15.多目标规划方法综述
数学毕业论文-浅谈多目标规划及解法
数学毕业论文-浅谈多目标规划及解法数学毕业论文-浅谈多目标规划及解法浅谈多目标规划及解法摘要：本文对多目标规划问题的解决方法进行了归纳和总结，并且进行了1定的评论。
基本方法有主要目标法、分层序列法；评价函数法，理想点法、线行加权和法、平方和权法；功效系数法。
特别地介绍了1种关于线性多目标规划求最优解的方法。
通过归纳和总结，熟知各解决方法的`特点，以便以后在实际中能够得到更好的应用。
并且给出了1种新的评价函数。
关键词: 多目标规划；解决方法；弱有效解；算法On multi-objective programming and Its SolutionAbstract: This article has carried on the induction and the summary to the multi-objective programming, and has carried on the certain commentary. The main method has the primary-object method，Lexicographic method，evaluation function methods，robustness estimate，linearity weighted sum method, involution weighted sum method efficiency coefficient method .Specially introduced one kind of method of optimal solution about muti-objective linear programming. Through the induction and the summary, knows very well each solution the characteristic, in order to later in will be actual can obtain a better application. And has produced one kind of new evaluation function.Keywords： multi-objective programming; solution; weak efficient solution; algorithm 目录中文题目 (1)中文摘要和关键词 (1)英文题目 (1)英文摘要和关键词 (1)前言 (2)正文 (3)1 有关多目标规划的基本概念 (3)1.1 标准形式 (3)1.2 多目标规划的解 (4)2 基本方法 (4)2.1主要目标法 (5)2.2 分层序列法 (5)2.2.1不容许宽容 (5)2.2.2允许宽容 (6)2.3评估函数 (7)2.3.1理想点法 (7)2.3.2线性加权和法 (8)2.3.3平方加权法 (8)2.4功效系数法 (8)2.4.1直线法 (9)2.4.2指数法 (10)2.5 线行多目标规划最优解求法 (10)2.5.1(LVP)弱有效解的解集性质与求解方法 (10)2.5.2 决策者满意解的确定方法 (15)2.5.3 算法步骤 (15)2.6确定权数法 (16)2.7新的评价函数 (17)3 结束语 (17)参考文献 (18)致谢 (20)【包括：毕业论文、开题报告、任务书】【说明：论文中有些数学符号是编辑器编辑而成，网页上无法显示或者显示格式错误，给您带来不便请谅解。
自然资源管理决策中的多目标规划技术
自然资源管理决策中的多目标规划技术自然资源管理涉及到的问题种类繁多，包括生物多样性、土地利用、气候变化、水资源、大气污染、土壤侵蚀等等。
同时，各种资源管理目标之间也有着相互影响和冲突。
例如，为了保护生物多样性，可能需要增加森林覆盖率，这又会影响到土地利用和水资源管理。
因此，多目标规划技术在自然资源管理中得到了广泛的应用。
多目标规划技术是指在考虑多个目标和决策者的偏好的情况下，寻求一个最佳解的技术。
这个最佳解并不是针对单一的目标进行优化的解，而是在多个目标之间取得一定平衡的解。
例如，如果我们在考虑生物多样性、土地利用和水资源的时候，发现生物多样性优化的解与土地利用优化的解存在冲突，那么多目标规划技术可以帮助我们找到一个在生物多样性和土地利用之间取得平衡的解。
多目标规划技术包括多目标线性规划、多目标整数规划、多目标二次规划、多目标非线性规划等等。
其中，多目标线性规划是最为简单、最为常见的一种技术。
在多目标线性规划中，所有的目标都是线性的，决策变量也是连续的。
因此，多目标线性规划也是应用最广泛的一种技术。
多目标线性规划的求解过程需要借助优化算法。
最为常见的优化算法是支配排序遗传算法。
在支配排序遗传算法中，首先需要产生一组初始解，然后通过评估每一个解在多个目标下的表现，逐步筛选出表现更优的解，直到找到最优解为止。
由于支配排序遗传算法不需要提前知道目标函数的形式以及搜索空间的局限性，因此在多目标规划中具有比较好的鲁棒性和适应性。
多目标规划技术在自然资源管理中的应用可以追溯到上世纪80年代。
近年来，由于环境保护和自然资源管理的需求越来越迫切，多目标规划技术得到了更为广泛的应用。
例如，多目标规划被应用于淡水资源保护、森林资源管理、生态旅游规划、土地利用规划等等领域。
在满足多个目标的条件下，多目标规划技术可以帮助决策者权衡利弊，做出更为理性和科学的决策。
在实际应用中，多目标规划技术也存在一些困难和挑战。
其中最为重要的问题是目标之间的权重选择。
多目标规划(1)
4、多目标规划优先级的概念
3、不同级别的目标的重要性是不可比的。即较高 级别的目标没有达到的损失，任何较低级别的目 标上的收获都不可弥补。
4、在判断最优方案时，首先从较高级别的目标达 到的程度来决策，然后再其次级目标的判断。 5、同一级别的目标可以是多个。各自之间的重要 程度可用数量（权数）来描述。因此，同一级别 的目标的其中一个的损失，可用其余目标的适当 收获来弥补。
目标：（1）利润达到280百元； （2）钢材不超过100吨，工时不超过120小时；
讨论：上述方案都达到了目标（1），但是没有达到目标（2） 方案1与目标（2）的差距： 工时损失=（100-100）*5+（200-120）*1=80 方案2与目标（2）的差距： 工时损失=（210-100）*5+（140-120）*1=570 方案3与目标（2）的差距： 工时损失=（100-100）*5+（184-120）*1=64 方案4与目标（2）的差距： 工时损失=（0）*5+（186-120）*1=66 方案排序：方案3> 方案4 > 方案1> 方案2
• 例1：一个企业需要同一种原材料生产甲乙 两种产品，它们的单位产品所需要的原材 料的数量及所耗费的加工时间各不相同， 从而获得的利润也不相同（如下表）。那 么，该企业应如何安排生产计划，才能使 获得的利润达到最大？
ú ² Ê ´ ² Æ /³ Ô Ä Ï · Ô ² Á Ö ¨Ö © £ ¶ £
目标规划模型有关的概念
• 3.优先因子(优先等级)与权系数
– 一个规划问题常常有若干目标。但决策者在要求达到这些 目标时，会有主次或轻重缓急的不同。例如，要求第一位 达到的目标赋予优先因子P1，次位的目标赋予优先因子 P2，…，并规定
多目标规划
V (VP) V min F ( x) min F ( x) 或(VP) g ( x)0 xR
T R { x | g ( x ) 0 }, g ( x ) ( g ( x ), g ( x ), , g ( x )) . 其中, 1 2 m
主要特点:
（1）多目标数学规划中,评价一个可行解的好坏是由
p个目标所决定的,即用一个向量F(X)来比较好坏,但 是对于两个可行解,谁好谁坏有时不能比较出来.
