现代控制工程第5章能控性与能观性分析
现代控制工程原理华中科技大学易孟林
定义5-5 如果存在输入信号序列u(k),u(k+1),…,u(N-1)， 使得系统从第k步的状态x(k)开始，能在第N步上达到 零状态（平衡状态），即x(N)=0，其中N为大于k的某 一个有限正整数，那么就称此系统在第k步上是能控的，两个电容相等。选各自的电压为状态 变量，且设电容上的初始电压为零，根据电路理论，则 两个状态分量恒相等。相平面图(b)中，相轨迹为一条直 线，因此系统状态只能在相平面的一条直线上移动，不 论电源电压如何变动，都不能使系统的状态变量离开这 条直线。显然，它是不完全能控的。
现代控制理论
如果每一个第k步上的状态x(k)都是能控状态，那 么就称系统在第k步上是完全能控的。如果对于每一个 k，系统都是完全能控的，那么就称系统是完全能控的。
例 设离散系统的状态方程为：
试分析能否找到控制作用 转移到零状态。
解：利用递推法：
，将初始状态
为检验该系统能否在第一步由 转移到零状态，令：
∴该系统若取 上转移到零状态
目目 录录
5.1 线性系统的能控性及其判别 5.2 线性系统的能观测性及其判别 5.3 能控性和能观测性判别的特例 5.4 能控性和能观测性的对偶关系 5.5 线性系统的结构分解
5.6 传递函数阵与能控性和能观测性之间的关系
5.7 能控标准型和能观测标准型 5.8 利用MATLAB分析系统的能控性和能观测性 小结
定理5-3 线性定常系统
状态能控的充分必要条
件为下列等价条件之一：
（1）矩阵 是行线性无关的。
（2）矩阵
是行线性无关的。
（3）格拉姆矩阵
(5-9)
控制系统的能控性和能观性课件
唯一的，因为我们关心的只是它能否将
驱动到
，而不计较
的轨迹如何。
2. 线性连续时变系统的能控性定义
线性连续时变系统:
3. 离散时间系统 这里只考虑单输入的n阶线性定常离散系统:
3
3.2 线性定常系统的能控性判别
线性定常系统能控性判别准则有两种形式，一种是先将系统进行状态变
换，把状态方程化为约旦标准型
3.1 能控性的定义 3.2 线性定常系统的能控性判别 3.3 线性连续定常系统的能观性 3.4 离散时间系统的能控性与能观性 3.5 时变系统的能控性与能观性 3.6 能控性与能观性的对偶关系 3.7 状态空间表达式的能控标准型与能观标准型 3.8 线性系统的结构分解 3.9 传递函数阵的实现问题 3.10 传递函数中零极点对消与状态能控性和能观
一地确定任意初始状态矢量
，则系统是完全能观的，现根据此定义推
导能观性条件。从式(1)，有:
(3)
若系统能观，那么在知道
时，应能确定
出
，
，现从式(7)可得：
写成矩阵形式:
16
(4) 有唯一解的充要条件是其系数矩阵的秩等于 。这个系数矩阵称为 能观性矩阵。仿连续时间系统，记为N。即
(5)
17
3.5 时变系统的能控性与能观性
3.5.1 能控性判别 1.有关线性时变系统能控性的几点说明 1)定义中的允许控制 ，在数学上要求其元在 绝对平方可积的，即
区间是
这个限制条件是为了保证系统状态方程的解存在且唯一。 2)定义中的 ，是系统在允许控制作用下，由初始状态 目标状态(原点)的时刻。
转移到
3)根据能控性定义, 可以导出能控状态和控制作用之问的关系式。 4)非奇异变换不改变系统的能控性。
能控性与能观性
假使输出矩阵C中有某一列全为零，譬如说第2列中c12, c22, …, cm2均为零，则在 t y(t)中将不包含 e 2 x20这个自由分量，亦即不包含 x2(t)这个状态变量，很明显，这 个x2(t)不可能从y(t)的测量值中推算出来，即x2(t)是不能观的状态。
系统是状态完全能控的
x 2 1 x2 b2u y c1 c2 x
1 1 b1 x x u; 0 0 1
对于式(3-5)的系统
x 1 1 x1 x2 b1u x 2 1 x2
x2不受u(t)的控制，而为不能控的系统。
对式(3-3)的系统，系统矩阵A为对角线型，其标量微分方程形式为
x 1 1 x1
x 2 2 x2 b2u
x 2
x 1
1 1 0 x x u; 0 1 b2
对于式(3-4)的系统
y c1 c2 x
x 1 1 x1 x2
c13 c23 c33
1 2 1t 1t 1t e x10 te x20 t e x30 2! x1 (t ) 1t 1t e x20 te x30 这时，状态方程的解为 x(t ) x2 (t ) x ( t ) 3 1t e x 30
从而
y1 (t ) c11 c12 y (t ) y2 (t ) c21 c22 y3 (t ) c31 c32
现代控制理论实验报告
现代控制理论实验报告实验一系统能控性与能观性分析一、实验目的1.理解系统的能控和可观性。
二、实验设备1.THBCC-1型信号与系统·控制理论及计算机控制技术实验平台；三、实验容二阶系统能控性和能观性的分析四、实验原理系统的能控性是指输入信号u对各状态变量x的控制能力，如果对于系统任意的初始状态，可以找到一个容许的输入量，在有限的时间把系统所有的状态引向状态空间的坐标原点，则称系统是能控的。
对于图21-1所示的电路系统，设iL和uc分别为系统的两个状态变量，如果电桥中则输入电压ur能控制iL和uc状态变量的变化，此时，状态是能控的。
反之，当时，电桥中的A点和B点的电位始终相等，因而uc不受输入ur的控制，ur只能改变iL的大小，故系统不能控。
系统的能观性是指由系统的输出量确定所有初始状态的能力，如果在有限的时间根据系统的输出能唯一地确定系统的初始状态，则称系统能观。
