角动量算符专题
【精品】5.4角动量算符
【精品】5.4角动量算符角动量是量子力学中的一个重要概念，描述了物体绕某个轴旋转的性质。
在量子力学中，角动量由角动量算符表示。
5.4 角动量算符是指由两个轨道角动量算符构成的总角动量算符。
在量子力学中，角动量算符可以分为轨道角动量算符和自旋角动量算符。
轨道角动量算符用L表示，自旋角动量算符用S表示。
轨道角动量算符具有以下性质：1. 轨道角动量算符是矢量算符，具有大小和方向。
2. 轨道角动量算符的大小由量子数l确定，满足 |L| = ℏ√(l(l+1))。
3. 轨道角动量算符的z分量由量子数m确定，满足Lz = ℏm。
4. 轨道角动量算符的不确定关系为 [Lx, Ly] = iℏLz。
自旋角动量算符具有以下性质：1. 自旋角动量算符是矢量算符，具有大小和方向。
2. 自旋角动量算符的大小由自旋量子数s确定，满足 |S| = ℏ√(s(s+1))。
3. 自旋角动量算符的z分量由自旋量子数ms确定，满足 Sz =ℏms。
4. 自旋角动量算符的不确定关系为 [Sx, Sy] = iℏSz。
5.4角动量算符由轨道角动量算符L和自旋角动量算符S构成。
总角动量算符J由L和S相加，即 J = L + S。
总角动量算符的大小由量子数j确定，满足 |J| = ℏ√(j(j+1))。
总角动量算符的z分量由量子数mj确定，满足 Jz = ℏmj。
5.4角动量算符的性质：1. 5.4角动量算符的大小由量子数j确定，满足 |J| = ℏ√(j(j+1))。
2. 5.4角动量算符的z分量由量子数mj确定，满足 Jz = ℏmj。
3. 5.4角动量算符满足角动量的加法关系，即 J² = L² + S² + 2LS。
5.4角动量算符由轨道角动量算符L和自旋角动量算符S构成，描述了物体的总角动量性质。
角动量专题知识
Lˆz i
x
y
y
x
4
3.轨道角动量分量旳算符间旳对易关系
[Lˆx , Lˆ y ] Lˆx Lˆ y Lˆ y Lˆx
为求上述对易子，先将算符 Lˆ y 作用于某个任意函数
f(x,y,z)，得：
Lˆ y f i
z
f x
x
f z
在将算符 Lˆx 作用于上面所得函数，得：
Lˆx Lˆ y f
20
➢对于原子核电荷数Z≥40旳重原子，因为其每个电子旳 轨道和自旋旳相互作用比各电子间旳相互作用都要大，
故采用j－j耦合将会得到很好旳成果。
➢对于Z≤40旳轻原子，各电子间旳相互作用要远不小于
每个电子本身旳轨道和自旋相互作用，于是L－S耦合将
是更加好、更以便旳近似措施。
21
多电子原子旳总角动量
2
y
f x
x
f y
2
y
x
x
y
f
所以： [Lˆx , Lˆ y ] i Lˆz
2 f 2 f (这对于品优波
其中用了下列关系式：
zx xz
函数总是成立旳)
6
一样，我们能够求得：
[Lˆ y , Lˆz ] i Lˆx [Lˆz , Lˆx ] i Lˆ y
Lˆ2 , Lˆ x Lˆ2x Lˆ2y Lˆ2z , Lˆ x Lˆ2x , Lˆ x Lˆ2y , Lˆ x Lˆ2z , Lˆ x Lˆ2y , Lˆ x Lˆ2z , Lˆ x Lˆ y Lˆ y , Lˆ x Lˆ y , Lˆ x Lˆ y Lˆz Lˆz , Lˆx Lˆz , Lˆx Lˆz i Lˆ y Lˆz i Lˆz Lˆ y i Lˆz Lˆ y i Lˆ y Lˆz 0
角动量算符
pˆ z z
i
写成通式:
但是坐标算符与其非共轭动量 对易，各动量之间相互对易。
x pˆ pˆ x i