Hale Waihona Puke 设置显示参数：显示每次迭代的输出 options=optimset('Display','iter'); 调用fgoalattain函数： [x,favl,attainfactor,exitflag] =fgoalattain(@ff12,x0,goal,weight,A,b, [],[],lb,[],[],options) 运行后，输出结果为：
x= 5 4 favl = 29700 -44000 attainfactor = -0.0100 exitflag = 4
例：（投资问题）某企业拟用1000万元投资A、 B两项目的技术改造.设x1，x2分别表示分配 给A、B项目的投资（万元）.据估计，投资 项目A、B的年收益分别为投资的60%和70%； 投资风险损失，与总投资和单项投资的关系 为：0.001x12+0.002x22+0.001x1x2.根据市 场调查显示，A项目的投资前景好于B项目， 因此希望A项目的投资不小于B项目，试问应 该如何在A、B两个项目之间分配投资，才能 既使年利润最大，又使风险损失为最小。
多目标规划求解方法介绍
min f k ( x) ( Pt j )s.t. gi ( x) 0, i 1,2,, m f j ( x) f jt j 0, j 1,, k 1, k 1,, p
) 各目标函数 f ( j k ) 可对应不同的 t (t 0,1,, r 1（共 有 r p 1 个约束问题）。求解后可得到(VP)的一有 效解集合，是(VP)有效解集合的一个子集。
x ( 0) S
f j0 f j ( x(0) ), j 2,3,, p
2. 算法一般步骤： 考虑上述(VP)问题，
min f1 ( x) ( P)s.t. g i ( x) 0, i 1,2,, m ( 0) f ( x ) f ( x ), j 2,3,, p j j
S x gi ( x) 0, i 1,, m
无妨设 f ( x)为主要目标，对其它各目标 f ( x),, f 给定一个期望值，不妨记为 f , f ,, f ， 则有 f min f ( x), j 2,3,, p 求解下列问题： min f ( x)
1
2
p
( x)
j
j j
例6：
V min F ( x) f1 ( x), f 2 ( x)T s.t. g1 ( x) x1 x2 3 0 g 2 ( x) x1 x2 8 0 ( LVP ) g 3 ( x) x1 6 0 g 4 ( x ) x2 4 0 g 5 ( x) x1 0 g 6 ( x ) x2 0
第五讲_多目标规划模型
s .t . g i ( X ) 0 hj(X ) 0
例如，在上述多目标问题中，假定f1(X)为主要目标，其余p-1 个为非主要目标。这时，希望主要目标达到极大值，并要求 其余的目标满足一定的条件，即 max f 1 ( X )
g i ( X ) 0 , i 1, 2 ,..., n s .t . h j ( X ) 0 , j 1, 2 ,..., m f k ( X ) k , k 1, 2 ,..., p 1
6
j
U * max U U ( X 3 ) 57 . 925
3、分层序列法：
f ( x ), , f ( x 按其重 ) 1.基本步骤：把(VP)中的p个目标 要程度排序。依次求单目标规划的最优解。 2. 过程：无妨设其次序为 f , f , , f 先求解 min f ( x ) ( P ) s .t . x S 得最优值 f 1* ，记 S x f ( x ) f S 再解 min f ( x ) ( P ) 得最优值 f ，S x f ( x ) f S s .t . x S 依次进行，直到 * min f ( x ) fp 得最优值 (P )
f2
1 2
5 3
4
6
7 8 f
二、模型结构
在多目标决策问题中，目标有多层次的含义。从最高层次 来看，目标代表了问题要达到的总目标。如确定最满意的 投资项目、选择最满意的食品。从较低层次来看，目标可 看成是体现总目标得以实现的各个具体的目标，如投资项 目的盈利要大、成本要低、风险要小；目标也可看成衡量 总目标得以实现的各个准则，如食品的味道要好，质量要 好，花费要少。 多目标决策问题中的方案即为决策变量，也称为多目 标问题的解。备选方案即决策问题的可行解。在多目标决 策中，有些问题的方案是有限的，有些问题 的方案是无限 的。方案有其特征或特性，称之为属性。
多目标规划_0526
多目标规划的象集
考虑多目标规划问题：
V-min F x (8-3) s.t. g x 0 ( i 1, 2,..., m ) i
则其可行域为： 则根据上述模型， 我们任意给定一个可行解 x R ， 则其对应的目标函数值 F x 是一个 p 维的向量。即有 x R Rn ， F x [ f1 x
1
需添加对 x 的非负约束即可。
2
综合以上分析，得到最优化数学模型如下：
min f1 x 2 x1 1.5 x2 max f 2 x x1 x2 x1 x2 120 2 x1 1.5 x2 300 x1 60 x2 0
