地下结构力学计算方法
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ii Xi
ni Xi
1n Xn 1p 0 2n Xn 2 p 0
in Xn ip 0
nn Xn np 0
注：对于有支座沉降的情况，右边相应的项就等
于已知位移（沉降量），而不等于零。
8
（2）系数（柔度系数）、自由项
主系数δii(i ＝1,2, …n)——单位多余未知力 Xi＝1
地下结构力学计算方法
一、 概述
荷载--结构法（结构力学方法） 地层--结构法（连续介质力学方法）
2
1. 荷载-结构力学计算法简介
自由变形法
3
假定抗力法
4
弹性地基梁理论计算地层抗力
例如： 将隧道边墙视为支撑在侧面和基地地层上的双向的 5
弹性地基梁。
2. 连续介质力学计算法（地层结构 法）简介
{F}e [T]T{F}e
其中：[T]——单元坐标转换矩阵
44
例题：
M1 ①
M2 ②
M3
i1
1
2
i2 3
1、编号、建立坐标如图所示。
2、单元刚度矩阵（局部坐标与整体坐标是一致的）。
k
1
4i1 2i1
2i1 4i1
k
2
4i2 2i2
2i2
4i2
3、位移法方程——整体刚度方程
i EI l
45
由前面得到的位移法方程：
4i112i12M 1 … …①
2 i11 (4 i1 4 i2 )2 2 i23 M 2… … ②
单独作用于基本结构时，所引起的沿其本身方向上 的位移，恒为正；
副系数δij(i ≠j)——单位多余未知力 Xj＝1
单独作用于基本结构时，所引起的沿Xi方向的位移，
可为正、负或零，且由位移互等定理： δij =δji
9
自由项Δ i P ——荷载FP单独作用于基本体系时，所引 起Xi方向的位移，可正、可负或为零。 （3）典型方程的矩阵表示
40
如果结构有n个未知量，那么位移法方程为：
k11Z1 k12Z2 k21Z1 k22Z2
k1nZn F1P 0 k2nZn F2P 0
kn1Z1 kn2Z2
knnZn Fnp 0
其中：k11 k22 knn 是主系数，永远是正的。
k12 k31 k24 是副系数，有正有负。
由反力互等定理可知： k ij k ji
作用下衬砌任意一点的内力为： 式中M0ip、N0ip，为外荷载在i截面产生的弯矩和轴力35。
弹性抗力引起的衬砌内力
解得：
其中：
式 中 1、 ， 2和 分 别 h为 1时 拱X1顶 、 X2 在 方 向 的 位 移 和 拱 转角 处 。产 生 的 36
弹性抗力（σh=1）引起的衬砌内力：
式中M0iσ、N0i σ 为σh=1时在 i 截面产生的弯矩和轴力。 衬砌内任一点的内力（叠加法）：
27
2）拱圈的柔度 ik和 系外 数荷载作用下的所 位移 ip，可用结构力学求的得方：法
计算出内力后，进行截面强度校核（混凝土抗拉、 抗压、钢筋截面积、安全系数等 ）
28
例3 拱形曲墙隧道
当围岩具有较大的垂直压力和水平压力时， 隧道结构设计为拱形曲墙形状（通常用在 IV~V级围岩中）。拱形曲墙隧道由拱圈、曲 墙和底板（仰拱）组成。仰拱在曲墙和拱圈 受力后修建，计算中不考虑仰拱影响。
课堂推导
14
矩形隧道
框架分析简图
15
例2 拱形半衬砌隧道的结构计算
结构设置在较完整、坚硬的围岩（I、II级）中。 拱角部分的变形受到岩层的限制，且这种限制既非铰接又
非完全刚性固定，介于两者之间，属于弹性固定。 拱角与岩体具有较大摩擦力，因此假设拱角不能产生径向
位移，只能产生转动和沿拱轴切线方向的位移。采用局部 变形理论考虑拱角弹性抗力。 坚硬岩石不考虑水平压力。 拱圈位于脱离区，可以不考虑弹性抗力。
