物质分配模型

灾区物资分配方案

摘要

本文应用线性规化的方法解决了在一定限制条件下如何求得物资分配中满意度最大的问题。模型一通过应用经济学中的基数效用理论和消费选择理论并结合实际分析建立了满意度与急需程度之间的一般函数关系，在此基础上借助优化方法和微分方程理论将物资分配问题转化为在一定约束条件下的最值问题。模型二运用经济学中的边际效用递减规律揭示了影响急需程度变化的因素以及它们之间的关系，是对模型一的合理改进。模型三中我们引入了公平因子λ（0≤λ≤1），并给出严格的定义：

max u ≤（2-λ）U ， min u ≥λU

对任一分法，当以上两式中等号至少有一个成立时，我们称λ为此分法的公平度。这样做使决策者有了很大的选择空间，他可以通过确定λ的值，在每个灾民都能得到最低生活保障的前提下，建立公平度与满意度之间的平衡。这比定量的设出最低生活标准更一般的解决了公平问题。文中通过具体实例，运用MATLAB 编程做出了模型一与模型三的不同结果，通过比较结果展现了公平因子在实际应用中的价值，并且我们可以求出相应分法下的最精确的公平因子。最后通过引入满意度的公平弹性给出了如何在公平和效用之间进行取舍的标准。

关键词

灾区物资分配 优化模型 线性规划 公平因子 MATLAB

问题重述

某一灾区有N名受灾群众，现有一批救灾物资要发放给这些受灾者。物资共有M种，每种物资的数量有限；各受灾者的灾情不同，对每种物资的急需程度和需求量不同。

(1)你作为一名物资分配者，请制定分配原则并给出合理的分配方法。

(2)试给出一个符合题意的数值算例。

问题分析

如果物资分配者有足够的物资满足所有人的需求，我们称所有灾民的满意度达到了最大，并假设此时即使再增加供给灾民的满意度也不会增加。这里假设最大满意度为1，并引入基数效用理论表示满意度，即如果甲的效用是乙的二倍，可以认为甲的满意度是乙的二倍或甲比乙开心二倍（显然此假设有其一定的局限性，但在此并不影响对问题的讨论）。

我们可以想象，当物资分配者面对一定数量的灾民，他很难知道每个灾民的具体受灾状况，而只有灾民自己知道什么是他最急需的，我们用一组序数表示任一灾民对不同物资的急需程度，如1，2，3等，这些序数的和不妨称为该灾民的总急需程度。显然，每种物资对应的序数除以总急需程度就表示它在总急需程度中的比重，不同物资的急需程度值实际代表的是该物资相对总体需求的紧急程度，为了便于问题的研究我们设每个灾民在需求得到完全满足之前对各物资急需程度之和为1。

对于不同物资，因其急需程度与需求量不同，获得相应物资满意度的增量肯定也是不一样的，急需程度越高，相应物资的增加对满意度的影响也就越大，又由于不同物资的需求量不同，在此用共同的单位度量供应量变化对效用的影响将变得毫无意义，故可研究供应量与需求量的比的变化对效用的影响的相对大小。

考虑到物资分配过程中公平与满意度往往需要兼顾，为此我们引入公平因子来解决此问题。

模型假设

假设物资全部分发完，没有剩余。

假设每个灾民的最大满意度为1。

假设任一灾民对各种物资的急需程度之和为1。

符号说明

M物资j的实际数量

j

Q灾民i对物资j的实际需求量

ij

R灾民i对物资j的原始急需程度

ij

r灾民i对物资j的实际急需程度

ij

q给灾民i物资j的实际分配量

ij

u灾民i对所获物资的满意度和

i

j

u第j种物资发完后灾民获得的总满意度

U所有灾民获得的满意度总和

U相应分法下灾民的平均满意度

u相应分法下获得满意度最大的灾民

max

u相应分法下获得满意度最小的灾民

min

λ公平因子

e满意度的公平弹性

p

以下如果没有特殊说明，i、j分别表示第i（1≤i≤N）个人，第j（1≤j≤M）种物资。

模型建立和求解

模型一 急需程度不变下的分配模型

（一）模型建立

根据以上问题分析并结合经济学效用理论，我们推测灾民在某物资上获得的满意度增量等于此时的急需程度乘于相应的百分比变化 对于任一个灾民i ，我们有满意度i u ：

1

M

ij

ij i j ij

r u q Q

==

⋅∑

（1）

注意这里的

ij ij

r Q 实际含义是单位数量的j 物资给灾民i 带来的效用值的大

小（其值越大代表该物资越有可能流向此灾民），再乘以实际给予量ij q ，得到的就是相应数量的

j 物资给灾民i 带来的总效用值（我们不妨将其记为满意度）。

在（1）式中，当所有 ij ij q Q = 时，我们有： 1

1M

i ij

j u r

===∑

（2）

这显然是符合我们对于急需度与满意度的假设的，在此我们成功的建立了满意度与急需度之间的一般函数关系。

根据模型假设，我们有：

1

N

ij

ij i q

M ==∑

（3）

如果任一灾民对各种物资的急需程度不随供应量的变化而变化，上述问题可以认为是在有限物资限制下求所有灾民的满意度之和最大的问题。

即根据公式（1），在（3）限制下，找出ij q 使得

U =12N u u u ++

+=11

N M

i j ij i j i j

r q Q ==⋅

∑∑

的值最大。

（二）模型求解（C 语言环境）

分析：

因为N, M, ij r ，ij Q 为已知给定常量,令ij A =

j

i j i Q r ，有如下等式：

U =11

N M

i j ij i j i j

r q Q ==⋅

∑∑ =

11

M N

i j ij

j i i j

r q

Q ==⋅

∑∑ =

11

M N

ij

i j j i q

A ==⋅∑∑

对任一待分配物资j M ， 有：

1

N

ij

j i q

M =≤∑ （ij q >=0）

对于j 不同的ij q ，它们之间没有依赖（约束）关系。也就是说，对每种物资进行单独分配而获得的这一物资的单项满意度最大值，它们的之和就是整个系统U 的满意度最大值。

从而对等式U 求极大值问题就转化为对等式中的j 个分项j u 单独求极大值的问题：

j u =

1

N

ij ij

i q A

=∑

结论：

问题转化为对线性规划的最优化问题： 需要极大化的线性函数(目标函数)：

U =

11

M N

ij

i j j i q

A ==⋅∑∑

约束条件：

j 1

N

ij

i q

M =≤∑ （ij q >=0）

求解：

将目标函数和约束条件转换成增广矩阵，然后用“单纯形算法”求解。 （C 语言程序见附录中程序源代码三）