评价函数法求解多目标规划问题时还有一种常见的方法就是评价函数法其基本思想就是将多目标规划问题转化为一个单目标规划问题来求解而且该单目标规划问题的目标函数是用多目标问题的各个目标函数构造出来的称为评价函数例如若原多目标规划问题的目标函数为作为多目标规划问题的最优解正是由于可以用不同的方法来构造评价函数因此有各种不同的评价函数方法下面介绍几种常用的方法
* 有效解的集合 Re a, b
*
设 x* R ，如果不存在 x R 使得 F x F x 成立，则称 x 为多目标规划问题的
*
*
弱有效解。多目标规划问题的弱有效解的全体记作 Rwe ，弱有效解的含义是：在所有 的可行解中找不到比它严格好的可行解。当 n 1, p 2 时弱有效解的直观几何意义
多目标规划问题的发展
多目标规划法（Goal Programming，简称GP）也是最优化理论和方法中的一个 重要分支，它是在线性规划的基础上，为解决多目标决策问题而发展起来的一 种数学方法。其概念和数学模型是由A.Charnes和W.W.Cooper在1961年提出的， 经过Ijiri,Sang.M.Lee等人的改进，并逐步发展和成熟，它在经济管理与规划、 人力资源管理、政府管理、大型工程的最优化等重要问题上都有广泛的应用。
多目标规划
指标往往相互矛盾（诸如资源可供 量与利润，利润与污染程度等）， 使得多目标规划问题往往没有线性 规划意义下的最优解，只能给出统 筹兼顾各方面要求的一个满意解。
在上例中，如果利润指标与污染指标的重 要程度不同，比如：利润指标比污染指标 重要10 倍， 那么，目标函数就将写成min(10 + ) 如果利润指标和污染指标的重要程度是不 能通过数值来比较的，比如我们要求在尽 量降低污染指标的前提下去追求最大利润， 则目标函数可以形式化地写成min(k1 +k2 )。式中的k1k2,不代表具体的数值， k1＞＞＞k2，表示远远地大于k2。
多目标规划的特点是：引人正、负偏差变 量, 以及优先因子和权系数∀正偏差变量d+ 表示考察变量值超过目标值的部分;而负偏 差变量d-则表示考察变量值少于目标值的 部分,并且d+ ·d-恒等于0。 并且规划问题常常有多个考察目标, 而达到 这些目标的优先次序又有所不同, 用P 表示 优先程度, 且P >P (i= 1 , 2 ,…,n)。当同一 优先级有多个考察目标时, 以权系数区别不 同目标之间的差别。
应用领域
多目标规划在资源分配、计划编制、生产调 度等方面有一定的应用。
通过建立多目标规划模型，可以 解决供应商的选择问题（1、分析各供应商评价
标准的优先次序；2、建立多目标规划模型）
优化供应链的绩效 开发供应链的渠道 拓展市场需求 ……
多目标规划的研究趋势
( 1) 长期以来, 多目标规划的算法一直受到特 别重视, 目前尚未出现可以用来解决所有多目 标规划问题的统一算法, 算法及其收敛性的研 究将是一个长期的研究方向。
存在，当约束方程中有矛盾方程时， 线性规划问题就无可行解，为了防止 出现这种现象，可以设想将约束“放 松” 引入偏差变量的概念： 正偏差 是超出现有资源的部分， 负偏差 是现有资源使用后剩余部分。
多目标规划方法的应用
题目二：多目标规划法的应用【摘要】多目标规划法是数学规划的一个分支，它也是运筹学中的一个重要分支，它是在线性规划的基础上，为解决多目标决策问题而发展起来的一种科学管理的数学方法，主要用于研究多于一个目标函数在给定区域上的最优化，又称多目标最优化。
众所周知，如今日常的管理工作面对的不仅仅是单一的目标决策优化问题，或多或少都涉及几个或者许多目标决策优化的问题。
【关键字】`运筹学，多目标规划方法，目标决策优目标规划是线性规划的一种特殊应用，能够处理单个主目标与多个目标并存，以及多个主目标与多个次目标并存的问题。
众所周知，如今日常的管理工作面对的不仅仅是单一的目标决策优化问题，或多或少都涉及几个或者许多目标决策优化的问题。
企业管理中经常碰到多目标决策的问题，企业拟订生产计划时，不仅要考虑总产值，而且要考虑利润、产品质量和设备利用率等。
有些目标之间往往互相矛盾。
例如，企业利润可能同环境保护目标相矛盾。
如何统筹兼顾多种目标，选择合理方案，是十分复杂的问题。
应用目标规划可能较好的解决这类问题。
目标规划的应用范围很广，包括生产计划、投资计划、市场战略、人事管理、环境保护、土地利用等。
一、多目标规划法概述与其背景（一）多目标规划法的定义多目标规划法是数学规划的一个分支，它也是运筹学中的一个重要分支，它是在线性规划的基础上，为解决多目标决策问题而发展起来的一种科学管理的数学方法，主要用于研究多于一个目标函数在给定区域上的最优化，又称多目标最优化。
（二）多目标规划标准型的特点与线性规划相比，多目标规划标准型的特点在于：1、偏差列向量。
Y−、Y+分别为负、正偏差列向量，各有m个元素（m是约束方程的个数）。
负偏差变量的经济含义为当实际值小于目标值时，实际值与目标值的偏差为负偏差，正偏差变量的经济含义与之恰恰相反。
2、价值系数行向量c。
c的元素最多不超过2m个，由目标优先权等级Pi 和目标优先权系数η组成，即c=(c1，c2，…，c2m），在多目标规划的目标函数中，出现的变量只能是偏差变量。
目标规划与多目标规划
总费用为3360.