为了说明图21-1所示电路的能观性，分别列出电桥不平衡和平衡时的状态空间表达式：平衡时：由式（2）可知，状态变量iL和uc没有耦合关系，外施信号u只能控制iL的变化，不会改变uc的大小，所以uc不能控。
基于输出是uc，而uc与iL无关连，即输出uc中不含有iL的信息，因此对uc的检测不能确定iL。
反之式（1）中iL与uc有耦合关系，即ur的改变将同时控制iL和uc的大小。
由于iL与uc的耦合关系，因而输出uc的检测，能得到iL 的信息，即根据uc的观测能确定iL（ω）五、实验步骤1．用2号导线将该单元中的一端接到阶跃信号发生器中输出2上，另一端接到地上。
将阶跃信号发生器选择负输出。
2．将短路帽接到2K处，调节RP2，将Uab和Ucd的数据填在下面的表格中。
然后将阶跃信号发生器选择正输出使调节RP1，记录Uab和Ucd。
此时为非能控系统，Uab和Ucd没有关系（Ucd始终为0）。
3．将短路帽分别接到1K、3K处，重复上面的实验。
控制系统的能控性与能观性PPT课件
• 满秩，即rankM=n，否则系统为不能控的。
M B AB A2B
An1B
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• 例：已知系统的状态方程如下，判别其能控性
0 1 0 0
x
0
0
1
x
0
u
a0 a1 a2 1
0
0
B 0
AB
1
1
a2
1
A2
B
a2
a1 a22
0 0 M 0 1
1 a2
▪ 系统的能控矩阵M的秩等 于3，即rankM=3，所以
期间的输 是能观测的。
t t [t , t ] y(t) 若系统的每一个状态都是能观测的，则称系统是状态完全能观测的，简称系统能观。
f
0
0f
x(t0 )
x(t0 )
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• 二、定常系统的能观性判别
• 1. 图形判别法
•
例：
x
2
0
0 3
x
1 1
u
y 1 1 x
x
2
0
0 3
x
1 1
x2
，也就是说改变
即可改变系统的状态。因此，
u(t)
x1
u(t)
u(t)
第6页/共38页
• 注意到（3-1）中的A是对角线型，（3-2）中的 A是约当标准型，因此，可总结出系统能控性的 判别准则如下：
• （1）图形判别法：系统模拟结构图中如果没有孤 立部分，系统是能控的，否则是不能控的。
• （2）约当标准型系统能控性判据：若系统矩阵A 的 特征值互异，则系统能控性的充要条件为变换 为约当标准型之后的控制矩阵的各行元素没有全 为0的；若系统的特征值为重根，则系统完全能控 的充要条件是变换为约当标准型后的控制矩阵的 最后一行元素不全为第07。页/共38页
现代控制理论—— 5.1 能控、能观
Motivation：控制系统反馈通常基于系统状态x，未
必完全可测；通过输出y获得x的信息就是观测问题。
Note：能观问题表示输出y反映状态x的能力，与控制u无关，只
需考虑齐次方程。
Y与x1,x2都有关
Y与x2无关
20
1、能观性定义：线性连续定常系统： 说 明：
21
2、观 察：
1）能观性取决于状态方程中的系统矩阵A和输出矩阵Ｃ。 2）在A为对角型或者约当型情况下，可以通过观察矩阵C 判断系统能观性。
渐进稳 定
V ( x) = 0 x ≠ x,V ( x) > 0 V ≤ 0 , 不 恒 渐 进 稳
为零
定
V ( x) = 0 x ≠ x,V ( x) > 0 V > 0
不稳定
2
３、线性系统判别方法：
定理：线性定常系统 x = Ax 渐进稳定的充要条件是对任一给的
正定对称矩阵 Q，Lyapunov 矩阵方程
=
⎢ ⎢
0
1
0
⎥ ⎥
⎢ ⎢
0
0
⎥ ⎥
=
⎢ ⎢
0
0
⎥ ⎥
⎢⎣ 1 0 3 ⎦⎥ ⎣⎢ 1 3 ⎦⎥ ⎣⎢ 1 9 ⎦⎥
⎡1 0 1 0 1 0⎤
M
=
⎢ ⎢
0
0
0
0
0
现代控制理论线性控制系统的能控与能观性
I
A
n
（24）
例 系统方程如下，试判断系统的能控性
x
2
0
0 5
x
1 2u
y 0 1x
解
C rankCA
0 rank0
1 5
1
不满秩，故系统不能观测。
能观测性判据
定理3-12 如果（18）式描述的系统的A 阵特征值 λi互异，经过
非奇异线性变换成为对角阵，则系统为能观测的充分必要条件是C
λ1 、λ2 、…、 λk 分别为 l1 重、l2 重、…、 lk 重。
k
且 li n ，λi λj ，(i j) 经过非奇异线性变换，得到约当阵 i 1
J1
0
x
J2
x Bu
0
J
k
y Cx
λi 1
0
Ji
λi
1
0
λi
则系统能观测的充分必要条件是矩阵 C 中与每一个约当子块第一列
控的充分必要条件是，对A 的所有特征值 λi，都有
rank[λi I A B] n (i 1,2,, n)
（10）
定理3-4 （2）式的线性定常系统的矩阵 A 的特征值 λi 互异，
(i 1,2,, n) 将系统经过非奇异线性变换变换成对角阵
λ1
0
x
λ2
x Bu
（11）
0
能控性及其判据
2）如果在有限时间区间[t0 , t1 ] 内，存在容许控制 u(t) ，使系统从
状态空间坐标原点推向预先指定的状态 x(t1) ，则称系统是状态能
达的；由于连续系统的状态转移矩阵是非奇异的，因此系统的能控
性和能达性是等价的。
3）只有整个状态空间中所有的有限点都是能控的，系统才是能控 的。
能控性与能观性分析
Chapter3能控性与能观性现代控制理论中，用状态空间方法描述系统，将系统的的输出输入关系分成两部分，一部分是系统的控制输入对状态的影响，由状态方程描述；另一部分是系统输出与状态的关系，由输出方程描述。
