[2020理数]课时跟踪检测(六十六) 二项分布与正态分布

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二项分布与正态分布

二项分布与正态分布

二项分布与正态分布二项分布与正态分布是概率统计学中两个重要的分布模型。

它们在实际应用中发挥着重要的作用,对于描述随机事件和现象的分布规律具有重要意义。

本文将分别介绍二项分布和正态分布的基本概念和性质,并对它们之间的关系进行探讨。

一、二项分布二项分布是概率统计学中最基本的离散型概率分布之一。

它描述了在n次独立重复试验中成功次数的概率分布。

其中,每次试验成功的概率为p,失败的概率为1-p。

试验次数n和成功次数X(取值范围为0到n)是二项分布的两个重要参数。

二项分布的概率质量函数可以表示为:P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中,C(n, k)表示从n个物体中取出k个的组合数。

二项分布具有以下性质:1. 期望和方差:二项分布的期望为E(X) = np,方差为Var(X) = np(1-p)。

2. 归一性:二项分布的概率之和为1,即∑P(X=k) = 1,其中k的取值范围为0到n。

二、正态分布正态分布是概率统计学中最重要的连续型概率分布之一。

它以钟形曲线的形式描述了大量随机变量分布的特征。

正态分布由两个参数决定,即均值μ和标准差σ。

正态分布的概率密度函数可以表示为:f(x) = (1 / (σ * sqrt(2π))) * exp(-(x-μ)^2 / (2σ^2))其中,exp表示自然指数函数,sqrt表示开方。

正态分布具有以下性质:1. 对称性:正态分布呈现出关于均值对称的特点,即其左右两侧的曲线是镜像关系。

2. 均值和方差:正态分布的均值即为μ,方差即为σ^2。

3. 中心极限定理:当样本容量较大时,多个独立随机变量的均值近似服从正态分布。

三、二项分布与正态分布的关系在一些情况下,二项分布可以近似看作正态分布。

当试验次数n较大,成功概率p较接近0.5时,二项分布的概率分布形状逐渐接近于正态分布。

根据中心极限定理,当n足够大时,二项分布的均值和方差趋近于正态分布的均值和方差,因此可以用正态分布来近似描述二项分布的概率分布。

二项分布与正态分布详解

二项分布与正态分布详解

在二项分布和正态分布中的应用举例
二项分布参数估计
正态分布参数估计
二项分布假设检验
正态分布假设检验
对于二项分布B(n, p),可以使 用样本比例作为成功概率p的 点估计。同时,根据二项分布 的性质,可以构造出p的置信 区间进行区间估计。
对于正态分布N(μ, σ^2),可 以使用样本均值作为总体均值 μ的点估计,样本方差作为总 体方差σ^2的点估计。同样地 ,可以构造出μ和σ的置信区间 进行区间估计。
02
通过对二项分布和正态分布进行深入剖析,探讨它们之间的联
系和区别,以便更好地理解这两种分布。
为后续概率论与数理统计学习打下基础
03
二项分布和正态分布是概率论与数理统计中的重要内容,掌握
它们对于后续学习具有重要意义。
预备知识
概率论基础知识
要理解二项分布和正态分布,首先需要具备概率论的基础知识, 如事件、概率、随机变量等概念。
正态分布转化为二项分布的条件
在实际应用中,如果某个连续型随机变量可以取整数值,且这些整数值出现的概率可以 用二项分布来描述,那么可以将这个连续型随机变量近似为二项分布。但需要注意的是
,这种转化通常需要在一定的精度范围内进行。
实际应用中的选择依据
• 在实际应用中,选择使用二项分 布还是正态分布通常需要考虑以 下因素:首先,需要判断随机变 量是离散的还是连续的;其次, 需要考虑随机变量所描述的实际 情况是否符合二项分布或正态分 布的定义和性质;最后,还需要 考虑样本量大小、数据分布情况 等因素来选择最合适的分布类型 进行建模和分析。
方差
正态分布的方差等于其标准差的平方,即D(X)=σ^2。
正态分布的应用举例
01 02
质量控制

新课改瘦专用2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测六十三二项分布与正态分布

新课改瘦专用2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测六十三二项分布与正态分布

课时跟踪检测(六十三) 二项分布与正态分布1.用电脑每次可以自动生成一个(0,1)内的实数,且每次生成每个实数都是等可能的,若用该电脑连续生成3个实数,则这3个实数都大于13的概率为( )A.127 B.23 C.827D.49解析:选C 由题意可得,用该电脑生成1个实数,且这个实数大于13的概率为P =1-13=23,则用该电脑连续生成3个实数,这3个实数都大于13的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫233=827.故选C. 2.(2019·汕头模拟)甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛,甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为23和34,甲、乙两人是否获得一等奖相互独立,则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为( )A.34B.23C.57D.512解析:选D 根据题意,恰有一人获得一等奖就是甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得,则所求概率是23×⎝⎛⎭⎪⎫1-34+34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1-23=512,故选D.3.(2018·厦门二模)袋中装有2个红球,3个黄球,有放回地抽取3次,每次抽取1球,则3次中恰有2次抽到黄球的概率是( )A.25 B.35 C.18125D.54125解析:选D 袋中装有2个红球,3个黄球,有放回地抽取3次,每次抽取1球,每次取到黄球的概率为35,∴3次中恰有2次抽到黄球的概率是P =C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫352⎝ ⎛⎭⎪⎫1-35=54125.4.(2018·唐山二模)甲、乙等4人参加4×100米接力赛,在甲不跑第一棒的条件下,乙不跑第二棒的概率是( )A.29 B.49 C.23D.79解析:选D 甲不跑第一棒共有A 13·A 33=18种情况,甲不跑第一棒且乙不跑第二棒共有两类:(1)乙跑第一棒,共有A 33=6种情况;(2)乙不跑第一棒,共有A 12·A 12·A 22=8种情况,∴甲不跑第一棒的条件下,乙不跑第二棒的概率为6+818=79.故选D.5.(2019·福建四校联考)某校在高三第一次模拟考试中约有1 000人参加考试,其数学考试成绩X 近似服从正态分布N (100,a 2)(a >0),试卷满分150分,统计结果显示数学考试成绩不及格(低于90分)的人数占总人数的110,则此次数学考试成绩在100分到110分之间的人数约为( )A .400B .500C .600D .800解析:选A 由题意得,P (X ≤90)=P (X ≥110)=110,所以P (90≤X ≤110)=1-2×110=45,所以P (100≤X ≤110)=25,所以此次数学考试成绩在100分到110分之间的人数约为 1 000×25=400.故选A.6.(2018·河北“五个一名校联盟”二模)某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁,已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12,两次闭合后都出现红灯的概率为15,则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为( )A.110B.15C.25D.12解析:选C 设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A ,“第二次闭合后出现红灯”为事件B ,则由题意可得P (A )=12,P (AB )=15,则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合出现红灯的概率是P (B |A )=P ABP A =1512=25.故选C.7.(2019·淄博一模)设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X ,且X ~N (800,502),则一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为( )(参考数据:若X ~N (μ,σ2),有P (μ-σ<X ≤μ+σ)=0.682 6,P (μ-2σ<X ≤μ+2σ)=0.954 4,P (μ-3σ<X ≤μ+3σ)=0.997 4 )A .0.977 2B .0.682 6C .0.997 4D .0.954 4解析:选A ∵X ~N (800,502),∴P (700≤X ≤900)=0.954 4,∴P (X >900)=1-0.954 42=0.022 8,∴P (X ≤900)=1-0.022 8=0.977 2.故选A.8.(2019·茂名一模)设X ~N (1,1),其正态分布密度曲线如图所示,那么向正方形ABCD 中随机投掷10 000个点,则落入阴影部分的点的个数的估计值是( )(注:若X ~N (μ,σ2),则P (μ-σ<X <μ+σ)=68.26%,P (μ-2σ<X <μ+2σ)=95.44%)A .7 539B .6 038C .7 028D .6 587解析:选D ∵X ~N (1,1),∴μ=1,σ=1.∵P (μ-σ<X <μ+σ)=68.26%,∴P (0<X <2)=68.26%,则P (1<X <2)=34.13%,∴阴影部分的面积为1-0.341 3=0.658 7.∴向正方形ABCD 中随机投掷10 000个点,则落入阴影部分的点的个数的估计值是10 000×0.658 7=6 587.故选D.9.(2019·珠海一模)夏秋两季,生活在长江口外浅海域的中华鱼回游到长江,历经三千多公里的溯流博击,回到金沙江一带产卵繁殖,产后待幼鱼长大到15厘米左右,又携带它们旅居外海.一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼鱼苗,该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15,雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.05,若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟,则其能成功溯流产卵繁殖的概率为( )A .0.05B .0.007 5C .13D .16解析:选C 设事件A 为鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域长成熟,事件B 为该雌性个体成功溯流产卵繁殖,由题意可知P (A )=0.15,P (AB )=0.05,∴P (B |A )=P ABP A=0.050.15=13.故选C. 10.(2019·江西名校联考)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点,则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (-1,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )附:若X ~N (μ,σ2),则P (μ-σ<X <μ+σ)=0.682 6,P (μ-2σ<X <μ+2σ)=0.954 4.A .1 193B .1 359C .2 718D .3 413解析:选B 对于正态分布N (-1,1),可知μ=-1,σ=1,正态曲线关于直线x =-1对称,故题图中阴影部分的面积为12×[P (-3<X <1)-P (-2<X <0)]=12×[P (μ-2σ<X <μ+2σ)-P (μ-σ<X <μ+σ)]=12×(0.954 4-0.682 6)=0.135 9,所以点落入题图中阴影部分的概率P =0.135 91=0.135 9,投入10 000个点,落入阴影部分的个数约为10 000×0.135 9=1 359.故选B.11.(2019·南昌模拟)口袋中装有大小形状相同的红球2个,白球3个,黄球1个,甲从中不放回地逐一取球,已知第一次取得红球,则第二次取得白球的概率为________.解析:口袋中装有大小形状相同的红球2个,白球3个,黄球1个,甲从中不放回地逐一取球,设事件A 表示“第一次取得红球”,事件B 表示“第二次取得白球”,则P (A )=26=13,P (AB )=26×35=15,∴第一次取得红球后,第二次取得白球的概率为P (B |A )=P AB P A =1513=35. 答案:3512.(2019·郑州一中月考)科目二,又称小路考,是机动车驾驶证考核的一部分,是场地驾驶技能考试科目的简称.假设甲通过科目二的概率均为34,且每次考试相互独立,则甲第3次考试才通过科目二的概率为________.解析:甲第3次考试才通过科目二,则前2次都未通过,第3次通过,故所求概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1-342×34=364. 答案:36413.(2019·合肥名校联考)已知随机变量X ~N (1,σ2),若P (X >0)=0.8,则P (X ≥2)=________.解析:随机变量X 服从正态分布N (1,σ2),∴正态曲线关于x =1对称,∴P (X ≥2)=P (X ≤0)=1-P (X >0)=0.2.答案:0.214.三支球队中,甲队胜乙队的概率为0.4,乙队胜丙队的概率为0.5,丙队胜甲队的概率为0.6,比赛顺序是:第一局是甲队对乙队,第二局是第一局的胜者对丙队,第三局是第二局的胜者对第一局的败者,第四局是第三局的胜者对第二局的败者,则乙队连胜四局的概率为________.解析:设乙队连胜四局为事件A ,有下列情况:第一局中乙胜甲(A 1),其概率为1-0.4=0.6;第二局中乙胜丙(A 2),其概率为0.5;第三局中乙胜甲(A 3),其概率为0.6;第四局中乙胜丙(A 4),其概率为0.5,因各局比赛中的事件相互独立,故乙队连胜四局的概率为:P (A )=P (A 1A 2A 3A 4)=0.62×0.52=0.09.答案:0.0915.九节虾的真身是虎斑虾,虾身上有一深一浅的横向纹路,煮熟后有明显的九节白色花纹,肉味鲜美.某酒店购进一批九节虾,并随机抽取了40只统计质量,得到的结果如下表所示:(1)若购进这批九节虾35 000 g ,且同一组数据用该组区间的中点值代表,试估计这批九节虾的数量(所得结果保留整数);(2)以频率估计概率,若在本次购买的九节虾中随机挑选4只,记质量在[5,25)间的九节虾的数量为X ,求X 的分布列.解:(1)由表中数据可以估计每只九节虾的质量为140×(4×10+12×20+11×30+8×40+5×50)=29.5(g),因为35 000÷29.5≈1 186(只),所以这批九节虾的数量约为1 186只.(2)由表中数据知,任意挑选1只九节虾,质量在[5,25)间的概率p =4+1240=25,X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,则P (X =0)=⎝ ⎛⎭⎪⎫354=81625,P (X =1)=C 14×25×⎝ ⎛⎭⎪⎫353=216625, P (X =2)=C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫252×⎝ ⎛⎭⎪⎫352=216625, P (X =3)=C 34×⎝ ⎛⎭⎪⎫253×35=96625, P (X =4)=⎝ ⎛⎭⎪⎫254=16625. 所以X 的分布列为16.(2019·惠州模拟)某学校为了丰富学生的课余生活,以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛,随机抽取一首,背诵正确加10分,背诵错误减10分,且背诵结果只有“正确”和“错误”两种.其中某班级学生背诵正确的概率p =23,记该班级完成n 首背诵后的总得分为S n .(1)求S 6=20且S i ≥0(i =1,2,3)的概率; (2)记ξ=|S 5|,求ξ的分布列及数学期望.解:(1)当S 6=20时,即背诵6首后,正确的有4首,错误的有2首.由S i ≥0(i =1,2,3)可知,若第一首和第二首背诵正确,则其余4首可任意背诵正确2首;若第一首背诵正确,第二首背诵错误,第三首背诵正确,则其余3首可任意背诵正确2首.则所求的概率P =⎝ ⎛⎭⎪⎫232×C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫132+23×13×23×C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13=1681.(2)由题意知ξ=|S 5|的所有可能的取值为10,30,50,又p =23,∴P (ξ=10)=C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫233×⎝ ⎛⎭⎪⎫132+C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫133=4081,P (ξ=30)=C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫234×⎝ ⎛⎭⎪⎫131+C 15⎝ ⎛⎭⎪⎫231×⎝ ⎛⎭⎪⎫134=3081, P (ξ=50)=C 55⎝ ⎛⎭⎪⎫235×⎝ ⎛⎭⎪⎫130+C 05⎝ ⎛⎭⎪⎫230×⎝ ⎛⎭⎪⎫135=1181, ∴ξ的分布列为∴E (ξ)=10×4081+30×3081+50×1181=1 85081.17.(2018·濮阳二模)近年来“双十一”已成为中国电子商务行业的年度盛事,并且逐渐影响到国际电子商务行业.某商家为了准备2018年“双十一”的广告策略,随机调查了1 000名客户在2017年“双十一”前后10天内网购所花时间T(单位:时),并将调查结果绘制成如图所示的频率分布直方图.由频率分布直方图可以认为,这10天网购所花的时间T近似服从N(μ,σ2),其中μ用样本平均值代替,σ2=0.24.(1)计算μ,并利用该正态分布求P(1.51<T<2.49).(2)利用由样本统计获得的正态分布估计整体,将这10天网购所花时间在(2,2.98)小时内的人定义为目标客户,对目标客户发送广告提醒.现若随机抽取10 000名客户,记X为这10 000人中目标客户的人数.(ⅰ)求EX;(ⅱ)问:10 000人中目标客户的人数X为何值的概率最大?附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<Z<μ+σ)=0.682 6,P(μ-2σ<Z<μ+2σ)=0.954 4,P(μ-3σ<Z<μ+3σ)=0.997 4.0.24≈0.49.解:(1)μ=0.4×(0.050×0.8+0.225×1.2+0.550×1.6+0.825×2.0+0.600×2.4+0.200×2.8+0.050×3.2)=2,从而T服从N(2,0.24),又σ=0.24≈0.49,从而P(1.51<T<2.49)=P(μ-σ<T<μ+σ)=0.682 6.(2)(ⅰ)任意抽取1名客户,该客户是目标客户的概率为P(2<T<2.98)=P(μ<T<μ+2σ)=12P(μ-2σ<T<μ+2σ)=12×0.954 4=0.477 2.由题意知X服从B(10 000,0.477 2),所以EX=10 000×0.477 2=4 772.(ⅱ)X服从B(10 000,0.477 2),P(X=k)=C k10 0000.477 2k(1-0.477 2)10 000-k=C k10 0000.477 2k·0.522 810 000-k(k=0,1,2,…,10 000).设当X =k (k ≥1,k ∈N)时概率最大,则有⎩⎪⎨⎪⎧P X =k >P X =k +1,PX =k >P X =k -1,得⎩⎪⎨⎪⎧0.522 8C k10 000>0.477 2C k +110 000,0.477 2C k 10 000>0.522 8C k -110 000,解得k =4 772.故10 000人中目标客户的人数为4 772的概率最大.。

