现代控制：由能控标准I型求传递函数
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由能控标准I 型的,,,A b C ，求系统的传递函数阵
()()1
W s C sI A b - =-
I 、先求()1
sI A -- ，[]1()()T
cof sI A sI A sI A
---=
-
20
12
21011
2
21
100 00100 0010 010 0000 00
00 0 000s 1000s 1 n n n n s s s s s s sI A a a a a
s a
a a s a a a s a -------- =
=
---+++3
2
0121
2
21
0100 00
10 000 0 =
00s 1 n n s s s a a s a s a a a s a ----=
-+++
20121
2
21
211
0120100 00
10 0000 0 0
00s 1 [](1)(1)n
n n n n n s s a a s a s s a a a s a a a s a s s --+---=
-+++
++ =+++
+-⋅-
分析：从第2列开始，把各列依次乘以21,,
,n s s s -加到第1列后，按第1列展开
求行列式（只剩第n 行第1列的值），前一个1(1)n +-为第n 行第1列展开求行列式时决定符号的系数，后一个1(1)n --为去掉第n 行第1列后所留行列式的值。
而()T
cof sI A ⎡⎤-⎣⎦为代数余子式转置矩阵或伴随矩阵。
注意到001b ⎡⎤⎢⎥
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
因此只需求得()T
cof sI A ⎡⎤-⎣⎦的最后一列即可，即求011,,,n a a s a -+的代数余
子式即可。
0a 的代数余子式为11(1)(1)n n +--⋅-,1(1)n +-代表代数余子式中第n 行第1列的
决定符号的系数，1(1)n --代表余子式中对应行列式的值。
1a 的代数余子式为22(1)(1)n n s +--⋅-
即[]
11223321(1)(1)(1)(1)()(1)(1)(1)n n n n T
n n n n n s cof sI A s s +-+-+-+-⎡⎤
⨯
⨯--⎢⎥
⨯⨯--⋅⎢⎥⎢⎥=-⨯⨯--⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⨯⨯
-⎣⎦
2
11n s s s -⨯
⨯⎡⎤
⎢⎥⨯⨯⎢
⎥⎢⎥ =⨯
⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⨯⨯
⎣⎦
()()[]211
1
101121210
1110
1001n n n n n n n n n n s s s W s C sI A b a a s s s s s s s s βββββββααα---------⨯⨯
⎡⎤⎢⎥⨯⨯⎢⎥⎢⎥⨯⨯⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⨯⨯⎣
⎦⎢⎥∴ =-=⎢⎥
++
+⎢⎥⎣⎦
++++ =
++++
反之，也可由传递函数阵求能控标准I 型的,,A b C 。
第三题……………………………………………………
u y
图3-3 系统的标准结构形式示意图
（2）从图3-3可看出，四个系统传递信息的情况。子系统o c ,∑既与输入u 相通，又与输出y 相通，是能控能关子系统；在NO c ,∑中只有输入通道，而无输出通道，是能控不能关子系统；O NC ,∑只有输出通道，而无输入通道，式不能控但能关子系统；NO NC ,∑与输入和输出均不相通，式不能控不能观子系统。这样，在系统中，输入u 和输出y 之间，只存在唯一的单向控制通道，即y u O C →∑→,。显然，反映系统输入输出之间的传递函数阵)(s G 只能反映出系统中能控且能观的子系统
O C ,∑，即
B A sI
C s G s G 1)()()(--==
[
]
⎥
⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢
⎣⎡---------=000
0000
000214443
33242322
211311
3
1
B B A sI A A sI A A A sI A A A sI
C C （3-25） 11111)(B A sI C --=
式（3-25）说明，传递函数阵只是对系统的一种不完全的描述。若在系统中增加或去掉不能控或不能馆的子系统，并不影响系统的传递函
∑NC,O ∑NC,NO ∑C,NO
∑C,O
数阵。反之，若要根据给定的传递函数阵求对应的状态空间表达式，其解将有多种形式。