Reduced Cost 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
硬约束（供应约束）
系列软约束 （1）用户4必须全部满足
（2）供应用户1的产品中，工厂3的产品不少于100单位
（3）每个用户的满足率不低于80%； 四个用户的80%需求量分别为160,80,360,200，即
（4）应尽量满足个用户的要求
（5）新运费尽量不超过不考虑各个目标费用的10%： （6）因道路限制，工厂2到用户4的路线的运输任务应尽量避免： （7） 用户1和用户3的满足率尽量平衡：
2 目标规划的模型
例2 在上述例1的基础上，计划人员还要求考虑如下意见：
1 由于产品II销售疲软，故希望产品II的产量不超过产品I产 量的一半；
2 原材料严重短缺，生产中应避免过量消耗；
3 最好能够节约4小时设备工时；
4 计划利润不少于48元。
分析：把这四条意见分别看成营销部门、材料部门、设备管理 部门、财务部门四个部门的目标愿望。那么在决策的时候，如 何协调者四个部门的意愿呢。同等对待每个目标意愿，势必陷 于矛盾中。故当务之急是确定四个目标的重要程度或轻重缓急。 然后根据重要程度逐一协调。下面引入一些新的变量来解决问 题。
目标决策值f
X2-x1/2 5x1+10x2 4x1+4x2 6x1+8x2
运营决策中的多目标规划方法
运营决策中的多目标规划方法在企业的运营管理中，多目标规划方法是一种重要的工具，用于帮助管理者在面对多个决策目标时做出最优的决策。
多目标规划方法可以更全面地考虑各种因素，并找到最佳的平衡点，以实现企业的战略目标和可持续发展。
多目标规划方法的核心思想是将复杂的决策问题转化为一个优化模型，然后通过运用数学方法和计算机技术，找到一组最优解，从而帮助决策者做出决策。
与传统的单目标规划方法不同，多目标规划方法可以同时考虑多个目标，并根据不同目标的重要性和约束条件，找到最佳的决策方案。
在运营决策中，多目标规划方法可以应用于多个方面。
它可以用于生产规划和调度。
生产过程中，往往需要考虑多个目标，如成本、产能、交货时间等。
使用多目标规划方法，可以根据不同的目标权重，找到最佳的生产计划，使得各个目标得到最大的满足。
多目标规划方法可以用于供应链管理。
供应链中的各个环节，包括供应商选择、物流规划、库存管理等，都需要考虑多个目标，如成本、可靠性、响应时间等。
通过运用多目标规划方法，可以平衡各个目标之间的矛盾，构建一个高效的供应链网络。
多目标规划方法还可以应用于项目管理。
在项目管理中，需要考虑时间、成本、质量等多个目标。
使用多目标规划方法，可以找到最佳的项目进度和资源分配方案，使项目能够按时、按质量完成。
在运用多目标规划方法时，决策者还需要注意一些关键点。
需要确定决策目标，明确各个目标的重要性和约束条件。
需要建立一个准确的模型，对各项因素进行量化和分析，以便进行计算和优化。
需要进行模型验证和灵敏度分析，以确保模型的可靠性和稳定性。
同时，多目标规划方法也面临一些挑战和局限性。
多目标规划方法在处理复杂的实际问题时，可能会面临计算复杂度的挑战。
需要运用高效的算法和计算机技术来求解问题。
多目标规划方法在设定目标权重时，往往需要依赖决策者的主观判断和经验。
如果目标权重设置不合理，可能导致决策结果的偏差。
总之，在运营决策中，多目标规划方法是一种有效的决策工具，可以帮助管理者在面对多个目标时做出最佳的决策。
多目标规划方法在项目管理中的应用
多目标规划方法在项目管理中的应用第一章：引言多目标规划是运筹学的重要研究方向之一，它的应用正日益受到关注。
在项目管理实践中，多目标规划方法已被广泛应用于决策分析和问题解决中。
本文将从多目标规划的基本概念和特点出发，介绍多目标规划在项目管理中的应用。
第二章：多目标规划的基本概念多目标规划是一种针对多个目标同时优化的数学方法，其目的是在不同的优化目标之间达成平衡，寻找最优解。
其基本概念包括目标函数、约束条件和决策变量。
目标函数是多目标规划的核心，它是一种评价指标，用于衡量决策方案对于不同目标的影响。
在多目标规划中，通常会有多个目标函数需要考虑，每个目标函数都是一个独立的优化目标。
约束条件是多目标规划中的另一个重要概念，它用于描述问题的限制条件和约束条件。
在多目标规划中，约束条件不仅限制了决策变量的取值范围，也限制了不同目标函数的权重和优先级。
决策变量是多目标规划问题的变量，其取值范围和取值方式对模型求解结果影响很大。
通常决策变量的选取需要根据实际情况具体分析。
第三章：多目标规划的特点多目标规划相较于单目标规划，具有以下特点：1. 多目标规划考虑的是多维度的问题，这意味着在设计目标函数时要考虑到问题涉及的不同方面，如成本、时间、质量等。
这也使得多目标规划针对复杂问题更适用。
2. 多目标规划的解不是唯一的，而是一组蓝色解（Pareto Fronts）。
这样的解相比于单纯的一种最优解可以更加满足不同利益方的需要。
3. 多目标规划能够通过灵活调整约束条件和决策变量，使得方案更加符合实际情况和利益方的需要。
