数学方法论习题总集
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2 2 2
3.运用联想把问题引申推广
1.已知a 2 b 2 1, x 2 y 2 1, 求证：ax by 1.
2.若a、b、c 、d R ，求证：ac bd a 2 b 2 c 2 d 2 .
.
几何变换
例 1 ：在ABC中，ACB 90，AC BC, AD是中线， CF AD于E交AB于F，求证ADC FDB.
PP' 2 在BPP'中：PB2 PP'2 P' B2 , 则BPP' 90 APB 90 45 135
由余弦定理: AB2 12 22 2 1 2 cos135 5 2 2 正方形面积为 5 2 2.
化归：
(a) : AOB ACB OBC 2ACB
(b) : ACB DCB ACD (c) : ACB DCB ACD
叠加法 例8 一队1000人以上的士兵,排成每行3人,余2人;每行
解：用叠加法，先构造 三个数 m、n、p, 使：
m能被5、 7整除，但被3除余1； n能被3、 7整除，但被5除余1； p能被3、 5整除，但被7除余1；
将BPC绕B点旋转60 至BQA位置. 分析： 有：AQ PC, BQ PB, PBQ 60，
BPQ为正三角形，则 PQ PB.
当Q不在PA上时: PA PQ QA PB PC 当Q在PA上时 : PA PQ QA PB PC
BPA 60 BCA A、B、P、C四点共圆， 又P与C在BA同侧，
再把m、n、p依题意作如下叠加： y 2m 3n 2 p 已知y被3除余2，被5除余3，被7除余2，下面求 m、n、p
m 2 (5 7) 70; n 3 7; p 3 5
y 2m 3n 2 p 233
5人,余3人;每行7人,余2人.问士兵至少有多少人？
PP ' D PAD PCD P、C、P'、D四点共圆 PDC PP ' C PBC
通过平移变换：把已知 一对等角移至共底的三 角形中，得到四点共圆。
例7 : 证明: 有两条角的平分线相等 的三角形是等腰三角形 。
分析：作平移变换T ( BD)(E )
则BEFD为平行四边形 EF BD CE 且EFD EBD
例5. 已知p, p 10, p 14是素数，求 p.
分析 :由观察知 : p 3
再试下去 : p 4显然不是素数, p 5、 7、 11 , 不能使p 10、p 14为素数
逆向联想：否定p取其他值（即证明p=3的情形）
设k N，因p为素数，所以p 3k (k 2) 反证法： 故假设 : p 3k 1或p 3k 1为素数 若p 3k 1，则有p 10 （ 3 k 3）不是素数, 矛盾。 若p 3k 1，则有p 14 （ 3 k 5）不是素数, 矛盾。 p 3时， 3,13,17为素数。
例6.如果两个三角形有一个角对应相等，该角的平 分线和对应边对应相等，则两三角形全等.
5.横向联想：是指数学各分支之间，乃至数学与物
理、化学等学科之间的联想，各种知识之间有着一定 的联想和相互渗透，这就为横向联想提供了可能条件。
例7.证明三角形三条中线交 于一点， 这点称为三角形的重心 .
F G B D C A
E
证明方法:重心原理
2.“控制联想”和“自由联想”要双管 齐下 例9.已知x、y、z、m、n均为正实数，且 x2 y2 z 2 , m x ny 求证： z. m2 n 2
m x ny 例9.已知x、y、z、m、n均为正实数，且 x y z , 求证： z. 2 2 m n
3x y 14 例1:如何求解以下方程组： 2 x y 6 2 f ( x) x (a 1) x b满足： 例2 已知函数
(1) f (3) 3; (2)对任意的 x都有f ( x ) x.求f ( x ).
解答过程基本模式：
f ( x)?
