实验数据的误差与结果处理(精)
滴定分析中的误差及数据处理
滴定分析中的误差及数据处理一、引言滴定分析是化学分析中常用的一种定量分析方法，通过滴定试剂与待测溶液发生反应，根据反应的化学方程式和滴定试剂的浓度，确定待测溶液中所含物质的浓度。
然而，在滴定分析过程中，由于实验条件、仪器设备、试剂质量等因素的影响，可能会产生误差。
本文将详细介绍滴定分析中可能浮现的误差来源，并探讨数据处理方法，以提高滴定分析的准确性和可靠性。
二、滴定分析中的误差来源1. 人为误差：操作不规范、读数不许确、试剂用量不精确等均会引入人为误差。
为减小人为误差，应严格按照实验操作规程进行操作，并使用精密仪器和准确的试剂。
2. 仪器误差：滴定过程中使用的仪器（如滴定管、容量瓶、分析天平等）存在一定的误差。
为减小仪器误差，应选择精确度高的仪器，并进行仪器校准和定期维护。
3. 滴定试剂误差：滴定试剂的浓度不许确、纯度不高等因素会导致滴定试剂误差。
为减小滴定试剂误差，应选择质量可靠的滴定试剂，并进行滴定试剂的浓度测定和纯度检验。
4. 环境误差：温度、湿度等环境因素对滴定分析结果也会产生一定影响。
为减小环境误差，应控制实验室的环境条件，并在实验过程中及时记录环境参数。
三、滴定分析中的数据处理1. 误差的计算：根据滴定分析中的误差来源，可以通过计算得出总误差。
常用的误差计算方法包括相对误差、绝对误差和标准偏差等。
2. 数据处理方法：在滴定分析中，通常需要进行多次滴定实验，取平均值来减小误差。
计算平均值时，应排除明显偏离的数据点，以提高数据的可靠性。
3. 不确定度的评定：滴定分析结果的不确定度是评价滴定分析准确性的重要指标。
可以通过重复滴定实验、计算标准偏差等方法来评定不确定度。
4. 统计方法的应用：在滴定分析中，可以应用统计方法来分析数据，如t检验、F检验等。
这些方法可以匡助我们判断滴定结果的显著性和可靠性。
四、结论滴定分析中的误差来源主要包括人为误差、仪器误差、滴定试剂误差和环境误差。
为减小误差，应注意操作规范、选择精密仪器和准确试剂，并控制实验环境。
误差分析和数据处理讲解
误差和分析数据处理1 数据的准确度和精度在任何一项分析工作中，我们都可以看到用同一个分析方法，测定同一个样品，虽然经过多少次测定，但是测定结果总不会是完全一样。
这说明在测定中有误差。
为此我们必须了解误差产生的原因及其表示方法，尽可能将误差减到最小，以提高分析结果的准确度。
1.1 真实值、平均值与中位数（一）真实值真值是指某物理量客观存在的确定值。
通常一个物理量的真值是不知道的，是我们努力要求测到的。
严格来讲，由于测量仪器，测定方法、环境、人的观察力、测量的程序等，都不可能是完善无缺的，故真值是无法测得的，是一个理想值。
科学实验中真值的定义是：设在测量中观察的次数为无限多，则根据误差分布定律正负误差出现的机率相等，故将各观察值相加，加以平均，在无系统误差情况下，可能获得极近于真值的数值。
故“真值”在现实中是指观察次数无限多时，所求得的平均值（或是写入文献手册中所谓的“公认值”）。
（二）平均值然而对我们工程实验而言，观察的次数都是有限的，故用有限观察次数求出的平均值，只能是近似真值，或称为最佳值。
一般我们称这一最佳值为平均值。
常用的平均值有下列几种：（1）算术平均值这种平均值最常用。
凡测量值的分布服从正态分布时，用最小二乘法原理可以证明：在一组等精度的测量中，算术平均值为最佳值或最可信赖值。
n x n x x x x ni in ∑=++==121 式中： n x x x 21、——各次观测值；n ――观察的次数。
（2）均方根平均值n x n x x x x n i in∑=++==1222221 均（3）加权平均值设对同一物理量用不同方法去测定，或对同一物理量由不同人去测定，计算平均值时，常对比较可靠的数值予以加重平均，称为加权平均。
∑∑=++++++===n i i n i ii n n n w x w w w w x w x w x w w 11212211式中；n x x x 21、——各次观测值；n w w w 21、——各测量值的对应权重。
分析化学第四章误差与实验数据的处理
x
第三章误差与实验数据的处理
三、随机误差的区间概率
这样，对于任何正态分布，测定值落在区间(u1u2)的概 率 P(U ,U ) 相应地可由标准正态分布算出：
1 2
P(u1 xu2 )
1 2
u2
u1
e
1 u2 2
du
实际应用中，把每个区间的积分结果计算好，列成表供查用。 例1：某标样中Co的标准值为1.75%，σ=0.10，求分析结果大 于2.00 %的概率。
n 1 ( xi x ) n 1 i 1 2
n 1 2 d i n 1 i 1
在上例中,如用S来衡量,则:
2 2 （0.3） （0.2） ...... (0.3) 2 S甲 0.26 10 1
2 2 （0.1 ） （0.7） ..... (0.1) 2 S乙 0.41 10 1
2 1 n u) ( x i n i 1
第三章误差与实验数据的处理
（三）平均值的标准偏差
总体（母体）：一定条件下无限多次测定数据的全体。
样本：随机从总体中抽出的一组测定值。
样本大小（样本容量）：样本中所含测定值的数目。
第三章误差与实验数据的处理
如果从同一总体中随机抽出容量相同的数个样本， 由此可以得到一系列样本的平均值。 m个n次平行测定的平均值： X 1 , X 2 , X 3 , X m
误差与实验数据处理实验报告
误差与实验数据处理实验报告误差与实验数据处理实验报告引言：实验是科学研究的基础，而数据处理则是实验结果的关键环节。
在实验中，我们不可避免地会遇到误差，而正确处理误差对于实验结果的准确性和可靠性至关重要。
本实验旨在探讨误差的来源、分类以及如何进行实验数据处理，以提高实验结果的可信度。
一、误差的来源1.1 人为误差人为误差是由实验操作者的技术能力、主观判断和个人经验等因素引起的误差。
例如，在使用仪器时，操作者的手部不稳定、读数不准确等都可能导致人为误差的产生。
1.2 仪器误差仪器误差是由于仪器本身的设计、制造和使用不完美而产生的误差。
每个仪器都有其精度和灵敏度限制，而这些限制会对实验结果产生影响。
因此，在进行实验前，我们需要了解仪器的精度和灵敏度，并在数据处理时进行相应的修正。
1.3 环境误差环境误差是由实验环境中的温度、湿度、气压等因素引起的误差。
这些因素会对实验结果产生影响，因此，在实验过程中，我们需要控制环境条件，或者在数据处理时进行环境误差的修正。
二、误差的分类2.1 系统误差系统误差是由于实验装置、仪器或操作方法等造成的误差，其特点是在多次实验中具有一定的规律性。
系统误差可以通过校正仪器、改进操作方法等方式进行减小。
2.2 随机误差随机误差是由于实验过程中的偶然因素引起的误差，其特点是在多次实验中无规律可循。
随机误差可以通过增加实验次数、采用统计方法等方式进行减小。
三、实验数据处理方法3.1 平均值处理平均值处理是最常用的实验数据处理方法之一。
