现代控制：由能控标准I型求传递函数
现代控制理论第三章5
c ( A )
T n1
C
T T m
n
上述能观测判据矩阵中，有且仅有n个行向量是线性无关的，可
取n个线性无关的行向量或其某种组合构成状态空间的基底下所具有的标准形式。
要使行向量取法唯一，则m=1。故能观测标准型仅讨论SO系统。
1、能观测标准I型
Ax bu x 如果单输出线性定常系统： 是能观测的， y Cx
Ax b u x y Cx
0 1 b To2 b 1 n 1
C CTo2 [0 0 1]
非奇异变换阵为：
对于能观标准II型也可以直接写出系统的传递函数
由上述定义可知:
能观规范形与能控规范形是互为对偶的,即
其中：
0 0 0 1 n 1
非奇异变换阵为：
C CA 1 To1 N n 1 CA
C CTo1 [1 0 0]
证明思路：用对偶原理证明，能观测标准I型，就是其对偶系统 的能控标准II型。 以下两系统互为对偶系统：
1 0 0 1 1 0 1 1 Tc1 AB B 1 1 1 1 1 0 1 1
0 B 1 C CTc1 1 1
[例2]：写出以下传递函数的能控标准I型。
是 CTc1 相乘的结果
det[λI A] λn an1λn1 a1λ a0
对于能控标准I型，非奇异变换阵为：
0 1 n 1 1 Tc1 [ An 1b, An 2b, , b] 2 1 2 0 0 1
传递函数 能控标准型
传递函数能控标准型传递函数能控标准型。
传递函数是描述线性时不变系统的输入和输出之间关系的数学表达式。
在控制系统中，传递函数是非常重要的概念，它可以帮助我们分析系统的性能、稳定性和动态响应。
本文将围绕传递函数能控标准型展开讨论，介绍其定义、特点以及在控制系统中的应用。
传递函数能控标准型是指系统的传递函数可以通过控制输入来实现系统的稳定性和性能要求。
在控制系统设计中，我们通常希望系统能够对不同的输入信号做出合适的响应，并且在一定的时间内实现稳定。
传递函数能控标准型的出现，正是为了满足这一需求。
传递函数能控标准型的定义是系统传递函数的分子次数小于或等于分母次数，并且系统的传递函数的根全部位于单位圆内。
这个定义的核心是系统的传递函数的特征，通过对传递函数的分子、分母次数以及根的位置进行分析，我们可以判断系统是否满足能控标准型。
传递函数能控标准型的特点包括，一是系统的传递函数是严格因果的，即系统的输出只取决于过去的输入；二是系统的传递函数是稳定的，即系统的输出在有限时间内有界；三是系统的传递函数是最小相位的，即系统的相位响应是最小的。
这些特点保证了系统在控制输入的作用下能够实现稳定的性能要求。
在控制系统中，传递函数能控标准型具有重要的应用价值。
首先，通过对系统传递函数进行分析，我们可以判断系统是否满足能控标准型，从而为系统的稳定性和性能提供依据。
其次，传递函数能控标准型可以作为控制系统设计的指导原则，帮助我们选择合适的控制策略和参数。
最后，传递函数能控标准型还可以用于系统的故障诊断和故障恢复，通过对系统传递函数的变化进行监测，我们可以及时发现系统的故障并采取相应的措施。
总之，传递函数能控标准型是控制系统中的重要概念，它对系统的稳定性和性能具有重要的影响。
通过对传递函数能控标准型的理解和应用，我们可以更好地设计和分析控制系统，从而实现对系统的有效控制和管理。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解传递函数能控标准型的概念和应用。
传递函数能控标准型
传递函数能控标准型传递函数是描述线性时不变系统输入和输出之间关系的数学工具，它在控制系统理论中起着至关重要的作用。
在控制系统设计中，我们常常需要将系统的动态特性用数学模型来描述，而传递函数正是这样一种数学模型。
传递函数能控标准型是一种特殊的传递函数形式，它在控制系统设计和分析中具有重要的应用价值。
传递函数能控标准型通常具有以下的形式：\[G(s) = \frac{k}{s(Ts+1)}\]其中，\(k\) 为系统的增益，\(T\) 为系统的时间常数。
这种形式的传递函数在控制系统理论中具有重要的意义，它可以帮助我们分析系统的稳定性、动态特性和频域特性，从而指导控制系统的设计和调节。
传递函数能控标准型的特点是具有一个一阶惯性环节和一个零点，这种形式的传递函数在控制系统中是非常常见的。
通过对传递函数进行分析，我们可以得到系统的阶跃响应、脉冲响应和频率响应等重要性能指标，从而对系统的性能进行评价和改进。
在控制系统设计中，我们经常会遇到需要将系统的传递函数转化为能控标准型的形式。
这样做的目的是为了方便系统分析和设计，能够更清晰地了解系统的动态特性和稳定性。
同时，能控标准型也是许多控制系统设计方法的基础，比如根轨迹法、频率法等。
通过对传递函数进行变换和调节，我们可以将系统的传递函数变换为能控标准型的形式。
这需要我们对系统的动态特性有深刻的理解，能够准确地把握系统的特点和参数。
只有这样，我们才能够有效地将系统的传递函数转化为能控标准型，为控制系统的设计和调节提供有力的支持。
在实际工程中，能控标准型的应用非常广泛。
比如在飞行器、汽车、机械设备等控制系统中，能控标准型都有着重要的应用价值。
通过对系统的传递函数进行分析和调节，我们可以使系统具有更好的控制性能和稳定性，从而提高系统的工作效率和安全性。
总之，传递函数能控标准型是控制系统理论中的重要概念，它对于系统的分析和设计具有重要的意义。
通过对传递函数进行变换和调节，我们可以将系统的动态特性清晰地呈现出来，为控制系统的设计和调节提供有力的支持。
能控和能观标准型
能控性和能观性
