概率的加法公式 (1)

例5. 某战士射击一次，问： （1）若事件A=“中靶”的概率为0.95，则 A的概率为多少？ （2）若事件B=“中靶环数大于5”的概率为 0.7 ，那么事件C=“环数小于6”的概率为多 少？ （3）事件D=“中靶环数大于0且小于6”的 概率是多少？
解：因为A与A互为对立事件，
（1）P(A)=1－P(A)=0.05；
例： 抛掷一颗骰子，观察掷出的点数. 设 事件A为“出现奇数点”，B为“出现2 点”.
这里的事件A和事件B不可能同时发生，这 种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件
设事件C为“出现奇数点或2点”，它 也是一个随机事件。 事件C与事件A、B的关系是：若事件 A和事件B中至少有一个发生，则C发生； 若C发生，则A，B中至少有一个发生， 我们称事件C为A与B的并(或和)
（2）事件B与事件C也是互为对立事件， 所以P(C)=1－P(B)=0.3； （3）事件D的概率应等于中靶环数小于6 的概率减去未中靶的概率，即 P(D)=P(C)－P(A)=0.3－0.05=0.25
小结
练习题：
1．每道选择题有4个选择项，其中只有1 个选择项是正确的。某次考试共有12道选 择题，某人说：“每题选择正确的概率是 1/4，我每题都选择第一个选择项，则一 定有3题选择结果正确”这句话（B ） （A）正确 （B）错误 （C）不一定 （D）无法解释
设事件C为““出现奇数点”或2点”， 它也是一个随机事件。 事件C与事件A、B的关系是：若事件 A和事件B中至少有一个发生，则C发生； 若C发生，则A，B中至少有一个发生， 我们称事件C为A与B的并(或和) 如图中阴影部分所表示的就是A∪B.
一、互斥事件、事件的并、对立事件 1．互斥事件：不可能同时发生的两个事 件叫做互斥事件（或称为互不相容事件）; 2．事件的并：由事件A和B至少有一个发 生（即A发生，或B发生，或A、B都发生） 所构成的事件C，称为事件A与B的并（或 和）。记作C=A∪B（或C=A+B）。 事件A∪B是由事件A或B所包含的基本 事件所组成的集合。
例： 抛掷一颗ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ子，观察掷出的点数. 设 事件A为“出现奇数点”，B为“出现偶 数点”.
3．对立事件：不能同时发生且必有一个发 生的两个事件叫做互为对立事件。
例2.判断下列各对事件是否是互斥事件， 并说明理由。 某小组有3名男生和2名女生，从中任选 2名同学去参加演讲比赛，其中 （1）恰有1名男生和恰有2名男生；是 不是 （2）至少有1名男生和至少有1名女生； （3）至少有1名男生和全是男生； 不是 （4）至少有1名男生和全是女生。是
2．从1，2，…，9中任取两数，其中：① 恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有 一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个 奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数 和至少有一个偶数。在上述事件中，是对 立事件的是（ C ） （A）① （B）②④ （C）③ （D）①③
1 3.甲、乙2人下棋，下成和棋的概率是 , 2 1 乙获胜的概率是 ，则甲不胜的概率是 3
对立事件的概率 若事件A的对立事件为A，则
P(A)=1－P(A). 证明：事件A与A是互斥事件，所以 P(A∪A)=P(A)+P(A)，又A∪A=Ω，
而由必然事件得到P(Ω)=1, 故P(A)=1－P(A).
在上面的例题中，若令A=“小明考试及 格”,则A=“小明考试不及格”
如果求小明考试不及格的概率，则由公 式得 P(A)=1－P(A)=1－0.93=0.07. 即小明考试不及格的概率是0.07.
解：（1）是互斥事件，不是对立事件； （2）既是互斥事件，又是对立事件； （3）不是互斥事件，当然不可能是对立 事件； 所以对立事件一定是互斥事件，而互 斥事件不一定是对立事件。
二、互斥事件的概率加法公式
假定事件A与B互斥，则
P(A∪B)=P(A)+P(B)。
证明：假定A、B为互斥事件，在n次试验 中，事件A出现的频数为n1，事件B出现的 频数为n2，则事件A∪B出现的频数正好是 n1+n2，所以事件A∪B的频率为 n1 n2 n1 n2 n n n
例1中事件C：“出现奇数点或2点”的 概率是事件A：“出现奇数点”的概率 与事件B：“出现2点”的概率之和，即
P(C)=P(A)+P(B)=
1 1 2 2 6 3
例4. 在数学考试中，小明的成绩在90分以 上的概率是0.18，在80~89分的概率是0.51, 在70~79分的概率是0.15，在60~69分的概 率是0.09，计算小明在数学考试中取得80 分以上成绩的概率和小明考试及格的概率.
