结构力学11.3 单元刚度矩阵的坐标变换)

e j

M
e j


e j

则有
{F e} [T ]{F e}
cos sin 0 0
0 0
sin cos 0 0
0 0
0
01 0
0 0
[T
]



，称为，坐标变换矩阵。
0
0 0 cos sin 0
0
0
0
sin
cos
0
即 [k e ] [T ]T [k e ][T ]{ e} 87
结构力学讲稿
此即单元刚度矩阵的坐标变换式。 整体坐标系下，单元刚度方程为 {F e} [k e ]{ e}
可将单元刚度方程按端结点 i、j 进行分块，有
第十一章 矩阵位移法
可得
{Fie}

[kiei
]{
e i
}

[kiej
0
00 0
0 1
坐标变换矩阵的性质—正交矩阵
第十一章 矩阵位移法
[T]是一个正交矩阵，即
[T ]1 [T ]T
杆端力的坐标变换关系式为
{F e} [T ]{F e}
同理，杆端位移的坐标变换关系式为
{ e} [T ]{ e}
由{F e} [T ]1{F e} ，{F e} [k e ]{ e} ，{F e} [k e ]{ e} ，得

{F
e}

M
e i
FNej

，{
e}

ie
u
e j

，{F
e}

M
e i

Fxej

，{
e}

ie
u
e j

FSej

v
e j


Fyej

v
e j

M
e j


]{
e j
}
，这个式子，在求解出结点位移后，可用来计算杆端位移产生的杆端内力。
{Fje
}

[k
e ji
]{
e i
}

[k
e jj
]{
e j
}
平面桁架单元的坐标变换矩阵
如上图所示。
Fe

Fie

FFxyeeii
，
{
e
}

ie

uviiee
[k e ] [T ]T [k e ][T ]{ e}
89
的杆端力是沿 x 轴、y 轴分解的。
杆端弯矩与坐标系无关，故有，
M
e i

M
e i
，
M
e j

M
e j
根据杆端力的投影关系，有
FNei Fxei cos Fyei sin ， FSei Fxei sin Fyei cos
FNej Fxej cos Fyej sin ， FSej Fxej sin Fyei cos
结构力学讲稿
第十一章 矩阵位移法
§11-3 单元刚度矩阵的坐标变换
各单元有自己的局部坐标系，各不相同。进行整体分析时，必须统一到整体坐标系下。故，局部 坐标系下的单刚，需要变换到整体坐标系下。
如上图所示，单元局部坐标系为 x y ，整体坐标系为 Oxy。符号上有一横杠的表示是局部坐标
系下的量，没有横杠的表示整体坐标系下的量。局部坐标系下的杆端力为轴力与剪力。整体坐标系下
以上 6 个关系式，写成矩阵形式，有

FNei FSei

cos sin
sin cos
0 0
0 0
0 0
0 0

Fxei Fyei

Mie


0
01 0
0
0
Mie

FNej

FSej
88
结构力学讲稿
cos
[T
]


sin 0


0
sin a cos
0 0
0 0 cos sin
0
0

sin
cos

则，相应的坐标变换关系式有
第十一章 矩阵位移法
{F e} [k e ]{ e} ，{F e} [k e ]{ e} ，{F e} [T ]{F e}，{ e} [T ]{ e}
，
[k
e
]


EA
l 0
0 0
EA l 0
0 0


F
e j


Fxej



e j


u
e j


EA
0
EA
0
Fyej

v
e j


l 0
0
l 0
0
由结点 i、j 上力的投影关系，不难得出平面桁架单元的坐标变换矩阵为

0 0
0 0
0 0
cos sin
sin cos
0
0

Fxej

Fyej

M
e j


0
00 0
0
1

MLeabharlann e j 记
86
结构力学讲稿
FFSNeeii

uviiee


Fxei Fyei

uviiee