k i j ——物理意义是：由第j个结点位移发生单位位移
后，在第i个结点位移处产生的反力。 41
局部坐标下的单元刚度矩阵
1
EA L
1
1
EI,EA
2
EA L
1
6LE2I 1
1 1
EI,EA
2
12EI
L2
1
12EI
L2
1
6LE2I 1
4EI L
1
1
1
EI,EA
2
2EI L
1
6EI L2
1
6EI L2
,
,
根据局部变形理论： σh=k δh K为围岩弹性抗力系数，代入（1）式得：
p及可
按上
例
的拱定角系弹数性求固解
方法 33
解
变形协调方程（拱顶）：
i p:在 主 动 荷 载 作X用 i方下 向， 产沿 生 的 位 移 0、u0：分别为拱角弹 截性 面转 的角 总和总水平
解得：
34
其中系数： 解出X1p、X2p，再联立静力平衡方程，则主动荷载
拱 角 处 作M 用 a1单 时 位 ， 弯 支 矩 撑 面 变上 形的 为应 线 其 内 外 缘 处 及的 沉最 陷大 分应 别力 为 ：
式中d， ：拱角厚 ; 度 b：拱角纵向宽度位 ，宽 取1度 m 单； ka :拱角处围岩的弹系 性数 抗。 力
拱角截面转角为：
1
m d 2
ax2dmaxb1kad23
X1
1p
11
yMp ds EI
y2 ds cos2ds
EI
EA
13
例1 自由变形法（不考虑弹性地基反力）
自由变形（地层抗力不大可忽略）的均质（等刚度）圆环，三次 超静定结构，可用力法求内力。如软土饱水层盾构隧道，装配式 圆形隧道，管片之间接缝处刚度不足，采用错缝拼装弥补。
计算简图（弹性中心法）
将地下结构和地层看成是连续的受力体。 已有圆形隧道的弹性解、粘弹性解、弹 塑性解以及地下连续墙塑性解。
6
二、结构力学法
力法和位移法。
依据虚功原理
7
1、力法基本概念
（1）力法方程
n次超静定结构
11X1 12 X2 21X1 22 X2
i1X1 i2 X2
n1X1 n2 X2
1i Xi 2i Xi
1
kaIa
22
又因a点无位移，仅作用有弯矩Ma，因此水平及垂 直位移均为零。则得单位弯矩作用下拱角处的弹性 固定系数：
1
1
kaIa
u1 1 0
式中I： a为拱 角的截 面I惯 a b性d3/矩 12。 ，
23
如果拱角处仅作用单位水平力Qa=1，将该 力沿轴向和切向分解，由于拱角和围岩间 的摩擦力较大，无切向位移。轴向力使得 拱角截面产生的均匀轴向应力为：
2i224i23M 3 … … ③
写成矩阵形式：
4i1 2i1 0
2i1 4i1 4i2
2i2
240ii22123M M M123
可以缩写成： KFP
——整体刚度方程
46
整体刚度方程： KF
其中： K ——整体刚度矩阵
——结构位移列阵
F ——结构荷载列阵
本节中主要讨论连续梁的整体刚度矩阵。
围岩反力是h点反力的函数
yi’：所考察截面外缘到h点的垂直距离； y’h：墙角外缘点到h点的垂直距离。
围岩对衬砌的弹性抗力在衬砌外侧还产生相应的摩擦力，与 弹性抗力分布图形式相同：
31
Si i :摩擦系数，为常数。
利用h点的变形协调求最大抗力σh。h点的总位移：
主动荷载
32
抗力荷载
（1） δhp、δhσ分别为主动荷载作用下和σh=1时h点的位移。
L3
L2
0
-12EI 6EI
L3
L2
v2
M1
0
=
6EI 4EI
L2
L
0
-6EI 2EI
L2
L
1
FX2
-EA L
0
0
EA L
0
0
u2
Fy2
0
-12EI -6EI
L3
L2
0
12EI -6EI
L3
L2
v2
M2
0
6EI 2EI
L2
L
0
