角动量算符专题

Lˆ
Lˆ
Lˆ2
Lˆ2z
Lˆ z
(4)
Yl*m Lˆ LˆYlmd Yl*m Lˆ LˆYlmd
( LˆYlm ) * LˆYlmd | alm |2 Yl ,m1 *Yl ,m1d | alm |2
Yl*m (Lˆ2 Lˆz2 Lˆz )Ylmd
[l(l 1)2 m22 m22 ] Yl*mYlmd l(l 1)2 m(m 1)2
可见，(L+ Yl m) 也是 Lz 与 L2 的共同本征函 数，对应本征 值分别为 (m+1) 和
l (l+1) 2。
由于相应于这些本征值的本征函数是 Yl, m+1 所以，L+ Yl m 与 Yl, m+1 二者仅差一个常数，即
Lˆ Ylm almYl ,m1
同理
LˆYlm blmYl ,m1
显
所以，这两个算符 不是厄密算符。
然
有
如
Lˆ ( Lˆ x iLˆ y )
下 性
Lˆx iLˆy
质
Lˆ x iLˆ y Lˆ
Lˆ Lˆ
不
Lˆz Lˆ Lˆ (Lˆz )
难 证
明
[Lˆ2 , Lˆ ] 0 Lˆ2 Lˆ Lˆ Lˆ2 Lˆ Lˆ Lˆ2 Lˆ2z Lˆ z Lˆ Lˆ Lˆ2 Lˆ2z Lˆ z
Lˆ Lˆ2 Lˆ2
Lˆ2z
Lˆz
(2) (3)
LˆLˆ Lˆ2 Lˆ2z Lˆz
(4)
证： 将 Eq. (1) 作用于 Yl m 得：
将 Eq. (2) 作用于 Yl m 得：
Lˆz LˆYlm Lˆ (Lˆz )Ylm (m 1)LˆYlm
Lˆ2 LˆYlm Lˆ Lˆ2Ylm l(l 1)2 LˆYlm
]
Lˆ y
i[cos
cot
sin
]
Lˆ z
i
Lˆ2
2[ 1
sin
பைடு நூலகம்
(sin
)
1
sin 2
2
2 ]
(I) Lz的本征方程
Lˆz
( )
i
d
d
( )
lz
( )
l
z
m
m ( )
1 eim
2
m 0,1,2,
(2) L2的本征方程
Lˆ2Y ( ,) 2Y ( ,)
2[ 1 sin
角动量升降阶算符
(I) 定义
Lˆ Lˆ x iLˆ y
Lˆ
Lˆ x
iLˆ y
(II) 对易关系
[Lˆz , Lˆ ] [Lˆz , Lˆ x iLˆ y ] [Lˆz , Lˆ x ] i[Lˆz , Lˆ y ] iLˆ y i(iLˆ x ) (Lˆ x iLˆ y ) Lˆ
(sin
)
1 sin 2
2 2
]Y
(
,
)
2Y ( ,)
本征值： l(l 1)2
Ylm ( , ) (1)m NlmPl m (cos )eim
m 0,1,2,, l
Ylm ( , ) (1)m Yl*m ( , )
m 1,2,3,,l
对易关系：
lˆ lˆ i lˆ
或 lˆ ,lˆ i lˆ
角动量算符专题
By Dr. Xia
角动量算符问题
算符构造： Lˆ rˆ pˆ ir
直角坐标系
Lx Ly
ypˆ z zpˆ x
zpˆ y xpˆ z
i(
y
z
i( z
x
z
y
)
x
z
)
Lz
xpˆ y
ypˆ x
i( x
y
y
x
)
球极坐标系：
Lˆ x
i[sin
cot
cos
证明角动量升降算符：
LˆYlm l(l 1) m(m 1)Yl ,m1 (l m)(l m 1)Yl,m1
证明：
LˆYlm l(l 1) m(m 1)Yl,m1 (l m)(l m 1)Yl,m1
Lˆz Lˆ Lˆ (Lˆz )
(1)
LLˆˆ2LLˆˆ
比较 | alm |2 [l(l 1) m(m 1)]2 二式 为简单计取实数：alm l(l 1) m(m 1)
同理求得：blm l(l 1) m(m 1)
LˆYlm l(l 1) m(m 1)Yl,m1 (l m)(l m 1)Yl,m1
有 又因为：
由（4）式
首先对 式左边
积分 并注意 L- = L++
求: 常系数 al m, bl m
再计算
Lˆ z
Lˆ
Lˆ (Lˆz
)
(1)
Yl*m Lˆ LˆYlmd
式右积分
Lˆ2 Lˆ Lˆ Lˆ2
(2)
Lˆ
Lˆ
Lˆ2
Lˆ2z
Lˆ z
(3)
Yl*m[Lˆ2 Lˆ2z Lˆ z ]Ylmd