边
AC BC ，上，F G ，
在AB 上，求正方形的边长．
G
F
E
D
B
A
【巩固】如图，有一块三角形土地，它的底边48BC =米，高16AH =米，某单位要沿着底边BC 修一座底
面是矩形DEFG 的大楼。
当这个大楼地基面积为192平方米时，这个矩形的长和宽各是多少？
K
H G
F E
D
C
B A
【拓展】如图，已知ABC △中，四边形DEGF 为正方形，D E ，在线段AC BC ，上，F G ，在AB 上，如
果1ADF CDE S S ==△△，3BEG S ∆=，求ABC ∆的面积．
G
F
E
D
C
B
A
1. 如图，在ABC △中，AD 平分BAC ∠，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 的延长线于F ，求证：
2FD FB FC =⋅．
课堂检测
E
F
D C B
2. 如图，正方形MNPQ 的顶点在三角形ABC 的边上，当边BC a =与高AD h =满足什么条件时，正方形
MNPQ 的面积是三角形ABC 面积的一半？
P
Q M N
A
B
C
D
1．通过本堂课你学会了 ． 2．掌握的不太好的部分 ． 3．老师点评：① ．
② ．
③ ．
1． 如图，等腰ABC △中，AB AC =，AD BC ⊥于D ，CF AB ∥，延长BP 交AC 于E ，交CF 于F ，求
证：2BP PE PF =⋅．
课后作业
总结复习
F P
E
D
C
B
A
2． 如图，已知ABC △中，3490AC BC C ==∠=︒，，，
四边形DEGF 为正方形，其中D E ，在边AC BC ，上，F G ，在AB 上，求正方形的边长．
G
F
E
D
C
B
A。