通过多次实验，取得的数据可以计算出平均值，从而减小随机误差的影响。
在计算平均值时，需要注意排除掉明显与其他数据不符的异常值，以保证结果的准确性。
3.2 不确定度分析不确定度是对实验结果的精度进行评估的指标。
在实验数据处理中，我们需要对每个数据的不确定度进行分析，以确定实验结果的可靠程度。
不确定度的计算可以采用传统的“合成法”或“最大偏差法”，具体选择哪种方法取决于实验的特点和要求。
实验数据误差分析与数据处理
第一章实验数据误差分析与数据处理第一节实验数据误差分析一、概述由于实验方法和实验设备的不完善,周围环境的影响,以及人的观察力,测量程序等限制,实验测量值和真值之间,总是存在一定的差异,在数值上即表现为误差;为了提高实验的精度,缩小实验观测值和真值之间的差值,需要对实验数据误差进行分析和讨论;实验数据误差分析并不是即成事实的消极措施,而是给研究人员提供参与科学实验的积极武器,通过误差分析,可以认清误差的来源及影响,使我们有可能预先确定导致实验总误差的最大组成因素,并设法排除数据中所包含的无效成分,进一步改进实验方案;实验误差分析也提醒我们注意主要误差来源,精心操作,使研究的准确度得以提高;二、实验误差的来源实验误差从总体上讲有实验装置包括标准器具、仪器仪表等、实验方法、实验环境、实验人员和被测量五个来源;1.实验装置误差测量装置是标准器具、仪器仪表和辅助设备的总体;实验装置误差是指由测量装置产生的测量误差;它来源于：1标准器具误差标准器具是指用以复现量值的计量器具;由于加工的限制,标准器复现的量值单位是有误差的;例如,标准刻线米尺的0刻线和1 000 mm刻线之间的实际长度与1 000 mm单位是有差异的;又如,标称值为1kg的砝码的实际质量真值并不等于1kg等等;2仪器仪表误差凡是用于被测量和复现计量单位的标准量进行比较的设备,称为仪器或仪表．它们将被测量转换成可直接观察的指示值;例如,温度计、电流表、压力表、干涉仪、天平,等等;由于仪器仪表在加工、装配和调试中,不可避免地存在误差,以致仪器仪表的指示值不等于被测量的真值,造成测量误差;例如,天平的两臂不可能加工、调整到绝对相等,称量时,按天平工作原理,天平平衡被认为两边的质量相等;但是,由于天平的不等臂,虽然天平达到平衡,但两边的质量并不等,即造成测量误差;3附件误差为测量创造必要条件或使测量方便地进行而采用的各种辅助设备或附件,均属测量附件;如电测量中的转换开关及移动测点、电源、热源和连接导线等均为测量附件,且均产生测量误差;又如,热工计量用的水槽,作为温度测量附件,提供测量水银温度计所需要的温场,由于水槽内各处温度的不均匀,便引起测量误差,等等;按装置误差具体形成原因,可分为结构性的装置误差、调整性的装置误差和变化性的装置误差;结构性的装置误差如：天平的不等臂,线纹尺刻线不均匀,量块工作面的不平行性,光学零件的光学性能缺陷,等等;这些误差大部分是由于制造工艺不完善和长期使用磨损引起的;调整性的装置误差如投影仪物镜放大倍数调整不准确,水平仪的零位调整不准确,千分尺的零位调整不准确,等等;这些误差是由于仪器仪表在使用时,未调整到理想状态引起的;变化性的装置误差如：激光波长的长期不稳定性,电阻等元器件的老化,晶体振荡器频率的长期漂移,等等;这些误差是由于仪器仪表随时间的不稳定性和随空间位置变化的不均匀性造成的;2.环境误差环境误差系指测量中由于各种环境因素造成的测量误差;被测量在不同的环境中测量,其结果是不同的;这一客观事实说明,环境对测量是有影响的,是测量的误差来源之一;环境造成测量误差的主要原因是测量装置包括标准器具、仪器仪表、测量附件同被测对象随着环境的变化而变化着;测量环境除了偏离标准环境产生测量误差以外,从而引起测量环境微观变化的测量误差;3.方法误差方法误差系指由于测量方法包括计算过程不完善而引起的误差;事实上,不存在不产生测量误差的尽善尽美的测量方法;由测量方法引起的测量误差主要有下列两种情况：第一种情况：由于测量人员的知识不足或研究不充分以致操作不合理,或对测量方法、测量程序进行错误的简化等引起的方法误差;第二种情况：分析处理数据时引起的方法误差;例如,轴的周长可以通过测量轴的直径d,然后由公式：L＝πd计算得到;但是,在计算中只能取其近似值,因此,计算所得的L也只能是近似值,从而引起周长L的误差;4.人员误差人员误差系指测量人员由于生理机能的限制,固有习惯性偏差以及疏忽等原因造成的测量误差;由于测量人员在长时间的测量中,因疲劳或疏忽大意发生看错、读错、听错、记错等错误造成测量误差,这类误差往往相当大是测量所不容许的;为此,要求测量人员养成严格而谨慎的习惯,在测量中认真操作并集中精力,从制度上规定,对某些准确性较高而又重要的测量,由另一名测量人员进行复核测量;5.测量对象变化误差被测对象在整个测量过程中处在不断地变化中;由于测量对象自身的变化而引起的测量误差称为测量对象变化误差;例如,被测温度计的温度,被测线纹尺的长度,被测量块的尺寸等,在测量过程中均处于不停地变化中,由于它们的变化,使测量不准而带来误差;三、误差的分类误差是实验测量值包括间接测量值与真值客观存在的准确值之差别,误差可以分为下面三类：1. 系统误差由某些固定不变的因素引起的;在相同条件下进行多次测量,其误差的数值大小正负保持恒定,或误差随条件按一定规律变化;单纯增加实验次数是无法减少系统误差的影响,因为它在反复测定的情况下常保持同一数值与同一符号,故也称为常差;系统误差有固定的偏向和确定的规律,可按原因采取相应的措施给予校正或用公式消除;2. 随机误差偶然误差由一些不易控制的因素引起,如测量值的波动,肉眼观察误差等等;随机误差与系统误差不同,其误差的数值和符号不确定,它不能从实验中消除,但它服从统计规律,其误差与测量次数有关;随着测量次数的增加,出现的正负误差可以相互抵消,故多次测量的算术平均值接近于真值;3.过失误差由实验人员粗心大意,如读数错误,记录错误或操作失误引起;这类误差与正常值相差较大,应在整理数据时加以剔除;四、实验数据的真值与平均值1.真值真值是指某物理量客观存在的确定值,它通常是未知的;虽然真值是一个理想的概念,但对某一物理量经过无限多次的测量,出现的误差有正、有负,而正负误差出现的概率是相同的;因此,若不存在系统误差,它们的平均值相当接近于这一物理量的真值;故真值等于测量次数无限多时得到的算术平均值;由于实验工作中观测的次数是有限的,由此得出的平均值只能近似于真值,故称这个平均值为最佳值;2.平均值油气储运实验中常用的平均值有：1算术平均值设x,x,.,x为各次测量值, n 为测量次数,则算术平均值为：算术平均值是最常用的一种平均值,因为测定值的误差分布一般服从正态分布,可以证明算术平均值即为一组等精度测量的最佳值或最可信赖值;2均方根平均值3几何平均值五、误差的表示方法1.