在现代控制理论中，能控性和能观性是两个重要 的概念，它是卡尔曼(Kalman)在1960年提出的，是最 优控制和最优估计的设计基础。
能观性针对的是系统状态空间模型中的状态x的能 观测性，它反映系统的内部状态x（通常是不可以 直接测量的）被系统的输出量y(t)（通常是可以直 接测量的）所反映的能力。
能控性严格上说有两种，一种是系统控制输入u(t) 对系统内部状态x(t)的控制能力，另一种是控制输 入u(t)对系统输出y(t)的控制能力。但是一般没有 特别指明时，指的都是状态x的能控性。
an1 1
(3 69)
将系统变成能控Ⅰ型 x Ax bu
y Cx
(3 70)
其中
0 1 0
0
0
1
A
Tc11 ATc1
0
0
0
a0 a1 a2
0
0
1
an1
(3 71)
0
0
b
Tc1
C CTc1 0 1 n1 (3 73)
x Ax Bu y Cx Du 使其满足 C(sI A)1 B D W (s) 则称该状态空间表达式S为传递函数阵 W(s)的一个实现。
需指出,并不是任意一个W(s)阵都能找到实现， 它必须满足物理可实现条件，即
(1)传函阵W(s)中的每个元Wik(s)(i=1,2‥m;k=1,2‥, r) 的分子分母多项式的系数均为实常数。
《现代控制理论》课后习题答案(完整版)
1-1
解：系统的模拟结构图如下：
系统的状态方程如下：
阿
令 ，则
所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为
1-2
解：由图，令 ，输出量
有电路原理可知：既得
写成矢量矩阵形式为：
1-3
1-4 两输入 ， ，两输出 ， 的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。
当时，
解之得 令 得
当时，
解之得 令 得
当 时，
解之得令得
约旦标准型
1-10
试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果解：（1）串联联结
（2）并联联结
1-11
求系统的闭环传递函数解：
求系统的闭环传递函数解：
1-12已知差分方程为
试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u的系数b(即控制列阵)为
（1）
解法1：
解法2：
求T,使得得所以
解：系统的状态空间表达式如下所示：
1-5
列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。解：令 ，则有
相应的模拟结构图如下：
1-6
解：
1-7
‘
（1）画出其模拟结构图
（2） 求系统的传递函数解：
（2）
1-8
（3）（3）
解：A的特征方程
解得： 令得
（或-9
（2）
解：A的特征方程
现代控制理论习题解答(第五章)
第五章 状态反馈和状态观测器3-5-1 已知系统结构图如图题3-5-1图所示。
(1)写出系统状态空间表达式；(2)试设计一个状态反馈矩阵，将闭环极点特征值配置在j 53±-上。
)(t y题3-5-1图【解】：方法一：根据系统结构直接设状态变量如题3-5-1图所示，写状态空间表达式：[]x y u x x 10112101=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--= 23111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=c c U rank U系统能控，可以设计状态反馈阵。
设状态反馈阵为][21k k K = 状态反馈控制规律为：Kx r u -= 求希望特征多项式：34625)3()(*22++=++=s s s s f求加入反馈后的系统特征多项式：)22()3()(1212k s k k s bK A sI s f ++-++=+-=依据极点配置的定义求反馈矩阵：]1316[131634)22(6)3(21112=⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+-K k k k k k 方法二：[][][]1316)346(311110)(*10211=++⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==--I A A A f U K c方法三：（若不考虑原受控对象的结构，仅从配置极点位置的角度出发）求系统传递函数写出能控标准型：2321)111()()(2++-=+-+=s s ss s s U s Y []xy u x x 10103210-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--= 求系统希望特征多项式：34625)3()(*22++=++=s s s s f求状态反馈矩阵K ~：[][][]33236234~21=--==k k K [][][][]5.05.031111010111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==--Ab bP⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=105.05.011A P P P []1316~==P K K依据系统传递函数写出能控标准型ss s s s s s U s Y 2310)2)(1(10)()(23++=++= []x y u x x 0010100320100010=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=求系统希望特征多项式：464]1)1)[(2()(*232+++=+++=s s s s s s f求状态反馈矩阵：[][][]144342604321=---==k k k K 。