令g( x ) f ( x ) 3
分析：等腰直角三角形是正方形的一半，以斜边为 对称轴做出Rt△ACB的轴对称图形 Rt△AC`B
总结：利用轴反射变 换,完善图形,使各条件 的内在联系明朗化。
ADC C `DB
即：ADC FDB
例2：在ABC中, AB AC,自BC中点M做直线垂直于 A平分线AD, 交AB于E, 交AC延长线于F . 1 求证 : BE CF ( AB AC ) 2
分析： AD与GC是分开的，如何集中起来? 这里有一组平行线FG//BC,如何 利用这组平行线作哪些线段平移？ FH //GH
FKA FEH FH FA 在ABD中, ADB ADB 90 在BEF中, BFE EBF 90 且EBF ABD FA AD ? AD GC .
P在ABC的外接圆的弧 BC上.
例 12:已知P为正方形ABCD内一点 , PA 1, PB 2, PD 6
求正方形ABCD的面积.
分析：
将APD绕顶点A按顺时针旋转 90 至AP' B
有 : AP AP' 1, PD P' B 6, 且PAP' 90
分析：AD是∠BAC的对称轴
C`
作点C关于AD轴对称的点 C' , 则有AC AC' 且CC ' AD
AB AC AB AC ' BC '
BM MC, 且EF AD
BE EC ' 且CC ' // FE 1 1 BE EC ' CF BE CF BC ' ( AB AC ) 2 2
A、C、B' 三点共线 在ADB'中，
B ' D AD AB ' AC B ' C AC BC AD BD B ' D BD D与B在l同侧，即D位于l与AB之间 SABC SABD 轴反射：折线ADB变直线段ACB`
二、利用平移变换解题
若 在BCE与BDC中, BC BC, BD CE CD BE DF 又ECF中,由EF CE 得EFC ECF
又 EFD EBD ACE
DFC EFC ACE ECF
即DFC DCF CD DF (1)(2)矛盾, 不可能
(1)当图形中线段或角的位置分散，解题时需要适当作 出集中，可考虑采用平移变化将有关线段或角移动至 一个三角形或一对三角形中。
例6 : 在平行四边形 ABCD中, 有一点P, 使PAD PCD
求证 : PBC PDC
分析： 作平移变换T ( AD)(ABP)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
则PP' // AD//BC 故APP' D和BPP' C均为平行四边形
分析：①斜边AB上的高CH是等腰 直角△ABC的对称轴； ②两中点连线DH是等腰△BCH的对称轴
ADC FDB ?
BDF CDG ? ACG CBF ?
例 1 ：在ABC中，ACB 90，AC BC, AD是中线， CF AD于E交AB于F，求证ADC FDB.
同理可证 也不可能 ,即ABC为等腰三角形。
二、利用平移变换解题
(3)当问题中有一组平行线,或一组定向直线,通过平移 变换,常达到应用平行线段定理或平行四边形性质解题。
例8 :已知ABC中, A 90 , B的平分线BD与BC边 上的高AE交于F , 过F作FG // BC于G.求证 : AD GC.
PP ' C AP ' C AP ' P APB AP ' P APC APP ' P' PC PC PB P ' C
例 11: ABC为正三角形 , P为任意点 , 求证：PA PB PC, 等号当且仅当 P在ABC的外接圆的弧 BC上时成立 .
2n 1 (n 1) n
2 2
用一般化实现化归的模式：
x的方程7 x 2 (k 13) x k 2 例6 k为何值时，关于 k 2 0的两个根分别在 (0,1)与(1,2)内。
2 k 1或3 k 4
叠加法 例7 证明同弧所对的圆周角是圆心角的一半。
C
C
A
V
C B
O
A A
B B
例4 : 一个整系数四次多项式f ( x)，若有四个不同的整数
a1 , a2 , a3 , a4 , 使得f (a1 ) f (a2 ) f (a3 ) f (a4 ) 1
求证 : 对任何整数都不能使f ( ) 1。
分析 :由题设联想到余弦定理，故 :
2
1 2 1 配方得（ x ） ( x ) 1 0 x x
1 令y x , 得 ：y 2 y 1 0 x
降幂，实现简单化。
一般化
的差？ 例5 证明: 1989 可以表示成两个平方数
正面解答：x y 1989?
