概率的加法公式 (1)
概率的加法公式
U ∑
∑
(
)
∑
(
)
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例1 小王参加“智力大冲浪”游戏, 他能答 出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2, 两类问题都能答出的概率为0.1. 求小王 (1) 答出甲类而答不出乙类问题的概率 (2) 至少有一类问题能答出的概率 (3) 两类问题都答不出的概率 解 事件A , B分别表示“能答出甲,乙类问题 (1) P( AB) = P( A) P( AB) = 0.7 0.1 = 0.6 (2) P( A∪ B) = P( A) + P(B) P( AB) = 0.8 (3) P( AB) = P( A∪ B) = 0.2
第一章 概率论的基本概念
11.3 概率的加法公式
P( AU B) = P( A) + P(B) P( AB) 。
A
B S
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第一章 概率论的基本概念
加法公式的推广
1) P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) P(AB) P(AC) P(BC) + P(ABC)
课后同学问： 例1 中小王他能答出第一类问题的概 率为0.7, 答出第二类问题的概率为0.2, 两 类问题都能答出的概率为0.1. 为什么不是 0.7×0.2 ？ 若是的话, 则应有 P( A A2 ) = P( A )P( A2 ) 我们上述等式成立的 条件是 ：事件 A , A2 相互独立. 1
2) 对任意 n 个事件 A1, A2 , L, An , 有 n n P( Ai ) P Ai = P Ai A j + P Ai A j Ak 1≤ i < j ≤ n 1≤ i < j < k ≤ n i =1 i =1 L + ( 1)n 1 P( A1 A2 L An )
3.2.2概率的一般加法公式
练习1
甲、乙两门高射炮同时向一敌机开炮， 已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机 的概率为0.8，甲、乙同时击中敌机的概率 为0.48，求敌机被击中的概率．
练习2
从1，2，3…50中任意选一个数，求下 列事件的概率： （1）它是偶数； (2)它能被3整除； (3)它是偶数或能被3整除
A B中包含的基本事件数 的基本事件数
A中基本事件的个数
B中基本事件的个数 的基本事件数
A
B中基本事件个数
P( A) P(B) P( A B)
概率的一般加法公式： P(A B) P(A) P(B) P(A B)
例2
某地有甲、乙两种报纸，据统计，该 地成年人中有20%读甲报，16%读乙报，其 中有8%兼读甲、乙报。求该地成年人至少 读一种报纸的概率。
练习3
5个人排成一排，其中甲不在左端 且乙不在右端的概率是多少？
小结
概率的一般加法公式
3.2.2 概率的一般加法 公式
复习
古典概型的定义 古典概型的概率求解公式 概率的加法公式
算一算
掷红蓝两颗骰子，事件A={红骰子点数 大于4}，事件B={蓝骰子的点数大于4}，求 事件AUB={至少有一颗骰子点数大于4}
在古典概型下，设A、B是Ω的 两个事件，则：
P(A B)
概率加法公式的推广
概率加法公式的推广首先，回顾概率加法公式的表达方式：对于两个事件A和B，概率加法公式可以表示为：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)其中，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
推广1：多个事件的概率加法P(A1∪A2∪...∪An)=P(A1)+P(A2)+...+P(An)-P(A1∩A2)-P(A1∩A3)-...-P(An-1∩An)+...+(-1)^(n+1)P(A1∩A2∩...∩An)其中，(-1)^(n+1)表示(-1)的n+1次方。
推广2：互斥事件的概率加法如果事件A和事件B是互斥事件，即A和B不能同时发生，则概率加法公式可以简化为：P(A∪B)=P(A)+P(B)因为P(A∩B)=0。
推广3：不互斥事件的概率加法对于不互斥事件A和B，它们的概率加法公式可以表示为：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)这与基本的概率加法公式相同。
推广4：全概率公式全概率公式是概率加法公式的另一个推广应用。
假设事件A1，A2，...，An是样本空间Ω的一个划分，即这些事件互不相交且它们的并集为Ω。
则对任意事件B，全概率公式可以表示为：P(B)=P(A1)P(B，A1)+P(A2)P(B，A2)+...+P(An)P(B，An)其中，P(Ai)表示事件Ai发生的概率，P(B，Ai)表示在事件Ai发生的条件下事件B发生的概率。
推广5：贝叶斯公式贝叶斯公式是全概率公式的逆运算，用于计算已知事件B发生的条件下，事件Ai发生的概率。
贝叶斯公式可以表示为：P(Ai，B)=P(Ai)P(B，Ai)/(P(A1)P(B，A1)+P(A2)P(B，A2)+...+P(An)P(B，An))其中，P(Ai，B)表示在事件B发生的条件下事件Ai发生的概率。
推广6：加法公式的扩展除了上述推广的形式，还可以扩展概率加法公式来计算更复杂的情况。
加法原理公式
加法原理公式加法原理是概率论中的一种基本原理，它用于计算两个事件同时发生的概率。
在实际问题中，我们经常需要计算多个事件中至少有一个发生的概率，这时就需要用到加法原理。
下面我们将详细介绍加法原理的公式及其应用。
加法原理公式如下：如果A和B是两个事件，那么A和B至少有一个发生的概率为P(A∪B) = P(A) + P(B) P(A∩B)。
其中，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率，P(A∩B)表示事件A和B同时发生的概率。
接下来，我们通过一个例子来说明加法原理的应用。
假设有一副扑克牌，从中随机抽取一张牌，事件A表示抽到红桃牌的概率为1/4，事件B表示抽到黑桃牌的概率为1/4。
现在我们要计算抽到红桃牌或黑桃牌的概率。
根据加法原理公式，P(A∪B) = P(A) + P(B) P(A∩B) = 1/4 + 1/4 0 = 1/2。
