2020-2021宁波市高一数学上期末试卷(带答案)
浙江省宁波市2020-2021学年高一第一学期英语期末试题(word版含答案)
宁波市2020学年第一学期期末考试高一英语试卷选择题部分第一部分听力（共两节，满分30分）做题时，先将答案标在试卷上.录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题纸上。
第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出战佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1. How did the man go to the village?A. By car.B. By train.C. By bike.2. Where arc the speakers?A. In the office.B. At home.C. At a restaurant.3. At what time does Mary's cafe close now?A.5： 00.B.6: 00.C.7： 00.4. What are the speakers talking about?A. A presentation.B. A writer.C. A novel.5. What does the woman think of her job?A. Difficult.B. Interesting.C. Annoying.第二节（共15小题：每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，井标在试卷的相应位置。
听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟：听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。
每段对话或独白读两遍。
听下面一段对话，回答第6和7题。
6. What relation is the woman to the man?A. His doctor.B. His mother.C. His PE teacher.7. What does the woman advise the man to do?A. Take regular tests.B. Join a health club.C. Get lots of fresh air.听下面一段对话，回答第8和9题。
2020-2021学年浙江省宁波市高一(上)期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年浙江省宁波市高一（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．集合U＝{1，2，3，4，5}，S＝{1，4，5}，T＝{2，3，4}，则S∩（∁U T）＝（）A．{1，5}B．{1}C．{1，4，5}D．{1，2，3，4，5} 2．“a＞0”是“函数f（x）＝ax+b（a≠0）单调递增”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．已知某扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为（）A．B．πC．D．4．已知非零实数a，b满足a＞b，则（）A．B．C．2﹣a＜2﹣b D．ln（|a|）＞ln（|b|）5．已知函数，则＝（）A．﹣2B．﹣1C．D．16．函数f（x）＝的大致图象是（）A．B．C．D．7．已知函数f（x）＝4ax2+4x﹣1，∀x∈（﹣1，1），f（x）＜0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．a＜﹣1C．D．a≤﹣18．已知函数f（x）＝log a（x∈（r，a+2））的值域为（1，+∞），则（）A．B．C．D．二、选择题（共4小题）.9．下列选项不正确的是（）A．既是奇函数又是偶函数的函数一定是f（x）＝0（x∈R）B．函数在定义域内是减函数C．所有的周期函数一定有最小正周期D．函数f（x）＝e lnx和函数有相同的定义域与值域10．如图所示的某池塘中的浮萍蔓延的面积y（m2）与时间t（月）的关系为：y＝a t．有以下几个判断，正确的是（）A．a＝2B．浮萍从5m2蔓延到15m2只需要经过1.5个月C．在第6个月，浮萍面积超过30m2D．若浮萍蔓延到2m2，4m2，8m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1+t2＝t311．根据已给数据：x 1.5 1.53125 1.5625 1.625 1.753x的近似值 5.196 5.378 5.565 5.961 6.839在精确度为0.1的要求下，方程3x＝x+4的一个近似解可以为（）A．﹣1B．1.5C．1.562D．1.712．已知f（x）＝sin2x+sin2（x+α）+sin2（x+β），其中α，β为参数，若对∀x∈R，f（x）恒为定值，则下列结论中正确的是（）A．B．f（x）＝2C．α+β＝πD．满足题意的一组α，β可以是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知sinα＝，则sin（α+β）＝．14．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜），其部分图象如图所示，则f（x）＝．15．已知a，b都是正数，若a+b+ab＝3，则a+b的最小值为．16．已知1＜a＜4，函数f（x）＝x+，使得f（x1）f （x2）≥80，则a的取值范围．四、解答题（共6小题）.17．（Ⅰ）求值：若x log32＝1，求2x+2﹣x的值；（Ⅱ）化简：．18．已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{x|x2+4mx﹣5m2＜0}，其中m∈R．（Ⅰ）若B＝{x|﹣5＜x＜1}，求实数m的值；（Ⅱ）已知命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q的充分条件，且m＞0，求实数m的取值范围．19．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在射线y＝2x（x≥0）上．（Ⅰ）求cos2α的值；（Ⅱ）若角β满足tan（2α﹣β）＝1，求tan（α﹣β）的值．20．已知函数f（x）＝sin x cos x+cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期，并写出函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再把图象向右平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，求满足g（x）≥1的实数x的集合．21．为了预防某流感病毒，某学校对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含药量y（单位：毫克）随时间x（单位：h）的变化情况如图所示，在药物释放的过程中，y与x成正比：药物释放完毕后，y与x的函数关系式为（a为常数），根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）写出从药物释放开始，y与x之间的函数关系式．（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室学习，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？22．已知函数f（x）＝x2+（x﹣1）|x﹣a|．（Ⅰ）若a＝1，解不等式f（x）≤1；（Ⅱ）若函数f（x）在[﹣2，2]上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅲ）记函数f（x）在[﹣2，2]上最大值为g（a），求g（a）的最小值．参考答案一、选择题（共8小题）.1．集合U＝{1，2，3，4，5}，S＝{1，4，5}，T＝{2，3，4}，则S∩（∁U T）＝（）A．{1，5}B．{1}C．{1，4，5}D．{1，2，3，4，5}解：集合U＝{1，2，3，4，5}，S＝{1，4，5}，T＝{2，3，4}，所以∁U T＝{1，5}，所以S∩（∁U T）＝{1，5}．故选：A．2．“a＞0”是“函数f（x）＝ax+b（a≠0）单调递增”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解：对于一次函数f（x）＝ax+b，（a≠0），若函数f（x）单调递增，则a＞0，反之，“a＞0”能推出“函数f（x）＝ax+b单调递增”，故“a＞0”是“函数f（x）＝ax+b（a≠0）单调递增”的充分必要条件，故选：B．3．已知某扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为（）A．B．πC．D．解：∵扇形的圆心角α为，弧长l为，∴扇形的半径r＝＝2，∴扇形的面积S＝lr＝×2×＝．故选：A．4．已知非零实数a，b满足a＞b，则（）A．B．C．2﹣a＜2﹣b D．ln（|a|）＞ln（|b|）解：对于A，取a＝，b＝，可得a+＝，b+＝，a+＜b+，故A错误；对于B，若a＞0＞b，则＞，故B错误；对于C，由a＞b，可得﹣a＜﹣b，所以2﹣a＜2﹣b，故C正确；对于D，取a＝，b＝﹣2，则ln（|a|）＜ln（|b|），故D错误．故选：C．5．已知函数，则＝（）A．﹣2B．﹣1C．D．1解：因为函数，所以，故＝f（﹣1）＝（﹣1）2＝1．故选：D．6．函数f（x）＝的大致图象是（）A．B．C．D．解：函数的定义域为{x|x≠0}，f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除D，f（1）＝0，排除A，B，故选：C．7．已知函数f（x）＝4ax2+4x﹣1，∀x∈（﹣1，1），f（x）＜0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．a＜﹣1C．D．a≤﹣1解：当a＝0时，f（x）＝4x﹣1＜0，解得，故当x＝时，f（x）＞0，故不符合题意；当a＞0时，则有，无解；当a＜0时，则有①，或②，或△＝16+16a＜0③，解得①无解，②无解，③a＜﹣1，故a＜﹣1，综上所述，实数a的取值范围是a＜﹣1．故选：B．8．已知函数f（x）＝log a（x∈（r，a+2））的值域为（1，+∞），则（）A．B．C．D．解：令，因为函数h（x）在（r，a+2）上单调递增，所以，当a＞1时，函数f（x）在（r，a+2）上单调递增，此时值域不可能为（1，+∞），当0＜a＜1时，函数f（x）在（r，a+2）上单调递减，要使得值域为（1，+∞），则有，解得r＝1，．故选：D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．下列选项不正确的是（）A．既是奇函数又是偶函数的函数一定是f（x）＝0（x∈R）B．函数在定义域内是减函数C．所有的周期函数一定有最小正周期D．函数f（x）＝e lnx和函数有相同的定义域与值域解：对于A，若y＝f（x）既是奇函数，又是偶函数，由定义可得f（x）＝0，但不一定x∈R，只要定义域关于原点对称即可，故A错误；对于B，函数的减区间为（﹣∞，0），（0，+∞），但函数在定义域内不是减函数，故B错误；对于C，若一个函数是周期函数，那么它不一定有最小正周期，例如常数函数f（x）＝1是周期函数，但无最小正周期，故C错误；对于D，函数f（x）＝e lnx定义域为（0，+∞），值域为（0，+∞），函数定义域为（0，+∞），值域为（0，+∞），故D正确．故选：ABC．10．如图所示的某池塘中的浮萍蔓延的面积y（m2）与时间t（月）的关系为：y＝a t．有以下几个判断，正确的是（）A．a＝2B．浮萍从5m2蔓延到15m2只需要经过1.5个月C．在第6个月，浮萍面积超过30m2D．若浮萍蔓延到2m2，4m2，8m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1+t2＝t3解：由题意，浮萍蔓延的面积y（m2）与时间（t月）的关系：y＝a t（a＞0且a≠1），由函数图象可知函数过点（1，2），∴a1＝2，a＝2，故A正确；函数的解析式为：y＝2t，由，得t1＝log25，由，得t2＝log215，而t2﹣t1＝log215﹣log25＝log23＝＞，故B错误；当t＝5 时，y＝26＝64＞30，故第6个月时，浮萍的面积超过30m2，故C正确；由，，，得t1＝1，t2＝2，t3＝6，则t1+t2＝t3成立，故D正确．故选：ACD．11．根据已给数据：x 1.5 1.53125 1.5625 1.625 1.753x的近似值 5.196 5.378 5.565 5.961 6.839在精确度为0.1的要求下，方程3x＝x+4的一个近似解可以为（）A．﹣1B．1.5C．1.562D．1.7解：令f（x）＝3x﹣x﹣4，由已知表格中的数据，可得：f（1.5）＝5.196﹣1.5﹣4＝﹣0.304＜0，f（1.53125）＝5.378﹣1.53125﹣4＝﹣0.15325＜0，f（1.5625）＝5.565﹣1.5625﹣4＝0.0025＞0，f（1.625）＝5.961﹣1.625﹣4＝0.336＞0，f（1.75）＝6.839﹣1.75﹣4＝1.089＞0．∵精确度为0.1，而f（1.5）•f（1.5625）＜0，且|1.5625﹣1.5|＝0.0625＜0.1，f（1.5）•f（1.625）＜0，且|1.625﹣1.5|＝0.125＞0.1，f（1.53125）•f（1.625）＜0，且|1.625﹣1.53125|＝0.09375＜0.1，f（1.53125）•f（1.75）＜0，且|1.75﹣1.53125|＝0.21875＞0.1，∴[1.5，1.625]内的任何一个数，都可以看作是方程3x＝x+4的一个近似解．结合选项可知，B、C成立．故选：BC．12．已知f（x）＝sin2x+sin2（x+α）+sin2（x+β），其中α，β为参数，若对∀x∈R，f（x）恒为定值，则下列结论中正确的是（）A．B．f（x）＝2C．α+β＝πD．满足题意的一组α，β可以是解：＝，由题意，，两式平方相加可得，所以或．当时，2α﹣2β＝符合题意，故选项A，D正确，B，C错误．故选：AD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知sinα＝，则sin（α+β）＝．解：sinα＝，所以cosα＝＝＝，sinβ＝＝＝，所以sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ＝×（﹣）+×＝．故答案为：．14．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜），其部分图象如图所示，则f（x）＝2sin（x+）．解：由图象可知A＝2，＝7﹣3＝4，所以T＝8，所以ω＝＝，所以f（x）＝2sin（x+φ），由五点作图法可得×3+φ＝π，解得φ＝，所以f（x）的解析式为f（x）＝2sin（x+）．故答案为：2sin（x+）．15．已知a，b都是正数，若a+b+ab＝3，则a+b的最小值为2．解：∵a、b都为正数且满足a+b+ab＝3，∴a+b+≥3等号当a＝b时成立．∴（a+b）2+4（a+b）﹣12≥0∴a+b≥2或a+b≤﹣6（舍）a+b的最小值为2故答案为216．已知1＜a＜4，函数f（x）＝x+，使得f（x1）f （x2）≥80，则a的取值范围．解：f′（x）＝1﹣＝，令f′（x）＝0，得x＝±3，所以在（1，3）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，在（3，4）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，f（1）＝10，f（4）＝6.25，f（3）＝6，若∃x1∈[1，a]，x2∈[a，4]，使得f（x1）f（x2）≥80，只需x1∈[1，a]，x2∈[a，4]，使得[f（x1）f（x2）]max≥80，而f（x1）max＝f（1）＝10，所以f（x2）max≥8，过点B作BC⊥y轴，与函数f（x）的图象交于点C，令x+＝6.25，解得x＝4或2.25，所以当x∈[2.25，4]时，f（x）∈[6，6.25]，所以x2∈（1，2.25），所以a∈（1，2.25），才能使得x2∈[a，4]时，f（x2）max≥8，即f（a）≥8，所以a+≥8，解得a≥4+（舍去）或a≤4﹣，所以1＜a≤4﹣，所以实数a的取值范围为（1，4﹣]，故答案为：（1，4﹣]．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（Ⅰ）求值：若x log32＝1，求2x+2﹣x的值；（Ⅱ）化简：．解：（I）由题意，，得2x＝3，得．（Ⅱ）．18．已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{x|x2+4mx﹣5m2＜0}，其中m∈R．（Ⅰ）若B＝{x|﹣5＜x＜1}，求实数m的值；（Ⅱ）已知命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q的充分条件，且m＞0，求实数m的取值范围．解：（I）由题意，﹣5，1是方程x2+4mx﹣5m2＝0的两根，由韦达定理得：，解得m＝1，经检验符合条件．（Ⅱ）由题意，A＝{x|﹣1＜x＜4}，A⊆B，因为m＞0，则B＝{x|﹣5m＜x＜m}，由A⊆B得，，解得m≥4．所以实数m的取值范围是[4，+∞）．19．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在射线y＝2x（x≥0）上．（Ⅰ）求cos2α的值；（Ⅱ）若角β满足tan（2α﹣β）＝1，求tan（α﹣β）的值．解：（Ⅰ）由题意，因为α在第一象限，始边与x轴的非负半轴重合，终边在射线y＝2x（x≥0）上所以，所以．（Ⅱ）由题意，tanα＝2，则tan（α﹣β）＝tan（2α﹣β﹣α）＝．20．已知函数f（x）＝sin x cos x+cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期，并写出函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再把图象向右平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，求满足g（x）≥1的实数x的集合．【解答】解（Ⅰ），所以，周期为T＝＝π，令，得，所以，函数f（x）的单调递增区间为：．（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到y＝sin（4x+）+，再把图象向右平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，即y＝sin[4（x﹣）+）+]＝sin（4x﹣）+，即，由，得，解得满足条件的x的集合为：．21．为了预防某流感病毒，某学校对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含药量y（单位：毫克）随时间x（单位：h）的变化情况如图所示，在药物释放的过程中，y与x成正比：药物释放完毕后，y与x的函数关系式为（a为常数），根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）写出从药物释放开始，y与x之间的函数关系式．（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室学习，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？解：（1）依题意，当0≤x≤0.1时，可设y＝kx，且1＝0.1k，解得k＝10，∴y＝10x，又由，解得a＝0.1，所以；（2）令，解得x＞0.6，即至少需要经过0.6h后，学生才能回到教室．22．已知函数f（x）＝x2+（x﹣1）|x﹣a|．（Ⅰ）若a＝1，解不等式f（x）≤1；（Ⅱ）若函数f（x）在[﹣2，2]上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅲ）记函数f（x）在[﹣2，2]上最大值为g（a），求g（a）的最小值．解：（Ⅰ）a＝1时，，（1）当x≥1时，2x2﹣2x+1≤1，解得x＝1，（2）当x＜1时，2x﹣1≤1，解得x＜1，故不等式的解集为{x|x≤1}．（Ⅱ），（1）当，即时，符合条件，（2）当，即时，函数在R上为增函数，符合条件，（3）当，即时，需满足：，解得a≤﹣9；综上：或a≤﹣9．（Ⅲ）解法1：（1）当或a≤﹣9，则f（x）在[﹣2，2]上单调递增，所以g（a）＝f（2）＝4+|2﹣a|；（2）当﹣9＜a≤﹣2，则f（x）＝2x2﹣（a+1）x+a，又对称轴，所以g（a）＝f（2）＝4+|a﹣2|，（3）当﹣2＜a＜﹣1时，g（a）＝max{f（﹣2），f（2）}＝max{4﹣3|a+2|，4+|2﹣a|}＝4+|2﹣a|，（4）当时，g（a）＝max{f（a），f（2）}＝max{a2，4+|2﹣a|}，因a2﹣（4+|2﹣a|）＝a2+a﹣6＝（a+3）（a﹣2）＜0，所以g（a）＝f（2）＝4+|2﹣a|，综上，g（a）＝f（2）＝4+|2﹣a|，当a＝2时，g（a）min＝4．解法2：（1）当a≤﹣2时g（a）＝max{f（2），f（﹣2）}＝f（2）＝4+|2﹣a|，（2）当﹣2＜a＜2时g（a）＝max{f（2），f（﹣2），f（a）}＝max{f（2），f（a）}，又f（a）﹣f（2）＝a2﹣（4+|2﹣a|）＝a2+a﹣6＜0，所以，g（a）＝f（2）＝4+|2﹣a|：（3）当a≥2时，f（x）＝（a+1）x﹣a，所以，g（a）＝f（2）＝4+|2﹣a|，综上，g（a）＝f（2）＝4+|2﹣a|，当a＝2时，g（a）min＝4．。
高一数学期末试卷带答案解析
高一数学期末试卷带答案解析考试范围：xxx；考试时间：xxx分钟；出题人：xxx姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.F(x)=(1+是偶函数，且f(x)不恒等于零，则f(x)( )A．是奇函数B．可能是奇函数，也可能是偶函数C．是偶函数D．不是奇函数，也不是偶函数2.函数y=的值域是（）A．［－1，1］ B．［－1，1） C．（－1，1］ D．（－1，1）3.△ABC的内角A、B、C的对边分别为、、，若=，且=2,则等于（）A、 B、 C、 D、4.1. 下列函数中，与函数的定义域相同的函数是（）A． B． C． D．5.已知数列满足，若，则=( )A． B． C． D．6.求值（）A． B． C． D．7.8.已知函数是定义在的增函数，则满足＜的取值范围是（）A．（，） B．［，） C．（，） D．［，）9.已知函数为奇函数,且当x>0时,,则（）A．2 B．-2 C．0 D．110.若角α，β满足－＜α＜0＜β＜，则α－β的取值范围是（）A．B．C．D．11.函数的定义域是（）A．（3，+∞） B．[3，+∞） C．（4，+∞） D．[4，+∞）12.则的夹角为120º，则的值为（）A．-5 B．5 C．- D．13.用二分法研究函数f(x)＝x5＋8x3－1的零点时，第一次经过计算得f(0)<0，f(0.5)>0，则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为()A．(0,0.5)，f(0.125)B．(0.5,1)，f(0.875)C．(0.5,1)，f(0.75)D．(0,0.5)，f(0.25)14.设，，则有（）A． B． C． D．15.函数的最小正周期是( )....16.某工厂生产某种产品的月产量和月份满足关系．现已知该厂1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品的产量为( ）A．2万件 B．1.8万件 C．1.75万件 D．1.7万件17.已知，且是第二象限角，那么等于（）A．－ B．－ C． D．18.若函数的反函数（），则A. 1B. -1C. 1和-1D. 519.广告费用与销售额的统计数据如下表：根据上表可得回归方程的约等于3，据此模型预估广告费用为6万元时，销售额为（）A．55万元 B．53万元 C．57万元 D．59万元20.设a，b为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是（）A．若a，b与α所成的角相等，则a∥bB．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bC．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥βD．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b二、填空题}中，=1，=3，则的值是 .21.在等比数列{an22.若关于的函数y=的定义域是R,则k的取值范围是____________23.已知幂函数的图像经过点，则函数的解析式为．24.已知函数f（x）=（x∈N），若f（f（2））=4a，则实数a等于．+25.函数，则 .26.如图是某学校抽取的个学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前个小组的频率之比为，第小组的频数为，则的值是．27.设方程的根为，方程的根为，则28.如图，扇形的面积是，它的弧长是，则扇形的圆心角的弧度数为；弦的长为．29.函数的单调递减区间为30.某校举行2012年元旦汇演，七位评委为某班的小品打出的分数如下茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别是和．三、解答题31.△ABC的三个顶点分别为A（0，4）、B（﹣2，6）、C（﹣8，0）（1）求边AC和AB所在直线的方程（2）求边AC上的中线BD所在的直线的方程．32.在△ABC中，若A=120°，AB=5，BC=，（1）求AC边长及sinB；（2）求△ABC的面积S．33.求值34.已知函数．（）给定的直角坐标系内画出的图象．（）写出的单调递增区间（不需要证明）及最小值（不需要证明）．（）设，若有个零点，求得取值范围．35.如图，四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，且，过棱的中点作交于点，连接，，，.(1)求证：平面平面；(2)求三棱锥的体积.参考答案1 .A【解析】设是减函数，则是减函数。
福建省漳州市2020-2021学年学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)
福建省漳州市2020-2021学年学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）本试卷共5页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.一.单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{|4}A x x =>，{|2}B x x ，则A B =（ ）A. (2,)+∞B. (4,)+∞C. (2,4)D. (,4)-∞【答案】B 【解析】 【分析】由交集的定义求解即可. 【详解】{|{|2}4}{|4}x A B x x x x x =>>=>故选：B【点睛】本题主要考查了集合间的交集运算，属于基础题. 2.sin(600)-︒的值是（ ）A.12B. 12-C.2D. 【答案】C 【解析】 【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【详解】解：()()()sin 600sin 720120sin120sin 18060sin60-︒=-︒+︒=︒=︒-︒=︒= 故选C ．【点睛】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键． 3.下列各函数的值域与函数y x =的值域相同的是（ ） A. 2yxB. 2xy =C. sin y x =D.2log y x =【答案】D 【解析】 【分析】分别求出下列函数的值域，即可判断. 【详解】函数y x =的值域为R20y x =≥，20x y =>则A ，B 错误；函数sin y x =的值域为[]1,1-，则C 错误； 函数2log y x =的值域为R ，则D 正确； 故选：D【点睛】本题主要考查了求具体函数的值域，属于基础题.4.已知函数42,0,()log ,0,x x f x x x ⎧=⎨>⎩则((1))f f -=（ ）A. 2-B. 12-C.12D. 2【答案】B 【解析】 【分析】分别计算(1)f -，12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭即可得出答案.【详解】121(1)2f --==，241211log log 12222f -⎛⎫===- ⎪⎝⎭所以1((1))2f f -=- 故选：B【点睛】本题主要考查了已知自变量求分段函数的函数值，属于基础题. 5.函数log ||()(1)||a x x f x a x =>图象的大致形状是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】判断函数函数()f x 为奇函数，排除BD 选项，取特殊值排除C ，即可得出答案. 【详解】log ||log ||()()||||a a x x x x f x f x x x ---==-=--所以函数()f x 为奇函数，故排除BD.log ||()10||a a a f a a ==>，排除C故选：A【点睛】本题主要考查了函数图像的识别，属于基础题.6.已知0.22log 0.2,2,sin 2a b c ===，则（ ）A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D.b c a <<【答案】B【解析】 【分析】分别求出a ，b ，c 的大概范围，比较即可.【详解】因为22log 0.2log 10<=，0sin 21<<，0.20221>= 所以a c b <<. 故选：B【点睛】本题主要考查了指数，对数，三角函数的大小关系，找到他们大概的范围再比较是解决本题的关键，属于简单题.7.已知以原点O 为圆心的单位圆上有一质点P ，它从初始位置01(,22P 开始，按逆时针方向以角速度1/rad s 做圆周运动.则点P 的纵坐标y 关于时间t 的函数关系为 A. sin(),03y t t π=+≥ B. sin(),06y t t π=+≥ C. cos(),03y t t π=+≥D. cos(),06y t t π=+≥【答案】A 【解析】当时间为t 时，点P 所在角的终边对应的角等于3t π+, 所以点P 的纵坐标y 关于时间t 的函数关系为sin(),03y t t π=+≥.8.已知函数()f x 为定义在(0,)+∞的增函数，且满足()()()1f x f y f xy +=+.若关于x 的不等式(1sin )(1)(cos )(1sin )f x f f a x f x --<+-+恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A. 1a >- B. 14a >-C. 1a >D. 2a >【答案】D 【解析】 【分析】将题设不等式转化为2(cos )(cos )f x f a x <+，根据函数()f x 的单调性解不等式得出2cos cos x a x <+，通过换元法，构造函数2()g x t t =-，[]1,1t ∈-求出最大值，即可得到实数a 的取值范围.【详解】(1sin )(1)(cos )(1sin )f x f f a x f x --<+-+(1sin )(1sin )(cos )(1)f x f x f a x f ∴-++<++因为()()()2(1sin )(1sin )1sin 1sin 1(cos)1f x f x fx x f x -++=-++=+，(cos )(1)(cos )1f a x f f a x ++=++所以2(cos )(cos )f x f a x <+在(0,)x ∈+∞恒成立故2cos cos x a x <+在(0,)x ∈+∞恒成立，即2cos cos x x a -<在(0,)x ∈+∞恒成立 令[]cos ,1,1x t t =∈-，则22()cos cos g x x x t t =-=-所以函数2()g x t t =-在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，(1)2(1)0g g -=>= 所以2a > 故选：D【点睛】利用函数的单调性解抽象不等式以及不等式的恒成立问题，属于中档题.二.多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9.设11,,1,32α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使函数y x α=的定义域是R ，且为奇函数的α值可以是（ ）A. 1-B.12C. 1D. 3【答案】CD 【解析】 【分析】求出对应α值函数y x α=的定义域，利用奇偶性的定义判断即可.【详解】当α的值为11,2-时，函数y x α=的定义域分别为()(),00,-∞+∞，[)0,+∞当1α=时，函数y x =的定义域为R ，令()f x x =，()()f x x f x -=-=-，则函数y x =为R 上的奇函数当3α=时，函数3y x =的定义域为R ，令3()f x x =，3()()f x x f x -=-=-，则函数3y x=为R 上的奇函数故选：CD【点睛】本题主要考查了判断函数的奇偶性，属于基础题. 10.要得到sin 25y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数sin y x =的图象上所有的点（ ） A. 向右平行移动5π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍B. 向右平行移动10π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍C. 横坐标缩短到原来的12倍，再把所得各点向右平行移动5π个单位长度D. 横坐标缩短到原来的12倍，再把所得各点向右平行移动10π个单位长度【答案】AD 【解析】 【分析】由正弦函数的伸缩变换以及平移变换一一判断选项即可. 【详解】将函数sin y x =的图象上所有的点向右平行移动5π个单位长度，得到函数n 5si y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，得到sin 25y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，故A 正确；将函数sin y x =的图象上所有的点向右平行移动10π个单位长度，得到函数sin 10y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，得到sin 210y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，故B 错误；将函数sin y x =的图象上所有的点横坐标缩短到原来的12倍，得到sin 2y x =的图象，再把所得各点向右平行移动5π个单位长度，得到25sin 2y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，故C 错误； 将函数sin y x =的图象上所有的点横坐标缩短到原来的12倍，得到sin 2y x =的图象，再把所得各点向右平行移动10π个单位长度，得到sin 25y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，故D 正确；故选：AD【点睛】本题主要考查了正弦函数的伸缩变换以及平移变换，属于基础题.11.对于函数()sin(cos )f x x =，下列结论正确的是（ ） A. ()f x 为偶函数B. ()f x 的一个周期为2πC. ()f x 的值域为[sin1,sin1]-D. ()f x 在[]0,π单调递增【答案】ABC 【解析】 【分析】利用奇偶性的定义以及周期的定义判断A ，B 选项；利用换元法以及正弦函数的单调性判断C 选项；利用复合函数的单调性判断方法判断D 选项. 