初中数学—构造法

知识点拨【知识提要】1.代数构造；2.几何构造；3.其他一些构造。

【基本题型】1.证明存在符合题目条件的某个“事物”；2.说明某个“事物”的最大值或最小值（需要构造说明它存在）；3.其他一些杂题。

【解题技巧】1.构造一一对应方法；2.用组合数学的方法；3.极端的思想。

快乐热身【热身】求证：区间(0,1)上的实数和整个实数集中的实数一样多。

【解析】分析两个集合都有无穷多个实数，不能求出个数。

看起来，一条有限长的线段和一条无限长的直线里面的点不会一样多。

那么，要想说明两个无穷集合是一样大的，需要构造出一个一一对应的关系。

解令函数π()tanπ(01)2f x x x⎛⎫=-<<⎪⎝⎭，则易知()f x是从(0,1)到上的一一映射。

所第二讲构造法以，这两个集合里面的数一样多。

说明 证明两个集合的元素个数一样多（可能是无限集合），最常规的方法就是做一一对应。

热身完了，我们开始今天的课程吧！例题精讲【例 1】 用构造法求147464712...47...52515250515256 (52)⨯⨯⨯⨯++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯的值。

【解析】 分析 看起来是组合数的概率问题，可以构造一个模型。

解 分母出现52，那么考虑1到52的全排列。

第一个数是1的概率为152； 考虑第二项，4752是“前5项中没有出现1”的概率，且这显然与“第一个数是1”互斥；那么，475152⨯便是：前5项中没有出现1，且第一项为2的概率。

继续考虑第三项，4647505152⨯⨯⨯是前5项中没有出现1或2，且第一项为3的概率。

……最后一项是前5项中没有出现1，2，3，……，47，且第一项为48的概率。

综上所述，所求的数为第一项是前5项中最小的那项的概率，所以等于15。

说明 本题当然也可以用裂项法。

【例 2】 记n 为正整数，设n A 为数字和为n 且不含有1，3，4以外的数字的自然数个数，n B 为数字和为n 且不含有1，2以外的数字的自然数个数。

求证：22n n A B =。

【解析】 分析 证明数目相等，可以设法构造一一对应。

解 观察发现，m A 可以看做将一段长度为n 的链拆分成长度为1，3，4的节，而m B 可以看做将一段长度为n 的链拆分成长度为1，2的节。

现在，在2n A 中，分别观察其奇数节和偶数节，则分别都被拆成了长度为1和2的部分，也就是说对应两个m B 中的数；反之，对于两个mB 中的数，将它们咬合，所有长度为2的部分都和另一个数中的相应部分合成一组，即可。

不难发现这是一一对应，所以，结论得证。

【变式】在数列{}n a 中，10a =，22a =，33a =，递推公式为23(4)n n n a a a n --=+≥。

求证：当n为质数时，|n n a 。

【解析】 分析 求出通项公式并不容易，有没有办法巧妙地构造呢？解 根据递推公式，觉得n a 可能是将一段长度为n 的链拆成长度为2和3的节的方法数目，但是尝试了前几个数后发现并不符合。

再想想，原来其实n a 是将一段长度为n 的环拆成长度为2和3的节的方法数目，这样验证前几项确实符合，所以当n 是质数时，一种方法旋转后可以形成n 种不同的方法（包括自身），不会重复，当然有|n n a 。

说明 这种递推的方法小学的时候就学过了，属于“上楼梯问题”。

【例 3】 求证：存在从*到*的一个函数()f x ，使得对任何*x ∈，都有2(())f f x x =。

【解析】 分析 既然是证明“存在”，当然要用构造法。

解 首先易知()f x 不能有两个自变量对应同一个函数值。

显然，必须有(1)1f =。

设(2)f a =，则()4f a =，2(4)f a =，……，于是形成一个链： 224a a →→→→，这里可以令3a =，是一种方法。

同理，对于后面的数，去掉完全平方数后，每两个一组，交替排列： 562536→→→→，784964→→→→，即可。

【例 4】 求证：对于每个不被20整除的正整数n ，都存在一个各个数位奇偶交替的正整数m ，使得m被n 整除。

【解析】 分析 同学们一定还都记得这道题目：对于每个与10互质的正整数n ，都存在一个各个数位都是1的正整数m ，使得m 被n 整除。

可以用类似的方法构造出这样的数解 根据那道题，如果n 与10互质，则只要考虑21，2121，212121，……，这里面找出两项除以n 的余数相同的，然后作差即可。

如果n 被2整除但是不被5整除，可以设法将21换成别的字符串。

考虑所有这样的2k 位数：它们的奇数位（从后往前数，下同）都只取2或4，偶数位都只取1或3。

这样的数共有22k个，都是偶数，且这里面的任何两个2a 之差都不能被212k +整除。

所以，这些数被212k +除的余数一定分别是0，2，4，……，2122k +-的一个排列，也就是说一定有一个能被212k +整除。

取k 使得21k +大于n 里面含有的2的方幂，将这个数重复写，用上面的结论即可。

如果n 被10整除但是不被20整除，用类似的方法，考虑所有这样的2k 位数：它们的奇数位（从后往前数，下同）都只取偶数，偶数位都只取奇数。

把上面2的幂换成5的幂，类似考虑即可。

【铺垫】有多少个这样的十位自然数：每位数字都是奇数，且能被105整除？【解析】 分析 可以从位数少的情况开始归纳，使用逐级满足法。

解 容易发现，如果这样的十位数被105整除，它一定也被5(19)k k ≤≤整除，从而末k 位数组成的多位数一定也被5(19)kk ≤≤整除。

显然，个位一定是5。

在15,35,55,75,95中，只有75能被25整除，所以末两位一定是75。

在175,375,575,775,975中，只有375能被35整除，所以末三位一定是375。

在1375,3375,5375,7375,9375中，任何两个的差都被35整除但不被45整除，所以，这五个数被45除的余数一定是33330,5,25,35,45⨯⨯⨯的某个排列，一定恰有一个符合条件。