2 2
一般情况： 任一奇数表示为两个平方数的差？
g( 3) 0, g( x ) 0
g( x ) ?
f ( x) x 5 x 9
2
f ( x ) g( x ) 3
g( x) ( x 3)2
例4 解方程 x4 x3 x2 x 1 0
解：方程两边除以 x 2 ( x 0),得
1 1 x x 1 2 0 x x
依题意，要求的士兵数 为：f (k ) 233 105k 1000
取k 8，即得士兵数 1073 .
练习
1.设函数f ( x) ax bx x 5, x (,),
联想的方法
2 例 1.若（z x） 4( x y)( y z) 0, 证明2 y x z
例2.已知a, b, c均为正数，且满足关系 式a b c ,
2 2 2
又n为不小于3的自然数，求证： a n bn c n .
例3 : 求证 : 正四面体内任一个点到各面的距离之和为定值。
f ( x) ( x a1 )( x a2 )( x a3 )( x a4 ) 1 a1 , a2 , a3 , a4是四个不同的整数
, ( a1 )( a2 )( a3 )( a4 )为四个不同整数的乘积( 2)
f ( ) ( a1 )( a2 )( a3 )( a4 ) 1 1
例5 : 试证 : 在一切同底且周长相等 的三角形中， 以等腰三角形面积最大 。
ABC与ABD： 分析： AB AB, AC BC AD BD
l
过C作直线 l //AB,作点B关于直线 l 的轴反射点。
显然：2 ABC CAB；AC BC B' C 1 2 ACB ABC CAB ACB
例10 : 在ABC中，AB AC, 三角形内有一点 P， APB APC, 求证：PC PB.
分析： APB与APC分散在两个三角形中 .
以A为中心，顶角为旋转角 ， 将APB旋转到ACP' 位置.
有：P' C PB, AP' C APB，且APP'为等腰三角形。
3.运用联想把问题引申推广
1.已知a 2 b 2 1, x 2 y 2 1, 求证：ax by 1.
2.若a、b、c 、d R ，求证：ac bd a 2 b 2 c 2 d 2 .
.
几何变换
例 1 ：在ABC中，ACB 90，AC BC, AD是中线， CF AD于E交AB于F，求证ADC FDB.
PP' 2 在BPP'中：PB2 PP'2 P' B2 , 则BPP' 90 APB 90 45 135
由余弦定理: AB2 12 22 2 1 2 cos135 5 2 2 正方形面积为 5 2 2.
化归：
(a) : AOB ACB OBC 2ACB
(b) : ACB DCB ACD (c) : ACB DCB ACD
叠加法 例8 一队1000人以上的士兵,排成每行3人,余2人;每行
解：用叠加法，先构造 三个数 m、n、p, 使：
m能被5、 7整除，但被3除余1； n能被3、 7整除，但被5除余1； p能被3、 5整除，但被7除余1；
将BPC绕B点旋转60 至BQA位置. 分析： 有：AQ PC, BQ PB, PBQ 60，
BPQ为正三角形，则 PQ PB.
当Q不在PA上时: PA PQ QA PB PC 当Q在PA上时 : PA PQ QA PB PC
BPA 60 BCA A、B、P、C四点共圆， 又P与C在BA同侧，
再把m、n、p依题意作如下叠加： y 2m 3n 2 p 已知y被3除余2，被5除余3，被7除余2，下面求 m、n、p
m 2 (5 7) 70; n 3 7; p 3 5
y 2m 3n 2 p 233
5人,余3人;每行7人,余2人.问士兵至少有多少人？
PP ' D PAD PCD P、C、P'、D四点共圆 PDC PP ' C PBC
通过平移变换：把已知 一对等角移至共底的三 角形中，得到四点共圆。
例7 : 证明: 有两条角的平分线相等 的三角形是等腰三角形 。
分析：作平移变换T ( BD)(E )
则BEFD为平行四边形 EF BD CE 且EFD EBD
例5. 已知p, p 10, p 14是素数，求 p.