pˆ pˆ pˆ pˆ 0
, x, y, z
量子力学中最基本的 对易关系。
xpˆ y pˆ y x 0
xpˆ z
pˆ z
( Aˆ Bˆ ) Bˆ Aˆ 13
(11)厄密共轭算符
算符 Ô 之厄密共轭算符 Ô+ 定义:
由此可得：:
d *Oˆ d (Oˆ )*
d *Oˆ d (Oˆ )*
转置算符 的定义
厄密共轭 算符亦可 写成：
[ d *(Oˆ )]*
讲解人：沈建其
第四章 量子力学中的力学量
本块内容广博，务必以自学为主。 自我教育，修炼成材，系大学教育目标之一。
– §1 算符的运算规则 §2 动量算符和角动量算符 （§1 与§2可就所发曾谨言教程复印材料第三章学习）
§3 电子在库仑场中的运动 §4 氢原子 （用薛定谔方程再探氢原子，与Bohr半经典半量子理论思路不同） (§3和§4对照本ppt学习，学习其数学思路)
x
(i
x
)x
i
ix
x
xpˆ x pˆ x x
而
（xpˆ x pˆ x x） i
因为 是任意波函数，
所 以 xpˆ x pˆ x x i
对8 易
关系
同理可证其它坐标算符
与共轭动量满足
ypˆ y pˆ y y i
zpˆ z
n0
设给定一函数 F(x), 其各阶导数均存在, 其幂级数展开收敛
量子力学中的角动量算符描述粒子的角动量性质
量子力学中的角动量算符描述粒子的角动量性质量子力学是研究微观世界的一门科学，其中的角动量是描述微观粒子运动的重要概念之一。
在量子力学中，角动量不再是连续的，而是以量子化的形式存在。
为了准确描述粒子的角动量性质，量子力学引入了角动量算符。
角动量算符是量子力学中的一种数学工具，用来描述粒子的自旋和轨道角动量。
自旋是粒子固有的性质，而轨道角动量则与粒子在空间中的运动有关。
角动量算符包括自旋算符和轨道角动量算符，分别记作S和L。
自旋算符S描述了粒子的自旋性质，自旋可以简单理解为粒子内部固有的旋转。
自旋算符的本征态通常用符号|s,m>表示，其中s是自旋量子数，m是自旋在特定方向上的投影。
自旋算符与自旋矩阵有关，它们的本征值代表了粒子的自旋状态。
轨道角动量算符L描述了粒子的轨道运动和角动量性质，在经典物理中，轨道角动量的大小和方向是连续变化的，而在量子力学中，它们变为用量子数来描述。
轨道角动量算符的本征值问题由角动量算符的各个分量组成，通常记作Lx、Ly和Lz。
轨道角动量算符的本征态通常用符号|l,m>表示，其中l是轨道角动量量子数，m是轨道角动量在特定方向上的投影。
自旋算符和轨道角动量算符满足一系列的关系和运算规则，比如它们之间满足对易关系，即[Sx,Sy]=iħSz。
这些关系和规则是量子力学中角动量的数学基础，通过它们可以推导出角动量的一些性质和量子态之间的变换关系。
利用角动量算符可以描述多种粒子的性质，比如电子、质子、中子等。
每种粒子都有自己特定的角动量性质，它们的角动量量子数和本征值可以通过实验测量获得。
在描述多电子系统或原子结构时，角动量算符的应用尤为重要，它可以帮助解释原子轨道、电子的自旋和轨道耦合等现象。
总结一下，量子力学中的角动量算符是用来描述粒子角动量性质的数学工具，它包括自旋算符和轨道角动量算符。
自旋算符描述了粒子的自旋性质，轨道角动量算符描述了粒子的轨道运动和角动量性质。
利用角动量算符可以推导出一系列角动量的数学关系和运算规则，并应用于多种粒子的性质描述中。
角动量算符
设m有N个值,且已知 N = 2 j + 1 → j = , 2 可见,j取零,整数和半整数.如轨道角动量j=l,电子自旋角动量j=1/2.