1960年，Kalman 根据“控制输入对状态的影响”首先提出了系统状态的能控性问题，根据“输出与状态的关系”提出了系统状态的能观性问题。
能控性：输入)(t u 能否通过“状态方程”引起系统任一状态)(t x i 的变化)(t xi ？能控性描述通过输入)(t u 对系统状态)(t x 的控制能力；能观性：系统任一状态)(t x i 的变化能否通过“输出方程”引起输出)(t y 的变化？或者由输出)(t y 的变化能否通过“输出方程”确定系统所有状态变量)(t xi ，能观性描述通过输出)(t y 对系统状态)(t x 的测辨能力。
3.1 系统的能控性 3.1.1 能控性的定义和性质系统能控性定义：在初始时刻0t t =时，对系统施加控制)(t u 使系统状态)(t x 发生变化，并且输出)(t y ,)()()()()(t u t B t x t A t x+= ，)()()(t x t C t y =，0t t ≥图3-1 能控性与能达性如果在有限时间a t t t ≤≤0内存在容许（满足∞<⎰at t t t u 0d )(2）的控制向量)(t u ，能使此系统从不为0的初始状态)(0t x 转移到0终态0)(=a t x ，则称状态)(t x 在),(0a t t 上是能控的，或称在时刻0t 上是能控的。
若对系统状态的任一元素均能满足上述条件，则称系统在],[0a t t 上是完全能控（简称能控）的。
而由0初态0)(0=t x ，在时间],[0a t t 内转移到任意不为0的终态0)(≠f t x 称为能达性；对于线性定常系统，能控必能达，能达必能控，二者等价。
（参见图3-1 ） 系统能控性的基本性质：状态方程的解 ⎰Φ+Φ=tt u B t x t t t x 0d )()(),(),()(00ττττ （3-1）根据定义，若状态向量是能控的，则存在容许控制)(t u ，使0d )()(),(),()(000=Φ+Φ=⎰at t a a a u B t x t t t x ττττ由此可反解出 ⎰ΦΦ-=-at t a a u B t t t t x 0d )()(),(),()(010ττττ),(01t t a -Φ与积分变量τ无关，可以放到积分号下⎰ΦΦ-=-at t a a u B t t t t x 0d )()(),(),()(010ττττ),(),(001a a t t t t Φ=Φ-（反演性），),(),(),(00ττt t t t a a Φ=ΦΦ（传递性）⎰⎰Φ-=ΦΦ-=aat t t t a a u B t u B t t t t x 0d )()(),(d )()(),(),()(000ττττττττ对线性定常系统，)(0e),(ττ-=Φt A a t上式可写成⎰⋅-=-at t t A u B t x 00d )(e )()(0τττ （3-2）3.1.2 能控性判据将τA e-写成有限和形式∑-=-=1)(n k k k A A eτατ代入（3-2）式可得kaat k n k k t A u B A u B x βτττταττ=-=-⎰∑⎰-=⋅-=]d )()([d )(e1⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==---=∑11011)...(n n k n k k B A AB BB A ββββ若系统能控，上式就有解，所以对任意向量0x ，其充要条件是能控矩阵满秩。
课件-现代控制理论-刘豹第三版-第5章
能控性与能观性的判别方法
能观性判别方法
能控性判别方法
表示系统是否可以通过输入控制实现任意状态转移。若系统完全能控，则可以通过设计合适的控制器实现任意状态轨迹的跟踪或镇定；若部分能控或不能控，则存在状态无法被有效控制的风险。
能控性的物理意义
表示系统状态是否可以通过输出完全反映出来。若系统完全能观，则可以通过观测输出信号来准确估计系统状态；若部分能观或不能观，则存在状态无法被准确观测的风险，进而影响控制性能的实现。
控制系统稳定性分析是控制理论的核心内容之一，对于确保控制系统的正常运行具有重要意义。
章节内容结构
稳定性概念及定义
介绍稳定性的基本概念和定义，包括Lyapunov稳定性和BIBO稳定性等。
线性系统稳定性判据
详细阐述线性系统稳定性的判据，如Routh-Hurwitz判据、Nyquist判据和Bode图等。
图解法
状态转移矩阵的计算方法
1
2
3
状态转移矩阵反映了系统在时间间隔内从初始状态到最终状态的动态变化过程。
描述系统状态的动态变化过程
若系统稳定，则状态转移矩阵将逐渐趋于零，表示系统状态将逐渐趋于稳定。
反映系统稳定性
状态转移矩阵是进行系统分析和设计的重要工具，可用于研究系统的稳定性、能控性、能观性等性质。
非线性系统稳定性分析
介绍非线性系统稳定性分析方法，如相平面法、Lyapunov直接法等。
熟练掌握线性系统稳定性的判据和分析方法，能够应用所学知识分析和设计线性控制系统。
了解非线性系统稳定性分析方法的基本原理和应用范围，能够运用所学知识分析和设计简单的非线性控制系统。
掌握稳定性的基本概念和定义，理解不同稳定性定义之间的联系与区别。
《现代控制工程》
