高中数学竞赛指导(第四讲)

第四讲三角函数性质及其应用赛点直击一、三角函数线及其应用在单位圆中（如图所示），设单位圆与x轴正向交于A 点,与y轴正向交于B点，并设α角与单位圆交于P点，过P点作PM⊥x轴与M点，过A点作AT⊥x轴交α终边或其延长线（α在二三象限）于T点，过B点作BS⊥y 轴交α终边或其延长线（α在三四象限）于S点，则sinα＝→MP 的数量，cosα＝→OM 的数量tanα＝→AT 的数量，cotα＝→BS的数量y由单位圆中函数线不难看出：（1）|sinα|≤1 ，|cosα|≤1；（2）sin α＜α＜tan α , α∈(0,π2) (实质为S ΔOPM＜S 扇形OPA ＜S ΔOAT ) 二、三角函数值1.三角函数的诱导公式(不列出，参照课本)2.八个基本关系平方关系：sin ²α＋cos ²α＝1, tan ²α＋1＝sec ²α, cot ²α＋1＝csc ²α .商的关系：tan α＝sin αcos α , cot α＝cos αsin α .倒数关系：csc α＝1sin α , sec α＝1cos α,cot α＝1tan α.三、三角函数的性质1.正、余弦函数的有界性2.三角函数的单调性3.三角函数的奇偶性4.三角函数的周期性赛题解析【例一】 设x ∈[0,π]，试比较cos(sinx)与sin(cosx)的大小.解：令x ＝0,π2,π，分别代入cos(sinx)和sin(cosx)，易得: cos(sinx)＞sin(cosx);又当π2＜x ＜π时，0＜sinx ＜1＜π2, －π2＜－1＜cosx ＜0,则cos(sinx)＞0＞sin(cosx).下面证明当0＜x ＜π2时，cos(sinx)＞sin(cosx),即只需证明sin(π2－sinx)＞sin(cosx)因为0＜x ＜π2，则0＜π2－sinx ＜π2,0＜cosx ＜1＜π2.故只需证明：π2－sinx ＞cosx ，即证明：sinx ＋cosx ＜π2,而sinx＋cosx ≤2＜π2成立.(注：最后一步是因为sinx ＋cosx ＝2sin(x ＋π4)≤2).【例二】 已知x 是第二象限角，且sinx ＋cosx ＝a(|a|≠1)，求下列各式的值： (1)tanx －cotx;(2)1－sinx1＋sinx ＋1－cosx1＋cosx.解：（1）tanx －cotx ＝(sinx －cosx)(sinx ＋cosx)sinxcosx .根据sinx ＋cosx ＝a ，两边平方得：1＋2sinxcosx ＝a ² , 即有sinxcosx ＝a ²－12. 于是(sinx －cosx)²＝2－a ²又x 是第二象限角，则sinx －cosx ＝2－a ²，因此， tanx －cotx ＝2a 2－a ²a ²－1.(2)1－sinx1＋sinx＋1－cosx 1＋cosx ＝1－sinx －cosx ＋1－cosxsinx＝(sinx －cosx)( sinx ＋cosx ＋1)sinxcosx ＝22－a ²a ＋1.【说明】由sinx ±cosx ＝a 可以推出sinxcosx ＝±a ²－12，并可求出关于sinx,cosx 的任意一个对称式，如sin ³x ＋ cos ³x ,sin 2x cosx ＋cos 2xsinx 等的值.【例三】 求证：ab ≤(asin 2x ＋bcos 2x)(bsin 2x ＋acos 2x)≤(a ＋b)²4(a ,b ＞0).【分析】从中间向左右两侧变形在于消x，联想公式sin²α＋cos²α＝1，可以考虑通过不等变换，凑出sin2x＋cos2x 结构.证明：因为a ,b＞0，且sin2x＋cos2x＝1，则(asin2x＋bcos2x)(bsin2x＋acos2x)≤[(asin2x＋bcos2x)＋(bsin2x＋acos2x)2]²＝(a＋b)²4又 (asin2x＋bcos2x)(bsin2x＋acos2x)＝(a²＋b²)sin2xcos2x＋ab(sin4x＋cos4x)≥2absin2xcos2x＋ab(sin4x＋cos4x)＝ab(sin2x＋cos2x)²＝ab.故原不等式成立.【例四】已知函数f(x)＝cos2x＋2sinxcosx－sin2x＋Ax＋B,|f(x)|在0≤x≤3π2上的最大值M与参数A、B有关，问A、B取什么值时M最小？并证明之. 【分析】解决一个问题首先应考虑简化，题中函数f(x)可看作函数2sin(2x＋π4)和函数Ax＋B相加而成，2sin(2x＋π4)为静态的，Ax＋B为动态的（相对于f(x)的最值而言），本题主要考虑Ax ＋B 对f(x)的最大值和最小值的影响，借助图像可以使问题分析更直观.