现代控制理论习题解答(第三章)
第三章 线性控制系统的能控性和能观性3-3-1 判断下列系统的状态能控性。
（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=01,0101B A （2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=111001,342100010B A （3）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=020011,100030013B A （4）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1110,0000000011111B A λλλλ 【解】：(1)[]2,1011==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==n rankU AB BU c c ，所以系统完全能控。
(2)[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---==7111111010012B A ABBU c 前三列已经可使3==n rankU c ，所以系统完全能控（后续列元素不必计算）。
（3）A 为约旦标准型，且第一个约旦块对应的B 阵最后一行元素全为零，所以系统不完全能控。
（4）A 阵为约旦标准型的特殊结构特征，所以不能用常规标准型的判别方法判系统的能控性。
同一特征值对应着多个约旦块，只要是单输入系统，一定是不完全能控的。
可以求一下能控判别阵。
[]2,111321031211312113121121132=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==c c rankU B A BA AB BU λλλλλλλλλλλ，所以系统不完全能控。
3-3-2 判断下列系统的输出能控性。
(1) ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=xy u x x 011101020011100030013 (2) []⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=x y u x x 0011006116100010【解】： （1）已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=020011,100030013B A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=011101C ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0000D []⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=111300002B CA CAB CB D前两列已经使[]22==m B CA CAB CB D rank ，所以系统输出能控。
现代控制理论课后习题答案
绪论为了帮助大家在期末复习中能更全面地掌握书中知识点，并且在以后参加考研考博考试直到工作中，为大家提供一个理论参考依据，我们11级自动化二班的同学们在王整风教授的带领下合力编写了这本《现代控制理论习题集》（刘豹第三版），希望大家好好利用这本辅助工具。
根据老师要求，本次任务分组化，责任到个人。
我们班整体分为五大组，每组负责整理一章习题，每个人的任务由组长具体分配，一个人大概分1~2道题，每个人任务虽然不算多，但也给同学们提出了要求：1.写清题号，抄题，画图（用CAD或word画）。
2.题解详略得当，老师要求的步骤必须写上。
3.遇到一题多解，要尽量写出多种方法。
本习题集贯穿全书，为大家展示了控制理论的基础、性质和控制一个动态系统的四个基本步骤，即建模、系统辨识、信号处理、综合控制输入。
我们紧贴原课本，强调运用统一、联系的方法分析处理每一道题，将各章节的知识点都有机地整合在一起，力争做到了对控制理论概念阐述明确，给每道题的解析赋予了较强的物理概念及工程背景。
在课后题中出现的本章节重难点部分，我们加上了必要的文字和图例说明，让读者感觉每一题都思路清晰，简单明了，由于我们给习题配以多种解法，更有助于发散大家的思维，做到举一反三！这本书是由11级自动化二班《现代控制理论》授课老师王整风教授全程监管，魏琳琳同学负责分组和发布任务书，由五个小组组组长李卓钰、程俊辉、林玉松、王亚楠、张宝峰负责自己章节的初步审核，然后汇总到胡玉皓同学那里，并由他做最后的总审核工作，绪论是段培龙同学和付博同学共同编写的。
本书耗时两周，在同学的共同努力下完成，是二班大家庭里又一份智慧和努力的结晶，望大家能够合理使用，如发现错误请及时通知，欢迎大家的批评指正！2014年6月2日第一章 控制系统的状态空间表达式1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式 解：系统的模拟结构图如下： 系统的状态方程如下： 令y s =)(θ，则1x y =所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为1-2有电路如图1-28所示。