N 1
角动量算符的本征方程为:
J 2 j , m = j ( j + 1) 2 j , m , J z j , m = m j , m
J 2 和 J x 的本征值问题 7.1.4
A A 1 利用算符公式: e Pe = P + [ A, P] + 2 [ A, [ A, P]] + …
π
2
,则相应的
1 = Jx, 得: R J z R 2 1 2 RJ R = J ,
即
J x .R j, m = mR j, m , 2 2 J .R j, m = j ( j + 1) R j, m
2 J + J = J 2 J Z + J Z
2 J _ J + = J 2 J Z J Z
λ ≥ m 2.由前性质5,具
这样,
2 J 2 J Z = J _ J + + J Z = J + J J Z
= 1 (J + J + J _ J + ) 2
+ + = 1 (J J + J + J + ) 2
(3) (4) (5)
2 [J ± , J ] = 0
∧ [ J ± , J Z ] = J ± ;
2 J ± J = J 2 J Z ± J Z
7.1.3
J 2, JZ
的本征值
设本征方程为:
2 2 J λ , m = λ λ , m , J z λ , m = m λ , m
高等量子力学 角动量算符和角动量表象 自旋表象PPT课件
ml
2l
4
1
Pl
cos
(8.72)
式中 1,1 和 2 ,2 代表两个单位矢量的方向,而 是二矢量间
的夹角.
另一个有用公式为
eikr 4
l
il jl
kr Ylm*
ek
Ylm
er
l0 ml
2l 1il jl krPl cos
(8.73)
式中
r r r 2dr 1，
r r 1 r r
r2
sindd 1 （7.59）
1
sin
（7.62）
这 样 , 空 间 的 态 矢 量 g 可 以 有 两 种 表 象 : 表 象
g g和 lm 表象 lm g .前者是连续表象而后者是离散
表象. 球谐函数
lm Ylm,
第22页/共30页
自旋算符 S 是一个矢量厄米算符, 通常取 S 2 和 Sz 作为对易
算符完备组,讨论它们的共同本征矢量 sm .
S 2 sm ss 12 sm
Sz sm m sm
根据前面角动量的普遍讨论, 量子数 s 和 m 的可能取值如下:
s 0, 1 2, 1, 3 2, 2, m s,s 1,s 1, s 自旋与轨道角动量不同的特点是, 非复合粒子的自旋量子数 s 只能取 一个值, 例如电子 s 取1 2 ; 在基本稳定的粒子态中, 所有的轻子和
为此，引入两个算符 J 和 J ：
Ji , J j i ijk Jk
k
J J x iJ y
（8.6）
这两个算符不是厄米算符，因而它们不是物理量；但它们有很重要的作用，满足
J
J
即二者互为伴算符。它们与 J 2 和 J z 的对易关系是
3.2 动量算符和角动量算符ppt课件
dy
px py
i d ( z ) ( z ) dz
pz
( x)
c ei
px
x
1
px ( x)
( y)
c ei
py
y
2
py ( y)
(z)
c ei
pz
z
3
pz (z)
于是
p
(r)
(
x
)
(
y
)
(
z
)
px ( x) py ( y) pz (z)
c e c e c e i
*p(r) p(r)d
| c |2
e e d
i
p•r
i
p•r
| c |2
d
发散
归一化为δ-函数，意味着什么？
动量的本征函数不能归一化为一，而只能归一化为δ-函数。
任何一个实际的波函数都不可能是严格的平面波，而应该是某种
形式的波包。
5
Dirac —函数
( x x0 )
0
定义 (x x0 )
x
x
) z
Lˆz
xpˆ y
ypˆ x
ih( x
y
y
) x13
(2) 球坐标系中的角动量算符
直角坐标与球坐标之间的变换关系
x
x r sin cos
y
r
sin
sin
z r cos
r 2 x2 y2 z 2
cos z / r tan y / x
(1) (2) (3)
z
r
r y
球坐标
i i
x
y
p (r )
5.4角动量算符
∫ sin θ dθ dϕ θ , ϕ
θ ,ϕ = 1 ，
r ' = ∫ dr r δ ( r − r ') ，而将 ∫ r 2 dr r r = 1 右乘 r ' 有： r ' = ∫ r 2 dr r r r ' ，
r r' = 1 δ ( r − r ') 。 r2
r (after expansion, to move PS −1 to right, PS to left) 。我们将指数算符作用到任一函数 ϕ (r ) ，则有
r r r r PS (r × ∇) z PS −1ϕ (r ) = PS (r × ∇) z ϕ ( Sr ) ，
r r r r 令 r ' = Sr ，所以 r = S - 1r ' ， ∇ = S −1∇ ' ，于是有
PR (ω ,γ ) = e
r
，
r ˆ 其中算符 L 是轨道角动量算符 x 表象的形式。
2. Hilbert 空间的极坐标基矢 在前面我们使用 Hilbert 空间是 x, y, z 方向一维运动的 Hilbert 空间的直积空间，其基矢
r r r r r = x y z ，它的完全性关系为 ∫ dr r r = 1 ，而正交归一性关系为
i r − γω ⋅ L r r l PR (ω , γ ) lm = e h lm = ∑ lm ' Dm ' m (ω , γ ) ， m' r
r r 若令 ω = 3 ，则
i r r − γ Lz l l − im 'γ PR (3, γ ) = e h ， Dm ， ' m (3, γ ) = Dm ' m (0, 0, γ ) = δ m ' m e
经典力学中的角动量.