2020版高考数学人教版理科一轮复习课时作业:69 二项分布与正态分布 Word版含解析

2020版高考数学人教版理科一轮复习课时作业:69 二项分布与正态分布 Word版含解析

课时作业69 二项分布与正态分布一、选择题1.打靶时甲每打10次,可中靶8次;乙每打10次,可中靶7次.若两人同时射击一个目标,则它们都中靶的概率是( D )A.35B.34C.1225D.1425解析:由题意知甲中靶的概率为45,乙中靶的概率为710,两人打靶相互独立,同时中靶的概率P =45×710=1425.2.两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为23和34,两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( B )A.12B.512C.14D.16解析:恰有一个一等品即一个是一等品,另一个不是一等品,则情形为两种,所以P =23×⎝⎛⎭⎪⎫1-34+⎝⎛⎭⎪⎫1-23×34=512.3.(2019·广东珠海一模)夏秋两季,生活在长江口外浅海域的中华鲟洄游到长江,历经三千多公里的溯流搏击,回到金沙江一带产卵繁殖,产后待幼鱼长大到15厘米左右,又携带它们旅居外海.一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鲟鱼苗,该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15,雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.05,若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟,则其能成功溯流产卵繁殖的概率为( C )A .0.05B .0.007 5 C.13D.16解析:设事件A 为鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域长成熟,事件B 为雌性个体成功溯流产卵繁殖,由题意可知P (A )=0.15,P (AB )=0.05,∴P (B |A )=P (AB )P (A )=0.050.15=13.故选C.4.甲、乙两类水果的质量(单位:kg)分别服从正态分布N (μ1,σ21),N (μ2,σ22),其正态分布密度曲线如图所示,则下列说法错误的是( D )A .甲类水果的平均质量为0.4 kgB .甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于平均值左右C .甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D .乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2=1.99解析:由图象可知甲的正态曲线关于直线x =0.4对称,乙的正态曲线关于直线x =0.8对称,所以μ1=0.4,μ2=0.8,故A 正确,C 正确.由图可知甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于平均值左右,故B 正确.因为乙的正态曲线的最大值为1.99,即12πσ2=1.99,所以σ2≠1.99,故D 错误,于是选D.5.若同时抛掷两枚骰子,当至少有5点或6点出现时,就说这次试验成功,则在3次试验中至少有1次成功的概率是( C )A.125729B.80243C.665729D.100243解析:一次试验中,至少有5点或6点出现的概率为1-⎝ ⎛⎭⎪⎫1-13×⎝⎛⎭⎪⎫1-13=1-49=59,设X 为3次试验中成功的次数,则X ~B ⎝⎛⎭⎪⎫3,59,故所求概率P (X ≥1)=1-P (X =0)=1-C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫590×⎝ ⎛⎭⎪⎫493=665729,故选C.6.为向国际化大都市目标迈进,某市今年新建三大类重点工程,它们分别是30项基础设施类工程、20项民生类工程和10项产业建设类工程.现有3名民工相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设,则这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是( D )A.12B.13C.14D.16解析:记第i 名民工选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为事件A i 、B i 、C i ,i =1、2、3.由题意知,事件A i 、B i 、C i (i =1、2、3)相互独立,则P (A i )=3060=12,P (B i )=2060=13,P (C i )=1060=16(i =1、2、3),故这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是P =A 33P (A i B i C i )=6×12×13×16=16.故选D.二、填空题7.(2019·江西南昌模拟)口袋中装有大小形状相同的红球2个,白球3个,黄球1个,甲从中不放回地逐一取球,已知第一次取得红球,则第二次取得白球的概率为35.解析:口袋中装有大小形状相同的红球2个,白球3个,黄球1个,甲从中不放回地逐一取球,设事件A 表示“第一次取得红球”,事件B 表示“第二次取得白球”,则P (A )=26=13,P (AB )=26×35=15,∴第一次取得红球后,第二次取得白球的概率为P (B |A )=P (AB )P (A )=1513=35.8.位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动:质点每次移动一个单位,移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是516.解析:因为质点移动五次后位于点(2,3),所以质点P 必须向右移动2次,向上移动3次.故其概率为C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫123·⎝ ⎛⎭⎪⎫122=C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫125=516.9.已知某公司生产的一种产品的质量X (单位:克)服从正态分布N (100,4).现从该产品的生产线上随机抽取10 000件产品,其中质量在[98,104]内的产品估计有8_186件.附:若X 服从正态分布N (μ,σ2),则P (μ-σ<X <μ+σ)≈0.682 7,P (μ-2σ<X <μ+2σ)≈0.954 5.解析:由题意知μ=100,σ=2,则P (98<X <104)=12[P (μ-σ<X <μ+σ)+P (μ-2σ<X <μ+2σ)]≈0.818 6,所以质量在[98,104]内的产品估计有10 000×0.818 6=8 186件.10.在四次独立重复试验中,事件A 在每次试验中出现的概率相同,若事件A 至少发生一次的概率为6581,则事件A 恰好发生一次的概率为3281.解析:设事件A 在每次试验中发生的概率为p ,则事件A 在4次独立重复试验中,恰好发生k 次的概率为P (X =k )=C k 4p k (1-p )4-k(k =0,1,2,3,4),∴P (X =0)=C 04p 0(1-p )4=(1-p )4,由条件知1-P (X =0)=6581,∴(1-p )4=1681,∴1-p =23,∴p =13.∴P (X =1)=C 14p ·(1-p )3=4×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫233=3281. 三、解答题11.甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用7场4胜制,每场必须分出胜负,场与场之间互不影响,只要有一队获胜4场就结束比赛.现已比赛了4场且甲篮球队胜3场,已知甲球队第5,6场获胜的概率均为35,但由于体力原因,第7场获胜的概率为25.(1)求甲队以43获胜的概率;(2)设X 表示决出冠军时比赛的场数,求X 的分布列和数学期望. 解:(1)设甲队以43获胜的事件为B ,∵甲队第5,6场获胜的概率均为35,第7场获胜的概率为25, ∴甲队以43获胜的概率 P (B )=⎝ ⎛⎭⎪⎫1-352·25=8125, ∴甲队以43获胜的概率为8125.(2)随机变量X 的可能取值为5,6,7,P (X =5)=35,P (X =6)=⎝ ⎛⎭⎪⎫1-35·35=625,P (X =7)=⎝ ⎛⎭⎪⎫1-352·25+1-352·⎝ ⎛⎭⎪⎫1-25=425,∴随机变量X的分布列为E (X )=5×35+6×625+7×425=13925.12.(2019·河北石家庄新华模拟)“过大年,吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2018年春节前夕,A 市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺,检测其某项质量指标值,所得频率分布直方图如下:(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(2)①由直方图可以认为,速冻水饺的该项质量指标值Z 服从正态分布N (μ,σ2),利用该正态分布,求Z 落在(14.55,38.45)内的概率;②将频率视为概率,若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺,记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X ,求X 的分布列和数学期望.附:①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为σ=142.75≈11.95;②若Z ~N (μ,σ2),则P (μ-σ<Z ≤μ+σ)=0.682 6,P (μ-2σ<Z ≤μ+2σ)=0.954 4.解:(1)所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的平均数x =5×0.1+15×0.2+25×0.3+35×0.25+45×0.15=26.5.(2)①∵Z 服从正态分布N (μ,σ2),且μ=26.5,σ≈11.95,∴P (14.55<Z <38.45)=P (26.5-11.95<Z <26.5+11.95)=0.682 6, ∴Z 落在(14.55,38.45)内的概率是0.682 6. ②根据题意得X ~B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4,12, P (X =0)=C 04⎝ ⎛⎭⎪⎫124=116;P (X =1)=C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫124=14; P (X =2)=C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫124=38;P (X =3)=C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫124=14; P (X =4)=C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫124=116. ∴X 的分布列为∴E (X )=4×12=2.13.(2019·唐山市摸底考试)某篮球队在某赛季已结束的8场比赛中,队员甲得分统计的茎叶图如图.(1)根据这8场比赛,估计甲每场比赛中得分的均值μ和标准差σ; (2)假设甲在每场比赛的得分服从正态分布N (μ,σ2),且各场比赛间相互没有影响,依此估计甲在82场比赛中得分在26分以上的平均场数.参考数据:32≈5.66,32.25≈5.68,32.5≈5.70.正态总体N (μ,σ2)在区间(μ-2σ,μ+2σ)内取值的概率约为0.954. 解:(1)μ=18(7+8+10+15+17+19+21+23)=15,σ2=18[(-8)2+(-7)2+(-5)2+02+22+42+62+82]=32.25.所以σ≈5.68.所以估计甲每场比赛中得分的均值μ为15,标准差σ为5.68. (2)由(1)得甲在每场比赛中得分在26分以上的概率P (X ≥26)≈12[1-P (μ-2σ<X <μ+2σ)]≈12(1-0.954)=0.023,设在82场比赛中,甲得分在26分以上的次数为Y ,则Y ~B (82,0.023).Y 的均值E (Y )=82×0.023=1.886.由此估计甲在82场比赛中得分在26分以上的平均场数为1.886. 尖子生小题库——供重点班学生使用,普通班学生慎用 14.(2019·惠州市调研考试)某学校为了丰富学生的课余生活,以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛,随机抽取一首,背诵正确加10分,背诵错误减10分,且背诵结果只有“正确”和“错误”两种.其中某班级学生背诵正确的概率p =23,记该班级完成n 首背诵后的总得分为S n .(1)求S 6=20且S i ≥0(i =1,2,3)的概率; (2)记ξ=|S 5|,求ξ的分布列及数学期望.解:(1)当S 6=20时,即背诵6首后,正确的有4首,错误的有2首.由S i ≥0(i =1,2,3)可知,若第一首和第二首背诵正确,则其余4首可任意背诵正确2首;若第一首背诵正确,第二首背诵错误,第三首背诵正确,则其余3首可任意背诵正确2首.则所求的概率P =(23)2×C 24(23)2×(13)2+23×13×23×C 23(23)2×13=1681. (2)由题意知ξ=|S 5|的所有可能的取值为10,30,50,又p =23, ∴P (ξ=10)=C 35(23)3×(13)2+C 25(23)2×(13)3=4081,P (ξ=30)=C 45(23)4×(13)1+C 15(23)1×(13)4=3081,P (ξ=50)=C 55(23)5×(13)0+C 05(23)0×(13)5=1181,∴ξ的分布列为∴E (ξ)=10×4081+30×3081+50×1181=1 85081.。