【详解】函数()f x 的定义域为R ，关于原点对称()()()()sin cos sin cos ()f x x x f x -=-==，则函数()f x 偶函数，故A 正确；()()()sin co 22s sin cos ()f x x x f x ππ+=+==⎡⎤⎣⎦，则函数()f x 的一个周期为2π，故B正确；令[]cos ,1,1t x t =∈-，则()sin f x t =，由于函数sin y t=[]1,1-上单调递增，则()sin 1()sin1sin1()sin1f x f x -≤≤⇒-≤≤，故C 正确；当[]0,x π∈时，函数cos t x =为减函数，由于[]cos 0,1t x =∈，则函数sin y t =在0,1上为增函数，所以函数()f x 在[]0,π单调递减，故D 错误； 故选：ABC【点睛】本题主要考查了判断函数的奇偶性，周期性，求函数值域，复合函数的单调性，属于中档题.12.已知()f x 为R 上的奇函数，且当0x >时，()lg f x x =.记()sin ()cos g x x f x x =+⋅，下列结论正确的是（ ） A. ()g x 为奇函数B. 若()g x 的一个零点为0x ，且00x <，则()00lg tan 0x x --=C. ()g x 在区间,2ππ⎛⎫-⎪⎝⎭的零点个数为3个 D. 若()g x 大于1的零点从小到大依次为12,,x x ，则1223x x ππ<+<【答案】ABD 【解析】 【分析】根据奇偶性的定义判断A 选项；将()0g x =等价变形为tan ()x f x =-，结合()f x 的奇偶性判断B 选项，再将零点问题转化为两个函数的交点问题，结合函数()g x 的奇偶性判断C 选项，结合图象，得出12,x x 的范围，由不等式的性质得出12x x +的范围. 【详解】由题意可知()g x 的定义域为R ，关于原点对称因为()()()sin ()cos sin ()cos ()g x x f x x x f x x g x -=-+-⋅-=--⋅=-，所以函数()g x 为奇函数，故A 正确； 假设cos 0x =，即,2x k k Z ππ=+∈时，sin ()co cos s sin 02x k x f x k πππ⎛⎫++⋅==≠ ⎪⎝⎭所以当,2x k k Z ππ=+∈时，()0g x ≠当,2x k k Z ππ≠+∈时，sin ()cos 0tan ()x f x x x f x +⋅=⇔=-当00x <，00x ->，则()000()()lg f x f x x =--=--由于()g x 的一个零点为0x ， 则()()00000tan ()lg t lg an 0x x f x x x =-=⇒--=-，故B 正确；当0x >时，令12tan ,lg y x y x ==-，则()g x 大于0的零点为12tan ,lg y x y x ==-的交点，由图可知，函数()g x 在区间()0,π的零点有2个，由于函数()g x 为奇函数，则函数()g x 在区间,02π⎛⎫-⎪⎝⎭的零点有1个，并且(0)sin 0(0)cos00g f =+⋅= 所以函数在区间,2ππ⎛⎫-⎪⎝⎭的零点个数为4个，故C 错误；由图可知，()g x 大于1的零点123,222x x ππππ<<<< 所以1223x x ππ<+< 故选：ABD【点睛】本题主要考查了判断函数的奇偶性以及判断函数的零点个数，属于较难题. 三、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分.13.函数()1xf x a =+（0a >且1a ≠）的图象恒过点__________【答案】()0,2 【解析】分析：根据指数函数xy a =过()0,1可得结果.详解：由指数函数的性质可得xy a =过()0,1，所以1xy a =+过()0,2，故答案为()0,2.点睛：本题主要考查指数函数的简单性质，属于简单题. 14.已知扇形的圆心角为12π，面积为6π，则该扇形的弧长为_______； 【答案】6π 【解析】 【分析】由扇形面积公式求出扇形半径，根据扇形弧长公式即可求解.【详解】设扇形的半径为r 由扇形的面积公式得：216212r ππ=⨯，解得2r该扇形的弧长为2126ππ⨯=故答案为：6π 【点睛】本题主要考查了扇形面积公式以及弧长公式，属于基础题. 15.函数()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为______；【答案】[2] 【解析】 【分析】由x 的范围，确定23x π-的范围，利用换元法以及正弦函数的单调性，即可得出答案.【详解】0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，22,333x πππ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦令22,333t x πππ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，函数()2sin g t t =在,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在2,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减2si ()(n 33)g ππ--==2si 2()2n 2g ππ==， 222sin (3)3g ππ==所以函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[2]故答案为：[2]【点睛】本题主要考查了正弦型函数的值域，属于中档题. 16.已知函数1()f x x=，()2sin g x x =，则函数()f x 图象的对称中心为_____，函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象所有交点的横坐标与纵坐标之和为____. 【答案】 (1). (0,0) (2). 0 【解析】 【分析】判断函数()f x ，()g x 为奇函数，即可得出函数()f x ，()g x 图象的对称中心都为原点； 根据对称性即可得出所有交点的横坐标与纵坐标之和. 【详解】1()()f x f x x-=-=-，则函数()f x 为奇函数，即函数()f x 图象的对称中心为(0,0) ()()2sin 2sin ()g x x x g x -=-=-=-，则函数()g x 为奇函数，即函数()g x 的对称中心为(0,0)所以函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象所有交点都关于原点对称 即所有交点的横坐标之和为0，纵坐标之和也为0则函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象所有交点的横坐标与纵坐标之和为0 故答案为：(0,0)；0【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的应用以及对称性的应用，属于中档题.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.已知α为锐角，且3cos 5α=. （1）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）求cos sin(2)2παπα⎛⎫-+-⎪⎝⎭的值. 【答案】（1）-7（2）4425【解析】 【分析】（1）利用平方关系以及商数关系得出tan α，再利用两角和的正切公式求解即可； （2）利用诱导公式以及二倍角的正弦公式求解即可. 【详解】解：（1）因为α为锐角，且3cos 5α=. 所以24sin 1cos 5αα， 所以sin 4tan cos 3ααα==， 所以41tan tan34tan 7441tan tan 1143παπαπα++⎛⎫+===- ⎪⎝⎭--⨯. （2）因为cos sin 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭， sin(2)sin 2παα-=，所以cos sin(2)sin sin 22παπααα⎛⎫-+-=+ ⎪⎝⎭sin 2sin cos ααα=+4432555=+⨯⨯ 4425= 【点睛】本题主要考查了两角和的正切公式，诱导公式，二倍角的正弦公式，属于中档题. 18.已知集合{}|2216xA x =<<，{|sin 0,(0,2)}B x x x π=>∈. （1）求AB ；（2）集合{|1}C x x a =<<()a ∈R ，若AC C =，求a 的取值范围.【答案】（1）{|04}A B x x ⋃=<<（2）4a 【解析】 【分析】（1）利用指数函数以及正弦函数的性质化简集合,A B ，再求并集即可；（2）由题设条件得出C A ⊆，分别讨论集合C =∅和C ≠∅的情况，即可得出答案.【详解】解：（1）依题意{|14}A x x =<<，{|0}B x x π=<<，所以{|04}A B x x ⋃=<<. （2）因为AC C =，所以C A ⊆.①当C =∅时，1a ，满足题意；②当C ≠∅时，1a >，因为C A ⊆，得4a ≤，所以14a <； 综上，4a .【点睛】本题主要考查了集合的并集运算以及根据集合间的包含关系求参数范围，属于中档题.19.已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =⋅+. （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 的单调区间.【答案】（1）最小正周期为π.（2）单调递增区间为3,()88k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ，()f x 的单调递减区间为37,()88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .【解析】 【分析】利用倍角公式以及辅助角公式化简函数()f x ，根据周期公式得出第一问；根据正弦函数的单调增区间和减区间求()f x 的单调区间，即可得出第二问. 【详解】解：因为2()2sin 2sin cos f x x x x =+⋅22sin sin 2x x =+1cos2sin2x x =-+ sin2cos21x x =-+214x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（1）所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==.（2）由222,242k x k k πππππ-+-+∈Z ，得3222,44k x k k ππππ-++∈Z ， 即3,88k xk k ππππ-++∈Z ， 所以()f x 的单调递增区间为3,()88k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ，同理可得，()f x 的单调递减区间为37,()88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .【点睛】本题主要考查了求正弦型函数的最小正周期以及单调区间，属于中档题. 20.已知2()1x af x x bx +=++是定义在[1,1]-上的奇函数. （1）求a 与b 的值；（2）判断()f x 的单调性，并用单调性定义加以证明； （3）若[0,2)απ∈时，试比较(sin )f α与(cos )f α的大小.【答案】（1）0a =. 0b =.（2）()f x 在[1,1]-单调递增.见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质得出(0)0f =，(1)(1)f f -=-，求解方程，即可得出a 与b 的值； （2）利用函数单调性的定义证明即可；（3）分别讨论α的取值使得sin cos αα=，sin cos αα<，sin cos αα>，结合函数()f x 的单调性，即可得出(sin )f α与(cos )f α的大小.【详解】解：（1）因为()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，所以(0)0f =，得0a =.又由(1)(1)f f -=-，得到1122b b -=--+，解得0b =. （2）由（1）可知2()1xf x x =+，()f x 在[1,1]-上为增函数.证明如下：任取12,[1,1]x x ∈-且设12x x <， 所以()()1212221211x x f x f x x x -=-++()()22121212221211x x x x x x x x +--=++ ()()()()122112221211x x x x x x x x -+-=++()()()()21122212111x x x x xx --=++由于12x x <且12,[1,1]x x ∈-，所以210x x ->，且2110x x -<，又2110x +>，2210x +>，所以()()()()211222121011x x x x xx --<++，所以()()12f x f x <，从而()f x 在[1,1]-单调递增. （3）当4πα=或54πα=时，sin cos αα=，所以(sin )(cos )f f αα=；当04πα<或524παπ<<时，sin cos αα<， 又因为sin [1,1]α∈-，cos [1,1]α∈-，且()f x 在[1,1]-上为增函数，所以(sin )(cos )f f αα<当544ππα<<时，sin cos αα>，同理可得(sin )(cos )f f αα>； 综上，当4πα=或54πα=时，(sin )(cos )f f αα=；当50,,244ππαπ⎡⎫⎛⎫∈⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭时，(sin )(cos )f f αα<；当5,44ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，(sin )(cos )f f αα>.【点睛】本题主要考查由函数的奇偶性求参数，判断函数的单调性以及利用单调性比较函数值大小，属于中档题.21.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表： .（1）设港口在x 时刻的水深为y 米，现给出两个函数模型：sin()(0,0,)y A x h A ωϕωπϕπ=++>>-<<和2(0)y ax bx c a =++≠.请你从两个模型中选择更为合适的函数模型来建立这个港口的水深与时间的函数关系式（直接选择模型，无需说明理由）；并求出7x =时，港口的水深.（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），问该船何时能进入港口，何时应离开港口？一天内货船可以在港口呆多长时间？【答案】（1）选择函数模型Asin()y x h ωϕ=++更适合. 水深为3米 （2）货船可以在1时进入港口，在5时出港；或者在13时进港，17时出港.一天内货船可以在港口呆的时间为8小时. 【解析】 【分析】（1）观察表格中水深的变化具有周期性，则选择函数模型Asin()y x h ωϕ=++更适合，由表格数据得出,,,A h ωϕ的值，将7x =代入解析式求解即可； （2）由题意 5.5y 时，船可以进港，解不等式2.5sin4.255.56x π+，得出x 的范围，由x的范围即可确定进港，出港，一天内在港口呆的时间. 【详解】解：（1）选择函数模型Asin()y x h ωϕ=++更适合因为港口在0：00时刻的水深为4.25米，结合数据和图象可知 4.25h =6.75 1.752.52A -==因为12T =，所以22126T πππω===， 所以 2.5sin 4.256y x πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭， 因为0x =时， 4.25y =，代入上式得sin 0ϕ=，因为πϕπ-<<，所以0ϕ=， 所以 2.5sin4.256y x π=+.当7x =时，712.5sin4.25 2.5 4.25362y π⎛⎫=+=⨯-+= ⎪⎝⎭， 所以在7x =时，港口的水深为3米（2）因为货船需要的安全水深是4 1.5 5.5+=米， 所以 5.5y 时，船可以进港， 令2.5sin4.255.56x π+，则1sin62xπ， 因为024x <，解得15x 或1317x ，所以货船可以在1时进入港口，在5时出港；或者在13时进港，17时出港. 因为(51)(173)8-+-=，一天内货船可以在港口呆的时间为8小时. 【点睛】本题主要考查了三角函数在生活中的应用，属于中档题. 22.已知函数3(1)log (1)f x a x +=+，且(2)1f =. （1）求()f x 的解析式；（2）已知()f x 的定义域为[2,)+∞. （ⅰ）求()41xf +的定义域；（ⅱ）若方程()()412xxf f k k x +-⋅+=有唯一实根，求实数k 取值范围.【答案】（1）2()log f x x =（2）（ⅰ）[0,)+∞.（ⅱ）1k = 【解析】 【分析】（1）利用换元法以及(2)1f =，即可求解()f x 的解析式；（2）（ⅰ）解不等式412x +≥，即可得出()41xf +的定义域；（ⅱ）根据()41xf +，()2x f k k ⋅+的定义域得出1k ，结合函数()f x 的解析式将方程化为()2(1)2210x x k k -⋅+⋅-=，利用换元法得出2()(1)1,[1,)g t k t k t t =-+⋅-∈+∞，讨论k的值，结合二次函数的性质即可得出实数k 的取值范围.【详解】解：（1）令1(0)t x t =+>，则3()log f t a t =，所以3()log f x a x =， 因为3(2)log 21f a ==，所以231log 3log 2a ==， 所以3232()log log 3log log f x a x x x ==⨯= （2）（ⅰ）因为()f x 的定义域为[2,)+∞， 所以412x +≥，解得0x ， 所以()41xf +的定义域为[0,)+∞.（ⅱ）因为0,22,x x k k ⎧⎨⋅+⎩，所以221xk +在[0,)+∞恒成立， 因为221x y =+在[0,)+∞单调递减，所以221x y =+最大值为1，所以1k .又因为()()412xxf f k k x +-⋅+=，所以()()22log 41log 2xxk k x +-⋅+=， 化简得()2(1)2210xx k k -⋅+⋅-=，令2(1)xt t =，则2(1)10k t k t -⋅+⋅-=在[1,)+∞有唯一实数根， 令2()(1)1,[1,)g t k t k t t =-+⋅-∈+∞，当1k =时，令()0g t =，则1t =，所以21x =，得0x =符合题意，所以1k =； 当1k >时，2440k k ∆=+->，所以只需(1)220g k =-，解得1k ，因为1k >，所以此时无解； 综上，1k =.【点睛】本题主要考查了利用换元法求函数解析式以及根据函数的零点确定参数的范围，属于较难题.。
浙江省宁波市2020~2021学年度第一学期期末考试高三数学试题(含答案解析)
C.必要而不充分条件D.充分而不必要条件
7.若正数x, y满足，+4孙一4 = 0 ,则x+y的最小值是
A.JJ B.生在侧面
44£8内.若BMLCP,则点〃的轨迹为
A.线段B.圆弧
C.抛物线一部分D.椭圆一部分
（II）若尸。的中点恰好在抛物线C上，且|力邳=»|尸0],求直线48的斜率.
22.（本题满分15分）已知函数/（x） = eX,g（x） = lnx.
（I ）若函数〃（x） = /（x） + aga）存在极小值，求实数々的取值范围；
（II）若加＞0,且加2工2/0一]）一（工+1应（同一加rNO对任意式＞0恒成立，求实数m的取值范围.
台体的体积公式：隔+§2)方，其中S，S2分别表示台体的上、下底面枳"表
示台体的高：
球的表面积公式：S = 4成2,球的体积公式：其中火表示球的半径；
3
如果事件力,8互斥，那么p(/+b)=?a)+?①)：
如果事件A, B相互独立，那么P(A'B)=P(AyP(B)；
如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么〃次独立重复试验中事件A恰好发生k次
18 .解：（I）由正弦定理得2EsinZcosZ = K
有sin24 = 174分
又2/e（O,2乃），故2/=],A = ^.6分
（II）由题得sin4 =拽，故2=吧0=告，8分
3asin71 3
0
1
2
P
4
a
b
14.函数/（x） = cosx +及sinx的最大值为_4_，记函数取到最大值时的x =8 ,则
浙江省温州市2020-2021学年高一上学期期末教学质量统一检测数学试题(B卷) (解析版)
2020-2021学年浙江省温州市高一（上）期末数学试卷（B卷）一、选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，则A∪B＝（）A．{2}B．{2，3}C．{1，2，3}D．{1，2，3，4}2．下列函数既不是奇函数也不是偶函数的是（）A．y＝x3B．y＝x2C．y＝x D．3．已知函数，则f（x2）的定义域为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．（﹣1，1）D．（0，1）4．在平面直角坐标系中,角α的顶点与原点重合,终边与单位圆的交点为,则sin(π-α)＝( ) A．B．C．D．5．已知a＝e0.3，b＝ln0.3，c＝0.3e，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a6．已知a，b，c是实数，且a≠0，则“∀x∈R，ax2+bx+c＜0”是“b2﹣4ac＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．已知a＞0，b＞0，a+b＝1，则下列等式可能成立的是（）A．a2+b2＝1B．ab＝1C．a2+b2＝D．a2﹣b2＝8．某工厂有如图1所示的三种钢板，其中长方形钢板共有100张，正方形钢板共有60张，正三角形钢板共有80张．用这些钢板制作如图2所示的甲、乙两种模型的产品，要求正方形钢板全部用完，则制成的甲模型的个数最少有（）A．10个B．15个C．20个D．25个二、多项选择题（共4小题）.9．已知函数y＝x2﹣2x+2的值域是[1，2]，则其定义域可能是（）A．[0，1]B．[1，2]C．[]D．[﹣1，1]10．已知，且tanθ＝m，则下列正确的有（）A．B．tan（π﹣θ）＝m C．D．11．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象过两点，则ω的可能取值为（）A．1B．2C．3D．412．在同一直角坐标系中，函数f（x）＝log a（x﹣b），g（x）＝b x﹣a的图象可能是（）A B C D三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020-2021学年上学期高一数学期末模拟卷03(人教A版新教材)(浙江专用)【解析版】
数学模拟试卷03第I 卷 选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2020·河北高二学业考试）已知集合{}012M =,,，{}1,2N =，则M N ⋃=（ ）．A ．{}1,2B ．{}0C ．{}0,1,2D ．{}0,1【答案】C 【解析】由并集定义可得：{}0,1,2M N =.故选：C.2．（2019·浙江高二学业考试）已知a ，b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】若a b >，则a b b >≥，即a b >，故22a b >. 取1,2a b ==-，此时22a b >，但a b <， 故22a b >推不出a b >， 故选：A.3．（2019·伊宁市第八中学高一期中）若偶函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数，则( ) A ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】函数()f x 为偶函数,则()()22f f =-.又函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数. 则()()3122f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭-，即()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭故选：D.4．（2020·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三开学考试（理））设2313a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，532b =，21log 3c =，则（ ）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】C 【解析】23110133⎛⎫⎛⎫<<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，503221>=，221log log 103<=， ∴c a b <<. 故选：C5．（2020·江苏南通市·高三期中）已知角α的终边经过点()3,4P ，则πcos 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．50-B ．50C ．50-D ．50【答案】A 【解析】角α的终边经过点()3,4P ，5OP ∴==，由三角函数的定义知：3cos 5α=，4sin 5α， 2237cos 22cos 121525αα⎛⎫∴=-=⨯-=- ⎪⎝⎭，4324sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=，()()π724cos 2cos2cos sin 2sin 4442525ππααα∴+=-=-=.故选：A.6．（2020·甘肃兰州市·西北师大附中高三期中）函数()f x 在[)0,+∞单调递增，且()3f x +关于3x =-对称，若()21f -=，则()21f x -≤的x 的取值范围（ ）A ．[]22-,B ．(][),22,-∞-+∞C ．()[),04,-∞+∞D ．[]0,4【答案】D 【解析】因为()3f x +关于3x =-对称，所以()f x 关于y 轴对称，所以()()221f f -==， 又()f x 在[)0,+∞单调递增，由()21f x -≤可得222x -≤-≤，解得：04x ≤≤， 故选：D7．（2020·浙江高一期末）对于函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭，有以下四种说法： ①函数的最小值是32-②图象的对称轴是直线()312k x k Z ππ=-∈ ③图象的对称中心为,0()312k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭ ④函数在区间7,123ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增． 其中正确的说法的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭， 当3=42x ππ+时，即=12x π，函数()f x 取得最小值为132122-⨯+=-，故①正确；当342x k πππ+=+时，即=,123k x k Z ππ+∈，函数()f x 的图象的对称轴是直线=,123k x k Z ππ+∈，故②错误； 当34x k ππ+=时，即,123k x k Z ππ=-+∈，函数()f x 的图象的对称中心为1,,1232k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，故③错误； 当3232242k x k πππππ+≤+≤+，即2523,123123k k x k Z ππππ+≤≤+∈，函数()f x 的递增区间为252,,123123k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦， 当1k =-时，()f x 的递增区间为7,124ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，故④错误. 故选：A8．（2020·山西吕梁市·高三期中（文））函数1()11f x x=+-的图象与函数()2sin 1(24)g x x x π=+-的图象所有交点的横坐标之和等于（ ） A ．8 B ．6C ．4D ．2【答案】A 【解析】由函数图象的平移可知， 函数1()11f x x=+-与函数()2sin 1g x x π=+的图象都关于(1,1)M 对称. 作出函数的图象如图，由图象可知交点个数一共8个（四组，两两关于点(1,1)对称）， 所以所有交点的横坐标之和等于428⨯=.故选：A9．（2020·山西吕梁市·高三期中（文））已知函数2,0()()21,0x e a x f x a R x x ⎧+=∈⎨->⎩，若函数()f x 在R 上有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞- B ．[2,0)-C ．(1,0)-D ．[1,0)-【答案】B 【解析】当0x >时，()21f x x =-有一个零点12x =，只需当0x ≤时，20x e a +=有一个根，利用“分离参数法”求解即可.解：因为函数()2,021,0x e a x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩, 当0x >时，()21f x x =-有一个零点12x =， 所以只需当0x ≤时，202x xa e a e +==-即有一个根即可，因为2xy e =单调递增，当0x ≤时，(]0,1xe ∈，所以(]0,2a -∈，即[)2,0a ∈-，故选：B.10．（2020·河北高二学业考试）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()()2log 1f x x =+，则不等式()2f x ≤的解集是（ ）． A ．[]3,3- B ．[]4,4-C ．(][),33,-∞-+∞D ．(][),44,-∞-⋃+∞【答案】A 【解析】0x ≥时，()()2log 1f x x =+，()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，又()f x 是定义在R 上的奇函数，()f x ∴在R 上单调递增，易知()()223log 31log 42f =+==，()()332f f -=-=-， 由()2f x ≤， 解得：()22f x -≤≤， 由()f x 在R 上单调递增， 解得：33x -≤≤，()2f x ∴≤的解集是[]3,3-.故选：A.第II 卷 非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．（2020·上海青浦区·高三一模）圆锥底面半径为1cm ，母线长为2cm ，则其侧面展开图扇形的圆心角θ=___________.【答案】π； 【解析】因为圆锥底面半径为1cm ，所以圆锥的底面周长为2cm π， 则其侧面展开图扇形的圆心角22πθπ==， 故答案为：π.12．（2020·浙江宁波市·高三期中）设2log 3a =，则4a =______（用数值表示），lg 36lg 4=______.（用a 表示）【答案】9 1a + 【解析】2log 3a =，22394429log log a ∴===，4222236log 36log 6log (23)log 2log 314lg a lg ===⨯=+=+， 故答案为：9，1a +．13．（2020·深圳科学高中高一期中）某移动公司规定，使用甲种卡，须付“基本月租费”（每月需交的固定费用）30元，在国内通话时每分钟另收话费0.10元；使用乙种卡，不收“基本月租费”，但在国内通话时每分钟话费为0.2元．若某用户每月手机费预算为50元，则使用__________种卡才合算；若要使用甲种卡合算，则该用户每月手机费预算（元）的区间为__________． 【答案】乙 (60,)+∞ 【解析】由题意，设月通话时间为t 分钟，有甲费用为300.1t +，乙费用为0.2t ， ∴每月手机费预算为50元，则：由300.150t +=知，甲的通话时间为200分钟， 由0.250t =知，乙的通话时间为250分钟， ∴用户每月手机费预算为50元，用乙种卡合算；要使用甲种卡合算，即月通话时间相同的情况下甲费用更低，即300.10.2t t +<， 解得300t >时，费用在(60,)+∞. 故答案为：乙，(60,)+∞14．（2020·商丘市第一高级中学高一期中）设函数()112,1,1x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则()3f x ≤成立的x 的取值范围为______． 【答案】(],9-∞ 【解析】当1x <时，由13x e -≤得1ln3x ≤+，所以1x <； 当1≥x 时，由213x ≤得9x ≤，所以19x ≤≤． 综上，符合题意的x 的取值范围是(,9]-∞． 故答案为：(,9]-∞.15．（2020·辽宁本溪市·高二月考）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，稳坐于永乐桥之上的“天津之眼”作为世界上唯一一座建在桥上的摩天轮，其巧夺天工和奇思妙想确是当之无愧的“世界第一”.如图，永乐桥摩天轮的直径为110m ，到达最高点时，距离地面的高度为120m ，能看到方圆40km 以内的景致，是名副其实的“天津之眼”.实际上，单从高度角度来看，天津之眼超越了曾大名鼎鼎的伦敦之眼而跃居世界第一.永乐桥摩天轮设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min .游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转到min t 后距离地面的高度为m H ，则转到10min 后距离地面的高度为______m ，在转动一周的过程中，H 关于t 的函数解析式为______.【答案】1852 π55cos 6515H t =-+，030t ≤≤. 【解析】如图，设座舱距离地面最近的位置为点P ，以轴心O 为原点，与地面平行的直线为x 轴，建立直角坐标系.设0min t =时，游客甲位于点()0,55P -，以OP 为终边的角为π2-； 根据摩天轮转一周大约需要30min ， 可知座舱转动的角速度约为πmin 15rad ， 由题意可得πππ55sin 6555cos 6515215H t t ⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭，030t ≤≤.当10t =时，π18555cos 1065152H ⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭. 故答案为：1852；π55cos 6515H t =-+，030t ≤≤ 16．（2020·浙江建人专修学院高三三模）已知2,0()(),0x x f x f x x ⎧≥=⎨--<⎩，若4log 3a =，则()f a =___________；()1f a -=___________.3 233-因为4log 3a =，所以43a =，即2a =01a <<，所以()2a f a ==1(1)(1)2a f a f a --=--=-==3-17．（2020·上海虹口区·高三一模）已知(0,)απ∈，且有12sin2cos2αα-=，则cos α=___________.【解析】2212sin 2cos214sin cos 12sin sin 2sin cos αααααααα-=⇒-=-⇒=，因为(0,)απ∈，所以sin 0α≠，因此由2sin 2sin cos sin 2cos tan 2(0,)2πααααααα=⇒=⇒=⇒∈，而22sin cos 1(1)αα+=，把sin 2cos αα=代入(1)得：22214cos cos 1cos cos 5αααα+=⇒=⇒=(0,)2πα∈，因此cos α=.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（2020·黑龙江工农�鹤岗一中高二期末（文））函数()22xxaf x =-是奇函数． ()1求()f x 的解析式；()2当()0,x ∈+∞时，()24x f x m ->⋅+恒成立，求m 的取值范围．【答案】（1）()122xxf x =-；（2）5m <-.