信号分析第三章答案

第三章习题参考解答
3.1 求下列信号展开成傅里叶级数，并画出响应相应的幅频特性曲线。

解 (a) ⎰-=
T
t
jk dt e
t x T
k X 0
11)(1
)(ωω⎰-=
τ
ω011dt Ae
T
t
jk 2
121τωτωτ
k Sa
e T A k j -= )2(1T
πω=
t jk k j k e e k Sa T
A t x 11212)(ωωτ
τωτ
⋅=
∴-∞
-∞
=∑
3.1
解 (b) ⎰-=T
t jk dt e t x T
k X 0
11)(1)(ωω⎰-=
T
t jk dt te T A T
011
ω⎰
--⋅=T t jk e td jk T A 01
2][1
1ωω ⎰
-+
-=T t jk dt e T jk A
k j A 02
112ωωπk
jA π2= )2(1T πω= ⎰=
T
dt t x T
X 0
)(1)0(2
A =
∑∞
≠-∞=+=∴)
0(122)(k k t jk e k
jA A
t x ωπ
解 (c) ⎰-=
T
t
jk dt e
t x T
k X 0
11)(1
)(ωωdt e T
T
t
jk T T ωπ--⋅=
⎰
44
2cos
1dt e e T
t k j t k j T T ][2
1111)1()1(44
ωω+---+=⎰
][)1(121][)1(1214)1(4)1(14)1(4)1(11111T
k j T
k j T
k j T
k j e e
k j T e e k j T ωωωωωω++-----⋅+-⋅+--⋅=
2)1sin()1(212)1sin()1(21ππππ--+++=k k k k π2)
1(412)1(4
1-++=k Sa k Sa t jk k e k Sa k Sa
t x 1)2
)1(2)1((41)(ωππ-++=∴∑∞
-∞= )2(1T πω=
解 (d) ⎰
--=
221)(1
T
T t jk n dt e t T
F ωδT
1=
∑∞
-∞
==
∴k t
jk e
T
t x 11)(4ω
3.2 求题图3.2所示信号的傅里叶变换。

解 (a) dt Ae X t j ⎰
--=
2
21)(τ
τωω2
ωτ
τSa
A =
解 (b) 设)()('
2t x t g =，).()("2'2
t x t g = τ
τ
τ
ωτ
ωτ
A
e A
e
A
t g F j j 422)]([2
2
'
2-
+
=
-τ
ωττA
A
42c o s 4-
⋅=
由傅氏变换的微积分性质知： 0'2'
22)]
([)()]
([)]([=⋅+=
ωωπδω
t g F j t g F t g F ω
ωτ
τj A 1
2c o s 4-⋅= 0
222)]([)()]
([)]([=⋅+=
ωωπδω
t g F j t g F t x F 2
2c o s 14ωω
ττ-⋅=A 22)4
(4s i n 2ωτωτ
τ⋅
=A
题图3.2
4
2)(22ωττωSa A X =
∴
解 (c) t T
T t T t A t x π
εε2cos )]4()4([)(3--+
=
利用傅氏变换性质知：
]4
)2(4)2([4
)(3T
T Sa T T Sa AT x πωπωω-++
=]4242[4πωπω-++=T Sa T Sa AT
解 (d) ωω
ωjT T
j Ae e T Sa T AT t x F ---=2'
42
)]([
0'4'44)]([)()]([)]([=⋅+=
ωωπδω
t x F j t x F t x F ]2[2ωω
ωωjT T
j e e T Sa j A ---=
]2
[)(224ωωωωωT
j T
j e T
Sa e j A X ---=∴ 或 T
j T j e
j A e T
A
X ωωω
ωω---
-=
)1()(24
解 (e) ωωωωω4
3454
242)(T j
T
j e
T Sa AT e T Sa AT X ---=
][42442ωωωωT
j T
j T
j e e e T Sa AT ---=ωωω2224
4T
j e T Sa jAT -=
解 (f) ⎰∞
--=0
6)(dt e e X t j t ωαω∞
+-+-
=0
)(1
t j e j ωαω
αω
αj +=
1
3.3 若已知)()]([ωX t x F =，试求下列信号的傅里叶变换。