《现代控制工程》目录第1章绪论1.1现代控制工程的发展1.2 本书的内容与安排第2章状态空间数学模型2.1 状态与状态空间的概念2.2 系统的状态空间模型2.2.1 建立状态空间模型的方法2.2.2 由状态空间模型求微分方程2.3 线性系统的状态空间模型与线性变换2.3.1 SISO线性系统的状态空间模型2.3.2 MIMO线性系统的状态空间模型2.3.3 状态方程的线性变换2.4 控制系统的实现2.4.1 系统的实现问题2.4.2 不含有输入导数项的微分方程的实现2.4.3 含有输入导数项的微分方程的实现2.5 多变量系统的传递矩阵2.5.1 多变量系统传递矩阵的概念2.5.2 从状态空间模型求传递矩阵2.5.3 多变量控制系统的结构图简化2.6 控制系统的状态空间模型2.7 MATLAB在状态空间模型建立中的应用2.7.1传递函数转换到状态空间模型2.7.2状态方程的线性变换2.8 本章小结习题第3章控制系统稳定性分析3.1 控制系统稳定性定义3.1.1 范数的概念3.1.2 平衡状态3.1.3 李雅普诺夫稳定性定义3.2 控制系统稳定的条件3.2.1 单变量线性定常连续系统的稳定条件3.2.2 多变量线性定常连续系统的稳定条件3.2.3 单变量线性定常离散系统的稳定条件3.2.4 多变量线性定常离散系统的稳定条件3.3 李雅普诺夫稳定判据3.3.1 函数的正定性3.3.2 非线性系统的李雅普诺夫稳定判据3.4 线性系统的李雅普诺夫稳定判据3.4.1 线性连续系统的李雅普诺夫稳定判据3.4.2 线性离散系统的李雅普诺夫稳定判据3.5 非线性系统的克拉索夫斯基稳定判据3.6 非线性系统的小偏差线性化方法3.6.1 小偏差线性化的基本思想3.6.2小偏差线性化方法3.6.3李雅普诺夫第一法3.7 MATLAB在系统稳定性分析中的应用3.8 本章小结习题第4章线性系统动态性能分析4.1 线性连续定常系统状态方程的求解4.1.1 齐次状态方程的求解4.1.2 非齐次状态方程的求解4.2 线性连续时变系统状态方程的求解4.2.1 齐次状态方程的解4.2.2 状态转移矩阵的性质4.2.3 状态转移矩阵的计算4.2.4 非齐次状态方程的解4.3 线性离散系统状态方程的求解4.3.1 齐次状态方程的解4.3.2 状态转移矩阵的性质4.3.3 状态转移矩阵的计算4.3.4线性定常离散系统非齐次状态方程的求解4.3.5线性时变离散系统状态方程的求解4.4 MATLAB在系统动态性能分析中的应用4.5 本章小结习题第5章线性系统的能控性和能观性分析5.1 能控性和能观性问题5.2 线性定常系统的能控性5.2.1 能控性的定义5.2.2 能控性判别准则5.2.3 能控性第二判别准则5.2.4 输出能控性及其判别准则5.3 线性定常系统的能观性5.3.1 能观性的定义5.3.2 能观性判别准则5.3.3 能观性第二判别准则5.4 状态空间模型的对角线标准型5.4.1 系统的特征值和特征向量5.4.2 化矩阵A为对角阵5.4.3 化矩阵A为约当阵5.4.4 特征值为复数的对角线标准型5.5 状态空间模型的能控标准型与能观标准型5.5.1 第一能控标准型5.5.2 第二能控标准型5.5.3 第一能观标准型5.5.4 第二能观标准型5.6 传递函数的几种标准型实现5.6.1 能控标准型实现5.6.2 能观标准型实现5.6.3 对角线标准型实现5.6.4 约当标准型实现5.7 对偶原理5.8 线性定常系统的规范分解5.8.1 能控性结构分解5.8.2 能观性结构分解5.8.3 系统结构的规范分解5.9 MATLAB在系统能控性和能观性分析中的应用5.9 本章小结习题第6章状态反馈控制与状态观测器设计6.1 状态反馈与输出反馈6.1.1 状态反馈6.1.2 输出反馈6.1.3状态反馈系统的能控性与能观性6.1.4 状态反馈对传递函数的影响6.2 状态反馈设计方法6.2.1 极点配置问题6.2.2 单输入系统的极点配置方法6.2.3 多输入系统的极点配置方法6.3 状态观测器设计方法6.3.1 全维状态观测器设计6.3.2 降维状态观测器设计6.4 带状态观测器的状态反馈系统的设计方法6.5 MATLAB在状态反馈与状态观测器设计中的应用6.6 本章小结习题第7章最优控制7.1 最优控制的概念7.2 变分法与泛函的极值条件7.3 变分法求解无约束最优控制问题7.4 极小值原理7.4.1 连续系统的极小值原理7.4.2 离散系统的极小值原理7.5 线性二次型最优控制7.5.1 线性二次型最优控制问题7.5.2 连续系统有限时间状态调节器7.5.3 连续系统无限时间定常状态调节器7.5.4 线性离散系统状态调节器7.5.5 线性连续系统输出调节器7.5.6 线性连续系统输出跟随器7.6 本章小结习题第8章系统辨识8.1 系统辨识的概念8.1.1 系统辩识的定义8.1.2系统辩识的基本内容8.2 线性静态模型的最小二乘参数估计8.2.1 参数估计问题8.2.2 最小二乘法的基本算法8.2.3 最小二乘法的性质8.2.4 应用举例8.3 线性动态模型的最小二乘参数估计8.4 最小二乘参数估计的递推算法8.4.1 基本递推算法8.4.2 带有遗忘因子的递推算法8.5 线性系统的结构辨识8.5.1 模型阶次的确定8.5.2 系统纯时滞的辨识8.6 闭环系统的可辨识性8.7 MATLAB在系统辨识中的应用8.8 本章小结习题第9章自适应控制9.1 自适应控制的概念9.1 自校正控制的结构9.2 最小方差控制9.3 自校正调节器9.4 自校正调节器应用实例9.5 本章小结习题第10章预测控制10.1 预测控制的基本原理10.2 动态矩阵控制10.3 炼油厂加氢裂化装置的动态矩阵控制10.4 模型算法控制10.5 催化裂化分馏塔的模型算法控制10.6 广义预测控制10.7 本章小结习题第11章模糊控制11.1 模糊控制的发展11.2 模糊集合11.2.1 模糊集合的定义11.2.2模糊集合的表示方法11.2.3 模糊集合的运算11.3 模糊控制系统的组成11.3.1模糊控制系统的结构11.3.2 模糊控制器的输入输出变量11.3.3 