2018年《概率论与数理统计》期末考试

期末作业考核

《概率论与数理统计》作答

一、计算题

1、设)4,3(~2-N X ，试求X 的概率密度为)(x f 。

2、随机变量ξ的密度函数为⎩⎨

⎧∈=其他,0),0(,2)(A x x x p ，其中A 为正的常数，试求A 。

3、设随机变量ξ服从二项分布，即),(~p n B ξ，且3=ξE ，71=p ，试求n 。

4、已知一元线性回归直线方程为x a y

4ˆˆ+=，且3=x ，6=y ，试求a ˆ。 答： a

ˆ=0,2

5、设随机变量X 与Y 相互独立，且4)(,

3)(==Y D X D ，求)4(Y X D -。

D(X-4Y)=D(X)+16D(Y)=3+64=67

6、设总体X 的概率密度为 ⎩

⎨⎧<<+=,0,10,)1();(其它，x x x f θθθ

式中θ>－1是未知参数，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个容量为n 的简单随机样本，用最大似然估计法求θ的估计量。

答：

θ的估计量为0.8.

7、设n X X X ,,,21 是取自正态总体),0(2σN 的一个样本，其中0>σ未知。已知估计量∑==n i i

X k 122

ˆσ是2σ的无偏估计量，试求常数k 。

K=1/（n-1）

二、证明题

1．若事件A 与B 相互独立，则A 与B 也相互独立。

证明： 为了方便,记A （相对立）=C

显然AB 交BC=空集,并且A,C 为空间的一个分割,所以P(B)=P （AB)+P(BC),由于A,B 独立,所以P(BC)=P(B)-P(AB)=P(B)-P(A)P(B)=P(B)[1-P(A)]=P(B)P(C),所以B 与A （相对立）相互独立。

2．若事件B A ⊂，则)()(B P A P ≤。

证明：因为B A ⊂

所以B =AU (B-A)

P(B) = P(AU (B-A))=P(A)+P((B-A))>=P(A)