系统建模过程辨识脉冲响应

实验二：基于三阶系统的脉冲响应求传递函数

一、目的

所谓辨识，就是在输入和输出数据的基础上，从一组给定的模型类中，确定一个与所测系统等价的模型。此次作业任务是基于脉冲响应（既包含了输入数据也能得到输出数据）对一个三阶模型进行过程辨识，整个辨识路线如图1所示。

图1基于脉冲响应的过程辨识路线

二、辨识方法

1）差分方程法

假设待辨识的过程传递函数为：

G(s)=b m s m+b m−1s m−1+⋯+b1s+b0

a n s+a n−1s+⋯+a1s+1

,n≥m（1）如果特征方程a n s n+a n−1s n−1+⋯+a1s+1=0具有n个单根s1、s2、…s n，那么传递函数可以写成：

G(s)=c1

s−s1+c2

s−s2

+⋯+c n

s−s n

（2）

对应的脉冲响应:

g t=c1e s1t+c2e s1t+⋯+c n e s n t（3）

如果特征方程a n s n+a n−1s n−1+⋯+a1s+1=0具有重根(其中s1、s2…s n−r为单根，s0为r阶重根)时，那么传递函数可以写成：

G(s)=c1

s−s1+c2

s−s2

+⋯+c n−r

s−s n−r

+c n−r+1

s−s0

+c n−r+2

(s−s0)2

+⋯+c n

(s−s0)r

（4）

对应的脉冲响应:

g t=c1e s1t+c2e s1t+⋯+c n−r e s n−r t+⋯+c n−r+1e s0t

+c n−r+2te s0t+⋯+c n t r−1e s0t（5）可以根据待定过程的脉冲响应估计值g(t)来确定c i和s i。从所获得的g(t)按照采样周期T0，选取前(n+1)个坐标点，各坐标点上的脉冲响应分别记为g(k)、g(k+1)、…、g(k+n)。组成一个AR模型：

g k +α1g k +1 +⋯+αn g k +n =0

（6）

其中，α1、α2、…、αn 为待定系数。如果特征方程

1+α1x +α2x 2+⋯+αn x n =0

（7）

有一个单根x i ，则x i k 必是AR 模型的解，它们的线性组合也是AR 模型的解。当特征方程式（7）具有n 个单根时，AR 模型的解可以表示为:

g k =β1x 1k +β2x 2k +⋯+βn x n k

（8）

当特征方程式（7）具有重根时，AR 模型的解可以表示为:

g k =β1x 1k +β2x 2k +⋯+βn−r x n−r k

+βn−r +1x 0k

+βn−r +2kx 0k +⋯+βn k r−1x 0k

（9）

其中，其中x 1、x 2…x n−r 为单根，x 0为r 阶重根。

将式子（3）和式子（5）分别与式子（8）和式子（9）进行比较，我们可以得到：

c i =βi s i =

1T 0

logx i

（10）

这样就可以求出待辨识过程的传递函数。 2） Hankel 矩阵法

考虑一个n 阶的脉冲传递函数

G z

−1

=

b 1z −1+b 2z −2+⋯+b n z −n 1+a 1z +a 2z +⋯+a n z （11）

将传递函数转化称状态方程后，经过进一步推导，可以得到

G z −1 =g 1 z −1+g 2 z −2+g 3 z −3+⋯

（12）

由式（11）和（12）可得：

b 1z −1+b 2z −2+⋯+b n z −n

=[g 1 z −1+g 2 z −2+g 3 z −3+⋯][1+a 1z −1+a 2z −2+⋯+a n z −n ]

=g 1 z −1+⋯+[a 2+a 1g 1 ]z −2 +⋯+[g n + g i n−1i =1a n−i ] z

−n

+⋯ （13） 比较式（13）同幂次项系数，有：

g 1 g 2 …g n g 2 g 3

…g n +1 ⋮g n ⋮g n +1 ⋮⋮

…g 2n −1

a n a n−1⋮a 1 = - g n +1

g n +2 ⋮g 2n

（14）

以及

b 1b

2⋮

b n

= 1

…00a 1

1…00⋮a n−1⋮

a n−2

⋮⋮⋮…

a 10 g 1 g 2

⋮g n

（15）

根据Hankel 矩阵的定义

H l,k=

g k g k+1⋯g k+l−1

g k+1g k+2⋯g k+l

⋮

g k+l−1

⋮

g k+l

⋮

⋯

⋮

g k+2l−2

（16）

式（14）左边的矩阵是一种待定的Hankel矩阵，记作H（n,1），并且它是可逆的。因此只要将所获得的脉冲响应估计值g(k)填入式（14）和式（15）的相应位置，便可以求得式（11）的脉冲传递函数估计值。

三、实例

1）考虑传递函数为G(s)=1

s+6s+11s+6

的过程；

2）对上述过程基于Matlab进行仿真，得到脉冲响应曲线如图2所示.

3）设置采样周期为0.5s,采样脉冲响应数据，记录在表1。

图2给定过程的脉冲响应曲线

表1脉冲响应数据（采样周期T0=0.5s）

4）确定待定系数αi

由于待辨识的系统是三阶的，根据式（6），取k=0、1、2，可得如下方程组：

0+0.0469α1+0.0735α2+0.0672α3=0

0.0469+0.0735α1+0.0672α2+0.0507α3=0

0.0735+0.0672α1+0.0507α2+0.0346α3=0

（11）