模糊控制器的输入输出变量的模糊化11.4 模糊控制规则11.5 模糊关系与合成11.5.1 模糊关系11.5.2 模糊关系的合成11.6 模糊推理与模糊决策11.6.1 模糊推理11.6.2模糊决策11.7 模糊控制算法的工程实现11.8 模糊PID复合控制11.9 酚醛树脂聚合反应温度模糊控制11.9.1 酚醛树脂聚合反应过程特性分析11.9.2 模糊控制器设计11.10 全自动洗衣机的模糊控制11.10.1 模糊控制洗衣机的检测11.10.2 洗衣机的模糊控制11.11 本章小结习题第12章专家系统与专家控制12.1 专家系统12.1.1 专家系统的概念12.1.2专家系统的一般结构12.1.3 实时专家系统12.2 专家控制系统12.2.1 专家控制系统的概念12.2.2 间接专家控制12.2.3 直接专家控制12.3 专家控制系统的知识表示12.3.1 知识表示12.3.2 产生式知识表示12.3.3 产生式系统12.3.4 动物识别专家系统12.4 专家控制系统的推理机12.5 专家控制系统的搜索技术12.6 电脑充绒机专家控制系统12.6.1电脑充绒机的工作原理12.6.2高性能称重传感器设计12.6.3电脑充绒机的程序控制12.6.4充绒机羽绒重量专家控制12.7 本章小结习题第13章神经网络控制13.1 神经网络控制概述13.2 神经元与神经网络13.2.1生物神经元结构13.2.2 神经元数学模型13.2.3 神经网络的结构与工作方式13.2.4 神经网络的学习13.3 BP神经网络及其学习算法13.3.1 BP神经网络的结构13.3.2 BP学习算法13.3.3 BP学习算法的实现13.4 基于神经网络的系统辨识方法13.4.1前向模型辨识13.4.2反向模型辨识13.5 基于神经网络的软测量方法13.5.1 软测量技术13.5.2 污水处理过程神经网络软测量模型13.6 基于神经网络的控制方法13.6.1 神经网络控制器13.6.2 神经网络预测控制13.6.3 神经网络模型参考控制13.6.4 神经网络内模控制13.7 单神经元控制器13.8 本章小结习题习题解答参考文献。
现代控制理论的能控性和能观性分析.pdf
Γc [ A, B] 能控性检验矩阵。 特点：只依赖状态矩阵A和输入矩阵B，和时间长短无关 Γc [A, B] 是否满秩的方法： SISO：计算 Γc [A, B] 的行列式 MIMO：计算行列式 (Γc[A, B])(Γc[A, B])T MATLAB命令：ctrb(A,B) SISO：det(ctrb(A,B)) MIMO：det(ctrb(A,B)*ctrb(A,B)’)
ω2
⎥ ⎥
⎥
2 sin ωT cosωT − sin ωT ⎥
ω
⎥⎦
当
T
=
kπ ω
，k
= 1, 2, L
以上能控性矩阵的第2行为零，故能控性检验矩阵是不
满秩的。离散系统不能控的。
原因：采样周期选取不合适！
采样周期大，使得信息损失过多，导致性能损失
采样周期小，处理复杂
19 / 36
3.1.4 输出能控性 控制输入影响输出的能力－－输出能控性。
=
⎡ ⎢⎣−
cos ωT ω sin ωT
⎡1− cosωT ⎤
(sin ωT ) cos ωT
ω⎤
⎥ ⎦
x(k
)
+
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
ω2 sin ωT
⎥ ⎥⎥u (k ) ⎥
⎢⎣ ω ⎥⎦
18 / 36
能控性检验矩阵
⎡1 − cos ωT
⎢
Γc
[G,
H
]
=
⎢ ⎢
ω2
⎢ sin ωT
⎢⎣ ω
cos ωT − cos 2 ωT + sin 2 ωT ⎤
的秩等于该矩阵的行数。
现代控制工程五
1
R4
) x2
17
可控性矩阵为S b Ab
1
L
0
1(
RR 12
L2 R R
RR 34
R R
)
1
2
1(
R 2
3
R 4
4 )
LC R R
1
2
R R
3
4
当 R R R R 时，rankS 2 n，系统可控；
14
23
反之当 R R R R ，即电桥处于平衡状态时，
14
23
rankS rankb
u 0
b
Ab
A b n1
u 1
记 S b Ab
An1b
un1
其状态可控的充分必要条件是 rankS n
（2）多输入系统 x Ax Bu
记可控性矩阵 S B AB
An1B
其状态可控的充要条件为 rankS n
或 det S ST 0
16
例8-32 试用可控性判据判断图8-20所示桥式电路的可控性。
1
,
x 2
u 1 C c 2
i 2
dt
2
状态方程为
x1
1 R1C1
x1
1 R1C1
u
x2
1 R2C2
x2
1 R2C2
u
19
于是 rankb
1
Ab
RC rank 1 1
1
RC 22
1 R2C
2
1
1
1
R2C 2 22
当 R C R C 时，系统可控。
11
22
当
R 1
R 2
，C 1
现代控制理论习题解答(第五章)
第五章 状态反馈和状态观测器3-5-1 已知系统结构图如图题3-5-1图所示。
(1)写出系统状态空间表达式；(2)试设计一个状态反馈矩阵，将闭环极点特征值配置在j 53±-上。
)(t y题3-5-1图【解】：方法一：根据系统结构直接设状态变量如题3-5-1图所示，写状态空间表达式：[]x y u x x10112101=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=23111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=cc Urank U系统能控，可以设计状态反馈阵。