第四章：多目标规划在项目管理中的应用多目标规划在项目管理中的应用主要包括以下几个方面：1. 多目标决策分析：项目管理中的决策通常面临多个目标，如项目成本、品质、进度等，而这些目标又存在着相互矛盾或竞争的关系。
利用多目标规划，基于客观数据分析和主观判断，可以进行多元目标的权衡决策，找到最优方案。
2. 多目标优化：对于项目中存在的多个可行方案，多目标规划可以帮助选定最佳解决方案，并指导实施过程。
多目标规划方法综述
多目标规划方法综述1 多目标规划的介绍多目标规划方法是数学规划的一个分支，也是运筹学中非常重要的一个分支，它是以线性规划为基础，为了解决多目标决策问题，出现的一种科学管理的数学方法，主要应用于研究多于一个目标函数并在给定区域上的最优化问题，即又称多目标最优化。
1896年法国经济学家V.Pareto最早研究多目标优化问题，他从政治学、经济学的角度考虑把本质上是不可能比较的多个目标化成单个目标的最优化问题，从而涉及了多目标规划的概念和多目标规划问题。
自70年代以来，有很多数学学家做了更深入的探讨与研究，多目标规划的研究越来越受到人们的广泛重视。
至今，在理论上多目标规划仍处于发展阶段。
2 多目标规划的几种求解方法2.1在优化之前，决策者的偏好信息已经确定2.1.1主要目标法主要目标法的基本思想是：在多目标规划问题中，根据实际问题的情况，确定一个目标为主要目标，而把其余的目标作为次要目标，并且根决策者的经验，选取适合的界限值。
从而就可以把次要目标作为约束来处理，这样就将原来的多目标规划问题转化为一个在新的约束条件下，求主要目标的单目标最优化问题。
1/ 4主要目标法非常简单并且绝大多数都是可行的，它可以保证在次要目标允许取值的条件下，求出主要目标尽可能好的解，因此对许多实际问题常常非常适用。
2.1.2线性加权和法2.1.3目标规划法目标规划法的基本思想：首先考虑最优先的达到函数，并且忽略其他达到函数，求最小，然后再考虑下一个优先级的达到函数，把先前优先级中的达到函数已达到的最小值作为该达到函数的上限，并且作为一个约束条件，对下一个优先级的达到函数求最小，以此类推。
2.1.4极大极小法2.3.2字典序法对目标的重要性进行排序，依次求解各单目标规划（前一个目标的最优解不唯一，其结果作为下一个目标的约束），到有唯一解时结束。
2.4 其他方法对于多目标规划问题除了以上这些方法以外，还可以适当修正单纯形法来求解，还有一种方法称为层次分析法，是由美国运筹学家沙旦于70年代提出的，它是一种定性与定量相结合的多目标决策与分析的方法，对于目标结构复杂并且缺乏必要的数据的情况尤为适用。
多目标规划方法概述
是与各目标函数相关的效用函数的和函数。
（2.1）
（2.2）
在用效用函数作为规划目标时，需要确定一组权值 来反映原问题中各目标函数在总体目标中的权重，即：式中，诸 应满足：若采用向量与矩阵
二、求解目标规则的单纯形方法
目标规划模型仍可以用单纯形方法求解 ，在求解时作以下规定：①因为目标函数都是求最小值，所以，最优判别检验数为：②因为非基变量的检验数中含有不同等级的优先因子，
（3.16）
（3.17）
（3.18）
（3.19）
在以上各式中， 、 分别为赋予 优先因子的第 个目标的正、负偏差变量的权系数， 为第 个目标的预期值， 为决策变量， 、 分别为第 个目标的正、负偏差变量，（3.15）式为目标函数，（3.16）式为目标约束，（3.17）式为绝对约束，（3.18）式和（3.19）式为非负约束， 、 、 分别为目标约束和绝对约束中决策变量的系数及约束值。其中， ； ； 。
（2.23）
（2.25）
（2.24）
用目标达到法求解多目标规划的计算过程，可以通过调用Matlab软件系统优化工具箱中的fgoalattain函数实现。该函数的使用方法，详见教材的配套光盘。
3 目标规划方法通过上节的介绍和讨论，我们知道，目标规划方法是解决多目标规划问题的重要技术之一。这一方法是美国学者查恩斯（A.Charnes）和库伯（W.W.Cooper）于1961年在线性规划的基础上提出来的。后来，查斯基莱恩（U.Jaashelainen）和李（Sang.Lee）等人，进一步给出了求解目标规划问题的一般性方法——单纯形方法。
6-多目标规划方法
②超过计划供应的原材料，需用高价采购，这 就会使生产成本增加。
③应尽可能地充分利用设备的有效台时，但不 希望加班。
④应尽可能达到并超过计划产值指标56元。
这样，该企业生产方案的确定，便成为一个多 目标决策问题，这一问题可以运用目标规划方
绝对约束 非负约束
多 目 标 规 划 d
l
,
d
l
0
(l 1,2, , L)
非负约束
二、求解目标规划的单纯形方法
目标规划模型仍可以用单纯形方法求解，在求解 时作以下规定：
①因为目标函数都是求最小值，所以，最优判别 检验数为： c j z j 0( j 1,2, , n)
K
c j z j akj Pk ( j 1,2 , n；k 1,2 , K) k 1
可以进一步写作: max(min) Z AX
BX b
