高中数学竞赛指导(第四讲)

第四讲三角函数性质及其应用

赛点直击

一、三角函数线及其应用

在单位圆中（如图所示），设单位圆与x轴正向交于A 点,与y轴正向交于B点，并设α角与单位圆交于P点，过P点作PM⊥x轴与M点，过A点作AT⊥x轴交α终边或其延长线（α在二三象限）于T点，过B点作BS⊥y 轴交α终边或其延长线（α在三四象限）于S点，则

sinα＝→

MP 的数量，cosα＝

→

OM 的数量

tanα＝→

AT 的数量，cotα＝

→

BS的数量y

由单位圆中函数线不难看出：

（1）|sinα|≤1 ，|cosα|≤1；

（2）sin α＜α＜tan α , α∈(0,π

2) (实质为S ΔOPM

＜S 扇形OPA ＜S ΔOAT ) 二、三角函数值

1.三角函数的诱导公式(不列出，参照课本)

2.八个基本关系

平方关系：sin ²α＋cos ²α＝1, tan ²α＋1＝sec ²α, cot ²α＋1＝csc ²α .

商的关系：tan α＝sin αcos α , cot α＝cos α

sin α .

倒数关系：csc α＝1sin α , sec α＝1

cos α

,

cot α＝1

tan α

.

三、三角函数的性质

1.正、余弦函数的有界性

2.三角函数的单调性

3.三角函数的奇偶性

4.三角函数的周期性

赛题解析

【例一】 设x ∈[0,π]，试比较cos(sinx)与sin(cosx)的

大小.

解：令x ＝0,π

2,π，分别代入cos(sinx)和sin(cosx)，易

得: cos(sinx)＞sin(cosx);

又当π2＜x ＜π时，0＜sinx ＜1＜π2, －π

2＜－1＜cosx ＜0,

则cos(sinx)＞0＞sin(cosx).

下面证明当0＜x ＜π

2时，cos(sinx)＞sin(cosx),即只需证

明sin(π

2

－sinx)＞sin(cosx)

因为0＜x ＜π2，则0＜π2－sinx ＜π2,0＜cosx ＜1＜π

2.故只

需证明：π2－sinx ＞cosx ，即证明：sinx ＋cosx ＜π

2,而sinx

＋cosx ≤2＜π

2

成立.

(注：最后一步是因为sinx ＋cosx ＝2sin(x ＋π

4)≤2).

【例二】 已知x 是第二象限角，且sinx ＋cosx ＝a(|a|≠1)，

求下列各式的值： (1)tanx －cotx;

(2)

1－sinx

1＋sinx ＋

1－cosx

1＋cosx

.

解：（1）tanx －cotx ＝(sinx －cosx)(sinx ＋cosx)

sinxcosx .

根据sinx ＋cosx ＝a ，两边平方得：1＋2sinxcosx ＝a ² , 即有sinxcosx ＝a ²－1

2. 于是(sinx －cosx)²＝2－a ²

又x 是第二象限角，则sinx －cosx ＝2－a ²，因此， tanx －cotx ＝2a 2－a ²

a ²－1.

(2)

1－sinx

1＋sinx

＋

1－cosx 1＋cosx ＝1－sinx －cosx ＋1－cosx

sinx

＝(sinx －cosx)( sinx ＋cosx ＋1)sinxcosx ＝22－a ²

a ＋1

.

【说明】由sinx ±cosx ＝a 可以推出sinxcosx ＝±a ²－1

2，

并可求出关于sinx,cosx 的任意一个对称式，如sin ³x ＋ cos ³x ,sin 2

x cosx ＋cos 2

x

sinx 等的值.

【例三】 求证：

ab ≤(asin 2

x ＋bcos 2

x)(bsin 2

x ＋acos 2

x)≤(a ＋b)²

4

(a ,b ＞

0).

【分析】从中间向左右两侧变形在于消x，联想公式sin²α＋cos²α＝1，可以考虑通过不等变换，凑出sin2x＋cos2x 结构.

证明：因为a ,b＞0，且sin2x＋cos2x＝1，则

(asin2x＋bcos2x)(bsin2x＋acos2x)

≤[(asin2x＋bcos2x)＋(bsin2x＋acos2x)

2

]²＝

(a＋b)²

4

又 (asin2x＋bcos2x)(bsin2x＋acos2x)

＝(a²＋b²)sin2xcos2x＋ab(sin4x＋cos4x)

≥2absin2xcos2x＋ab(sin4x＋cos4x)

＝ab(sin2x＋cos2x)²＝ab.

故原不等式成立.

【例四】已知函数f(x)＝cos2x＋2sinxcosx－sin2x＋Ax＋

B,|f(x)|在0≤x≤3π

2

上的最大值M与参数A、B

有关，问A、B取什么值时M最小？并证明之. 【分析】解决一个问题首先应考虑简化，题中函

数f(x)可看作函数2sin(2x＋π

4

)和函数Ax＋B

相加而成，2sin(2x＋π

4

)为静态的，Ax＋B为动