这样继续推导，可以得到：满足题意的十位数恰好有一个。

【例 5】 已知存在(3)n ≥个互不相等的无理数，使得其中任意3个数中都有2个数之和为有理数。

求n 的最大值。

【解析】 分析 既然是求最大值，那就设法构造出n 个，同时要证明不存在这样的1n +个。

解 3个显然可以，4个的话，只要取两对相反数即可。

5个可不可以呢？我们用图论的方法，如果这里面某两个数之和为有理数，则连一条边。

易知图中不存在三角形，因为如果存在，则分别计算这三个数，会发现它们都是有理数。

同理不存在五边形。

因为该图没有长度为奇数的圈，所以该图是一个二部图，根据抽屉原理，必然存在一部有至少3个点，则不符合题意。

所以，n 的最大值为4。

说明 同学们可以回忆“任何六个人中必有三个人互相认识或三个人互相不认识”的证明。

【例 6】 已知x 个连续自然数中，第(1)k k x ≤≤个的数字和能被k 整除，求x 的最大值。

【解析】 分析 一个数增加1之后，其数字和可能增加1，也可能因为进位而减少。

解 设这x 个连续自然数依次为12,,...,x a a a 。

根据奇偶性，246,,,...a a a 的数字和必须都是偶数。

如果2a 的个位为0且数字和为偶数，那么就保证了46810,,,a a a a 的数字和为偶数。

但是，12a 比2a 大10，所以210a +必须进位，也就是说2a 的后两位是90。

这样可以继续延续到14161820,,,a a a a 。

但是无论如何，1210a +不可能再进位了，所以22a 的数字和不可能是偶数，也就是说，这样的连续自然数最多有21个。

下面只需构造一个21个连续自然数的例子。

设2a 的数字和为b ，则一直到11a 的数字和为9b +；设2a 的末位0之前连着c 个9，则在21210a a +=的运算中连续进位c 次，于是12a 的数字和为91b c -+，……，21a 的数字和为910b c -+。

因为2|,3|1,...,11|9b b b ++，所以lcm(2,3,...,11)27720|2b =-；因为12|91,13|92,...,21|910b c b c b c -+-+-+， 不妨就令9112b c -+=即可，则911b c =+，不妨就令27722b =，则3079c =。

此时，可令2307993899...90a =个，1307893899...989a =个，2130793900...09a =个0。

说明 构造的方法不唯一。

【例 7】 平面上有n 个红点和n 个黑点，它们之中任意三点不共线。

以它们为端点画n 条线段，使得每一条线段的一端是红点，另一端是黑点，且每个点恰好用一次。

求证：至少存在一种画法，使得这n 条线段两两不相交。

【解析】 分析 既然是证明存在，那么需要构造出这样一种方法。

如何构造呢？解 直觉上会想，如果线段有相交的，则此种情况下线段的总长度会较长。

所以，只需考虑线段总长度最短的一种方法即可。

因为点的数目有限，所以画的方法数也是有限的，其中一定存在总长度最短的一种方法。

只需说明这种方法没有两条线段相交即可。

否则，设存在线段11A B 和22A B 相交，其中1A 和2A 为红点，1B 和2B 为黑点。

根据折线长度大于线段，12211122A B A B A B A B +<+，与假设最短矛盾。

所以，总长度最短的一种方法一定互不相交，也就是说存在这样的方法。

说明 在几何构造中，极端思想很重要。

【例 8】 有N 个球，编号为1到N ，其中有1N -个质量相等，还有一个质量和其余的不同，称为“特殊球”。

现在要求你用一架没有砝码的天平称三次，找出哪个球是特殊球，且知道特殊球是比一般球轻还是重。

额外地，必须事先决定好第几次称哪几个球，不能根据前面的结果而临时改变后面称球的方法。

⑴说明13N =时不可行。

⑵当12N =时，构造一种方案。

【解析】 分析 这仍然是一个构造问题，需要一定的技巧。

解 ⑴显然，无论哪一次称量，天平两边必须放个数相等的球。

每次称量的结果可能有左重，平衡，右重三种情况。

三次称量最多有27种不同的可能，但不可能都平衡，否则至少有一个球没有涉及到，就无法知道这个球是轻还是重，所以还有26种可能。

而题目中的13个球恰好也有26种不同的情况，看起来似乎可以。

如果方案中的第一次称量两边各放了5个球，而第一次的结果是左重，则此时余下的可能性有10种：左侧的任意一个球是重球，或者右侧的任意一个球是轻球。

此时，后两次称量共有9种情况，无法区分这10种可能性，所以不行。

类似地，多于5个也不行。

如果方案中的第一次称量两边各放了4个球，而第一次的结果是平衡，则此时余下的可能性有10种：剩余5个球中的任意一个球是重球或者轻球。