因此，抽到红桃牌或黑桃牌的概率为1/2。
在实际问题中，加法原理经常用于计算多个事件中至少有一个发生的概率。
比如在概率统计中，我们经常需要计算某个班级中至少有一个学生生日是在同一天的概率，这时就可以利用加法原理来进行计算。
除了上述的基本应用，加法原理还可以推广到多个事件的情况。
对于n个事件A1、A2、...An，它们至少有一个发生的概率可以表示为：P(A1∪A2∪...∪An) = P(A1) + P(A2) + ... + P(An)P(A1∩A2) P(A1∩A3) ... P(An-1∩An) + ... + (-1)^(n+1)P(A1∩A2∩...∩An)。
这就是加法原理在多个事件的情况下的公式。
综上所述，加法原理是概率论中的重要概念，它用于计算多个事件中至少有一个发生的概率。
通过加法原理公式，我们可以方便地计算复杂事件的概率，应用范围非常广泛。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解加法原理，并在实际问题中灵活运用。
数学运算 概率公式
数学运算概率公式数学运算是数学中的基本概念之一，它涉及到加法、减法、乘法、除法等操作。
在概率论中，概率公式是用来计算事件发生的可能性的数学公式。
常见的概率公式包括加法法则、乘法法则、全概率公式和贝叶斯定理。
首先，加法法则用于计算两个事件中至少发生一个的概率。
如果A和B是两个事件，那么它们的并集的概率可以用加法法则表示为P(A∪B) = P(A) + P(B) P(A∩B)，其中P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
其次，乘法法则用于计算两个事件同时发生的概率。
如果A和B是两个事件，那么它们的交集的概率可以用乘法法则表示为P(A∩B) = P(A) P(B|A)，其中P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率。
全概率公式是一个重要的概率公式，用于计算一个事件的概率。
如果B1, B2, ..., Bn是一个样本空间的一个划分，即它们互不相交且并集为整个样本空间，那么事件A的概率可以用全概率公式表示为P(A) = Σ P(A|Bi) P(Bi)，其中P(A|Bi)表示在事件Bi发生的条件下事件A发生的概率。
最后，贝叶斯定理是用于计算在已知事件B发生的条件下事件A发生的概率。
贝叶斯定理可以表示为P(B|A) = (P(A|B) P(B)) / P(A)，其中P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(B)和P(A)分别表示事件B和事件A发生的概率。
综上所述，数学运算涉及到基本的加减乘除等操作，而概率公式包括加法法则、乘法法则、全概率公式和贝叶斯定理，它们在概率论中被广泛应用于计算事件发生的可能性。
希望这些信息能够帮助你更好地理解数学运算和概率公式。
《工程数学》教案12概率的定义与概率的加法公式
《工程数学》教案12概率的定义与概率的加法公式一、概率的定义概率是描述随机事件发生可能性的一种数学工具。
在工程数学中，概率可以用来分析和预测随机事件发生的概率大小。
概率的加法公式可以用来计算两个事件同时发生的概率。
具体而言，设A和B为两个事件，其概率分别为P(A)和P(B)，则A与B同时发生的概率可以用概率的加法公式表示为P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。
三、概率的加法公式的解释概率的加法公式可以通过对所有可能发生的事件进行分类讨论来进行解释。
假设我们有一个样本空间S，里面包含了所有可能发生的事件，其中A是事件A发生的部分，B是事件B发生的部分，A∪B是事件A与事件B同时发生的部分，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
当事件A和事件B同时发生时，这部分的概率也就是P(A∩B)。
根据加法原理，我们可以将事件A与事件B同时发生的概率表示为P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。
四、概率的加法公式的推导概率的加法公式可以通过数学推导来得到。
设S为样本空间，A和B 分别是样本空间S中的两个事件，即A和B是S的子集。
我们令a表示在事件A中且不在事件B中的样本点，b表示在事件B中且不在事件A中的样本点，c表示在事件A和事件B中的样本点。
根据集合的运算法则，我们可以得到如下关系：A=a∪c，B=b∪c，A∪B=(a∪c)∪(b∪c)=a∪b∪c。
根据概率的定义，我们可将事件A和事件B的概率表示为P(A)=n(A)/n(S)，P(B)=n(B)/n(S)，其中n(A)表示事件A中的样本点数目，n(B)表示事件B中的样本点数目，n(S)表示样本空间S中的样本点数目。
根据加法原理，我们可以得到P(A∪B)=n(A∪B)/n(S)。
由于A∪B=a∪b∪c，我们可以将其分解为三个部分，并进行求和得到P(A∪B)=(n(a)+n(b)+n(c))/n(S)。
根据n(a)=n(A)-n(c)，n(b)=n(B)-n(c)，我们可以将P(A∪B)=(n(a)+n(b)+n(c))/n(S)改写为P(A∪B)=(n(A)+n(B)-n(c))/n(S)。
概率的加法公式与事件的独立性
A1 + A2 + L + An
n
∑A 或
n
i
U Ai
n =1
例如，掷两枚匀称的硬币，设A=“正好一 个正面朝上”，B=“两个都是正面朝上”， C=“至少一个正面朝上”，则 C=A+B 又如，向一目标连续射击30次，设 30 Ai=“第i次击中目标” A=“至少有一次击中目标” 则
例如，掷两枚匀称的硬币，A=“两枚都是 正面朝上”，B=“两枚都是反面朝上”， 则A与B互不相容。再设C=“恰好一个正 面朝上”，则A，B，C互不相容。
事件的互不相容性相当于集合的互不相 交性。
概率的可加性： 若事件A与B互不相容，则 P(A+B)=P(A)+P(B)
直观上，概率的可加性可由概率的统计 定义推得。
例7 从10件产品（7件正品，3件次品）中 每次取一件，有放回地取两次。设B=“第一 次取到正品”，A=“第二次取到正品”。问： P(A|B)=P(A)成立吗？
当P(A|B)=P(A)时，表明事件B的发生并不 影响事件A发生的概率。 而当P(B|A)=P(B)成立时，表明事件A的发 生并不影响事件B发生的概率。 这就是事件A与B的所谓独立性。