() 1函数()22x x af x =-是奇函数， ()()1222222x x x x x x a af x a f x --∴-=-=-+=-+=-，故1a =， 故()122xx f x =-； ()2当()0,x ∈+∞时，()24x f x m ->⋅+恒成立，即21(2)42x xm +<-⋅在()0,x ∈+∞恒成立，令()2(2)42x xh x =-⋅，(0)x >，显然()h x 在()0,+∞的最小值是()24h =-， 故14m +<-，解得：5m <-．19．（2020·宁夏长庆高级中学高三月考（理））已知函数()22sin cos 22222x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间[]0,π上的最小值及单调减区间.【答案】（1）最小正周期为2π；（2）()min f x =()f x 的单调递减区间为,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】(1)1cos ()2sin cos 222x x xf x +=+sin x x =+12sin cos 2sin 223x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以()f x 的最小正周期为2π. (2)因为[]0,x π∈，所以4,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当433x ππ+=，即x π=时，函数()f x 取得最小值由4233x πππ≤+≤，得6x ππ≤≤，所以函数()f x 的单调递减区间为,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 20．（2019·河北师范大学附属中学高一期中）已知二次函数()f x 的图象经过点()4,4-，方程()0f x =的解集为{}0,2.（1）求()f x 的解析式；（2）是否存在实数(),m n m n <，使得()f x 的定义域和值域分别为[],m n 和[]2,2m n ？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）21()2f x x x =-+；（2）存在；2m =-，0n =. 【解析】（1）由已知，设()()2f x ax x =-.因为()f x 的图象经过点()4,4-，所以()4442a -=-，解得12a =-， 即()f x 的解析式为21()2f x x x =-+； （2）假设满足条件实数m ，n 的存在， 由于221111()(1)2222f x x x x =-+=--+≤，因此122n ≤，即14n ≤. 又()f x 的图象是开口向下的抛物线，且对称轴方程1x =，可知()f x 在区间[],m n 上递增，故有()2()2f m m f n n=⎧⎨=⎩，并注意到14m n <≤，解得2m =-，0n =. 综上可知，假设成立，即当2m =-，0n =时，()f x 的定义域和值域分别为[],m n 和[]2,2m n .21．（2020·山西吕梁市·高三期中（文））已知函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，在,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，且满足63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期；（2）将函数()f x 的图象向右平移06πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后得到函数()g x 的图象，若对满足()()122f x g x -=的1x 、2x 有12min 7x x π-=，求ϕ的值. 【答案】（1）37π；（2）14π. 【解析】（1）由()sin ,(0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，在,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最小值，无最大值， 可知：236T πππω-≤=，故有012ω<≤. 又6x π=与3x π=在一个周期内，且63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 4x π∴=时，函数取到最小值.2,()432k k Z πππωπ∴+=-+∈ 故有1083k ω=-+， 又因为012ω<≤，所以143ω=. 所以函数()f x 的最小正周期为37π. （2）由()()122f x g x -=∣∣可知的()()12,f x g x 中一个对应最大值，一个对应最小值. 对于函数()f x 其最大值与最小值对应的x 的距离为半个周期314π. ∴有12min 314x x πϕ-+=. 即314714πππϕ=-=.22．（2020·安徽省蚌埠第三中学高一月考）设函数()()21x x a t f x a--=（0a >，且1a ≠）是定义域为R 的奇函数.（1）求t 的值；（2）若函数()f x 的图象过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，是否存在正数()1m m ≠，使函数()()22log x x m g x a a mf x -⎡⎤=+-⎣⎦在[]21,log 3上的最大值为0，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2t =；（2）不存在，理由见解析.【解析】（1）∵()f x 是定义域为R 的奇函数，∴()00f =，∴2t =；经检验知符合题意.（2）函数()f x 的图象过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2132a a -=， ∴2a =（12a =-舍去）， 假设存在正数m ，且1m ≠符合题意，由2a =得()()22log 2222x x x x m g x m --⎡⎤=+--⎣⎦， 设22x x t -=-，则()()22222222x x x x m t mt -----+=-+，∵[]21,log 3x ∈，2[2,3]x ∈，∴38,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，记()22h t t mt =-+， ∵函数()g x 在[]21,log 3上的最大值为0，∴（i ）若01m <<时，则函数()22h t t mt =-+在38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦有最小值为1， 由于对称轴122m t =<，∴()min 31731312426h t h m m ⎛⎫==-=⇒= ⎪⎝⎭，不合题意. （ii ）若1m 时，则函数()220h t t mt =-+>在38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，且最大值为1，最小值大于0， ①()max 1252512212736873241324m m m h t h m ⎧⎧<≤<≤⎪⎪⎪⎪⇒⇒=⎨⎨⎛⎫⎪⎪=== ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩， 而此时7338,24823m ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，又()min 73048h t h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭， 故()g x 在[]21,log 3无意义， 所以7324m =应舍去； ②()max 25252126313126m m h t h m ⎧⎧>>⎪⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎛⎫⎪⎪=== ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩m 无解， 综上所述：故不存在正数m ，使函数()g x 在[]21,log 3上的最大值为0．。
2020-2021学年浙江省宁波市余姚中学高一(上)质检数学试卷(10月份)
2020-2021学年浙江省宁波市余姚中学高一（上）质检数学试卷（10月份）试题数：20，总分：01.（单选题，0分）已知集合A={x|x2=4}，B={x|x2=2x}，则A∩B=（）A.{0，2}B.{2}C.{-2，0，2}D.{-2，2}2.（单选题，0分）命题“∀x∈[0，+∞），x3+x≥0”的否定是（）A.∀x∈（-∞，0），x3+x＜0B.∀x∈（-∞，0），x3+x≥0C.∃x0∈[0，+∞），x03+x0＜0D.∃x0∈[0，+∞），x03+x0≥03.（单选题，0分）命题p：三角形是等边三角形；命题q：三角形是等腰三角形．则p是q （）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.（单选题，0分）下列不等式恒成立的是（）A.a2+b2≤2abB.a2+b2≥-2abC.a+b≥-2 √|ab|D.a+b≤2 √|ab|的图象大致为（）5.（单选题，0分）函数y= 4xx2+1A.B.C.D.6.（单选题，0分）已知a，b，c，d均为实数，下列不等关系推导成立的是（）A.若a＞b，c＜d⇒a+c＞b+dB.若a＞b，c＞d⇒ac＞bdC.若bc-ad＞0，ca - db＞0⇒ab＜0D.若a＞b＞0，c＞d＞0⇒ √ad ＞√bc7.（单选题，0分）下列各组函数是同一函数的是（）① f(x)=√−2x3与g(x)=x√−2x；② f（x）=x与g(x)=√x2；③ f（x）=x0与g(x)=1x0；④ f（x）=x2-2x-1与g（t）=t2-2t-1．A. ① ②B. ① ③C. ③ ④D. ① ④8.（单选题，0分）定义在R上的偶函数f（x）满足：在x∈[0，+∞）上，图象上任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）满足（x2-x1）（y2-y1）＜0．则满足f（2x-1）＜f（1）的x的取值范围是（）A.（-1，0）B.（1，+∞）∪（-∞，0）C.（-∞，0）D.（0，1）9.（多选题，0分）已知集合A={x|ax 2-2x+a=0}中至多含有一个元素，则实数a 可以取（ ）A.a≥1B.a=0C.a≤-1D.-1≤a≤110.（多选题，0分）设S 为实数集R 的非空子集，若对任意x ，y∈S ，都有x+y ，x-y ，xy∈S ，则称S 为封闭集．则下列说法中正确的是（ ）A.集合S={a+b √3 |a ，b 为整数}为封闭集B.若S 为封闭集，则一定有0∈SC.封闭集一定是无限集D.若S 为封闭集，则满足S⊆T⊆R 的任意集合T 也是封闭集11.（填空题，0分）函数f （x ）= √4−x x−1 的定义域为 ___ ．12.（填空题，0分）已知函数f （x ）=-ax 3-bx+3a+b （a ，b∈R ）的图象关于原点对称，若它的定义域为[a-1，2a]，那么a=___ ，b=___ ．13.（填空题，0分）设p ：-1＜a-x ＜1，q ： 12＜x ＜32 ，若p 的一个充分不必要条件是q ，则实数a 的取值范围是 ___ ．14.（填空题，0分）设 a ＞12 ，b ＞0，若a+b=2，则 12a−1+2b 的最小值为___ ．15.（填空题，0分）已知函数 f (x )={−x 2−ax −5，(x ≤1)a x (x ＞1) 是R 上的增函数，则a 的取值范围是___ ．16.（问答题，0分）已知集合A={x|x 2-x-2＜0}，B={x|（x-a ）（x-3a ）＜0，a∈R}．（1）当a=1时，求集合A 和A∪B ；（2）若B⊆（∁R A ），求实数a 的取值范围．17.（问答题，0分）已知函数f （x ）为奇函数，当x ＞0时， f (x )=x 2+2x ．（1）求f （-1）的值，并求出f （x ）在x ＜0时的解析式；（2）判断f （x ）在（1，+∞）上的单调性，并用函数单调性的定义进行证明．18.（问答题，0分）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R （x ）= {400x −12x 2，0≤x ≤40080000，x ＞400，其中x 是仪器的月产量．（注：总收益=总成本+利润）（1）将利润f （x ）表示为月产量x 的函数；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？19.（问答题，0分）已知函数f （x ）=x 2-x+1．（1）求出f （x ）在x∈[1，3]上的最大值和最小值，并指出取到最值时x 的取值；（2）当x∈[m ，m+1]（m∈R ）时，求f （x ）的最小值g （m ）．20.（问答题，0分）设函数f （x ）=x 2+2ax+2-a ，（a∈R ）．（1）解关于x 的不等式f （x ）＞（1-a ）x 2-a ；（2）若至少有一个x∈[1，2]，使得f （x ）＞0成立，求a 的取值范围．2020-2021学年浙江省宁波市余姚中学高一（上）质检数学试卷（10月份）参考答案与试题解析试题数：20，总分：01.（单选题，0分）已知集合A={x|x2=4}，B={x|x2=2x}，则A∩B=（）A.{0，2}B.{2}C.{-2，0，2}D.{-2，2}【正确答案】：B【解析】：可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】：解：∵A={-2，2}，B={0，2}，∴A∩B={2}．故选：B．【点评】：本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2.（单选题，0分）命题“∀x∈[0，+∞），x3+x≥0”的否定是（）A.∀x∈（-∞，0），x3+x＜0B.∀x∈（-∞，0），x3+x≥0C.∃x0∈[0，+∞），x03+x0＜0D.∃x0∈[0，+∞），x03+x0≥0【正确答案】：C【解析】：全称命题的否定是一个特称命题，按此规则写出其否定即可得出正确选项．【解答】：解：∵命题“∀x∈[0，+∞），x3+x≥0”是一个全称命题．∴其否定命题为：∃x0∈[0，+∞），x03+x0＜0故选：C．【点评】：本题考查全称命题的否定，掌握此类命题的否定的规则是解答的关键．3.（单选题，0分）命题p：三角形是等边三角形；命题q：三角形是等腰三角形．则p是q （）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：A【解析】：由等边三角形一定是等腰三角形，反之不成立，即可判断出结论．【解答】：解：∵等边三角形一定是等腰三角形，反之不成立，∴p是q的充分不必要条件．故选：A．【点评】：本题考查了简易逻辑的判定方法、等边三角形与等腰三角形的关系，考查了推理能力，属于基础题．4.（单选题，0分）下列不等式恒成立的是（）A.a2+b2≤2abB.a2+b2≥-2abC.a+b≥-2 √|ab|D.a+b≤2 √|ab|【正确答案】：B【解析】：对于A和B，分别根据完全平方差和完全平方和公式即可得解；对于C和D，举出反例即可得解．【解答】：解：对于A，由（a-b）2≥0，知a2+b2≥2ab，即A错误；对于B，由（a+b）2≥0，知a2+b2≥-2ab，即B正确；对于C，当a=0，b=-1时，a+b=-1，-2 √|ab| =0，此时a+b＜-2 √|ab|，即C错误；对于D，当a=0，b=1时，a+b=1，2 √|ab| =0，此时a+b＞-2 √|ab|，即D错误，故选：B．【点评】：本题考查不等式的性质，属于基础题．5.（单选题，0分）函数y= 4xx2+1的图象大致为（）A.B.C.D.【正确答案】：A【解析】：根据函数的奇偶性和函数值的正负即可判断．【解答】：解：函数y= 4xx2+1的定义域为实数集R，关于原点对称，函数y=f（x）= 4xx2+1，则f（-x）=- 4xx2+1=-f（x），则函数y=f（x）为奇函数，故排除C，D，当x＞0时，y=f（x）＞0，故排除B，故选：A．【点评】：本题考查了函数图象的识别，属于基础题．6.（单选题，0分）已知a，b，c，d均为实数，下列不等关系推导成立的是（）A.若a＞b，c＜d⇒a+c＞b+dB.若a＞b，c＞d⇒ac＞bdC.若bc-ad＞0，ca - db＞0⇒ab＜0D.若a＞b＞0，c＞d＞0⇒ √ad ＞√bc【正确答案】：D【解析】：根据不等式的性质判断即可．【解答】：解：对于A，若a＞b，c＜d，则-c＞-d，则a-c＞b-d，故A错误，对于B，若a＞b，c＞d，则ac＞bd，故B错误，对于C：若bc-ad＞0，ca - db＞0，则ab＞0，故C错误，对于D，若a＞b＞0，则c＞d＞0，则√ad ＞√bc，故D正确．故选：D．【点评】：本题主要考查了不等式的基本性质，属于基础题．7.（单选题，0分）下列各组函数是同一函数的是（）① f(x)=√−2x3与g(x)=x√−2x；② f（x）=x与g(x)=√x2；③ f（x）=x0与g(x)=1x0；④ f（x）=x2-2x-1与g（t）=t2-2t-1．A. ① ②B. ① ③C. ③ ④D. ① ④【正确答案】：C【解析】：确定函数的三要素是：定义域、对应法则和值域，据此可判断出答案．【解答】：解：① f（x）= √−2x3 = |x|√−2x与y= x√−2x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．② g(x)=√x2 =|x|与f（x）=x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．③ f（x）=x0与g(x)=1x0都可化为y=1且定义域是{x|x≠0}，故是同一函数．④ f（x）=x2-2x-1与g（t）=t2-2t-1的定义域都是R，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数．由上可知是同一函数的是③ ④ ．故选：C．【点评】：本题考查了函数的定义，明确三要素是判断两个函数是否是同一函数的依据．8.（单选题，0分）定义在R上的偶函数f（x）满足：在x∈[0，+∞）上，图象上任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）满足（x2-x1）（y2-y1）＜0．则满足f（2x-1）＜f（1）的x的取值范围是（）A.（-1，0）B.（1，+∞）∪（-∞，0）C.（-∞，0）D.（0，1）【正确答案】：B【解析】：由题意可知函数f（x）在[0，+∞）上是减函数，又由函数f（x）是定义在R上的偶函数可知，f（2x-1）＜f（1）可转化为|2x-1|＞1，从而求解．【解答】：解：∵f（x）满足：在x∈[0，+∞）上，图象上任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）满足（x2-x1）（y2-y1）＜0，∴f（x）在[0，+∞）上是减函数，又∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（2x-1）＜f（1）可转化为|2x-1|＞1，解得x＜0或x＞1．故选：B．【点评】：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合，绝对值不等式的解法，属于中档题．9.（多选题，0分）已知集合A={x|ax2-2x+a=0}中至多含有一个元素，则实数a可以取（）A.a≥1B.a=0C.a≤-1D.-1≤a≤1【正确答案】：ABC【解析】：根据集合A={x|ax2-2x+a=0}中至多含有一个元素，讨论集合A中的方程ax2-2x+a=0的根的情况，求解若ax2-2x+a=0为一元一次方程和一元二次方程至多含有一个根的情况，符合题意时可得实数a可以取为：a=0，a≥1或a≤-1．【解答】：解：已知集合A={x|ax2-2x+a=0}中至多含有一个元素，则讨论集合A中的方程ax2-2x+a=0的根的情况，① 若ax2-2x+a=0为一元一次方程，则a=0，解得x=0，符合题意；② 若ax2-2x+a=0为一元二次方程，则a≠0，方程至多含有一个根，△=4-4a2≤0，解得a≥1或a≤-1，符合题意；故实数a可以取为：a=0，a≥1或a≤-1．故选：ABC．【点评】：本题主要考查元素与集合的关系，一元二次方程根的情况，分类讨论思想，属于基础题．10.（多选题，0分）设S为实数集R的非空子集，若对任意x，y∈S，都有x+y，x-y，xy∈S，则称S为封闭集．则下列说法中正确的是（）A.集合S={a+b √3 |a，b为整数}为封闭集B.若S为封闭集，则一定有0∈SC.封闭集一定是无限集D.若S为封闭集，则满足S⊆T⊆R的任意集合T也是封闭集【正确答案】：AB【解析】：根据封闭集的定义，任意x，y∈S，都有x+y，x-y，xy∈S，可逐一判断．【解答】：解：集合S={a+b √3 |a，b为整数}，在集合A中任意取两个元素，x=a+b√3，y=c+d√3，其中a，b，c，d为整数，则x+y=a+c+(b+d)√3，x−y=a−c+(b−d)√3，xy=ac+3bd+(ad+bc)√3，均为整数加上根号三的整数倍的形式，故A正确；因为x，y是集合中任意的元素，所以x与y可以是同一个元素，故0一定在封闭集中，故B正确；封闭集不一定是无限集，例如{0}，故C错误；S={0}，T={0，1}，也满足D选项，但是集合T不是一个封闭集，故D不正确；故选：AB．【点评】：本题考查了集合的新概念，抽象概括能力，运算能力．的定义域为 ___ ．11.（填空题，0分）函数f（x）= √4−xx−1【正确答案】：[1]{x|x≤4且x≠1}【解析】：根据分式有意义的条件，分母不能为0，偶次根式，被开方数大于等于0，可求出函数的f（x）的定义域．【解答】：解：∵ f(x)=√4−xx−1∴ {4−x≥0x−1≠0解得x≤4且x≠1即函数f(x)=√4−xx−1的定义域为{x|x≤4且x≠1}故答案为：{x|x≤4且x≠1}【点评】：本题主要考查了函数的定义域及其求法，解题的关键是注意分母不能为0，偶次根式被开方数大于等于0，属于基础题．12.（填空题，0分）已知函数f（x）=-ax3-bx+3a+b（a，b∈R）的图象关于原点对称，若它的定义域为[a-1，2a]，那么a=___ ，b=___ ．【正确答案】：[1] 13; [2]-1【解析】：根据题意，有f（x）为奇函数，由奇函数的定义域关于原点对称可得（a-1）+2a=0，解可得a的值，由奇函数定义可得f（x）+f（-x）=0，变形分析可得b的值，即可得答案．【解答】：解：根据题意，函数f（x）=-ax3-bx+3a+b（a，b∈R）的图象关于原点对称，即f （x）为奇函数，若它的定义域为[a-1，2a]，则有（a-1）+2a=0，解可得a= 13，则f（x）=- 13 x3-bx+1+b，f（-x）= 13x3+bx+1+b，则有f（-x）+f（x）=2+2b=0，解可得b=-1，故答案为：13，-1．【点评】：本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，注意奇偶函数的定义域的特点，属于基础题．13.（填空题，0分）设p：-1＜a-x＜1，q：12＜x＜32，若p的一个充分不必要条件是q，则实数a的取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1][ 12，32]【解析】：根据充分不必要条件的定义，转化为集合的真子集关系进行求解即可．【解答】：解：由-1＜a-x ＜1得a-1＜x ＜a+1， ∵q 是p 的充分不必要条件，∴q 对应的集合是p 对应集合的真子集， ∴（ 12 ， 32 ）⫋（a-1，a+1）， 则 {a −1≤12a +1≥32 ，得 12 ≤a≤ 32， 即实数a 的取值范围是[ 12， 32]． 故答案为：[ 12， 32]．【点评】：本题主要考了充分条件和必要条件的定义，进行转化是解决本题的关键，属于基础题．14.（填空题，0分）设 a ＞12 ，b ＞0，若a+b=2，则 12a−1+2b 的最小值为___ ． 【正确答案】：[1]3【解析】：由已知可得 12a−1+2b = 12a−1+42b = 13 （ 12a−1+42b ）（2a-1+2b ），展开后结合基本不等式即可求解．【解答】：解：因为 a ＞12 ，b ＞0，a+b=2， 所以2a-1+2b=3，则 12a−1+2b = 12a−1+42b = 13 （ 12a−1+42b ）（2a-1+2b ）= 13 [5+ 2b2a−1+4(2a−1)2b ] ≥13(5+4) =3，当且仅当 2b2a−1=4(2a−1)2b且a+b=2即a=b=1时取等号，故答案为：3【点评】：本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，解题的关键是应用条件的配凑． 15.（填空题，0分）已知函数 f (x )={−x 2−ax −5，(x ≤1)a x (x ＞1) 是R 上的增函数，则a 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1][-3，-2]【解析】：要使函数在R 上为增函数，须有f （x ）在（-∞，1]上递增，在（1，+∞）上递增，且 −12−a ×1−5≤a1 ，由此可得不等式组，解出即可．【解答】：解：要使函数在R 上为增函数，须有f （x ）在（-∞，1]上递增，在（1，+∞）上递增，且 −12−a ×1−5≤a 1，所以有 { −a2≥1a ＜0−12−a ×1−5≤a 1 ，解得-3≤a≤-2，故a 的取值范围为[-3，-2]． 故答案为：[-3，-2]．【点评】：本题考查函数的单调性，考查学生解决问题的能力，属中档题． 16.（问答题，0分）已知集合A={x|x 2-x-2＜0}，B={x|（x-a ）（x-3a ）＜0，a∈R}． （1）当a=1时，求集合A 和A∪B ； （2）若B⊆（∁R A ），求实数a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）求出集合A ，B ，由此能求出A∪B ．（2）求出∁U A={x|x≤-1或x≥2}，B⊆（∁R A ），当B=∅时，a=3a ，当a ＜0时，B={x|3a ＜x ＜a}，当a ＞0时，B={x|a ＜x ＜3a}，由B⊆（∁R A ），能求出实数a 的取值范围．【解答】：解：（1）集合A={x|x 2-x-2＜0}={x|-1＜x ＜2}=（-1，2）， 当a=1时，B={x|（x-1）（x-3）＜0}={x|1＜x ＜3}， A∪B={x -|1＜x ＜3}=（-1，3）．（2）∵B={x|（x-a ）（x-3a ）＜0，a∈R}． ∁U A={x|x≤-1或x ≥2}，B⊆（∁R A ）， ∴当B=∅时，a=3a ，解得a=0， 当a ＜0时，B={x|3a ＜x ＜a}， 由B⊆（∁R A ），得a≤-1， 当a ＞0时，B={x|a ＜x ＜3a}， 由B⊆（∁R A ），得a≥2．综上，实数a的取值范围是{a|a=0或a≤-1或a≥2}．【点评】：本题考查集合、并集的求法，考查并集、补集、子集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养．17.（问答题，0分）已知函数f（x）为奇函数，当x＞0时，f(x)=x2+2x．（1）求f（-1）的值，并求出f（x）在x＜0时的解析式；（2）判断f（x）在（1，+∞）上的单调性，并用函数单调性的定义进行证明．【正确答案】：【解析】：（1）由奇函数的性质可得f（-1）=-f（1），根据函数奇偶性的性质，将x＜0转化为-x＞0，即可求出函数的解析式；（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，利用增函数的定义证明即可．【解答】：解：（1）∵当x＞0时，f(x)=x2+2x．∴f（1）=3，由函数f（x）为奇函数，可得f（-1）=-f（1）=-3．令x＜0，则-x＞0，f（-x）=x2- 2x，由函数f（x）为奇函数，可得f（-x）=-f（x），∴f（x）=-f（-x）=-x2+ 2x，即x＜0时，f（x）的解析式为f（x）=-x2+ 2x．（2）f（x）在（1，+∞）上单调递增，证明如下：任取1＜x1＜x2，则f（x1）-f（x2）= x12 + 2x1 - x22 - 2x2=（x1-x2）（x1+x2- 2x1x2）∵1＜x1＜x2，故x1-x2＜0，x1+x2＞2，- 2x1x2＞-2，则x1+x2- 2x1x2＞0，故f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（1，+∞）上单调递增．【点评】：本题主要考查函数奇偶性的应用，函数解析式的求法，利用单调性的定义证明函数的单调性，属于中档题．18.（问答题，0分）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R （x ）= {400x −12x 2，0≤x ≤40080000，x ＞400 ，其中x 是仪器的月产量．（注：总收益=总成本+利润） （1）将利润f （x ）表示为月产量x 的函数；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？【正确答案】：【解析】：（1）根据利润=收益-成本，由已知分两段当0≤x≤400时，和当x ＞400时，求出利润函数的解析式；（2）根据分段函数的表达式，分别求出函数的最大值即可得到结论．【解答】：解：（1）由于月产量为x 台，则总成本为20000+100x ， 从而利润f （x ）= {300x −12x 2−20000，0≤x ≤40060000−100x ，x ＞400；（2）当0≤x≤400时，f （x ）=300x- 12x 2 -20000=- 12（x-300）2+25000， ∴当x=300时，有最大值25000；当x ＞400时，f （x ）=60000-100x 是减函数， ∴f （x ）=60000-100×400＜25000． ∴当x=300时，有最大值25000，即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元．【点评】：本题主要考查函数的应用问题，根据条件建立函数关系，利用分段函数的表达式结合一元二次函数的性质求出函数的最值是解决本题的关键． 19.（问答题，0分）已知函数f （x ）=x 2-x+1．（1）求出f （x ）在x∈[1，3]上的最大值和最小值，并指出取到最值时x 的取值； （2）当x∈[m ，m+1]（m∈R ）时，求f （x ）的最小值g （m ）．【正确答案】：【解析】：（1）利用二次函数的开口方向与对称轴，结合x 的范围，求解函数的最值，以及x 的值．（2）利用二次函数的图象及性质，分类讨论即可得解；【解答】：解：（1）函数f （x ）=x 2-x+1，开口向上，对称轴为：x= 12 ， ∵ 12 ∉[1，3]，所以函数在x∈[1，3]上是增函数，x=1时，f （x ）min =f （1）=1，x=3时，f （x ）max =f （3）=7． （2）由题意，画出函数f （x ）图象如下：由题意及图， ① 当m+1≤ 12，即m≤- 12时，f （x ）min =f （m+1）=m 2+m+1； ② 当m≤ 12 ＜m+1，即- 12 ＜m≤ 12 时，f （x ）min =f （ 12 ）= 34 ； ③ 当m ＞ 12 时，f （x ）min =f （m ）=m 2-m+1．综上所述，可得：f （x ）的最小值 g (m )={m 2+m +1，m ≤−1234，−12＜m ＜12m 2−m +1，m ≥12．【点评】：本题考查函数的最值的求法，二次函数的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．20.（问答题，0分）设函数f （x ）=x 2+2ax+2-a ，（a∈R ）． （1）解关于x 的不等式f （x ）＞（1-a ）x 2-a ；（2）若至少有一个x∈[1，2]，使得f （x ）＞0成立，求a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）原不等式化为ax2+2ax+2＞0，讨论a=0，a＞0，a＜0，结合二次方程的两根和二次函数的图象可得所求解集；（2）由题意可得f（1）＞0或f（2）＞0，解不等式，求并集，可得所求范围．【解答】：解：（1）不等式x2+2ax+2-a＞（1-a）x2-a，化为ax2+2ax+2＞0，由a≥2或a＜0，可令x1=−a−√a2−2aa ，x2=−a+√a2−2aa，当a＜0时，x2＜x1，原不等式的解集为（x2，x1）；当a=0时，2＞0，则原不等式的解集为R；当0＜a＜2时，△＜0，原不等式的解集为R；a≥2时，x1＜x2，原不等式的解集为（-∞，x1）∪（x2，+∞）．（2）至少有一个x∈[1，2]，使得f（x）＞0成立，可得f（1）＞0或f（2）＞0，即1+2a+2-a＞0或4+4a+2-a＞0，即a＞-3或a＞-2，所以a＞-3，则a的取值范围是（-3，+∞）．【点评】：本题考查含参数不等式的解法和不等式成立问题解法，考查分类讨论思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．。
2020-2021学年高一数学必修第一册(人教A版(2019))(试卷+答案)