解：由函数解析式化简得：f(x)＝2sin(2x ＋π4)＋Ax ＋B.令g(x)＝2sin(2x ＋π4),x ∈[0,3π2];h(x)＝Ax ＋B,x ∈[0,3π2].作出函数h(x)＝Ax ＋B,x ∈[0,3π2]和g(x)＝2sin(2x ＋π4),x ∈[0,3π2]的图像，如图所示当x ＝π8,9π8时，g(x)取得最大值 2.当x ＝5π8时，g(x)取得最小值－ 2.当h(π8)＞0或h(9π8)＞0时，f max ＞2,∴ M ＞ 2.当h(π8)＜0且h(9π8)＜0时，h(5π8)＜0,∴f min ＜－2, ∴ M ＞ 2当h(π8)＝h(9π8)＝0时，f max ＝2, f min ＝－2,∴ M ＝ 2.此时A ＝B ＝0，即A ＝B ＝0时，M 有最小值 2.【例五】 求证：在区间(0,π2)内存在唯一的实数对(c,d)，c,d ∈(0,π2),且c ＜d ，sin(cosc)＝c, cos(sind)＝d 使得成立.【分析】本题实质上是方程sin(cosx)＝x 和cos(sinx)＝x 的解的问题.解：设函数f(x)＝sin(cosx)－x, x ∈[0,π2]，则f(x)在其定义域上是连续函数，任取x 1,x 2∈[0,π2]，使得x 1＜x 2f(x 1)＝sin(cosx 1)－x 1 , f(x 2)＝sin(cosx 2)－x 2 .由于y ＝cosx 在[0,π2]单调递减，则cosx 1＞cosx 2，且cosx 1、cosx 2∈[0,π2]，而y ＝sinx 在[0,π2]上是单调递增的，所以，sin(cosx 1)＞sin(cosx 2).又因x 1＜x 2，则sin(cos x 1)－x 1＞sin(cos x 2)－x 2 ，即 f(x 1)＞f(x 2).所以f(x)在[0,π2]上是减函数.又f(0)＝sin1＞0,f(π2)＝－π2＜0,故f(x)的图像在区间(0,π2)上与x 轴有唯一交点，即存在唯一实数c ∈(0,π2)使得等式sin(cosc)＝c 成立.同理可证明存在唯一实数d ∈(0,π2),使得等式cos(sind)＝d 成立.因为cos(sind)＝d ，所以sin(cos(sind))＝sind. 又sind ∈(0,π2),而在(0,π2)内只有唯一解c 使sin(cosc)＝c 成立，故c ＝sind.当x ＞0时，sinx ＜x 成立，则sind ＜d,于是c ＜d,命题成立.【例六】 设0≤a ≤1,且0≤x ≤π,试证明： (2a －1)sinx ＋(1－a)sin(1－a)x ≥0 【分析】可以从等式的符号分析入手，考虑到当0≤a ≤1且0≤x ≤π时，sinx ＞0, sin(1－a)x ＞0, 1－a ＞0,所以当12＜a ≤1时，(2a －1)sinx ＋(1－a)sin(1－a)x ≥0成立；当0≤a ≤12时，(2a －1)sinx ≤0.故可将所证不等式变形为(1－a)sin(1－a)x ≥(1－2a)sinx ，能否将其转化为某一函数的两函数值关系问题？这一函数是什么？是xsinx ，还是sinxx？ 证明：显然，当0≤x ≤π时，有sinx ≥0, sin(1－a)x ≥0.当a ∈[0,12]且x ＝0时, (2a －1)sinx ＋(1－a)sin(1－a)x＝0.下面证明a ∈[0,12]，0＜x ≤π时的情形.定义函数f(x)＝sinx x ,0＜x ≤π,对于任何0＜x ＜x ＋δ≤π2有tanx ≥x 及sin(x ＋δ)＝sinxcos δ＋sin δcosx ≤sinx ＋cosx.则：sinx x －sin(x ＋δ)x ＋δ＝(x ＋δ)sinx －xsin(x ＋δ)x(x ＋δ)≥(x ＋δ)sinx －x(sinx ＋δcosx)x(x ＋δ)＝δcosx(tanx －x)x(x ＋δ)≥0.所以f(x)＝sinx x 在(0,π2)上递减，而sinx 在[π2,π]上递减，故f(x)＝sinx x 在[π2,π]上递减，由此推知对任何x, 0＜x≤π,0≤a ≤12,有 sinx x ≤sin(1－a)x(1－a)x , 得：sinx ≤sin(1－a)x1－a.又(1－a)²＝1－2a ＋a ²＞1－2a ＞0,则 sin(1－a)x 1－a ≤1－a1－2a ·sin(1－a)x.于是 sinx ≤1－a 1－2a ·sin(1－a)x ,即 (2a －1)sinx ＋(1－a)sin(1－a)x ≥0.(本题证明函数f(x)＝sinxx 的单调性用求导数的方法更简单)巩固练习1. 设a ＝xcos θ＋ysin θ,b ＝xsin θ＋ycos θ，当|x|≠|y|≠0时，对任意实数x,y,θ，则有( )A. a ＝b ＝0B. a, b 不同时为零C ．