古典概型中的条件概率计算公式：
在B发生的前提下 A包含的基本事件数 P( A | B) = 在B发生的前提下基本事件 总数
AB包含的基本事件数 = B包含的基本事件数
例4 盒中装有16个球，其中6个玻璃球， 另外10个是木质球。而玻璃球中有2个是红 色的，4个是蓝色的；木质球中有3个是红 色的，7个是蓝色的。现从中任取一个。已 知取到的是蓝色球，求取到的是玻璃球的 概率。
由条件概率计算公式不难知， P(A|B)=P(A) P(B|A)=P(B) P(AB)=P(A)P(B) 这三个等式是相互等价的。 于是我们引入 定义 如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称 事件A与B相互独立（简称独立）。
概率论重要公式大全必看
概率论重要公式大全必看概率论是数学的一个分支，研究随机事件的概率性质和随机现象的数学模型。
在概率论中有许多重要的公式，下面是一些概率论中常用的重要公式的介绍。
1.加法法则加法法则是计算两个事件一起发生的概率的公式。
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)2.乘法法则乘法法则是计算两个事件同时发生的概率的公式。
P(A∩B)=P(A)×P(B，A)=P(B)×P(A，B)其中P(B，A)表示已知事件A发生下事件B发生的概率。
3.全概率公式全概率公式是计算一个事件的概率的公式，通过将事件分解为若干个互斥事件并计算其概率，然后加权求和得到事件的概率。
P(A)=ΣP(A∩Bi)=ΣP(Bi)×P(A，Bi)其中Bi为一组互斥事件，且它们的并集为样本空间。
4.贝叶斯定理贝叶斯定理是根据条件概率的定义，计算事件的后验概率的公式。
P(A，B)=P(B，A)×P(A)/P(B)其中P(A，B)为已知事件B发生下事件A发生的概率。
5.随机变量与概率分布随机变量是用来描述随机现象结果的变量。
概率分布则是随机变量取不同值的概率的分布情况。
6.期望和方差期望是描述随机变量平均值的概念，可以通过加权平均的方式计算。
E(X)=Σx×P(X=x)方差是描述随机变量离散程度的概念，用来衡量随机变量取值与其期望值之间的偏差。
Var(X) = E((X - E(X))^2) = Σ (x - E(X))^2 × P(X=x)7.二项分布二项分布是描述重复进行n次独立实验中成功次数的概率分布。
P(X=k)=C(n,k)×p^k×(1-p)^(n-k)其中C(n,k)表示组合数，p为单次实验的成功概率，n为实验次数，k为成功次数。
8.泊松分布泊松分布是描述事件在一定时间或空间范围内发生的次数的概率分布。
P(X=k)=(λ^k/k!)×e^(-λ)其中λ为单位时间或单位空间范围内事件发生的平均次数，k为事件发生的次数。
概率加法公式的简单推导
（ 二） 三个 事件的概率加法公式 设 Ａ、 Ｂ、 Ｃ 为任 意三个 事件 ，则Ａ、 Ｂ、 Ｃ 的事 件概率
可作 如下推导 ：
Ｐ （ ＡＵＢＵＣ） ＝ Ｐ ［ （ ＡＵ（ Ｂ ） ＵＣ 】 （ ２ ）
（ Ａ Ｂ Ｃ ） ＋ Ｐ （ Ａ Ｂ Ｄ） ＋ Ｐ （ Ａ Ｃ Ｄ） ＋ Ｐ （ Ｂ ｃ Ｄ） 一 Ｐ （ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ） ，（ ９ ） （ 四） 五个事件 的概率加法计算公式 设Ａ、 Ｂ 、 Ｃ 、 Ｄ 、 Ｅ 为任 意三个事件 ， 则Ａ、 Ｂ 、 Ｃ 、 Ｄ、 Ｅ 的 事件概率可作如下推导 ：
Ｐ （ ＡｕＢｕＣ ） ＝ Ｐ （ Ａ） ＋ Ｐ （ Ｂ ） ＋ Ｐ （ Ｃ ） 一 Ｐ （ Ａ Ｂ ） 一 Ｐ （ Ａ Ｃ ）
Ｐ （ Ｂ Ｃ） ＋ Ｐ （ ＡＢ Ｃ） 通过对具体 例题 的讲解 ， 对 加 法公 式在使用 过程 中的一些技 巧 给 出了详细 的说
Ｐ （ ＡＵＢＵＣＵＤＵＥ ） ＝ ｅ ｌ （ ＡＵＢ ＵＣＵＤ） ＵＥ １ ＝ Ｐ （ ＡｕＢ ｕＣ ｕＤ） ＋ Ｐ （ Ｅ） 一 Ｐ ［ （ ＡＵＢＵＣ ＵＤ ） Ｅ 】 （ １ ０ ） 又 因为Ｐ 『 （ ＡＵＢ ＵＣＵＤ） Ｅ ］ ＝ Ｐ （ Ａ Ｅ ＵＢ Ｅ ＵＣ ＥＵ Ｄ Ｅ ） ， 利用公式 （ ９ ） 得：
芜湖
２ ４ １ ０ ０ ０ ）
摘要 ： 基 于两个事件的概 率加法公式 ， 推 导 出了３ ￣ ５ 个事件 的概 率加 法计算公式。通过 总结 多个事件概率 加 法公式 的一般规律 ， 得到ｎ 个事件的概率加法公式。
关键词 ： 概率 ； 加法公式 ； 归 纳 法
中图分类号 ： Ｇ ６ ４ ２ ． ４ １
明 。本 文将 利用简单 的两个事件概率 加法公式 ， 推 导 出３ ～ ５ 个事件 的概率加法计算 公式 ，通过总结 归纳 多个 事件概率 加法公式 的一般规律 ，给出ｎ 个事 件的
概率的加法与乘法原理
概率的加法与乘法原理概率是数学中的一个重要概念，用于描述某个事件发生的可能性。
概率的加法与乘法原理是概率论中的两个基本原理，它们在解决复杂事件的概率计算中起着重要的作用。
一、概率的加法原理概率的加法原理是指对于两个事件A和B，其概率的和等于这两个事件分别发生的概率之和减去两个事件同时发生的概率。
用数学符号表示为：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
以一个简单的例子来说明概率的加法原理。
假设有一个箱子，里面有红球和蓝球两种颜色的球，红球的数量为3个，蓝球的数量为2个。
现在从箱子中随机抽取一个球，求抽到红球或者蓝球的概率。
根据概率的加法原理，我们可以计算出抽到红球或者蓝球的概率为：P(红球∪蓝球) = P(红球) + P(蓝球) - P(红球∩蓝球) = 3/5 + 2/5 - 0 = 5/5 = 1。
这个例子中，红球和蓝球是两个互斥事件，即不可能同时发生，所以它们的交集为空集，概率为0。
因此，抽到红球或者蓝球的概率等于红球的概率加上蓝球的概率。
二、概率的乘法原理概率的乘法原理是指对于两个独立事件A和B，其同时发生的概率等于这两个事件分别发生的概率之积。
用数学符号表示为：P(A∩B) = P(A) × P(B)。
以一个生日概率的例子来说明概率的乘法原理。
假设有一个班级，有30个学生，每个学生的生日是独立的且均匀分布在一年中的365天。
现在要求至少有两个学生生日相同的概率。
根据概率的乘法原理，我们可以计算出至少有两个学生生日相同的概率为：1 - P(所有学生生日都不相同)。