bk b k
有
bmax bmin n, n 0,1,2,
bmax
1 n 2
bmax j,
j 0,
1 , 1, 2
3, 2
bmin j
b j, ( j 1), , ( j 2), ( j 1), j (4.63)
由(4.56), (4.58)有
y
px
i( x
y
y
) x
M2
M
2 x
M
2 y
M
2 z
3 对易规则(commutation rules)
M x M y M y M x i M z
M y M z M z M y i M x
M z M x M x M z i M y
[ ypz , zpx ] [zp y , xpz ]
ypx[ pz , z] xpy[z, pz ]
i ( xpy ypx ) i Mˆ z
[
p i
,
p
j
]
0
[ri,rj ] 0
[
p i
,
ri
]
i
[M
2,
M
x
]
[M
2 x
M
2 y
M
2 z
,
M
x
]
[
(The Ladder-operator method for angular momentum)
4-4 角动量算符的本征值和本征态
l 0, 1, 2 , m l , l 1,
, l.
N lm 是归一化常数，使
Ylm ( , ) Ylm ( , ) d 1,
(d sin d d )
结果是（关于 N lm 的相位的选择以后再解释）
Nlm (1)m
最后得
(2l 1) (l m)! , 4 (l m)!
有 2l 1 个不同的 m 值，这就是 L 的本征值 l (l 1) 的简并度。 l 0 和 l 1 的球谐函数是：
2
2
Y00
Y10
1 , 4
3 sin e i . 8
3 cos , Y1,1 4
3 ˆ, Y1,1 z 4
3 x y z ˆ iy ˆ) x ˆ, y ˆ, z ˆ , , ，所以 (x 8 r r r 1 3 i 3 3 ˆ, Y1 y ˆ , Y1z Y10 ˆ. Y1x (Y1,1 Y1,1 ) x (Y1,1 Y1,1 ) y z 4 4 4 2 2 ˆ r / r 的 3 个分量。 这表明，3 个 1 阶球谐函数实际上就是单位矢径 r
m
Pl m ( w)
事实上，在 m 0 的时候，
l m 1 2 m/2 d (1 w ) ( w2 1)l . (m l , l 1, 2l l ! dwl m
, l)
Pl m ( w) (1 w2 )m / 2
而P l
m
dm Pl ( w), dwm
( w) 和 Pl m ( w) 只有常数因子的差别：
2
1 sin sin
y
ˆ 的本征值和本征函数 4.4.2 L z ˆ 记 L 的本征值为 m ，本征函数为 m ( ) ，则本征方程是：
3.2动量算符和角动量算符
§3.2 动量算符和角动量算符一．动量算符。
1. 动量算符的本征值方程：()()r p r ip p ψψ=∇，三个分量方程是 （3.2.1） ()()r p r xi p x p ψψ=∂∂ ， +∞<<∞-x ()()r p r yi p y p ψψ=∂∂ ， +∞<<∞-y （3.2.2） ()()r p r zi p z p ψψ=∂∂ ， +∞<<∞-z 通解是()r p i pCe r∙=ψ，C 是归一化常数。
（3.2.3） 2.动量本征函数的归一化。
()()()()()[]⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞+∞-'-+'-+'-∙∞+∞-=dxdydze C d r r z p p y p p x p p ip pz z y y x x2τψψ因为()()x x x p p ip p dx ex x '-=⎰∞+∞-'-δπ2，所以有()()()()()()()()p p C p p p p p p C d r r z z y y x x p p'-='-'-'-=∙+∞∞-⎰δπδδδπτψψ323222如果取()232-= πC ，则()r pψ归一化为δ函数。