A策为变k量*n向矩多量阵.，B为目m*n矩阵标，b为m维规向量，划X为n维决
（2）多目标规划的非劣解 对于上述多目标规划问题，求解就意味着需要 做出如下的复合选择： ▲每一个目标函数取什么值，原问题可以得到 最满意的解决？ ▲每一个决策变量取什么值，原问题可以得到 最满意的解决 ？
偏差变量的权系数分别为
kl
、
，则多目
kl
标规划问题可以表示为：
型 的 一 般
K
L
min Z
Pk
(
kl
dl
kl
dl
)
n
k 1 l1
c
(l j
)
x
j
d
l
d
目标规划方法
目标规划方法目标规划是一种管理和决策的方法，通过确定明确的目标，分析问题，制定计划和实施行动，以实现预期的结果。
目标规划方法可以帮助个人和组织在不同领域中制定长期和短期目标，并制定适当的策略来实现这些目标。
目标规划方法由以下几个步骤组成：1. 目标设定：首先，需要明确和具体地设定目标。
目标应该是具体、可量化、可达成的，并且能够衡量成功与否。
例如，一个组织的目标可以是增加销售额10%。
2. 问题分析：接下来，需要对当前面临的问题进行分析。
这包括了调查、研究和收集数据，以便全面了解问题的本质。
例如，如果一个组织的销售额下降，问题分析可能包括调查市场趋势、竞争者动态和客户反馈。
3. 制定计划：在目标设定和问题分析的基础上，制定一个详细的计划来实现目标。
计划应该包括具体的行动步骤、时间框架、资源需求和责任分配。
例如，一个组织可以制定一个市场推广计划，包括广告活动、促销活动和公关活动。
4. 实施行动：将计划转化为实际行动的阶段。
这可能涉及到团队合作、资源调配和监督等。
实施行动需要有一个明确的时间表，并且需要不断跟进和评估进展。
5. 评估和调整：评估实施过程中的结果，并根据实际情况对计划进行调整。
这可以帮助我们了解目标是否达成，以及是否需要进一步改变策略。
评估还可以提供经验教训，以便未来做出更好的规划。
目标规划方法的优势在于它提供了一种结构化和系统化的方法来解决问题和实现目标。
它可以帮助个人和组织明确目标，分析问题，并制定适当的策略和计划。
此外，该方法还可以帮助个人和组织保持专注和目标导向，并监控进展，以便及时调整行动。
然而，目标规划方法也有一些挑战。
首先，目标的设定需要准确清晰，以确保计划的可行性和成果的可衡量性。
其次，实施计划需要耗费时间和资源，并需要与团队合作。
此外，环境的变化和不确定性可能会影响计划的实施和结果的达成。
在实际应用中，目标规划方法可以应用于各个领域，包括个人规划、组织管理、项目管理等。
多目标规划的若干理论和方法共3篇
多目标规划的若干理论和方法共3篇多目标规划的若干理论和方法1多目标规划的若干理论和方法多目标规划是指在多目标条件下进行决策的一种数学方法，它把一个问题转化成一个具有多个目标约束条件的数学优化问题。
在现代化的社会经济发展中，人们往往不仅仅关注单一的目标，而是有着多种不同的目标和需求。
因此，多目标规划技术应运而生，被广泛应用于各行各业的决策和管理中。
本文将简单介绍多目标规划的若干理论和方法。
一、多目标规划的相关理论1. Pareto最优解Pareto最优解是多目标规划中比较重要的概念之一，它指的是在多个目标之间不能再做出更好的妥协的一种解法。
具体来说，如果一个解决方案比其他所有解决方案在某个目标上优秀，而在其他目标上没有任何明显的劣势，则该解决方案就被称为Pareto最优解。
2. 支配支配是另一个多目标规划的重要概念，它指的是在所有可能的解空间中，一个解决方案中所有目标值都比另一种解决方案好，则前者支配后者。
例如，如果一个解决方案在所有目标上都比另一个解决方案好，则前者支配后者。
3. 目标规划多目标规划中，一个重要的理论发展就是目标规划。
它把问题分解为多个聚焦于更少数目标的小问题。
通过优化多个小问题的解决方案，最终达到全局最优解。
二、多目标规划的方法1. 权值法权值法是多目标规划的一种基础方法，其主要思路是通过对每个目标进行加权求和，将多目标问题转化为单一目标问题。
先确定每个目标的权重，然后将所有目标的得分加权求和，得到唯一的一个综合得分。
由此作为参考，进一步进行优化。
2. 线性规划法线性规划法是一种基础的多目标规划方法，它的求解过程基于线性规划。
将所有的目标约束转为线性规划约束条件，然后通过线性规划问题来求解最优解。
3. 模糊规划法模糊规划法是一种基于模糊数学的多目标规划方法。
它采用模糊数值来表达目标和约束条件，并通过模糊方法解决多目标策略问题。
4. 遗传算法遗传算法是一种基于生物进化原理的求解多目标规划问题的方法。
笔记--多目标规划
处理多目标规划的方法1.约束法 1.1原理约束法又称主要目标法，它根据问题的实际情况．确定一个目标为主要目标，而把其余目标作为次要目标，并根据决策者的经验给次要的目标选取一定的界限值，这样就可以把次要目标作为约束来处理，从而就将原有多目标规划问题转化为一个在新的约束下，求主要目标的单目标最优化问题。
假设在p 个目标中，()1f x 为主要目标，而对应于其余（p-1）个目标函数()i f x 均可以确定其允许的边界值：(),2,3,...,ii i af b i p ≤≤=x 。