第一个学生的生日可以是任意一天，概率为1。
第二个学生的生日不能与第一个学生的生日相同，概率为364/365。
以此类推，第30个学生的生日不能与前面29个学生的生日相同，概率为336/365。
因此，至少有两个学生生日相同的概率为：1 - (364/365 × 363/365 × ... ×336/365) ≈ 0.706。
概率的加法公式与乘法公式
概率的加法公式与乘法公式基础疏理（一）概率的加法公式1、互斥事件的概念（了解）不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件.(1) 如果事件A1,A2,…,A n中的任何两个都是互斥事件，那么就说事件A1,A2,…,A n彼此互斥.(2) 事件A与B互斥,且事件A、B中必有一个发生，则事件A(B)叫做事件B(A)对立事件，事件A的对立事件通常记作____.2、概率的加法公式（掌握与运用）如果事件A,B互斥，那么事件A+B发生（即A,B中有一个发生）的概率，等于事件A,B 分别发生的概率的和.即P(A+B) = ______________.(1) 如果事件A1,A2,…,A n彼此互斥，那么事件A1+A2+…+A n发生(即A1,A2,…,A n中有一个发生)的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和. 即P(A1+A2+…+A n) = ______________________.(2) 对立事件的概率和等于1. 即P(A+A̅)=___________ = _______.(二) 概率的乘法公式1、相互独立事件的概念（了解）事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件. 一般地如果事件A与B相互独立，那么A与B̅, A̅与B, A̅与B̅也都是相互独立事件.2、概率的乘法公式（掌握与运用）两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积. 即P(A·B) = _________. (1) 一般地，如果事件A1,A2,…,A n相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积, 即P(A1·A2·…·A n) = ________________________________. (2) 独立重复试验在n次独立重复试验中，如果事件A在其中一次试验中发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率P n(k) = ___________________.双基再现1.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为0.4,甲不输的概率为0.9,则甲、乙下成和棋的概率为___.2.口袋内装有100个大小相同的红球、白球和黑球，其中有45个红球，从中摸出1个球，摸出白球的概率是0.23，则摸出黑球的概率为_______________.3. 一盒子中有散落的围棋子15粒，其中6粒黑子，9粒白子. 从中任取2粒，2粒恰好同色的概率为_______.4. 有10张人民币，其中5元的2张，贰元的3张，1元的5张. 从中任取3张，则3张中至少有两张币值相同的概率为________.5. 从甲袋中摸出一球，是红球的概率为13，从乙袋中摸出一球，是红球的概率为12，从两袋内各摸出1个球，则23是（）的概率.A. 两个球都是红球B.两个球不都是红球C. 至少有1个红球D.2球中恰好有1个红球6. 箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出1球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球，若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球后停止取球的概率为_________(用算式表示).7. 将一枚硬币连掷5次,如果出现k次正面的概率等于出现k+1次正面的概率,那么k的值是___.8. 位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：每次向上或向右移动一个单位，且向上或向右移动的概率都是0.5，质点P移动5次后位于点(2,3)的概率为________.9. 一道数学竞赛题，甲解出它的概率为12，乙解出它的概率为13，丙解出它的概率为14，现甲、乙、丙三人独立解答此题，问题被解出的概率为_________.10. 已知事件A与B相互独立，事件A与B都不发生的概率为19，事件A发生B不发生的概率与事件B发生A不发生的概率相等，则事件A发生的概率为P(A)=________.11. 在一次试验中，事件A发生的概率为13，若在n次独立重复试验中，事件A至少发生一次的概率不小于6581，则n的最小值为_______.12. 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p,且乙投球2次均未命中的概率为116.求：(1) 乙投球的命中率p；(2) 甲投球2次，至少命中1次的概率；(3) 若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率13. 甲有一只放有个x红球,y个白球,z个黄球的箱子, 且x+y+z=6(x、y、z∈N∗),乙有一只放有3个红球，2个白球，1个黄球的箱子.两人各自从自己的箱子中任取一球.规定：当两球同色时，甲胜；异色时，乙胜.(1) 用x、y、z表示甲胜的概率;(2) 试证明：甲胜的概率总小于乙胜的概率.14. (2009江西·18)某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审.假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是12.若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”则给予5万元的资助；若未获得“支持”则不给予资助.求：(1) 该公司的资助总额为零的概率；(2) 该公司的资助总额超过15万元的概率.15. 甲、乙、丙三人进行某项比赛，每局比赛有两人参加，没有平局.在一局比赛中甲胜乙的概率为35,甲胜丙的概率为45,乙胜丙的概率为35.比赛的规则是先由甲和乙进行第一局比赛,然后每局的获胜者与未参加此局比赛者进行下一局的比赛，在比赛中，有人获胜两局就算取得比赛的胜利，比赛结束.(1) 求只进行两局比赛甲就取得胜利的概率；(2) 求只进行两局比赛，比赛就结束的概率；(3) 求甲取得比赛胜利的概率.。