()()()()()r p i pp per p p d r r∙∙+∞∞-='-=⎰2321;πψδτψψ（3.2.4）（3.2.5）3.箱归一化在A （L/2,y,z ）和A '(-L/2,y,z)点, ()r p i p Ce r∙=ψ的值应相同。
即⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛++-=z p y p L p i z p y p L p i z y x z y x CeCe2121()1=L p ix e所以πx xn L p 2=，x n 是正负整数或零。
,1,0,2±==x xx n Ln p π （3.2.6）,1,0,2±==y yy n Ln p π （3.2.7）,1,0,2±==z zz n Ln p π （3.2.8） 当L ∞→时，z y x p p p ,,的本征值就变为连续谱。
高等量子力学角动量算符和角动量表象自旋表象
在量子力学中，波函数可以在不同的表 象之间进行转换。对于角动量表象和坐 标表象之间的转换，可以通过傅里叶变
换或拉普拉斯变换实现。
在进行表象转换时，需要注意不同表象 之间基函数的正交性和完备性，以及转 换过程中可能出现的数学困难和物理意
义的变化。
在实际应用中，可以根据具体问题的需 要选择合适的表象进行描述和计算，以
未来发展趋势预测
要点一
发展新的理论和方法
随着科学技术的不断进步和计算能力 的不断提高，未来有望发展出更为精 确和高效的理论和方法来处理角动量 和自旋相关的问题。例如，基于量子 计算机的新型算法和模拟方法有望在 解决复杂多体问题方面取得突破。
要点二
拓展应用领域
角动量和自旋作为量子力学中的基本 概念和工具，在各个领域都有着广泛 的应用前景。未来有望将角动量和自 旋的理论和方法拓展到更多的领域， 如量子信息、量子计算、量子模拟等 前沿领域。
自旋算符定义及性质描述
自旋算符定义
自旋算符是用于描述粒子自旋状态的算符，包括自旋角动量算符和其分量算符。
自旋算符性质
自旋算符满足角动量算符的一般性质，如对易关系、本征值问题等。此外，自旋 算符还具有一些特殊性质，如自旋量子数的取值只能是整数或半整数。
自旋算符在量子力学中地位和作用
描述粒子内禀属性
角动量性质
角动量是守恒的，即在没有外力矩作 用的情况下，物体的角动量保持不变 。此外，角动量具有叠加性，多个物 体的角动量可以相加。
量子力学中角动量重要性
描述微观粒子状态
在量子力学中，角动量是描述微观粒子状态的重要物理量之一，它与粒子的自 旋、轨道运动等密切相关。
解释原子光谱
角动量的量子化假设成功解释了原子光谱的规律性，为量子力学的发展奠定了 基础。
量子力学课件：角动量算符专题
(I) 定义
Lˆ Lˆ x iLˆ y
Lˆ
Lˆ x
iLˆ y
(II) 对易关系
[Lˆz , Lˆ ] [Lˆz , Lˆ x iLˆ y ] [Lˆz , Lˆ x ] i[Lˆz , Lˆ y ] iLˆ y i(iLˆ x ) (Lˆ x iLˆ y ) Lˆ
显
所以，这两个算符 不是厄密算符。
可见，(L+ Yl m) 也是 Lz 与 L2 的共同本征函 数，对应本征 值分别为 (m+1) 和
l (l+1) 2。
由于相应于这些本征值的本征函数是 Yl, m+1 所以，L+ Yl m 与 Yl, m+1 二者仅差一个常数，即
Lˆ Ylm almYl ,m1
同理
LˆYlm blmYl ,m1
角动量算符专题
角动量算符问题
算符构造： Lˆ rˆ pˆ ir
直角坐标系
Lx Ly
ypˆ z zpˆ x
zpˆ y xpˆ z
i(
y
z
i( z
x
z
y
)
x
z
)
Lz
xpˆ y
ypˆ x
i( x
y
y
x
)
球极坐标系：
Lˆ x
i[sin
cot
cos
]
Lˆ y
i[cos
Lˆ Lˆ2 Lˆ2
Lˆ2z
Lˆz
(2) (3)
LˆLˆ Lˆ2 Lˆ2z Lˆz
(4)
证： 将 Eq. (1) 作用于 Yl m 得：
将 Eq. (2) 作用于 Yl m 得：
Lˆz LˆYlm Lˆ (Lˆz )Ylm (m 1)LˆYlm
量子力学中的角动量算符