传递函数的能控和能观测标准型实现方法
传递函数的能控和能观测标准型实现方法王春侠【摘要】传递函数的实现问题是现代控制理论的重要课题之一.本文介绍了传递函数能控标准型和能观测标准型实现的两种方法,它们是基于微分方程的时域法和梅森公式的状态结构图法.结合能控标准型和能观测标准型的标准Ⅰ型和标准Ⅱ型实现,详细说明了这两种方法的应用.且展示了状态结构图法的便捷之处.【期刊名称】《电气电子教学学报》【年(卷),期】2018(040)001【总页数】4页(P112-115)【关键词】状态空间表达式;标准型;梅森公式;状态结构图【作者】王春侠【作者单位】陕西理工大学电气工程学院,陕西汉中 723001【正文语种】中文【中图分类】TP130 引言单输入单输出线性定常连续n阶系统微分方程的一般形式为(1)相应的传递函数为(2)由式(1)或者式(2)建立如下式(3)的状态空间表达式，称为系统的实现问题。
(3)为了分析和设计方便，通常规定状态空间表达式有能控标准型(标准Ⅰ型和标准Ⅱ型)、能观测标准型(标准Ⅰ型和标准Ⅱ型)和约当标准型这三类标准型式。
许多教科书介绍了能控标准Ⅰ型和Ⅱ型、能观测标准型Ⅰ型和Ⅱ型等四种实现，但大部分教科书对于这四种实现的状态变量如何选取未做出比较全面、简洁的解释，这给读者理解与学习这四种实现带来了一定的困难[1-5]。
本文给出由传递函数或者高阶微分方程建立能控标准型和能观测标准型的两种方法，即基于微分方程的时域法和基于梅森公式的状态结构图法。
下面以三阶系统为例，详细介绍这两种方法，其结论可以推广到n阶系统。
三阶系统微分方程的一般形式为(4)相应的传递函数为(5)其中β2=b2-a2b3β1=b1-a1b3β0=b0-a0b31 时域法1.1 能控标准Ⅰ型实现对式(5)，引入中间变量q，令(6)式(5)变形为(7)式(6)进行拉氏反变换得(8)对式(8)，选择状态变量x1=q(9)(10)(11)由式(9)～(11)、式(8)和式(7)，得能控标准Ⅰ型为y=β0 β1 β2X+b3u(12)1.2 能观测标准Ⅰ型实现对式(4)，选择状态变量x1=y-k3u(13)(14)(15)由式(13)～(15)，得(16)(17)并令(18)由式(16)～(18)和式(13)，得能观测标准Ⅰ型为y=1 0 0X+k3u(19)其中k3=b3k1=b1-a1k3-a2k3k0=b0-a0k3-a1k2-a2k11.3 能控标准Ⅱ型实现对式(8)，选择状态变量x3=q(20)(21)(22)由式(20)～(22)和式(8)，得(23)(24)(25)由式(23)～(25)和式(7)，得能控标准Ⅱ型为y=k2 k1 k0X+b3u(26)其中k2=β2k0=β0-a1k2-a2k11.4 能观测标准Ⅱ型实现对式(5)，引入中间变量z，令(27)式(5)变形为y=b3u+z(28)式(27)进行拉氏反变换得(29)对式(29)，选择状态变量x3=z(30)(31)(32)由式(30)～(32)和式(29)，得(33)(34)(35)由式(33)～(35)和式(28)，得能观测标准Ⅱ型为y=0 0 1X+b3u(36)由式(12)、式(19)、式(26)和式(36)可见，标准Ⅰ型的系统矩阵是底伴随矩阵，标准Ⅱ型的系统矩阵是右伴随矩阵。
现代控制理论章节习题含答案（大学期末复习资料）
《现代控制理论》第一章习题解答1.1线性定常系统和线性时变系统的区别何在？答：线性系统的状态空间模型为：x = AxBu+y CxDu= +线性定常系统和线性时变系统的区别在于：对于线性定常系统，上述状态空间模型中的系数矩阵A，B，C和中的各分量均为常数，而对线性时变系统，其系数矩阵D A，B，C和D中有时变的元素。
线性定常系统在物理上代表结构和参数都不随时间变化的一类系统，而线性时变系统的参数则随时间的变化而变化。
1.2 现代控制理论中的状态空间模型与经典控制理论中的传递函数有什么区别？答: 传递函数模型与状态空间模型的主要区别如下:1.3 线性系统的状态空间模型有哪几种标准形式？它们分别具有什么特点？答: 线性系统的状态空间模型标准形式有能控标准型、能观标准型和对角线标准型。
对于n 阶传递函数G s( )= b s n−s1nn+−1a s+n−b s1n−n2−1n+−2 + +as a+1 bs b+1 +0 0+d ，分别有⎧⎡0 1 0 0 ⎤⎡⎤0⎪⎢0 0 1 0 ⎥⎥⎢⎥⎢⎥0⎪⎢⎪⎪x =⎢ ⎥x+⎢⎥ u ⑴能控标准型：⎨⎢0 0 0 1 ⎥⎥⎢⎥⎢⎥0⎪⎢⎪⎣⎢−a0 −a1 −a2 −a n−1⎥⎦⎢⎥⎣⎦1⎪⎪⎩y=[b0 b1 b n−2 b n−1]x du+⎧⎡0 0 0 −a0 ⎤⎡b0 ⎤⎪⎪⎢⎢1 0 0 −a1 ⎥⎥⎢⎢b1 ⎥⎥⎪⎪x =⎢0 1 0 −a2 ⎥⎥x+⎢⎢ ⎥⎥u⑵能观标准型：⎨⎢b n−2⎥⎪⎢ ⎥⎢⎪⎣⎢0 0 1 −a n−1⎦⎥⎢⎣b n−1⎥⎦⎪⎪⎩y=[0 0 0 1]x du+⎧⎡p1⎪⎢0⎪x =⎢⎢ 0 p20 0 ⎤⎡1⎤0 ⎥⎢1⎥⎥x+⎢⎥u ⎥⎢ ⎥⎪⑶对角线标准型：⎨⎪⎢⎣0⎪p n⎥⎦⎢⎣1⎥⎦⎪⎩y=[c1 c2 c x du n] + 式中的pp1, 2,, p n和c c1, 2,, c n可由下式给出，G s( )= b s n−s1nn−1a s+n−b s1n−n2−1n+−2 + +as a+1 bs b+1 +0 0 + =d s p−c1 1 + s p−c2 2 + + s p−c n n +d+能控标准型的特点：状态矩阵的最后一行由传递函数的分母多项式系数确定，其余部分具有特定结构，输出矩阵依赖于分子多项式系数，输入矩阵中的元素除了最后一个元素是1 外，其余全为0。