概率基础计算公式
概率基础计算公式概率基础计算公式1.加法公式:P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A B ) P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)2.求逆公式：P ( A ˉ ) = 1 − P ( A ) P(\bar{A})=1-P(A) P(Aˉ)=1−P(A)3.求差公式：P ( A − B ) = P ( A ) − P ( A B ) P(A-B)=P(A)-P(AB) P(A−B)=P(A)−P(AB)4.乘法公式：P ( A B ) = P ( A ) ⋅P ( A ∣B ) = P ( B ) ⋅P ( B ∣A ) P(AB)=P(A)\cdot P(A|B)=P(B)\cdot P(B|A) P(AB)=P(A)⋅P(A∣B)=P(B)⋅P(B∣A)5.全概率公式：设 A 1 , A 2 , . . . , A n A_1,A_2,...,A_n A1,A2,...,An两两互不相容，且所有的 A i A_i Ai并起来为Ω Ω Ω，则称 A 1 , A 2 , . . . , A n A_1,A_2,...,A_n A1,A2,...,An构成一个完备事件组，若P ( A i ) > 0 , i = 1 , 2 , . . . , n , P(A_i)>0,i=1,2,...,n, P(Ai )>0,i=1,2,...,n,则有如下全概率公式：P ( B ) = ∑ i = 1 n P ( A i ) ⋅ P ( B ∣ A i ) P(B)=\displaystyle \sum^{n}_{i=1}{P(A_i) \cdot P(B|A_i)} P(B)=i=1∑n P(Ai)⋅P(B∣Ai)6.贝叶斯公式（逆概率公式）：设 A 1 , A 2 , . . . , A n A_1,A_2,...,A_n A1,A2,...,An构成一个完备事件组，且P ( A i ) > 0 , i = 1 , 2 , . . . , n , P(A_i)>0,i=1,2,...,n, P(Ai)>0,i=1,2,...,n,则当P ( B ) > 0 P(B)>0 P(B)>0时，有如下贝叶斯公式：P ( A k ∣ B ) = P ( A k ) ⋅ P ( B ∣ A k ) ∑ i = 1 n P ( A i ) ⋅ P ( B ∣ A i ) , k = 1 , 2 , . . . , n . P(A_k|B)=\displaystyle {\frac{P(A_k) \cdot P(B|A_k)}{\sum^{n}_{i=1}{P(A_i) \cdot P(B|A_i)}}},k=1,2,...,n. P(Ak∣B)=∑i=1n P(Ai)⋅P(B∣Ai)P(Ak)⋅P(B∣Ak),k=1,2,...,n.7.n重伯努利试验：(1)若独立试验序列每次试验的结果只有两个，即A 与A ˉ A与\bar{A} A与Aˉ，记 P ( A ) = p P(A)=p P(A)=p，则n次试验中事件A发生 k k k次的概率为:P n ( A = k ) = P n ( k ) = C n k p k ( 1 − p ) n − k , k = 0 , 1 , 2 , . . . , n . P_n(A=k)=P_n(k)=C_n^kp^k(1-p)^n-k,k=0,1,2,...,n. Pn(A=k)=Pn(k)=Cnkpk(1−p)n−k,k=0,1,2,...,n.(2)独立重复地进行伯努利试验，直到第 k k k次试验时A才首次发生的概率为：P k = ( 1 − p ) k − 1 p , k = 1 , 2 , . . . , n . P_k=(1-p)^{k-1}p,k=1,2,...,n. Pk=(1−p)k−1p,k=1,2,...,n.。
第3讲概率的加法公式与乘法公式
例7 在一次对一年级学生上、下两学期数学成绩的统 计调查中发现，上、下两学期成绩均优的学生占5%， 仅上学期得优的占7.9%,仅下学期得优的占8.9%. (1) 已知某学生上学期得优，求下学期得优的概率； (2) 已知某学生上学期没得优，求下学期得优的概率； (3) 求上、下学期均未得优的概率。
则由 可得
P( AB) P( A B ) = P(B) P(AB) = P(A B)P(B)
例6 关于某产品的检验方案为从100件中任取一件， 无放回，如为次品，认为不合格；如为正品，再抽一 件；如此连续至多4次，如连续抽取4件正品，则认为 这批产品合格，现假定这批产品中5%是次品，问产品 被拒收的概率 。
由性质2可得
1 = P() = P( A ∪ A) = P( A) + P( A)
P( A) = 1 P( A)
证明 性质4 P( A B) = P( A) P( AB)
证明：因为 A = A = A(B + B) = AB + AB
且
AB ∩ AB = Φ
P( A- B) = P( AB),
所以 P( A) = P( AB) + P( AB),
一般地，若A , A2 ,An是n个事件，且P( A A2 An1 ) > 0 1 1
则由归纳法可得：
P( A A2 An ) = P( A )P( A2 | A )P( A3 | A A2 )P( An | A A2 An1) 1 1 1 1 1
由 A, B的 置 有 称 ， 此 若 (B) > 0 于 位 具 对 性 因 ， P
同理
54 100 = P(AB) P(B | A) = = 60 60 P(A) 100 54 54 / 100 P ( AB ) P(A|B) = = = 86 86 / 100 P( B)
概率的加法定理与乘法定理
概率的加法定理与乘法定理在概率论中，加法定理和乘法定理是两个基本而重要的定理。
它们帮助我们计算复杂事件的概率，并在很多实际问题中有广泛的应用。
本文将介绍概率的加法定理和乘法定理的概念、公式以及它们的应用。
一、概率的加法定理概率的加法定理是指在有限样本空间中，两个事件的概率之和等于这两个事件的并集的概率。