2020-2021学年高一数学必修一单元测试卷第5章 三角函数（一）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1、在平面直角坐标系xOy 中，角与均以Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称，若=αsin 54，则=βsin (A ．53B ．54C ．53-D ．-54 2.（2020全国 Ⅱ卷）若α为第四象限角，则（ ） A ．cos 20α> B ．cos 20α< C ．sin 20α>D ．sin 20α<3..设α是第二象限角，P(x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( ) A ．43B ．34C ．－34D ．－434. 一段圆弧的长度等于其圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数为（ ） A ．2π B ．3π C 2 D 35.若4sin cos 3θθ-=，且3π,π4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin(π)cos(π)θθ---=（ ） A ．23- B ．23C ．43-D ．436.（2020全国III 卷）已知2tan tan()74πθθ-+=，则tan θ=（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．27.若2cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()cos 2πα-=（ ）A ． 29- B ．29 C ． 59- D ． 598 （2020海南卷改编）右图是函数sin()y x ωϕ=+的部分图像，则sin()x ωϕ+=（ ）A ．sin()3x π+B ．sin(2)3x π-C ．)62cos(π-xD ．5cos(2)6x π-9. （2020全国卷I ）已知(0,)απ∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（ ）A ．5B ．23C ．13D 510. 设函数()sin()3)f x x x ωϕωϕ=++（0,2πωϕ><）的最小正周期为π，且()f x 为偶函数，则（ ）A ．()f x 在(0,)2π单调递减B ．()f x 在3(,)44ππ单调递减C ．()f x 在(0,)2π单调递增D ．()f x 在3(,)44ππ单调递增11. 若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝( )A ．33B ．－33C ．539D ．－69 12. 设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，9π8，若方程f (x )＝a 恰好有三个根，分别为x 1，x 2，x 3(x 1<x 2<x 3)，则2x 1＋3x 2＋x 3的值为( )A ．πB ．3π4C ．3π2D ．7π4二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13. （2020江苏卷）将函数3sin(2)4y x π=+的图象向右平移6π个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是 .14. （2020北京） 若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为________．15. （2020江苏卷）已知22sin ()43πα+=，则sin2α的值是________.16．(2020天津卷改编）已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．给出下列结论：①()f x 的最小正周期为2π；②2f π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值；③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象． 其中所有正确结论的序号是________三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.（10分）已知π02α<<，4sin 5α=． （1）求tan α及sin 2α的值；（2）求πcos 2sin()2αα++的值．18.（12分）已知f(α)＝.(1)化简f(α)；(2)若f(α)＝，且<α<，求cosα－sinα的值；(3)若α＝－，求f(α)的值．19. （12分）（2020·湖北武汉高一期末）一半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O 距离水面1米；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3秒转一圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时（图中点0P ）开始计算时间.（1）以水轮所在平面与水面的交线为x 轴，以过点O 且与水面垂直的直线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P 距离水面的高度h （单位：米）表示为时间t （单位：秒）的函数； （2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P 距水面的高度超过2米？20．（12分）【2020·天津高三二模】已知函数()()21cos 3sin cos 2f x x x x x =+-∈R （1）求()f x 的最小正周期；（2）讨论()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性；21. （12分）(本小题满分12分)已知α，β为锐角，sin α＝17，cos(α＋β)＝35. (1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6的值； (2)求cos β的值．22.（12分） 已知函数f(x)＝sin2x －2sin2x.(1)求函数f(x)的最大值； (2)求函数f(x)的零点的集合．2020-2020学年高一数学必修一第一册提优卷 第5章 三角函数（一）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1、在平面直角坐标系xOy 中，角与均以Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称，若=αsin 54，则=βsin (A ．53B ．54C ．53-D ．-54 答案D【解析】角与均以Ox 为始边，且它们的终边关于x 轴对称，=αsin βsin ， 又=αsin 54，∴=βsin -54． 故选：D ．2.（2020全国 Ⅱ卷）若α为第四象限角，则（ ） A ．cos 20α> B ．cos 20α<C ．sin 20α>D ．sin 20α<答案:D 【解析】∵22()2k k k Z ππαπ-+<<∈，∴424()k k k Z ππαπ-+<<∈，∴2α是第三象限角或第四象限角，∴sin 20α<故选D ．3..设α是第二象限角，P(x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( ) A ．43 B ．34C ．－34D ．－43答案:D【解析】：α是第二象限角，所以x<0，r ＝x 2＋16， 所以cos α＝x x 2＋16＝15x ，所以x 2＝9，所以x ＝－3， 所以tan α＝－43. 故选D ．4. 一段圆弧的长度等于其圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数为（ ） A ．2π B ．3π CD【答案】C【解析】：设圆内接正方形的边长为a ，所以弧长等于a的圆弧所对的圆心角为l rα===，故选C ． 5.若4sin cos 3θθ-=，且3π,π4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin(π)cos(π)θθ---=（） A ．3-B ．3C ．43-D ．43【答案】A【解析】由题意，416sin cos 12sin cos 39θθθθ-=⇒-=， 则72sin cos 09θθ=-<，由于3π,π4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 22sin(π)cos(π)sin cos (sin cos )12sin cos 3θθθθθθθθ---=+=-+=-+=-故选A ．6.（2020全国III 卷）已知2tan tan()74πθθ-+=，则tan θ=（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2答案：D【解析】由题可知1tan 2tan 71tan θθθ+-=-，化解得：22tan 2tan 1tan 77tan θθθθ---=-，解得tan 2θ=.故选D ．7.若2cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()cos 2πα-=（ ）A ． 29-B ．29C ． 59-D ．59【答案】C【解析】2cos sin 23παα⎛⎫-== ⎪⎝⎭， ()2225cos 2cos22sin 12139πααα⎛⎫-=-=-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭.选C ． 8 （2020海南卷改编）右图是函数sin()y x ωϕ=+的部分图像，则sin()x ωϕ+=（ ）A ．sin()3x π+B ．sin(2)3x π-C ．)62cos(π-x D ．5cos(2)6x π- 【答案】：B 、 【解析】由图易知22362T πππ=-=，则T π=，22T πω==，由题意结合图像知，26πϕπ⨯+=，故23πϕ=，则2sin(2)sin(2)sin(2)333y x x x ππππ=+=+-=- sin(2)cos(2)266x x πππ=++=+.故选B ．9. （2020全国卷I ）已知(0,)απ∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（ ）A ．B ．23 C ．13D 【答案】：A【解析】由3cos28cos 5αα-=，得23(2cos 1)8cos 5αα--=， 得23cos 4cos 40αα--=，化为(3cos 2)(cos 2)0αα+-=，得2cos 3α=-，那么sin 3α=．故选A ．10. 设函数()sin())f x x x ωϕωϕ=++（0,2πωϕ><）的最小正周期为π，且()f x 为偶函数，则（ ）A ．()f x 在(0,)2π单调递减B ．()f x 在3(,)44ππ单调递减C ．()f x 在(0,)2π单调递增D ．()f x 在3(,)44ππ单调递增【答案】C【解析】()2sin 3f x x πωϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，周期为2,2T ππωω===，函数为偶函数，故,326πππϕϕ-=-=-，故()cos2f x x =-，所以函数在(0,)2π上单调递增. 故选C ．11. 若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝( )A ．33 B ．－33 C ．539 D ．－69【答案】C【解析】：根据条件可得α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，34π，π4－β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝223，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝13×33＋223×63＝539.故选C ．12. 设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，9π8，若方程f (x )＝a 恰好有三个根，分别为x 1，x 2，x 3(x 1<x 2<x 3)，则2x 1＋3x 2＋x 3的值为( )A ．πB ．3π4C ．3π2D ．7π4【答案】D【解析】：由题意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，9π8，则2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π2， 画出函数的大致图象，如图所示．由图可得，当22≤a <1时，方程f (x )＝a 恰有三个根． 由2x ＋π4＝π2得x ＝π8； 由2x ＋π4＝3π2得x ＝5π8.由图可知，点(x 1，a )与点(x 2，a )关于直线x ＝π8对称；点(x 2，a )和点(x 3，a )关于x ＝5π8对称，所以x 1＋x 2＝π4，x 2＋x 3＝5π4，所以2x 1＋3x 2＋x 3＝2(x 1＋x 2)＋(x 2＋x 3)＝7π4，故选D ．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13. （2020江苏卷）将函数3sin(2)4y x π=+的图象向右平移6π个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是 . 【答案】524x π=- 【解析】因为()3sin(2)4f x x π=+，将函数()3sin(2)4f x x π=+的图象向右平移6π个单位长度得()()3sin(2)3sin(2)63412g x f x x x ππππ=-=-+=-，则()y g x =的对称轴为2122x k πππ-=+，k Z ∈，即7242k x ππ=+，k Z ∈，0k =时，724x π=，1k =-时，524x π=-，所以平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是524x π=-. 14. （2020北京）若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为________．【答案】2π（2,2k k Z ππ+∈均可）【解析】因为()()()cos sin sin 1cos f x x x x ϕϕθ=++=+，2=，解得sin 1ϕ=，故可取2ϕπ=. 15. （江苏卷）已知22sin ()43πα+=，则sin2α的值是________.【答案】：13【解析】因为22sin ()43πα+=，由2112sin ()(1cos(2))(1sin2)42223ππααα+=-+=+=，解得1sin 23α=16．(2020天津卷改编）已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．给出下列结论：①()f x 的最小正周期为2π；②2f π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值；③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象． 其中所有正确结论的序号是________【答案】①③【解析】因为()sin()3f x x π=+，所以周期22T ππω==，故①正确； 51()sin()sin 122362f ππππ=+==≠，故②不正确； 将函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，得到sin()3y x π=+的图象， 故③正确.三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.（10分）已知π02α<<，4sin 5α=． （1）求tan α及sin 2α的值；（2）求πcos 2sin()2αα++的值．【答案】（1）4tan 3α=，24sin 225α=；（2）825．【解析】（1）因为π02α<<，4sin 5α=，所以3cos 4α=，所以sin 4tan cos 3ααα==，4324sin 22sin cos 25525ααα=⋅=⋅⋅=．（2）原式223382cos 1cos 2()15525αα=-+=⋅-+=．18.（12分）已知f(α)＝.(1)化简f(α)；(2)若f(α)＝，且<α<，求cosα－sinα的值；(3)若α＝－，求f(α)的值．【答案】（1）f(α)＝sinα·cosα.（2）cosα－sinα＝－.(3)－【解析】(1)f(α)＝＝sinα·cosα.(2)由f(α)＝sinαcosα＝可知(cosα－sinα)2＝cos 2α－2sinαcosα＋sin 2α＝1－2sinαcosα＝1－2×＝.又∵<α<，∴cosα<sinα，即cosα－sinα<0.∴cosα－sinα＝－.(3)∵α＝－＝－6×2π＋，∴f(-)＝cos(-)·sin(-)＝cos(-6)·sin(-6)＝cos ·sin ＝cos(2π－)·sin(2π－)＝cos ·＝·(-)＝－. 19. （12分）（2020·湖北武汉高一期末）一半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O 距离水面1米；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3秒转一圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时（图中点0P ）开始计算时间.（1）以水轮所在平面与水面的交线为x 轴，以过点O 且与水面垂直的直线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P 距离水面的高度h （单位：米）表示为时间t （单位：秒）的函数； （2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P 距水面的高度超过2米？【答案】（1）()22sin 1036t h t ππ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭；（2）有1s 时间点P 距水面的高度超过2米. 【解析】（1）设水轮上圆心O 正右侧点为A ，y 轴与水面交点为B ，如图所示：设()sin h a t b ωϕ=++，由1OB =，2OP =，可得03BOP π∠=，所以06AOP π∠=.2a ∴=，1b =，6πϕ=-，由题意可知，函数2sin 16h t πω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的最小正周期为3T =，223T ππω∴==， 所以点P 距离水面的高度h 关于时间t 的函数为()22sin 1036t h t ππ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭； （2）由22sin 1236t h ππ⎛⎫=-+>⎪⎝⎭，得21sin 362t ππ⎛⎫-> ⎪⎝⎭， 令[]0,3t ∈，则211,3666t ππππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 由256366t ππππ<-<，解得1322<<t ，又31122-=，所以在水轮转动的任意一圈内，有1s 时间点P 距水面的高度超过2米.20．（12分）【2020·天津高三二模】已知函数()()21cos 3cos 2f x x x x x =-∈R （1）求()f x 的最小正周期；（2）讨论()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性；【答案】（1）π；（2）()f x 在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；在区间,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.【解析】（1）依题意，()211cos 231cos 3sin cos 2sin 222226x f x x x x x x +π⎛⎫=+-=+-=+ ⎪⎝⎭所以2T ωπ==π.（2）依题意，令222262k x k πππ-+π≤+≤+π，k ∈Z ， 解得36k x k ππ-+π≤≤+π，所以()f x 的单调递增区间为,36k k ππ⎡⎤-+π+π⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .设,44A ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，,36B k k ππ⎡⎤=-+π+π⎢⎥⎣⎦，易知,46A B ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，所以当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；在区间,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.21. （12分）(本小题满分12分)已知α，β为锐角，sin α＝17，cos(α＋β)＝35. (1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6的值； (2)求cos β的值．【答案】（1）5314（2）4＋12335 【解析】 (1)∵α为锐角，sin α＝17， ∴cos α＝1－sin 2α＝437，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝sin αcos π6＋cos αsin π6 ＝17×32＋437×12＝5314.(2)∵α，β为锐角，∴α＋β∈(0，π)，由cos(α＋β)＝35得，sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝45，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝35×437＋45×17＝4＋12335.22.（12分）已知函数f(x)＝sin2x－2sin2x.(1)求函数f(x)的最大值；(2)求函数f(x)的零点的集合．【答案】（1）1 （2）{x|x＝kπ或x＝kπ＋，k∈Z}【解析】(1)因为f(x)＝sin 2x－(1－cos 2x)＝2sin(2x＋)－1，所以，当2x＋＝2kπ＋，k∈Z，即x＝kπ＋，k∈Z时，函数f(x)取得最大值1.(2)法一：由(1)及f(x)＝0得sin(2x＋)＝，所以2x＋＝2kπ＋或2x＋＝2kπ＋，k∈Z，即x＝kπ或x＝kπ＋，k∈Z.故函数f(x)的零点的集合为{x|x＝kπ或x＝kπ＋，k∈Z}．法二：由f(x)＝0得2sin xcos x＝2sin2x，于是sin x＝0或cos x＝sin x即tan x＝. 由sin x＝0可知x＝kπ；由tan x＝可知x＝kπ＋.故函数f(x)的零点的集合为{x|x＝kπ或x＝kπ＋，k∈Z}．。
高一数学期末试卷带答案解析
高一数学期末试卷带答案解析考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.已知数列满足（），则（ ）A ．B ．C ．D ．2.如图，在长方体 中，AB=BC=2，，则与平面所成角的余弦值为（ ）A ．B ．C ．D ．3.f(X)是定义在〔－6，6〕上的偶函数，且f(3)＞f(1)，则下列各式一定成立的是（ ）A ．f(0)＜f(6)B ．f(3)＞f(2)C ．f(-1)＜f(3)D ．f(2)＞f(0)4.若已知A （1，1，1），B （－3，－3，－3），则线段AB 的长为 A ．4B ．2C ．4D ．35.函数y=9x -2·3x +2 (-1≤x≤1)的最小值是( ) A 65 BC 5D 16.已知平面向量=（1，－3），=（4，－2），与垂直，则是________ . 7.在正方体中，是棱的中点，点为底面的中心，为棱中点，则异面直线与所成的角的大小为（ ） A ．B ．C ．D ．8.用“辗转相除法”求得和的最大公约数是（ ）A B CD9.若是两个单位向量，且，则（）A． B． C． D．10.求值：＝ ( )A．tan 38° B． C． D．－11.下列函数中,在区间上是增函数的是 ( )A． B． C． D．12.是以为周期的奇函数，若时，，则在区间上是（）A．增函数且B．减函数且C．增函数且D．减函数且13.在△ABC中，已知＝（3，0），＝（3，4），则的值为A．0 B． C． D．114.下列图形中不一定是平面图形的是（）A．三角形 B．四边相等的四边形 C．梯形 D．平行四边形15.在空间四边形中，、、、上分别取、、、四点，如果、交于一点，则（）A．一定在直线上B．一定在直线上C．在直线或上D．既不在直线上，也不在上16.数列的通项公式为,其前项和为，则( ) A． B． C． D．17.方程的实数解落在的区间是A． B． C． D．18.已知等于（）A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120°19.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A ．28＋6B ．30＋6C ．56＋12D ．60＋1220.长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是 （ ） 、； 、； 、； 、都不对。
2020-2021学年新教材高一数学上学期期末复习练习(四)
2020-2021高一数学期末复习练习（四）考查知识：苏教版必修第一册第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．集合{|14}A x N x =∈≤<的真子集的个数是（ ）A ．16B ．8C ．7D ．42．已知：p ：A ={x |x 2﹣2x ﹣3≤0}，q ：B ={x |x 2﹣2mx +m 2﹣4≤0}，若p 是￢q 成立的充分不必要条件，求m 的取值范围是（ ）A ．(﹣∞，﹣3)∪(5，+∞)B ．(﹣3，5)C ．[﹣3，5]D ．(﹣∞，﹣3]∪[5，+∞)3．已知a b >，0ab ≠，则下列不等式正确的是（ ）A ．22a b >B ．22a b >C ．|a |>|b|D ．11a b < 4．已知lg 20.3010=，由此可以推断20142是（ ）位整数.A ．605B ．606C ．607D ．6085．设f （x ）＝12(1),1x x x <<-≥⎪⎩，若f （a ）＝12，则a ＝（ ） A ．14 B ．54 C ．14或54 D ．26．正实数x ，y 满足lg lg 100y x x y =，则xy 的取值范围是（ ）A ．1[,100]100B ．1(0,][100,)100⋃+∞ 117．已知扇形的圆心角为23π，面积为24 c m 3π，则扇形的半径为（ ） A ．12cm B ．1cmC ．2cmD ．4cm 8．复利是一种计算利息的方法．即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息．某同学有压岁钱1000元，存入银行，年利率为2.25%；若放入微信零钱通或者支付宝的余额宝，年利率可达4.01%．如果将这1000元选择合适方式存满5年，可以多获利息（ ）元（参考数据：1.02254＝1.093，1，02255＝1.170，1.04015＝1.217）A ．176B ．104.5C ．77D ．88二、多选题9．已知集合{}2A x ax =≤，{B =，若B A ⊆，则实数a 的值可能是（ ） A ．1- B ．1 C ．2- D ．2 10．设正实数a ，b 满足a +b ＝1，则（ ）A ．11a b +有最小值4B 12C D ．a 2+b 2有最小值12 11．已知定义在R 上的函数()y f x =满足条件()()2f x f x +=-，且函数()1y f x =-为奇函数，则（ ）A ．()4()f x f x +=B ．函数()y f x =的图象关于点()1,0-对称C ．函数()y f x =为R 上的奇函数D ．函数()y f x =为R 上的偶函数12．将函数()sin2f x x =向右平移4π个单位后得到函数()g x ，则()g x 具有性质（ ） A ．在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，为偶函数 B ．最大值为1，图象关于直线32x π=对称 C ．在3,88ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，为奇函数 D ．周期为π，图象关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题13．已知p ：2106x x >--，则“非p ”对应的x 值的集合是___. 14．若对数ln （x 2﹣5x +6）存在，则x 的取值范围为___.15．若()log 3a y ax =+(0a >且1a ≠)在区间(－1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．四、双空题16．已知函数()22log (1),02,0x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩. 若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围是________;若()f x m =有2个零点，则m =________．17．已知集合{}12A x x =-≤≤，{}2B x a x a =≤≤+．（1）若1a =，求A B ；（2）在①R R A B ⊆，②A B A ⋃=，③A B B =中任选一个作为已知，求实数a 的取值范围．18．已知函数()222y ax a x =-++，a R ∈ （1）32y x <-恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当0a >时，求不等式0y ≥的解集；（3）若存在0m >使关于x 的方程()21221ax a x m m-++=++有四个不同的实根，求实数a 的取值.19．计算下列各式的值：（1）lg2+lg50；（2）39log 4log 8； （3）)211lg12log 432162lg 20lg 2log 2log 319-⎛⎫++--⋅+ ⎪⎝⎭.20．已知函数f (x )＝ax 2﹣2x +1+b （a ≠0）在x ＝1处取得最小值0．（1）求a ，b 的值；（2）()()f x g x x =，求函数1(|21|),,22x y g x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦的最小值与最大值及取得最小值与最大值时对应的x 值．21．设函数()cos(),0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g （x ）的图象，求g （x ）在2,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域.22．销售甲种商品所得利润为P 万元，它与投入资金t 万元的函数关系为1at P t =+；销售乙种商品所得利润为Q 万元，它与投入资金t 万元的函数关系为Q bt =，其中a ，b 为常数．现将5万元资金全部投入甲、乙两种商品的销售：若全部投入甲种商品，所得利润为52万元；若全部投入乙种商品，所得利润为53万元．若将5万元资金中的x 万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售，则所得利润总和为()f x 万元． （1）求函数()f x 的解析式；（2）求()f x 的最大值．2020-2021高一数学期末复习练习（四）考查知识：苏教版必修第一册参考答案1．C【分析】先用列举法写出集合A ，再写出其真子集即可.【详解】解：∵141,2,3{|}{}A x N x =∈≤<=，{|1}4A x N x ∴=∈≤<的真子集为：{}{}{},,,,{}1231,21,{},,3{}2,3∅共7个． 故选：C ．2．A【分析】求出集合A ，B ，由题可得[1,3]- ()(),22,m m -∞-⋃+∞，即可求出.【详解】解：由2230x x --≤，解得：13x -≤≤.{}2:230[1,3]p A x x x ∴=--≤=-∣.由22240x mx m -+-≤，解得：22m x m -≤≤+.∴q ：B ={x |x 2﹣2mx +m 2﹣4≤0}=[m ﹣2，m +2]， {}22:240[2,2]q B x x mx m m m ∴=-+-≤=-+∣.∵p 是￢q 成立的充分不必要条件，[1,3]∴- ()(),22,m m -∞-⋃+∞，32m ∴<-或21m +<-，解得5m >或3m <-.∴m 的取值范围是(,3)(5,)-∞-+∞. 故选：A.【点睛】结论点睛：本题考查根据充分不必要条件求参数，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）若p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）若p 是q 的既不充分又不必要条件，则q 对应的集合与p 对应集合互不包含． 3．B【分析】利用不等式性质和指数函数的单调性，以及举反例，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，令1,2a b ==-，此时满足a b >，0ab ≠，但22a b <，所以不正确； 对于B 中，由函数2x y =为R 上的单调递增函数，因为a b >，所以22a b >，所以正确； 对于C 中，令1,2a b ==-，此时满足a b >，0ab ≠，但|a ||b |<，所以不正确； 对于D 中，令1,2a b ==-，此时满足a b >，0ab ≠，但11a b>，所以不正确. 故选：B.4．C【分析】令20142t =，两边取对数后求得lg t ，由此可得20142的整数位.【详解】解：∵lg 20.3010=，令20142t =，∴2014lg 2lg t ⨯=，则lg 20140.3010606.214t =⨯=，∴20142是607位整数.故选：C.5．C【分析】根据解析式分段讨论可求出.【详解】解：∵()12(1),1x f x x x <<=-≥⎪⎩，1()2f a =，∴由题意知，0112a <<⎧=或()11212a a ≥⎧⎪⎨-=⎪⎩， 解得14a =或54a =. 故选：C ．6．B【分析】两边取对数可得lg lg 1x y =，利用基本不等式即可求出xy 的取值范围.【详解】正实数x ，y 满足lg lg 100y x x y =，两边取对数可得2lg lg 2x y =，所以lg lg 1x y =， 所以22lg lg lg()1lg lg 22x y xy x y +⎛⎫⎡⎤=≤= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即2lg ()4xy ≥， 所以lg()2xy ≥或lg()2xy ≤-，解得100xy ≥或10100xy <≤， 所以xy 的取值范围是1(0,][100,)100⋃+∞． 故选：B【点睛】 关键点点睛：本题的求解关键是两边取对数得到lg lg x y 积为定值. 7．C【分析】利用扇形的面积公式即可求解.【详解】设扇形的半径为R ，则扇形的面积2211242233S R R ππα==⨯⨯=， 解得：2R =，故选：C8．B【分析】由题意，某同学有压岁钱1000元，分别计算存入银行和放入微信零钱通或者支付宝的余额宝所得利息，即可得到答案．【详解】将1000元钱存入微信零钱通或者支付宝的余额宝，选择复利的计算方法，则存满5年后的本息和为51000 1.04011217⨯＝，故而共得利息1217–1000＝217元．将1000元存入银行，不选择复利的计算方法，则存满5年后的利息为1000×0.0225×5＝112.5，故可以多获利息217–112.5＝104.5．故选：B ．【点睛】本题主要考查了等比数列的实际应用问题，其中解答中认真审题，准确理解题意，合理利用等比数列的通项公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．9．ABC【分析】由B A ⊆可得出关于实数a 的不等式组，解出实数a 的取值范围，进而可得出实数a 的可能取值.【详解】{}2A x ax =≤，{B =且B A ⊆，所以，222a ≤≤⎪⎩，解得1a ≤. 因此，ABC 选项合乎题意.故选：ABC.10．ABCD由正实数a ，b 满足1a b +=，可得2a b ab +，则104ab <，根据1114a b ab +=判断A ；104ab <开平方判断B =判断C ；利用222222()a b a a b b +++判断D ．【详解】正实数a ，b 满足1a b +=，即有2a b ab +，可得104ab <， 即有1114a b a b ab ab ++==，即有12a b ==时，11a b+取得最小值4，无最大值，A 正确；由104ab <可得102<，可得12a b ==有最大值12，B 正确；1122=+⨯，可得12a b ==，C 正确； 由222a b ab +可得2222222()()1a a b a b a b b ++=++=，则2212a b +，当12a b ==时，22a b +取得最小值12，D 正确． 故选：ABCD ．【点睛】 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.【分析】由()()2f x f x +=-，可得推得()()4f x f x +=，得到A 是正确的；由奇函数的性质和图象的变换，可得判定B 是正确的；由(1)(1)f x f x --=--+，可得推得函数()f x 是偶函数，得到D 正确，C 不正确.【详解】对于A 中，函数()y f x =满足()()2f x f x +=-，可得()()()42f x f x f x +=-+=，所以A 是正确的；对于B 中，()1y f x =-是奇函数，则(1)f x -的图象关于原点对称，又由函数()f x 的图象是由()1y f x =-向左平移1个单位长度得到，故函数()f x 的图象关于点(1,0)-对称，所以B 是正确的；对于C 、D ，由B 可得：对于任意的x ∈R ，都有(1)(1)f x f x --=--+，即(1)(1)0f x f x --+-+=，可变形得(2)()0f x f x --+=，则由(2)()(2)f x f x f x --=-=+对于任意的x ∈R 都成立，令2t x =+，则()()f t f t -=，即函数()f x 是偶函数，所以D 正确，C 不正确.故选：ABD【点睛】函数的周期性有关问题的求解策略：1、求解与函数的周期性有关问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期；2、解决函数周期性、奇偶性和单调性结合问题，通常先利用周期性中为自变量所在区间，再利用奇偶性和单调性求解.12．ABD【分析】化简得到()cos 2g x x =-，分别计算函数的奇偶性，最值，周期，轴对称和中心对称，单调区间得到答案.【详解】()sin 2sin 2cos 242g x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 因为0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则20,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()cos 2g x x =-单调递增，且为偶函数，A 正确，C 错误； 最大值为1，当32x π=时，23x π=，所以32x π=为对称轴，B 正确； 22T ππ==，取2,,242k x k x k Z ππππ=+∴=+∈，当1k =时满足，图像关于点3,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，D 正确；故选：ABD【点睛】本题考查了三角函数的平移，最值，周期，单调性 ，奇偶性，对称性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.13．