绝对误差测量值与真值之差的绝对值称为测量值的误差,即绝对误差;在实际工作中常以最佳值代替真值,测量值与最佳值之差称为残余误差,习惯上也称为绝对误差;设测量值用x 表示,真值用X 表示,则绝对误差D 为D=|X-x|如在实验中对物理量的测量只进行了一次,可根据测量仪器出厂鉴定书注明的误差,或取测量仪器最小刻度值的一半作为单次测量的误差;如某压力表精确度为级,即表明该仪表最大误差为相当档次最大量程的%,若最大量程为,该压力表的最大误差为：×%=如实验中最常用的U 形管压差计、转子流量计、秒表、量筒等仪表原则上均取其最小刻度值为最大误差,而取其最小刻度值的一半作为绝对误差计算值;2.相对误差绝对误差D 与真值的绝对值之比,称为相对误差：式中真值X 一般为未知,用平均值代替;3.算术平均误差算术平均误差的定义为：x——测量值,i=1,2,3, .,n ；d——测量值与算术平均值x 之差的绝对值,d= x x i . ;4.标准误差均方误差对有限测量次数,标准误差表示为：标准误差是目前最常用的一种表示精确度的方法,它不但与一系列测量值中的每个数据有关,而且对其中较大的误差或较小的误差敏感性很强,能较好地反映实验数据的精确度,实验愈精确,其标准误差愈小;六、精密度、正确度和准确度1、精密度精密度是指对同一被测量作多次重复测量时,各次测量值之间彼此接近或分散的程度;它是对随机误差的描述,它反映随机误差对测量的影响程度;随机误差小,测量的精密度就高;如果实验的相对误差为%且误差由随机误差引起,则可以认为精密度为10-4;2、正确度正确度是指被测量的总体平均值与其真值接近或偏离的程度;它是对系统误差的描述,它反映系统误差对测量的影响程度;系统误差小,测量的正确度就高;如果实验的相对误差为%且误差由系统误差引起,则可以认为正确度为10-4;3、准确度准确度是指各测量值之间的接近程度和其总体平均值对真值的接近程度;它包括了精密度和正确度两方面的含义;它反映随机误差和系统误差对测量的综合影响程度;只有随机误差和系统误差都非常小,才能说测量的准确度高;若实验的相对误差为%且误差由系统误差和随机误差共同引起,则可以认为精确度为10-4;七、实验数据的有效数与记数法任何测量结果或计算的量,总是表现为数字,而这些数字就代表了欲测量的近似值;究竟对这些近似值应该取多少位数合适呢应根据测量仪表的精度来确定,一般应记录到仪表最小刻度的十分之一位;例如：某液面计标尺的最小分度为1mm,则读数可以到;如在测定时液位高在刻度524mm 与525mm 的中间,则应记液面高为,其中前三位是直接读出的,是准确的,最后一位是估计的,是欠准的,该数据为4 位有效数;如液位恰在524mm刻度上,该数据应记为,若记为524mm,则失去一位末位欠准数字;总之,有效数中应有而且只能有一位末位欠准数字;由上可见,当液位高度为时,最大误差为±,也就是说误差为末位的一半;在科学与工程中,为了清楚地表达有效数或数据的精度,通常将有效数写出并在第一位数后加小数点,而数值的数量级由10 的整数幂来确定,这种以10 的整数幂来记数的方法称科学记数法;例如：应记为×10-3,88000有效数3 位记为×104;应注意科学记数法中,在10 的整数幂之前的数字应全部为有效数;有效数字进行运算时,运算结果仍为有效数字;总的规则是：可靠数字与可靠数字运算后仍为可靠数字,可疑数字与可疑数字运算后仍为可疑数字,可靠数字与可疑数字运算后为可疑数字,进位数可视为可靠数字;对于已经给出了不确定度的有效数字,在运算时应先计算出运算结果的不确定度,然后根据它决定结果的有效数字位数;加减运算规则：A．如果已知参与加减运算的各有效数字的不确定度,则先算出计算结果的不确定度,并保留1-2位,然后确定计算结果的有效位数;B．如果没给出参与加减运算的各有效数字的不确定度,则先找出可疑位最高的那个有效数字,计算结果的可疑位应与该有效数字的可疑位对齐;乘除运算规则若干个有效数字相乘除时,计算结果积或商的有效数字位数在大多数情况下与参与运算的有效数字位数最少的那个分量的有效位数相同; 乘方、开方运算规则有效数字在乘方或开方时,若乘方或开方的次数不太高,其结果的有效数字位数与原底数的有效数字位数相同; 对数运算规则有效数字在取对数时,其有效数字的位数与真数的有效数字位数相同或多取1位;第二节 实验数据处理基本方法数据处理是指从获得数据开始到得出最后结论的整个加工过程,包括数据记录、整理、计算、分析和绘制图表等;数据处理是实验工作的重要内容,涉及的内容很多,这里仅介绍一些基本的数据处理方法; 一、列表法对一个物理量进行多次测量或研究几个量之间的关系时,往往借助于列表法把实验数据列成表格;其优点是,使大量数据表达清晰醒目,条理化,易于检查数据和发现问题,避免差错,同时有助于反映出物理量之间的对应关系;所以,设计一个简明醒目、合理美观的数据表格,是每一个同学都要掌握的基本技能;列表没有统一的格式,但所设计的表格要能充分反映上述优点,应注意以下几点： 1．各栏目均应注明所记录的物理量的名称符号和单位；2．栏目的顺序应充分注意数据间的联系和计算顺序,力求简明、齐全、有条理；3．表中的原始测量数据应正确反映有效数字,数据不应随便涂改,确实要修改数据时,应将原来数据画条杠以备随时查验；4．对于函数关系的数据表格,应按自变量由小到大或由大到小的顺序排列,以便于判断和处理; 二、图解法图线能够直观地表示实验数据间的关系,找出物理规律,因此图解法是数据处理的重要方法之一;图解法处理数据,首先要画出合乎规范的图线,其要点如下：1.选择图纸 作图纸有直角坐标纸即毫米方格纸、对数坐标纸和极坐标纸等,根据作图需要选择;在物理实验中比较常用的是毫米方格纸,其规格多为cm 2517⨯;2.曲线改直 由于直线最易描绘,且直线方程的两个参数斜率和截距也较易算得;所以对于两个变量之间的函数关系是非线性的情形,在用图解法时应尽可能通过变量代换将非线性的函数曲线转变为线性函数的直线;下面为几种常用的变换方法;1c xy =c 为常数;令xz 1=,则cz y =,即y 与z 为线性关系; 2y c x =c 为常数;令2x z =,则z cy 21=,即y 与z 为线性关系;3b ax y =a 和b 为常数;等式两边取对数得,x b a y lg lg lg +=;于是,y lg 与x lg 为线性关系,b 为斜率,a lg 为截距;4bx ae y =a 和b 为常数;等式两边取自然对数得,bx a y +=ln ln ;于是,y ln 与x 为线性关系,b 为斜率,a ln 为截距;3.确定坐标比例与标度 合理选择坐标比例是作图法的关键所在;作图时通常以自变量作横坐标x 轴,因变量作纵坐标y 轴;坐标轴确定后,用粗实线在坐标纸上描出坐标轴,并注明坐标轴所代表物理量的符号和单位;坐标比例是指坐标轴上单位长度通常为cm 1所代表的物理量大小;坐标比例的选取应注意以下几点：1原则上做到数据中的可靠数字在图上应是可靠的,即坐标轴上的最小分度m m 1对应于实验数据的最后一位准确数字;坐标比例选得过大会损害数据的准确度;2坐标比例的选取应以便于读数为原则,常用的比例为“1∶1”、“1∶2”、“1∶5”包括“1∶”、“1∶10”…,即每厘米代表“1、2、5”倍率单位的物理量;切勿采用复杂的比例关系,如“1∶3”、“1∶7”、“1∶9”等;这样不但不易绘图,而且读数困难;坐标比例确定后,应对坐标轴进行标度,即在坐标轴上均匀地一般每隔cm 2标出所代表物理量的整齐数值,标记所用的有效数字位数应与实验数据的有效数字位数相同;标度不一定从零开始,一般用小于实验数据最小值的某一数作为坐标轴的起始点,用大于实验数据最大值的某一数作为终点,这样图纸可以被充分利用;4.