2020届高考数学一轮复习第十篇 第7节二项分布与正态分布课时作业理(含解析)新人教A版

2020届高考数学一轮复习第十篇 第7节二项分布与正态分布课时作业理(含解析)新人教A版

第7节 二项分布与正态分布课时作业基础对点练(时间:30分钟)1.把一枚硬币连续抛两次,记“第一次出现正面”为事件A ,“第二次出现正面”为事件B ,则P (B |A )=( )(A)12 (B)14 (C)16(D)18A 解析:事件A 的概率为P (A )=12,事件AB 发生的概率为P (AB )=14,由公式可得P (B |A )=P ABP A =1412=12,选A. 2.已知ξ~N (3,σ2),若P (ξ≤2)=0.2,则P (ξ≤4)等于( ) (A)0.2 (B)0.3 (C)0.7(D)0.8D 解析:由ξ~N (3,σ2),得μ=3,则正态曲线的对称轴是x =3,所以P (ξ≤4)=1-P (ξ≤2)=0.8.故选D.3.若某人每次射击击中目标的概率均为35,此人连续射击三次,至少有两次击中目标的概率为( )(A)81125 (B)54125 (C)36125(D)27125A 解析:本题考查概率的知识.至少有两次击中目标包含仅有两次击中,其概率为C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫352⎝ ⎛⎭⎪⎫1-35;若三次都击中,其概率为C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫353,根据互斥事件的概率公式可得,所求概率为P =C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫352⎝ ⎛⎭⎪⎫1-35+C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫353=81125,故选A. 4.(2019江西鹰潭一中模拟)端午节放假,甲回老家过节的概率为13,乙、丙回老家过节的概率分别为14,15.假定三人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为( )(A)5960 (B)35 (C)12(D)160B 解析:“甲、乙、丙回老家过节”分别记为事件A ,B ,C ,则P (A )=13,P (B )=14,P (C )=15,所以P (A )=23,P (B )=34,P (C →)=45.由题知A ,B ,C 为相互独立事件,所以三人都不回老家过节的概率P (A B C )=P (A →)P (B )P (C →)=23×34×45=25,所以至少有一人回老家过节的概率P =1-25=35.5.把一枚骰子连续掷两次,已知在第一次抛出的是偶数点的情况下,第二次抛出的也是偶数点的概率为( )(A)1 (B)12 (C)13(D)14B 解析:设事件A :第一次抛出的是偶数点,B :第二次抛出的是偶数点,则P (B |A )=P ABP A =12×1212=12.故选B. 6.将一枚硬币连掷5次,如果出现k 次正面的概率等于出现k +1次正面的概率,那么k 的值为( )(A)0 (B)1 (C)2(D)3C 解析:根据题意,本题为独立重复试验,由概率公式得: C k 512k×125-k =C k +1512k +1×124-k , 解得k =2.故选C.7.(创新题)某电脑配件公司的技术员对某种配件的某项功能进行检测,已知衡量该功能的随机变量X 服从正态分布N (2,σ2)且P (X ≤4)=0.9,该变量X ∈(0,4)时为合格产品,则该产品是合格产品的概率为( )(A)0.1 (B)0.2 (C)0.9(D)0.8D 解析:∵P (X ≤4)=0.9,∴P (X >4)=1-0.9=0.1,又此正态曲线关于直线x =2对称,故P (X ≤0)=P (X ≥4)=0.1,∴P (0<X <4)=1-P (X ≤0)-P (X ≥4)=0.8,故该产品合格的概率为0.8,故选D. 8.(2019济宁一中)已知随机变量X ~N (2,2),若P (X >t )=0.2,则P (X >4-t )=( ) (A)0.1 (B)0.2 (C)0.7(D)0.8D 解析:P (X >4-t )=1-P (X <4-t )=1-P (X >t )=1-0.2=0.8.故选D. 9.我国的植树节定于每年的3月12日,是我国为激发人们爱林、造林的热情,促进国土绿化,保护人类赖以生存的生态环境,通过立法确定的节日.为宣传此活动,某团体向市民免费发放某种花卉种子.假设这种种子每粒发芽的概率都为0.99,若发放了10 000粒,种植后,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子数记为X ,则X 的数学期望为________.解析:根据题意显然有X 2-B (10 000,0.01),所以E (X2)=10 000×0.01=100,故E (X )=200.答案:20010.某高三毕业班的8次数学周练中,甲、乙两名同学在连续统计解答题失分的茎叶图如图所示.(1)比较这两名同学8次周练解答题失分的平均数和方差的大小,并判断哪位同学做解答题相对稳定些;(2)以上述数据统计甲、乙两名同学失分超过15分的频率作为概率,假设甲、乙两名同学在同一次周练中失分多少互不影响,预测在接下来的2次周练中,甲、乙两名同学失分均超过15分的次数X 的分布列和均值.解析:(1)x 甲=18(7+9+11+13+13+16+23+28)=15,x 乙=18(7+8+10+15+17+19+21+23)=15,s 2甲=18[(-8)2+(-6)2+(-4)2+(-2)2+(-2)2+12+82+132]=44.75,s 2乙=18[(-8)2+(-7)2+(-5)2+02+22+42+62+82]=32.25.甲、乙两名同学解答题失分的平均数相等;甲同学解答题失分的方差比乙同学解答题失分的方差大.所以乙同学做解答题相对稳定些.(2)根据统计结果,在一次周练中,甲和乙失分超过15分的概率分别为P 1=38,P 2=12,两人失分均超过15分的概率为P 1P 2=316,X 的所有可能取值为0,1,2 .依题意,X ~B ⎝⎛⎭⎪⎫2,316,P (X =k )=C k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫316k ⎝ ⎛⎭⎪⎫13162-k,k =0,1,2, 则X 的分布列为:X 的均值E (X )=2×316=38.能力提升练(时间:15分钟)11.已知ξ~Bn ,12,η~Bn ,13,且E (ξ)=15,则E (η)等于( )(A)5 (B)10 (C)15(D)20B 解析:因为ξ~Bn ,12,所以E (ξ)=n2,又E (ξ)=15,则n =30. 所以η~B 30,13,故E (η)=30×13=10.故选B.12.已知1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,现随机从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从2号箱中随机取出一球,则两次都取到红球的概率是( )(A)1127 (B)1124 (C)827(D)924C 解析:设“从1号箱取到红球”为事件A ,“从2号箱取到红球”为事件B . 由题意,P (A )=42+4=23,P (B |A )=3+18+1=49, 所以P (AB )=P (B |A |)·P (A )=49×23=827,所以两次都取到红球的概率为827,故选C.13.设随机变量X -N (3,σ2),若P (X >m )=0.3,则P (X >6-m )=________. 解析:∵随机变量X ~N (3,σ2),∴P (X >3)=P (X <3)=0.5, ∵P (X >m )=0.3,∴P (X >6-m )=P (X <m )=1-P (X >m )=1-0.3=0.7. 答案:0.714.(2019林州一中质检)某个部件由3个型号相同的电子元件并联而成,3个电子元件中有一个正常工作,该部件正常工作,已知这种电子元件的使用年限ξ(单位:年)服从正态分布,且使用年限少于3年的概率和多于9年的概率都是0.2,那么该部件能正常工作的时间超过9年的概率为________.解析:由P (0<ξ<3)=P (ξ>9)=0.2,可得在9年内每个电子元件能正常工作的概率为0.2,因此在9年内这个部件不能正常工作的概率为0.83=0.512,故该部件能正常工作的概率为1-0.512=0.488.答案:0.48815.(2019南昌模拟)某市教育局为了了解高三学生体育达标情况,对全市高三学生进行了体能测试,经分析,全市学生体能测试成绩X 服从正态分布N (80,σ2)(满分为100分),已知P (X <75)=0.3,P (X ≥95)=0.1,现从该市高三学生中随机抽取3位同学.(1)求抽到的3位同学该次体能测试成绩在区间[80,85),[85,95),[95,100]内各有1位同学的概率;(2)记抽到的3位同学该次体能测试成绩在区间[75,85]内的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望E (ξ).解:(1)由题知,P (80≤X <85)=12-P (X <75)=0.2,P (85≤X <95)=0.3-0.1=0.2,所以所求概率P =A 33×0.2×0.2×0.1=0.024. (2)P (75≤X ≤85)=1-2P (X <75)=0.4, 所以ξ服从二项分布B (3,0.4),P (ξ=0)=0.63=0.216,P (ξ=1)=3×0.4×0.62=0.432, P (ξ=2)=3×0.42×0.6=0.288,P (ξ=3)=0.43=0.064,所以随机变量ξ的分布列是ξ 0 1 2 3 P0.2160.4320.2880.064E (ξ)=3×0.4=1.2.16.某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个,每个生日蛋糕的成本为50元,然后以每个100元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的蛋糕作垃圾处理.现需决策此蛋糕店每天应该制作多少个生日蛋糕,为此搜集并整理了100天生日蛋糕的日需求量(单位:个)的数据,得到如图所示的柱状图,以100天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率.(1)若蛋糕店一天制作17个生日蛋糕,(ⅰ)求当天的利润y (单位:元)关于当天需求量n (单位:个,n ∈N *)的函数解析式; (ⅱ)在当天的利润不低于750元的条件下,求当天需求量不低于18个的概率. (2)若蛋糕店计划一天制作16个或17个生日蛋糕,请你以蛋糕店一天利润的期望值为决策依据,判断应该制作16个还是17个?解:(1)(ⅰ)当n ≥17时y =17×(100-50)=850; 当n ≤16时,y =50n -50(17-n )=100n -850.所以y =⎩⎪⎨⎪⎧100n -850n ≤16,n ∈N *,850n ≥17,n ∈N *.(ⅱ)设当天的利润不低于750元为事件A ,当天需求量不低于18个为事件B , 由(ⅰ)得,日利润不低于750元等价于日需求量不低于16个,则P (A )=710,P (B |A )=P AB P A =0.15+0.13+0.10.7=1935.(2)蛋糕店一天应制作17个生日蛋糕,理由如下:若蛋糕店一天制作17个生日蛋糕,X 表示当天的利润(单位:元),X 的分布列为X 550 650 750 850 P0.10.20.160.54E (X )=550×0.1+650×0.2+750×0.16+850×0.54=764.若蛋糕店一天制作16个生日蛋糕,Y 表示当天的利润(单位:元),Y 的分布列为:Y 600 700 800 P0.10.20.7E (Y )=600×0.1+700×0.2+800×0.7=760.由以上的计算结果可以看出,E (X )>E (Y ),即一天制作17个生日蛋糕的利润大于一天制作16个生日蛋糕的利润,所以蛋糕店一天应该制作17个生日蛋糕.。

二项分布与正态分布

二项分布与正态分布

二项分布与正态分布二项分布(Binomial Distribution)和正态分布(Normal Distribution)是统计学中常用的两种分布类型,它们在描述概率和随机变量的分布特征上有着重要的应用。

一、二项分布二项分布是一种离散概率分布,适用于两个互斥事件(成功和失败)发生的多次独立重复实验。

每个实验的结果只有两种可能性,并且各试验之间的概率不会发生变化。

该分布以两个参数来描述:n(实验次数)和p(事件成功的概率)。

二项分布的概率质量函数为P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k),其中X为成功事件发生的次数,k为取值范围,C(n, k)表示组合数。