{}23x x -≤≤【分析】先求出命题p ，再按照非命题的定义求解即可.【详解】p ：2106x x >--， 则260x x -->，解得2x <-或3x >，所以“非p ”对应的x 值的集合是{}23x x -≤≤. 故答案为：{}23x x -≤≤.14．()(),23,-∞+∞ 【分析】若对数存在，则真数大于0，解不等式即可.【详解】解：∵对数ln （x 2﹣5x +6）存在，∴x 2﹣5x +6＞0，∴解得： x ＜2或 x ＞3，即x 的取值范围为：（﹣∞，2）∪（3，+∞）.故答案为：（﹣∞，2）∪（3，+∞）.15．(]1,3【分析】先利用0a >判断30u ax =+>是增函数，进而得到log a y u =是增函数，列关系计算即得结果.【详解】因为()log 3a y ax =+，(0a >且1a ≠)在区间(－1，＋∞)上是增函数，知3u ax =+在区间(－1，＋∞)上是增函数，且0>u ，故log a y u =是增函数，所以30101a a a a ⎧⎪-+≥⎪⎪>⎨⎪>⎪≠⎪⎩，解得13a .故a 的取值范围是(]1,3．故答案为：(]1,3．16．(0,1) 0或1【分析】把函数()()g x f x m =-有3个零点，转化为()y f x =和y m =的交点有3个，作出函数()f x 的图象，结合图象，即可求解.【详解】由题意，函数()()g x f x m =-有3个零点，转化为()0f x m -=的根有3个，转化为()y f x =和y m =的交点有3个，画出函数()22log (1),02,0x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩的图象，如图所示，则直线y m =与其有3个公共点， 又抛物线的顶点为(1,1)-，由图可知实数m 的取值范围是(0,1)．若()f x m =有2个零点，则0m =或(1)1m f =-=．故答案为：(0,1)；0或1．【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中把函数的零点问题转化为两个函数的图象的交点个数，结合图象求解是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力. 17．（1）{}13A B x x ⋃=-≤≤；（2）选①/②/③，10a -≤≤．【分析】（1）应用集合并运算求A B 即可；（2）根据所选条件有B A ⊆，即可求a 的取值范围.【详解】（1）当1a =时，{}13B x x =≤≤，则{}13A B x x ⋃=-≤≤．（2）选条件①②③，都有B A ⊆， ∴1,22,a a ≥-⎧⎨+≤⎩解得10a -≤≤， ∴实数a 的取值范围为10a -≤≤．【点睛】本题考查了集合的基本运算，利用并运算求并集，由条件得到集合的包含关系求参数范围，属于简单题.18．（1）(4,0]-；（2）当02a <<时，不等式的解集为 {|1x x ≤或2}x a ≥；当2a =时，不等式的解集为R ；当2a >时，不等式的解集为 2{|x x a≤或1}x ≥；（3）(,4-∞-- 【分析】（1）先整理，再讨论0a =和0a ≠，列出恒成立的条件，求出a 的范围；（2）先因式分解，对两根大小作讨论，求出解集； （3）先令11t m m =++，由0m >，则可得3t ≥，再将()21221ax a x m m-++=++有四个不同的实根，转化为2(2)20ax a x t -++-=有两个不同正根，根据根与系数的关系，求出a 的取值范围.【详解】（1）由题有()22232ax a x x -++<-恒成立，即210ax ax -+-<恒成立， 当0a =时，10-<恒成立，符合题意；当0a ≠时，则2040a a a <⎧⎨∆=+<⎩，得040a a <⎧⎨-<<⎩，得40a ， 综合可得40a .（2）由题2(2)20,ax a x -++≥ 即 (2)(1)0ax x --≥,由0,a >则2()(1)0x x a --=，且221a a a--= ①当02a <<时，21>a，不等式的解集为 {1x x ≤∣或2}x a ≥; ②当2a =时，不等式的解集为R③当2a >时，21a <，不等式的解集为 {2x x a≤∣或1}x ≥;综上可得：当02a <<时，不等式的解集为 {|1x x ≤或2}x a≥； 当2a =时，不等式的解集为R ；当2a >时，不等式的解集为 2{|x x a≤或1}x ≥； （3）当 0m > 时，令1113t m m =++≥=, 当且仅当1m =时取等号，则关于x 的方程(||)f x t = 可化为2||(2)||20a x a x t -++-=,关于x 的方程 2||(2)||20a x a x t -++-= 有四个不等实根， 即2(2)20ax a x t -++-=有两个不同正根， 则 2(2)4(2)0(1)20(2)20(3)a a t a a t a ⎧⎪∆=+-->⎪+⎪>⎨⎪-⎪>⎪⎩由（3）得0a <，再结合（2）得2a <-，由 (1) 知,存在 [3,)t ∈+∞ 使不等式24(2)80at a a ++->成立，故243(2)80a a a ⨯++->,即 2840,a a ++>解得4a <--或4a >-+综合可得4a <--故实数a的取值范围是(,4-∞--.【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解；19．（1）2；（2）43；（3）2. 【分析】（1）根据对数的加法运算法则，即可求得答案；（2）利用换底公式，结合对数的运算性质，即可求得答案；（3）根据对数的运算性质及减法法则，即可求得答案.【详解】（1）2lg 2lg50lg100lg102+===； （2）39lg 4log 42lg 22lg 324lg 32lg8log 8lg 33lg 233lg 9==⨯=⨯=； （3）)211lg12log 432162lg 20lg 2log 2log 319-⎛⎫++--⋅+ ⎪⎝⎭=013lg1011)1111244++-+=+-+= 20．（1）a ＝1，b ＝0；（2）当x ＝2时，g (|2x ﹣1|)max ＝43，x ＝1时，g (|2x ﹣1|)min ＝0． 【分析】（1）利用二次函数的性质求出a ，b 的值；（2）求出函数(|21|)x y g =-的解析式，利用换元法对勾函数的性质，得出最值以及取得最值时的x 值．【详解】（1）f (x )＝ax 2﹣2x +1+b （a ≠0）在x ＝1处取得最小值0， 即1a ＝1，f (1)＝a +b ﹣1＝0，解得a ＝1，b ＝0； （2）由（1）知f (x )＝(x ﹣1)2，()()12f x g x x x x==+-，g (|2x ﹣1|)＝121221x x -+--，令t ＝|2x ﹣1|，∵1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，则1,3t ⎤∈⎦， 由对勾函数的性质可得()min ()10g t g ==，此时t ＝1即|2x ﹣1|＝1，解得x ＝1；又)1122g =-=，())14332133g g =+-=>， 当t ＝3时，解得x ＝2时，所以当x ＝2时，g (|2x ﹣1|)max ＝43，当x ＝1时，g (|2x ﹣1|)min ＝021．（1）()cos(2)3f x x π=-；（2）[,],36k k k Z ππππ-+∈；（3）[-. 【分析】（1）由函数()f x 的最小正周期为π，求得2w =，再由16f π⎛⎫=⎪⎝⎭，求得ϕ的值，即可求得函数()f x 的解析式；（2）由（1）知()cos(2)3f x x π=-，根据余弦型函数的性质，即可求得函数的递增区间；（3）根据三角函数的图象变换，求得()cos()3g x x π=+，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】 （1）由题意，函数()cos()f x x =+ωϕ的最小正周期为π， 所以2wππ=，可得2w =，所以()cos(2)f x x ϕ=+， 又由16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得()cos(2)cos()1663f πππϕϕ=⨯+=+=， 可得2,3k k Z πϕπ+=∈，即2,3k k Z πϕπ=-∈， 因为02πϕ-<<，所以3πϕ=-， 所以函数()f x 的解析式为()cos(2)3f x x π=-.（2）由（1）知()cos(2)3f x x π=-， 令222,3k x k k Z ππππ-≤-≤∈，解得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 所以函数()cos(2)3f x x π=-的单调递增区间为[,],36k k k Z ππππ-+∈. （3）将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度， 得到函数cos[2()]cos(2)333y x x πππ=+-=+， 再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()cos()3y g x x π==+，因为2[,]63x ππ∈-，可得[,]36x πππ+∈，所以()1g x -≤≤，所以函数()g x 的值域为[-. 【点睛】 解答三角函数的图象与性质的基本方法：1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为sin()y A wx ϕ=+的形式；2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.22．（1）()3513x x f x x -=++，[]0,5x ∈；（2）3万元． 【分析】（1）对甲种商品投资x 万元，则对乙种商品投资为5x -万元，当5t =时，求得3a =，13b =，代入()(5)1ax f x b x x =+-+即可． （2）转化成一个基本不等式的形式，最后结合基本不等式的最值求法得最大值，从而解决问题．【详解】（1）因为1at P t =+，Q bt = 所以当5t =时，55512a P ==+，553Q b ==，解得3a =，13b =． 所以31t P t =+，13=Q t ，从而()3513x x f x x -=++，[]0,5x ∈ （2）由（1）可得()()()313613531+553131313x x x x x f x x x x +--+-+⎛⎫=+==-+≤-= ⎪+++⎝⎭当且仅当3113x x +=+，即2x =时等号成立．故()f x 的最大值为3． 答：当分别投入2万元、3万元销售甲、乙两种商品时总利润最大，为3万元．【点睛】方法点睛：与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.。
2020-2021学年浙江省台州市高一(上)期末数学试卷-解析版
2020-2021学年浙江省台州市高一（上）期末数学试卷1. 已知集合A ={4,5,6}，B ={3,5,7}，则A⋂B =( )A. ⌀B. {5}C. {4,6}D. {3,4,5,6,7}2. 函数f(x)=√x +3+1x+2的定义域为( )A. (−3,−2)⋃(−2,+∞)B. [−3,−2)⋃(−2,+∞)C. (−3,+∞)D. (−∞,−2)⋃(−2,+∞)3. 不等式2|x−1|<4的解集是( )A. (−1,3)B. (−∞,−1)⋃(3,+∞)C. (−3,1)D. (−∞,−3)⋃(1,+∞)4. 已知a <0<c <b ，则下列各式一定成立的是( )A. a 2>b 2B. a 2≤b 2C. b +c <bcD. b −1b >c −1c5. 若a ，b ∈R ，则“ab ≥14”是“a 2+b 2≥12”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 函数f(x)=sinx ln(x 2+2)的图象大致是( )A.B.C.D.7. 已知函数f(x)={lnx −1x ,x >0x 2+2x,x ≤0，则函数y =f[f(x)+1]的零点个数是( )A. 2B. 3C. 4D. 58.若α为锐角，sinα=45，则cosα=( )A. −15B. 15C. −35D. 359.已知集合M={1,2,3,4,5}，M⋂N={4,5}，则N可能为( )A. {1,2,3,4,5}B. {4,5,6}C. {4,5}D. {3,4,5}10.若函数y=x2−4x−4的定义域为[0,m]，值域为[−8,−4]，则实数m的值可能为( )A. 2B. 3C. 4D. 511.下列函数中，不满足f(2x)=2f(x)的是( )A. f(x)=|x|B. f(x)=x−|x|C. f(x)=x+1D. f(x)=−x12.如图，某湖泊的蓝藻的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系满足y=a t，则下列说法正确的是( )A. 蓝藻面积每个月的增长率为100%B. 蓝藻每个月增加的面积都相等C. 第6个月时，蓝藻面积就会超过60m2D. 若蓝藻面积蔓延到2m2，3m2，6m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则一定有t1+t2=t313.已知lga−lgb=lg(a−b)，则实数a的取值范围是__________.14.已知函数f(x)=12sinx+√32cosx，x∈R，则函数f(x)的最大值是__________，且取到最大值时x的集合是__________.15.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0,+∞)上单调递增.若对任意x∈R，不等式f(a+|x−b|)≥f(|x|−2|x−1|)(a,b∈R)恒成立，则2a2+b2的最小值是__________.16.已知a∈R，b>0，若存在实数x∈[0,1),使得|bx−a|≤b−ax2成立，则ab的取值范围是__________.∈A.17.设数集A由实数构成，且满足：若x∈A(x≠1且x≠0)，则11−x(1)若2∈A，试证明A中还有另外两个元素；(2)集合A是否为双元素集合，并说明理由；(3)若A中元素个数不超过8个，所有元素的和为14，且A中有一个元素的平方等3于所有元素的积，求集合A.(a≠0)在(0,+∞)上的单调性.18.讨论f(x)=x+ax)(x∈R).19.已知函数f(x)=2sinxsin(x+π2求f(0)的值；求f(x)的最小正周期；)为偶函数，求φ的值．若y=f(x+φ)(0<φ<π2，x∈R.20.设a∈[0,4]，已知函数f(x)=4x−ax2+1若f(x)是奇函数，求a的值；x−a+2；当x>0时，证明：f(x)≤a2.设x1，x2∈R，若实数m满足f(x1)⋅f(x2)=−m2，证明：f(m−a)−f(1)<1821.如图所示，摩天轮的半径为40m，O点距地面的高度为50m，摩天轮按逆时针方向作匀速转动，且每2min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最高点．试确定点P距离地面的高度ℎ(单位：m)关于旋转时间t(单位：min)的函数关系式；在摩天轮转动一圈内，有多长时间P点距离地面超过70m？22.如果一个函数的值域与其定义域相同，则称该函数为“同域函数”．已知函数f(x)=√ax2+bx+a+1的定义域为{x|ax2+bx+a+1≥0,且x≥0}.若a=−1，b=2，求f(x)的定义域；当a=1时，若f(x)为“同域函数”，求实数b的值；若存在实数a<0且a≠−1，使得f(x)为“同域函数”，求实数b的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】 【分析】本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题． 由交集的定义，可求得A⋂B. 【解答】解：∵A ={4,5,6}，B ={3,5,7}，∴A⋂B ={5}.故选B.2.【答案】B【解析】 【分析】本题考查了函数的定义域及其求法，属基础题．由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不等于0，得到{x +3≥0x +2≠0，不等式组求解x 的取值集合． 【解答】解：由题意知{x +3≥0x +2≠0，得x ≥−3，且x ≠−2.∴函数f(x)=√x +3+1x+2的定义域为[−3,−2)⋃(−2,+∞).故选：B.3.【答案】A【解析】 【分析】本题考查指数函数的单调性以及含绝对值的不等式的解法，考查转化思想和运算能力，属于中档题．由不等式2|x−1|<4，得2|x−1|<22，根据指数函数的单调性得到|x−1|<2，解绝对值不等式，可得所求解集．【解答】解：不等式2|x−1|<4，即为2|x−1|<22，因为函数y=2x在R上为增函数，即有|x−1|<2，即−2<x−1<2，解得−1<x<3，则原不等式的解集为(−1,3).故选：A.4.【答案】D【解析】【分析】本题考查的知识要点：不等式的基本性质，赋值法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．直接利用不等式的基本性质和赋值法的应用判断A、B、C、D的结论．【解答】解：①因为a<0<c<b，a2，b2的大小无法确定，A，B均不正确；②取b=1.2，c=1.1，得b+c=2.3>bc=1.32，所以C不正确；③可得0>−1b >−1c，所以b−1b>c−1c，故D正确．故选：D.5.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用基本不等式的性质是解决本题的关键，属基础题．根据基本不等式的性质，判定充分性，举反例，a =−1，b =1时，满足a 2+b 2≥12，但ab ≥14不成立，必要条件不成立，即可得到答案．【解答】解：当ab ≥14时，a 2+b 2≥2ab ≥2×14=12，当且仅当a =b 时等号成立，即充分性成立，反之当a 2+b 2≥12时，a =−1，b =1时，满足a 2+b 2≥12，但ab ≥14不成立，即必要性不成立，即“ab ≥14”是“a 2+b 2≥12”的充分不必要条件，故选：A.6.【答案】A【解析】 【分析】本题考查根据函数解析式确定函数图象，考查数形结合思想，属于中档题． 由f(−x)=sin(−x)ln[(−x)2+2]=−sinx ln(x 2+2)=−f(x)，得到函数的奇偶性排除选项BC ，由函数值的正负排除选项D ，进而得解． 【解答】解：函数的定义域为R ，f(−x)=sin(−x)ln[(−x)2+2]=−sinx ln(x 2+2)=−f(x)，即函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，故可排除选项B ，C ；当x 取正数且x →0时，sinx >0,ln(x 2+2)>0,sinxln(x 2+2)>0，故可排除选项D. 故选：A.7.【答案】D【解析】 【分析】本题考查分段函数的图象以及函数的零点个数问题，考查数形结合思想，属较难题．令t=f(x)+1={lnx−1x+1,x>0(x+1)2,x≤0，对t分类讨论，结合零点存在定理得出函数f(t)的零点t1∈(1,2)，t2=−2，t3=0，然后作出函数t=f(x)+1，直线t=t1、t=−2、t=0的图象，观察三条直线与函数t=f(x)+1的图象的交点个数，由此得出结论．【解答】解：令t=f(x)+1={lnx−1x+1,x>0 (x+1)2,x≤0，①当t>0时，f(t)=lnt−1t，则函数f(t)在(0,+∞)上单调递增，由于f(1)=−1<0，f(2)=ln2−12>0，由零点存在定理可知，存在t1∈(1,2)，使得f(t1)=0；②当t≤0时，f(t)=t2+2t，由f(t)=t2+2t=0，解得t2=−2，t3=0，作出函数t=f(x)+1，直线t=t1、t=−2、t=0的图象如下图所示：由图象可知，直线t=t1与函数t=f(x)+1的图象有两个交点，直线t=0与函数t=f(x)+1的图象有两个交点，直线t=−2与函数t=f(x)+1的图象有且仅有一个交点，综上所述，函数y=f[f(x)+1]的零点个数为5.故选：D.8.【答案】D【解析】【分析】本题考查同角三角函数基本关系，属基础题．根据已知角的取值范围，直接利用同角三角函数基本关系式cosα=√1−sin2α求解．【解答】解：∵α为锐角，且sinα=45，∴cosα=√1−sin2α=√1−(45)2=35.故选：D.9.【答案】BC【解析】【分析】本题考查集合的交集运算，属基础题．由交集定义得集合N中一定有元素4，5，一定没有元素1，2，3，由此能得到选项．【解答】解：∵集合M={1,2,3,4,5}，M⋂N={4,5}，∴集合N中一定有元素4，5，一定没有元素1，2，3，故A，D均错误，B，C均正确．故选：BC.10.【答案】ABC【解析】【分析】本题考查一元二次函数的值域的求法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，注意分类讨论，属中档题．求出二次函数的对称轴方程x=2，讨论m，当0<m≤2时，可知当m=2时满足题意，当m>2时，函数在[0,2]上单调递减，在[2,m]上单调递增，结合二次函数的对称性可得m的可能取值，综合两种情况得到结果.【解答】解：函数y=x2−4x−4的对称轴方程为x=2，当0<m≤2时，函数在[0,m]上单调递减，x=0时取最大值−4，x=m时取最小值m2−4m−4=−8，解得m=2.则当m>2时，函数在[0,2]上单调递减，在[2,m]上单调递增，最小值为−8，而x=0时y=−4，由对称性可知，x=4时y=−4，故m≤4，所以2<m≤4.综上，实数m的取值范围为2≤m≤4.∴实数m的值可能为2，3，4.故选：ABC.11.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查函数解析式的求法，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．分别根据函数解析式求出f(2x)与2f(x)，看其是否相等，从而可得到所求．【解答】解：f(x)=|x|，f(2x)=|2x|=2|x|=2f(x)，故满足条件；f(x)=x−|x|，f(2x)=2x−|2x|=2(x−|x|)=2f(x)，故满足条件；f(x)=x+1，f(2x)=2x+1≠2(x+1)=2f(x)，故不满足条件；f(x)=−x，f(2x)=−2x=2(−x)=2f(x)，故满足条件；故选：C.12.【答案】ACD【解析】【分析】本题主要考查指数函数的性质及指数的运算法则，属于中档题．由函数y=a t图象经过(1,2)可得函数解析式y=2t，再根据2t+1−2t=2t判断A、B即可，C选项代入即可，根据指数运算性质判断D，得到结果．【解答】解：由图可知，函数y=a t图象经过(1,2)，即a1=2，则a=2，∴y=2t，∴2t+1−2t=2t不是常数，则蓝藻每个月的面积是上个月的2倍，则每个月的增长率为100%，故A 对，B 错； 当t =6时，y =26=64>60，故C 对；若蓝藻面积蔓延到2m 2，3m 2，6m 2所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3，则2t 1=2,2t 2=3,2t 3=6，2t 1+t 2=2t 1⋅2t 2=2×3=6，则t 1+t 2=t 3，故D 对； 故选：ACD.13.【答案】[4,+∞)【解析】 【分析】本题主要考查了对数的运算性质，以及基本不等式的应用，属于中档题．由对数运算可知a =b1−1b =b −1+1b−1+2，利用对数的真数大于零，{b >0b 2b−1>0得到b >1，再利用基本不等式即可求出a 的取值范围． 【解答】解：∵lga −lgb =lg(a −b)，∴lg ab =lg(a −b)，∴a b =a −b ，∴a −ab =b ， ∴a =b 1−1b=b 2b−1=b −1+1b−1+2， 由题意{a >0b >0a −b >0，即a >b >0，所以{b >0b 2b−1>0，故b >1，所以a ≥2√(b −1)⋅1b−1+2=4，当且仅当b −1=1b−1，即b =2时等号成立， 故答案为：[4,+∞).14.【答案】1{x|x =2kπ+π6,k ∈Z}【解析】 【分析】本题主要考查三角函数的性质，辅助角公式结合三角函数的最值性质是解决本题的关键，属中档题．利用辅助角公式f(x)=12sinx+√32cosx=sin(x+π3)，结合三角函数的最值性质进行求解即可．【解答】解：f(x)=12sinx+√32cosx=sin(x+π3)，则当sin(x+π3)=1时，函数取得最大值1，此时x+π3=2kπ+π2，k∈Z，即x=2kπ+π6，k∈Z，即对应集合为{x|x=2kπ+π6,k∈Z}，故答案为：1，{x|x=2kπ+π6,k∈Z}.15.【答案】83【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性和单调性等性质的综合运用，考查数形结合思想，以及一元二次函数的值域求法，属于难题．由题意f(|a+|x−b||)≥f(||x|−2|x−1||)(a,b∈R)恒成立，由单调性得|a+|x−b||≥||x|−2|x−1||，即y=|a+|x−b||的图象始终在y=||x|−2|x−1||的上方或重合，结合图象可知，点(b,a)在y=|x−2|的图象上或图象上方，则a≥|b−2|，即a2≥|b−2|2，进而得出答案.【解答】解：因为f(x)是偶函数，且在[0,+∞)上单调递增，所以|a+|x−b||≥||x|−2|x−1||，令g(x)=|a+|x−b||，ℎ(x)=||x|−2|x−1||，则g(x)图象恒在ℎ(x)图象上方或重合，易知当a<0时，g(x)图象不可能恒在ℎ(x)图象上方或重合，所以a≥0，则g(x)=|a+|x−b||=a+|x−b|，最低点为(b,a)，ℎ(x)、g(x)的图象如下图：由图象可知：点(b,a)在y =|x −2|的图象上或图象上方， 则a ≥|b −2|，即a 2≥|b −2|2，所以2a 2+b 2≥2|b −2|2+b 2=3b 2−8b +8=3(b −43)2+83≥83，则2a 2+b 2的最小值是83.故答案为83.16.【答案】[−1,√2+12]【解析】 【分析】本题考查不等式的恒成立问题，涉及了函数最值的求法，考查转化思想，函数思想以及运算求解能力，属于难题．不等式两边同除以b ，先将题意转化为|x −t|≤1−tx 2在x ∈[0,1)上有解，即得tx 2−1≤x −t ≤1−tx 2,设f(x)=−1x+1,g(x)=x+1x 2+1,x ∈[0,1),即{t ≤x+1x 2+1t ≥x−11−x 2=−1x+1在x ∈[0,1)上有解，即t ≥f(x)min 且t ≤g(x)max ，再求出函数对应最值即可得出结果． 【解答】解：由于b >0，故不等式两边同除以b ，得|x −ab |≤1−ab x 2， 令ab =t ∈R ，即不等式|x −t|≤1−tx 2在x ∈[0,1)上有解，去绝对值即得tx 2−1≤x −t ≤1−tx 2，即{tx 2−1≤x −t x −t ≤1−tx 2，即{t ≤x+1x 2+1t ≥x−11−x2=−1x+1在x ∈[0,1)上有解，设f(x)=−1x+1,g(x)=x+1x 2+1,x ∈[0,1), 即t ≥f(x)min 且t ≤g(x)max 即可， 由f(x)=−1x+1在x ∈[0,1)上，x +1∈[1,2),1x +1∈(12,1], 即f(x)∈[−1,−12),故t ≥f(x)min =−1； 由g(x)=x+1x 2+1=x+1(x+1)2+2−2(x+1)=1x+1+2x+1−2，利用基本不等式(x +1)+2x+1≥2√2， 当且仅当x +1=2x+1即x =√2−1∈[0,1)时等号成立，故g(x)≤2√2−2=√2+12，即g(x)max =√2+12，故t ≤√2+12， 综上，t 的取值范围为−1≤t ≤√2+12， 即ab 的取值范围为−1≤ab ≤√2+12. 故答案为：[−1,√2+12].17.【答案】解：(1)∵数集A 由实数构成，且满足：若x ∈A(x ≠1且x ≠0)，则11−x ∈A.2∈A ，∴11−2=−1∈A ，11−(−1)=12∈A ，11−12=2∈A(循环)，∴A 中还有另外两个元素−1，12； (2)∵x ∈A ，11−x∈A ，11−11−x=x−1x∈A ，11−x−1x=x ∈A ，x ≠11−x，11−x≠x−1x，x ≠x−1x，故集合A 中至少有3个元素， ∴集合A 不是双元素集合． (3)由(2)知，若x ∈A ，则{x,11−x ,x−1x}⊆A ，且x ⋅11−x ⋅x−1x=−1，A 中元素个数为3的倍数，若A 中元素不超过8个，且A 中有一个元素的平方等于所有元素的积， 由x ⋅11−x ⋅x−1x=−1知A 不可能为3元集，则A 中元素只有6个，不妨设x 2=1，解得x =−1或x =1(舍去)，则−1，12，2∈A ，所以−1+12+2+m +11−m+m−1m=143，解得m =−12或m =3或m =23， 所以A ={−1,12,2,−12,3,23}.【解析】本题考查集合的求法，考查集合中元素的个数的求法及应用，考查集合定义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(1)由2∈A ，得到11−2=−1∈A ，从而11−(−1)=12∈A ，由此能证明A 中还有另外两个元素−1，12. (2)由x ∈A ，11−x∈A ，x−1x∈A ，x ≠11−x，11−x≠x−1x，x ≠x−1x，得到集合A 中至少有3个元素，从而集合A 不是双元素集合．(3)由题意得A 不可能为3元集，则A 中元素只有6个，不妨设x 2=1，解得x =−1或x =1(舍去)，则−1，12，2∈A ，所以−1+12+2+m +11−m+m−1m=143，解得m ，即可求解.18.【答案】解：任取x 1，x 2∈(0,+∞)，且x 1<x 2，则f(x 2)−f(x 1)=(x 2+a x 2)−(x 1+a x 1)=(x 2−x 1)+(a x 2−ax 1)=(x 2−x 1)+a(x 1−x 2)x 1x 2=(x 2−x 1)(x 1x 2−a)x 1x 2.∵x 1，x 2∈(0,+∞)，∴x 1x 2>0. ∵x 1<x 2，∴x 2−x 1>0. ①若a <0，则x 1x 2−a >0，∴f(x 2)−f(x 1)>0，即f(x 1)<f(x 2)， ∴f(x)在(0,+∞)上单调递增．②若a >0，则当0<x 1<x 2≤√a 时，x 1x 2−a <0， ∴f(x 2)−f(x 1)<0，即f(x 1)>f(x 2)， ∴f(x)在(0,√a]上单调递减； 当x 2>x 1>√a 时，x 1x 2−a >0， ∴f(x 2)−f(x 1)>0，即f(x 1)<f(x 2)，∴f(x)在(√a,+∞)上单调递增．综上可知，当a<0时，f(x)=x+ax在(0,+∞)上单调递增；当a>0时，f(x)=x+ax在(0,√a]上单调递减，在(√a,+∞)上单调递增．【解析】本题考查了函数单调性的性质与判断，用定义法证明函数单调性，要掌握定义法证明函数单调性的步骤，本题的难点在于确定a的分类标准，属中档题.利用证明函数单调性的一般步骤，任取x1，x2∈(0,+∞)，且x1<x2，则作差后f(x2)−f(x1)=(x2+ax2)−(x1+ax1)=(x2−x1)+(ax2−ax1)=(x2−x1)+a(x1−x2)x1x2=(x2−x1)(x1x2−a)x1x2，确定a的分类标准，分别确定作差的正负，即可确定f(x)的单调性．19.【答案】解：由f(x)=2sinxsin(x+π2)，得f(0)=2sin0⋅sinπ2=0；，T=2π2=π，∴f(x)的最小正周期为π；由知，y=f(x+φ)=sin(2x+2φ)为偶函数，∴2φ=π2+kπ,k∈Z，所以φ=π4+kπ2,k∈Z，∵0<φ<π2，∴φ=π4.【解析】本题考查诱导公式和三角函数的恒等变换以及y=Asin(ωx+φ)型函数的图象与性质，属基础题．直接在函数解析式中取x=0求解；利用诱导公式及二倍角公式变形，得到f(x)=2sinxsin(x+π2)=2sinxcosx=sin2x，再由周期公式求周期；由y=f(x+φ)=sin(2x+2φ)为偶函数，可得2φ=π2+kπ,k∈Z，再结合φ的范围求解．20.【答案】解：由题意，对任意x ∈R ，都有f(−x)=−f(x)，即−4x−a x 2+1=−4x−a x 2+1，即−4x −a =−4x +a ，可得a =0；证明：因为x >0，a ∈[0,4]，4x −a x 2+1−(a 2x −a +2)=4x −a −(a2x −a +2)(x 2+1)x 2+1=−12(x 2+1)[ax(x 2−2x +1)+4(x 2−2x +1)] =−12(x 2+1)(ax +4)(x −1)2，因为(ax +4)>0，(x −1)2≥0，−12(x 2+1)<0， 所以−12(x 2+1)(ax +4)(x −1)2≤0 所以f(x)≤a2x −a +2.证明：设t =4x −a ，则y =f(x)=4x−a x 2+1=16t t 2+2at+a 2+16(t ∈R)，当t =0，y =0； 当t ≠0时，y =16t+a 2+16t+2a，t +a 2+16t≥2√a 2+16(t >0)，t +a 2+16t≤−2√a 2+16(t <0)，所以f(x)max =8a+√a 2+16>0，f(x)min =8a−√a 2+16<0，因为f(x 1)⋅f(x 2)=−m 2，所以−m 2≥f(x)max ⋅f(x)min =−4， 即−2≤m ≤2，①当m −a ≤0时，f(m −a)≤0，f(1)=4−a 2≥0，所以f(m −a)−f(1)<18成立； ②当m −a >0时，由知，f(m −a)−f(1)≤a2(m −a)−a +2−4−a 2=a 2(m −a −1)≤a2(1−a)≤12[a+(1−a )2]2=18，等号不能同时成立．综上可知，f(m −a)−f(1)<18.【解析】本题主要考查函数的奇偶性的性质，考查不等式的应用，属于难题． 由f(−x)=−f(x)，可求得a 的值； 作差4x−a x 2+1−(a2x −a +2)=4x−a−(a 2x−a+2)(x 2+1)x 2+1，化简结果，利用题中条件即可证明；利用换元法求出f(x)的最大值和最小值，根据f(x 1)⋅f(x 2)=−m 2，得出−2≤m ≤2，分m −a ≤0和m −a >0两种情况进行分类讨论，即可证明f(m −a)−f(1)<18.21.【答案】解：建立平面直角坐标系，如图所示；设φ(0≤φ≤2π)是以x 轴正半轴为始边，OP 0(P 0表示点P 的起始位置)为终边的角， 由题意知OP 在t(min)内转过的角为2π2t ，即πt ；所以x 轴正半轴为始边，OP 为终边的角为(πt +φ)， 即点P 的纵坐标为40sin(πt +φ)， 由题意知φ=π2，所以点P 距离地面的高度h 关于旋转时间t 的函数关系式为 ℎ=50+40sin(πt +π2)， 化简得ℎ=50+40cosπt ；当50+40cosπt >70时，cosπt >12，πt ∈(−π3+2kπ,π3+2kπ)k ∈Z ， 解得2k −13<t <2k +13，k ∈Z ； 又0≤t ≤2，所以符合题意的时间段为0≤t <13或53<t ≤2，即在摩天轮转动一圈内，有23min 内P 点距离地面超过70m.【解析】本题考查了三角函数模型的应用问题，属较难题．建立平面直角坐标系，设φ是以x 轴正半轴为始边，OP 0为终边的角，求出OP 在t 时间内转过的角度，表示出点P 的纵坐标，再求点P 距离地面的高度h 关于t 的函数关系式；计算50+40cosπt >70时t 的取值范围2k −13<t <2k +13，k ∈Z ，再求对应的时间段．22.【答案】解：当a =−1，b =2时，由题意知，{−x 2+2x ≥0,x ≥0,解得0≤x ≤2，所以f(x)的定义域为[0,2].当a =1时，f(x)=√x 2+bx +2(x ≥0)，(i)当−b2≤0，即b ≥0时，f (0)=√2，且函数f(x)在[0,+∞)为增函数，所以函数f(x)值域为[√2,+∞),因为f(x)定义域为[0,+∞), 则b ≥0时，f(x)不是“同域函数”； (ii)当−b2>0时，即b <0，因为f(x)定义域为[0,+∞),当且仅当Δ=b 2−8=0时，f(x)为“同域函数”， 所以b =−2√2，综上可知，b 的值为−2√2；设f(x)定义域为A ，值域为B ； (i)当a <−1时，a +1<0， 此时0∉A ，0∈B ，从而A ≠B ， 所以f(x)不是“同域函数”； (ii)当−1<a <0时，a +1>0， 设x 0=−b−√b 2−4a(a+1)2a，则f(x)定义域为[0,x 0]，①当−b2a ≤0时，即b ≤0时，f(x)值域为B =[0,√a +1]， 若f(x)为“同域函数”，则x 0 =√a +1，从而b =−(√a +1)3， 又因为−1<a <0，所以b 的取值范围为(−1,0)； ②当−b2a >0时，即b >0，f(x)值域为B =[0,√4a(a+1)−b 24a]，若f(x)为“同域函数”，则x 0=√4a(a+1)−b 24a，从而，b =√b 2−4a(a +1)(√−a −1).(1) 此时，由√−a −1<0,b >0可知(1)式不能成立； 综上可知，b 的取值范围为(−1,0).【解析】本题主要考查函数的定义域与值域，一元二次函数的图象与性质，掌握新概念的本质是解题的关键，属于较难题． 建立不等式组{−x 2+2x ≥0,x ≥0,，求解即可；对−b2分类讨论，结合新定义进行分析、求解；对a 分两种情况讨论，(i)当a <−1时，a +1<0，f(x)不是“同域函数”； (ii)当−1<a <0时，a +1>0，紧扣“同域函数”的概念，建立方程进行求解．。