设S为样本空间，A和B为S中的两个事件，P(A)和P(B)分别为事件A和B的概率，P(A∪B)为事件A和B的并集的概率。
则概率的加法定理可以表示为：P(A∪B) = P(A) + P(B)其中，"∪"表示并集，"+"表示两个事件的概率之和。
概率的加法定理还可以推广到多个事件的情况。
若有事件A1、A2、...、An，它们两两互斥（即任意两个事件的交集为空集），则这些事件的概率之和等于它们的并集的概率：P(A1∪A2∪...∪An) = P(A1) + P(A2) + ... + P(An)加法定理的一个常见应用是计算复合事件的概率。
例如，有一个盒子中装有3个红球和2个蓝球，从中任取一个球，求取得红球或者蓝球的概率。
根据加法定理，我们可以得到概率为：P(红球或蓝球) = P(红球) + P(蓝球) = 3/5 + 2/5 = 1二、概率的乘法定理概率的乘法定理是指在有限样本空间中，两个事件的交集的概率等于其中一个事件发生的概率乘以另一个事件在给定第一个事件发生的条件下发生的概率。
设S为样本空间，A和B为S中的两个事件，P(A)和P(B)分别为事件A和B的概率，P(B|A)为在事件A发生的条件下事件B发生的概率。
则概率的乘法定理可以表示为：P(A∩B) = P(A) * P(B|A)其中，"∩"表示交集，"|"表示"在给定...的条件下"，"*"表示乘积。
概率的乘法定理还可以推广到多个事件的情况。
概率加法公式推导过程
概率加法公式推导过程概率加法公式是概率论中的一个基本公式，用于计算两个或多个事件的概率之和。
它是概率论中非常重要的一条定理，可以帮助我们计算复杂事件的概率。
我们来看一下概率的定义。
在概率论中，事件的概率被定义为该事件发生的可能性大小。
概率的取值范围是0到1之间，其中0表示不可能事件，1表示肯定事件。
对于两个互斥事件A和B来说，它们不可能同时发生，所以它们的概率之和等于它们分别发生的概率之和。
用数学符号表示就是P(A∪B) = P(A) + P(B)。
例如，假设有一个袋子里有5个红球和3个蓝球，我们从袋子里随机抽取一个球。
事件A表示抽到红球，事件B表示抽到蓝球。
根据概率加法公式，我们可以计算出抽到红球或者抽到蓝球的概率。
事件A发生的概率是抽到红球的可能性大小。
由于袋子里一共有8个球，其中5个是红球，所以事件A发生的概率是5/8。
同样地，事件B发生的概率是抽到蓝球的可能性大小。
由于袋子里一共有8个球，其中3个是蓝球，所以事件B发生的概率是3/8。
根据概率加法公式，我们可以计算出抽到红球或者抽到蓝球的概率。
即P(A∪B) = P(A) + P(B) = 5/8 + 3/8 = 8/8 = 1。
因此，抽到红球或者抽到蓝球的概率是1，即肯定事件。
除了计算两个互斥事件的概率之和，概率加法公式还可以推广到计算两个不互斥事件的概率之和。
对于两个不互斥事件A和B来说，它们既可以同时发生，也可以只发生一个。
因此，它们的概率之和等于它们分别发生的概率之和减去它们同时发生的概率。
用数学符号表示就是P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
例如，假设有一个班级里有40个学生，其中20个是男生，30个是喜欢足球的学生。
事件A表示是男生，事件B表示喜欢足球。
我们想要计算出是男生或者喜欢足球的学生的概率。
事件A发生的概率是是男生的可能性大小。
由于班级里一共有40个学生，其中20个是男生，所以事件A发生的概率是20/40 = 1/2。
3-3 概率的基本运算
P ( B ) = P ( A B ) + P ( AB )
= P ( A)P (B A) + P ( A)P (B A)
6 5 4 6 = × + × 10 9 10 9
全概率公式
＝ 0.6
AB AB
A
B
A
概率的乘法
全概率公式
定义 设Ａ1 ，Ａ2 ，...，Ａn 构成一个完备事件组， ，Ａ 构成一个完备事件组， 且Ｐ(Ａi )＞0，i＝1，2，...，n，则对任一随机事件Ｂ，有 Ａ ＞ ， ＝ ， ， ， ，则对任一随机事件Ｂ，有 Ｂ，
P( A | B) = 45%
于是 所以
P (B ) = 4%
P ( B ) = 1 − P ( B ) = 96 %
P ( A) = P ( AB ) = P ( B ) P ( A | B )
= 96% × 45% = 43.2%
概率的乘法
一个盒子中有６只白球、 只黑球， 【例5】 一个盒子中有６只白球、４只黑球，从中不放回地 每次任取１ 连取２ 第一次取得白球的概率； 每次任取１只，连取２次，求 (1) 第一次取得白球的概率； 第一、第二次都取得白球的概率； (2) 第一、第二次都取得白球的概率； (3) 第一次取得黑球 而第二次取得白球的概率． 而第二次取得白球的概率． 表示第一次取得白球, 表示第二次取得白球, 解 设Ａ表示第一次取得白球, Ｂ表示第二次取得白球, 则
概率的乘法
2. 概率乘法公式 设事件A,B为同一样本空间中的两个随机事件， 设事件A,B为同一样本空间中的两个随机事件，有 A,B为同一样本空间中的两个随机事件
P( AB) = P( A) P( B A) = P( B) P( A B)
三个事件概率的加法公式推导
三个事件概率的加法公式推导事件的概率是描述事件发生可能性的数值。
在概率论中，有一个重要的公式叫做概率的加法公式，它用于计算两个或更多事件概率的和。
下面我将为您详细推导该公式。
假设有两个事件A和B，它们分别发生的概率分别为P(A)和P(B)。
这里的事件既可以是多个结果的集合，也可以是单个结果。
我们希望计算事件A或事件B发生的概率。
根据加法公式，我们有：P(A或B)=P(A)+P(B)-P(A且B)推导如下：1.首先，我们可以将事件A或事件B发生的概率表示为事件A和事件B发生的概率之和减去A和B都发生的概率，即：P(A或B)=P(A且B的补集)=1-P((A且B)的补集)。
2.我们知道，补集的概率等于1减去事件发生的概率。
所以，P((A 且B)的补集)=1-P(A且B)。
3.将第2步的结果代入第1步的公式，我们得到：P(A或B)=1-1+P(A 且B)=P(A且B)。
4.根据概率的基本定义，事件A和事件B同时发生的概率等于两个事件发生概率的乘积，即P(A且B)=P(A)*P(B，A)。
其中，P(B，A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率。
