现代控制工程第5章能控性与能观性分析

rankSo
C
rank
CA
CA 2
0
2 rank1
4
1 0 2 3
0
3 3 n
0
12
0 4 3
所以，系统是能观的。
26
5.3 线性定常系统的能观性
例5.9 已知系统的动态方程为
1 0 1
2
x(k 1) 0 2
1
x(k
)
1u (k )
3 0 2
1
0 0 1 y(k) 1 0 0 x(k)
5.2.2 能控性判别准则
例5.4 判别下列系统的能控性。
1 0 0
1
x(k
1)
0
2 2x(k) 0u(k)
1 1 0
1
解: 因为
1 1 1
rankSc B AB A2 B rank0 2 2
1 1 3
1 1 1
1 1 1
rank0 2 2 rank0 2 2 3 n
7
5.1 能控性和能观性问题
能观测性：指由系统的输出y(t)识别状态变量x(t)的能 力，它回答了状态变量能否由输出反映出来。
不能通过y(t)反映的状态为不能观状态
观察如下系统结构图：
u
x1 s1 x1
2
x2 s1
3
x2 y
可以称 x是2 可观测的， x是1 不可观测的。
8
5.1 能控性和能观性问题
u 状态方程
x
输出方程
y
x Ax Bu
y Cx
采用状态反馈可以实现各种控制，例如最优控制，如图5.2所示。
4
5.1 能控性和能观性问题
最优控制问题的任务是寻求控制作用，使系统达到预期状态。 首要问题是系统的状态能否被控制？——系统的能控性问题。
5
5.1 能控性和能观性问题
为了实现状态反馈控制，应该能够测量全部状态，但实际状 态是难以测量的，往往需要从可以测量的输出中估计出来。 状态估计的任务就是设计状态估计器，从输出中估计出状态， 以实现状态反馈。 首要问题是从输出中能否估计出状态？——系统的能观测性 问题。
下面用一个特殊的例子来粗略地说明能控性、能观性的概念。
x1 x1 i
x2
x2
y x2 2i
R1 1
R2 1
C1 1F
C2 1F
i
u1
y
u2
R3 2
显然，x2与i无关，与x1也无关，所以是不能控的。而y与x1无 关，所以是不能观的。
注意：上面只是粗略地说明。事实上，即使有关也不一定能控 或者能观。
分析系统的能观性。 解：
1 1 rankSo rank1 1 1 n 2
所以，系统是不可观的。
25
5.3 线性定常系统的能观性
2 0 3 例5.8 已知系统的动态方程为 x(k 1) 1 2 0 x(k)
0 1 2
分析系统的能观性。
y(k)
1 0
0 1
0 0 x(k)
解 由能观性判别准则,有 1 0 0
rankSc rank PB PAP 1PB PA 2 P 1PB PA n1P 1PB rank PB PAB PA 2 B PA n1B rank P B AB A 2 B A n1B
因为P是可逆即满秩的，所以
rankSc rank B AB A 2 B A n1B rankSc
Modern Control Engineering
第5章 线性系统的能控性 和能观性分析
教材：
王万良，现代控制工程，高等教育出版社，2011
第5章 线性系统的能控性和能观性分析
能控性、能观性和稳定性一样，是控制系统的重要性质， 是实现各种控制和状态估计的基础，在控制理论中起着 核心的作用。
本章首先介绍能控性、能观性的概念和能控性、能观性 的判别准则。然后介绍状态空间模型的对角线标准型、 能控标准型与能观标准型以及传递函数的几种标准型实 现。最后简单介绍对偶原理和线性系统的规范分解。
Sc B AB A2 B 0 0
0
1 3 11
rankSc 2 n 3
所以，系统不（完全）能控。
12
5.2.2 能控性判别准则
例5.2 判别下列系统的能控性。
0 1 0 0
x
0
0
1
x
0u
6 11 6 1
解:
0 0 1 Sc 0 1 6
1 6 25
rankSc 3 n
rankSc 3
所以系统完全能控。
16
5.2.3 能控性第二判别准则
定理：在任何非奇异线性变换下，线性定常（连续、离散） 状态方程的能控性保持不变。