数据点的标出 实验数据点在图纸上用“+”符号标出,符号的交叉点正是数据点的位置;若在同一张图上作几条实验曲线,各条曲线的实验数据点应该用不同符号如×、⊙等标出,以示区别;5.曲线的描绘 由实验数据点描绘出平滑的实验曲线,连线要用透明直尺或三角板、曲线板等拟合;根据随机误差理论,实验数据应均匀分布在曲线两侧,与曲线的距离尽可能小;个别偏离曲线较远的点,应检查标点是否错误,若无误表明该点可能是错误数据,在连线时不予考虑;对于仪器仪表的校准曲线和定标曲线,连接时应将相邻的两点连成直线,整个曲线呈折线形状;6.注解与说明 在图纸上要写明图线的名称、坐标比例及必要的说明主要指实验条件,并在恰当地方注明作者姓名、日期等;7.直线图解法求待定常数 直线图解法首先是求出斜率和截距,进而得出完整的线性方程;其步骤如下：1选点;在直线上紧靠实验数据两个端点内侧取两点),(11y x A 、22,(y x B ,并用不同于实验数据的符号标明,在符号旁边注明其坐标值注意有效数字;若选取的两点距离较近,计算斜率时会减少有效数字的位数;这两点既不能在实验数据范围以外取点,因为它已无实验根据,也不能直接使用原始测量数据点计算斜率;2求斜率;设直线方程为bx a y +=,则斜率为1212x x y y b --=1-5-13求截距;截距的计算公式为11bx y a -= 1-5-2三、逐差法当两个变量之间存在线性关系,且自变量为等差级数变化的情况下,用逐差法处理数据,既能充分利用实验数据,又具有减小误差的效果;具体做法是将测量得到的偶数组数据分成前后两组,将对应项分别相减,然后再求平均值;例如,在弹性限度内,弹簧的伸长量x 与所受的载荷拉力F 满足线性关系kx F =实验时等差地改变载荷,测得一组实验数据如下表：求每增加1Kg 砝码弹簧的平均伸长量x ∆;若不加思考进行逐项相减,很自然会采用下列公式计算[])(71)()()(7118782312x x x x x x x x x -=-++-+-=∆ 结果发现除1x 和8x 外,其它中间测量值都未用上,它与一次增加7个砝码的单次测量等价;若用多项间隔逐差,即将上述数据分成前后两组,前一组),,,(4321x x x x ,后一组),,,(8765x x x x ,然后对应项相减求平均,即[])()()()(44148372615x x x x x x x x x -+-+-+-⨯=∆ 这样全部测量数据都用上,保持了多次测量的优点,减少了随机误差,计算结果比前面的要准确些;逐差法计算简便,特别是在检查具有线性关系的数据时,可随时“逐差验证”,及时发现数据规律或错误数据; 四、最小二乘法由一组实验数据拟合出一条最佳直线,常用的方法是最小二乘法;设物理量y 和x 之间的满足线性关系,则函数形式为bx a y +=最小二乘法就是要用实验数据来确定方程中的待定常数a 和b ,即直线的斜率和截距;我们讨论最简单的情况,即每个测量值都是等精度的,且假定x 和y 值中只有y 有明显的测量随机误差;如果x 和y 均有误差,只要把误差相对较小的变量作为x 即可;由实验测量得到一组数据为),2,1;,(n i y x i i =,其中i x x =时对应的i y y =;由于测量总是有误差的,我们将这些误差归结为i y 的测量偏差,并记为1ε,2ε,…,n ε,见图1-5-2;这样,将实验数据),(i i y x 代入方程bx a y +=后,得到⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=+-=+-=+-n n n bx a y bx a y bx a y εεε)()()(222111我们要利用上述的方程组来确定a 和b ,那么a 和b 要满足什么要求呢 显然,比较合理的a 和b 是使1ε,2ε,…,n ε数值上都比较小;但是,每次测量的误差不会相同,反映在1ε,2ε,…,n ε大小不一,而且符号也不尽相同;所以只能要求总的偏差最小,即min 21→∑=i ni ε 令 2121)(i in i i ni bx a yS --==∑∑==ε使S 为最小的条件是0=∂∂a S ,0=∂∂bS ,022>∂∂a S ,022>∂∂b S由一阶微商为零得y⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=--∑-=∂∂=--∑-=∂∂==0)(20)(211i i i n i i i n i x bx a y b Sbx a y aS 解得 212112111)(i ni i ni ini i ni i i n i i n i x n x y x y x x a ======∑-⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑-∑∑=1-5-32121111)(ini i ni i i ni i ni i ni x n x y x n y x b =====∑-⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑-∑∑=1-5-4令111x n x n i =∑=,i n i y n y 11=∑=,21121⎪⎭⎫⎝⎛∑==x n x n i ,2121i n i x n x =∑=,)(111i n i y x n xy =∑=,则x b y a -= 1-5-5 22xx xyy x b --⋅=1-5-6如果实验是在已知y 和x 满足线性关系下进行的,那么用上述最小二乘法线性拟合又称一元线性回归可解得斜率a 和截距b ,从而得出回归方程bx a y +=;如果实验是要通过对x 、y 的测量来寻找经验公式,则还应判断由上述一元线性拟合所确定的线性回归方程是否恰当;这可用下列相关系数r 来判别))((2222y y x x yx xy r --⋅-= 1-5-7其中21121⎪⎭⎫ ⎝⎛∑==y n y n i ,2121i n i y n y =∑=;可以证明,||r 值总是在0和1之间;||r 值越接近1,说明实验数据点密集地分布在所拟合的直线的近旁,用线性函数进行回归是合适的;1||=r 表示变量x 、y 完全线性相关,拟合直线通过全部实验数据点;||r 值越小线性越差,一般9.0||≥r 时可认为两个物理量之间存在较密切的线性关系,此时用最小二乘法直线拟合才有实际意义;。
实验数据的误差与结果处理
实验数据的误差与结果处理实验数据的误差与结果处理一、误差的种类及减免方法:1、误差的种类:系统误差、随机误差偶然误差误差是不可避免的,是客观存在的。