高一数学期末试卷带答案解析
高一数学期末试卷带答案解析考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.等差数列的前4项之和为30，前8项之和为100，则它的前12项之和为（ ）A ．130B ．170C ．210D ．260 2.函数在区间上的最大值与最小值之差为1，则（ ）A ．2B ．C ．2或D ．3.在中，若，则的形状是（ ）.A ．直角三角形B ．等腰或直角三角形C ．不能确定D ．等腰三角形4.下列六个关系式：①②③④⑤⑥其中正确的个数为( )A ．6个B ．5个C ．4个D ．少于4个5.为提高信息在传输中的抗干扰能力,通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设定原信息为(),传输信息为,其中 ,运算规则为：,,,,例如原信息为111,则传输信息为01111.传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错,则下列接收信息一定有误的是( ) A ．11010 B ．01100 C ．10111 D ．00011 6.已知函数是定义在上同时满足条件：①对于任意都有；②当时，，则函数在上（ ）A ．是奇函数且减函数B ．是奇函数且增函数C ．是奇函数且不具有单调性D ．是偶函数且不具有单调性7.某旅店有100间客房，每间客房的定价与每天的住房率的关系如下表：要使此饭店每天收入最高，则每间房价应定为()A．90元 B．80元 C．70元 D．60元8.等差数列,的前项和分别为,,若,则=（）A B C D9.下列函数中，在区间上为增函数且以为周期的函数是（）A． B． C． D．10.函数的图象大致是（）A． B． C． D．11.已知函数是定义在R上的偶函数, 且在区间单调递增. 若实数满足, 则的最小值是（）A． B．1 C． D．212.已知为第三象限角，则所在的象限是（）A．第一或第二象限B．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限13.在△ABC 中，a ，b ，c分别为∠A，∠B ，∠C的对边．如果a ，b ，c 成等差数列，∠B ＝30°，△ABC 的面积为，那么b ＝( )A． B ．1＋ C． D．2＋14.已知函数，若对恒成立，则的单调递减区间是( )A．B．C．D．15.设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题正确的是A．若，，且，则B．若，，且，则C．若，，且，则D．若，，且，，则16.若二次函数在上是偶函数，则的值分别是（）A．2,1B．1,2C．0,2D．0,117.已知、且轴与线段的交点为，则点分所成的比为（）A． B． C．2 D．318.在△ABC中，，则A等于（）A．60° B．120° C．30° D．150°19.已知单位向量=0，点满足，曲线，区域．若为两段分离的曲线，则( )A． B． C． D．20.如图，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，∠AOC=130°，则∠D等于（）A．25° B．30° C．35° D．50°二、填空题21.（2009•惠州模拟）设x+y+z=2，则m=x2+2y2+z2的最小值为．22.给出下列四个命题：①设x1，x2∈R，则x1＞1且x2＞1的充要条件是x1+x2＞2且x1x2＞1；②任意的锐角三角形ABC中，有sinA＞cosB成立；③平面上n个圆最多将平面分成2n2﹣4n+4个部分；④空间中直角在一个平面上的正投影可以是钝角．其中真命题的序号是（要求写出所有真命题的序号）．23.设均为正数，且则由大到小的顺序为 ． 24.函数的单调递增区间为 ．25.不等式的解集为_________. 26.函数的值域为________.27.已知a ＝(1,2)，b ＝(－2,1)，则与2a －b 同方向的单位向量e 为________．28.关于函数，有下面四个结论：①是奇函数；②恒成立；③的最大值是；④的最小值是. 其中正确结论的是_____________________________________． 29.已知O 为原点，有点A （d,0）、B （0，d ），其中d>0，点P 在线段AB 上，且（0≤t≤1），则的最大值为________________． 30.过点且垂直于直线的直线方程为________.三、解答题31.(12分)已知定义域为的单调函数且图关于点对称，当时，.（1）求的解析式；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.32.设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，．（Ⅰ）若，，求b （Ⅱ）求的取值范围．33.已知函数（1）求函数的值域； （2）若时，函数的最小值为，求的值和函数的最大值.34.某公司生产一种产品，每年需投入固定成本25万元，此外每生产1件这样的产品，还需增加投入0.5万元，经市场调查知这种产品年需求量为500件，产品销售数量为t 件时，销售所得的收入为万元.（1）该公司这种产品的年生产量为x 件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x 的函数为f （x ），求f （x ）；（2）当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大 35.（本小题满分12分）解方程：（1）（2）参考答案1 .C【解析】由题意得前12项之和为100+110=2102 .C【解析】试题解析：当a>1时，函数为增函数，即∴，解得a=2当0<a<1时，函数为减函数，即∴，解得a=考点：本题考查函数性质点评：解决本题的关键是利用函数单调性求解，注意分类讨论3 .B【解析】试题分析：,可化为,即,即,,即，所以三角形是等腰或直角三角形.考点：同角三角函数基本关系式、正弦定理.4 .C【解析】对于①，根据集合的子集关系得到⊆正确；对于②，两个集合的元素完全相同，所以=正确；对于③，{0}含有运算0，而Φ没有任何元素；故{0}=Φ错误；对于④，根据集合与元素的关系，0∈{0}；正确；对于⑤，Φ与{0}都是集合而∈是元素与集合的关系；故错误；对于⑥，空集是任何集合的子集，所以正确；故选：C．5 .C【解析】试题分析：从中可知选C。
浙江省宁波市2021-2022学年高一上学期期末数学试题(含答案解析)
浙江省宁波市2021-2022学年高一上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{1,2,3,4,5,6},{1,2,3},{3,4,5}===U A B ，则UA B =（ ）A ．{3}B ．{1,2}C ．{1,2,6}D ．{1,2,3,6}2．已知角A 是ABC 的内角，则“sin A =是“4A π=”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ） A ．1y x=-B ．tan y x =C ．2x y =D ．3y x =4．已知232a =，252b =，233c =，则（ ） A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<5．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=-，则(2022)f =（ ） A ．2022-B ．0C ．1D ．20226．在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数．当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数量指数级增长．当基本传染数持续低于1时，疫情才可能逐渐消散．广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数．假设某种传染病的基本传染数为0R ，1个感染者在每个传染期会接触到N 个新人，这N 人中有V 个人接种过疫苗(VN称为接种率)，那么1个感染者新的传染人数为()0R N V N-．已知新冠病毒在某地的基本传染数0 2.5,R ＝为了使1个感染者传染人数不超过1，该地疫苗的接种率至少为（ ） A ．40%B ．50%C ．60%D ．70%7．已知函数()f x 的图象如图所示，则函数()f x 的解析式可能是（ ）A ．()()22x xf x x -=+ B ．()()22x xf x x -=-C ．()()1222log x xf x x -=+D ．()()222log x xf x x -=+8．已知函数2()f x x mx n =++，则存在,R m n ∈，对任意的R x ∈有（ ） A ．()(2022)<+f x f xB ．2022(())2022≥x f f xC ．()21(2022)-<-f x f xD ．≥⎝⎭ff二、多选题9．若cos tan 0θθ⋅>，则角θ的终边可能落在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限10．已知正实数x ，y ，z 满足2510x y z ==，则下列选项正确的有（ ） A ．x y z += B ．111x y z+=C ．2510>>z y x D ．24xy z >11．设函数()cos 2(R)3π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭f x x x ，则下列结论正确的是（ ）A ．R α∃∈，使得()()1αα=-=f fB ．R α∃∈，使得1()()2αα=-=f f C ．R x ∀∈，都有()03f x f x π⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭D ．R x ∀∈，都有66f x f x ππ-=--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12．若实数a ，b 满足3443+=+a b a b ，则下列关系式中可能成立的是（ ） A ．01a b <<< B ．0b a << C ．1a b << D ．a b =三、填空题13．已知扇形的圆心角为23π，半径为3，则扇形的面积是（______）. 14．已知3sin()5απ+=-，则tan 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭______．15．已知函数22,0(),0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，若()2()20f a f a +-<，则a 的取值范围是______．16．已知1x ，2x ，()3123x x x x <<是函数()()()2121(R,0)=++-∈≠x xf x x m m m 的三个零点，则1232--+x x x 的取值范围是______．四、解答题17．已知集合{|||4}=≤A x x ，{55,0}∣=-≤≤+>B x m x m m ． （1）若10m =，求A B ；（2）若命题:p “x A ∀∈，x B ∈”是真命题，求实数 m 的取值范围．18．已知函数()sin cos cos 44ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x x x x x ．（1）求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）在ABC 中，若12A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求sin sin B C +的最大值．19．已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图象如图．（1）求函数()f x 的解析式；（2）将函数()f x 的图象向左平移6π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的单调递减区间． 20．已知函数()21log 1x f x x -=+． （1）证明：函数()f x 在()1,+∞上为增函数；（2）若对于区间[]3,4上的每一个x 值，不等式()12⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭xf x x m 恒成立，求实数m 的取值范围．21．如图所示，摩天轮的直径为100m ，最高点距离地面高度为110m ，摩天轮的圆周上均匀地安装着24个座舱，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周大约需要12min ．（1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动min t 后距离地面的高度为m H ，求在转动一周的过程中，H 关于t 的函数解析式；（2）在甲进座舱后间隔3个座舱乙游客进座舱（如图所示，此时甲、乙分别位于P 、Q 两点，本题中将座舱视为圆周上的点），以乙进座舱后开始计时，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h （单位：m ）关于t 的函数解析式，并求出25≥h 时t 的取值范围．22．已知函数()||f x x x a =-，24()1xg x x =+． （1）当1a =时，函数()f x 在(,1)m m +上不单调，求实数m 的取值范围；（2）对[1,2]∀∈t ，[1,2](1,2)∃∈=i x i ，且12x x ≠，使()()i f x g t =，求实数a 的取值范围．参考答案1．B 【分析】先求出B 的补集，再和A 求交集即可. 【详解】因为{1,2,3,4,5,6},{1,2,3},{3,4,5}===U A B ， 所以UB ={}1,2,6，UAB ={}1,2，故选：B 2．C 【分析】在ABC 中，由sin A =A ，再利用充分条件、必要条件的定义直接判断作答. 【详解】因角A 是ABC 的内角，则0πA <<，当sin A =4A π=或34A π=，即sin A =4A π=，若4A π=，则sin sin4A π==，所以“sin A =是“4A π=”的必要不充分条件. 故选：C 3．D 【分析】根据奇函数可排除C 选项，由函数为增函数可排除A 、B 选项，得出答案. 【详解】选项A. 函数1y x=-为奇函数，但在定义域内不是增函数，故不正确.选项B. 函数tan y x =为奇函数，但在定义域内不是增函数，故不正确. 选项C. 函数2x y =不知奇函数，不不正确.选项D. 函数3y x =是奇函数且在R 上为增函数. 故正确. 故选：D 4．A【分析】先利用指数函数的性质比较,a b 的大小，再利用幂函数的性质比较,a c 的大小，即得解. 【详解】因为2x y =是单调递增函数，所以232=>a 252b =， 因为()0α=>y xx 是单调递增函数，所以232a =< 233c =，所以b a c <<. 故选：A. 5．B 【分析】求出函数的周期，利用周期和(0)0f =可得答案. 【详解】因为(2)()f x f x +=-，所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=， 所以()f x 的周期为4，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =， 所以(2)(0)0f f =-=，(2022)(50542)(2)0f f f =⨯+==.故选：B. 6．C 【分析】 由题意列不等式2.5()1N V N-≤，即可求出结果. 【详解】 由题意可得：2.5() 1.51 2.5 2.560%2.5N V V N V N N N -≤⇒-≤⇒≥= 故选：C. 7．D 【分析】分析各选项中函数的定义域、奇偶性及其在()0,1上的函数值符号，由此可得出合适的选项. 【详解】对于A 选项，函数()()22x xf x x -=+的定义域为R ，不满足条件；对于B 选项，函数()()22x xf x x -=-的定义域为R ，不满足条件； 对于C 选项，函数()()1222log x xf x x -=+的定义域为{}0x x ≠，()()()()112222log 22log x x x x f x x x f x ---=+-=+=，函数()f x 为偶函数，当01x <<时，12log 0x >，则()()1222log 0x xf x x -=+>，不满足条件；对于D 选项，函数()()222log x xf x x -=+的定义域为{}0x x ≠，()()()()2222log 22log x x x x f x x x f x ---=+-=+=，函数()f x 为偶函数，当01x <<时，2log 0x <，则()()2022log x xf x x -=+<，满足条件.故选：D. 8．D 【分析】考虑到二次函数2()f x x mx n =++的对称轴的不同情况，结合二次函数的单调性，即可判断每个选项的正确与否. 【详解】对于A,当20222mx +≤-时，有()(2022)f x f x >+，故A 错误； 对于B ，(())f f x 为四次函数，2022x y = 为指数函数，且是单调递增， 当x 取很大的实数时，不存在,R m n ∈，使得2022(())2022≥x f f x ，故B 错误；对于C ，要使 ()21(2022)-<-f x f x ，必须满足2|1()||2020()|22m mx x ---<--- ， 也即恒有2|1||2020|x x -<-，当100x =时，就有2|1||2020|x x ->-，说明C 错误；对于D 2(2022)x +≥ ，此时，若0m ≥ ，则02m-≤ ，那么对任意的R x ∈，≥⎝⎭f f 恒成立，故D 正确； 故选：D. 9．AB 【分析】通过“切化弦”思想，结合各象限内三角函数值的符号即可得结果. 【详解】因为cos tan 0θθ⋅>，所以sin 0cos 0θθ>⎧⎨≠⎩，所以角θ的终边可能落在第一象限或第二象限， 故选：AB. 10．BD 【分析】设()25100===>x y zt t ，所以2510log ,log ,log ===x t y t z t ，利用换底公式25lg lg log log ,lg lg 2lg 5+=+=+=t tx y t t z t 可判断A ； 利用换底公式计算111,+x y z可判断B ；利用换底公式110log 1024=t x ，15log 3125=t y ，12log 100=t z ， 构造函数利用单调性可判定()log 0=>t y x x C ；由()2lg lg 2lg5=⨯t xy ，()2244lg =z t ，利用做差比较大小可判断D.【详解】设2510===x y z t ，所以2510log ,log ,log ===x t y t z t ，因为 ()2510lg lg 2lg 5lg lg lg log log log lg lg 2lg 5lg 2lg 5lg 2lg 5++=+=+==≠==t t t tx y t t z t t ，故A 错误；111log 2log 5log 10,log 10+=+==t t t t x y z ，所以111x y z+=，故B 正确； 210log 111101010log 2log 2log 1024====t t t t x ， 55log 111555log 5log 5log 3125====t t t t y ， 10log 11222log 10log 100===t t t z ， 因为x ，y ，z 是正实数，所以25101===>x y z t ， 所以()log 0=>t y x x 是单调递增函数， 所以log 100log 1024log 3125<<t t t ，所以2105>>z x y，故C 错误；()225lg log log lg 2lg5=⨯=⨯t xy t t ，()22101044log log 4lg =⨯=z t t t ，因为222lg 2lg54lg 2lg5lg 2lg 52lg 2lg5lg 2lg5244+⨯++⨯⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭()222lg 2lg5lg 2lg 52lg 2lg5044----+⨯==<， 所以2lg 2lg51lg 2lg524+⎛⎫⨯<= ⎪⎝⎭，14lg 2lg5>⨯， 所以()()222lg 44lg lg 2lg5=>=⨯t xy z t ，故D 正确.故选：BD. 11．BD 【分析】假设R α∃∈，使得()()1αα=-=f f 推出矛盾可判断A,取特殊值可判断BC ，利用解析式化简可判断D. 【详解】对A ，若R α∃∈，使得()()1αα=-=f f ，即22,22,,33ππαk παn πk n Z +=-+=∈， 所以,66ππαk παn π=-=-+，可得()3πk n π+=，即13k n +=，显然不存在满足此条件的整数，故不存在，A 错误；对B ，当0α=时，1()()2αα=-=f f 成立，故B 正确； 对于C ，取0x =时，11(0)10322f f ⎛⎫-+=+=≠ ⎪⎝⎭π，故C 错误；对于D ，cos 26x f x ⎛⎫= ⎪⎭-⎝π，cos 2cos 2336x x f x ⎛⎫⎛⎫=--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--πππ，故D 正确.故选：BD 12．ABD 【分析】根据题目实数a ,b 满足3443+=+a b a b ,设()34xf x x =+,()43xg x x =+,画出函数图象,逐段分析比较大小即可. 【详解】解：因为实数a ,b 满足3443+=+a b a b .设()34xf x x =+,()43xg x x =+，显然()(),f x g x 在R 上都单调递增，且()()001f g ==，()()117f g ==,作出函数的图像，如图 由图象可知①当0x < 时,()()f x g x <,所以3443+=+a b a b ,即0b a <<,故B 正确 ②当0x = 时,()()f x g x =,所以3443+=+a b a b ,即0a b ,故D 正确 ③当01x << 时,()()f x g x >,所以3443+=+a b a b ,即01a b <<<,故A 正确 ④当1x = 时,()()f x g x =,所以3443+=+a b a b ,即1a b ==,故D 正确 ⑤当1x > 时,()()f x g x <,所以3443+=+a b a b ,即1b a <<,故C 错误. 故选：ABD13．3π 【分析】利用弧长公式先求解弧长，再利用扇形的面积公式求解. 【详解】因为扇形的圆心角为23π，半径为3，所以扇形的弧长2323l π=⨯=π， 所以面积1123322S lr ==⨯π⨯=π.故答案为：3π. 【点睛】本题主要考查扇形的面积求解，明确扇形的面积公式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 14．7-或 【分析】首先根据诱导公式求出3sin 5α=，再利用同角三角函数关系式求出cos ,tan αα的值，从而可求出tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【详解】因为3sin()5απ+=-，所以3sin 5α=，所以4cos 5α=-或4cos 5α=，当4cos 5α=-时，3tan 4α=-，tan 1tan 74tan 1πααα-⎛⎫-==- ⎪+⎝⎭； 当4cos 5α=时，3tan 4α=，tan 11tan 4tan 17πααα-⎛⎫-==- ⎪+⎝⎭. 故答案为：7-或17-.15．()2,1- 【分析】根据函数的解析式利用定义可判断出函数的单调性和奇偶性，再利用单调性和奇偶性可得答案. 【详解】当0x ≥时，()2f x x =在[)0,+∞上单调递增， 当0x <时，()2f x x =-在(),0-∞单调递增，又因为在()00=f ，所以()f x 在R 上单调递增，当0x >时，0x -<，()()2-=-=-f x x f x ，当0x <时，0x ->，()()2-==-f x x f x ，因为()00=f ，所以()f x 为奇函数，由()2()20f a f a +-<得()()22()22<--=-+f a f a f a ，所以22a a <-+，解得21a -<<. 故答案为：()2,1-. 16．()1,+∞ 【分析】首先判断出()00f =；然后再判断()f x 为奇函数，从而得到31x x =-，3123322x x x x x -=-++，进而根据30x >即可求出答案. 【详解】显然()00f =，即20x =.设()00f x =，即()()00021210x xx m ++-=，则()()00000002112()212122x x x x x x f x x m x m --+--=-++-=-⋅+⋅()()0000212102x x x x m ++-==-，所以()f x 为奇函数，所以31xx =-，且30x >，所以3123322x x x x x -=-++，因为30x >，所以321x >，所以3321x x +>， 所以1232--+x x x 的取值范围是()1,+∞.故答案为：()1,+∞. 17．（1）{44}∣⋂=-≤≤A B x x（2）[)9,+∞ 【分析】（1）根据交集定义即可得解；（2）由命题p 为真命题可得A B ⊆，列不等式组求解即可. （1）由题意{44}∣=-≤≤A xx 当10m =时，{515}∣=-≤≤B x x 所以{44}∣⋂=-≤≤A B x x （2）由题意得A B ⊆，所以[4,4][5,5]-⊆-+m m ，则0,9,54,1,54,0.m m m m m m ⎧>≥⎧⎪⎪-≤-⇒≥-⎨⎨⎪⎪+≥>⎩⎩解得9m ≥．所以实数 m 的取值范围是[)9,+∞. 18． （1）1（2【分析】（1）根据二倍角公式及和差公式化简函数()f x ，然后即可直接求出6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）首先求出角A 的值，然后利用和差公式和辅助角公式把sin sin B C +6B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，从而可求出最大值. （1）11()sin 22cos 22sin 22226 ππ⎛⎫⎛⎫=+==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x x x x x x ，所以sin 21666f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）因为()sin 26 f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以sin 126A f A π⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为0A π<<，所以7666A πππ<+<，所以62A ππ+=，得3A π=，所以2sin sin sin sin 36B C B B B ππ⎛⎫⎛⎫+=+-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当3B π=时，sin sin B C +19．（1）2()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（2）5114,4()33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【分析】（1）直接利用函数的图象求出函数的关系式．（2）利用（1）的结论，进一步利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出函数的关系式，进一步求出函数的单调递减区间． （1）由图可得，2A =又5263πππ⎛⎫=⋅-=⎪⎝⎭T ，得2ω=又当712x π=时()f x 取得最大值， 所以722,122ππϕπ⋅+=+∈k k Z ，得22,3ϕππ=-+∈k k Z 又||ϕπ<，得23ϕπ=-，所以2()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（2）()y f x =的图象向左平移6π个单位后，得到2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到2sin 23x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以，()2sin 23x g x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭令322,2232πππππ+≤-≤+∈x k k k Z ，得51144,33k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 所以()g x 的单调递减区间为5114,4()33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦． 20．（1）证明见解析 （2）158m < 【分析】（1）由定义法12,(1,)x x ∀∈+∞且12x x <，先得出1111x x -+与2211x x -+的大小，从而得出()1f x 与()2f x 的大小，使得问题得证.（2）由题意，1()2⎛⎫<+- ⎪⎝⎭xm f x x 恒成立，令1()()2⎛⎫=+- ⎪⎝⎭xg x f x x ，先得出函数()g x 的单调性，从而得出()g x 的最小值，从而得出答案. （1）12,(1,)x x ∀∈+∞且12x x <则()()()()()()121212121212121212112110111111+----+-----==<++++++x x x x x x x x x x x x x x x x x x ， 所以121211011--<<++x x x x ，即12221211log log 11x x x x --<++所以()()1212221211log log 011x x f x f x x x ---=-<++ 即()()12f x f x <所以函数()f x 在(1,)+∞上单调递增． （2）由题意，1()2⎛⎫<+- ⎪⎝⎭xm f x x 恒成立令1()()2⎛⎫=+- ⎪⎝⎭xg x f x x ，12,[3,4]∀∈x x 且12x x <则()()()()121211221122⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+--+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦x x g x g x f x x f x x()()2112121122⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x xf x f x x x由（1）得()()120f x f x -<，又120x x -<，2111022x x⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()()120g x g x -<，即()()12g x g x < 所以()g x 是[]3,4上的增函数 则min 15()(3)8g x g == 所以158m <． 21．（1）π50cos 60,0126H t t =-+≤≤（2）ππ50sin 66h t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，[0,4][6,10]∈⋃t【分析】（1）建立合适的坐标系，求出H 关于t 的函数解析式；（2）在第一问的基础上，列出不等关系，用三角恒等变换化简，解出解集.（1） 如图，以摩天轮中心O 为原点，与地面平行的直线为x 轴，建立直角坐标系．由题意，摩天轮的角速度2ππrad /min 126ω== 所以甲所在的位置的纵坐标ππ50sin 62y t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭甲则πππ50sin 6050cos 60,012626H t t t ⎛⎫=-+=-+≤≤ ⎪⎝⎭（2）令甲、乙两位游客距离地面的高度为1H 、2H ，则12πππ50cos 6050cos 60636h H H t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-++--+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππππ1π50cos 50cos cos 636626t t t t ⎛⎫=-++=+ ⎪⎝⎭ππ50sin 66t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，[0,12]t ∈令ππ50sin 2566t ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，得ππ1sin 662t ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭或ππ1sin 662t ⎛⎫+≤- ⎪⎝⎭解得：[0,4][6,10]∈⋃t ． 22．（1）112m -<<；（2）135≤≤a . 【分析】（1）把1a =的值代入函数()f x 的解析式，然后求出函数()f x 的单调区间，从而可求出实数m 的取值范围；（2）首先求出()g x 在()1,2内的值域为8,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦；然后通过分122a <<或12a <<两种情况进行讨论，根据8,2max{(1),(2)},52⎡⎤⎡⎤⎛⎫⊆ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦a f f f 或者8,2[0,min{(1),(2)}]5⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦f f ，即可求出实数a 的取值范围． （1）当1a =时，22,1()1,1x x x f x x x x x x ⎧-≥=-=⎨-+<⎩，所以()f x 在1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭递增，1,12⎛⎫⎪⎝⎭递减，(1,)+∞递增因为()f x 在(,1)m m +上不单调，所以1112m m <⎧⎪⎨+>⎪⎩，解得112m -<<．（2） 因为244()11==++t g t t t t，所以()g t 在[1,2]t ∈上单调递减，所以8(),25⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦g t ．而22,(),x ax x af x x x a x ax x a ⎧-≥=-=⎨-+<⎩，当0a ≤时，2()f x x ax =-在[]1,2上单调递增， 所以方程()()f x g t =至多有一个根，不符合题意；当0a >时，()f x 在,2a ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦单调递增，在,2a a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，在[,)a +∞单调递增，所以符合题意的a 必须满足122a<<或12a <<，即24a <<或12a <<， ①当24a <<时，函数()f x 在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，在,22a ⎛⎤⎥⎝⎦单调递减，由题意，对任意的8(),25⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦g t ，方程()()f x g t =在[]1,2上至少有两个不同的解，等价于8,2max{(1),(2)},52⎡⎤⎡⎤⎛⎫⊆ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦a f f f ，则8(1)58(2)522f f a f ⎧≤⎪⎪⎪≤⎨⎪⎪⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎩，即2815824524a a a ⎧-≤⎪⎪⎪-≤⎨⎪⎪≥⎪⎩，所以135145a a a ⎧≤⎪⎪⎪≤⎨⎪⎪≥⎪⎩，即135≤≤a ．②当12a <<时，函数()f x 在[]1,a 单调递减，在(,2]a 单调递增， 所以8,2[0,min{(1),(2)}]5⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦f f ，则(1)2(2)2f f ≥⎧⎨≥⎩，所以12422a a -≥⎧⎨-≥⎩，即31a a ≥⎧⎨≤⎩，解得a ∈∅．综上所述，实数a的取值范围是135≤a ．。