量子力学中的角动量算符在量子力学中，角动量是一个非常重要的物理量。
它描述了粒子的旋转运动和自旋状态。
为了描述和计算量子系统中的角动量，我们使用角动量算符。
本文将介绍量子力学中的角动量算符以及其相关特性。
一、角动量算符的定义角动量算符是量子力学中用来描述角动量的数学表达式。
对于自然界中的粒子，其角动量算符由三个互相独立的分量组成：Lx、Ly和Lz。
它们分别对应了角动量在x、y和z方向上的投影。
这些算符可以写成以下形式：Lx = yLz - zLyLy = zLx - xLzLz = xLy - yLx其中，x、y和z是坐标系中的轴。
二、角动量算符的性质角动量算符具有一些重要的性质，其中一些是经典力学中角动量的推广，而另一些则是由量子力学的性质决定的。
1. 对易关系角动量算符满足对易关系，即：[Lx, Ly] = iħLz[Ly, Lz] = iħLx[Lz, Lx] = iħLy其中ħ是普朗克常量的约化版本。
2. 共同本征态角动量算符有一组共同的本征态，即轨道角动量的本征态和自旋的本征态。
这些本征态由量子数来标记，分别是轨道角动量量子数l、角动量的z分量量子数m以及自旋量子数s。
对于每一个量子数组合，都对应着一个特定的本征态。
3. 角动量的取值范围轨道角动量的量子数l可以取零或正整数值，如0、1、2等，而z分量量子数m的取值范围为-l到l的整数，例如l为1时，m可以是-1、0或1。
自旋量子数s只能取0或1/2。
这些量子数的取值范围决定了角动量算符的本征值。
三、角动量算符的应用角动量算符在量子力学中的应用非常广泛。
下面将介绍一些常见的应用。
1. 角动量的量子数通过角动量算符，我们可以得到一些重要的物理量，如角动量的大小和方向。
通过计算角动量算符的本征值，可以确定量子系统的角动量取值。
2. 角动量的叠加当将两个或多个角动量相加时，我们需要使用角动量算符来描述。
通过对角动量算符的叠加，可以得到合成系统的总角动量。
第三章 量子力学中的力学量 第五讲 动量算符和角动量算符 ppt 量子力学教学课件
i ( xP x yP y zPz )
= e
i x l 2
Ce
i ( p l p y y pz z ) x2
Ce
p ( ) p y p z
y z
PL
=2nπ
L 2
2n nh P= l L
i Px L
Ψp(- )=Ψp(+ L )得： e 2 cos(
1 2 = r 2 r (r r ) +
2
2
1 1 1 2 L (sin ) ( r ) r 2 sin r 2 sin 2 2 r 2 r r 2r 2
5)对自由粒子能为 E，它的动量算符对应的本征 值和本征函数有几个，是几度简并。 （ E=
在 x,y,z 方向的三个变量：
i x Ψpx（x）=PxΨpx（x）
i y Ψpy（y）=PyΨpz（y）
i z Ψpz（z）=PzΨpz（z）
(2)
则得 Ψpx(r)=C1 e
i Px x
, Ψpy=C2 e
i Py y
Ψpz=C2 e
i Pz z
3)
L y( , ) 2 y( , ) 可知
2
^ 2 的本征值： L
λ ћ2= L(L+1) ћ2,本征值函数： ylm ( , ) L 表示角动量大小：→角量子数，m→磁量数。 对一个 L,m 有 2L+1 个，由 ylm ( , ) 对一个 L 有 2L+1 个 ylm ( , ) 。 简并态： 一个 L 对应一个本征值， 一个本征值对应 2L+1 个本征函数。 简并度：一个本征值对应本征函数的数目叫简并度。 （m=0,±1,±2…±L） 。
角动量算符角动量平均值
提出两个问题： 3 * 1、为什么不能写成 p (r ) p(r ) (r )d r 2、能否用以坐标为自变量的波函数计算动 量的平均值？
由此引申出量子力学中特有的概念： 力学量的算符
6
三、力学量用算符表示(1) 当算符 i j k
2 2 2 2 2 2 2 x y z
V * (r )V (r ) (r )d 3r
ˆ T ˆ V H
ˆ ˆ 角动量 l r p，角动量算符 l rp
角动量平均值
2m
2 V (r )
ˆ 3 l (r )l (r )d r