2、系统误差的减免方法: ?.减免方法误差:选择合适的实验方法.减免仪器误差:仪器校准.减免试剂误差:空白实验 ?.对照实验 ?.校正测定结果3、随机误差的减免方法:增加平行测定次数取平均值二、准确度和精密度:1、准确度:分析结果与真实值接近的程度,说明分析结果的可靠性。
用误差来衡量。
主要由系统误差决定。
2、精密度:平行测定结果相互接近程度。
用偏差来衡量。
主要由偶然误差决定。
3、二者关系:精密度是保证准确度的前提,但精密度高并不一定准确度高。
只有精密度高、准确度高的测定数据才是可信的。
三、准确度的量度?误差:1、绝对误差Ei: Ei=xi ?T 有单位2、相对误差Er: Er=在定量实验中,用相对误差来表示测定结果的准确度更为确切。
四、数据分散程度的表示:1、极差:R=RRmin2、偏差(精密度的量度):测量值与平均值之间的差值绝对偏差: 相对偏差: 平均偏差相对平均偏差平均偏差和相对平均偏差表示精密度时的缺点:大偏差得不到应有反映。
3、标准偏差s:,f=n?1为自由度。
标准偏差比平均偏差更能反映出较大偏差的存在,充分运用了全部的数据,更好地反映了结果的精密度。
相对标准偏差变异系数 :4、平均值的标准偏差五、置信度和置信区间:1、置信区间μ:s为有限次测定的标准偏差,n为测定次数,t为某一置信度下的概率系数,查表求得。
2、置信度p:测定结果的可靠程度、真实值落在置信区间内的概率。
置信度越大,置信区间的范围越大。
六、显著性检验:Ⅰ、t 检验法??准确度的显著性检验:主要检验有无系统误差将计算的t值与查到的t值比较。
若t计算<t表,则不存在显著性差异,表明测量仪器或分析方法准确可靠;若t计算≥t表,则存在显著性差异,说明测量仪器或分析方法存在问题,存在系统误差。
分析化学实验中误差及分析数据的处理
* 有界性：大误差出现概率很小，误差很大的测量 值，往往由过失误差造成的。对这种数据应作适 当处理。
标准正态分布曲线 N(0 ,1 ) 为了将不同精密度的正态分布曲线统一起来， 令u=x-u/σ为横坐标表示的正态分布曲线
u
x
横坐标：u 纵坐标：误差出现的概率大小。
二. 随机误差的区间概率
特点：
随机性（大小、正负不定） 不可消除（原因不定） 但可减小（测定次数↑,一般平行测定3－ 4次） 分布服从统计学规律（正态分布） (三）过失误差 由于操作者的过失而引起的误差（损失试 样、加错试样、记录或计算错误等 )－－错 误。
（四）如何提高分析结果准确度？
减少误差的方法
1. 选择合适的分析方法 根据待测组分的含量、性质、试样的组成及对 准确度的要求。 2. 减少测量误差 控制取样量 : 天平称量取样 0.2g （为什么？）以 上，滴定剂体积大于20mL（为什么？）。 3. 增加平行测定次数，减小偶然误差 化学分析中通常要求平行测定3～4次。 4. 消除系统误差
二.精密度与偏差
1．几个定义
精密度 一组平行测定值相互接近的程度。
偏差 是衡量数据精密度高低的尺度。偏差越小，
数据的分散性越小，测定值的精密度越高。
第一组 第二组 1.10 1.10 1.12 1.18 1.11 1.15 1.11 1.13 1.10 1.16
在实际分析中，真实值难以得到，常以多次平行测定结果
平均偏差
| d | | d 2 | | d 3 | | d 4 | | d n | d 1 n
| d
i 1
n
i
|
n
相对平均偏差：
d d r 100% X
实验数据和误差处理
2．精密度：在一组测量中如果数据比较稳定，分散性小，我们就称测量结果是精密的。 测 量(或加工制造或计算)的精密度是由偶然误差来表征和描述的。 偶然误差越小则表示测量 的精密度越高，从而表明测量的重复性就越好。 3．精确度：在测量(或加工制造或计算)中，如果系统误差小，偶然误差也小，则这组测量 的准确度和精密度都越好。这时我们称这组测量的精确度高。所以精确度是由系统误差和偶 然误差两个共同来表征和描述的。
4．或然误差（最可几误差）或然误差的定义为：在一组测量中，若不记正负号，如果 选定一个γ值，则误差大于γ的观测值与误差小于γ的观测值各占总观测次数的 50%这时我 们就把
γ叫做或然误差或最可几误差。也就是说误差落在-γ和+γ之间的观测数占总观测值的一
∫ 半，从下述积分：
Ρ=
1 2π σ
+γ
exp[−
偶然误差的特点是有时大有时小，有时正有时负，方向不一定。产生的原因是多方面的， 是无法控制的。但是用同一台仪器在同样条件下对同一物理量作了多次的测量，若测量的次 数足够多，可以发现偶然误差完全服从统计性的规律，出现误差的正负和大小完全由概率来 决定。当测量的次数无限增大时，偶然误差的算数平均值将趋近于零。因此，多次测量结果 的算数平均值将接近真值。 3．过失误差：它是一种显然与事实不符的误差。产生的原因主要是粗枝大叶过度疲劳和操 作不正确等。例如读错刻度值、记录错误、计算错误等。此类误差无规则可寻，可根据经验、 理论及时判断数据的正负、量级是否正确，这样才能消除过失误差。 四．准确度、精密度和精确度 1．准确度：在一组测量中如果系统误差很小，那么可以说测量结果是相当准确的。测量(或 加工制造或计算)的准确度是由系统误差来表征和描述。系统误差越小则表示测量的准确度 越高。
实验数据的误差分析(精)
第2章 实验数据的误差分析通过实验测量所得大批数据是实验的主要成果，但在实验中，由于测量仪表和人的观察等方面的原因，实验数据总存在一些误差，所以在整理这些数据时，首先应对实验数据的可靠性进行客观的评定。
误差分析的目的就是评定实验数据的精确性，通过误差分析，认清误差的来源及其影响，并设法消除或减小误差，提高实验的精确性。
对实验误差进行分析和估算，在评判实验结果和设计方案方面具有重要的意义。
本章就化工原理实验中遇到的一些误差基本概念与估算方法作一扼要介绍。
2.1 误差的基本概念2.1.1真值与平均值真值是指某物理量客观存在的确定值。
通常一个物理量的真值是不知道的，是我们努力要求测到的。
严格来讲，由于测量仪器，测定方法、环境、人的观察力、测量的程序等，都不可能是完善无缺的，故真值是无法测得的，是一个理想值。
科学实验中真值的定义是：设在测量中观察的次数为无限多，则根据误差分布定律正负误差出现的机率相等，故将各观察值相加，加以平均，在无系统误差情况下，可能获得极近于真值的数值。
故“真值”在现实中是指观察次数无限多时，所求得的平均值（或是写入文献手册中所谓的“公认值”）。
然而对我们工程实验而言，观察的次数都是有限的，故用有限观察次数求出的平均值，只能是近似真值，或称为最佳值。
一般我们称这一最佳值为平均值。
常用的平均值有下列几种：（1）算术平均值这种平均值最常用。
凡测量值的分布服从正态分布时，用最小二乘法原理可以证明：在一组等精度的测量中，算术平均值为最佳值或最可信赖值。
nx n x x x x n i in ∑=++==121 （2-1） 式中： n x x x 21、——各次观测值；n ――观察的次数。