分析 :由观察知 : p 3
再试下去 : p 4显然不是素数, p 5、 7、 11 , 不能使p 10、p 14为素数
逆向联想：否定p取其他值（即证明p=3的情形）
设k N，因p为素数，所以p 3k (k 2) 反证法： 故假设 : p 3k 1或p 3k 1为素数 若p 3k 1，则有p 10 （ 3 k 3）不是素数, 矛盾。 若p 3k 1，则有p 14 （ 3 k 5）不是素数, 矛盾。 p 3时， 3,13,17为素数。
例6.如果两个三角形有一个角对应相等，该角的平 分线和对应边对应相等，则两三角形全等.
5.横向联想：是指数学各分支之间，乃至数学与物
理、化学等学科之间的联想，各种知识之间有着一定 的联想和相互渗透，这就为横向联想提供了可能条件。
例7.证明三角形三条中线交 于一点， 这点称为三角形的重心 .
F G B D C A
E
证明方法:重心原理
2.“控制联想”和“自由联想”要双管 齐下 例9.已知x、y、z、m、n均为正实数，且 x2 y2 z 2 , m x ny 求证： z. m2 n 2
m x ny 例9.已知x、y、z、m、n均为正实数，且 x y z , 求证： z. 2 2 m n
3x y 14 例1:如何求解以下方程组： 2 x y 6 2 f ( x) x (a 1) x b满足： 例2 已知函数
(1) f (3) 3; (2)对任意的 x都有f ( x ) x.求f ( x ).
解答过程基本模式：
f ( x)?
令g( x ) f ( x ) 3
分析：等腰直角三角形是正方形的一半，以斜边为 对称轴做出Rt△ACB的轴对称图形 Rt△AC`B
总结：利用轴反射变 换,完善图形,使各条件 的内在联系明朗化。
ADC C `DB
即：ADC FDB
例2：在ABC中, AB AC,自BC中点M做直线垂直于 A平分线AD, 交AB于E, 交AC延长线于F . 1 求证 : BE CF ( AB AC ) 2
分析： AD与GC是分开的，如何集中起来? 这里有一组平行线FG//BC,如何 利用这组平行线作哪些线段平移？ FH //GH
FKA FEH FH FA 在ABD中, ADB ADB 90 在BEF中, BFE EBF 90 且EBF ABD FA AD ? AD GC .
P在ABC的外接圆的弧 BC上.
例 12:已知P为正方形ABCD内一点 , PA 1, PB 2, PD 6
求正方形ABCD的面积.
分析：
将APD绕顶点A按顺时针旋转 90 至AP' B
有 : AP AP' 1, PD P' B 6, 且PAP' 90
分析：AD是∠BAC的对称轴
C`
作点C关于AD轴对称的点 C' , 则有AC AC' 且CC ' AD
AB AC AB AC ' BC '
BM MC, 且EF AD
BE EC ' 且CC ' // FE 1 1 BE EC ' CF BE CF BC ' ( AB AC ) 2 2
A、C、B' 三点共线 在ADB'中，
B ' D AD AB ' AC B ' C AC BC AD BD B ' D BD D与B在l同侧，即D位于l与AB之间 SABC SABD 轴反射：折线ADB变直线段ACB`
二、利用平移变换解题
若 在BCE与BDC中, BC BC, BD CE CD BE DF 又ECF中,由EF CE 得EFC ECF
又 EFD EBD ACE
DFC EFC ACE ECF
即DFC DCF CD DF (1)(2)矛盾, 不可能
(1)当图形中线段或角的位置分散，解题时需要适当作 出集中，可考虑采用平移变化将有关线段或角移动至 一个三角形或一对三角形中。
例6 : 在平行四边形 ABCD中, 有一点P, 使PAD PCD
求证 : PBC PDC
分析： 作平移变换T ( AD)(ABP)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
则PP' // AD//BC 故APP' D和BPP' C均为平行四边形
分析：①斜边AB上的高CH是等腰 直角△ABC的对称轴； ②两中点连线DH是等腰△BCH的对称轴
ADC FDB ?