例如,某外卖平台的数据显示,在送达100份订单中,正好有20份遇到问题,成功率为0.2。

如果我们想要了解在送达下一个订单时会出现多少问题的概率分布,我们就可以使用二项分布来计算。

二、正态分布正态分布是一种连续概率分布,也被称为高斯分布。

在统计学中,正态分布常常用来描述一组数据中心性的表现,其图形呈钟形曲线。

正态分布由两个参数来描述:均值(μ)和标准差(σ^2)。

正态分布的概率密度函数为f(x) = 1 / (σ * √(2π)) * exp(-(x-μ)^2 /2σ^2),其中x为取值范围。

例如,在考试成绩分析中,如果我们知道某门考试的平均分是80分,标准差是10分,我们就可以使用正态分布来计算不同分数段的比例和概率。

三、二项分布与正态分布的关系当二项分布的参数n(实验次数)足够大,同时p(事件成功的概率)也足够接近0.5时,二项分布可以近似地用正态分布来描述。

根据中心极限定理(Central Limit Theorem),当样本容量足够大时,无论数据服从什么分布,其样本均值的分布均近似服从正态分布。

由于二项分布和正态分布之间的关系,我们可以利用正态分布的性质对二项分布进行近似计算。

这种近似计算可简化复杂的二项分布计算,并提高效率。

初中数学中的二项分布与正态分布

初中数学中的二项分布与正态分布
二项分布:适用于离散随机变量,如抛硬币、掷骰子等
二项分布和正态分布都可以用于描述数据的分布情况,但应用场景不同
二项分布和正态分布都可以通过中心极限定理进行转换,从而扩大其应用范围
性质和特点的区别和联系
二项分布:离散随机变量,只有两种可能结果,如硬币正反面
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正态分布:连续随机变量,结果在特定范围内,如身高、体重
正态分布的集中性:正态分布的随机变量大部分集中在均值μ附近,离均值越远,概率越小。
正态分布的标准差σ决定了曲线的宽度和陡度,σ越大,曲线越宽,陡度越小;σ越小,曲线越窄,陡度越大。
二项分布与正态分布的区别和联系
04
定义上的区别和联系
二项分布:指在n次独立重复试验中,每次试验只有两种可能的结果,且每次试验的结果互不影响。
μ:正态分布的均值,表示数据分布的中心位置
σ^2:正态分布的方差,表示数据分布的离散程度平方
正态分布的曲线形状:对称、单峰、中间高、两边低
正态分布在初中数学中的应用
正态分布的应用:在初中数学中,正态分布可以用于描述各种数据的分布情况,如考试成绩、身高、体重等
正态分布的概念:数据分布的一种规律,大多数数据集中在平均值附近,两端逐渐减少
概率计算:用于计算随机事件发生的概率
决策制定:用于制定决策,如风险评估、投资决策等
实验设计:用于设计实验,如抽样调查、实验研究等
统计分析:用于分析数据的分布情况
二项分布的性质和特点
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正态分布
03
正态分布的定义
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二项分布的概率计算公式为P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k),其中C(n,k)为组合数,p为成功概率,n为试验次数,k为成功次数

2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测六十三二项分布与正态分布

2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测六十三二项分布与正态分布

Earlybird课时跟踪检测(六十三)二项分布与正态分布1.用电脑每次可以自动生成一个(0,1)内的实数,且每次生成每个实数都是等可能的,1 若用该电脑连续生成3个实数,则这3个实数都大于的概率为()31 2A. B.27 38 4C. D.27 91 1解析:选C由题意可得,用该电脑生成1个实数,且这个实数大于的概率为P=1-3 3 2 1 2 8=,则用该电脑连续生成3个实数,这3个实数都大于3的概率为(3 )3=.故选C.3 272.(2019·汕头模拟)甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛,甲、乙两人能荣2 3获一等奖的概率分别为和,甲、乙两人是否获得一等奖相互独立,则这两个人中恰有一人3 4获得一等奖的概率为()3 2A. B.4 35 5C. D.7 12解析:选D根据题意,恰有一人获得一等奖就是甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获2 3 3 2 5得,则所求概率是3×(1-4 )+4×(1-3 )=,故选D.123.(2018·厦门二模)袋中装有2个红球,3个黄球,有放回地抽取3次,每次抽取1 球,则3次中恰有2次抽到黄球的概率是()2 3A. B.5 518 54C. D.125 125解析:选D袋中装有2个红球,3个黄球,有放回地抽取3次,每次抽取1球,每次3 3 3 54取到黄球的概率为,∴3次中恰有2次抽到黄球的概率是P=C 2 5 )=.2 5 )(1-5 1254.(2018·唐山二模)甲、乙等4人参加4×100米接力赛,在甲不跑第一棒的条件下,乙不跑第二棒的概率是()2 4A. B.9 92 7C. D.3 9解析:选D甲不跑第一棒共有A13·A3=18种情况,甲不跑第一棒且乙不跑第二棒共有两类:(1)乙跑第一棒,共有A3=6种情况;(2)乙不跑第一棒,共有A12·A12·A2=8种情况,∴Earlybird6+8 7甲不跑第一棒的条件下,乙不跑第二棒的概率为=.故选D.18 95.(2019·福建四校联考)某校在高三第一次模拟考试中约有1 000人参加考试,其数学考试成绩X近似服从正态分布N(100,a2)(a>0),试卷满分150分,统计结果显示数学1考试成绩不及格(低于90分)的人数占总人数的,则此次数学考试成绩在100分到110分10之间的人数约为()A.400 B.500C.600 D.8001 1解析:选A由题意得,P(X≤90)=P(X≥110)=,所以P(90≤X≤110)=1-2×=10 104 2,所以P(100≤X≤110)=,所以此次数学考试成绩在100分到110分之间的人数约为5 521 000×=400.故选A.56.(2018·河北“五个一名校联盟”二模)某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁,1 1已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为,两次闭合后都出现红灯的概率为,则在第一次2 5闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为()1 1A. B.10 52 1C. D.5 2解析:选C设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A,“第二次闭合后出现红灯”1 1为事件B,则由题意可得P(A)=,P(AB)=,则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次2 51P AB 5 2闭合出现红灯的概率是P(B|A)===.故选C.P A 1 527.(2019·淄博一模)设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X,且X~N(800,502),则一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为()(参考数据:若X~N(μ,σ2),有P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 6,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954 4,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.997 4 )A.0.977 2 B.0.682 6C.0.997 4 D.0.954 4解析:选A∵X~N(800,502),∴P(700≤X≤900)=0.954 4,∴P(X>900)=1-0.954 4=0.022 8,∴P(X≤900)=1-0.022 8=0.977 2.故选A.28.(2019·茂名一模)设X~N(1,1),其正态分布密度曲线如图所示,那么向正方形ABCD中随机投掷10 000个点,则落入阴影部分的点的个数的估计值是()(注:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X<μ+σ)=68.26%,P(μ-2σ<X<μ+2σ)=95.44%)A.7 539 B.6 038C.7 028 D.6 587解析:选D∵X~N(1,1),∴μ=1,σ=1.∵P(μ-σ<X<μ+σ)=68.26%,∴P(0<X<2)=68.26%,则P(1<X<2)=34.13%,∴阴影部分的面积为1-0.341 3=0.658 7.∴向正方形ABCD中随机投掷10 000 个点,则落入阴影部分的点的个数的估计值是10 000×0.658 7=6 587.故选D.9.(2019·珠海一模)夏秋两季,生活在长江口外浅海域的中华鱼回游到长江,历经三千多公里的溯流博击,回到金沙江一带产卵繁殖,产后待幼鱼长大到15厘米左右,又携带它们旅居外海.一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼鱼苗,该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15,雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.05,若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟,则其能成功溯流产卵繁殖的概率为() A.0.05 B.0.007 51 1C.D.3 6解析:选C设事件A为鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域长成熟,事件B为该P AB雌性个体成功溯流产卵繁殖,由题意可知P(A)=0.15,P(AB)=0.05,∴P(B|A)==P A0.05 1=.故选C.0.15 310.(2019·江西名校联考)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(-1,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X<μ+σ)=0.682 6,P(μ-2σ<X<μ+2σ)=0.954 4.A.1 193 B.1 359C.2 718 D.3 413解析:选B对于正态分布N(-1,1),可知μ=-1,σ=1,正态曲线关于直线x=-1 11对称,故题图中阴影部分的面积为×[P(-3<X<1)-P(-2<X<0)]=×[P(μ-2σ<2 21X<μ+2σ)-P(μ-σ<X<μ+σ)]=×(0.954 4-0.682 6)=0.135 9,20.135 9 所以点落入题图中阴影部分的概率P==0.135 9,1投入10 000个点,落入阴影部分的个数约为10 000×0.135 9=1 359.故选B.11.(2019·南昌模拟)口袋中装有大小形状相同的红球2个,白球3个,黄球1个,甲从中不放回地逐一取球,已知第一次取得红球,则第二次取得白球的概率为________.解析:口袋中装有大小形状相同的红球2个,白球3个,黄球1个,甲从中不放回地逐2一取球,设事件A表示“第一次取得红球”,事件B表示“第二次取得白球”,则P(A)==61 123 1 P AB 5 ,P(AB)=×=,∴第一次取得红球后,第二次取得白球的概率为P(B|A)==3 6 5 5 P A 13 3=.53答案:512.(2019·郑州一中月考)科目二,又称小路考,是机动车驾驶证考核的一部分,是场3 地驾驶技能考试科目的简称.假设甲通过科目二的概率均为,且每次考试相互独立,则甲4第3次考试才通过科目二的概率为________.3(1-4 )解析:甲第3次考试才通过科目二,则前2次都未通过,第3次通过,故所求概率为3 32×=.4 643答案:6413.(2019·合肥名校联考)已知随机变量X~N(1,σ2),若P(X>0)=0.8,则P(X≥2)=________.解析:随机变量X服从正态分布N(1,σ2),∴正态曲线关于x=1对称,∴P(X≥2)=P(X≤0)=1-P(X>0)=0.2.答案:0.214.三支球队中,甲队胜乙队的概率为0.4,乙队胜丙队的概率为0.5,丙队胜甲队的概率为0.6,比赛顺序是:第一局是甲队对乙队,第二局是第一局的胜者对丙队,第三局是第二局的胜者对第一局的败者,第四局是第三局的胜者对第二局的败者,则乙队连胜四局的概率为________.解析:设乙队连胜四局为事件A,有下列情况:第一局中乙胜甲(A1),其概率为1-0.4 =0.6;第二局中乙胜丙(A2),其概率为0.5;第三局中乙胜甲(A3),其概率为0.6;第四局Earlybird中乙胜丙(A 4),其概率为 0.5,因各局比赛中的事件相互独立,故乙队连胜四局的概率为:P (A )=P (A 1A 2A 3A 4)=0.62×0.52=0.09.答案:0.0915.九节虾的真身是虎斑虾,虾身上有一深一浅的横向纹路,煮熟后有明显的九节白色 花纹,肉味鲜美.某酒店购进一批九节虾,并随机抽取了 40只统计质量,得到的结果如下 表所示: 质量/g [5,15)[15,25)[25,35)[35,45)[45,55]数量4121185(1)若购进这批九节虾 35 000 g ,且同一组数据用该组区间的中点值代表,试估计这批 九节虾的数量(所得结果保留整数);(2)以频率估计概率,若在本次购买的九节虾中随机挑选 4只,记质量在[5,25)间的九 节虾的数量为 X ,求 X 的分布列.解:(1)由表中数据可以估计每只九节虾的质量为1×(4×10+12×20+11×30+8×40+5×50)=29.5(g),因为 35 000÷29.5≈1 40 186(只),所以这批九节虾的数量约为 1 186只. 4+12 2(2)由表中数据知,任意挑选 1只九节虾,质量在[5,25)间的概率 p == ,X 的所405有可能取值为 0,1,2,3,4,381则 P (X =0)=(5 )4=, 6252 3216P (X =1)=C 14×5×(5)3=, 62523216P (X =2)=C 24×(5)2×(5 )2=, 62523 96P (X =3)=C 34×(5)3× =, 5 625216P (X =4)=(5)4=. 625所以 X 的分布列为X1 2 3 4P81625216 625216 62596 62516 62516.(2019·惠州模拟)某学校为了丰富学生的课余生活,以班级为单位组织学生开展古Earlybird诗词背诵比赛,随机抽取一首,背诵正确加10分,背诵错误减10分,且背诵结果只有“正2确”和“错误”两种.其中某班级学生背诵正确的概率p=,记该班级完成n首背诵后的3总得分为S n.(1)求S6=20且S i≥0(i=1,2,3)的概率;(2)记ξ=|S5|,求ξ的分布列及数学期望.解:(1)当S6=20时,即背诵6首后,正确的有4首,错误的有2首.由S i≥0(i=1,2,3)可知,若第一首和第二首背诵正确,则其余4首可任意背诵正确2 首;若第一首背诵正确,第二首背诵错误,第三首背诵正确,则其余3首可任意背诵正确2 首.2 2 1 2 1 2 2 1 16则所求的概率P=(3 )2×C3 )2×(3 )2+×××C3 )2×=.2 23 3 3 3 812(2)由题意知ξ=|S5|的所有可能的取值为10,30,50,又p=,32 1 2 1 40 ∴P(ξ=10)=C35(3 )3×(3 )2+C 2×3)3=,2 3 )(812 1 2 1 30P(ξ=30)=C45(3 )4×(1+C 1×4=,3 ) 1 3 )(3 )812 1 2 1 11P(ξ=50)=C5(3 )5×(3 )0+C 0×3)5=,0 3 )(81∴ξ的分布列为ξ10 30 50P 40813081118140 30 11 1 850∴E(ξ)=10×+30×+50×=.81 81 81 8117.(2018·濮阳二模)近年来“双十一”已成为中国电子商务行业的年度盛事,并且逐渐影响到国际电子商务行业.某商家为了准备2018年“双十一”的广告策略,随机调查了1000名客户在2017年“双十一”前后10天内网购所花时间T(单位:时),并将调查结果绘制成如图所示的频率分布直方图.由频率分布直方图可以认为,这10天网购所花的时间T近似服从N(μ,σ2),其中μ用样本平均值代替,σ2=0.24.(1)计算μ,并利用该正态分布求P(1.51<T<2.49).(2)利用由样本统计获得的正态分布估计整体,将这10天网购所花时间在(2,2.98)小时内的人定义为目标客户,对目标客户发送广告提醒.现若随机抽取10 000名客户,记X为这10 000人中目标客户的人数.(ⅰ)求EX;(ⅱ)问:10 000人中目标客户的人数X为何值的概率最大?附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<Z<μ+σ)=0.682 6,P(μ-2σ<Z<μ+2σ)=0.954 4,P(μ-3σ<Z<μ+3σ)=0.997 4.0.24≈0.49.解:(1)μ=0.4×(0.050×0.8+0.225×1.2+0.550×1.6+0.825×2.0+0.600×2.4+0.200×2.8+0.050×3.2)=2,从而T服从N(2,0.24),又σ=0.24≈0.49,从而P(1.51<T<2.49)=P(μ-σ<T<μ+σ)=0.682 6.(2)(ⅰ)任意抽取1名客户,该客户是目标客户的概率为P(2<T<2.98)=P(μ<T<μ+2σ)1 1=P(μ-2σ<T<μ+2σ)=×0.954 4=0.477 2.2 2由题意知X服从B(10 000,0.477 2),所以EX=10 000×0.477 2=4 772.(ⅱ)X服从B(10 000,0.477 2),P(X=k)=C10 k0000.477 2k(1-0.477 2)10 000-k=C10 k0000.477 2k·0.522 810 000-k(k=0,1,2,…,10 000).设当X=k(k≥1,k∈N)时概率最大,则有Error!得Error!解得k=4 772.故10 000人中目标客户的人数为4 772的概率最大.。