高一数学期末试卷带答案解析
高一数学期末试卷带答案解析考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.下列说法正确的是（ ） A ． B ． C ． D ．2. 等比数列中，则（ ）A ．3B ．C ．3或D ．-3或- 3.在数列中，，且，则等于（ ）A ．12B ．14C ．20D ．22 4.若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（） A ． B ．C ．D ．5.设是两个非空集合，定义集合间的一种运算“”：．如果，，则（ ）A ．B ．C ．D ．6.为得到函数的图像，只需将函数的图像( )A ．向右平移个长度单位B．向左平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位7.等于（）A．0 B． C． D．18.函数的最小正周期是（）A． B． C．2 D．49.在中，点分别是边上的一点，且满足，若，则的最小值是（）A． B． C． D．10.已知是定义在R上的函数，且对任意，都有，又，则等于（）A． B． C． D．11.已知实数、满足，则的最大值为（）A．50 B．45 C．40 D．1012.的值等于（）A． B． C．－ D．13.已知定义在R上的函数f(x)关于直线x=1对称，若f(x)=x(1-x)(x≥1)，则f(-2)=（）A．0 B．-2 C．-6 D．-1214.已知是定义在上的减函数，则的取值范围是（）A． B． C． D．15.下列函数中是偶函数且在（0，1）上单调递减的是（）A． B． C． D．16.集合的真子集的个数是（）A．8 B．4 C．3 D．117.已知为两条不同直线，为两个不同平面，给出下列命题:①②③④其中的正确命题序是（）A．②③ B．③④ C．①② D．①②③④18.集合的非空真子集个数为（）A．1个 B ．2个 C ．3个 D．4个19.若下列命题正确的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．320.小强和小华两位同学约定下午在大良钟楼公园喷水池旁见面,约定谁先到后必须等10分钟,这时若另一人还没有来就可以离开.如果小强是1：40分到达的,假设小华在1点到2点内到达,且小华在1点到2点之间何时到达是等可能的,则他们会面的概率是A． B． C． D．二、填空题21.若，则的值是．22.已知数集A满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)，如果a＝2，试求出A中的所有元素.23.将一枚质地均匀的一元硬币抛3次，恰好出现一次正面的概率是_________；24.已知中，若，则_______.25.过两点(1，0)，(0，－2)的直线方程是．26.已知向量上的一点（O为坐标原点），那么的最小值是___________________．27.若函数是偶函数，则的递减区间是28.化简的结果为____________.29.公比为正数的等比数列中，，，则________________.30.已知数列()，其前项和为，给出下列四个命题：①若是等差数列，则三点、、共线；②若是等差数列，且，，则、、…、这个数中必然存在一个最大者；③若是等比数列，则、、()也是等比数列；④若(其中常数)，则是等比数列；⑤若等比数列的公比是 (是常数), 且则数列的前n项和.其中正确命题的序号是 .(将你认为正确命题的序号都填上)三、解答题31.已知分别是射线（不含端点）上运动，在中，角所对的边分别为.（1）若依次成等差数列，且公差为，求的值；（2）若，求的最大值.32.已知函数(I)求函数的单调增区间;(II)当时,求函数的最大值及相应的值.33.（本小题满分13分）设是定义在上的函数，对任意实数、，都有，且当＜0时，＞1．（1）证明：①；②当＞0时，0＜＜1；③是上的减函数；（2）设，试解关于的不等式；34.已知函数．（1）求在区间上的最小值；（2）在给出的直角坐标系中，作出函数的图象，并根据图象写出其单调减区间．（3）若关于的方程至少有三个不相等的实根，求实数的取值范围．35.（12分）说出下列三视图所表示的几何体：正视图侧视图俯视图参考答案1 .D【解析】试题分析：由题意得，又函数是单调递增函数，所以，即，故选D．考点：指数函数的性质及其应用．2 .C【解析】解：因为是等比数列，因此，因为可以看作一元二次方程的x2-4x+3=0，故，因此公比=3，或者="1/3" ，因此 =3或3 .C【解析】解：因为，利用地推关系式，我们可以得到4 .B【解析】试题分析：画出图象如下图所示，直线过定点，由图可知，斜率最小值为，此时直线的倾斜角为，故倾斜角的取值范围是．考点：两条直线的位置关系.5 .B【解析】试题分析：由中，得到由中y=4x，x＞0，得到则．故选B．考点：新定义概念，函数的值域6 .B【解析】试题分析：依次验证四个选项，将函数的图像向右平移个长度单位得，将函数的图像向左平移个单位得考点：三角函数图象的平移点评：三角函数中与y轴上的伸缩变换有关，与y 轴上的平移变换有关, 与x轴上的伸缩变换有关，与x轴上的平移变换有关7 .D【解析】故选D8 .D【解析】由正弦函数周期计算公式可知，函数的最小正周期是.9 .A【解析】试题分析：以为原点，为轴，垂直于的直线为轴，设，则，，，，化简得，故选A．考点：（1）利用向量的数量积证明（2）垂直基本不等式10 .C【解析】试题分析：根据题意，由于是定义在R上的函数，且对任意，都有，同时结合条件，那么可知f(4)=, f(6)=,即偶数中4的倍数对应的为，不是4的倍数对应的值为而2010不能被4整除，故f（2010）=．故选C考点：函数的周期性的运用点评：解决的关键是根据已知的关系式来推导得到函数的周期性即可，属于基础题。
2020-2021宁波市高一数学上期末第一次模拟试题带答案
2020-2021宁波市高一数学上期末第一次模拟试题带答案一、选择题1．设6log 3a =，lg5b =，14log 7c =，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c a b >>2．已知函数ln ()xf x x=，若(2)a f =，(3)b f =，(5)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．b c a <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c a b <<3．下列函数中，值域是()0,+∞的是（ ） A ．2y x = B ．211y x =+ C ．2x y =-D ．()lg 1(0)y x x =+>4．已知函数()2log 14x f x x ⎧+=⎨+⎩ 00x x >≤，则()()3y f f x =-的零点个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为0ktP P e -=⋅（k 为常数，0P 为原污染物总量）.若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤n 小时，则正整数n 的最小值为（ ）（参考数据：取5log 20.43=） A ．8B ．9C ．10D ．146．已知全集为R ，函数()()ln 62y x x =--的定义域为集合{},|44A B x a x a =-≤≤+，且R A B ⊆ð，则a 的取值范围是（ ）A ．210a -≤≤B ．210a -<<C ．2a ≤-或10a ≥D ．2a <-或10a >7．已知函数()2x xe ef x --=，x ∈R ，若对任意0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，都有()()sin 10f f m θ+->成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．()0,2C ．(),1-∞D ．(]1-∞， 8．设函数()f x 是定义为R 的偶函数，且()f x 对任意的x ∈R ，都有()()22f x f x -=+且当[]2,0x ∈-时， ()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(]2,6-内关于x的方程()()log 20(1a f x x a -+=>恰好有3个不同的实数根，则a 的取值范围是 （ ）A ．()1,2B ．()2,+∞C．(D．)29．已知()y f x =是以π为周期的偶函数，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()1sin f x x =-，则当5,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x =（ ） A ．1sin x +B ．1sin x -C ．1sin x --D ．1sin x -+10．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增。
2020-2021学年浙江省宁波市高一(上)期末数学复习卷1(解析版)
2020-2021学年浙江省宁波市高一(上)期末数学复习卷1一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 设全集为R ，集合A ={x|0<x <2}，B ={x|x ≥1}，则A ∩(∁R B)=( )A. {x|0<x ≤1}B. {x|0<x <1}C. {x|1≤x <2}D. {x|0<x <2} 2. 函数f(x)=1x −x 3的图象关于( )A. y 轴对称B. 直线y =−x 对称C. 坐标原点对称D. 直线y =x 对称3. 若tanα=34，则cos 2α+2sin2α=( ) A. 6425 B. 4825 C. 1 D. 16254. 在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EC⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. −14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. 14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. −14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 5. 已知曲线C 1：y =cosx ，C 2：y =sin(2x +2π3)，则下面结论正确的是( )A. 把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B. 把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C. 把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2 D. 把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 26. 已知函数y =2sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则此函数的解析式为( )A. y =2sin(x 2−π6)B. y =2sin(4x +π4) C. y =2sin(x 2+π6) D. y =2sin(4x +π6) 7. 函数f(x)=2x −5−ln x 的零点个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 48. 设x 、y 、z 为正数，且2x =3y =5z ，则( )A. 2x <3y <5zB. 5z <2x <3yC. 3y <5z <2xD. 3y <2x <5z9. 在平面四边形ABCD 中，AC =2，BD =1，则(AB⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=( ) A. 5B. −5C. −3D. 3 10. 函数f(x)=(23)x −x 的零点的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11. 设ln3=a ，ln7=b ，则e a +e b = ______ .(其中e 为自然对数的底数)12. 已知一扇形的弧长为2π9，面积为2π9，则其半径r =______，圆心角θ=______．13. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为60°，|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=1，则|a ⃗ +3b ⃗ |=______．14. 函数f(x)=sin(2x +π4)的最小正周期为______；若函数f(x)在区间(0,a)上单调递增，则a 的最大值为______．15. 已知tanα=12，tan(α−β)=15，则tan(2α−β)= ______ ．16. 在△ABC 中，AB =3，AC =2，BC =√10，则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ． 17. 已知a ∈R ，函数f(x)=|x +4x −a|+a 在区间[1,4]上的最大值是5，则a 的取值范围是___________．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知向量a⃗=(cosx,sinx),b⃗ =(3,−√3),x∈[0,π]．(1)若a⃗//b⃗ ，求x的值；(2)记f(x)=a⃗⋅b⃗ ，求函数y=f(x)的最大值和最小值及对应的x的值．19.已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边落在第四象限，且与单位圆的交点的纵坐标为−513．(1)求cos(α+π2)及sin2α2的值；(2)若角β满足sin(α+β)=35，求cosβ的值．20.已知集合A={x|2a≤x≤a2+1}，B={x|x2−3(a+1)x+2(3a+1)≤0}，其中a∈R．(1)若4∈A，5∉A，求a的取值范围；(2)若A⊆B，求a的取值范围．21.已知函数f(x)=log a x+1，(a>0，且a≠1).x−1(1)求f(x)的定义域，井判断函数f(x)的奇偶性；(2)对于x∈[2,7]，f(x)>log a m恒成立，求实数m的取值范围．(x−1)(8−x)+a)．22.已知a∈R，函数f(x)=log2(1x(1)当a=4时，求f(x)的定义域；(2)若关于x的方程f(x)−log2[(a−3)x+2a−4]=0的解集中恰有一个元素，求a的取值集合；(3)设a>0，若对任意t∈[1,2]，函数f(x)在区间[t,3t−1]上的最大值和最小值的差不超过1，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．根据补集、交集的定义即可求出．解：∵A={x|0<x<2}，B={x|x≥1}，∴∁R B={x|x<1}，∴A∩(∁R B)={x|0<x<1}，故选B．2.答案：C解析：解：f(x)=1x−x3的定义域为{x|x≠0}．∵f(−x)=−1x +x3=−(1x−x3)=−f(x)∴f(x)为奇函数，图象关于原点对称故选C．要判断函数f(x)=1x−x3的图象的对称性，只要先判断函数的奇偶性即可本题主要考查了函数的奇偶性的定义及奇函数的图象的对称性的简单应用，属于基础试题3.答案：A解析：本题主要考查三角函数的化简求值，同角三角函数的关系式，二倍角公式的应用，“弦”化“切”是关键，属于基础题．将所求的关系式的分母“1”化为(cos2α+sin2α)，再将“弦”化“切”即可得到答案．解：∵tanα=34，∴cos2α+2sin2α=cos2α+4sinαcosαsin2α+cos2α=1+4tanαtan 2α+1=1+4×34916+1 =6425．故选A ． 4.答案：D解析：本题考查向量的几何意义，属于一般题．运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量．解：在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12×12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选D ． 5.答案：D解析：本题考查三角函数的图象变换、诱导公式的应用，考查计算能力，属于基础题． 利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可．解：把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y =cos2x 图象，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到函数y =cos2(x +π12)=cos(2x +π6)=sin(2x +2π3)的图象，即曲线C 2， 故选D ．。
宁波市2020_2021学年高一数学下学期期末考试试题含解析
浙江省宁波市镇海中学2020-2021学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题（共8小题，每题4分，共32分）.1．下列直线方程纵截距为2的选项为（）A．x+y+2＝0 B．C．x﹣y+2＝0 D．y＝x﹣22．与直线x＝2相切于点（2，0）且半径为1的圆的方程为（）A．（x﹣1）2+y2＝1B．（x﹣3）2+y2＝1C．（x+1）2+y2＝1D．（x﹣1）2+y2＝1或（x﹣3）2+y2＝13．已知A（m，﹣6），B（﹣2，m），P（0，﹣2），Q（﹣5，m），则下列选项中是AB⊥PQ 的充分不必要条件的是（）A．m＝﹣12 B．m＝2C．m＝﹣2 D．m＝﹣2或m＝﹣114．已知空间三点A（﹣2，0，8），P（m，m，m），B（4，﹣4，6），若向量与的夹角为60°，则实数m＝（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣25．等腰直角△ABC，直角边为2，沿斜边AC边上高BD翻折成直二面角A﹣BD﹣C，则三棱锥A﹣BCD外接球的体积为（）A．B．4πC．D．6π6．镇海植物园有两块地，从A，B，C，D四种树木中任选2种树木种植在一块地中，余下2种树木种植在另一块地中，则A，B种植在同一块地的概率为（）A．B．C．D．7．以下四个命题正确的为（）A．在空间中，与不共面的四点A，B，C，D距离相等的平面有4个B．正方体12条棱中有48对异面直线C．平行同一个平面的两条直线平行D．如果两个相交平面同时和第三个平面垂直，则它们的交线垂直第三个平面8．已知正四面体ABCD，E为AC中点，F为AB中点，P在线段BD上一个动点（包含端点），则直线CF与直线EP所成角余弦值的取值范围为（）A．B．C．D．二、选择题：本题共2小题，每小题4分，共8分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．下列结论正确的为（）A．正四棱柱是长方体的一类B．四面体最多有四个钝角三角形C．若复数z1，z2满足z12＝z22，则|z1|＝|z2|D．若复数z1，z2满足z1z2∈R，则10．已知直线l：2x+y﹣2a＝0（a＞0），M（s，t）是直线l上的任意一点，直线l与圆x2+y2＝1相切．下列结论正确的为（）A．的最小值为1B．当s＞0，t＞0时，的最小值为C．的最小值等于的最小值D．的最小值不等于的最小值三、填空题：本题共7小题，每小题5分，共35分．11．已知复数z＝12﹣5i（i为虚数单位），则＝．12．倾斜角为90°且与点（1，1）距离为2的直线方程为．13．镇海中学高一各班三分钟跳绳比赛的成绩如下：257，311，267，301，279，296，246，287，257，323，266，293，304，269，332，270，则其第50百分位数为．14．已知E（1，﹣2），F（﹣3，4），M为平面上一个动点满足，则M的轨迹方程为．15．镇海中学大成殿具有悠久的历史，始建于北宋年间，大成殿建筑美观大气，如图：上建筑屋脊状楔体WZ﹣EFGH，下建筑是长方体ABCD﹣EFGH．假设屋脊没有歪斜，即WZ的中点R在底面ABCD上的投影为矩形ABCD的中心点O，WZ∥AB，AB＝30，AD＝20，AE＝10，WZ＝20，OR＝13（长度单位：米）．则大成殿的体积为（体积单位：立方米）．16．已知点M（1，t）在圆x2+y2﹣2ty+1＝0外，则实数t的取值范围为．17．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球O半径为1，线段EF是球O的一条动直径（E，F 是直径的两端点），点G是正方体ABCD﹣A1B1C1D1表面上一个动点，则的最大值为．四、解答题：本题共5小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．直线l：y＝x与圆C：（x﹣1）2+（y﹣3）2＝16相交于A、B两点．（1）求平行于l且与圆C相切的直线方程；（2）求△ABC面积．19．如图，三棱锥P﹣ABC，△ABC为边长为2的正三角形，△PBC为等腰三角形，其中∠BPC ＝90°，PA＝1．（1）证明：PA⊥BC；（2）求直线PA与平面ABC所成角的大小．20．（1）已知某水果店进了三种产地不同的苹果（新疆、甘肃、山东），甲、乙两人到该店购买一种苹果，若甲、乙买新疆苹果的概率分别为0.2，0.3，买甘肃苹果的概率分别为0.5，0.4．求两人买不相同产地苹果的概率．（2）某校高一有两个实验班，某次数学考试成绩如下：一班48人平均分135分，方差为8，二班52人平均分130分，方差为10，求全体实验班学生的平均分和方差．21．已知△ABC，AB＝BC＝3，∠ABC＝120°，E，F在边AC，BC上，且．将△CEF 沿EF翻折为△C'EF，得到四棱锥C'﹣AEFB，其中C'A＝5（如图所示）．（1）若H为线段C'A上一点，且C'H＝2HA．求证：EH∥平面BC'F；（2）求二面角A﹣BC'﹣E的余弦值．22．已知A（1，1），B（3，3），动点C在直线l：y＝x﹣4上．（1）设△ABC内切圆半径为r，求r的最大值：（2）设△ABC外接圆半径为R，求R的最小值，并求此时外接圆的方程．参考答案一、选择题（共8小题，每题4分，共32分）.1．下列直线方程纵截距为2的选项为（）A．x+y+2＝0 B．C．x﹣y+2＝0 D．y＝x﹣2解：对于A：令x＝0，解得：y＝﹣2，不合题意，对于B：令x＝0，解得：y＝4，不合题意，对于C：令x＝0，解得：y＝2，符合题意，对于D：令x＝0，解得：y＝﹣2，不合题意，故选：C．2．与直线x＝2相切于点（2，0）且半径为1的圆的方程为（）A．（x﹣1）2+y2＝1B．（x﹣3）2+y2＝1C．（x+1）2+y2＝1D．（x﹣1）2+y2＝1或（x﹣3）2+y2＝1解：如图所示，由图形知，与直线x＝2相切于点（2，0）且半径为1的圆的圆心为（1，0）或（3，0），所以圆的方程为（x﹣1）2+y2＝1或（x﹣3）2+y2＝1．故选：D．3．已知A（m，﹣6），B（﹣2，m），P（0，﹣2），Q（﹣5，m），则下列选项中是AB⊥PQ 的充分不必要条件的是（）A．m＝﹣12 B．m＝2C．m＝﹣2 D．m＝﹣2或m＝﹣11解：∵A（m，﹣6），B（﹣2，m），P（0，﹣2），Q（﹣5，m），∴＝（﹣2﹣m，m+6），＝（﹣5，m+2），∵AB⊥PQ，∴﹣5（﹣2﹣m）+（m+6）（m+2）＝0，∴m＝﹣2或m＝﹣11，∵{﹣2}⊆{﹣2，﹣11}，∴m＝﹣2符合题意．故选：C．4．已知空间三点A（﹣2，0，8），P（m，m，m），B（4，﹣4，6），若向量与的夹角为60°，则实数m＝（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2解：∵＝（﹣2﹣m，﹣m，8﹣m），＝（4﹣m，﹣4﹣m，6﹣m），∴•＝（﹣2﹣m）（4﹣m）+（﹣m）（﹣4﹣m）+（8﹣m）（6﹣m）＝3m2﹣12m+40，||＝＝，||＝＝，由•＝||||cos60°得：3m2﹣12m+40＝（3m2﹣12m+68）×，整理得：m2﹣4m+4＝0，解得：m＝2．故选：B．5．等腰直角△ABC，直角边为2，沿斜边AC边上高BD翻折成直二面角A﹣BD﹣C，则三棱锥A﹣BCD外接球的体积为（）A．B．4πC．D．6π解：如图，由等腰直角△ABC的直角边为2，可得DA＝DC＝DB＝，把三棱锥A﹣BCD放置在正方体中，则三棱锥的外接球与正方体的外接球相同，外接球的半径R＝，∴三棱锥A﹣BCD外接球的体积为×＝．故选：A．6．镇海植物园有两块地，从A，B，C，D四种树木中任选2种树木种植在一块地中，余下2种树木种植在另一块地中，则A，B种植在同一块地的概率为（）A．B．C．D．解：从A，B，C，D四种树木中任选2种树木种植在一块地中，余下2种树木种植在另一块地中，基本事件总数n＝＝6，A，B种植在同一块地包含的基本事件个数m＝＝2，则A，B种植在同一块地的概率P＝＝＝．故选：B．7．以下四个命题正确的为（）A．在空间中，与不共面的四点A，B，C，D距离相等的平面有4个B．正方体12条棱中有48对异面直线C．平行同一个平面的两条直线平行D．如果两个相交平面同时和第三个平面垂直，则它们的交线垂直第三个平面解：对于A：在空间中，与不共面的四点A，B，C，D距离相等的平面有7个，故A错误；对于B：正方体12条棱中有48÷2＝24对异面直线，故B错误；对于C：平行同一个平面的两条直线平行或相交或异面，故C错误；对于D：如果两个相交平面同时和第三个平面垂直，则它们的交线垂直第三个平面，故D 正确．故选：D．8．已知正四面体ABCD，E为AC中点，F为AB中点，P在线段BD上一个动点（包含端点），则直线CF与直线EP所成角余弦值的取值范围为（）A．B．C．D．解：连接BE，CF，交于点Q，作PM⊥BE，交BE于点M，由AC⊥平面DEB，得：PM⊥面ABC，则PE在底面ABC的射影为EM，∴cos＜＞＝cos∠PEM•cos∠EQC＝cos＝，当点P与D重合时，cos＝，则cos＜＞＝，当点P与点B重合时，cos∠PEM＝1，则cos＜＞＝．∴直线CF与直线EP所成角余弦值的取值范围为[]．故选：A．二、选择题：本题共2小题，每小题4分，共8分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．下列结论正确的为（）A．正四棱柱是长方体的一类B．四面体最多有四个钝角三角形C．若复数z1，z2满足z12＝z22，则|z1|＝|z2|D．若复数z1，z2满足z1z2∈R，则解：正四棱柱的底面是正方形的直棱柱，所以正四棱柱中是长方体的一类，故选项A正确；如图所示的四面体中的四个面均是钝角三角形，故选项B正确；设z1＝a+bi，z2＝x+yi，因为z12＝z22，即a2﹣b2+2abi＝x2﹣y2+2xyi，所以，故（a2+b2）2＝a4+2a2b2+b4＝（a2﹣b2）2+（2ab）2＝（x2﹣y2）2+（2xy）2＝x4+2x2y2+y4＝（x2+y2）2，因为a2+b2≥9，x2+y2≥0，所以a2+b2＝x2+y2，则|z1|＝|z2|，故选项C正确；若z1＝i，z2＝i，则z1z2＝1∈R，但是，故选项D错误．故选：ABC．10．已知直线l：2x+y﹣2a＝0（a＞0），M（s，t）是直线l上的任意一点，直线l与圆x2+y2＝1相切．下列结论正确的为（）A．的最小值为1B．当s＞0，t＞0时，的最小值为C．的最小值等于的最小值D．的最小值不等于的最小值解：A中，当点M是直线与圆的切点时，|OM|最小，且为圆的半径1，所以A正确；B中，因为直线与圆相切，所以d＝＝1，因为a＞0，所以2a＝，所以直线l的方程为：2x+y﹣＝0，因为M在直线上，所以2s+t＝，当s＞0，t＞0，则直线l的方程为：2s+t＝，所以+＝（+）•（2s+t）＝（5++）≥（5+2）＝，当且仅当＝时取等号，所以B正确；因为+s＝+s＝+s＝+s，因为s∈R，所以+s的最小值为+|s|，所以C正确，D不正确，故选：ABC．三、填空题：本题共7小题，每小题5分，共35分．11．已知复数z＝12﹣5i（i为虚数单位），则＝．解：因为z＝12﹣5i，则＝＝．故答案为：．12．倾斜角为90°且与点（1，1）距离为2的直线方程为x＝3或x＝﹣1 ．解：∵所求直线的倾斜角是90°，∴所求直线和直线x＝1平行，与直线x＝1距离为2的直线方程为：x＝3或x＝﹣1，故答案为：x＝3或x＝﹣1．13．镇海中学高一各班三分钟跳绳比赛的成绩如下：257，311，267，301，279，296，246，287，257，323，266，293，304，269，332，270，则其第50百分位数为283 ．解：数据从小到大排序如下，246，257，257，266，267，269，270，279，287，293，296，301，304，311，323，332共16个数据，第8、9个数据为279，287，则其第50百分位数为＝283，故答案为：283．14．已知E（1，﹣2），F（﹣3，4），M为平面上一个动点满足，则M的轨迹方程为．解：设M（x，y），由条件得，两边平方，化简整理得．故答案为：．15．镇海中学大成殿具有悠久的历史，始建于北宋年间，大成殿建筑美观大气，如图：上建筑屋脊状楔体WZ﹣EFGH，下建筑是长方体ABCD﹣EFGH．假设屋脊没有歪斜，即WZ的中点R在底面ABCD上的投影为矩形ABCD的中心点O，WZ∥AB，AB＝30，AD＝20，AE＝10，WZ＝20，OR＝13（长度单位：米）．则大成殿的体积为6800 （体积单位：立方米）．解：大成殿下面的部分是一个长方体，上面的部分可以分割为一个三棱柱和两个四棱锥，其中长方体的体积V1＝30×20×10＝6000，三棱柱的体积：，四棱锥的体积：，故大成殿的体积：V＝6000+600+2×100＝6800．故答案为：6800．16．已知点M（1，t）在圆x2+y2﹣2ty+1＝0外，则实数t的取值范围为（﹣，﹣1）∪（1，）．解：因为M（1，t）在圆x2+y2﹣2ty+1＝0外，即在圆x2+（y﹣t）2＝t2﹣1外，所以可得：t2﹣1＞0，且1+t2﹣2t2+1＞0，即1＜t2＜2，解得：（﹣，﹣1）∪（1，），故答案为：（﹣，﹣1）∪（1，）．17．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球O半径为1，线段EF是球O的一条动直径（E，F 是直径的两端点），点G是正方体ABCD﹣A1B1C1D1表面上一个动点，则的最大值为2 ．解：由正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球O半径为1，可得正方体的棱长为2，体对角线长为2，由题意，E，F是直径的两端点，可得+＝，•＝﹣1，则＝（+）•（+）＝+•（+）+•＝+0﹣1＝﹣1，当点G在正方体顶点时，最大，且最大值为2，则﹣1的最大值为2，故答案为：2．四、解答题：本题共5小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．直线l：y＝x与圆C：（x﹣1）2+（y﹣3）2＝16相交于A、B两点．（1）求平行于l且与圆C相切的直线方程；（2）求△ABC面积．解：（1）设切线方程为y＝x+b，，∴．∴切线方程为或．（2）作CD⊥AB，，∴．∴．19．如图，三棱锥P﹣ABC，△ABC为边长为2的正三角形，△PBC为等腰三角形，其中∠BPC ＝90°，PA＝1．（1）证明：PA⊥BC；（2）求直线PA与平面ABC所成角的大小．解：（1）证明：取BC中点O，连接AO，PO，所以AO⊥BC，PO⊥BC，且AO∩PO＝O，即BC⊥平面PAO，又PA⊂平面PAO，所以PA⊥BC．（2）由（1）得：BC⊥平面PAO，又BC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面PAO且交线为AO．再作PM⊥AO，PM⊂平面PAO，所以：PM⊥平面ABC，即∠PAO即为直线PA与平面ABC所成角的平面角，易得：，所以∠PAO＝30°．另解：（1）以AC中点为原点建立如图所示空间直角坐标系，则，设P（a，b，c），因为，所以⇒，故点，，所以，即PA⊥BC．（2）由题易得平面ABC的法向量为：，设直线PA与平面ABC所成角的大小为α，所以．20．（1）已知某水果店进了三种产地不同的苹果（新疆、甘肃、山东），甲、乙两人到该店购买一种苹果，若甲、乙买新疆苹果的概率分别为0.2，0.3，买甘肃苹果的概率分别为0.5，0.4．求两人买不相同产地苹果的概率．（2）某校高一有两个实验班，某次数学考试成绩如下：一班48人平均分135分，方差为8，二班52人平均分130分，方差为10，求全体实验班学生的平均分和方差．解：（1）根据相互独立事件的概率计算公式，计算所求的概率为：P＝1﹣0.2×0.3﹣0.5×0.4﹣0.3×0.3＝0.65；（2）全体实验班的平均分为，方差为．21．已知△ABC，AB＝BC＝3，∠ABC＝120°，E，F在边AC，BC上，且．将△CEF 沿EF翻折为△C'EF，得到四棱锥C'﹣AEFB，其中C'A＝5（如图所示）．（1）若H为线段C'A上一点，且C'H＝2HA．求证：EH∥平面BC'F；（2）求二面角A﹣BC'﹣E的余弦值．解：（1）证明：取BC′上一三等份点M使得C′M＝2MB，由∥且EF＝，C′H＝2 HA，即HM∥且HM＝，所以FF∥HM且FF∥HM，所以EFMH为平行四边形，所以EH∥FM，又EH⊄平面BC′F，FM⊂平面BC′F，所以EH∥平面BC′F．（2）设AC的中为点O，以O为原点，OC所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，以过O点且垂直平面ABC的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，，，因为，所以⇒，故点．设面ABC′的法向量，面BC′E的法向量，由，则⇒，取，解得．⇒，取，解得．即可得，所以．故二面角A﹣BC'﹣E的余弦值为．22．已知A（1，1），B（3，3），动点C在直线l：y＝x﹣4上．（1）设△ABC内切圆半径为r，求r的最大值：（2）设△ABC外接圆半径为R，求R的最小值，并求此时外接圆的方程．解：（1）因为动点C在直线l：y＝x﹣4上，设点C（x，x﹣4），又A（1，1），B（3，3），则|AB|＝，点C到直线AB：y＝x的距离为d＝，则△ABC的面积为，所以，要求r的最大值，即求AC+BC的最小值，点A（1，1）关于直线y＝x﹣4对应的点A'（5，﹣3），所以AC+BC＝A'C+BC，当且仅当A'，B，C三点共线时，A'C+BC最小，所以AC+BC＝A'C+BC，则r的最大值为；（2）由题意可知，AB中垂线方程为y＝﹣x+4，AC中垂线方程为，则两条中垂线方程的交点即为圆心的坐标，所以圆心坐标为，设t＝（m2﹣8m+19）∈[3，+∞），所以，所以，此时m＝4，圆心坐标为，所以外接圆方程为．。
浙江省宁波市2020学年高一数学上学期期末考试试卷（含解析）