-6EI 4EI
L2
L
2
可缩写成:
e
F
e
k
e
----单元刚度方程
δ11
δ1n
X1
Δ1p 0
δn1
δnn Xn Δnp
10
（4）柔度系数及自由项
φ
例：超静定拱
FP1
FP2
f
L
原结构
y
φ
X1=1
oy
x
X1=1
x
基本体系（曲梁）
在 X1=1的作用下，计算系数δ11时，应考虑弯矩和轴力 的影响，计算公式：
11
2
M1 ds EI
2
FN1 ds EA
29
b h
a
y’i y’h
假定抗力为镰刀型分布（布加耶娃法） 30
弹性抗力为镰刀形，三个特征点控制：抗力上零点b，φb =400～600，通过试算来确定;抗力下零点a在曲墙墙脚处; 最大抗力点h约在衬砌跨度最大处。hb段抗力分布为抛物 线函数：
ah段抗力分布函数：
i
(1
yi'2 y'h2
)h
拱角处位移v0仅使结构整体竖向平移，对内力计算不 影响。
18
基本结构
利用结构力学中的方法，建立拱顶截面处的位移协 调方程：
（1）
式中：δik 柔度系数（i,k=1,2），即在基本结构中，拱
角为刚性固定时，悬臂端作用单位广义力（Xk=1）时， 沿未知力Xi方向产生的位移，由位移互等定理可知，
ik ki
整体坐标系中杆端力之
x
间的关系：
α
Fx1 Fx1 cos Fy1 sin
Fy1 Fx1 sin Fy1 cos
M1 M1
Fx1
Fx2 Fx2 cos Fy2 sin
Fy2 Fx2 sin Fy2 cos
M2 M2
局部坐标系 y 中的杆端力
M1
α M2
Fy1 整体坐标系
y 中的杆端力
在拱角处有切线方向变形和转动
16
衬砌内力计算 拱圈对称，荷载分对称型和非对称型（跨
度较大，地质情况复杂）
例：对称型弹性固定无铰拱
17
计算简图
由于结构和荷载均对称，因此拱顶仅有未知弯矩X1和 轴力X2。
规定图示未知力的方向为正；在拱角处，截面的转角 以向拱外侧旋转为正，水平位移以向外移动为正。
11
y2 ds EI
cos2
ds EA
11
FP1
FP2
f
φ
X1=1
y
FP1 φ FP2
L
原结构
oy
x x
基本体系（曲梁）
在FP的作用下，计算自由项△P时，只需考虑弯矩的影响， 计算公式：
1p
M1M p ds EI
1p
M 1MPdsyMpds
EI
EI
M11yy
12
（6）由力法典型方程求多余未知力（水平推力）
37
例4 圆形隧道衬砌的假定抗力法
自重
土压力 抗力
水压力
地层反力
日本惯用法： pkipk(1 2cos) 38
例5：拱形直墙隧道的局部变形法
39
二、位移法-刚度法
先确定每个单元的载荷-位移之间的关 系，然后用结点处的静力平衡条件将相 邻单元的载荷及位移联系起来，最后组 合成一个整体刚度矩阵，求出载荷作用 下结构的位移，然后用力和位移的关系 求出单元中的内力及支座的作用力。
1
42
2
1
EA L
2
EI,EA
2
EA L
2
6LE2I 2
1
EI,EA
2
2
6LE2I 1
12LE2I 2
12LE2I 2
2EI L
2
1
EI,EA
2
2
4EI L
2
6EI L2
2
6EI L2
2
43
把杆端力与杆端位移的表达式写成矩阵形式：
FX1
EA L
0
0
-EA L
0
0
u1
FY1ຫໍສະໝຸດ Baidu
0
12EI 6EI
x
Fx2 Fy2 49
e
F F
x1 y1
Cos Sin 0 Sin Cos 0
M 1
F
x2
0 0
0 0
1 0
F
y
2
M 2
0
0
0
0
0
0
0
0
0 F x1 e
0
0
0
F
y1
0
0 0 M 1
Cos Sin
0