现代控制理论课后题答案(第二章-第六章)
1
R R2C1 1 1 1 1 x1 x2 u1 x R1 R2C1 R2C1 R2C1 1 1 1 2 x1 x2 u1 x R2C2 R2C2 R2C2 y u2 u1 x1
即:
R1 R2C1 1 R1 R2C1 x x 2 1 R2C2
x2
u
R1
R3
y
R2
图 P2.8 RL 电网络
解 采用机理分析法求状态空间表达式。由电路原理可得到如下微分方程
2 x1 x2 R3 R2 x2 L2 x
1 x1 x2 R3 u x1 L1 x / R1
y x1 x2 R3
(2) 解 采用拉氏变换法求取状态空间表达式。对微分方程 (2)在零初试条件 下取拉氏变换得：
2s 3Y ( s ) 3sY ( s ) s 2U ( s ) U ( s ) 1 2 1 s Y (s) s 1 2 2 U ( s ) 2s 3 3s s 3 3 s 2
dy1 dy ， x4 2 。 dt dt
3 Kx1 B1 M1 x
2
d ( x2 x1 ) dt
对 M 2 有：
4 f (t ) B M2x
经整理得：
1
d ( x2 x 1) dx B 2 dt dt
2
状态方程为：
1 x3 x x 2 x4 B B K 3 x1 1 x3 1 x4 x M1 M1 M1 B B B 1 4 1 x3 ( 1 2 ) x4 u x M2 M2 M2 M2
1 1 R2C1 x1 R2C1 u1 x2 1 1 R C R2C2 2 2
控制系统的传递函数
(2.6 5)
式中第一项称为零状态响应， 由ur(t)决定的分量； 第二项称为零输入响应， 由初始电压uc (0)决定的 分量。
图2-15表示各分量的变化曲线， 电容电压uc (t)即为两者的合成。
图2-15 RC网络的阶跃响应曲线
RCs + 1 当输入电压ur(t)一定时，电路输出响应的拉氏变换Uc(s)完全由 1/(RCs+1)所确定，式(2.66)亦可写为:
一、传递函数的概念
图2-14所示的RC电路中电 容的端电压uc(t)。根据克希 霍夫定律，可列写如下微分 方程：
i(t)R+uc (t) = ur (t)
(2.60)
1 u c (t ) = ∫ i ( t )d t (2.61) C 消去中间变量i(t)，得到输入ur(t) 与输出uc(t)之间的线性定常微分 方程: d u c (t ) RC + uc (t ) = u r (t ) (2.62) dt
T1 s G (s) = T2 s + 1
(2.75)
它由理想微分环节和惯性环节组成，如图2-21(c)、(d)所示。在 低频时近似为理想微分环节，否则就有式(2.75)的传递函数。
图2-21 微分环节
（五）振荡环节 振荡环节的传递函数为：
2 ωn 1 G (s) = 2 2 = 2 2 T s + 2T ζ s + 1 s + 2ω nζ s + ω n
图2-23 延滞环节
延滞环节的传递函数可求之如下： c(t)= r(t－τ) 其拉氏变换为:
C ( s) = ∫ r (t − τ )e dt = ∫ r (ξ )e − s (ξ +τ ) dξ
现代控制理论复习知识点
xe渐近稳定。 渐近稳定时，若||x||时， V(x) ： xe大范围渐近
M满秩，M=？注意矩阵维数
能观
特殊情况判别：对角线，特征值互异；约当阵，特征值 有重复
N满秩，N=？注意矩阵维数
离散时间系统的能控能观性判别M, N->G, H。
第三章复习要点
3、标准型及转化 (单输入单输出，系统能控)
标准型：
能控标准I型 A (I在右上角)，B=(0, … 0, 1)T，C 能控标准II型 A (I在左下角), B=(1, 0, … 0)T ，C 能观标准I型 A (I在右上角) ，B，C=(1, 0, …, 0) 能观标准II型 A(I在左下角)，B，C= (0, …, 0 1) 直接写出传递函数： 能控I，能观II
原理：状态反馈增益矩阵K… 结构图？ 特点：改变闭环系统的特征值，可配置极点
2、输出反馈
原理：输出反馈增益矩阵H… 结构图？ 特点：
3、闭环系统的能控性、能观性
状态反馈不改变系统的能控性，但不保证能观性不变 输出反馈不改变系统的能控性和能观性
第五章复习要点
4、极点配置
状态反馈：前提：系统完全能控
第二章 系统解的表达式
要求内容：
包括线性定常系统状态方程齐次解，矩阵指数函数和 状态转移矩阵的概念及其计算方法，线性定常系统状 态方程的非齐次解，离散系统状态方程解，连续时间 系统状态方程离散化
现代控制理论试题(详细答案)-现控题目
现代控制理论试题B 卷及答案一、1 系统[]210,01021x x u y x ⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦能控的状态变量个数是，能观测的状态变量个数是cvcvx 。
2试从高阶微分方程385y y y u ++=求得系统的状态方程和输出方程（4分/个）解 1． 能控的状态变量个数是2，能观测的状态变量个数是1。
状态变量个数是2。
…..（4分）2．选取状态变量1x y =，2x y =，3x y =，可得 …..….…….（1分）12233131835x x x x x x x u y x ===--+= …..….…….（1分）写成010*********x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦…..….…….（1分）[]100y x = …..….…….（1分）二、1给出线性定常系统(1)()(),()()x k Ax k Bu k y k Cx k +=+=能控的定义。