s
ds
d d j ds dt s
s
左边表示在闭区域 中找到粒子的总数目在单位时 间内的增量。 的封闭表面 s 而流入 右边表示单位时间内通过 内的粒子数。所以， j 表示粒子流密度。
16
本征方程
ˆ af 的方程，称为 数学中，形如 Af 本征方程。其中 ˆ 算符, f 本征函数, a 本征值 A
能量算符
i (r , t ) E (r , t ) (r , t ) E (r )e iEt / t ˆ (r ) E (r ) H E E
被称为能量本征函数， E被称
17
方程被称之为定态方程。因为本征值E具有能量的
E (r ) 量纲，故此，
为能量本征值。
14
四、薛定谔方程（2）
连续性方程 － 薛定谔方程的推论 2 薛定格方程 * * ( 1 ) ( 1 ) 由 ，得
2 i (r , t ) [ V (r , t )] (r , t )（1） t 2m
动量算符角动量算符
i C e x p ( p px ) ( p py ) ( p pz ) d x d y d z x x y y z z
＋
i e x p ( p p ) x d x 2 ( p p ) , 其 中 ( p p ) x x x x x x － 是 以 p p 为 宗 量 的 函 数 。 x x
1
i e x p ( pr ) ( 4 )
３、动量本征值的分立化：箱归一化
设想将粒子限制在一个边长为L的正方形箱中，取 箱中心为坐标原点。引入周期性边界条件：要求波函数 在两各相对的箱壁上的对应点有同值，即
L L ( ,yz , ) ( ,yz ,) 2 2 i 1 i 1 C e x p ( pL py pz C e x p ( pL py pz ( 5 ) x y z ) x y z ) 2 2 pL i x e x p (pL ) 1 2 n , n 0 , 1 , 2 , 3 ( 6 ) 或 x x x
2
2 2
４、角动量平方算符的本征值方程：
2 1 1 2 2 ( s i n ) 2 Y ( , ) Y ( , ) ( 1 8 ) 2 s i n s i n 2 1 1 或 ( s i n ) 2 Y ( , ) Y ( , ) ( 1 9 ) 2 s i n s i n
2 ˆ L Y ( , ) 其中， 是 算符属于本征值
2
的本征函数。
５、角动量平方本征值方程的解
方程(19)是缔合勒让德方程，波函数标准条件要
求 Y ( , ) 在 ， 变化的范围都能取有限值。
12角动量算符共同完备本征函数系力学量完全集.
Y ,) 1 ,0( 3 cos 4
3 i Y ( , ) s in e 1 , 1 8
1 5 i s i n c o s e 8
Y ( , ) 1 , 1
Y ( , ) 2 , 1
3 i s i n e 8
分离变量
() 其中， 1 2
eim 。
由求解过程可知，为使 Y(,) 在区间 [0, ] 内有限，必须 l (1 l ) l 0 , 1 , 2 ,
方程的解
m m i m Y ( , ) ( 1 ) N P ( c o s ) e m 0 , 1 , 2 , l l m l m l
m * Y ( , ) ( 1 ) Y ( , ) l m l , m
m 1 , 2 , l
m Y ,)称为球谐函数，其归 式中的 P )为连带勒让德多项式。 lm( l (cos 一化常数为 (l m )! (2 l 1 ) N lm (l m )! 4
z
r
y
x
x r s in c o s y r s in s in z r cos
如果粒子围绕 z 轴旋转，只有 改变，则
x y y x x y x y
§3-5 共同完备本征函数系 力学量完全集
一、共同完备本征函数系
二、力学量完全集
§3-5 共同完备本征函数系 力学量完全集
一、共同完备本征函数系
并不是任意两个算符都可以有完备的共同本征函数系，当且仅 当两个算符相互对易时，它们才可能存在完备的共同本征函数系， 或者说，它们才可能同时取确定值。 ˆ 与B ˆ 分别满足本征方程 定理1：若算符 A