这样我们就可以将这()1p -个目标函数当做最优化问题的约束来处理，于是多目标规划问题转化称为单目标规划问题SP 问题：公式1()()()1min s.t.0(1,2,...,)(2,3,...,)i j j j f g i m a f b j p ⎧⎪≥=⎨⎪≤≤=⎩x x x上述问题的可行域为()(){}|0,1,2,...,;,2,3,...,i j j j R g i m a f b j p '=≥=≤≤=x x x2.评价函数法其基本思想就是将多目标规划问题转化为一个单目标规划问题来求解，而且该单目标规划问题的目标函数是用多目标问题的各个目标函数构造出来的，称为评价函数，例如若原多目标规划问题的目标函数为F(x)，则我们可以通过各种不同的方式构造评价函数h(F(x))，然后求解如下问题：()()min s.t.h R⎧⎪⎨∈⎪⎩F x x 求解上述问题之后，可以用上述问题的最优解x *作为多目标规划问题的最优解，正是由于可以用不同的方法来构造评价函数，因此有各种不同的评价函数方法，下面介绍几种常用的方法。
评价函数法中主要有：理想点法、平方和加权法、线性加权和法、乘除法、最大最小法2.1理想点法考虑多目标规划问题：()()V-mins.t.0(1,2,...,)i g i m ⎧⎨≥=⎩F x x ，首先分别求解p 个单目标规划问题：()()min(1,2,...,)s.t.0(1,2,...,)i j f i p g j m ⎧=⎪⎨≥=⎪⎩x x令各个问题的最优解为*(1,2,...,)ii p =x ，而其目标函数值可以表示为：()*min ,1,2,...,i i Rf f i p ∈==x x其中：(){}|0(1,2,...,)jR g j m =≥=x x一般来说，不可能所有的*(1,2,...,)ii p =x 均相同，故其最优值*(1,2,...,)i f i p =组成的向量0***12[]T pfff =F 并不属于多目标规划的象集，所以0F 是一个几乎不可能达到理想点。
能源系统优化中的多目标规划方法研究
能源系统优化中的多目标规划方法研究随着能源需求的日益增加，能源系统的规划和优化成为越来越重要的问题。
而多目标规划方法则是优化能源系统的常用手段之一。
本文将从多目标规划方法的概念、应用领域以及优缺点等角度，对其在能源系统优化中的研究进行探讨。
一、多目标规划方法的概念多目标规划方法是指在优化问题中，不仅考虑单一目标，而是同时考虑多个目标的方法。
这些目标往往涉及经济、环境、社会等不同领域的利益，而不是一个简单的最小化或最大化目标。
多目标规划方法可以应用于各种问题领域，如城市规划、工程设计、环境管理等，广泛应用于实践中。
二、多目标规划方法在能源系统优化中的应用领域1.发电优化发电优化是能源系统优化的重要领域之一。
多目标规划方法可以在考虑电力供应、质量和成本等多个目标的情况下，为电力系统的发电规划、优化调度和机组出力等提供决策支持，以提高发电效率和经济性。
2. 能源供应链优化能源供应链优化是指在考虑能源资源、配送和使用等多个环节的情况下，通过协调各环节间的决策来优化整个供应链的运作效率和成本。
多目标规划方法可以应用于能源供应链中不同决策环节，如燃料采购、物流调度、储运设计等，并针对不同的目标进行权衡，为能源供应链的优化提供技术支持。
3. 能源消费管理能源消费管理是指在考虑能源消费需求、质量和成本等多个目标的情况下，通过对能源消费的监控和管理，实现资源高效利用和节能减排。
多目标规划方法可以用于对不同场景下的能源消费进行模拟和预测，并制定相应的需求预测和调整策略，以优化能源的使用效率和经济性。
三、多目标规划方法的优缺点多目标规划方法的优点在于能够同时考虑多个目标，能够为复杂问题提供全面而有效的解决方案。
多目标规划方法也能够更好地满足现代社会对环境、经济和社会等多方面利益的追求。
然而，多目标规划方法也存在一些缺点，如难以确定权重因子，难以拟定评价指标，以及运算复杂度较高等。
四、结论多目标规划方法在能源系统优化中具有广泛的应用和较高的效能。
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的解，因此对许多实际问题常常非常适用。
2.1.2 线性加权和法
线性加权和法基本思想是：决策者和分析者事先交换意
见，根据 p 个多目标
的重要程度不同，分别
乘以一组权系数
，然后相加作为目标函数，这样
构成单目标规划问题。即
2.1.3 目标规划法 目标规划法的基本思想：首先考虑最优先的达到函数，并 且忽略其他达到函数，求最小，然后再考虑下一个优先级的达 到函数，把先前优先级中的达到函数已达到的最小值作为该 达到函数的上限，并且作为一个约束条件，对下一个优先级的 达到函数求最小，以此类推。 2.1.4 极大极小法 极大极小法的基本思想是：对于极小化的多目标规划，让 其中最大的目标函数值尽可能地小，因此，对每个 ，我们 先求所有目标函数值的最大值 ，然后再找到这些最大值 中的最小值。从而构造单目标规划：
