n x n
当1.2=a 时，虽然种群的起始数量较少，但经过数代的繁衍，种群数量逐渐庞大并趋于稳定,如图2所示。而当8.2=a 时，迭代出现震荡现象，但振荡起伏逐渐稳定最终导致物种总量达到平衡状态,如图3所示。
图1 ,种群灭绝 8.0=a 图2 ，种群数量稳定 1.2=a
图3 8.2=a ，种群数量稳定 图4 ，种群数量出现周期二行为
当3>a 时，Logistic 映射开始出现周期振荡现象，当1.3=a 时，迭代结果在两个值
之间交替出现，意味着物种繁衍出现了大小年情况，此时，Logistic 映射进入周期二轨道, 如图4所示。
当a 的值进一步增大时，迭代出现的振荡起伏会出现更为复杂的现象，当52.3=a 时，迭代值每四次会出现重复现象，Logistic 映射进入周期四轨道,如图5所示。
图5 52.3=a ，种群数量出现周期四行为 图6 ，种群数量出现周期八行为 当55.3=a 时，Logistic 映射进入周期八轨道。随着a 值的增加，Logistic 映射还会
出现更长的周期轨道。Logistic 映射随着a 的增加轨道周期加倍的现象称为倍周期分叉现象, 如图6所示。特别需要指出的是，存在一个特殊的a 值即569945672.3=∞a ，当∞>a a 时， Logistic 映射进入混沌区域, 如图7所示。
图7 9.3=a ，种群数量出现混沌现象
1.3=
a 55.3=a
2、Logistic 映射模型进入混沌状态的倍周期分叉机制
Logistic 映射模型从形式上来看是非常简单的，但由于非线性项的作用，其数值序列的渐进行为非常复杂，为了找出其非线性行为的规律性，我们首先下面研究Logistic 映射的倍周期分叉图。
图8 Logistic 映射的倍周期分叉图
从图8可以看出，随着a 值的增加，方程的动力学行为依次出现周期2、周期4、周期8、周期16……的振荡解，这种周期逐渐加倍的现象我们称之为倍周期分叉。而当a ＞3.5699时，系统的这种周期行为逐渐丧失，其迭代结果不再反复交替出现，而是进入了混沌状态，
此时系统的动力学行为变得复杂，迭代行为出现了随机性[2]，以至于Logistic 映射的倍周
期分叉图的大部分区域被填满。倍周期分叉图具有自相似特性，如果我们缩小倍周期分叉图的横坐标取值范围，缩小计算步长，就可以将周期窗口放大，经过放大分叉图与其整体结构
具有相似性，这种自相似可以无限嵌套循环[3]。通过改变系统参量的取值，系统以倍周期
分叉的方式进入混沌状态，称之为进入混沌的第一种模式：即由稳定不动点→周期二→周期四→……无限倍周期→混沌状态。
在倍周期分叉进入混沌的道路上，存在普适行为。若果定义任意相邻两次分叉的差值，令，通过计算可以得到：
该常数就是Feigenbaum 常数，在混沌系统中出现了常数，意味着我们找到了某种规律，其实，该常数是倍周期分叉的规律，只要发现了第一次分叉，就可以准确预测下一次发生分叉现象的时机。同时，分叉图表明混沌现象存在自相似结构[4]，该常数的发现则是自相似结构存在的有力证据，该常数就是相似比的极限值。
3、Logistic 映射模型进入混沌状态的阵发性机制
系统还存在第二种通向混沌的方式，近似周期运动→改变参量→阵发性混沌→阵发性混
沌越来越频繁→近似的周期运动越来越少→进入混沌，我们称之为是阵发性混沌[5]。 混沌区域并非一片无规律可循，而是有不断出现的白色空白区域，称为周期窗口。当81+=a 时，倍周期分叉图出现了空白区域，意味着混沌行为突然消失，迭代结果在三个
a 1n n n a a a -∆=-1
n n a a δ+∆=∆lim 4.66920160910299096718532038n n δδ→∞==
值之间交替出现，系统出现周期三的稳定状态，动力学行为再次出现随机行为，系统重新进
入混沌状态，这和李天岩预言的“周期三意味着混沌”相吻合[6]。
n x n
图9周期三窗口及阵发性混沌
结论：
混沌系统的长期不可预报性来源于系统自身，混沌系统长期行为的随机性就是混沌系统的初值敏感性[7]。长期以来存在随机性和确定性的争论，混沌的研究则架起了二者之间桥梁，一个完全遵从确定性演化规则的混沌系统，其运动行为长期却表现出随机性，甚至是完全随机性，因此，我们生活的这个世界是确定性和随机性的有机统一，确定性和随机性这一看似矛盾的两个方面在混沌系统中和谐共存。
The chaotic behavior of Logistic mapping
Abstract ：The Logistic mapping is an important chaotic system ， the calculation
program was compiled for d iscussing the two road chaos to nonlinear systems ，
The nature of chaos is explained by dynamical behavior of Logistic mapping 。
关键词：Logistic mapping ；chaos ；Lyapunov index
参考资料:
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