（3分）2已知系统[]210 020,011003x x y x ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，判定该系统是否完全能观？(5分)解 1．答：若存在控制向量序列(),(1),,(1)u k u k u k N ++-，时系统从第k 步的状态()x k 开始，在第N 步达到零状态，即()0x N =，其中N 是大于0的有限数，那么就称此系统在第k 步上是能控的。
若对每一个k ，系统的所有状态都是能控的，就称系统是状态完全能控的，简称能控。
…..….…….（3分） 2.[][]320300020012 110-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=CA ………..……….（1分） [][]940300020012 3202=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=CA ……..……….（1分） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=940320110 2CA CA C U O ………………..……….（1分） rank 2O U n =<，所以该系统不完全能观……..….…….（2分）三、已知系统1、2的传递函数分别为2122211(),()3232s s g s g s s s s s -+==++-+求两系统串联后系统的最小实现。
现代控制工程题目及解答.答案
1.简述现代控制理论和经典控制理论的区别.答：经典控制理论是以传递函数为基础的一种控制理论，控制系统的分析与设计是建立在某种近似的和试探的基础上，控制对象一般是单输入单输出、线性定常系统；对多输入多输出系统、时变系统、非线性系统等则无能为力。
主要的分析方法有频率特性分析法、根轨迹分析法、描述函数法、相平面法、波波夫法等。
控制策略仅限于反馈控制、PID控制等。
这种控制不能实现最优控制。
现代控制理论是建立在状态空间上的一种分析方法，它的数学模型主要是状态方程，控制系统的分析与设计是精确的。
控制对象可以是单输入单输出控制系统也可以是多输入多输出控制系统，可以是线性定常控制系统也可以是非线性时变控制系统，可以是连续控制系统也可以是离散和数字控制系统。
主要的控制策略有极点配置、状态反馈、输出反馈等。
现代控制可以得到最优控制。
2.简述用经典控制理论方法分析与设计控制系统的方法,并说明每一种方法的主要思想。
答：1：建立数学模型2：写出传递函数3：用时域分析和频域分析的方法来判断系统的稳定性等。
以及对其进行系统的校正和反馈。
频域响应法、根轨迹法根轨迹法的主要思想为：通过使开环传函数等于-1的s值必须满足系统的特征方程来控制开环零点和极点的变化，使系统的响应满足系统的性能指标。
频域响应法的主要思想为：通过计算相位裕量、增益裕量、谐振峰值、增益交界频率、谐振频率、带宽和静态误差常数来描述瞬态响应特性，首先调整开环增益，以满足稳态精度的要求；然后画出开环系统的幅值曲线和相角曲线。
如果相位裕量和增益裕量提出的性能指标不能满足，则改变开环传递函数的适当的校正装置便可以确定下来。
最后还需要满足其他要求，则在彼此不产生矛盾的条件下应力图满足这些要求。
3.什么是传递函数？什么是状态方程答：传递函数：在零起始条件下，线型定常系统输出象函数X0（s）与输入象函数X i（s）之比。
描述系统状态变量间或状态变量与输入变量间关系的一个一阶微分方程组（连续系统）或一阶差分方程组（离散系统）称为状态方程。
传递函数写出能控标准型
传递函数写出能控标准型控制系统是由输入信号、系统和输出信号组成的系统。
输入信号是指控制系统中的输入量，系统是指被控制的对象，输出信号是系统对输入信号的响应。
在控制系统中，输入信号通过传递函数传递给系统，系统根据传递函数的作用将输入信号转换为输出信号。
传递函数是一个数学模型，它描述了输入信号和输出信号之间的关系。
传递函数是控制系统中最常用的数学工具之一，它可以将复杂的系统简化为一个简单的比例关系。
传递函数以s为变量，它是复平面上的一个复数。
传递函数的标准型是用来表示传递函数的一种形式，它具有一定的规则和特点。
在控制系统中，传递函数的标准型可以用来进行系统的分析和设计。
标准型通常包括两个部分，即分子多项式和分母多项式。
分子多项式表示传递函数的分子部分，它是输入信号的变化对输出信号变化的贡献，分母多项式表示传递函数的分母部分，它是输入信号对系统的影响。
传递函数的标准型可以通过系统的特性来推导和计算。
一般来说，传递函数的标准型可以通过系统的微分方程或者差分方程来表示。
对于连续系统来说，传递函数的标准型可以通过拉普拉斯变换来推导；对于离散系统来说，传递函数的标准型可以通过Z变换来推导。
传递函数的标准型是控制系统设计中的重要工具。
通过传递函数的标准型，我们可以对系统进行系统性的分析和设计。
在系统分析中，我们可以通过传递函数的标准型来计算系统的频率响应，了解系统对不同频率输入信号的响应特性。
在系统设计中，我们可以通过传递函数的标准型来选择合适的控制器和补偿器，以实现系统的性能要求。
传递函数的标准型还可以用来进行系统的稳定性分析。
稳定性是控制系统设计中的一个重要指标，它描述了系统在受到扰动后能否自动恢复到原始状态。