（2）均方根平均值n x n x x x x n i i n ∑=++==1222221 均 （2-2）（3）加权平均值设对同一物理量用不同方法去测定，或对同一物理量由不同人去测定，计算平均值时，常对比较可靠的数值予以加重平均，称为加权平均。
实验数据误差分析和数据处理
第二章实验数据误差分析和数据处理第一节实验数据的误差分析由于实验方法和实验设备的不完善，周围环境的影响，以及人的观察力，测量程序等限制，实验观测值和真值之间，总是存在一定的差异。
人们常用绝对误差、相对误差或有效数字来说明一个近似值的准确程度。
为了评定实验数据的精确性或误差，认清误差的来源及其影响，需要对实验的误差进行分析和讨论。
由此可以判定哪些因素是影响实验精确度的主要方面，从而在以后实验中，进一步改进实验方案，缩小实验观测值和真值之间的差值，提高实验的精确性。
一、误差的基本概念测量是人类认识事物本质所不可缺少的手段。
通过测量和实验能使人们对事物获得定量的概念和发现事物的规律性。
科学上很多新的发现和突破都是以实验测量为基础的。
测量就是用实验的方法，将被测物理量与所选用作为标准的同类量进行比较，从而确定它的大小。
1.真值与平均值真值是待测物理量客观存在的确定值，也称理论值或定义值。
通常真值是无法测得的。
若在实验中，测量的次数无限多时，根据误差的分布定律，正负误差的出现几率相等。
再经过细致地消除系统误差，将测量值加以平均，可以获得非常接近于真值的数值。
但是实际上实验测量的次数总是有限的。
用有限测量值求得的平均值只能是近似真值，常用的平均值有下列几种:(1) 算术平均值 算术平均值是最常见的一种平均值。
设1x 、2x 、……、n x 为各次测量值，n 代表测量次数，则算术平均值为nx n x x x x ni in ∑==+⋅⋅⋅++=121(2-1)(2) 几何平均值 几何平均值是将一组n 个测量值连乘并开n 次方求得的平均值。
即n nx x x x ⋅⋅⋅⋅=21几(2-2)（3）均方根平均值 nxnxx x x ni in∑==+⋅⋅⋅++=1222221均(2-3)(4) 对数平均值 在化学反应、热量和质量传递中，其分布曲线多具有对数的特性，在这种情况下表征平均值常用对数平均值。
设两个量1x 、2x ，其对数平均值21212121lnln ln x x x x x x x x x -=--=对(2-4)应指出，变量的对数平均值总小于算术平均值。
大学物理实验报告数据处理及误差分析
1测量与误差
一、测量及其分类
所谓测量，就是借助一定的实验器具，通过一定的实验方法，直接或间接地把待测量与选作计量单位的同类物理量进行比较的全部操作。简而言之，测量是指为确定被测对象的量值而进行的一组操作。
篇二：数据处理及误差分析
物理实验课的基本程序
物理实验的每一个课题的完成，一般分为预习、课堂操作和完成实验报告三个阶段。
1实验前的预习
为了在规定时间内，高质量地完成实验任务，学生一定要作好实验前的预习。
实验课前认真阅读教材，在弄清本次实验的原理、仪器性能及测试方法和步骤的基础上，在实验报告纸上写出实验预习报告。预习报告包括下列栏目：
4．选择速度B、C、D、E重复上述实验。B
C
6．实验小结
(1)对实验结果进行误差分析。
将B表中的数据保存为B.txt,利用以下Python程序对B组数据进行误差分析，结果为-2.84217094304e-13 import math g=9.8 v_sum=0 v1=0 v=[]
my_file=open("B.txt","r")
2．最佳值与偏差
在实际测量中，为了减小误差，常常对某一物理量x进行多次等精度测量，得到一系列测量值x1，x2，…，xn，则测量结果的算术平均值为
1??2n
n1ni（2）ni?1
算术平均值并非真值，但它比任一次测量值的可靠性都要高。系统误差忽略不计时的算术平均值可作为最佳值，称为近真值。我们把测量值与算术平均值之差称为偏差（或残差）：
课程：大学物理实验学期：2014-2015学年第一学期任课教师：
实验数据误差分析和数据处理
实验数据误差分析和数据处理数据误差分析是首要的步骤，它通常包括以下几个方面：1.随机误差：随机误差是指在重复实验的过程中，由于个体差异等原因引起的测量结果的离散性。
随机误差是不可避免的，并且符合一定的统计规律。
通过进行多次重复测量，并计算平均值和标准差等统计指标，可以评估随机误差的大小。
2.系统误差：系统误差是由于仪器、测量方法或实验条件所引起的，使得测量结果与真实值的偏离。
系统误差可能是由于仪器刻度的不准确、环境温度的变化等原因导致的。
通过合理校准仪器、控制环境条件等方式可以减小系统误差。
在数据误差分析的基础上，进行数据处理是必不可少的步骤。
数据处理的目的是通过对实验结果的合理处理，得到更为准确的结论。
1.统计处理：统计方法是最常用的数据处理方法之一、通过使用统计学中的概率分布、假设检验、方差分析等方法，可以对实验数据进行科学、客观的分析和处理。
2.回归分析：回归分析是一种通过建立数学模型来研究变量之间关系的方法。
通过对实验数据进行回归分析，可以确定变量之间的数学关系，并预测未知数据。
3.误差传递与不确定度评定：在实验中，不同参数之间的误差如何相互影响，以及这些误差如何传递到最终结果中，是一个重要的问题。
通过不确定度评定方法，可以定量评估各个参数的不确定度，并估计最终结果的不确定度。
4.数据可视化和图表展示：通过绘制合适的图表，可以更直观地展示实验数据的分布规律、趋势以及变化情况。
例如，折线图、散点图、柱状图等可以有效地展示数据的分布和相关关系。
综上所述，实验数据误差分析和数据处理是进行科学研究的重要环节。
准确评估和处理数据误差可以提高实验结果的可靠性和准确性，为研究结果的正确性提供基础。
通过合理选择和应用适当的数据处理方法，可以从实验数据中得出有意义的结论，并为进一步研究提供指导。
第二章 实验数据误差分析和数据处理
第二章误差和分析数据处理•2.1 测量值的准确度和精密度•2.2 提高分析结果准确度的方法（自学）•2.3 有效数字及其运算规则•2.4 有限量测量数据的统计处理•2.5 相关分析和回归分析（自学）§2.1 测量值的准确度和精密度误差（Error) : 测量值与真值之差。
➢真值T (True value)某一物理量本身具有的客观存在的真实值。
真值是未知的、客观存在的量。