2020新课标高考艺术生数学复习:二项分布与正态分布含解析

2020新课标高考艺术生数学复习:二项分布与正态分布含解析
考点二 相互独立事件同时发生的概率(子母变式)
[典例]甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位、3人能被选中的概率分别为 、 、 、且各自能否被选中互不影响.
(1)求3人同时被选中的概率;
(2)求3人中至少有1人被选中的概率.
[解析]记甲、乙、丙能被选中的事件分别为A、B、C、
则P(A)= 、P(B)= 、P(C)= .
[典例]甲、乙、丙均两次参加英语高考、取两次成绩中较高的为最终成绩、三人第一次成绩不低于130分的概率依次为 、 、 .甲若第一次成绩不低于130分、则第二次成绩不低于130分的概率为 、若第一次成绩在130分以下、则第二次成绩不低于130分的概率为 ;乙若第一次成绩不低于130分、则第二次成绩不低于130分的概率为 、若第一次成绩在130分以下、则第二次成绩不低于130分的概率为 ;丙第二次成绩不受第一次成绩的影响、不低于130分的概率为 .
事件
表示
概率
A、B恰有一个发生
(A )∪( B)
P(A)P( )+P( )P(B)
A、B中至少有一个发生
(A )∪( B)∪(AB)
P(A)P( )+P( )P(B)+P(A)P(B)
A、B中至多有一个发生
(A )∪( B)∪( )
P(A)P( )+P( )P(B)+P( )P( )
考点三 独立重复试验与二项分布(师生共研)
②曲线是单峰的、它关于直线x=μ对称;
③曲线在x=μ处达到峰值 ;
④曲线与x轴之间的面积为1;
⑤当σ一定时、曲线的位置由μ确定、曲线随着μ的变化而沿x轴平移、如图(1)所示;
⑥当μ一定时、曲线的形状由σ确定、σ越小、曲线越“瘦高”、表示总体的分布越集中;σ越大、曲线越“矮胖”、表示总体的分布越分散、如图(2)所示.

2020年高考数学一轮复习:64 二项分布与正态分布(理科专用)

2020年高考数学一轮复习:64 二项分布与正态分布(理科专用)
组别
频数
(1) 求所得样本的中位数(精确到百元);
(2) 根据样本数据,可近似地认为学生的旅游费用支出 服从正态分布 ,若该市共有高中毕业生35000人,试估计有多少位同学旅游费用支出在 8100元以上;
(3) 已知本数据中旅游费用支出在 范围内的8名学生中有5名女生,3名男生, 现想选其中3名学生回访,记选出的男生人数为 ,求 的分布列与数学期望.
附:若 ,则 , , .
21. (10分) 未来制造业对零件的精度要求越来越高.3D打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的,常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型,后逐渐用于一些产品的直接制造,已经有使用这种技术打印而成的零部件.该技术应用十分广泛,可以预计在未来会有广阔的发展空间.某制造企业向A高校3D打印实验团队租用一台3D打印设备,用于打印一批对内径有较高精度要求的零件.该团队在实验室打印出了一批这样的零件,从中随机抽取10件零件,度量其内径的茎叶图如如图所示(单位:μm).
A . 1
B .
C . 2
D . 4
二、 填空题 (共6题;共6分)
13. (1分) (2017高二下·芮城期末) 一批产品的二等品率为0.03,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次, 表示抽到的二等品件数,则 ________.
14. (1分) 某厂生产的零件尺寸服从正态分布N(25,0.032),为使该厂生产的产品有95%以上的合格率,则该厂生产的零件尺寸允许值的范围为________.
22. (10分) (2018·河北模拟) “过大年,吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2018年春节前夕, 市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺,检测其某项质量指标,
(1) 求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);

2020版高考数学(理科)北师大版一轮复习课时规范练61 二项分布与正态分布Word版含解析

2020版高考数学(理科)北师大版一轮复习课时规范练61 二项分布与正态分布Word版含解析

课时规范练61二项分布与正态分布基础巩固组1.(2018江西南昌二模,6)已知随机变量X服从正态分布,即X~N(μ,σ2),且P(μ-σ<X<μ+σ)=68.3%,若随机变量X~N(2 017,1),则P(X≥2 018)=()A.34.3%B.31.7%C.15.85%D.15.88%2.(2018广西南宁模考,6)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是() A.0.4 B.0.6C.0.75D.0.83.甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛采取五局三胜制,无论哪一方先胜三局,则比赛结束.假定甲每局比赛获胜的概率均为,则甲以3∶1的比分获胜的概率为()A. B.C. D.4.(2018河北模考,6)2018年武邑中学髙三第四次模拟考试结束后,对全校的数学成绩进行统计,发现数学成绩的频率分布直方图形状与正态分布N(95,82)的密度曲线非常拟合.据此统计,在全校随机抽取的4名高三同学中,恰有2名同学的数学成绩超过95分的概率是()A. B. C. D.5.甲射击命中目标的概率是,乙射击命中目标的概率是,丙射击命中目标的概率是.现在三人同时射击目标,则目标被击中的概率为()A. B.C. D.6.(2018山东东营模拟,6)在4次独立重复试验中,随机事件A恰好发生1次的概率不小于其恰好发生2次的概率,则事件A在一次试验中发生的概率p的范围是()A.(0,0.6]B.[0.6,1)C.[0.4,1)D.(0,0.4]7.(2018辽宁沈阳一模,理13)已知随机变量ξ~N(1,σ2),若P(ξ>3)=0.2,则P(ξ≥-1)=.8.(2018河北模拟,19)质检部门从某超市销售的甲、乙两种食用油中分别随机抽取100桶检测某项质量指标,由检测结果得到如图的频率分布直方图:甲乙(1)写出频率分布直方图(甲)中a的值;记甲、乙两种食用油100桶样本的质量指标的方差分别为,试比较的大小(只要求写出答案);(2)估计在甲、乙两种食用油中各随机抽取1桶,恰有一桶的质量指标大于20,且另一桶的质量指标不大于20的概率;(3)由频率分布直方图可以认为,乙种食用油的质量指标值Z服从正态分布N(μ,δ2).其中μ近似为样本平均数,δ2近似为样本方差,设X表示从乙种食用油中随机抽取10桶,其质量指标值位于(14.55,38.45)的桶数,求X的均值.注:①同一组数据用该区间的中点值作代表,计算得s2=≈11.95;②若Z~N(μ,δ2),则P(μ-δ<Z<μ+δ)=68.3%,P(μ-2δ<Z<μ+2δ)=95.4%.综合提升组9.(2018河北石家庄模拟,6)已知ABCD为正方形,其内切圆I与各边分别切于E,F,G,H,连接EF,FG,GH,HE.现向正方形ABCD内随机抛掷一枚豆子,记事件A:豆子落在圆I内,事件B:豆子落在四边形EFGH外,则P (B|A)=()A.1-B.C.1-D.10.设事件A在每次试验中发生的概率相同,且在三次独立重复试验中,若事件A至少发生一次的概率为,则事件A恰好发生一次的概率为()A. B.C. D.11.若随机变量X~N(2,32),且P(X≤1)=P(X≥a),则(x+a)2ax-5展开式中x3项的系数是.12.(2018黑龙江模拟,19)甲、乙两人投篮命中的概率分别为,各自相互独立.现两人做投篮游戏,共比赛3局,每局每人各投一球.(1)求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1的概率;(2)设ξ表示比赛结束后甲、乙两人进球数的差的绝对值,求ξ的概率分布列和均值E(ξ).创新应用组13.甲、乙两名棋手比赛正在进行中,甲必须再胜2盘才最后获胜,乙必须再胜3盘才最后获胜,若甲、乙两人每盘取胜的概率都是,则甲最后获胜的概率是()A. B.C. D.14.(2018浙江模拟,13)某人有4把钥匙,其中2把能打开门.现随机地取1把钥匙试着开门,不能开门的就扔掉,问第二次才能打开门的概率是.如果试过的钥匙不扔掉,这个概率又是.15.(2018四川德阳模拟,19)为了引导居民合理用电,国家决定实行合理的阶梯电价,居民用电原则上以住宅为单位(一套住宅为一户).某市随机抽取10户同一个月的用电情况,得到统计表如下:(1)若规定第一阶梯电价每度0.5元,第二阶梯超出第一阶梯的部分每度0.6元,第三阶梯超出第二阶梯的部分每度0.8元,试计算A居民用电户用电410度时应交电费多少元?(2)现要在这10户家庭中任意选取3户,求取到第二阶梯电量的户数的分布列与均值;(3)以表中抽到的10户作为样本估计全市的居民用电,现从全市中依次抽取10户,若抽到k户用电量为第一阶梯的可能性最大,求k的值.参考答案课时规范练61二项分布与正态分布1.C由题设P(2 016<X<2 018)=68.3%,∴由正态分布的对称性可得P(X≥2 018)=[1-P(2 016<X<2 018)]=(1-68.3%)=15.85%.2.D设“某一天的空气质量为优良”为事件A,“随后一天的空气质量为优良”为事件B,则P(A)=0.75,P(AB)=0.6,∴P(B|A)===0.8.3.A第四局甲第三次获胜,并且前三局甲获胜两次,故所求的概率为P=2××=.4.D由题意,数学成绩超过95分的概率是,在全校随机抽取的4名高三同学中,恰有2名同学的数学成绩超过95分的概率是×2×2=.5.A设“甲命中目标”为事件A,“乙命中目标”为事件B,“丙命中目标”为事件C,则击中目标表示事件A, B,C中至少有一个发生.∵P()=P()·P()·P()=[1-P(A)]·[1-P(B)]·[1-P(C)]=1-×1-×1-=.故目标被击中的概率为P=1-P()=.6.D事件A在一次试验中发生的概率为p,∵随机事件A恰好发生1次的概率不小于其恰好发生2次的概率,∴p(1-p)3≥p2(1-p)2,解得p≤0.4.7.0.8∵随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),∴曲线关于x=1对称.∵P(ξ>3)=0.2,∴P(ξ≤-1)=P(ξ>3),∴P(ξ≥-1)= 1-P(ξ>3)=1-0.2=0.8.8.解 (1)由频率分布直方图的性质得(0.010+a+0.020+0.025+0.030)×10=1,解得a=0.015.记甲、乙两种食用油100桶的质量指标的方差分别为,,由甲、乙两种食用油检测结果得到的频率分布直方图得到>.(2)设事件A:在甲种食用油中随机抽取1桶,其质量指标不大于20,事件B:在乙种食用油中随机抽取1桶,其质量指标不大于20,事件C:在甲、乙两种食用油中随机抽取1桶,恰有一桶的质量指标大于20,且另一桶不大于20, 则P(A)=0.20+0.10=0.3,P(B)=0.10+0.20=0.3,∴P(C)=P()P(B)+P(A)P()=0.42.(3)=(5×0.01+15×0.02+25×0.03+35×0.025+45×0.015)×10=26.5,∵s2≈11.95,∴由条件得Z~N(26.5,142.75),从而P(26.5-11.95<Z<26.5+11.95)=68.3%,∴从乙种食用油中随机抽取10桶,其质量指标值位于(14.55,38.45)的概率是68.3%,依题意得X~B(10,68.3%),∴EX=10×68.3%=6.83.9.C设正方形ABCD的边长为a,则圆I的半径为r=,其面积为S=π×2=πa2,设正方形EFGH的边长为b,则b=a⇒b=a,其面积为S1=a2=a2, 则在圆I内且在四边形EFGH内的面积为S1=S-S1,所以P(B|A)==1-,故选C.10.C假设事件A在每次试验中发生说明试验成功,设每次试验成功的概率为p,由题意得事件A发生的次数X~B(3,p),则有1-(1-p)3=,得p=,故事件A恰好发生一次的概率为××1-2=.11.1 620∵随机变量X~N(2,32),均值是2,且P(X≤1)=P(X≥a),∴a=3,∴(x+a)2ax-5=(x+3)2·3x-5=(x2+6x+9)3x-5.又3x-5展开式的通项公式为T r+1=·(3x )5-r ·-r=(-1)r ·35-r ··,令5-=1,解得r=,不合题意,舍去;令5-=2,解得r=2,对应x 2的系数为(-1)2·33·=270;令5-=3,解得r=,不合题意,舍去.∴展开式中x 3项的系数是6×270=1 620.12.解 (1)比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个有以下几种情况:甲进1球,乙进0球;甲进2球,乙进1球;甲进3球,乙进2球.所以比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率P=××2×3+×2×××3+×3××3=.(2)ξ的可能取值为0,1,2,3, 且P (ξ=0)=33+1212+2121+303=. 同理可求得:P (ξ=1)=,P (ξ=2)=,P (ξ=3)=,所以ξ的概率分布列为:所以均值Eξ=0×+1×+2×+3×=1.13.B 甲、乙再打2局,甲胜的概率为×=;甲、乙再打3局,甲胜的概率为2×××=;甲、乙再打4局,甲胜的概率为3×4=,所以甲最后获胜的概率为++=,故选B .14. 第二次打开门,说明第一次没有打开门,故第二次打开门的概率为×=.如果试过的钥匙不扔掉,这个概率为×=.15.解 (1)210×0.5+(400-210)×0.6+(410-400)×0.8=227(元).。