通过传递函数的标准型，我们可以确定系统的稳定性边界，以保证系统的稳定性。
稳定性边界是指系统在什么条件下能够保持稳定，不会发生震荡或者发散。
传递函数的标准型还可以用来进行系统的性能评估。
系统的性能评估是指衡量系统响应质量的一种方法，它通常包括系统的阻尼比、超调量、上升时间、峰值时间和调节时间等指标。
传递函数写出能控标准型
传递函数写出能控标准型什么是传递函数？传递函数（Transfer Function）是控制工程中的一个重要概念。
它用于描述输入与输出之间的关系，并用数学函数的形式表示。
传递函数可以通过系统的输入和输出之间的关系来描述系统的动态特性。
在控制系统设计以及系统动态分析中，传递函数是一个重要的工具。
传递函数通常用H(s)来表示，其中s是复变量，通常表示系统的复频域变量。
传递函数的定义是输入与输出之间的比率，即输出Y(s)与输入X(s)之间的关系，可以表达为：H(s) = Y(s) / X(s)传递函数的标准形式传递函数的标准形式是指将传递函数化简为最简形式，通常用来方便地分析系统的特性。
标准形式通常包括分子多项式和分母多项式的系数以及阶数等信息。
标准型可以分为多种形式，如零极点形式、极点极点零形式等。
其中，零极点形式是最常用的标准型之一。
零极点形式的传递函数表达式如下所示：H(s) = K * (s - z1) * (s - z2) * ... * (s - zn) / [(s -p1) * (s - p2) * ... * (s - pm)]其中，K为比例常数，z1, z2, ..., zn表示传递函数的零点，而p1, p2, ..., pm表示传递函数的极点。
如何将传递函数化为标准型？将传递函数化为标准型的过程，可以通过进行因式分解和常数提取来实现。
具体的步骤如下：1.将传递函数进行展开，得到分子多项式和分母多项式的表达式。
2.对分子多项式和分母多项式分别进行因式分解。
3.对分子多项式和分母多项式的因式进行整理和合并。
4.提取分子多项式和分母多项式中的常量项。
5.将整理后的分子多项式和分母多项式进行除法运算，得到最简形式。
具体的例子可以通过实际的传递函数进行演示。
下面以一个简单的二阶系统为例：传递函数：H(s) = (s + 1) / (s^2 + 3s + 2)首先，将传递函数进行因式分解：H(s) = (s + 1) / [(s + 1) * (s + 2)]然后，对分子和分母进行整理和合并：H(s) = 1 / (s + 2)最后，提取分子和分母的常量项：H(s) = 1 / s + 2经过上述步骤，我们将传递函数化为最简形式。
根据传递函数求能控标准型
根据传递函数求能控标准型传递函数是描述系统特性的重要工具之一。
在控制系统中，我们需要对传递函数进行研究，以便更好地理解和设计系统。
因此，求解控制系统的能控标准型也是非常有必要的，这样可以更好地评估控制系统的性能，并且为系统的设计提供指导。
本文将介绍如何根据传递函数求解控制系统的能控标准型。
一、传递函数与能控标准型传递函数是系统的输入和输出之间的关系的表示，它通常用分子和分母多项式的比值来表示。
在控制系统的设计中，我们通常会将系统的传递函数转换成状态空间的形式，以便更加方便地理解和分析系统。
因此，在对控制系统进行分析和设计时，我们需要采用状态空间方式进行建模，然后使用传递函数进行验证和优化。
能控标准型是用于描述控制系统是否能被控制的指标，如果一个系统的能控标准型可以达到可控标准型，就说明该系统是可控的。
在控制系统的设计中，我们需要确定控制器和系统之间的传递函数，以便计算能控标准型。
二、通过传递函数求解能控标准型的步骤1. 将系统传递函数转换成状态空间模型传递函数可以直接转换成状态空间的形式，这样能够更方便地进行逆向分析和计算。
2. 求解传递函数的行列式和逆矩阵行列式和逆矩阵是计算能控标准型的基础，这两个数值可以通过矩阵计算工具轻松地获得。
3. 计算可控矩阵可控矩阵是一个矩阵，用于确定控制系统是否能够被控制，以及所有的可控状态。
计算可控矩阵需要使用传递函数的行列式和逆矩阵。
4. 判断控制系统是否可控根据可控矩阵计算出控制系统的可控状态，通过这些状态可以判断控制系统是否可控。
三、通过例子来说明例如，一个系统的传递函数为：G(s) = 2s + 1s^2 + 4s + 3我们需要将这个传递函数转换成状态空间模型，得到：x' = Ax + Buy = Cx + Du其中，A、B、C、D分别为状态空间方程的矩阵形式。
对于这个例子，我们得到：A = [0 1; -3 -4]B = [0; 2]C = [2 1]D = 0然后，我们需要计算行列式和逆矩阵，得到：det(A) = 2A^-1 = [-2 -1; 3 0.5]接下来，我们需要计算可控矩阵：Qc = [B AB A^2B]根据矩阵计算，我们得到：Qc = [0 2; 2 -8]det(Qc) = 16根据可控矩阵，我们可以得到系统的可控状态为：[2; -8]因此，我们可以得到该控制系统是可控的。
现代控制：由能控标准I型求传递函数