证明：设线性定常连续系统的状态方程为 S： x Ax Bu
经非奇异线性变换x Px
S： x Ax 变B换u为
S的能控阵为 rankSc rank B AB A2B An1 B
x1 4 1 0 0 x1 0 0
3
x2
x3 x4
0 0 0
4 0 0
0 3 0
0
x2
0
1
3
x3 x4
0 2
1 0
u1 u2
完全能控
0
4 1 0 0 0 1
(4)
x
0
4
0
0
x
0
0u
0 0 3 1 2 0
不完全能控
0 0 0 3 0 2
在上述能控性定义中，把系统的初始状态和终端状态都取为状 态空间中的任意非零有限点，这种定义方式虽然具有一般性， 但不便于数学处理。 不失一般性，可以把终端状态规定为状态空间中的原点 。也可 以把初始状态规定为状态空间中的原点，这种情况通常称为系 统的能达性。 对于线性定常系统，能控性和能达性是等价的。
上述定理在判别对角线标准型状态方程的能控性时尤为简单。 例如，容易判别下面四个系统的能控性。
7 0 0 2
1)
x
0
5
0
x
5u
0 0 1 7
7 0 0 0
2)
x
0
5
0
x
5u
0 0 1 7
7 0 0 0 1
3)
x
0
5
0
x
4
0u
0 0 1 7 5
完全能控 不完全能控 完全能控
中的A阵具有重特征值，且每一个重特征值只对应一个特征向 量，则系统状态完全能观的充要条件是经非奇异线性变换后 的约当标准型
J1
x
0
J2
0
x
Bu
J
k
y Cx
C 中与每个约当块 Ji 首行相对应的那些列，其元素不全为零。
28
5.3.3 能观性第二判别准则
7 0 0
x
0
5
0
x
0 0 1
7 0 0 0 0
4)
x
0
5
0
x
4
0u
不完全能控
0 0 1 7 5
19
5.2.3 能控性第二判别准则
能控性第二判别准则——重特征值情况
若线性定常系统具有重特征值，且每一个重特征值对应一个 特征向量，则系统状态完全能控的充分必要条件是：其经过非 奇异变换后的约当标准型
J1
x
0
J2
0
3 1 0 0 0
0
3
0
0
0
x 0 0 2 1 0 x
0
0
0
2
1
0 0 0 0 2
y 8 1 0 2 4x 系统不完全能观
30
5.4 状态空间模型的对角线标准型
这些内容在《线性代数》中已经作了充分的介绍，这里只归 纳基本方法。读者也可以跳过这部分内容。
所以，系统状态完全能控。
13
5.2.2 能控性判别准则
例5.3 判别下列系统的能控性。
1 3 2 2 1
x 0
2
0
x
1
1 u
0 1 3 1 1
解:
2 1 3 2 5 4
Sc
1
1
2
2
4
4
1 1 2 2 4 4
第二行与第三行成比例， rankSc 2 3
所以系统不完全能控。
14
6
5.1 能控性和能观性问题
能控性：指外输入u(t) 对系统状态变量x(t)和输出变量y(t) 的支配能力，回答了u(t)能否使x(t)作任意转移的问题
观察如下系统:
x2
2
u
x1 y
3
显然，u只能控制 x1 而不能影响 x，2 我们称状态变量
是可x1控的，而 是不可x2 控的。
当系统所有状态可控，则称系统状态完全可控；如有 一个状态变量是不可控的，则该系统是状态不可控的。
分析系统的能观性。
解 由能观性判别准则
0 0 1
rankSo
C
rank
CA
CA 2
rank
1 3 1 9
0
0
0 2 0 1 2 3 n
0 1
所以，系统是不能观的。
2 0 3
27
5.3.3 能观性第二判别准则
能观性第二判别准则：设线性定常系统 x Ax Bu, y Cx
y 6 4 5x
7 0 0
x
0
5
0
x
0 0 1
y 3 2 0x
系统完全能观 系统不完全能观
x
2
0
1 2x
y 1 0x
系统完全能观
29
5.3.3 能观性第二判别准则
x
2
0
1 2x
y 0 1x
3 1 0
x
0
3 0x
0 0 1
y
1 0
0 0
0 1 x
系统不完全能观 系统完全能观
0 2 4
0 0 2
