初中数学—构造法

知识点拨

【知识提要】

1.代数构造；

2.几何构造；

3.其他一些构造。

【基本题型】

1.证明存在符合题目条件的某个“事物”；

2.说明某个“事物”的最大值或最小值（需要构造说明它存在）；

3.其他一些杂题。

【解题技巧】

1.构造一一对应方法；

2.用组合数学的方法；

3.极端的思想。

快乐热身

【热身】求证：区间(0,1)上的实数和整个实数集中的实数一样多。

【解析】分析两个集合都有无穷多个实数，不能求出个数。看起来，一条有限长的线段和一条无限长的直线里面的点不会一样多。那么，要想说明两个无穷集合是一样大的，需要构造出一个一一对应的关系。

解令函数

π

()tanπ(01)

2

f x x x

⎛⎫

=-<<

⎪

⎝⎭

，则易知()

f x是从(0,1)到上的一一映射。所

第二讲

构造法

以，这两个集合里面的数一样多。

说明 证明两个集合的元素个数一样多（可能是无限集合），最常规的方法就是做一一对应。

热身完了，我们开始今天的课程吧！

例题精讲

【例 1】 用构造法求147464712...47...52515250515256 (52)

⨯⨯⨯⨯++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯的值。 【解析】 分析 看起来是组合数的概率问题，可以构造一个模型。

解 分母出现52，那么考虑1到52的全排列。

第一个数是1的概率为

152； 考虑第二项，

4752是“前5项中没有出现1”的概率，且这显然与“第一个数是1”互斥；那么，475152

⨯便是：前5项中没有出现1，且第一项为2的概率。 继续考虑第三项，4647505152

⨯⨯⨯是前5项中没有出现1或2，且第一项为3的概率。

……

最后一项是前5项中没有出现1，2，3，……，47，且第一项为48的概率。

综上所述，所求的数为第一项是前5项中最小的那项的概率，所以等于15

。

说明 本题当然也可以用裂项法。

【例 2】 记n 为正整数，设n A 为数字和为n 且不含有1，3，4以外的数字的自然数个数，n B 为数字

和为n 且不含有1，2以外的数字的自然数个数。求证：22n n A B =。 【解析】 分析 证明数目相等，可以设法构造一一对应。

解 观察发现，m A 可以看做将一段长度为n 的链拆分成长度为1，3，4的节，而m B 可以看

做将一段长度为n 的链拆分成长度为1，2的节。现在，在2n A 中，分别观察其奇数节和偶数

节，则分别都被拆成了长度为1和2的部分，也就是说对应两个m B 中的数；反之，对于两个m

B 中的数，将它们咬合，所有长度为2的部分都和另一个数中的相应部分合成一组，即可。

不难发现这是一一对应，所以，结论得证。

【变式】在数列{}n a 中，10a =，22a =，33a =，递推公式为23(4)n n n a a a n --=+≥。求证：当n

为质数时，|n n a 。

【解析】 分析 求出通项公式并不容易，有没有办法巧妙地构造呢？

解 根据递推公式，觉得n a 可能是将一段长度为n 的链拆成长度为2和3的节的方法数目，但

是尝试了前几个数后发现并不符合。再想想，原来其实n a 是将一段长度为n 的环拆成长度为2

和3的节的方法数目，这样验证前几项确实符合，所以当n 是质数时，一种方法旋转后可以

形成n 种不同的方法（包括自身），不会重复，当然有|n n a 。

说明 这种递推的方法小学的时候就学过了，属于“上楼梯问题”。

【例 3】 求证：存在从*到*的一个函数()f x ，使得对任何*x ∈，都有2

(())f f x x =。 【解析】 分析 既然是证明“存在”，当然要用构造法。

解 首先易知()f x 不能有两个自变量对应同一个函数值。显然，必须有(1)1f =。

设(2)f a =，则()4f a =，2

(4)f a =，……，于是形成一个链： 224a a →→→→，这里可以令3a =，是一种方法。

同理，对于后面的数，去掉完全平方数后，每两个一组，交替排列： 562536→→→→

，784964→→→→，即可。

【例 4】 求证：对于每个不被20整除的正整数n ，都存在一个各个数位奇偶交替的正整数m ，使得m

被n 整除。

【解析】 分析 同学们一定还都记得这道题目：对于每个与10互质的正整数n ，都存在一个各个数位

都是1的正整数m ，使得m 被n 整除。可以用类似的方法构造出这样的数

解 根据那道题，如果n 与10互质，则只要考虑21，2121，212121，……，这里面找出两

项除以n 的余数相同的，然后作差即可。

如果n 被2整除但是不被5整除，可以设法将21换成别的字符串。考虑所有这样的2k 位数：它们的奇数位（从后往前数，下同）都只取2或4，偶数位都只取1或3。这样的数共有22k

个，都是偶数，且这里面的任何两个2a 之差都不能被212k +整除。所以，这些数被212k +除的余数

一定分别是0，2，4，……，2122k +-的一个排列，也就是说一定有一个能被212k +整除。

取k 使得21k +大于n 里面含有的2的方幂，将这个数重复写，用上面的结论即可。

如果n 被10整除但是不被20整除，用类似的方法，考虑所有这样的2k 位数：它们的奇数位