对于多目标规划：先假设源自目标函数相应的一组目标值理想化向量
，
再设 y 为一松弛因子标量。设 向量。
这样多目标规划问题化为：
为权值系数
2.3.2 字典序法 对目标的重要性进行排序，依次求解各单目标规划（前一 个目标的最优解不唯一，其结果作为下一个目标的约束），到 有唯一解时结束。 2.4 其他方法 对于多目标规划问题除了以上这些方法以外，还可以适 当修正单纯形法来求解，还有一种方法称为层次分析法，是由 美国运筹学家沙旦于 70 年代提出的，它是一种定性与定量相 结合的多目标决策与分析的方法，对于目标结构复杂并且缺 乏必要的数据的情况尤为适用。 3 多目标规划几种建模方法 3.1 效用最优化模型 效用最优化模型建立的依据是根据某一种假设：多目标 规划问题的各个目标函数可以通过一定的方式进行求和运 算。这种方法可以将一系列的目标函数与效用函数建立相关 关系，各目标函数之间通过效用函数协调，从而使多目标规划 问题转化为传统的单目标规划问题。 3.2 罚款模型 如果对每一个目标函数，规划决策者都能提出一个所期 望的值。 3.3 目标规划模型 目标规划模型与罚款模型相似，它也需要预先确定各个 目标的期望值，采用矩阵形式表示。 3.4 约束模型 约束模型的理论依据是：如果多目标规划问题的某一目 标能够给出一个可供选择的范围，则该目标函数就可以作为 约束条件而被剔除出目标组，从而进入约束条件组中。如果， 除了第一个目标函数外，其余目标函数都可以提出一个可供 选择的范围，则按上述思路，该多目标规划问题就可以转化为 单目标规划问题。 4 多目标规划方法应用的意义 多目标规划问题虽然已经在管理、经济中占有很重要的 地位，但至今有很多理论问题仍在探讨之中，应用范围远不如 线性规划广泛。但是，多目标规划作为一种决策方法，它的应 用前景还是很乐观的。企业决策者掌握和运用该方法将有助 于提高决策水平和管理水平，我们应该对多目标规划法更加 重视，使其理论层次更上一层楼，并且与实际情况紧密地结合 在一起，从而才能不断地发挥多目标规划的重要作用。 参考文献： [1] 陈珽. 多目标决策方法 （上）. 系统工程理论与实践， 1985；5(2)：54-64 [2]张天学.一种多目标规划的综合优化方法.系统工程理 论与实践,1986；6(3)：78-80 [3]树钟云，多目标最优化基础.江西大学数学系.1985.2. [4]董加礼援多目标规划.吉林工业大学应用数学系援1986.8 [5]胡毓达.实用多目标最优化.上海科技出版社.1990.5援 [6]Lin援J援G.,MaximaI Vectors and Multi—0bjective 0ptlmization， Journal of 0ptimization Theory and Applica原 tions, Vo1援18，No援1，January，1976援 作者简介：高莹莹（1982原）女，长春市人，职称：讲师，研 究方向：应用数学。
划的概念和多目标规划问题。自 70 年代以来，有很多数学学
家做了更深入的探讨与研究，多目标规划的研究越来越受到
人们的广泛重视。至今，在理论上多目标规划仍处于发展阶
段。
2 多目标规划的几种求解方法
2.1 在优化之前，决策者的偏好信息已经确定
2.1.1 主要目标法
主要目标法的基本思想是：在多目标规划问题中，根据实
际问题的情况，确定一个目标为主要目标，而把其余的目标作
为次要目标，并且根决策者的经验，选取适合的界限值。从而
就可以把次要目标作为约束来处理，这样就将原来的多目标
规划问题转化为一个在新的约束条件下，求主要目标的单目
标最优化问题。
主要目标法非常简单并且绝大多数都是可行的，它可以
保证在次要目标允许取值的条件下，求出主要目标尽可能好
2.2 在优化之后，决策者的偏好结构信息再确定
2.2.1 改变权系数法
基本思想是：根据 p 个多目标
的重要程
度不同，分别乘以一组权系数
，然后相加作为
目标函数，而构成单目标规划问题。即
2.2.2 自适应法 先对每个目标函数分别求解，利用迭代公式产生新解，并 检验。这样重复许多次之后，比较这些候选解的非劣性，优胜 劣汰。 2.3 在优化过程中，决策者的偏好结构信息逐步给出 2.3.1 目标达到法
理化空间
多目标规划方法综述
高莹莹
长春工业大学 吉林 长春 130000
摘要：本文主要介绍了多目标规划的思想以及多目标规 划的一些常见求解方法。最后提出了多目标规划几种建模方 法，以及多目标规划方法应用的意义。
关键词：多目标 规划 模型 决策者
1 多目标规划的介绍
多目标规划方法是数学规划的一个分支，也是运筹学中
159
非常重要的一个分支，它是以线性规划为基础，为了解决多目
标决策问题，出现的一种科学管理的数学方法，主要应用于研
究多于一个目标函数并在给定区域上的最优化问题，即又称
多目标最优化。
1896 年法国经济学家 V.Pareto 最早研究多目标优化问
题，他从政治学、经济学的角度考虑把本质上是不可能比较的
多个目标化成单个目标的最优化问题，从而涉及了多目标规