F
x2
Sin Cos
0
F
y2
0
0 1 M 2
可缩写成： {F}e [T]{F}e
相应轴向位移：
24
将此轴向位移沿水平和竖向分解，拱角截面 无转角，则得单位水平力作用时拱角处的弹 性稳定系数：
2 0
u2
cos
a
cos 2 a kad
v2
cos
a sin kad
a
25
当拱角处作用有单位竖向力Ha=1时，拱角截面无 转角，可同样得到拱角弹性固定系数：
26
当外荷载在拱角处产生弯矩Mp0和轴力Np0时， 相应的拱角弹性固定系数可用前面结果叠加得 到：
ip:在外荷载作用 Xi方 下向 ，产 沿生的位移 0、u0：分别为拱角弹 截性 面转 的角 总和总 19 水
拱 角u位 0、 移 0由 拱 顶 X1和 弯轴 矩 X2以 力及 外 荷 作用产生：
（2）
1、
：
2
拱
角
单
位
弯矩和单
位轴力在
拱
角
处
所
产
生
的转角；
u1、u2：拱角单位广义力所产生的水平位移；
1
1
4i1
K2i1
2
2i1 4i1 4i2
3
0 1
2i2
2
k
1
4i1 2i1
2
0
2i2
4i2 3
k
2
4i2 2i2
2
2i1 1 4i1 2
3
2i2 2
4i2
47
3
整体坐标下的单元刚度矩阵
α
y
Fx1
M1
α
Fy1
y
x
局部坐标系
中的杆端力
x M2
Fx2 Fy2
整体坐标系 中的杆端力
48
局部坐标系中杆端力与
p、u
：
p
外
荷
载
在
拱
角处产生的转角及
位
移
。
1、
2、u1、u2、
、
p
u
：拱
p
角
弹
性
固
定
系
数。
注 意 1 2 2， 1 ： 2 u 1
20
将（2）代入（1）可解得未知力 X1和X2得： 式中：
当 1、 2、 u1、 u2、 p、 up均为零时， 全则 固为 定拱 的 21 角 无
拱角和拱圈的柔度系数 1）拱角柔度系数，亦即拱角弹性固定系数
ni Xi
1n Xn 1p 0 2n Xn 2 p 0
in Xn ip 0
nn Xn np 0
注：对于有支座沉降的情况，右边相应的项就等
于已知位移（沉降量），而不等于零。
8
（2）系数（柔度系数）、自由项
主系数δii(i ＝1,2, …n)——单位多余未知力 Xi＝1
地下结构力学计算方法
一、 概述
荷载--结构法（结构力学方法） 地层--结构法（连续介质力学方法）
2
1. 荷载-结构力学计算法简介
自由变形法
3
假定抗力法
4
弹性地基梁理论计算地层抗力
例如： 将隧道边墙视为支撑在侧面和基地地层上的双向的 5
弹性地基梁。
2. 连续介质力学计算法（地层结构 法）简介
{F}e [T]T{F}e
其中：[T]——单元坐标转换矩阵
44
例题：
M1 ①
M2 ②
M3
i1
1
2
i2 3
1、编号、建立坐标如图所示。
2、单元刚度矩阵（局部坐标与整体坐标是一致的）。
k
1
4i1 2i1
2i1 4i1
k
2
4i2 2i2
2i2
4i2
3、位移法方程——整体刚度方程
i EI l
45
由前面得到的位移法方程：
4i112i12M 1 … …①
2 i11 (4 i1 4 i2 )2 2 i23 M 2… … ②
单独作用于基本结构时，所引起的沿其本身方向上 的位移，恒为正；
副系数δij(i ≠j)——单位多余未知力 Xj＝1
单独作用于基本结构时，所引起的沿Xi方向的位移，
可为正、负或零，且由位移互等定理： δij =δji
9
自由项Δ i P ——荷载FP单独作用于基本体系时，所引 起Xi方向的位移，可正、可负或为零。 （3）典型方程的矩阵表示
40
如果结构有n个未知量，那么位移法方程为：