由能控标准I 型的,,,A b C ，求系统的传递函数阵()()1W s C sI A b - =-I 、先求()1sI A -- ，[]1()()Tcof sI A sI A sI A---=-201221011221100 00100 0010 010 0000 0000 0 000s 1000s 1 n n n n s s s s s s sI A a a a as aa a s a a a s a -------- ==---+++3201212210100 0010 000 0 =00s 1 n n s s s a a s a s a a a s a ----=-+++201212212110120100 0010 0000 0 000s 1 [](1)(1)nn n n n n s s a a s a s s a a a s a a a s a s s --+---=-+++++ =++++-⋅-分析：从第2列开始，把各列依次乘以21,,,n s s s -加到第1列后，按第1列展开求行列式（只剩第n 行第1列的值），前一个1(1)n +-为第n 行第1列展开求行列式时决定符号的系数，后一个1(1)n --为去掉第n 行第1列后所留行列式的值。
而()Tcof sI A ⎡⎤-⎣⎦为代数余子式转置矩阵或伴随矩阵。
注意到001b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦因此只需求得()Tcof sI A ⎡⎤-⎣⎦的最后一列即可，即求011,,,n a a s a -+的代数余子式即可。
0a 的代数余子式为11(1)(1)n n +--⋅-,1(1)n +-代表代数余子式中第n 行第1列的决定符号的系数，1(1)n --代表余子式中对应行列式的值。
1a 的代数余子式为22(1)(1)n n s +--⋅-即[]11223321(1)(1)(1)(1)()(1)(1)(1)n n n n Tn n n n n s cof sI A s s +-+-+-+-⎡⎤⨯⨯--⎢⎥⨯⨯--⋅⎢⎥⎢⎥=-⨯⨯--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⨯⨯-⎣⎦211n s s s -⨯⨯⎡⎤⎢⎥⨯⨯⎢⎥⎢⎥ =⨯⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⨯⨯⎣⎦()()[]211110112121011101001n n n n n n n n n n s s s W s C sI A b a a s s s s s s s s βββββββααα---------⨯⨯⎡⎤⎢⎥⨯⨯⎢⎥⎢⎥⨯⨯⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⨯⨯⎣⎦⎢⎥∴ =-=⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦++++ =++++反之，也可由传递函数阵求能控标准I 型的,,A b C 。
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由能控标准I 型的,,,A b C ，求系统的传递函数阵
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分析：从第2列开始，把各列依次乘以21,,
,n s s s -加到第1列后，按第1列展开
求行列式（只剩第n 行第1列的值），前一个1(1)n +-为第n 行第1列展开求行列式时决定符号的系数，后一个1(1)n --为去掉第n 行第1列后所留行列式的值。
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子式即可。
0a 的代数余子式为11(1)(1)n n +--⋅-,1(1)n +-代表代数余子式中第n 行第1列的
决定符号的系数，1(1)n --代表余子式中对应行列式的值。
1a 的代数余子式为22(1)(1)n n s +--⋅-
即[]
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⎢⎥⨯⨯⎢
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++
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++++ =
++++
反之，也可由传递函数阵求能控标准I 型的,,A b C 。
第三题……………………………………………………
u y
图3-3 系统的标准结构形式示意图
（2）从图3-3可看出，四个系统传递信息的情况。
子系统o c ,∑既与输入u 相通，又与输出y 相通，是能控能关子系统；在NO c ,∑中只有输入通道，而无输出通道，是能控不能关子系统；O NC ,∑只有输出通道，而无输入通道，式不能控但能关子系统；NO NC ,∑与输入和输出均不相通，式不能控不能观子系统。
这样，在系统中，输入u 和输出y 之间，只存在唯一的单向控制通道，即y u O C →∑→,。
显然，反映系统输入输出之间的传递函数阵)(s G 只能反映出系统中能控且能观的子系统
O C ,∑，即
B A sI
C s G s G 1)()()(--==
[
]
⎥
⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢
⎣⎡---------=000
0000
000214443
33242322
211311
3
1
B B A sI A A sI A A A sI A A A sI
C C （3-25） 11111)(B A sI C --=
式（3-25）说明，传递函数阵只是对系统的一种不完全的描述。
若在系统中增加或去掉不能控或不能馆的子系统，并不影响系统的传递函
∑NC,O ∑NC,NO ∑C,NO
∑C,O
数阵。
反之，若要根据给定的传递函数阵求对应的状态空间表达式，其解将有多种形式。