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Lˆ
Lˆ
Lˆ2
Lˆ2z
Lˆ z
(4)
Yl*m Lˆ LˆYlmd Yl*m Lˆ LˆYlmd
( LˆYlm ) * LˆYlmd | alm |2 Yl ,m1 *Yl ,m1d | alm |2
Yl*m (Lˆ2 Lˆz2 Lˆz )Ylmd
[l(l 1)2 m22 m22 ] Yl*mYlmd l(l 1)2 m(m 1)2
角动量算符专题
By Dr. Xia
角动量算符问题
算符构造： Lˆ rˆ pˆ ir
直角坐标系
Lx Ly
ypˆ z zpˆ x
zpˆ y xpˆ z
i(
y
z
i( z
x
z
y
)
x
z
)
Lz
xpˆ y
ypˆ x
i( x
y
y
x
)
球极坐标系：
Lˆ x
i[sin
cot
cos
可见，(L+ Yl m) 也是 Lz 与 L2 的共同本征函 数，对应本征 值分别为 (m+1) 和
l (l+1) 2。
由于相应于这些本征值的本征函数是 Yl, m+1 所以，L+ Yl m 与 Yl, m+1 二者仅差一个常数，即
Lˆ Ylm almYl ,m1
同理
LˆYlm blmYl ,m1
(sin
)
1 sin 2
2 2
]Y
(
,
)
2Y ( ,)
本征值： l(l 1)2
Ylm ( , ) (1)m NlmPl m (cos )eim
m 0,1,2,, l
Ylm ( , ) (1)m Yl*m ( , )
m 1,2,3,,l
对易关系：
lˆ lˆ i lˆ
或 lˆ ,lˆ i lˆ
Lˆ Lˆ2 Lˆ2
Lˆ2z
Lˆz
(2) (3)
LˆLˆ Lˆ2 Lˆ2z Lˆz
(4)
证： 将 Eq. (1) 作用于 Yl m 得：
将 Eq. (2) 作用于 Yl m 得：
Lˆz LˆYlm Lˆ (Lˆz )Ylm (m 1)LˆYlm
Lˆ2 LˆYlm Lˆ Lˆ2Ylm l(l 1)2 LˆYlm
证明角动量升降算符：
LˆYlm l(l 1) m(m 1)Yl ,m1 (l m)(l m 1)Yl,m1
证明：
LˆYlm l(l 1) m(m 1)Yl,m1 (l m)(l m 1)Yl,m1
Lˆz Lˆ Lˆ (Lˆz )
(1)
LLˆˆ2LLˆˆ
显
所以，这两个算符 不是厄密算符。
然
有
如
Lˆ ( Lˆ x iLˆ y )
下 性
Lˆx iLˆy
质
Lˆ x iLˆ y Lˆ
Lˆ Lˆ
不
Lˆz Lˆ Lˆ (Lˆz )
难 证
明
[Lˆ2 , Lˆ ] 0 Lˆ2 Lˆ Lˆ Lˆ2 Lˆ Lˆ Lˆ2 Lˆ2z Lˆ z Lˆ Lˆ Lˆ2 Lˆ2z Lˆ z
由（4）式
首先对 式左边
积分 并注意 L- = L++
求: 常系数 al m, bl m
再计算
Lˆ z
Lˆ
Lˆ (Lˆz
)
(1)
Yl*m Lˆ LˆYlmd
式右积分
Lˆ2 Lˆ Lˆ Lˆ2
(2)
Lˆ
Lˆ
Lˆ2l*m[Lˆ2 Lˆ2z Lˆ z ]Ylmd
]
Lˆ y
i[cos
cot
sin
]
Lˆ z
i
Lˆ2
2[ 1
sin
(sin
)
1
sin 2
2
2 ]
(I) Lz的本征方程
Lˆz
( )
i
d
d
( )
lz
( )
l
z
m
m ( )
1 eim
2
m 0,1,2,
(2) L2的本征方程
Lˆ2Y ( ,) 2Y ( ,)
2[ 1 sin
比较 | alm |2 [l(l 1) m(m 1)]2 二式 为简单计取实数：alm l(l 1) m(m 1)
同理求得：blm l(l 1) m(m 1)
LˆYlm l(l 1) m(m 1)Yl,m1 (l m)(l m 1)Yl,m1
有 又因为：
角动量升降阶算符
(I) 定义
Lˆ Lˆ x iLˆ y
Lˆ
Lˆ x
iLˆ y
(II) 对易关系
[Lˆz , Lˆ ] [Lˆz , Lˆ x iLˆ y ] [Lˆz , Lˆ x ] i[Lˆz , Lˆ y ] iLˆ y i(iLˆ x ) (Lˆ x iLˆ y ) Lˆ