浙江省宁波市2020学年⾼⼀数学上学期期末考试试卷（含解析）浙江省宁波市2020学年第⼀学期期末考试⾼⼀数学试卷⼀、选择题（本⼤题共10⼩题，共40.0分）1.已知集合，，，则（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】故选A2.若幂函数在区间上单调递减，则实数m的值可能为A. 1B.C.D. 2 【答案】C【解析】【分析】由幂函数的单调性结合选项得答案．【详解】幂函数在区间上单调递减，，由选项可知，实数m的值可能为．故选：C．【点睛】本题考查幂函数的单调性，是基础题．3.M是边AB上的中点，记，，则向量A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意得，∴．选C．4.函数的零点所在区间是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】且，，，，的零点所在区间为．故选：C．【点睛】本题考查了函数零点的存在性定理，对数运算，属于基础题.5.已知为锐⾓，则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利⽤诱导公式变形，结合平⽅关系把根式内部的代数式化为完全平⽅式，开⽅得答案．【详解】为锐⾓，∴．故选：D．【点睛】本题考查三⾓函数的化简求值，考查同⾓三⾓函数基本关系式及诱导公式的应⽤，是基础题．6.函数的图象可能是A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】判断函数的奇偶性和对称性，利⽤，进⾏排除即可.【详解】，则函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B，D，，排除C，故选：A．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利⽤函数的奇偶性和对称性以及特殊值的符号进⾏排除是解决本题的关键．7.以下关于函数的说法中，正确的是A. 最⼩正周期B. 在上单调递增C. 图象关于点对称D. 图象关于直线对称【答案】B根据三⾓函数的周期性，单调性以及对称性分别进⾏判断即可．【详解】函数的最⼩正周期，故A错误，当时，，，此时函数为增函数，故B正确，，即图象关于点不对称，故C错误，，则图象关于直线不对称，故D错误，故选：B．【点睛】本题主要考查与三⾓函数有关的命题的真假判断，结合三⾓函数的周期性，单调性以及对称性是解决本题的关键．8.若向量，满⾜，，且，则，的夹⾓为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】对两边平⽅计算，再代⼊夹⾓公式即可求出答案．【详解】由可得，即，，，，的夹⾓为．故选：A．【点睛】本题考查了平⾯向量的数量积运算，向量的夹⾓公式，属于基础题．9.设函数的定义域为A，且满⾜任意恒有的函数是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】满⾜任意恒有，则函数关于中⼼对称，由此可得结论．【详解】满⾜任意恒有函数关于中⼼对称的对称中⼼为故选：C．【点睛】本题考查函数的对称性，考查学⽣分析解决问题的能⼒，属于基础题.10.已知函数，的值城是，则A. B. C. 2 D. 0 【答案】D【解析】根据条件判断函数的奇偶性，利⽤奇偶性的性质结合值域得到，即可得到结论．【详解】，即函数是奇函数，得图象关于原点对称，函数的值城是，，则，故选：D．【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据条件判断函数的奇偶性是解决本题的关键．⼆、填空题（本⼤题共7⼩题，共36.0分）11.已知，则______，______．【答案】 (1). 3 (2).【解析】【分析】根据即可得出，从⽽得出，的值，进⽽得出的值．【详解】；；；．故答案为：．【点睛】考查分数指数幂的运算，以及对数的定义，对数的运算性质．12.设，则______，______．【答案】 (1). (2).【解析】【分析】由已知展开两⾓和的正切求，由同⾓三⾓函数基本关系式化弦为切求．【详解】由，得，．故答案为：；．【点睛】本题考查三⾓函数的化简求值，考查同⾓三⾓函数基本关系式的应⽤及两⾓和的正切，是基础题．13.已知向量，，则______；若，则______．【答案】 (1). (2). 2【解析】【分析】直接由向量模的公式计算；再由向量共线的坐标运算列式求解值．【详解】，；故答案为：；2．【点睛】本题考查向量模的求法，考查向量共线的坐标运算，是基础题．14.已知函数⼀部分图象如图所⽰，则______，函数的单调递增区间为______．【答案】 (1). 2 (2). ，【解析】【分析】根据图象先求出函数的周期，和，利⽤五点对应法求出函数的解析式，结合函数单调性的性质进⾏求解即可．【详解】由图象知，则周期，即，即，即，由五点对应法得，即，则，由，，得，，即函数的单调递增区间为，，故答案为：，．【点睛】本题主要考查三⾓函数的图象和性质，根据条件求出的解析式是解决本题的关键．15.已知⼀个扇形的弧长为，其圆⼼⾓为，则这扇形的⾯积为______．【答案】2【解析】【分析】根据孤长公式求出对应的半径，然后根据扇形的⾯积公式求⾯积即可.【详解】扇形的半径为，圆⼼⾓为，弧长 ,这条弧所在的扇形⾯积为，故答案为 .【点睛】本题主要考査扇形的⾯积公式和弧长公式，意在考查对基础知识与基本公式掌握的熟练程度，属于中档题.16.已知且，函数，满⾜对任意实数，，都有【解析】【分析】根据题意知函数在R上为增函数，利⽤分段函数的单调性列不等式组，从⽽求出a的取值范围．【详解】函数，对任意实数，，都有成⽴，则在R上为增函数；当时，函数为增函数，则有，即；当时，函数为增函数，则有；由在R上为增函数，则，即有；由可得a的取值范围为：故答案为：【点睛】本题考查了分段函数的单调性与应⽤问题，注意各段的单调性，以及分界点的情况，是易错题．17.已知单位向量，，满⾜，向量满⾜，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】由题意，不妨设，，，根据可得到点和的距离和为，可得直线AB的⽅程，则表⽰点点到直线直线AB 上点的距离，即可求出范围．【详解】由题意，单位向量，，满⾜，不妨设，，，，，，，即到点和的距离和为，则直线AB的⽅程为，表⽰点点到线段AB上点的距离，，最⼤值为到的距离即为，故的取值范围是，故答案为：.【点睛】本题考查向量的坐标运算，考查两点的距离公式和点到直线的距离公式，向量模的⼏何意义，属于中档题．三、解答题（本⼤题共5⼩题，共74.0分）18.已知集合，．2已知，若，求实数a的取值范围．【答案】（1），（2）.【解析】【分析】（1）由指数不等式、对数不等式的解法得：A=，B=，故A∩B=；（2）由集合的包含关系得：C?B，则：a≥4，得到的范围是．【详解】（1）解不等式x-4≤4，得：3≤x≤6，即A=，解不等式log3（2x+1）＞2，得：x＞4，即B=，故A∩B=，（2）由集合的包含关系得：C?B，则：a≥4，所以的范围是．【点睛】本题考查了指数不等式、对数不等式的解法及集合的包含关系，属简单题．19.已知函数1求函数的最⼩正周期；2现将函数图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变，得到函数的图象，求在区间上的值域．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）⾸先利⽤平⾯向量的数量积运算和三⾓函数关系式的恒等变换，把三⾓函数的关系式转换为正弦型函数，进⼀步求出函数的最⼩正周期．（2）利⽤函数的关系式和函数的图象的平移变换的应⽤求出函数的值域．【详解】1函数，，函数的最⼩正周期；2由于，将函数图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变，得到函数的图象，由于，故：，所以：，故：的值域为．【点睛】本题考查的知识要点：三⾓函数关系式的恒等变换，正弦型函数性质的应⽤，函数图象的平移变换和伸缩变换的应⽤，主要考查学⽣的运算能⼒和转化能⼒，属于基础题型．20.如图所⽰，在等腰梯形ABCD中，已知，，，，动点E和F 分别在线段BC和DC上，且，．1求的值；2求的最⼩值，并求出此时t的值．【答案】（1）3；（2）【解析】【分析】1结合向量的数量积公式即可求出2利⽤等腰梯形的性质结合向量的数量积公式将所求表⽰为关于的代数式，根据具体的形式求最值．【详解】1，2，，，，故当时，的最⼩值为．【点睛】本题考查了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式的运⽤、基本不等式求最值；关键是正确表⽰所求，利⽤基本不等式求最⼩值．21.如图，在平⾯直⾓坐标系中，⾓，的顶点与原点重合，始边与x轴⾮负半轴重合，⾓，的终边与单位圆分别交、两点．1求的值；2若，，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】1根据三⾓函数的定义求出，和，的值，利⽤两⾓和差的余弦公式进⾏求解2先求出的三⾓函数值，结合两⾓和差的正弦公式求的值即可.【详解】1由、，得，、，，则．．【点睛】本题主要考查三⾓函数值的计算，结合三⾓函数的定义求出对应⾓的三⾓函数值，以及利⽤两⾓和差的公式进⾏求解是解决本题的关键．22.设，其中．1当时，分别求及的值域；2记，，若，求实数t的值．【答案】（1）；（2）或或或【解析】【分析】1当时，求出函数和的解析式，结合⼆次函数的性质进⾏求解即可2根据，得到两个集合的值域相同，求出两个函数对应的最值建⽴⽅程即可【详解】1当时，由，当且仅当时，取等号，即的值域为．设，则，则，当且仅当，即时，取等号，故的值域为．2，，即此时函数的值域为，，，得或，当时，即或，，即，即，则，得或成⽴．当时，即时，，即，即，即或或，或满⾜条件，综上或或或成⽴．【点睛】本题主要考查函数值域的应⽤，结合复合函数值域关系求出的最值是解决本题的关键综合性较强，运算量较⼤，有⼀定的难度．。
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2020-2021宁波市高一数学上期末试卷(带答案)一、选择题1．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,∞+上是增函数，若对任意[)x 1,∞∈+，都有()()f x a f 2x 1+≤-恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[]2,0- B ．(],8∞-- C ．[)2,∞+ D ．(],0∞- 2．已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}|(1)(2)0B x x x =-+<,则AB =（ ） A ．{}1,0- B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,23．已知奇函数()y f x =的图像关于点(,0)2π对称，当[0,)2x π∈时，()1cos f x x =-，则当5(,3]2x ππ∈时，()f x 的解析式为（ ） A ．()1sin f x x =-- B ．()1sin f x x =- C ．()1cos f x x =-- D ．()1cos f x x =- 4．已知131log 4a =，154b =，136c =，则（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >> 5．若函数()2log ,? 0,? 0x x x f x e x >⎧=⎨≤⎩，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．1e B ．e C ．21e D ．2e6．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为0kt P P e -=⋅（k 为常数，0P 为原污染物总量）.若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤n 小时，则正整数n 的最小值为（ ）（参考数据：取5log 20.43=）A ．8B ．9C ．10D ．147．已知函数()y f x =是偶函数，(2)y f x =-在[0,2]是单调减函数，则（ ） A ．(1)(2)(0)f f f -<<B ．(1)(0)(2)f f f -<<C ．(0)(1)(2)f f f <-<D ．(2)(1)(0)f f f <-<8．若函数ya >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a56＋log a 485＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．49．已知函数()ln f x x =，2()3g x x =-+，则()?()f x g x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10．若0.33a =，log 3bπ=，0.3log c e =，则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >> 11．若函数()[)[]1,1,0{44,0,1x x x f x x ⎛⎫∈- ⎪=⎝⎭∈，则f (log 43)＝( )A ．13B ．14C ．3D ．4 12．若不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的取值范围为( ) A ．0a ≥ B ．2a ≥- C ．52a ≥- D ．3a ≥-二、填空题13．已知1,0()1,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，则不等式(2)(2)5x x f x +++≤的解集为______． 14．已知函数241,(4)()log ,(04)x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩．若关于x 的方程，()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是____________．15．已知函数2,1,(){1,1,x ax x f x ax x -+≤=->若1212,,x x R x x ∃∈≠，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是 ．16．已知f （x ）是定义域在R 上的偶函数，且f （x ）在[0，+∞）上是减函数，如果f （m ﹣2）>f （2m ﹣3），那么实数m 的取值范围是_____.17．函数20.5log y x =________18．已知()f x ､()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()2x f x g x x -=-，则(1)(1)f g +=__________.19．已知函数1()41x f x a =+-是奇函数，则的值为________. 20．已知函数()211x x xf -=-的图象与直线2y kx =+恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________. 三、解答题21．已知函数f (x )＝2x 的定义域是[0,3]，设g (x )＝f (2x )－f (x ＋2)，(1)求g (x )的解析式及定义域；(2)求函数g (x )的最大值和最小值．22．已知函数()2log f x x =（1）解关于x 的不等式()()11f x f x +->；（2）设函数()()21x g x f kx =++，若()g x 的图象关于y 轴对称，求实数k 的值. 23．已知函数()()4412log 2log 2f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）当[]2,4x ∈时，求该函数的值域；（2）求()f x 在区间[]2,t （2t >)上的最小值()g t .24．某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修，排气扇恢复正常．排气4min 后，测得车库内的一氧化碳浓度为64L /L μ，继续排气4min ，又测得浓度为32L /L μ，经检测知该地下车库一氧化碳浓度(L /L)y μ与排气时间(min)t 存在函数关系：12mt y c ⎛⎫= ⎪⎝⎭（c ，m 为常数）。
（1）求c ，m 的值；（2）若地下车库中一氧化碳浓度不高于0.5L /L μ为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态？25．已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+，()20201f =，且当1x >时，()0f x >.（1）求()1f ；（2）求证：()f x 在定义域内单调递增;（3）求解不等式(2120192f x x -<. 26．某上市公司股票在30天内每股的交易价格P （元）关于时间t （天）的函数关系为12,020,518,2030,10t t t P t t t ⎧+≤≤∈⎪⎪=⎨⎪-+<≤∈⎪⎩N N ，该股票在30天内的日交易量Q （万股）关于时间t （天）的函数为一次函数，其图象过点(4,36)和点(10,30).（1）求出日交易量Q （万股）与时间t （天）的一次函数关系式；（2）用y （万元）表示该股票日交易额，写出y 关于t 的函数关系式，并求在这30天内第几天日交易额最大，最大值为多少？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【解析】【分析】根据偶函数的性质，可知函数在(],0-∞上是减函数，根据不等式在[)1,x ∈+∞上恒成立，可得：21x a x +≤-在[)1,+∞上恒成立，可得a 的范围.【详解】 ()f x 为偶函数且在[)0,+∞上是增函数()f x ∴在(],0-∞上是减函数对任意[)1,x ∈+∞都有()()21f x a f x +≤-恒成立等价于21x a x +≤-2121x x a x ∴-+≤+≤- 311x a x ⇒-+≤≤-()()max min 311x a x ∴-+≤≤-当1x =时，取得两个最值3111a ∴-+≤≤- 20a ⇒-≤≤本题正确选项：A【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性解抽象函数不等式的问题，关键在于能够通过单调性确定自变量之间的关系，得到关于自变量的不等式.2．A解析：A【解析】【分析】【详解】由已知得{}|21B x x =-<<，因为21,01,2A =--｛，，｝，所以{}1,0A B ⋂=-，故选A ．3．C解析：C【解析】【分析】 当5,32x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，30,2x ππ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭,结合奇偶性与对称性即可得到结果. 【详解】因为奇函数()y f x =的图像关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以()()0f x f x π++-=， 且()()f x f x -=-，所以()()fx f x π+=，故()f x 是以π为周期的函数. 当5,32x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，30,2x ππ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭，故()()31cos 31cos f x x x ππ-=--=+ 因为()f x 是周期为π的奇函数，所以()()()3f x f x f x π-=-=-故()1cos f x x -=+，即()1cos f x x =--，5,32x ππ⎛⎤∈⎥⎝⎦故选C【点睛】本题考查求函数的表达式，考查函数的图象与性质，涉及对称性与周期性，属于中档题. 4．C解析：C【解析】【分析】首先将b 表示为对数的形式，判断出0b <，然后利用中间值以及对数、指数函数的单调性比较32与,a c 的大小，即可得到,,a b c 的大小关系. 【详解】 因为154b =，所以551log log 104b =<=，又因为(133331log log 4log 3,log 4a ==∈，所以31,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又因为131133336,82c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，所以3,22c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以c a b >>.故选：C.【点睛】本题考查利用指、对数函数的单调性比较大小，难度一般.利用指、对数函数的单调性比较大小时，注意数值的正负，对于同为正或者负的情况可利用中间值进行比较.5．A解析：A【解析】【分析】直接利用分段函数解析式，认清自变量的范围，多重函数值的意义，从内往外求，根据自变量的范围，选择合适的式子求解即可.【详解】因为函数2log ,0(),0x x x f x e x >⎧=⎨≤⎩， 因为102>，所以211()log 122f ==-， 又因为10-<， 所以11(1)f e e--==， 即11(())2f f e=，故选A. 【点睛】 该题考查的是有关利用分段函数解析式求函数值的问题，在解题的过程中，注意自变量的取值范围，选择合适的式子，求解即可，注意内层函数的函数值充当外层函数的自变量. 6．C解析：C【解析】【分析】 根据已知条件得出415ke -=，可得出ln 54k =，然后解不等式1200kt e -≤，解出t 的取值范围，即可得出正整数n 的最小值.【详解】 由题意，前4个小时消除了80%的污染物，因为0kt P P e -=⋅，所以()400180%k P Pe --=，所以40.2k e -=，即4ln0.2ln5k -==-，所以ln 54k =，则由000.5%kt P P e -=，得ln 5ln 0.0054t =-， 所以()23554ln 2004log 2004log 52ln 5t ===⨯5812log 213.16=+=， 故正整数n 的最小值为14410-=. 故选：C.【点睛】本题考查指数函数模型的应用，涉及指数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题. 7．C解析：C【解析】【分析】先根据()2y f x =-在[]0,2是单调减函数，转化出()y f x =的一个单调区间，再结合偶函数关于y 轴对称得[]02，上的单调性，结合函数图像即可求得答案 【详解】 ()2y f x =-在[]0,2是单调减函数，令2t x =-，则[]20t ，∈-，即()f t 在[]20-，上是减函数 ()y f x ∴=在[]20-，上是减函数函数()y f x =是偶函数， ()y f x ∴=在[]02，上是增函数()()11f f -=,则()()()012f f f <-<故选C【点睛】本题是函数奇偶性和单调性的综合应用，先求出函数的单调区间，然后结合奇偶性进行判定大小，较为基础．8．C解析：C【解析】【分析】先分析得到a ＞1，再求出a =2,再利用对数的运算求值得解.【详解】由题意可得a －a x ≥0，a x ≤a ，定义域为[0，1]，所以a >1，y [0，1]上单调递减，值域是[0，1]，所以f (0)1，f (1)＝0，所以a ＝2，所log a56＋log a 485＝log 256＋log 2485＝log 28＝3. 故选C【点睛】 本题主要考查指数和对数的运算，考查函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.9．C解析：C【解析】【分析】【详解】因为函数()ln f x x =，()23g x x =-+，可得()()•f x g x 是偶函数，图象关于y 轴对称，排除,A D ；又()0,1x ∈时，()()0,0f x g x <>,所以()()•0f x g x <,排除B , 故选C.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除. 10．A解析：A【解析】 因为00.31,1e <，所以0.3log 0c e =<，由于0.30.3031,130log 31a b ππ>⇒=><<⇒<=<，所以a b c >>，应选答案A ．11．C解析：C【解析】【分析】根据自变量范围代入对应解析式，化简得结果.【详解】f (log 43)＝log434=3,选C.【点睛】本题考查分段函数求值，考查基本求解能力，属基础题.12．C解析：C【解析】【分析】【详解】210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭成立， 则等价为a ⩾21x x--对于一切x ∈(0,1 2)成立， 即a ⩾−x −1x 对于一切x ∈(0,1 2)成立， 设y =−x −1x ,则函数在区间(0,1 2〕上是增函数 ∴−x −1x <−12−2=52-， ∴a ⩾52-. 故选C. 点睛：函数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x >，若()0f x <恒成立，转化为max ()0f x <;（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为min max ()()f x g x >.二、填空题13．【解析】当时解得；当时恒成立解得：合并解集为故填： 解析：3{|}2x x ≤ 【解析】当20x +≥时，()()()22525x x f x x x +++≤⇔++≤，解得 322x -≤≤ ；当20x +<时，()()()22525x x f x x x +++≤⇔-+≤，恒成立，解得：2x <-，合并解集为32x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭ ，故填：32x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭. 14．【解析】作出函数的图象如图所示当时单调递减且当时单调递增且所以函数的图象与直线有两个交点时有解析：(1,2)【解析】作出函数()f x 的图象，如图所示，当4x ≥时，4()1f x x =+单调递减，且4112x<+≤，当04x <<时，2()log f x x =单调递增，且2()log 2f x x =<，所以函数()f x 的图象与直线y k =有两个交点时，有12k <<．15．【解析】【分析】【详解】故答案为解析：【解析】【分析】【详解】故答案为.16．（﹣∞1）（+∞）【解析】【分析】因为先根据f （x ）是定义域在R 上的偶函数将f （m ﹣2）>f （2m ﹣3）转化为再利用f （x ）在区间0+∞）上是减函数求解【详解】因为f （x ）是定义域在R 上的偶函数且f解析：（﹣∞，1）（53，+∞）【解析】 【分析】因为先根据f （x ）是定义域在R 上的偶函数，将 f （m ﹣2）>f （2m ﹣3），转化为()()223f m f m ->-，再利用f （x ）在区间[0，+∞）上是减函数求解.【详解】因为f （x ）是定义域在R 上的偶函数，且 f （m ﹣2）>f （2m ﹣3）, 所以()()223fm f m ->- ,又因为f （x ）在区间[0，+∞）上是减函数， 所以|m ﹣2|<|2m ﹣3|， 所以3m 2﹣8m +5>0， 所以（m ﹣1）（3m ﹣5）>0， 解得m <1或m 53>， 故答案为：（﹣∞，1）（53，+∞）. 【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的综合应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.17．【解析】【分析】先求得函数的定义域然后利用同增异减来求得复合函数的单调区间【详解】依题意即解得当时为减函数为减函数根据复合函数单调性同增异减可知函数的单调递增区间是【点睛】本小题主要考查复合函数的单 解析：[)1,0-【解析】 【分析】先求得函数的定义域，然后利用“同增异减”来求得复合函数的单调区间. 【详解】依题意220.50log 0x x ⎧>⎨≥⎩，即201x <≤，解得[)(]1,00,1x ∈-.当[)1,0x ∈-时，2x 为减函数，0.5log x 为减函数，根据复合函数单调性“同增异减”可知，函数y =递增区间是[)1,0-. 【点睛】本小题主要考查复合函数的单调区间的求法，考查函数定义域的求法，属于基础题.18．【解析】【分析】根据函数的奇偶性令即可求解【详解】､分别是定义在上的偶函数和奇函数且故答案为：【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性属于容易题解析：32【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，令1x =-即可求解. 【详解】()f x ､()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数, 且()()2x f x g x x -=- ∴13(1)(1)(1)(1)212f g f g ----=+=+=, 故答案为：32【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，属于容易题.19．【解析】函数是奇函数可得即即解得故答案为解析：12【解析】 函数()141x f x a =+-是奇函数，可得()()f x f x -=-，即114141x x a a -+=----，即41214141x x x a =-=--，解得12a =，故答案为1220．【解析】【分析】根据函数解析式分类讨论即可确定解析式画出函数图像由直线所过定点结合图像即可求得的取值范围【详解】函数定义域为当时当时当时画出函数图像如下图所示:直线过定点由图像可知当时与和两部分图像 解析：(4,1)(1,0)--⋃-【解析】 【分析】根据函数解析式,分类讨论即可确定解析式.画出函数图像,由直线所过定点,结合图像即可求得k 的取值范围. 【详解】 函数()211x x xf -=-定义域为{}1x x ≠当1x ≤-时,()2111x x x f x -==---当11x -<<时,()2111x x x f x -==+-当1x <时,()2111x x xf x -==---画出函数图像如下图所示:直线2y kx =+过定点()0,2由图像可知,当10k -<<时,与1x ≤-和11x -<<两部分图像各有一个交点; 当41-<<-k 时,与11x -<<和1x <两部分图像各有一个交点. 综上可知,当()()4,11,0k ∈--⋃-时与函数有两个交点 故答案为:()()4,11,0--⋃- 【点睛】本题考查了分段函数解析式及图像画法,直线过定点及交点个数的求法,属于中档题.三、解答题21．（1）g (x )＝22x －2x ＋2，{x |0≤x ≤1}．（2）最小值－4；最大值－3. 【解析】 【分析】 【详解】（1）f (x )＝2x的定义域是[0,3]，设g (x )＝f (2x )－f (x ＋2)，因为f(x)的定义域是[0,3]，所以，解之得0≤x≤1．于是 g(x)的定义域为{x|0≤x≤1}． （2）设．∵x ∈[0,1],即2x ∈[1,2]，∴当2x=2即x=1时，g(x)取得最小值-4；当2x=1即x=0时，g(x)取得最大值-3． 22．（1）{}1|0x x <<；（2）12k =-. 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：()1由题意得()()()221log 1log f x f x x x +-=+-，然后解不等式即可(2) 图象关于y 轴对称即为偶函数，即：()()22log 21log 21xx kx kx -+-=++成立，从而求得结果解析：（1）因为()()11f x f x +->，所以()22log 1log 1x x +->，即：21log 1x x +>，所以12x x+>，由题意，0x >，解得01x <<，所以解集为{}1|0x x <<.（2）()()21x gx f kx =++ ()2log 21x kx =++，由题意，()g x 是偶函数，所以x R ∀∈，有()()g x g x -=，即：()()22log 21log 21x xkx kx -+-=++成立，所以()()22log 21log 212xxkx -+-+=，即：221log 221x x kx -+=+，所以2log 22xkx -=，所以2x kx -=，()210k x +=，所以12k =-. 23．（1）1,08⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）()2442log 3log 1,21,8t t t g t t ⎧-+<<⎪=⎨-≥⎪⎩【解析】 【分析】(1)令4log m x =,则可利用换元法将题转化为二次函数值域问题求解; (2)根据二次函数的性质,分类讨论即可. 【详解】(1)令4log m x =,则[]2,4x ∈时,1,12m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则()()22131()222312248f x h m m m m m m ⎛⎫⎛⎫==--=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 故当34m =时,()f x 有最小值为18-,当12m =或1时,()f x 有最大值为0, ∴该函数的值域为1,08⎡⎤-⎢⎥⎣⎦;(2)由(1)可知()2231()231248f x h m m m m ⎛⎫==-+=-- ⎪⎝⎭, []2,x t ∈,41,log 2m t ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦,当413log 24t <<,即2t <<,函数()h m 在41,log 2t ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减, ()()()4min log g t h m h t ==2442log 3log 1t t =-+,当43log 4t ≥,即t ≥时, 函数()h m 在13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,在43,log 4t ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增,()()min 3148g t h m h ⎛⎫===- ⎪⎝⎭,综上所述:()2442log 3log 1,21,8t t t g t t ⎧-+<<⎪=⎨-≥⎪⎩. 【点睛】本题考查对数函数综合应用,需结合二次函数相关性质答题,属于中档题. 24．（1）11284c m ==，（2）32min 【解析】 【分析】(1)将4,64t y ==和8,32t y ==分别代入12mty c ⎛⎫= ⎪⎝⎭,列方程组可解得1128,4c m ==,从而可得.(2) 由(1)知1411282⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭t y ,然后利用指数函数的单调性解不等式1411280.52t ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭即可得到. 【详解】(1)由题意，可得方程组4816421322mmc c ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得12814c m =⎧⎪⎨=⎪⎩． (2)由(1)知1411282⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭t y ．由题意，可得 1411280.52t ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，即 1841122t ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即 184t ，解得32≥t ． 所以至少排气 32min ，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态。