设状态反馈阵为][21k k K = 状态反馈控制规律为：Kxr u -=求希望特征多项式：34625)3()(*22++=++=s s s s f求加入反馈后的系统特征多项式：)22()3()(1212k s k k sbK A sI s f ++-++=+-=依据极点配置的定义求反馈矩阵：]1316[131634)22(6)3(21112=⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+-K k k k k k方法二：[][][]1316)346(311110)(*10211=++⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==--I A AA f U K c方法三：（若不考虑原受控对象的结构，仅从配置极点位置的角度出发） 求系统传递函数写出能控标准型：2321)111()()(2++-=+-+=s sss s s U s Y[]xy u x x10103210-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=求系统希望特征多项式：34625)3()(*22++=++=s s s s f求状态反馈矩阵K ~：[][][]33236234~21=--==k k K[][][][]5.05.031111010111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==--Ab b P⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=105.05.011A P P P[]1316~==P K K【解】：依据系统传递函数写出能控标准型sss s s s s U s Y 2310)2)(1(10)()(23++=++=[]xy u x x0010100320100010=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=求系统希望特征多项式：464]1)1)[(2()(*232+++=+++=s s s s s s f求状态反馈矩阵：[][][]144342604321=---==k k k K 。
现代控制工程-第5章能控性和能观性分析
5.3 线性定常系统的能观性
S的能控阵为 rankSc rank B
rankSc rank PB
rankPB rankPB
变换为 S： x A x B u
AB A2 B An1 B
PA 2 P 1 PB PA n 1 P 1 PB
PA P 1 PB PA B AB
PA 2 B PA n 1 B A 2 B A n 1 B
11
5.2.2 能控性判别准则
能控性判别准则：线性定常（连续、离散）系统状态完全能控的 充分必要条件是，由A，B构成的能控性判别矩阵满秩。即
rankSc rank B
AB
A2 B
An1 B n
例5.1 判别下列系统的能控性。
2 1 2 0 x 0 2 0 x 0 u 1 1 3 3
1 x 0
0 2 x Bu n
B
阵不包含元素全为零的行。
18
5.2.3 能控性第二判别准则
上述定理在判别对角线标准型状态方程的能控性时尤为简单。 例如，容易判别下面四个系统的能控性。
1) 0 7 0 2 x 0 5 0 x 5 u 0 7 0 1
解: 因为
rankSc 1 rank0 0
1 1 1 B AB A 2 B rank0 2 2 1 1 3 1 1 1 1 1 2 2 rank0 2 2 3 n 0 0 2 2 4
首要问题是从输出中能否估计出状态？——系统的能观测性 问题。
现代控制理论实验报告三系统的能控性、能观测性分析
35.7689 -67.4375 -3.5551
system is completely state observe
题3.3已知系统状态空间描述如下
（1）判断系统的状态能控性；
（2）判断系统的状态能观测性；
（3）构造变换阵，将其变换成能控标准形；
（4）构造变换阵，将其变换成能观测标准形；
3、构造变换阵，将一般形式的状态空间描述变换成能控标准形、能观标准形。
六、数据处理
题3.1已知系数阵A和输入阵B分别,-10.6667,-0.3333;1,0,1;0,1,2];B=[0;1;1];
Uc=ctrb(A,B)
n=det(Uc);%de计算矩阵对应的行列式的值,abs为求n的绝对值
解：（1）（2）
A=[0,2,-1;5,1,2;-2,0,0];B=[1;0;-1];C=[1,1,0];
Uc=ctrb(A,B);
Uo=obsv(A,C);
n1=rank(Uc);n2=rank(Uo);nc=length(A)
if nc==n1
disp('system is completely state controllable')
三、仪器设备
PC计算机1台，MATLAB软件1套。
四、线路示图
五、内容步骤
1、根据系统的系数阵A和输入阵B，依据能控性判别式，对所给系统采用MATLAB编程；在MATLAB界面下调试程序，并检查是否运行正确。
2、根据系统的系数阵A和输出阵C，依据能观性判别式，对所给系统采用MATLAB编程；在MATLAB界面下调试程序，并检查是否运行正确。
实验报告
实验名称系统的能控性、能观测性分析
现代控制工程-第5章能控性和能观性分析
传递函数判据
如果系统的传递函数的极点和零 点都位于复平面的左半部分，则 该系统是能控的。
能控性的应用
系统设计和ห้องสมุดไป่ตู้化
