第6章 数字控制器的连续化设计

第6章 数字控制器的连续化设计

6.1 数字控制器的连续化设计步骤 6.2 数字PID控制器的设计 6.3 数字PID控制器参数整定


6.1 数字控制器的连续化设计步骤
1. 设计假想的连续控制器
D(s)
已知 G ( s ) 来求 D( s )的方法有很多种，比如频率特性法、根 轨迹法等。控制系统的设计问题的三个基本要素为：模型、 指标和容许控制。
2．选择采样周期 T 其频率特性为：
1 e sT 零阶保持器的传递函数为 H ( s ) s
1 e H ( j ) j sin
jT

2e
j T
2
(e
j T
2
e
j T
2
)
2j sin
T j T 2 2 2 T e T T T 2 2 2
从上式可以看出，零阶保持器将对控制信号产生附加相移(滞 后)。对于小的采样周期，可把零阶保持器近似为： ( sT )2 1 1 sT T s 1 e sT T 2 H ( s) T (1 s ) Te 2 s s 2
T
T
3．将 D(s)离散化为 D(z)
T
s
推导2：用一阶前向差分近似代替微分。设微分控制规律为 de(t ) ，两边求拉氏变换后，可推导出控制器为 u (t )
dt
D(s) U (s) s E (s)
z 1 T
采用前向差分近似可得：
u (k ) e(k 1) e(k ) T
令 n k 1 ，则
u(n 1) e(n) e(n 1) T
把它变换为一个不稳定的离散控制系统。
4．设计由计算机实现的控制算法
数字控制器D(z)的一般形式为下式
U ( z ) b0 b1 z 1 bm z m D( z ) E ( z ) 1 a1 z 1 an z n
U ( z) (a1 z 1 a2 z 2 an z n )U ( z) (b0 b1 z 1 bm z m )E( z)
D( z ) D( s )
s
推导2：从数值积分的梯形法对应得到。设积分控制规律为：
u(t ) e(t )dt
两边求拉氏变换后可推导得出控制器为：
D( s ) U ( s) 1 E ( s) s
t 0
当用梯形法求积分运算可得算式如下：
T u(k ) u(k 1) e(k ) e(k 1) 2
混叠效应。
② D(s)稳定，则相应的D(z)也稳定。 ③ D(z)的频率响应在低频段与D(s)的频率响应相近，而在 高频段相对于D(s)的频率响应有严重畸变。 ④ 是一种近似的变换方法。
⑤ 适用于对象的分子和分母已展开成多项式的形式。
2) 前向差分法
推导1：利用级数展开可将 z esT 写成以下形式， z esT 1 sT 1 sT ，由上式可得 s z 1 , D ( z ) D ( s )
上式两边求Z变换可得： E z z 1 E Z 1 z U (z)
T
可推导出数字控制器为：
D( z ) U ( z) z 1 D( s ) E( z) T
s z 1 T
s平面与z平面的映射关系：前向差分法置换公式
2 2
s
把 s σ j 代入，取模的平方有： z 1 T T 令 z 1 ，则对应到s平面上是一个圆，有：1 1 T 2 T 2 即当D(s)的极点位于左半平面以(-1/T,0)为圆心，1/T为半径 的圆内，D(z)才在单位圆内，才稳定。 前向差分法特点：s平面左半平面的极点可能映射到z平面单 位圆外，因而用这种方法所进行的z变换可能是不稳定的，实际 应用中一般不采用此方法。
1) 双线性变换法
双线性变换法也称梯形法或塔斯廷（Tustin）法，指s与z之间 互为线性变换。 推导1：将 z e 级数展开得到：
sT
z e sT
e e
sT 2
sT 2
sT 1 2 sT 1 1 2 1
sT 2 sT 2
2 z 1 T z 1
s
2 z 1 T z 1
2
z 1 T
3) 后向差分法
利用级数展开还可将 z e
z 1 D( z ) D (s ) 即s ， Tz
s z 1 Tz
sT
写成以下形式
Z esT
1 e sT

1 1 sT
后向差分法将s的左半平面映射到z平面内半径为1/2的圆，因 此如果D(s)稳定，则D(z)稳定。 总结：双线性变换的优点在于，它把左半s平面转换到单位圆 内。如果使用双线性变换或后向差分法，一个稳定的连续控制 系统在变换之后仍将是稳定的，可是使用前向差分法，就可能
1 Ts / 2 (1 Tσ/2) jHale Waihona Puke Baidu / 2 2 z 1 Ts / 2 (1 Tσ/2) jT / 2
2
2
(1 Tσ/2)2 (T / 2)2 (1 Tσ/2)2 (T / 2)2
双线性变换的特点： ① 将整个s左半平面变换为z平面单位圆内，因此没有频率
上式两边求Z变换后可推导得出数字控制器为：
D( z ) U (z) 1 D( s ) 2 z 1 E(z) T z 1
s 2 z 1 T z 1
s平面与z平面的映射关系：
Jω S平面 Z平面 Im
0
σ
0
1
Rez
双线性变换法置换公式： 把 s σ j 代入有：
sT 2 z sT 1 2 1
第6章 数字控制器的连续化设计
对于图6-1所示离散——连续信号混合系统的分析，存在 着“离散化”与“连续化”两种不同的设计方法。 数字控制器的连续化设计是忽略控制回路中所有的零阶 保持器和采样器，在S域中按连续系统进行初步设计，求出 连续控制器，然后通过某种近似，将连续控制器离散化为 数字控制器，并由计算机来实现。用于采样周期短、控制 算法简单的系统。