5.综上所述，P(A或B)=P(A)+P(B)-P(A)*P(B，A)。
将以上推导扩展到三个事件的情况是相似的。
假设有事件A、事件B和事件C，它们分别发生的概率分别为P(A)、P(B)和P(C)。
我们希望计算事件A或事件B或事件C发生的概率。
根据加法公式，我们有：P(A或B或C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A并B)-P(A并C)-P(B并C)+P(A并B并C)推导如下：1.首先，我们可以利用容斥原理，将事件A、事件B和事件C发生的概率表示为各个事件发生概率的和减去交叉事件发生的概率的和，即：P(A或B或C)=P(A交B交C的补集)。
2.我们知道，三个集合的补集可以由它们的交集的补集来表示，即(A交B交C的补集)=1-P(A交B交C)。
3.根据概率的基本定义，三个事件同时发生的概率等于各个事件发生概率的乘积，即P(A交B交C)=P(A)*P(B，A)*P(C，A和B)。
概率的加法公式
P(A) 1 P(A) 0.07
求一个事件的概率解题步骤可归纳为4步：
（1）引用数学符号表示问题中的有关事件； （2）判断各事件的互斥性； （3）应用概率的加法公式进行计算； （4）写出答案。
用数学符号表示问题中的有关事件：
小结
互斥事件和对立事件 互斥事件概率加法公式
知识点2：互斥事件的概率加法公式
事件A、B为互斥事件，则
P(A B) P(A) P(B)
事件A、B互为对立事件，则
P(A) 1 P(B)
例1
在数学考试中，小明的成绩在 90分以上的概率是0.18，在80~89 分的概率是0.51，在70~79分的概 率是0.15，在60~69分的概率是 0.09。计算小明在数学考试中取得 80分以上成绩的概率和小明考试不 及格的概率。
解：分别记小明考试90分以上，80~89，
70~79，60~69分为事件B，C，D，E，
记小明及格为事件A，不及格为事件 A ，
则小明在80分以上的概率是
P(B C) P(B) P(C) 0.18 0.51 0.69
小明及格的概率是
P( A) P(B C D E) P(B) P(C) P(D) P(E) 0.18 0.51 0.15 0.09 093
A “抽出红桃”与“抽出黑桃”； B “抽出牌的点数是3的倍数”与“抽出牌的点数为
2的倍数”； C “抽出牌的点数为3的倍数”与“抽出牌的点数为
5的倍数”； D “抽出牌的点数小于6”与“抽出牌的点数大于4”； E “抽出是红桃”与“抽出不是红桃”。
通过以上问题的解决，你能否根据扑克牌，以小组为单位 提出一个有关互斥事件和对立事件的问题吗？请试试看。
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（B ）
1 A. 2 1 C. 6
5 B. 6 D. 2 3
4. 从装有两个红球和两个黑球的口袋内任 取两个球，那么互斥而不对立的两个事件 是（ C ） A.“至少有一个黑球”与“都是黑球” B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红 球”
C.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”
D.“至少有一个黑球”与“都是红球”
10. 我国西部一个地区的年降水量在下列 区间内的概率如下表所示：
年降水量 /mm 概率 ［100， 150） 0.21 ［150， 200） 0.16 ［200， 250） 0.13 ［250， 300］ 0.12
则年降水量在[200，300]（mm）范围内
的概率是______________. 0.25
例1中事件C：“出现奇数点或2点”的 概率是事件A：“出现奇数点”的概率 与事件B：“出现2点”的概率之和，即
P(C)=P(A)+P(B)=
1 1 2 2 6 3
例4. 在数学考试中，小明的成绩在90分以 上的概率是0.18，在80~89分的概率是0.51, 在70~79分的概率是0.15，在60~69分的概 率是0.09，计算小明在数学考试中取得80 分以上成绩的概率和小明考试及格的概率.
11.某射手在一次射击中射中10环、9环、8 环、7环、7环以下的概率分别为0.24、 0.28、0.19、0.16、0.13.计算这个射手在一 次射击中： （1）射中10环或9环的概率， 0.52 （2）至少射中7环的概率； 0.87 （3）射中环数不足8环的概率. 0.29
新授
概率的加法公式
C.0.02
D.0.68
7.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙
两级均属次品，若生产中出现乙级品的概 率为0.03、丙级品的概率为0.01，则对成 品抽查一件抽得正品的概率为（ D ） A.0.09 B.0.98
C.0.பைடு நூலகம்7
D.0.96
8.某射手射击一次击中10环、9环、8环的
概率分别是0.3，0.3，0.2，那么他射击一 次不够8环的概率是 0.2 。 9. 某人在打靶中，连续射击2次，事件 两次都不中靶 “至少有一次中靶”的互斥事件 是 .
2．从1，2，…，9中任取两数，其中：① 恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有 一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个 奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数 和至少有一个偶数。在上述事件中，是对 立事件的是（ C ） （A）① （B）②④ （C）③ （D）①③
1 3.甲、乙2人下棋，下成和棋的概率是 , 2 1 乙获胜的概率是 ，则甲不胜的概率是 3
解：（1）是互斥事件，不是对立事件； （2）既是互斥事件，又是对立事件； （3）不是互斥事件，当然不可能是对立 事件； 所以对立事件一定是互斥事件，而互 斥事件不一定是对立事件。
二、互斥事件的概率加法公式
假定事件A与B互斥，则
P(A∪B)=P(A)+P(B)。
证明：假定A、B为互斥事件，在n次试验 中，事件A出现的频数为n1，事件B出现的 频数为n2，则事件A∪B出现的频数正好是 n1+n2，所以事件A∪B的频率为 n1 n2 n1 n2 n n n
例： 抛掷一颗骰子，观察掷出的点数. 设 事件A为“出现奇数点”，B为“出现2 点”.