在系统设计和优化过程中，能控性分析可以帮助确定系统的可控性 和可观性，从而更好地选择和设计控制器和观测器。
控制性能评估
通过能控性分析，可以对系统的控制性能进行评估和比较，从而选 择更优的控制方案。
现代控制工程-第5章能控性 和能观性分析
目录
• 能控性分析 • 能观性分析 • 能控性和能观性的关系 • 系统设计中的能控性和能观性 • 现代控制工程其他章节概述
01
能控性分析
定义与概念
能控性定义
对于一个给定的线性时不变系统，如果存在一个状态反馈控制器，使得系统的任何初始状态都能通过 该控制器在有限的时间内被控制到任意指定的状态，则称该系统是能控的。
快速性
系统应具有快速的响应能力，以便在短时间 内达到设定值或消除外部扰动。
准确性
系统应具有高精度的输出，以满足各种控制 要求和保证产品质量。
可靠性
系统应具有高的可靠性和稳定性，以确保长 期稳定运行和减少故障率。
系统设计中的能控性和能观性考虑
能控性考虑
在系统设计中，需要考虑系统的能控性，即 能否通过输入信号控制系统的输出状态。对 于不能控制的系统，需要采取措施进行改进 或重新设计。
描述
分解性是控制系统分析中的一个重要性质。在大型复杂系统中，如果系统具有分解性， 那么我们可以将系统分解为若干个子系统，分别对子系统进行能控性和能观性分析，从
而简化系统分析和设计的难度。
04
系统设计中的能控性和能观 性
系统设计的基本原则
稳定性
现代控制理论线性控制系统的能控与能观性
判断线性控制系统稳定性的方法有多 种，如劳斯判据、赫尔维茨判据等。
03
能控性与能观性概念
能控性概念
能控性是指对于一个线性控制系统，如果存在一个控 制输入，使得状态变量从任意初始状态能够被驱动到
任意目标状态，则称该系统是能控的。
能控性的判断依据是系统的能控性矩阵，如果该矩阵 非奇异，则系统是能控的，否则系统不能控。
线性控制系统是控制系统的一种重要 类型，其能控性和能观性是评价系统 性能的重要指标。
研究意义
能控性和能观性是现代控制理论中的基本概念，对线性控制系统的分析和设计具有重要意义。
研究线性控制系统的能控性和能观性有助于深入了解系统的动态行为，为优化控制策略和控制系统的 稳定性提供理论支持。
02
线性控制系统基础
04
线性控制系统的能控性分析
能控性的判断方法
矩阵判据
通过判断线性系统的状态矩阵是否满足能控性矩阵的 条件，从而判断系统的能控性。
传递函数判据
根据线性系统的传递函数，通过分析其极点和零点， 判断系统的能控性。
状态方程判据
通过分析线性系统的状态方程，判断其是否具有能控 性。
能控性的改善方法
增加控制输入
能观性分析
能观性分析在智能交通系统中同样重要，它 有助于确定交通系统的状态是否能被其传感 器完全监测。这涉及到对传感器精度、道路 条件以及传感器布局等因素的考虑。
07
结论与展望
研究结论
1
线性控制系统能控性与能观性是现代控制理论中 的重要概念，对于系统的分析和设计具有重要意 义。
2
通过研究线性控制系统的能控性和能观性，可以 深入了解系统的动态特性和行为，为控制系统设 计和优化提供理论支持。
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x
Bu
J
k
中，每个约当小块 Ji (i 1,2,, k) 的最后一行对应的
B 阵的各行元素不全为零。
20
5.2.3 能控性第二判别准则
例如下面四个系统：
(1)
x1
x
2
4
0
1 4
x1 x2
0 2u
完全能控
(2)
x1
x 2
4
0
1 4
x1 x2
2 0u
不完全能控
11
5.2.2 能控性判别准则
能控性判别准则：线性定常（连续、离散）系统状态完全能控的 充分必要条件是，由A，B构成的能控性判别矩阵满秩。即
rankSc rank B AB A2 B An1 B n
例5.1 判别下列系统的能控性。
1 2 2 0
x
0
2
0
x
0u
1 3 3 1
解:
0 2 8
9
5.2 线性定常系统的能控性
5.2.1 能控性的定义
1.连续系统的能控性
定义：对于线性（定常、时变）系统，若对状态空间中的任意状
态 x(t0 )和另一状态 x(t1 ) ，存在一个有限的时间 (t0 , t1) 和一个分
段连续输入u(t) ，能在(t0 , t1 ) 内使状态转移到x(t1 ) ，则称此状
2
第5章 线性系统的能控性和能观性分析
5.1 能控性和能观性问题 5.2 线性定常系统的能控性 5.3 线性定常系统的能观性 5.4 状态空间模型的对角线标准型 5.5 能控标准型与能观标准型 5.6 传递函数的几种标准型实现 5.7 对偶原理
3
5.1 能控性和能观性问题
能控性、能观性的概念是卡尔曼（Kalman）在1960年首先提出的。 系统的状态空间描述可用图5.1表示。
Modern Control Engineering
第5章 线性系统的能控性 和能观性分析
教材：
王万良，现代控制工程，高等教育出版社，2011
第5章 线性系统的能控性和能观性分析
能控性、能观性和稳定性一样，是控制系统的重要性质， 是实现各种控制和状态估计的基础，在控制理论中起着 核心的作用。
本章首先介绍能控性、能观性的概念和能控性、能观性 的判别准则。然后介绍状态空间模型的对角线标准型、 能控标准型与能观标准型以及传递函数的几种标准型实 现。最后简单介绍对偶原理和线性系统的规范分解。
3 1 0 0 0
0
3
0
0
0
x 0 0 2 1 0 x
0
0
0
2
1
0 0 0 0 2
y 8 1 0 2 4x 系统不完全能观
30
5.4 状态空间模型的对角线标准型
这些内容在《线性代数》中已经作了充分的介绍，这里只归 纳基本方法。读者也可以跳过这部分内容。