BDF CDG ? ACG CBF ?
例 1 ：在ABC中，ACB 90，AC BC, AD是中线， CF AD于E交AB于F，求证ADC FDB.
同理可证 也不可能 ,即ABC为等腰三角形。
二、利用平移变换解题
(3)当问题中有一组平行线,或一组定向直线,通过平移 变换,常达到应用平行线段定理或平行四边形性质解题。
例8 :已知ABC中, A 90 , B的平分线BD与BC边 上的高AE交于F , 过F作FG // BC于G.求证 : AD GC.
PP ' C AP ' C AP ' P APB AP ' P APC APP ' P' PC PC PB P ' C
例 11: ABC为正三角形 , P为任意点 , 求证：PA PB PC, 等号当且仅当 P在ABC的外接圆的弧 BC上时成立 .
2n 1 (n 1) n
2 2
用一般化实现化归的模式：
x的方程7 x 2 (k 13) x k 2 例6 k为何值时，关于 k 2 0的两个根分别在 (0,1)与(1,2)内。
2 k 1或3 k 4
叠加法 例7 证明同弧所对的圆周角是圆心角的一半。
C
C
A
V
C B
O
A A
B B
例4 : 一个整系数四次多项式f ( x)，若有四个不同的整数
a1 , a2 , a3 , a4 , 使得f (a1 ) f (a2 ) f (a3 ) f (a4 ) 1
求证 : 对任何整数都不能使f ( ) 1。
分析 :由题设联想到余弦定理，故 :
2
1 2 1 配方得（ x ） ( x ) 1 0 x x
1 令y x , 得 ：y 2 y 1 0 x
降幂，实现简单化。
一般化
的差？ 例5 证明: 1989 可以表示成两个平方数
正面解答：x y 1989?
2 2
一般情况： 任一奇数表示为两个平方数的差？
g( 3) 0, g( x ) 0
g( x ) ?
f ( x) x 5 x 9
2
f ( x ) g( x ) 3
g( x) ( x 3)2
例4 解方程 x4 x3 x2 x 1 0
解：方程两边除以 x 2 ( x 0),得
1 1 x x 1 2 0 x x
依题意，要求的士兵数 为：f (k ) 233 105k 1000
取k 8，即得士兵数 1073 .
练习
1.设函数f ( x) ax bx x 5, x (,),
联想的方法
2 例 1.若（z x） 4( x y)( y z) 0, 证明2 y x z
例2.已知a, b, c均为正数，且满足关系 式a b c ,
2 2 2
又n为不小于3的自然数，求证： a n bn c n .
例3 : 求证 : 正四面体内任一个点到各面的距离之和为定值。
f ( x) ( x a1 )( x a2 )( x a3 )( x a4 ) 1 a1 , a2 , a3 , a4是四个不同的整数
, ( a1 )( a2 )( a3 )( a4 )为四个不同整数的乘积( 2)
f ( ) ( a1 )( a2 )( a3 )( a4 ) 1 1
例5 : 试证 : 在一切同底且周长相等 的三角形中， 以等腰三角形面积最大 。
ABC与ABD： 分析： AB AB, AC BC AD BD
l
过C作直线 l //AB,作点B关于直线 l 的轴反射点。
显然：2 ABC CAB；AC BC B' C 1 2 ACB ABC CAB ACB
例10 : 在ABC中，AB AC, 三角形内有一点 P， APB APC, 求证：PC PB.
分析： APB与APC分散在两个三角形中 .
以A为中心，顶角为旋转角 ， 将APB旋转到ACP' 位置.
有：P' C PB, AP' C APB，且APP'为等腰三角形。