在特定情况下认为是已知的：1、理论真值（如化合物的理论组成）(如，NaCl中Cl的含量）2、计量学约定真值（如国际计量大会确定的长度、质量、物质的量单位等等）3、相对真值（如高一级精度的测量值相对于低一级精度的测量值）（例如，标准样品的标准值）误差分类•系统误差（Systematic error)—某种固定的因素造成的误差方法误差、仪器误差、试剂误差、操作误差•随机误差（Random error)—不定的因素造成的误差仪器误差、操作误差系统误差与随机误差的比较项目系统误差随机误差产生原因固定因素，有时不存在不定因素，总是存在分类方法误差、仪器与试剂误差、主观误差环境的变化因素、主观的变化因素等性质重现性、单向性（或周期性）、可测性服从概率统计规律、不可测性影响准确度精密度消除或减小的方法校正增加测定的次数系统误差的校正•方法系统误差——方法校正•主观系统误差——对照实验校正（外检）•仪器系统误差——对照实验校正•试剂系统误差——空白实验校正如何判断是否存在系统误差？E a = x –x T 相对误差x ＜x T 为负误差，说明测定结果偏低x ＞x T 为正误差，说明测定结果偏高误差越小，分析结果越接近真实值，准确度也越高x -x T x T x T E r = ——= ————常用%表示Ea 绝对误差 误差的表示：对一B 物质客观存在量为T 的分析对象进行分析，得到n 个个别测定值x 1、x 2、x 3、••• x n ，对n 个测定值进行平均，得到测定结果的平均值，那么：个别测定的误差为：T x i -测定结果的绝对误差为：T x E a -=测定结果的相对误差为：%100⨯=TE E a r 平均值偏差（deviation): 单次测量值与测量平均值之差。
误差及数据处理(精)
(二) 有效数字的整化(或修约) (2) 若 5 后面均为“0”，则看保留下的 末位数是奇数还是偶数。
5 前为奇则进一， 5 前为偶则舍弃。
27.1850 保留四位有效数字 27.18 0.215 保留两位有效数字 0.22
16.4050 保留四位有效数字
(二) 有效数字的整化(或修约) (2) 若 5 后面均为“0”，则看保留下的 末位数是奇数还是偶数。
5 前为奇则进一， 5 前为偶则舍弃。
27.1850 保留四位有效数字 27.18 0.215 保留两位有效数字 0.22
16.4050 保留四位有效数字 16.40
目前，常采用数理统计方法来处理测定数据。 我们将研究对象的全体称为总体；自总体中随 机抽出的一部分样品称为样本；样本的数目称 为样本容量。
(二) 精密度与偏差
样本的标准偏差 S ：
n
(xi x)2
S i1 n1
式中(n－1)称为自由度，用 f 表示
(三) 准确度与精密度的关系
系统误差 (主要来源)
1.当尾数≤4，舍去;当尾数≥6，进位；
0.53664 保留四位有效数字 0.5366
0.58346 保留四位有效数字 0.5835
2.当尾数=5时 (1) 若 5 后还有数字，则应进位
18.06501保留四位有效数字 18.07
(二) 有效数字的整化(或修约) (2) 若 5 后面均为“0”，则看保留下的 末位数是奇数还是偶数。
准确度
偶然误差
精密度
A、B、C、D 四个分析工作者对同一铁标样 （WFe=37.40%)中的铁含量进行测量，得结果如图 示，比较其准确度与精密度。 A
B
C D
36.00 36.50 测量点
1实验数据的误差分析与处理
实验数据的误差分析与处理在科学实验与生产实践的过程中，为了获取表征被研究对象的特征的定量信息，必须准确地进行测量。
在测量过程中，由于各种原因，测量结果和待测量的客观真值之间总存在一定差别，即测量误差。
因此，分析误差产生的原因，如何采取措施减少误差，使测量结果更加准确，对实验人员及科技工作者来说是必须了解和掌握的。
1.1 测量误差的表示方法由于测量误差的客观存在，因此为了表示被测量的测量结果的准确度，一般用绝对误差、相对误差和引用误差来定量表示测量结果与被测量实际值之间的差别。
1.1.1 绝对误差绝对误差是指测量仪器的示值与被测量的真值之间的差值。
假设被测量的真值为A o,测量仪器的示值为X,则绝对误差为△X= X- Ao (1.1.1 )在某一时间及空间条件下, 被测量的真值虽然是客观存在的, 但一般无法测得，只能尽量逼近它。
故常用高一级标准测量仪器的测量值A代替真值Ao,为区别起见，将A称为被测量的实际值，则△X= X- A (1.1.2 )在测量前，测量仪器应由高一级标准仪器进行校正，校正量常用修正值C 表示。
对于被测量，高一级标准仪器的示值 (即实际值) 减去测量仪器的示值所得的差值，就是测量仪器的修正值C。
实际上修正值就是绝对误差，只是符号相反，即在测量前，测量仪器应由高一级标准仪器进行校正，校正量常用修正值C 表示。
对于被测量，高一级标准仪器的示值 (即实际值) 减去测量仪器的示值所得的差值，就是测量仪器的修正值C。
实际上修正值就是绝对误差，只是符号相反，即C = —△ X= A- X (1.1.3 )利用某仪器的修正值便可得该仪器所测被测量的实际值A,即A = X + C例如：用一电压表测量电压时，电压表的示值为1.1V ，通过鉴定得出该电压表修正值为—0.01V ，则被测电压的真值为A = 1.1 +(— 0.01 )= 1.09V修正值给出的方式可以是曲线、 公式或数表。
对于自动测验仪器，修正值则 预先编制成有关程序，存于仪器中，测量时对误差进行自动修正，所得结果便是 实际值。
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7
2.2 实验数据处理及结果评价 2.2.1 数理统计的几个基本概念
1. 总体(universe)（或母体）——分析研究的对象 的全体 2. 样本(swatch)（或子样）——从总体中随机抽取 一部分样品进行测定所得到的一组测定值 3. 个体(individual)——样本中的每个测定值xi 4. 样本容量(capacity of sample)（或样本大小）— 样本中所含个体的数目，用n表示
1 x (79.58 79.45 .... 79.38)% 79.50% 6
s
2018年9月28日7时8分
X
i X
2
n 1
0.09%
SX S / 6 0.04%
14
2.2 实验数据处理及结果评价
2.2.3 置信度与置信区间
偶然误差的正态分布曲线：
对于有限次测定,结果的平均 值与总体平均值 关系为 ： s x t sx x t n
5. 样本平均值
1 x xi n
6. 极差: 表示数据的分散程度
2018年9月28日7时8分
R xmax xmin
8
2.2 实验数据处理及结果评价
2.2.2 少量数据的统计处理 1. 平均偏差
平均偏差又称算术平均偏差，用来表示一组数据的精密度 平均偏差： 相对平均偏差：
1 1 d xi x d i n n
s——有限次测定的标准偏差 n——测定次数
t 值表 ( t——某一置信度下的几率系数)
置信度——真值在置信区间出现的几率 置信区间——以平均值为中心，真值出现的范围 讨论： 1. 置信度不变时: n 增加，t 变小，置信区 间变小 2. n不变时：置信度增加， t变大，置信区 间变大 2. n， t不变时：s增加，置信区间变大，准 确度降低 2018年9月28日7时8分
2.2 实验数据处理及结果评价
如前面的例子:
甲di: +0.3,-0.2,-0.4,+0.2,+0.1,+0.4,0.0,-0.3,+0.2,-0.3 乙di: 0.0,+0.1,-0.7,+0.2,-0.1,-0.2,+0.5,-0.2,+0.3,+0.1 可以得到