k11Z1 k12Z2 k21Z1 k22Z2
k1nZn F1P 0 k2nZn F2P 0
kn1Z1 kn2Z2
knnZn Fnp 0
其中：k11 k22 knn 是主系数，永远是正的。
k12 k31 k24 是副系数，有正有负。
由反力互等定理可知： k ij k ji
作用下衬砌任意一点的内力为： 式中M0ip、N0ip，为外荷载在i截面产生的弯矩和轴力35。
弹性抗力引起的衬砌内力
解得：
其中：
式 中 1、 ， 2和 分 别 h为 1时 拱X1顶 、 X2 在 方 向 的 位 移 和 拱 转角 处 。产 生 的 36
弹性抗力（σh=1）引起的衬砌内力：
式中M0iσ、N0i σ 为σh=1时在 i 截面产生的弯矩和轴力。 衬砌内任一点的内力（叠加法）：
27
2）拱圈的柔度 ik和 系外 数荷载作用下的所 位移 ip，可用结构力学求的得方：法
计算出内力后，进行截面强度校核（混凝土抗拉、 抗压、钢筋截面积、安全系数等 ）
28
例3 拱形曲墙隧道
当围岩具有较大的垂直压力和水平压力时， 隧道结构设计为拱形曲墙形状（通常用在 IV~V级围岩中）。拱形曲墙隧道由拱圈、曲 墙和底板（仰拱）组成。仰拱在曲墙和拱圈 受力后修建，计算中不考虑仰拱影响。
课堂推导
14
矩形隧道
框架分析简图
15
例2 拱形半衬砌隧道的结构计算
结构设置在较完整、坚硬的围岩（I、II级）中。 拱角部分的变形受到岩层的限制，且这种限制既非铰接又
非完全刚性固定，介于两者之间，属于弹性固定。 拱角与岩体具有较大摩擦力，因此假设拱角不能产生径向
位移，只能产生转动和沿拱轴切线方向的位移。采用局部 变形理论考虑拱角弹性抗力。 坚硬岩石不考虑水平压力。 拱圈位于脱离区，可以不考虑弹性抗力。
k i j ——物理意义是：由第j个结点位移发生单位位移
后，在第i个结点位移处产生的反力。 41
局部坐标下的单元刚度矩阵
1
EA L
1
1
EI,EA
2
EA L
1
6LE2I 1
1 1
EI,EA
2
12EI
L2
1
12EI
L2
1
6LE2I 1
4EI L
1
1
1
EI,EA
2
2EI L
1
6EI L2
1
6EI L2
,
,
根据局部变形理论： σh=k δh K为围岩弹性抗力系数，代入（1）式得：
p及可
按上
例
的拱定角系弹数性求固解
方法 33
解
变形协调方程（拱顶）：
i p:在 主 动 荷 载 作X用 i方下 向， 产沿 生 的 位 移 0、u0：分别为拱角弹 截性 面转 的角 总和总水平
解得：
34
其中系数： 解出X1p、X2p，再联立静力平衡方程，则主动荷载
拱 角 处 作M 用 a1单 时 位 ， 弯 支 矩 撑 面 变上 形的 为应 线 其 内 外 缘 处 及的 沉最 陷大 分应 别力 为 ：
式中d， ：拱角厚 ; 度 b：拱角纵向宽度位 ，宽 取1度 m 单； ka :拱角处围岩的弹系 性数 抗。 力
拱角截面转角为：
1
m d 2
ax2dmaxb1kad23
X1
1p
11
yMp ds EI
y2 ds cos2ds
EI
EA
13
例1 自由变形法（不考虑弹性地基反力）
自由变形（地层抗力不大可忽略）的均质（等刚度）圆环，三次 超静定结构，可用力法求内力。如软土饱水层盾构隧道，装配式 圆形隧道，管片之间接缝处刚度不足，采用错缝拼装弥补。
计算简图（弹性中心法）
将地下结构和地层看成是连续的受力体。 已有圆形隧道的弹性解、粘弹性解、弹 塑性解以及地下连续墙塑性解。
6
二、结构力学法
力法和位移法。
依据虚功原理
7
1、力法基本概念
（1）力法方程
n次超静定结构