(1) )2(t tx
解 ω
ωd dX j
t tx F )
()]([= )2(2)2
()
2(2121)]2(2[21)]2([ωωωω
X d d j d dX j
t tx F t tx F =⋅==
(2) )3(-t tx
解 ωω3)()]3([j e X t x F -=- ])([)]3([3ωωω
j e X d d j
t tx F -=-ωω
ωω33')(3)(j j e X e
jX --+=
(3) )3(t x -
解 ωω3)()]3([j e X t x F =+ ωω3)()]3([j e X t x F --=-
(4) )3()
3(--t x dt
d
t 解 )()](['ωωX j t x F =
)]([)](['ωωω
X j d d j t tx F =)]()(['
ωωωX X +-= ωωωω3')]()([)]3()
3[(j e X X t x dt
d
t F -+-=--
(5) )(b at x +
解 ωωjb e X b t x F )()]([=+ ωωa b
j e a X a
b at x F )(1)]([=
+
(6)
⎰∞-+t
d x ττ)23(
解 令v =+23τ 则有：
)23(31)(2
3+=⋅⎰+∞-t g dv v x t , dv v x t g t
⎰∞-=)(3
1)( )]0()()([31)]([X j X t g F ωπδωω+=，ωωπδω
ω2)]0()()
([31)]2([j e X j X t g F +=+
ωωπδωω
32)]0()3(3)3([91)]23([j e X j X t g F +=+
).()0(3
)3(31)23(32ωδπωωττω
X e j X d x j t +=+∴⎰∞-
3.4 在题图3.2(b)中取τ=T ，将)(2t x 进行周期为T 的周期延拓，得到周期信号
)(t x T ，如题图3.4(a)所示；取)(t x T 的12+N 个周期构成截取函数)(t x N ，如题图
3.4(b)所示。

(1) 求周期信号)(t x T 傅里叶级数系数； (2) 求周期信号)(t x T 的傅里叶变换； (3) 求截取信号)(t x N 的傅里叶变换。

解 (1) 设单个三角波脉冲为)(t x ，其傅里叶变换4
2)(2T
Sa AT X ωω=
根据傅里叶级数)(1ωk X T 和傅里叶变换)(ωX 之间的关系知：
1)(1
)(1ωωωωk T X T
k X ==
1
4212ωωωk a T
S AT T =⋅=
)2(2
2421212πωπω===
T k Sa A T k Sa A
(2) 由周期信号的傅里叶变换知：
)()(2)]([11ωωδωπk k X t x F k T T -=∑∞
-∞
= )(2
2212ωωδπ
π
k k Sa A k -=∑
∞
-∞
=
)(2
12
ωωδπ
πk k Sa A k -=∑∞-ℵ= (3) 因为)()(∑-=-=
N
N n N nT t x t x
∑-=-=
N
N
n N nT t x F t x F )]([)]([ωωj n T
N
N
n e
X --=∑=)(ωω
ω
ωj
N T
jT T N j e e
e X -+--=11)
()12(
ωωωT T N X 21sin )21sin()(+=422T Sa AT ω=ωω
T T N 2
1sin )21
sin(+⋅
3.5 绘出下列信号波形草图，并利用傅里叶变换的对偶性，求其傅里叶变换。

(1) )(
)(0
1t t Sa t x π=
(2) )(
)(0
22t t Sa t x π=
[提示：参见脉冲信号和三角波信号的傅里叶变换]
解(1) 2
)]2
()2
([ωτ
τπ
επ
εa
F S A t t A −→←-
-+
， ∴根据对偶知：
)]()([)(
00
t t t t t S F
a πωεπωεπ-
-+
−→←
)4
(
22ωτ
τa F S A −→←
解(2)
根据对偶知：∴−→
←F
a t t S )(
2π
3.6 已知)(t x
的波形如题图3.6(a)所示，
(1) 画出其导数)('t x 及)(''t x 的波形图；
(2) 利用时域微分性质，求)(t x 的傅里叶变换；
(3) 求题图3.6(b)所示梯形脉冲调制信号t t x t x c c ωcos )()(=的频谱函数。