解： 分别记小明的成绩在90分以上，在 80~89分，在70~79分，在60~69分为事件B， C，D，E，这四个事件是彼此互斥的. 根据概率的加法公式，小明的考试成 绩在80分以上的概率是 P(B∪C)=P(B)+P(C)=0.18+0.51=0.69. 小明考试及格的概率为 P(B∪C∪D∪E)=P(B)+P(C)+ P(D)+P(E) = 0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.
如果用μn(A)表示在n次试验中事件A出现 的频率，则有μn(A∪B)=μn(A)+μn(B). 由概率的统计定义可知，
P(A∪B)=P(A)+P(B)。 一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互 斥，那么P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2) +…+P(An)，即彼此互斥事件和的概率等 于概率的和.
（B ）
1 A. 2 1 C. 6
5 B. 6 D. 2 3
4. 从装有两个红球和两个黑球的口袋内任 取两个球，那么互斥而不对立的两个事件 是（ C ） A.“至少有一个黑球”与“都是黑球” B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红 球”
C.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”
D.“至少有一个黑球”与“都是红球”
10. 我国西部一个地区的年降水量在下列 区间内的概率如下表所示：
年降水量 /mm 概率 ［100， 150） 0.21 ［150， 200） 0.16 ［200， 250） 0.13 ［250， 300］ 0.12
则年降水量在[200，300]（mm）范围内
的概率是______________. 0.25
于是, P( A B) P( A) P( B) P( AB)
61% 42% 18% 85%.
答：学生中有85%至少读一类杂志 .
【补例2】 某地区居民订阅日报的占58%， 订阅晚报的占33%，不订报的占27% . 试求 两种报都订的概率. 解：设A={该地区居民订阅日报}, B={订阅晚报}. 则: A+B={至少订一种报}, AB={两种报都订}, A+B={两种报都不订} . 由题意知, P( A) 58%, P( B) 33%,
例3.判断下列给出的每对事件，（1）是否 为互斥事件，（2）是否为对立事件，并 说明理由。 从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅 花，点数从1~10各4张）中，任取1张： （1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”； （2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”； （3）“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽 出的牌点数大于9”。
11.某射手在一次射击中射中10环、9环、8 环、7环、7环以下的概率分别为0.24、 0.28、0.19、0.16、0.13.计算这个射手在一 次射击中： （1）射中10环或9环的概率， 0.52 （2）至少射中7环的概率； 0.87 （3）射中环数不足8环的概率. 0.29
新授
概率的加法公式
P( A B) 27%, 所以, P( A B) 1 27% 73%.
由P( A B) P( A) P( B) P( AB) （AB） 得, 73% 58% 33% P P( AB) 18% 0.18. 答：… .
例： 抛掷一颗骰子，观察掷出的点数. 设 事件A为“出现奇数点”，B为“出现2 1 1 点”. 已知P(A)= ， P(B)= ，求“出现 2 6 奇数点或2点”的概率。 这里的事件A和事件B不可能同时发生，这 种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件
概率的加法公式 （互斥事件）
随机事件A的概率：
一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的
频率 m 总是接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把 这个常数叫做事件A的概率，记作P(A).
n
• （1）概率是频率的稳定值，而频率是概率的 近似值； • （2）概率反映了随机事件发生的可能性大小； • （3）必然事件的概率为1，不可能事件的概率 是0.即0≤P(A)≤1 随机事件的概率是0<P(A)<1
2, 概率的一般加法公式:
设A、B为任意两个事件，则 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
显然, 互不相容事件的概率的加法公式 是一般加法公式的特例.
【补例1】某阅览室有甲、乙两类杂志. 据调查， 学生中有61%阅读甲杂志，有42%阅读乙杂志， 有18%兼读甲乙两类杂志. 问学生中有百分之 几至少读一类杂志？ 解：设A={学生阅读甲杂志},B={学生阅读乙杂志} 则: A+B={学生至少读一类杂志}, AB={学生兼读甲乙两类杂志}.
5.抽查10件产品，设事件A：至少有两件
次品，则A的对立事件为（ B ） A. 至多两件次品 B. 至多一件次品 C. 至多两件正品
D. 至少两件正品
6. 从一批羽毛球产品中任取一个，其质量
小于4.8 g的概率为0.3，质量小于4.85 g的 概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85) (g)范 围内的概率是 （ C ） A.0.62 B.0.38
C.0.02
D.0.68
7.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙
两级均属次品，若生产中出现乙级品的概 率为0.03、丙级品的概率为0.01，则对成 品抽查一件抽得正品的概率为（ D ） A.0.09 B.0.98
C.0.97
D.0.96
8.某射手射击一次击中10环、9环、8环的
概率分别是0.3，0.3，0.2，那么他射击一 次不够8环的概率是 0.2 。 9. 某人在打靶中，连续射击2次，事件 两次都不中靶 “至少有一次中靶”的互斥事件 是 .