11X1 12 X2 21X1 22 X2
i1X1 i2 X2
n1X1 n2 X2
1i Xi 2i Xi
1
kaIa
22
又因a点无位移，仅作用有弯矩Ma，因此水平及垂 直位移均为零。则得单位弯矩作用下拱角处的弹性 固定系数：
1
1
kaIa
u1 1 0
式中I： a为拱 角的截 面I惯 a b性d3/矩 12。 ，
23
如果拱角处仅作用单位水平力Qa=1，将该 力沿轴向和切向分解，由于拱角和围岩间 的摩擦力较大，无切向位移。轴向力使得 拱角截面产生的均匀轴向应力为：
2i224i23M 3 … … ③
写成矩阵形式：
4i1 2i1 0
2i1 4i1 4i2
2i2
240ii22123M M M123
可以缩写成： KFP
——整体刚度方程
46
整体刚度方程： KF
其中： K ——整体刚度矩阵
——结构位移列阵
F ——结构荷载列阵
本节中主要讨论连续梁的整体刚度矩阵。
围岩反力是h点反力的函数
yi’：所考察截面外缘到h点的垂直距离； y’h：墙角外缘点到h点的垂直距离。
围岩对衬砌的弹性抗力在衬砌外侧还产生相应的摩擦力，与 弹性抗力分布图形式相同：
31
Si i :摩擦系数，为常数。
利用h点的变形协调求最大抗力σh。h点的总位移：
主动荷载
32
抗力荷载
（1） δhp、δhσ分别为主动荷载作用下和σh=1时h点的位移。
L3
L2
0
-12EI 6EI
L3
L2
v2
M1
0
=
6EI 4EI
L2
L
0
-6EI 2EI
L2
L
1
FX2
-EA L
0
0
EA L
0
0
u2
Fy2
0
-12EI -6EI
L3
L2
0
12EI -6EI
L3
L2
v2
M2
0
6EI 2EI
L2
L
0
-6EI 4EI
L2
L
2
可缩写成:
e
F
e
k
e
----单元刚度方程
δ11
δ1n
X1
Δ1p 0
δn1
δnn Xn Δnp
10
（4）柔度系数及自由项
φ
例：超静定拱
FP1
FP2
f
L
原结构
y
φ
X1=1
oy
x
X1=1
x
基本体系（曲梁）
在 X1=1的作用下，计算系数δ11时，应考虑弯矩和轴力 的影响，计算公式：
11
2
M1 ds EI
2
FN1 ds EA
29
b h
a
y’i y’h
假定抗力为镰刀型分布（布加耶娃法） 30
弹性抗力为镰刀形，三个特征点控制：抗力上零点b，φb =400～600，通过试算来确定;抗力下零点a在曲墙墙脚处; 最大抗力点h约在衬砌跨度最大处。hb段抗力分布为抛物 线函数：
ah段抗力分布函数：
i
(1
yi'2 y'h2
)h
拱角处位移v0仅使结构整体竖向平移，对内力计算不 影响。
18
基本结构
利用结构力学中的方法，建立拱顶截面处的位移协 调方程：
（1）
式中：δik 柔度系数（i,k=1,2），即在基本结构中，拱
角为刚性固定时，悬臂端作用单位广义力（Xk=1）时， 沿未知力Xi方向产生的位移，由位移互等定理可知，
ik ki
整体坐标系中杆端力之
x
间的关系：
α
Fx1 Fx1 cos Fy1 sin
Fy1 Fx1 sin Fy1 cos
M1 M1
Fx1
Fx2 Fx2 cos Fy2 sin
Fy2 Fx2 sin Fy2 cos
M2 M2
局部坐标系 y 中的杆端力
M1
α M2
Fy1 整体坐标系
y 中的杆端力
在拱角处有切线方向变形和转动
16
衬砌内力计算 拱圈对称，荷载分对称型和非对称型（跨
度较大，地质情况复杂）
例：对称型弹性固定无铰拱
17
计算简图
由于结构和荷载均对称，因此拱顶仅有未知弯矩X1和 轴力X2。