解(1) )('t x 及)("t x 的波形如下：
(2) ][1)()]([222"τωτωτωτωτωj j j j e e e e X t x F --+--== )cos 2(cos 2
τωτωτ-=
)()0()()()]([221'ωδπωωωX j X X t x F +==∴ωωj X )(2=]cos 2[cos 2
τωτωωτ-⋅=j
)()0()()()]([11ωδπωωωX j X X t x F +==∴ωωj X )(1
=]2cos [cos 2
2τωτωτ
ω-= (3) )(2
1
)(21)]([c c c X X t x F ωωωω-++=
3.7 求下列频谱函数的傅里叶逆变换。

(1)
ω
j +21
解 )(]2
1
[
21t e j F t εω--=+ (2)
2
)2(1ωj +
解 222)
2(1
)2(]21[+=+-=+ωωωωj j j j d d j )(])2(1[
22
1t te j F t
εω--=+∴ (3)
1
)2(1
2++ωj
解 )2(21)2(21)2(11
2
j j j j j j j ----+
+--=++ωωω )(]2121[
]1
)2(1[
)2()2(21t e j
e j j F t
j t j εω--+---=++∴ ).(sin 2t t e t ε-=
(4) ω2sin 4
解 ][2142sin 422ωωωj j e e j
--⋅
= ][222ωωj j e e j ---= )]2()2([2]2sin 4[1--+-=∴-t t j F δδω
(5)
2
1
ω
解 )(2]1[ωπδ=F
).(')](2[21]2
[ωπδωπδωj d d j t F =⋅=∴ ………(3.7.5.1) 又)(1
)]([ωπδω
ε+=j t F
).('1)](1[)]([2ωπδω
ωπδωωεj j d d j
t t F +-=+=∴ ………(3.7.5.2) 由(3.7.5.1)、(3.7.5.2)式可知：
)]([]2[1
2t t F t
F εω-= )(2
]1
[
2
1t t t
F εω
-=∴-]1)(2[2--=t t ε)(Sgn 21t t -=
(6) 2
/2sin
ωτ
ωτ
解 2
2sin
)]2()2([ωτ
ωτττ
ετε=
--+t t F
)]2
()2([1]2/2[sin
1τ
ετετωτ
ωτ--+=-t t F
*3.8 设输入信号为)()(4t e t x t
ε-=，系统的频率特性为2
561)(ω
ωωω-++=
j j H ，求系统
的零状态响应。

解 4
1
)(+=
ωωj X )()()(ωωωj H X Y ⋅=)4)(3)(2(1++++=
ωωωωj j j j 423
32221+-
++++-
=ωωωj j j ())(23212423t e e e t y t t t ε⎪⎭
⎫
⎝⎛--=∴---
3.9 理想低通滤波器的幅频特性为矩形函数，相频特性为线性函数0)(t ωωφ-=，如题图
3.9所示。

现假设输入信号为)]2
()2([)(τ
ετ
ε--+
=t t A t x 的矩形脉冲，试求系统输出信号)(t y 。

解 利用傅里叶变换的对称性，可以求得该系统的冲激响应为： )()(0t t Sa t h c c
-=ωπ
ω，ττωπωd t Sa t h c t c )()(0)1(-=⎰∞--，令)
(0t v c -=τω得： dv v Sa t h t t c
c
C ⎰-∞
--⋅
=
)
()1(01
)()(ωωπ
ωdv v Sa t t C ⎰-∞
-=
)
(0)(1
ωπ
)]([1
0t t Si c -=
ωπ
其中：⎰∞-=
y
dv v Sa y Si )()(
)()()(t x t h t y *=∴)()(')1(t x t h *=-)]2
()2([)()1(τ
δτδ--+*=-t t t Ah
)2()2()1()1(ττ--+=--t Ah t Ah )]}2
([)]2([{00t t Si t t Si A c c ----+=τ
ωτωπ
)(ωφ 1
)
(ωH
ω
-c ω 0 c
ω
题图3.9
3.10 在题图3.10(a)所示系统中，采样信号)(t s 如图(b) 所示，是一个正负交替出现的冲激串，输入信号的频谱)(ωx 如图(c)所示。