1．甲: n=10 2．乙: n=10 d甲=d乙 s甲 < s乙 d甲=0.24 d乙=0.24 s甲=0.28 s乙=0.33
x1
x2 x3 x4 xn
s s s s s s s
sx
( x x)
i
2
n 1
1 其中 x ( x1 x 2 x 2 .... x n ) n
13
2018年9月28日7时8分
2.2 实验数据处理及结果评价
由统计学可得：
S SX n
由Sx/S—— n 关系曲线，n 大于5即可 例：水垢中Fe2O3 的百分含量测定数据，6次测定结果： 79.58%，79.45%，79.47%，79.50%，79.62%，79.38%
第 2章 实验数据的误差与结果处理(3h)
2.1 实验误差及其表示方法
2.2 实验数据处理及结果评价
2.3 有效数字的修约及其运算规则
本章作业
2018年9月28日7时8分 1
2.1 实验误差及其表示方法
2.1.1 误差的种类及产生原因
2.1.2 误差的表示方法
2.1.3 提高试验结果准确度的方法
x 10.80%
s 0.038 %
t计算
x s
10.80 10.77 n 9 2.368 0.038
t计算 ＞ t表
由此得出：不存在显著性差异，即新方法存在系统误差
2.2 实验数据处理及结果评价
2.2.5 可疑值的取舍——Q 检验法
Q 法判断可疑数据的方法步骤： （1） 有小到大排列数据 x1 x2 …… xn-1 xn （2） 求极差 xn － x1 （3） 求可疑数据与相邻数据之差 xn － xn-1 或 x2 －x1 注意： （4） 计算Q值： xn xn1 x2 x1
平均偏差和相对平均偏差表示精密度: 越小越好 特点：简单 缺点：大偏差得不到应有反映
例：甲di 乙di +0.3,-0.2,-0.4,+0.2,+0.1,+0.4,0.0,-0.3,+0.2,-0.3 0.0,+0.1,-0.7,+0.2,-0.1,-0.2,+0.5,-0.2,+0.3,+0.1
1 d甲 d i 0.24 n
主观误差
偶然误差
2018年9月28日7时8分
随机（不确 气温、气压、湿度等变化引起 定）因素
增加平行测定的 次数
6
2.2 实验数据处理及结果评价
2.2.1 数理统计的几个基本概念
2.2.2 少量数据的统计处理
2.2.3 置信度和置信区间
2.2.4 显著性检验 2.2.5 可疑值的取舍
2018年9月28日7时8分
6.314 2.920 2.353 2.132 2.015 1.943 1.895 1.860 1.833 1.812 1.725 1.645
12.706 4.303 3.182 2.776 2.571 2.447 2.365 2.306 2.262 2.228 2.086 1.960
63.657 9.925 5.841 4.604 4.032 3.707 3.500 3.355 3.250 3.169 2.845 2.576
d d r 100% x
例: 测定某HCl与NaOH溶液的体积比。4次测定结果分别为：1.001，1.005， 1.000，1.001 x xi (1.001 1.005 1.000 1.002 ) 1.002 n 4
X
15
2.2 实验数据处理及结果评价
表2-1 t 分布值表
测定次数 n（自由 度f=n-1) 50% 90%
置
信
95%
度
99% 99.5%
n
f
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 21
∞
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20
1.000 0.816 0.765 0.741 0.727 0.718 0.711 0.706 0.703 0.700 0.687 0.674
127.32 14.089 7.453 5.598 4.773 4.317 4.029 3.832 3.690 3.581 3.153 2.807
2.2 实验数据处理及结果评价
例题：某同学标定HCl溶液的浓度，获得以下分析结果(mol.L-1): 0.1141，0.1140，0.1148，0.1142；后来他又标定了两次，结果 为：0.1145，0.1142。分别按四次和六次标定的数据计算置信水 平为95%和99%时的置信区间。 解： 4次测定情况
X
• 精密度高不一定准确度高
• 精密度是保证准确度的先决条件
2018年9月28日7时8分
2.1 实验误差及其表示方法
2.1.3
种类
提高试验结果准确度的方法——误差的减免
产生原因 举例 减免方法
分析方法不 重量分析中沉淀的溶解损失，滴 改变方法或做对 方法误差 够完善 照实验 定分析中指示剂选择不当 仪器本身的 天平两臂不等，砝码未校正，滴 仪器误差 校准仪器 系 缺陷 定管、容量瓶未校正 统 试剂纯度不 去离子水不合格 空白实验或使用 误 试剂误差 够，有杂质 高纯度试剂 差 操作人员主 对指示剂颜色辨别偏深或偏浅， 对实验人员加强 观原因 训练 滴定管读数不准
1 d乙 d i 0.24 n
精密度：甲比乙好 ，但二者平均偏差相同 可见：大偏差得不到应有反映
2018年9月28日7时8分 10
2.2 实验数据处理及结果评价
2. 标准偏差
标准偏差又称均方根偏差，是统计学中的重要参数 标准偏差的计算分两种情况： （1）当测定次数趋于无穷大时——总体标准偏差
2.3 实验数据处理及结果评价 2.2.4 显著性检验 ——t-检验法 x t
测量值与标准值比较
s n
t
x s
n
将计算的t值与表2-1中查到的t值比较，若 ，则存在显著性差异 计算≥ tt计算 ≥t表 t表 ，则存在显著性差异 说明测量仪器或分析方法存在问题； 若
＜ t ，则不存在显著性差异 tt ＜ t ，则不存在显著性差异 计算 表 计算 表
说明试验的仪器或分析方法准确可靠。
2018年9月28日7时8分 18
2.3 实验数据处理及结果评价
例：用一种新方法测定基准纯明矾中的铝的百分含量。 测量9
次 , 其 结 果 为 （ % ） ： 10.74, 10.77,10.77, 10.77,10.81,10.82,
10.83,10.86, 10.81 。已知标准值为 10.77%，试判断此新方法是 否存在系统误差?(置信度为95%) 解： n=9 查表t表=2.306
2018年9月28日7时8分
2.1
实验误差及其表示方法
方法误差
仪器误差
特点：
1）对分析结果的影响比较恒定 2）单向性,重复测定,重复出现 3）影响结果的准确度,不影响重现性 4）可以消除
2.1.1 误差的种类及产生的原因
客观存在的
系统误差 固定因素
试剂误差 主观误差
误差
偶然误差 ——偶然因素 非固定因素 过失误差 过失而非主观因素
1 1 X X ( 1.001 1.002 1.005 1.002 1.000 1.002 1.002 1.002 ) i n 4
=0.002