规定图示未知力的方向为正；在拱角处，截面的转角 以向拱外侧旋转为正，水平位移以向外移动为正。
11
y2 ds EI
cos2
ds EA
11
FP1
FP2
f
φ
X1=1
y
FP1 φ FP2
L
原结构
oy
x x
基本体系（曲梁）
在FP的作用下，计算自由项△P时，只需考虑弯矩的影响， 计算公式：
1p
M1M p ds EI
1p
M 1MPdsyMpds
EI
EI
M11yy
12
（6）由力法典型方程求多余未知力（水平推力）
37
例4 圆形隧道衬砌的假定抗力法
自重
土压力 抗力
水压力
地层反力
日本惯用法： pkipk(1 2cos) 38
例5：拱形直墙隧道的局部变形法
39
二、位移法-刚度法
先确定每个单元的载荷-位移之间的关 系，然后用结点处的静力平衡条件将相 邻单元的载荷及位移联系起来，最后组 合成一个整体刚度矩阵，求出载荷作用 下结构的位移，然后用力和位移的关系 求出单元中的内力及支座的作用力。
1
42
2
1
EA L
2
EI,EA
2
EA L
2
6LE2I 2
1
EI,EA
2
2
6LE2I 1
12LE2I 2
12LE2I 2
2EI L
2
1
EI,EA
2
2
4EI L
2
6EI L2
2
6EI L2
2
43
把杆端力与杆端位移的表达式写成矩阵形式：
FX1
EA L
0
0
-EA L
0
0
u1
FY1ຫໍສະໝຸດ Baidu
0
12EI 6EI
x
Fx2 Fy2 49
e
F F
x1 y1
Cos Sin 0 Sin Cos 0
M 1
F
x2
0 0
0 0
1 0
F
y
2
M 2
0
0
0
0
0
0
0
0
0 F x1 e
0
0
0
F
y1
0
0 0 M 1
Cos Sin
0
F
x2
Sin Cos
0
F
y2
0
0 1 M 2
可缩写成： {F}e [T]{F}e
相应轴向位移：
24
将此轴向位移沿水平和竖向分解，拱角截面 无转角，则得单位水平力作用时拱角处的弹 性稳定系数：
2 0
u2
cos
a
cos 2 a kad
v2
cos
a sin kad
a
25
当拱角处作用有单位竖向力Ha=1时，拱角截面无 转角，可同样得到拱角弹性固定系数：
26
当外荷载在拱角处产生弯矩Mp0和轴力Np0时， 相应的拱角弹性固定系数可用前面结果叠加得 到：
ip:在外荷载作用 Xi方 下向 ，产 沿生的位移 0、u0：分别为拱角弹 截性 面转 的角 总和总 19 水
拱 角u位 0、 移 0由 拱 顶 X1和 弯轴 矩 X2以 力及 外 荷 作用产生：
（2）
1、
：
2
拱
角
单
位
弯矩和单
位轴力在
拱
角
处
所
产
生
的转角；
u1、u2：拱角单位广义力所产生的水平位移；
1
1
4i1
K2i1
2
2i1 4i1 4i2
3
0 1
2i2
2
k
1
4i1 2i1
2
0
2i2
4i2 3
k
2
4i2 2i2
2
2i1 1 4i1 2
3
2i2 2
4i2
47
3
整体坐标下的单元刚度矩阵
α
y
Fx1
M1
α
Fy1
y
x
局部坐标系
中的杆端力
x M2
Fx2 Fy2
整体坐标系 中的杆端力
48
局部坐标系中杆端力与
p、u
：
p
外
荷
载
在
拱
角处产生的转角及
位
移
。
1、
2、u1、u2、
、
p
u
：拱
p
角
弹
性
固
定
系
数。
注 意 1 2 2， 1 ： 2 u 1
20
将（2）代入（1）可解得未知力 X1和X2得： 式中：
当 1、 2、 u1、 u2、 p、 up均为零时， 全则 固为 定拱 的 21 角 无
拱角和拱圈的柔度系数 1）拱角柔度系数，亦即拱角弹性固定系数