二项分布与正态分布

二项分布与正态分布
(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于 2 个家庭回答正确这道题的概率.
解:(1)记“甲回答正确这道题”“乙回答正确这道题”“丙回答正确这道题”分 别为事件 A,B,C,则 P(A)=34, 且有PPBA·P·PCC==14,112,
即P[1-BP·PAC]·=[1-14,PC]=112, 所以 P(B)=38,P(C)=23.
中能否被加工成一等品相互独立,则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为
() 1
A.2 C.14
B.152 D.16
解析:因为两人加工成一等品的概率分别为23和34,且相互独立,所以两个零件中 恰好有一个一等品的概率 P=23×14+13×34=152. 答案:B
6.从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数,事件 A 为“取到的 2 个数之和为偶数”,
口灯泡”,
则 P(A)=130,P(AB)=130×79=370.
7 则所求概率为 P(B|A)=PPAAB=330=79.
10 答案:D
跟踪训练 1 在 100 件产品中有 95 件合格品,5 件不合格品,现从中不放回地取 两次,每次任取一件,则在第一次取到不合格品后,第二次取到不合格品的概率 为________.
试验中发生的概率都是一样的.
(2)在 n 次独立重复试验中,用 X 表示事件 A 发生的次数,设每次试验中事件 A 发 生的概率为 p,则 P(X=k)= Cnkpk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n) ,此时称随机变量 X 服从 二项分布 ,记为 X~B(n,p) ,并称 p 为成功概率.
4.两点分布与二项分布的均值、方差
(3)正态分布的定义及表示
bφμ,σ(x)dx
一般地,如果对于任何实数 a,b(a<b),随机变量 X 满足 P(a<X≤b)= a

四川省高考数学一轮复习:64 二项分布与正态分布(理科专用)

四川省高考数学一轮复习:64 二项分布与正态分布(理科专用)

四川省高考数学一轮复习:64 二项分布与正态分布(理科专用)姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题;共24分)1. (2分) (2018高二下·甘肃期末) 已知随机变量服从正态分布,且,,等于()A .B .C .D .2. (2分)某市组织一次高三调研考试,考试后统计的数学成绩服从正态分布,其密度函数,则下列命题不正确的是()A . 该市这次考试的数学平均成绩为90分B . 分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C . 分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D . 该市这次考试的数学标准差为203. (2分)设,这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是()A .B .C . 对任意正数,D . 对任意正数,4. (2分)我校在模块考试中约有1000人参加考试,其数学考试成绩ξ~N(90,a2)(a>0,试卷满分150分),统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的0.6,则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为()A . 600B . 400C . 300D . 2005. (2分)随机变量ξ服从二项分布ξ~B(n,p),且Eξ=300,Dξ=200,则p等于()A .B . 0C . 1D .6. (2分) (2020高二下·呼和浩特期末) 某学生参加一次选拔考试,有5道题,每题10分.已知他解题的正确率为 ,若40分为最低分数线,则该生被选中的概率是()A .B .C .D .7. (2分) (2016高二下·福建期末) 已知随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),若P(ξ>2)=0.2,则P(0≤ξ≤1)=()A . 0.2B . 0.3C . 0.4D . 0.68. (2分)设服从二项分布的随机变量的期望与方差分别是15和,则n、p的值分别是().A .B .C .D .9. (2分) (2020高二下·南昌开学考) 某校约有1000人参加模块考试,其数学考试成绩服从正态分布N(90,a2)(a>0),统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的0.6,则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为()A . 600B . 400C . 300D . 20010. (2分) (2020高二下·项城期末) 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为,各成员的支付方式相互独立,设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,,,则()A . 0.7B . 0.6C . 0.4D . 0.311. (2分)已知随机变量服从正态分布,且,则()A . 0.6B . 0.4C . 0.3D . 0.212. (2分) (2016高一下·烟台期中) 如图是总体密度曲线,下列说法正确的是()A . 组距越大,频率分布折线图越接近于它B . 样本容量越小,频率分布折线图越接近于它C . 阴影部分的面积代表总体在(a,b)内取值的百分比D . 阴影部分的平均高度代表总体在(a,b)内取值的百分比二、填空题 (共6题;共6分)13. (1分) (2018高二下·长春期末) 若,则 ________.14. (1分) (2017高二下·景德镇期末) 已知随机变量X~N(10,22),定义函数Φ(k)=P(X≤k),则Φ(12)﹣Φ(6)=________.15. (1分)(2017·山东模拟) 已知随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),若P(ξ>2)=0.15,则P(0≤ξ≤1)=________.16. (1分) (2018高二下·张家口期末) 已知随机变量,且,,则 ________.17. (1分)(2017·新课标Ⅱ卷理) 一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件数,则DX=________.18. (1分) (2016高二上·枣阳期中) 高二年级某班共有60名学生,在一次考试中,其数学成绩满足正态分布,数学平均分为100分,若P(x≤80)=0.1(x表示本班学生数学分数),求分数在[100,120]的人数________三、解答题 (共4题;共40分)19. (10分)(2013·湖北理) 假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,502)的随机变量.记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0 .(1)求p0的值;(参考数据:若X~N(μ,σ2),有P(μ﹣σ<X≤μ+σ)=0.6826,P(μ﹣2σ<X≤μ+2σ)=0.9544,P (μ﹣3σ<X≤μ+3σ)=0.9974.)(2)某客运公司用A,B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每车每天往返一次,A,B两种车辆的载客量分别为36人和60人,从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆.公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队,并要求B型车不多于A型车7辆.若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的营运成本最小,那么应配备A型车、B型车各多少辆?20. (10分) (2019高二下·大庆期末) 某学校高二年级举行了由全体学生参加的一分钟跳绳比赛,计分规则如下表:每分钟跳绳个数得分1617181920年级组为了解学生的体质,随机抽取了100名学生的跳绳个数作为一个样本,绘制了如下样本频率分布直方图.(1)现从样本的100名学生跳绳个数中,任意抽取2人的跳绳个数,求两人得分之和小于35分的概率;(用最简分数表示)(2)若该校高二年级共有2000名学生,所有学生的一分钟跳绳个数近似服从正态分布,其中,为样本平均数的估计值(同一组中数据以这组数据所在区间中点值作代表).利用所得的正态分布模型,解决以下问题:(i)估计每分钟跳绳164个以上的人数(结果四舍五入到整数);(ii)若在全年级所有学生中随机抽取3人,每分钟跳绳在179个以上的人数为,求随机变量的分布列和数学期望与方差.附:若随机变量服从正态分布,则,, .21. (10分) (2020高三上·泸县期末) 某市教育部门为了了解全市高一学生的身高发育情况,从本市全体高一学生中随机抽取了100人的身高数据进行统计分析。

2020高考数学一轮复习课时分层训练69二项分布与正态分布理北师大版

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【2019最新】精选高考数学一轮复习课时分层训练69二项分布与正态分布理北师大版A组基础达标一、选择题1.设随机变量X~B,则P(X=3)等于( )A. B.316C. D.38A [X~B,由二项分布可得,P(X=3)=C·=.]2.甲、乙两地都位于长江下游,根据天气预报的记录知,一年中下雨天甲市占20%,乙市占18%,两市同时下雨占12%.则在甲市为雨天的条件下,乙市也为雨天的概率为( )A.0.6 B.0.7C.0.8 D.0.66A [将“甲市为雨天”记为事件A,“乙市为雨天”记为事件B,则P(A)=0.2,P(B)=0.18,P(AB)=0.12,故P(B|A)===0.6.]3.在如图10­8­1所示的正方形中随机投掷10 000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )图10­8­1附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 6,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954 4.B.2 718A.2 386D.4 772C.3 413C [由曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线可知题图中阴影部分的面积为P(0<X≤1)=×0.682 6=0.341 3,又题图中正方形面积为1,故它们的比值为0.341 3,故落入阴影部分的点的个数的估计值为0.341 3×10 000=3 413.故选C.] 4.两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为和,两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )A. B.512C. D.16B [设事件A:甲实习生加工的零件为一等品;事件B:乙实习生加工的零件为一等品,则P(A)=,P(B)=,所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=×+×=.]5.设随机变量X~B(2,p),Y~B(4,p),若P(X≥1)=,则P(Y≥2)的值为( )【导学号:79140374】A. B.1127C. D.1681B [因为随机变量X~B(2,p),Y~B(4,p),又P(X≥1)=1-P(X=0)=1-(1-p)2=,解得p=,所以Y~B,则P(Y≥2)=1-P(Y=0)-P(Y=1)=.]二、填空题6.(2018·青岛质检)设随机变量ξ~N(μ,σ2),且P(ξ<-3)=P(ξ>1)=0.2,则P(-1<ξ<1)=________.0.3 [由P(ξ<-3)=P(ξ>1)=0.2得P(ξ>-1)=0.5,所以P(-1<ξ<1)=0.5-0.2=0.3.]7.投掷一枚图钉,设钉尖向上的概率为p,连续掷一枚图钉3次,若出现2次钉尖向上的概率小于3次钉尖向上的概率,则p 的取值范围为________.⎝ ⎛⎭⎪⎫34,1 [设P(Bk)(k =0,1,2,3)表示“连续投掷一枚图钉,出现k 次钉尖向上”的概率,由题意得P(B2)<P(B3),即Cp2(1-p)<Cp3.∴3p2(1-p)<p3.由于0<p<1,∴<p<1.] 8.(2017·河北衡水中学质检)将一个大正方形平均分成9个小正方形,向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中),投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A ,投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B ,则P(A|B)=________.14[依题意,随机试验共有9个不同的基本结果.由于随机投掷,且小正方形的面积大小相等.所以事件B 包含4个基本结果,事件AB 包含1个基本结果. 所以P(B)=,P(AB)=. 所以P(A|B)===.] 三、解答题9.(2017·山西太原二模)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽奖规则如下:1.抽奖方案有以下两种:方案a :从装有2个红球、3个白球(仅颜色不同)的甲袋中随机摸出2个球,若都是红球,则获得奖金30元;否则,没有奖金,兑奖后将摸出的球放回甲袋中;方案b :从装有3个红球、2个白球(仅颜色不同)的乙袋中随机摸出2个球,若都是红球,则获得奖金15元;否则,没有奖金,兑奖后将摸出的球放回乙袋中.2.抽奖条件:顾客购买商品的金额满100元,可根据方案a 抽奖一次;满150元,可根据方案b 抽奖一次(例如某顾客购买商品的金额为260元,则该顾客可以根据方案a 抽奖两次或方案b 抽奖一次或方案a 、b 各抽奖一次).已知顾客A 在该商场购买商品的金额为350元.(1)若顾客A 只选择方案a 进行抽奖,求其所获奖金的期望; (2)要使所获奖金的期望值最大,顾客A 应如何抽奖?【导学号:79140375】[解] (1)按方案a抽奖一次,获得奖金的概率P==.顾客A只选择方案a进行抽奖,则其可以按方案a抽奖三次.此时中奖次数服从二项分布B~.设所得奖金为w1元,则E=3××30=9.即顾客A所获奖金的期望为9元.(2)按方案b抽奖一次,获得奖金的概率P1==.若顾客A按方案a抽奖两次,按方案b抽奖一次,则由方案a中奖的次数服从二项分布B1~,由方案b中奖的次数服从二项分布B2~,设所得奖金为w2元,则E=2××30+1××15=10.5.若顾客A按方案b抽奖两次,则中奖的次数服从二项分布B3~.设所得奖金为w3元,则E=2××15=9.结合(1)可知,E=E<E.所以顾客A应该按方案a抽奖两次,按方案b抽奖一次,才能使所获奖金的期望最大.10.(2015·四川高考)某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐了3名男生、2名女生,B中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率;(2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛,设X表示参赛的男生人数,求X的分布列和数学期望.[解] (1)由题意,参加集训的男、女生各有6名.参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为=.因此,A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1-=.(2)根据题意,X的可能取值为1,2,3.P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,所以X的分布列为因此,X的数学期望为EX=1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)=1×+2×+3×=2.B组能力提升11.设随机变量X服从二项分布X~B,则函数f(x)=x2+4x+X存在零点的概率是( )A. B.45C. D.12C [∵函数f(x)=x2+4x+X存在零点,∴Δ=16-4X≥0,∴X≤4.∵X服从X~B,∴P(X≤4)=1-P(X=5)=1-=.]12.事件A,B,C相互独立,如果P(AB)=,P(C)=,P(AB)=,则P(B)=________,P(B)=________.【导学号:79140376】1[由题意可得2解得P(A)=,P(B)=,所以P(B)=P()·P(B)=×=.]13.(2018·济南一模)2017年1月25日智能共享单车项目摩拜单车正式登陆济南,两种车型采用分段计费的方式,Mobike Lite型(Lite版)每30分钟收费0.5元(不足30分钟的部分按30分钟计算);Mobike(经典版)每30分钟收费1元(不足30分钟的部分按30分钟计算).有甲、乙、丙三人相互独立的到租车点租车骑行(各租一车一次).设甲、乙、丙不超过30分钟还车的概率分别为,,,三人租车时间都不会超过60分钟.甲、乙均租用Lite版单车,丙租用经典版单车.(1)求甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率;(2)设甲、乙、丙三人所付的费用之和为随机变量ξ,求ξ的分布列.[解] (1)由题意得,甲、乙、丙在30分钟以上且不超过60分钟还车的概率分别为,,.设甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用为事件A,则P(A)=××+××=.即甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率为.(2)ξ的所有可能取值有2,2.5,3,3.5,4.P(ξ=2)=××=;P(ξ=2.5)=××+××=;P(ξ=3)=××+××=;P(ξ=3.5)=××+××=;P(ξ=4)=××=.甲、乙、丙三人所付的租车费用之和ξ的分布列为。