6
5.1 能控性和能观性问题
能控性：指外输入u(t) 对系统状态变量x(t)和输出变量y(t) 的支配能力，回答了u(t)能否使x(t)作任意转移的问题
观察如下系统:
x2
2
u
x1 y
3
显然，u只能控制 x1 而不能影响 x，2 我们称状态变量
是可x1控的，而 是不可x2 控的。
当系统所有状态可控，则称系统状态完全可控；如有 一个状态变量是不可控的，则该系统是状态不可控的。
7
5.1 能控性和能观性问题
能观测性：指由系统的输出y(t)识别状态变量x(t)的能 力，它回答了状态变量能否由输出反映出来。
不能通过y(t)反映的状态为不能观状态
观察如下系统结构图：
u
x1 s1 x1
2
x2 s1
3
x2 y
可以称 x是2 可观测的， x是1 不可观测的。
8
5.1 能控性和能观性问题
y 6 4 5x
7 0 0
x
0
5
0
x
0 0 1
y 3 2 0x
系统完全能观 系统不完全能观
x
2
0
1 2x
y 1 0x
系统完全能观
29
5.3.3 能观性第二判别准则
x
2
0
1 2x
y 0 1x
3 1 0
x
0
3 0x
0 0 1
y
1 0
0 0
0 1 x
系统不完全能观 系统完全能观
分析系统的能观性。 解：
1 1 rankSo rank1 1 1 n 2
所以，系统是不可观的。
25
5.3 线性定常系统的能观性
2 0 3 例5.8 已知系统的动态方程为 x(k 1) 1 2 0 x(k)
0 1 2
分析系统的能观性。
y(k)
1 0
0 1
0 0 x(k)
解 由能观性判别准则,有 1 0 0
下面用一个特殊的例子来粗略地说明能控性、能观性的概念。
x1 x1 i
x2
x2
y x2 2i
R1 1
R2 1
C1 1F
C2 1F
i
u1
y
u2
R3 2
显然，x2与i无关，与x1也无关，所以是不能控的。而y与x1无 关，所以是不能观的。
注意：上面只是粗略地说明。事实上，即使有关也不一定能控 或者能观。
rankSo
C
rank
CA
CA 2
0
2 rank1
4
1 0 2 3
0
3 3 n
0
12
0 4 3
所以，系统是能观的。
26
5.3 线性定常系统的能观性
例5.9 已知系统的动态方程为
1 0 1
2
x(k 1) 0 2
1
x(k
)
1u (k )
3 0 2
1
0 0 1 y(k) 1 0 0 x(k)
Sc B AB A2 B 0 0
0
1 3 11
rankSc 2 n 3
所以，系统不（完全）能控。
12
5.2.2 能控性判别准则
例5.2 判别下列系统的能控性。
0 1 0 0
x
0
0
1
x
0u
6 11 6 1
解:
0 0 1 Sc 0 1 6
1 6 25
rankSc 3 n
态是能控的，否则称为不能控的。
x2
P
P1
若系统所有状态都是能控的，
则称此系统是状态完全能控的， P2
简称系统是能控的。
x1
0 Pn
10
5.2.1 能控性的定义
2.离散系统的能控性
定义 在有限时间区间 t 0, nT内，若存在无约束的阶梯控制序
列 u(0),,u(n 1)，能使系统从任意初态 x(0)转移到任意终 态 x(n) ，则称该系统是状态完全能控的，简称是能控的。
u 状态方程
x
输出方程
y
x Ax Bu
y Cx
采用状态反馈可以实现各种控制，例如最优控制，如图5.2所示。
4
5.1 能控性和能观性问题
最优控制问题的任务是寻求控制作用，使系统达到预期状态。 首要问题是系统的状态能否被控制？——系统的能控性问题。
5
5.1 能控性和能观性问题
为了实现状态反馈控制，应该能够测量全部状态，但实际状 态是难以测量的，往往需要从可以测量的输出中估计出来。 状态估计的任务就是设计状态估计器，从输出中估计出状态， 以实现状态反馈。 首要问题是从输出中能否估计出状态？——系统的能观测性 问题。
21
5.3 线性定常系统的能观性
5.3.1 能观性的定义
定义：对线性定常系统，如果对任意给定的输入u(t) 总存在有限
观测时间 t1 t0 ，使得根据 t0 , t1 期间的输出 y(t)，能唯一地
确定系统初始时刻的状态 x(t0 ，) 则称状态x(t0 ) 是能观测的或者
能观的。 若系统的每一个状态都是能观的，则称系统是状态完全能观的， 或简称是能观的。
在上述能控性定义中，把系统的初始状态和终端状态都取为状 态空间中的任意非零有限点，这种定义方式虽然具有一般性， 但不便于数学处理。 不失一般性，可以把终端状态规定为状态空间中的原点 。也可 以把初始状态规定为状态空间中的原点，这种情况通常称为系 统的能达性。 对于线性定常系统，能控性和能达性是等价的。
中的A阵具有重特征值，且每一个重特征值只对应一个特征向 量，则系统状态完全能观的充要条件是经非奇异线性变换后 的约当标准型
J1
x
0
J2
0
x
Bu
J
k
y Cx
C 中与每个约当块 Ji 首行相对应的那些列，其元素不全为零。
28
5.3.3 能观性第二判别准则
7 0 0
x
0
5
0
x
0 0 1
7 0 0 0 0
4)
x
0
5
0
x
4
0u
不完全能控
0 0 1 7 5
19
5.2.3 能控性第二判别准则
能控性第二判别准则——重特征值情况
若线性定常系统具有重特征值，且每一个重特征值对应一个 特征向量，则系统状态完全能控的充分必要条件是：其经过非 奇异变换后的约当标准型
J1
x
0
J2
0
0 2 4
0 0 2
所以，系统完全能控。
15
5.2.2 能控性判别准则
例5.5 判别下列系统的能控性。
2 2 1
0 0
x(k
1)