(1) 对于m s T ωπ
2<，画出)(1t y 和)(t y 的频谱； (2) 对于m
s T ωπ
2<，确定能够从)(1t y 中恢复)(t y 的系统。

解(1) )()()(1t s t x t y ⋅=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡+---⋅=∑
∑∞-∞=∞-∞=])12([)2()(s m n s T m t nT t t x δδ
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡⋅--
-*=∴∑
∑
∞
-∞
=∞
-∞
=-n m T j s s
s
s
s e T m
T T n
T X Y ωπ
ωδπ
π
ωδπωπω)()()(21
)(1 )]1)(([)(21)(1s
s
T T jn
n s s e
T n X T Y ⋅-∞
-∞=--*=∑π
π
ωδωω])
12([1
∑
∞
-∞
=+-=
m s
s
T m X T π
ω
由此可以绘出)(1ωY 及)(ωY 的频谱图如下：
)
(1ωY
-3s T -s T 0 s T 2s T ω
(2) 从)(1ωY 的频谱可以看出，由)(1t y 恢复)(t x 的系统如图所示:
3.11 在题图3.11(a)所示系统中，已知输入信号)(t x 的傅里叶变换如题图(b)所示，系统的频率特性)(1ωH 和)(2ωH 分别如图(c)和图(d)所示，试求输出)(t y 的傅里叶变换。

)(ωX
1
ω
-20ω 0 20ω
(b)
)(ωY
s s s s ω
解： 参见题图)(),(),(321t x t x t x 的标注。

*3.12 在题图3.12(a)所示的滤波器中，)()]([ωX t x F =。

如果滤波器的频率特性函数
)(ωH 满足：
ωτωωj e KX H -=)()(* (K ，τ为常数)
则称该滤波器为信号)(t x 的匹配滤波器。

(1) 若)(t x 为图(b)所示的单个矩形脉冲，求其匹配滤波器的频率特性函数)(ωH ；
(2) 证明图(c)所示系统是单个矩形脉冲的匹配滤波器；
(3) 求单个单个矩形脉冲匹配滤波器的冲激响应)(t h ，并画出)(t h 的波形；
(4) 求单个单个矩形脉冲匹配滤波器的输出响应)(t y ，并画出)(t y 的波形。

解 (1) ⎰-⋅=τ
ωω0
1)(dt e X t j ]1[1
ωτω
j e j --=
στωτωωj j e e j K H -+--=∴]1[)(]1[ωτω
j e j K
--= 解 (2) 参见图(c))(1t x 标注.
)()0()(1
)(1ωδπωωωX X j X +=
ω
ωj X )(=
又 )()()(11τ--=t x t x t y ，]1)[()(1ωτωωj e X Y --=∴]1[)
(ωτω
ωj e j X --= ]1[1
)()(ωτωωωj e j X Y --=∴
即)
()
(ωωX Y 与（１）中)(ωH 有相同的函数形式。

解 (3) )()(t x X F -−→←
*ω ，)]([)(τωωτ--−→←-*t x e X F j )()]([)(1t Kx H F t h -==∴-τω
解 (4) )()()(t h t x t y *=)()(t x t x *=⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥+-≥>=为其它值
t t t t t
0220
τττ
τ (取ｋ＝１) [)(t y 为一三角波]
*3.13 求题3.1中)(1t x 和)(4t x 的功率谱密度函数。

解 (1) 参见3-1题。

首先推出周期信号功率谱密度函数的表达式： 周期信号的傅里叶变换为： ∑∞
-∞
=-=k k k X X )()(2)(11ωωδωπ
ω
其中)(1ωk X 是傅里叶级数展开式系数。