2019-2020学年高中数学课时跟踪检测十六正态分布新

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课时跟踪检测十六一、题组对点训练对点练一正态曲线1.以下关于正态分布密度曲线的说法中正确的个数是( )①曲线都在x轴的上方,左右两侧与x轴无限接近,最终可与x轴相交;②曲线关于直线x=μ对称;③曲线呈现“中间高,两边低”的钟形形状;④曲线与x轴之间的面积为1.A.1 B.2C.3 D.4解析:选C 由正态分布密度曲线的特点,易知②③④说法正确,对于①,曲线与x轴不相交,①错误.2.把一正态曲线C1沿着横轴方向向右平移2个单位长度,得到一条新的曲线C2.下列说法中不正确的是( )A.曲线C2仍是正态曲线B.曲线C1,C2的最高点的纵坐标相等C.以曲线C2为概率密度曲线的总体的方差比以曲线C2为概率密度曲线的总体的方差大2D.以曲线C2为概率密度曲线的总体的均值比以曲线C1为概率密度曲线的总体的均值大2解析:选C 正态密度函数为φμ,σ(x)=12πσe-(x-μ)22σ2,x∈(-∞,+∞),正态曲线对称轴为x=μ,曲线最高点的纵坐标为φμ,σ(μ)=12πσ,所以曲线C1向右平移2个单位长度后,曲线形状没变,仍为正态曲线,且最高点的纵坐标没变,从而σ没变,所以方差没变,而平移前后对称轴变了,即μ变了,因为曲线向右平移2个单位长度,所以均值μ增大了2个单位.故选C.3.某次市教学质量检测,甲、乙、丙三科考试成绩服从正态分布,相应的正态曲线如图所示,则下列说法中正确的是( )A.三科总体的标准差相同B.甲、乙、丙三科的总体的平均数不相同C.丙科总体的平均数最小D.甲科总体的标准差最小解析:选D 由图象知甲、乙、丙三科的平均分一样,但标准差不同,σ甲<σ乙<σ丙.故选D.对点练二 正态分布下的概率计算4.已知随机变量ξ服从正态分布N (1,σ2),若P (ξ>3)=0.012,则P (-1≤ξ≤1)=( ) A .0.976 B .0.024 C .0.488D .0.048解析:选C 因为随机变量ξ服从正态分布N (1,σ2),故其正态曲线关于直线x =1对称.又P (ξ>3)=0.012,故P (ξ<-1)=0.012,因此P (-1≤ξ≤1)=12-P (ξ<-1)=0.5-0.012=0.488.5.已知随机变量X ~N (0,1),则X 在区间[-3,+∞)内取值的概率等于( ) A .0.887 4 B .0.002 6 C .0.001 3D .0.998 7解析:选D P (X ≥-3)=12P (-3≤X ≤3)+12=0.998 7.6.已知随机变量X 服从正态分布N (2,σ2),P (X <4)=0.84,则P (X ≤0)等于( ) A .0.16 B .0.32 C .0.68D .0.84解析:选A 由X ~N (2,σ2),得正态曲线的对称轴为直线x =2,如图所示,可知P (X ≤0)=P (X ≥4)=1-P (X <4)=1-0.84=0.16.故选A.7.在某项测量中,测量结果X 服从正态分布N (1,σ2)(σ>0),若X 在(0,1]内取值的概率为0.4,则X 在(0,2]内取值的概率为________.解析:∵X ~N (1,σ2),且P (0<X ≤1)=0.4,∴P (0<X ≤2)=2P (0<X ≤1)=0.8. 答案:0.8对点练三 正态分布的应用8.已知一次考试共有60名同学参加,考生的成绩X ~N (110,25).据此估计,大约应有57人的分数在区间( )A .(90,110]内B .(95,125]内C .(100,120]内D .(105,115]内解析:选C5760=0.95,故可得大约应有57人的分数在区间(μ-2σ,μ+2σ]内,即在区间(110-2×5,110+2×5]内.9.某种品牌摄像头的使用寿命ξ(单位:年)服从正态分布,且使用寿命不少于2年的概率为0.8,使用寿命不少于6年的概率为0.2.某校在大门口同时安装了两个该品牌的摄像头,则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为________.解析:由题意知P (ξ≥2)=0.8,P (ξ≥6)=0.2,∴P (ξ<2)=P (ξ≥6)=0.2.∴正态曲线的对称轴为直线x =4,即P (ξ≥4)=12,即每个摄像头在4年内能正常工作的概率为12,∴两个该品牌的摄像头在4年内都能正常工作的概率为12×12=14.答案:1410.工厂制造的某零件尺寸X 服从正态分布N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4,19,问在一次正常试验中,取10 000个零件时,不属于区间(3,5)这个尺寸范围内的零件大约有多少个?解:不属于区间(3,5)的概率为P (X ≤3)+P (X ≥5)=1-P (3<X <5),因为X ~N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4,19,所以μ=4,σ=13.所以1-P (3<X <5)=1-P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4-3×13<X <4+3×13=1-0.997 4=0.002 6. 从而10 000×0.002 6=26,所以不属于(3,5)这个尺寸的零件大约有26个. 二、综合过关训练1.一批电阻的电阻值X (Ω)服从正态分布N (1 000,52),现从甲、乙两箱出厂成品中各随机抽取一个电阻,测得电阻值分别为1 011Ω和982 Ω,可以认为( )A .甲、乙两箱电阻均可出厂B .甲、乙两箱电阻均不可出厂C .甲箱电阻可出厂,乙箱电阻不可出厂D .甲箱电阻不可出厂,乙箱电阻可出厂解析:选C ∵X ~N (1 000,52),∴μ=1 000,σ=5,∴μ-3σ=1 000-3×5=985,μ+3σ=1 000+3×5=1 015.∵1 011∈(985,1 015),982∉(985,1 015), ∴甲箱电阻可出厂,乙箱电阻不可出厂.2.若随机变量X 服从正态分布,其正态曲线上的最高点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫10,12,则该随机变量的方差等于( )A .10B .100 C.2πD.2π解析:选C 由正态分布密度曲线上的最高点为⎝ ⎛⎭⎪⎫10,12知12π·σ=12∴D (X )=σ2=2π.3.为了解某地区高三男生的身体发育状况,抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况,抽查结果表明他们的体重X (kg)服从正态分布N (μ,22),且正态分布密度曲线如图所示.若体重大于58.5 kg 小于等于62.5 kg 属于正常情况,则这1 000名男生中属于正常情况的人数是( )A .997B .954C .819D .683解析:选D 由题意,可知μ=60.5,σ=2,故P (58.5<X ≤62.5)=P (μ-σ<X ≤μ+σ)=0.682 6,从而属于正常情况的人数是1 000×0.682 6≈683.4.已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N (0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )A .4.56%B .13.59%C .27.18%D .31.74%解析:选B P (-3<ξ<3)=68.26%,P (-6<ξ<6)=95.44%,则P (3<ξ<6)=12×(95.44%-68.26%)=13.59%.5.已知正态总体的数据落在区间(-3,-1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等,则这个正态总体的均值为________.解析:正态总体的数据落在这两个区间的概率相等说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等.另外,因为区间(-3,-1)和区间(3,5)的长度相等,说明正态曲线在这两个区间上是对称的.因为区间(-3,-1)和区间(3,5)关于x =1对称,所以正态总体的均值为1.答案:16.某一部件由3个元件按如图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作.设3个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布N (1 000,502),且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________.解析:由题意得,3个电子元件的使用寿命服从正态分布N (1 000,502),则每个元件的使用寿命超过1 000小时的概率均为12,则元件1和2的使用寿命至少有一个超过1 000小时的概率为1-12×12=34,故该部件使用寿命超过1 000小时的概率为34×12=38.答案:387.已知某地农民工年均收入ξ服从正态分布,其密度函数图象如图所示.(1)写出此地农民工年均收入的正态分布密度函数表达式;(2)求此地农民工年均收入在8 000~8 500元的人数百分比.解:设农民工年均收入ξ~N(μ,σ2),结合图象可知μ=8 000,σ=500.(1)此时农民工年均收入的正态分布密度函数表达式P(x)=12πσe-(x-μ)22σ2=15002πe-(x-8 000)2500 000,x∈(-∞,+∞).(2)因为P(7 500<ξ≤8 500)=P(8 000-500<ξ≤8 000+500)=0.682 6.所以P(8 000<ξ≤8 500)=12P(7 500<ξ≤8 500)=0.341 3.即此地农民工年均收入在8 000~8 500元的人数占总体的34.13%.8.在某次数学考试中,考生的成绩X服从正态分布X~N(90,100).(1)试求考试成绩X位于区间(70,110]内的概率是多少?(2)若这次考试共有2 000名考生,试估计考试成绩位于区间(80,100]内的考生大约有多少人?解:∵X~N(90,100),∴μ=90,σ=100=10.(1)由于正态变量在区间(μ-2σ,μ+2σ]内取值的概率是0.954 4,而在该正态分布中,μ-2σ=90-2×10=70,μ+2σ=90+2×10=110,于是考试成绩X位于区间(70,110]内的概率就是0.954 4.(2)由μ=90,σ=10,得μ-σ=80,μ+σ=100.由于正态变量在区间(μ-σ,μ+σ]内取值的概率是0.682 6,所以考试成绩X位于区间(80,100]内的概率是0.682 6.一共有2 000名考生,所以考试成绩在(80,100]内的考生大约有2 000×0.682 6≈1 365(人).。