a ≠0且b ≠0 D.a ²＋b ²＝12. 对任意实数x,y ，设a ＝cosx ²＋cosy ²－cosxy ，则a 的取值范围是( )A. [－3,3]B. (－3,3)C. [－1,3)D. (－1,3]3. 平面上有两个定点A,B ，任意放置4个点C 1,C 2,C 3,C 4，且与A,B 两点不重合，若存在点C i ,C j (i ≠j)，使不等式|sin∠AC i B －sin ∠AC j B|≤13成立，则称(C i ,C j )为一个点对，那么这样的点对( )A. 不存在B.至少有一个C.至多有一个D.恰有一个4. 若θ∈(π2,3π4)，sin2θ＝a,则sin θ＋cos θ等于( ) A. a ＋1＋a ²－a B. －a －1C. a ＋1－a ²－aD. a ＋15. 对0≤θ≤π2，使cos ²θ＋2msin θ－2m －2＜0成立的实数m 的取值范围是( )A. 1－2＜m ＜1＋ 2B. －12＜m ＜1 C. m ＞－12D. 0＜m ＜16. 已知锐角α满足cos α＝35, cos(α＋β)＝－513，则β一定位于( )A. 第一象限角B.第一或第三象限角C.第三象限角D.第一或第四象限角7. 函数y ＝3－sinx 1＋cosx的最小值是( ) A. 1 B. 4 C. 43 D. －438. 若α, β∈(0,π2)，则必定有( ) A. cos(α＋β)＞cos α＋cos βB. cos(α＋β)＜cos α＋cos βC. cos(α＋β)＞sin α＋sin βD. cos(α＋β)＜sin α＋sin β9. 方程sin ²x ＋3a ²cosx －2a ²(3a －2)－1＝0有解，则a 的取值范围是( )A. －12≤a ＜1B. a ＞1或－13＜a ＜12C. －13＜a ＜23D. 12≤a ≤1 10. A 为ΔABC 的一个内角,且sinA ＋cosA ＝712,则ΔABC 是( )A. 钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.正三角形11. 对于任何x ∈(0,π2),则下列结论成立的是( ) A. sin(sinx)＜cosx ＜cos(cosx)B. sin(sinx)＞cosx ＞cos(cosx)C. sin(cosx)＞cosx ＞cos(sinx)D. sin(cosx)＜cosx ＜cos(sinx)12. 当x 在任意两个整数间(包括整数本身)变动时,函数y＝3tan (2k －1)πx 5(k ∈Ζ)至少有两次失去意义,则k 的最小正整数值为( )A. 6B.5C.4D.313. 函数y ＝(sinx ＋1)(cosx ＋1),(－π6≤x ≤π2)的最小值为 .14. y ＝(13)lgcosx 的单调递减区间是 15. y ＝－tanx －1＋16－x ²1－㏒sinx32的定义域是 16. 函数f(x)＝acosx ＋bsinx,其中a,b 为实常数,若存在x 1,x 2,且x 1≠x 2＋k π(k ∈Ζ),使得|f(x 1)|＋|f(x 2)|＝0成立,则函数f(x)的值域为17. 方程sinx ＋cosx ＝－k 在区间[0,π]上有两个不相等实根,则实常数k 的取值范围是18. 如果tan α,tan β是关于x 的一元二次方程x ²＋px ＋q＝0的两根,则 sin(α＋β)cos(α－β)＝ 19. 若α,β,γ是锐角,且cos ²α＋cos ²β＋cos ²γ＝1,则tan αtan βtan γ的最小值等于20. 设A ＝sin(sin 3π8),B ＝sin(cos 3π8), C ＝cos(sin 3π8),D ＝cos(cos 3π8),试比较A,B,C,D 的大小 21. 若整数n 用7除余1、3或4，证明：cos(n 7π－1314π)＋cos(37n π－314π)＋cos(57n π－314π)＝0 22. a,b,A,B 都是实数，若对于一切实数x ，都有f(x)＝1－acosx －bsinx －Acos2x －Bsin2x ≥0.求证： a ²＋b ²≤2 , A ²＋B ²≤1.参考答案：1~5:B B B D C 6~10:B C B A A 11 ~12:D A 13.2＋34 14.[2k π,2k π＋π2),k ∈Ζ15.[－4,－5π4)∪(π2,2π3)∪(2π3,3π4) 16.﹛0﹜17.[1,2] 18. －pq＋119.22(构造长方体解) 20.B＜C＜A＜D 21.略 22.提示：取特殊点x, x＋π和x, x＋π2代入。