考虑截取信号：)()()]2
()2()[()(t g t x T
t T t t x t y =--+
=εε 根据频域卷积定理，截取信号的傅里叶变换为：
)(t x
1
t
o τ
(b) 题图3.12
*]2[21)(*)(21)(T
TSa X G Y ωπωωπω==])()(2[11∑∞
-∞
=-k k k X ωωδωπ
∑
∞
-∞
=-=k T
k Sa
k X T
2
)()(11ωωω 当∞→T 时，2
)(1T
k Sa
ωω-趋向于集中在1ωωk =处，其他地方为零值，所以功率谱密度函数为：
2)(|)(|lim |)(|lim )(12212
T k Sa k X T T Y P k T T ωωωωω-==∑∞
-∞
=∞→∞→
由于)(lim
)(2ωπ
ωδT Sa T
T ∞→=，2
)(2lim
)(12
1ωωπωωδn T Sa T
n T -=-∞→，所以： )(|)(|2)(121ωωδωπ
ωk k X P k -=∑∞
-∞
=
由此可求题给信号的功率谱密度函数： )()
(2)(12
11ωωδωπ
ωk k X P k -=∑∞
-∞
=
)(2
212
211ωωδτωτ
π
ωτ
k e k S T A k k j a -⋅=∑
∞
-∞
=- )(2
212
12
22ωωδτ
ωτπk k S T A k a -=
∑
∞
-∞
=
解 (2) )(1
2)(12
4ωωδπωk T P k -=∑
∞
-∞
=).2()
(111T
k T
k π
ωωωδω=
-=∑∞
-∞
=
*3.14 求题3.2中)(1t x 和)(2t x 的能量谱密度函数。

解 设)(1t x 的能量谱密度函数为)(1ωE ，2
)
()(2
2
2
2
11ωτ
τ
ωωa S A X E =
=。

设)(2t x 的能量谱密度函数为)(2ωE ，4
4)()(4222
22ωττωωa
S A X E ==。

*3.15 信号)(t x 的最高频率max f 为500Hz ，当信号的最低频率min f 分别为0，300Hz ，
400Hz 时，试确定能够实现无混叠采样的最低采样频率，并解释如何从采样后信号中恢复)(t x 。

解(1) 0,500min max ==f Hz f ，所以Hz 10002max ==f f s
(2) Hz 300,Hz 500min max ==f f ，5.22
5
300500500min max max ==-=-=
f f f N ，取
3=N
当3,2,1=k 代入式1
22-≤≤k f
f k f L s H 中可知，只有当1=k 不等式才能成立：∞≤≤⨯s f 5002，所以采样频率只能取1000=s f Hz 。

(3) Hz 400,Hz 500min max ==f f ，5400
500500
min max max =-=-=f f f N ，
当5,4,3,2,1=k 代入式
1
22-≤≤k f
f k f L s H 中可知，当5=k 不等式成立：15400
255002-⨯≤
≤⨯s f ，所以最低采样频率200=s f 。

*3.16 正弦信号的振幅电平为1±V ，现采用12位的量化器进行舍入式量化，求量化误差
的方均根值和量化信噪比。

解 V 2=D ，12=M ，11
/11222/22/===M D Q ；
2
2121Q =
σ ，12213312
1⨯==∴Q σ； 22221121121⨯==Q P N ，2
1sin 1
22
2=
=
⎰
-T
T s dt t T
P ω； dB 77.732lg 208.101262
1
lg
10lg 208.106lg 10=-+⨯+=-++=∴D M P SNR s
*3.17 绘出)][cos(S gn )(1t t x π=，)]2[cos(S gn )(2t t x π=的波形，并证明它们在[0，1]区间上是相互正交的。

解 由三角函数和符号函数的意义可绘出)(),(21t x t x 的波形如图所示。

显然：
0)1(1)()(1
2
/12/10
1
21=⋅-+⋅=
⎰
⎰⎰dt dt dt t x t x
即在[0，1]区间上满足正交的定义。

*3.18 求信号)]1()([)(--=t t t t x εε的自相关函数。

解 ⎰∞
∞--=
dt t x t x R )()()(ττ
当01≤≤-τ：τ
τ
τ
τ
τ
τττ++++-
=-=-=
⎰⎰10
210
3
1010
2
3
1
)()()()(t
t dt t t dt t x t x R
)2()1(6
1
)1(2
)1(3
1223ττττ
τ-+=+-+=
当10≤≤τ：3
12612
3
1
)()(31
2
1
3
1
+-=-
=-=
⎰τττ
τττ
τ
τ
t
t dt t t R。