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课时跟踪检测(六十六) 二项分布与正态分布1.用电脑每次可以自动生成一个(0,1)内的实数,且每次生成每个实数都是等可能的,若用该电脑连续生成3个实数,则这3个实数都大于13的概率为( )A.127 B.23 C.827D.49解析:选C 由题意可得,用该电脑生成1个实数,且这个实数大于13的概率为P =1-13=23,则用该电脑连续生成3个实数,这3个实数都大于13的概率为⎝⎛⎭⎫233=827.故选C. 2.(2019·汕头模拟)甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛,甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为23和34,甲、乙两人是否获得一等奖相互独立,则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为( )A.34B.23C.57D.512解析:选D 根据题意,恰有一人获得一等奖就是甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得,则所求概率是23×⎝⎛⎭⎫1-34+34×⎝⎛⎭⎫1-23=512,故选D. 3.(2018·厦门二模)袋中装有2个红球,3个黄球,有放回地抽取3次,每次抽取1球,则3次中恰有2次抽到黄球的概率是( )A.25 B.35 C.18125D.54125解析:选D 袋中装有2个红球,3个黄球,有放回地抽取3次,每次抽取1球,每次取到黄球的概率为35,∴3次中恰有2次抽到黄球的概率是P =C 23⎝⎛⎭⎫352⎝⎛⎭⎫1-35=54125. 4.(2018·唐山二模)甲、乙等4人参加4×100米接力赛,在甲不跑第一棒的条件下,乙不跑第二棒的概率是( )A.29 B.49 C.23D.79解析:选D 甲不跑第一棒共有A 13·A 33=18种情况,甲不跑第一棒且乙不跑第二棒共有两类:(1)乙跑第一棒,共有A 33=6种情况;(2)乙不跑第一棒,共有A 12·A 12·A 22=8种情况,∴甲不跑第一棒的条件下,乙不跑第二棒的概率为6+818=79.故选D.5.(2019·福建四校联考)某校在高三第一次模拟考试中约有1 000人参加考试,其数学考试成绩X 近似服从正态分布N (100,a 2)(a >0),试卷满分150分,统计结果显示数学考试成绩不及格(低于90分)的人数占总人数的110,则此次数学考试成绩在100分到110分之间的人数约为( )A .400B .500C .600D .800解析:选A 由题意得,P (X ≤90)=P (X ≥110)=110,所以P (90≤X ≤110)=1-2×110=45,所以P (100≤X ≤110)=25,所以此次数学考试成绩在100分到110分之间的人数约为 1000×25=400.故选A.6.(2018·河北“五个一名校联盟”二模)某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁,已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12,两次闭合后都出现红灯的概率为15,则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为( )A.110 B.15 C.25D.12解析:选C 设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A ,“第二次闭合后出现红灯”为事件B ,则由题意可得P (A )=12,P (AB )=15,则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合出现红灯的概率是P (B |A )=P (AB )P (A )=1512=25.故选C.7.(2019·淄博一模)设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X ,且X ~N (800,502),则一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为( )(参考数据:若X ~N (μ,σ2),有P (μ-σ<X ≤μ+σ)=0.682 6,P (μ-2σ<X ≤μ+2σ)=0.954 4,P (μ-3σ<X ≤μ+3σ)=0.997 4 )A .0.977 2B .0.682 6C .0.997 4D .0.954 4解析:选A ∵X ~N (800,502),∴P (700≤X ≤900)=0.954 4,∴P (X >900)=1-0.954 42=0.022 8,∴P (X ≤900)=1-0.022 8=0.977 2.故选A.8.(2019·茂名一模)设X ~N (1,1),其正态分布密度曲线如图所示,那么向正方形ABCD 中随机投掷10 000个点,则落入阴影部分的点的个数的估计值是( )(注:若X ~N (μ,σ2),则P (μ-σ<X <μ+σ)=68.26%,P (μ-2σ<X <μ+2σ)=95.44%) A .7 539 B .6 038 C .7 028D .6 587解析:选D ∵X ~N (1,1),∴μ=1,σ=1.∵P (μ-σ<X <μ+σ)=68.26%,∴P (0<X <2)=68.26%,则P (1<X <2)=34.13%,∴阴影部分的面积为1-0.341 3=0.658 7.∴向正方形ABCD 中随机投掷10 000个点,则落入阴影部分的点的个数的估计值是10 000×0.658 7=6 587.故选D.9.(2019·珠海一模)夏秋两季,生活在长江口外浅海域的中华鱼回游到长江,历经三千多公里的溯流博击,回到金沙江一带产卵繁殖,产后待幼鱼长大到15厘米左右,又携带它们旅居外海.一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼鱼苗,该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15,雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.05,若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟,则其能成功溯流产卵繁殖的概率为( )A .0.05B .0.007 5C .13D .16解析:选C 设事件A 为鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域长成熟,事件B 为该雌性个体成功溯流产卵繁殖,由题意可知P (A )=0.15,P (AB )=0.05,∴P (B |A )=P (AB )P (A )=0.050.15=13.故选C. 10.(2019·江西名校联考)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点,则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (-1,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )附:若X ~N (μ,σ2),则P (μ-σ<X <μ+σ)=0.682 6, P (μ-2σ<X <μ+2σ)=0.954 4. A .1 193 B .1 359 C .2 718D .3 413解析:选B 对于正态分布N (-1,1),可知μ=-1,σ=1,正态曲线关于直线x =-1对称,故题图中阴影部分的面积为12×[P (-3<X <1)-P (-2<X <0)]=12×[P (μ-2σ<X <μ+2σ)-P (μ-σ<X <μ+σ)]=12×(0.954 4-0.682 6)=0.135 9,所以点落入题图中阴影部分的概率P =0.135 91=0.135 9, 投入10 000个点,落入阴影部分的个数约为10 000×0.135 9=1 359.故选B.11.(2019·南昌模拟)口袋中装有大小形状相同的红球2个,白球3个,黄球1个,甲从中不放回地逐一取球,已知第一次取得红球,则第二次取得白球的概率为________.解析:口袋中装有大小形状相同的红球2个,白球3个,黄球1个,甲从中不放回地逐一取球,设事件A 表示“第一次取得红球”,事件B 表示“第二次取得白球”,则P (A )=26=13,P (AB )=26×35=15,∴第一次取得红球后,第二次取得白球的概率为P (B |A )=P (AB )P (A )=1513=35. 答案:3512.(2019·郑州一中月考)科目二,又称小路考,是机动车驾驶证考核的一部分,是场地驾驶技能考试科目的简称.假设甲通过科目二的概率均为34,且每次考试相互独立,则甲第3次考试才通过科目二的概率为________.解析:甲第3次考试才通过科目二,则前2次都未通过,第3次通过,故所求概率为⎝⎛⎭⎫1-342×34=364. 答案:36413.(2019·合肥名校联考)已知随机变量X ~N (1,σ2),若P (X >0)=0.8,则P (X ≥2)=________.解析:随机变量X 服从正态分布N (1,σ2),∴正态曲线关于x =1对称,∴P (X ≥2)=P (X ≤0)=1-P (X >0)=0.2.答案:0.214.三支球队中,甲队胜乙队的概率为0.4,乙队胜丙队的概率为0.5,丙队胜甲队的概率为0.6,比赛顺序是:第一局是甲队对乙队,第二局是第一局的胜者对丙队,第三局是第二局的胜者对第一局的败者,第四局是第三局的胜者对第二局的败者,则乙队连胜四局的概率为________.解析:设乙队连胜四局为事件A ,有下列情况:第一局中乙胜甲(A 1),其概率为1-0.4=0.6;第二局中乙胜丙(A 2),其概率为0.5;第三局中乙胜甲(A 3),其概率为0.6;第四局中乙胜丙(A 4),其概率为0.5,因各局比赛中的事件相互独立,故乙队连胜四局的概率为:P (A )=P (A 1A 2A 3A 4)=0.62×0.52=0.09.答案:0.0915.九节虾的真身是虎斑虾,虾身上有一深一浅的横向纹路,煮熟后有明显的九节白色花纹,肉味鲜美.某酒店购进一批九节虾,并随机抽取了40只统计质量,得到的结果如下表所示:(1)若购进这批九节虾35 000 g,且同一组数据用该组区间的中点值代表,试估计这批九节虾的数量(所得结果保留整数);(2)以频率估计概率,若在本次购买的九节虾中随机挑选4只,记质量在[5,25)间的九节虾的数量为X ,求X 的分布列.解:(1)由表中数据可以估计每只九节虾的质量为140×(4×10+12×20+11×30+8×40+5×50)=29.5(g),因为35 000÷29.5≈1 186(只), 所以这批九节虾的数量约为1 186只.(2)由表中数据知,任意挑选1只九节虾,质量在[5,25)间的概率p =4+1240=25,X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,则P (X =0)=⎝⎛⎭⎫354=81625, P (X =1)=C 14×25×⎝⎛⎭⎫353=216625, P (X =2)=C 24×⎝⎛⎭⎫252×⎝⎛⎭⎫352=216625,P (X =3)=C 34×⎝⎛⎭⎫253×35=96625, P (X =4)=⎝⎛⎭⎫254=16625. 所以X 的分布列为16.(2019·惠州模拟)某学校为了丰富学生的课余生活,以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛,随机抽取一首,背诵正确加10分,背诵错误减10分,且背诵结果只有“正确”和“错误”两种.其中某班级学生背诵正确的概率p =23,记该班级完成n 首背诵后的总得分为S n .(1)求S 6=20且S i ≥0(i =1,2,3)的概率; (2)记ξ=|S 5|,求ξ的分布列及数学期望.解:(1)当S 6=20时,即背诵6首后,正确的有4首,错误的有2首.由S i ≥0(i =1,2,3)可知,若第一首和第二首背诵正确,则其余4首可任意背诵正确2首;若第一首背诵正确,第二首背诵错误,第三首背诵正确,则其余3首可任意背诵正确2首. 则所求的概率P =⎝⎛⎭⎫232×C 24⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫132+23×13×23×C 23⎝⎛⎭⎫232×13=1681. (2)由题意知ξ=|S 5|的所有可能的取值为10,30,50,又p =23,∴P (ξ=10)=C 35⎝⎛⎭⎫233×⎝⎛⎭⎫132+C 25⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫133=4081, P (ξ=30)=C 45⎝⎛⎭⎫234×⎝⎛⎭⎫131+C 15⎝⎛⎭⎫231×⎝⎛⎭⎫134=3081, P (ξ=50)=C 55⎝⎛⎭⎫235×⎝⎛⎭⎫130+C 05⎝⎛⎭⎫230×⎝⎛⎭⎫135=1181, ∴ξ的分布列为∴E (ξ)=10×4081+30×3081+50×1181=1 85081. 17.(2018·濮阳二模)近年来“双十一”已成为中国电子商务行业的年度盛事,并且逐渐影响到国际电子商务行业.某商家为了准备2018年“双十一”的广告策略,随机调查了1 000名客户在2017年“双十一”前后10天内网购所花时间T (单位:时),并将调查结果绘制成如图所示的频率分布直方图.由频率分布直方图可以认为,这10天网购所花的时间T 近似服从N (μ,σ2),其中μ用样本平均值代替,σ2=0.24.(1)计算μ,并利用该正态分布求P (1.51<T <2.49).(2)利用由样本统计获得的正态分布估计整体,将这10天网购所花时间在(2,2.98)小时内的人定义为目标客户,对目标客户发送广告提醒.现若随机抽取10 000名客户,记X 为这10 000人中目标客户的人数.(ⅰ)求EX ;(ⅱ)问:10 000人中目标客户的人数X 为何值的概率最大? 附:若随机变量Z 服从正态分布N (μ,σ2),则P (μ-σ<Z <μ+σ)=0.682 6,P (μ-2σ<Z <μ+2σ)=0.954 4,P (μ-3σ<Z <μ+3σ)=0.997 4.0.24≈0.49.解:(1)μ=0.4×(0.050×0.8+0.225×1.2+0.550×1.6+0.825×2.0+0.600×2.4+0.200×2.8+0.050×3.2)=2,从而T 服从N (2,0.24), 又σ=0.24≈0.49,从而P (1.51<T <2.49)=P (μ-σ<T <μ+σ)=0.682 6. (2)(ⅰ)任意抽取1名客户,该客户是目标客户的概率为P (2<T <2.98)=P (μ<T <μ+2σ) =12P (μ-2σ<T <μ+2σ)=12×0.954 4=0.477 2. 由题意知X 服从B (10 000,0.477 2), 所以EX =10 000×0.477 2=4 772. (ⅱ)X 服从B (10 000,0.477 2),P (X =k )=C k 10 0000.477 2k (1-0.477 2)10 000-k = C k 10 0000.477 2k ·0.522 810 000-k (k =0,1,2,…,10 000). 设当X =k (k ≥1,k ∈N)时概率最大,则有⎩⎪⎨⎪⎧P (X =k )>P (X =k +1),P (X =k )>P (X =k -1),得⎩⎪⎨⎪⎧0.522 8C k 10 000>0.477 2C k +110 000,0.477 2C k 10 000>0.522 8C k -110 000, 解得k =4 772.故10 000人中目标客户的人数为4 772的概率最大.。

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