所以，系统完全能控。
15
5.2.2 能控性判别准则
例5.5 判别下列系统的能控性。
2 2 1
0 0
x(k
1)
0
2
0
x(k
)
0
1u (k )
1 4 0
1 0
解:
0 0 1 2 2 4
Sc 0 1 0 2 0
4
1 0 0 4 1 10
由于 Sc 的前三列组成的矩阵的行列式不为0，因此
2 1
1 3
x1 x2
1
1
u
y1 y2
1 1
0 x1
0
x
2
分析系统的能观性。
解
1 0
1 0
rankSo
rank
1 2
0
1
rank 01
0
1
2
2
1
0
1
所以，系统是能观的。
24
5.3 线性定常系统的能观性
例5.7 已知系统的动态方程为
x
1 0
0 1 x
y 1 1x
2
第5章 线性系统的能控性和能观性分析
5.1 能控性和能观性问题 5.2 线性定常系统的能控性 5.3 线性定常系统的能观性 5.4 状态空间模型的对角线标准型 5.5 能控标准型与能观标准型 5.6 传递函数的几种标准型实现 5.7 对偶原理
3
5.1 能控性和能观性问题
能控性、能观性的概念是卡尔曼（Kalman）在1960年首先提出的。 系统的状态空间描述可用图5.1表示。
x
Bu
J
k
中，每个约当小块 Ji (i 1,2,, k) 的最后一行对应的
B 阵的各行元素不全为零。
20
5.2.3 能控性第二判别准则
例如下面四个系统：
(1)
x1
x
2
4
0
1 4
x1 x2
0 2u
完全能控
(2)
x1
x 2
4
0
1 4
x1 x2
2 0u
不完全能控
9
5.2 线性定常系统的能控性
5.2.1 能控性的定义
1.连续系统的能控性
定义：对于线性（定常、时变）系统，若对状态空间中的任意状
态 x(t0 )和另一状态 x(t1 ) ，存在一个有限的时间 (t0 , t1) 和一个分
段连续输入u(t) ，能在(t0 , t1 ) 内使状态转移到x(t1 ) ，则称此状
态是能控的，否则称为不能控的。
x2
P
P1
若系统所有状态都是能控的，
则称此系统是状态完全能控的， P2
简称系统是能控的。
x1
0 Pn
10
5.2.1 能控性的定义
2.离散系统的能控性
定义 在有限时间区间 t 0, nT内，若存在无约束的阶梯控制序
列 u(0),,u(n 1)，能使系统从任意初态 x(0)转移到任意终 态 x(n) ，则称该系统是状态完全能控的，简称是能控的。
22
5.3 线性定常系统的能观性
5.3.2 能观性判别准则 定常线性（连续、离散）系统 {A, B, C} 状态完全能观的
充分必要条件是：能观测判别矩阵 S o 满秩，即
C
rankSo
rank
CA
n
CA
n1
23
5.3 线性定常系统的能观性
例5.6 已知系统的动态方程为
x1
x
2
21
5.3 线性定常系统的能观性
5.3.1 能观性的定义
定义：对线性定常系统，如果对任意给定的输入u(t) 总存在有限
观测时间 t1 t0 ，使得根据 t0 , t1 期间的输出 y(t)，能唯一地
确定系统初始时刻的状态 x(t0 ，) 则称状态x(t0 ) 是能观测的或者
能观的。 若系统的每一个状态都是能观的，则称系统是状态完全能观的， 或简称是能观的。
类似地，可以证明线性离散系统的情况。
17
5.2.3 能控性第二判别准则
能控性第二判别准则——特征值互异的情况
设线性定常系统
x Ax Bu
具有互异的特征值，则其状态完全能控的充分必要条件是：
经非奇异线性变换后的对角线标准型：
1
x
பைடு நூலகம்
2
0
x
Bu
0
n
B 阵不包含元素全为零的行。
18
5.2.3 能控性第二判别准则
11
5.2.2 能控性判别准则
能控性判别准则：线性定常（连续、离散）系统状态完全能控的 充分必要条件是，由A，B构成的能控性判别矩阵满秩。即
rankSc rank B AB A2 B An1 B n
例5.1 判别下列系统的能控性。
1 2 2 0
x
0
2
0
x
0u
1 3 3 1
解:
0 2 8