这里的事件A和事件B不可能同时发生，这 种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件
设事件C为“出现奇数点或2点”，它 也是一个随机事件。 事件C与事件A、B的关系是：若事件 A和事件B中至少有一个发生，则C发生； 若C发生，则A，B中至少有一个发生， 我们称事件C为A与B的并(或和)
例5. 某战士射击一次，问： （1）若事件A=“中靶”的概率为0.95，则 A的概率为多少？ （2）若事件B=“中靶环数大于5”的概率为 0.7 ，那么事件C=“环数小于6”的概率为多 少？ （3）事件D=“中靶环数大于0且小于6”的 概率是多少？
解：因为A与A互为对立事件，
（1）P(A)=1－P(A)=0.05；
P( A B) 27%, 所以, P( A B) 1 27% 73%.
由P( A B) P( A) P( B) P( AB) （AB） 得, 73% 58% 33% P P( AB) 18% 0.18. 答：… .
例： 抛掷一颗骰子，观察掷出的点数. 设 事件A为“出现奇数点”，B为“出现2 1 1 点”. 已知P(A)= ， P(B)= ，求“出现 2 6 奇数点或2点”的概率。 这里的事件A和事件B不可能同时发生，这 种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件
概率的加法公式 （互斥事件）
随机事件A的概率：
一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的
频率 m 总是接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把 这个常数叫做事件A的概率，记作P(A).
n
• （1）概率是频率的稳定值，而频率是概率的 近似值； • （2）概率反映了随机事件发生的可能性大小； • （3）必然事件的概率为1，不可能事件的概率 是0.即0≤P(A)≤1 随机事件的概率是0<P(A)<1
5.抽查10件产品，设事件A：至少有两件
次品，则A的对立事件为（ B ） A. 至多两件次品 B. 至多一件次品 C. 至多两件正品
D. 至少两件正品
6. 从一批羽毛球产品中任取一个，其质量
小于4.8 g的概率为0.3，质量小于4.85 g的 概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85) (g)范 围内的概率是 （ C ） A.0.62 B.0.38
对立事件的概率 若事件A的对立事件为A，则
P(A)=1－P(A). 证明：事件A与A是互斥事件，所以 P(A∪A)=P(A)+P(A)，又A∪A=Ω，
而由必然事件得到P(Ω)=1, 故P(A)=1－P(A).
在上面的例题中，若令A=“小明考试及 格”,则A=“小明考试不及格”
如果求小明考试不及格的概率，则由公 式得 P(A)=1－P(A)=1－0.93=0.07. 即小明考试不及格的概率是0.07.
例3.判断下列给出的每对事件，（1）是否 为互斥事件，（2）是否为对立事件，并 说明理由。 从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅 花，点数从1~10各4张）中，任取1张： （1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”； （2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”； （3）“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽 出的牌点数大于9”。
2, 概率的一般加法公式:
设A、B为任意两个事件，则 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
显然, 互不相容事件的概率的加法公式 是一般加法公式的特例.
【补例1】某阅览室有甲、乙两类杂志. 据调查， 学生中有61%阅读甲杂志，有42%阅读乙杂志， 有18%兼读甲乙两类杂志. 问学生中有百分之 几至少读一类杂志？ 解：设A={学生阅读甲杂志},B={学生阅读乙杂志} 则: A+B={学生至少读一类杂志}, AB={学生兼读甲乙两类杂志}.
于是, P( A B) P( A) P( B) P( AB)
61% 42% 18% 85%.
答：学生中有85%至少读一类杂志 .
【补例2】 某地区居民订阅日报的占58%， 订阅晚报的占33%，不订报的占27% . 试求 两种报都订的概率. 解：设A={该地区居民订阅日报}, B={订阅晚报}. 则: A+B={至少订一种报}, AB={两种报都订}, A+B={两种报都不订} . 由题意知, P( A) 58%, P( B) 33%,
设事件C为““出现奇数点”或2点”， 它也是一个随机事件。 事件C与事件A、B的关系是：若事件 A和事件B中至少有一个发生，则C发生； 若C发生，则A，B中至少有一个发生， 我们称事件C为A与B的并(或和) 如图中阴影部分所表示的就是A∪B.
一、互斥事件、事件的并、对立事件 1．互斥事件：不可能同时发生的两个事 件叫做互斥事件（或称为互不相容事件）; 2．事件的并：由事件A和B至少有一个发 生（即A发生，或B发生，或A、B都发生） 所构成的事件C，称为事件A与B的并（或 和）。记作C=A∪B（或C=A+B）。 事件A∪B是由事件A或B所包含的基本 事件所组成的集合。
解： 分别记小明的成绩在90分以上，在 80~89分，在70~79分，在60~69分为事件B， C，D，E，这四个事件是彼此互斥的. 根据概率的加法公式，小明的考试成 绩在80分以上的概率是 P(B∪C)=P(B)+P(C)=0.18+0.51=0.69. 小明考试及格的概率为 P(B∪C∪D∪E)=P(B)+P(C)+ P(D)+P(E) = 0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.
例： 抛掷一颗骰子，观察掷出的点数. 设 事件A为“出现奇数点”，B为“出现偶 数点”.
3．对立事件：不能同时发生且必有一个发 生的两个事件叫做互为对立事件。
例2.判断下列各对事件是否是互斥事件， 并说明理由。 某小组有3名男生和2名女生，从中任选 2名同学去参加演讲比赛，其中 （1）恰有1名男生和恰有2名男生；是 不是 （2）至少有1名男生和至少有1名女生； （3）至少有1名男生和全是男生； 不是 （4）至少有1名男生和全是女生。是
（2）事件B与事件C也是互为对立事件， 所以P(C)=1－P(B)=0.3； （3）事件D的概率应等于中靶环数小于6 的概率减去未中靶的概率，即 P(D)=P(C)－P(A)=0.3－0.05=0.25
小结
练习题：
1．每道选择题有4个选择项，其中只有1 个选择项是正确的。某次考试共有12道选 择题，某人说：“每题选择正确的概率是 1/4，我每题都选择第一个选择项，则一 定有3题选择结果正确”这句话（B ） （A）正确 （B）错误 （C）不一定 （D）无法解释