高三数学一轮复习 第13篇 第2节 参数方程课件 理
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高考理科数学一轮选修参数方程
x2+y2=1
和������2
9
+y2=1.
当
α=π时 ,射线
4
l
与
C1 交点
A1 的横坐标为
x=
2,与
2
C2 交点
B1 的横坐标
为 x'=3 10. 当1α0=-π4时,射线 l 与 C1,C2的两个交点 A2,B2分别与 A1,B1关于 x 轴对称,
因此四边形 A1A2B2B1为梯形.
故四边形
A1A2B2B1
【解】(1)x2+y2=16.
(2)将
������ = ������ =
3+ 2+
1
2 3
t, 代入
t
x2+y2=16,并整理得
t2+3
3t-9=0.
2
设 A,B 对应的参数为 t1,t2,则 t1+t2=-3 3,t1t2=-9.
故|AB|=|t1-t2|= (������1 + ������2)2-4������1������2=3 7.
2.直线的参数方程
(1)过点
M0(x0,y0),倾斜角为
α
的直线
l
的参数方程为
x = x0 + t������������������α, y = y0 + t������������������α
(t 为参数).
(2)参数的几何意义
直线的参数方程中参数 t 的几何意义是参数 t 的绝对值表示 t 所对应
数方程化为普通方程
例 1 已知曲线
C1:
������ = -4 ������ = 3
+ +
高三数学一轮复习坐标系与参数方程第二节参数方程课件理
94
∴椭圆C的右顶点坐标为(3,0),
∵直线l过(3,0),∴3-a=0,∴a=3.
(2)圆的圆心为 12 , ,0半 径为 12,
所求圆的参数方程为
x y
1 1 cosθ,
2 1
(θ为2 参数).
sin θ
2
方法技巧 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数,常用的消参方法有代入 消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法.另外,消参时要 注意参数的范围. 普通方程化为参数方程时,先分清普通方程所表示的曲线类型,结合常 见曲线的参数方程直接写出.
x y
(θ为1 参co数s θ),的普通方程为(x+1)2+(y-2)2=1,该
2 sin θ
曲线为圆,圆心(-1,2)为曲线的对称中心,其在直线y=-2x上,故选B.
2.设曲线C的参数方程为 xy (θ2为13参3cos数isnθ)θ,,直线l的方程为x-3y+2=
1-1 将下列参数方程化为普通方程.
(1)
x y
(θ1为 s参in 2数θ,);
sinθ cosθ
(2)
x
1 2
((te为t 参e 数t ) , ).
y
1 2
(et
e t )
解析 (1)由(sin θ+cos θ)2=1+sin 2θ=2-(1-sin 2θ), 得y2=2-x.又x=1-sin 2θ∈[0,2], 故所求的普通方程为y2=2-x,x∈[0,2]. (2)由参数方程得et=x+y,e-t=x-y, ∴(x+y)(x-y)=1,即x2-y2=1(x≥1).
∴椭圆C的右顶点坐标为(3,0),
∵直线l过(3,0),∴3-a=0,∴a=3.
(2)圆的圆心为 12 , ,0半 径为 12,
所求圆的参数方程为
x y
1 1 cosθ,
2 1
(θ为2 参数).
sin θ
2
方法技巧 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数,常用的消参方法有代入 消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法.另外,消参时要 注意参数的范围. 普通方程化为参数方程时,先分清普通方程所表示的曲线类型,结合常 见曲线的参数方程直接写出.
x y
(θ为1 参co数s θ),的普通方程为(x+1)2+(y-2)2=1,该
2 sin θ
曲线为圆,圆心(-1,2)为曲线的对称中心,其在直线y=-2x上,故选B.
2.设曲线C的参数方程为 xy (θ2为13参3cos数isnθ)θ,,直线l的方程为x-3y+2=
1-1 将下列参数方程化为普通方程.
(1)
x y
(θ1为 s参in 2数θ,);
sinθ cosθ
(2)
x
1 2
((te为t 参e 数t ) , ).
y
1 2
(et
e t )
解析 (1)由(sin θ+cos θ)2=1+sin 2θ=2-(1-sin 2θ), 得y2=2-x.又x=1-sin 2θ∈[0,2], 故所求的普通方程为y2=2-x,x∈[0,2]. (2)由参数方程得et=x+y,e-t=x-y, ∴(x+y)(x-y)=1,即x2-y2=1(x≥1).
2021高考数学(理)一轮复习过关讲义《13.1.2参数方程》
极坐标方程为ρ＝4cos θ.
(1)求曲线 C 的直角坐标方程及直线 l 的普通方程； (2)将曲线 C 上的所有点的横坐标缩短为原来的1，再将所得到的曲线向左平移 1 个单位长度，
2 得到曲线 C1，求曲线 C1 上的点到直线 l 的距离的最小值． 解 (1)曲线 C 的直角坐标方程为 x2＋y2＝4x， 即(x－2)2＋y2＝4.
x
x＝－2＋cos θ，
解 由曲线 C：
(θ为参数)，
y＝sin θ
得(x＋2)2＋y2＝1，表示圆心为(－2,0)，半径为 1 的圆．
y表示的是圆上的点和原点连线的斜率，设y＝k，则原问题转化为 y＝kx 和圆有交点的问题，
x
x
即圆心到直线的距离 d≤r，所以 |－2k| ≤1，解得－ 3≤k≤ 3，
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方
程得到普通方程．
(2)如果知道变数 x，y 中的一个与参数 t 的关系，例如 x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一
x＝ft，
个变数与参数的关系 y＝g(t)，那么
就是曲线的参数方程．
y＝gt
2．常见曲线的参数方程和普通方程
(t 为参数)，
消去参数 t 可得 x＝ 3y＋m，
即直线 l 的普通方程为 3y－x＋m＝0.
x＝ 3t＋m， 2
(2)把 y＝1t 2
(t 为参数)代入方程 x2＋y2＝2x，
化为 t2＋( 3m－ 3)t＋m2－2m＝0，
①
由Δ>0，解得－1<m<3.
设 t1，t2 为方程①的两个实数根， ∴t1t2＝m2－2m.
第 2 课时 参数方程
第二节 参数方程 (高中数学精品课件PPT)
(1)t0＝t1＋2 t2； (2)|PM|＝|t0|＝t1＋2 t2； (3)|AB|＝|t2－t1|； (4)|PA|·|PB|＝|t1·t2|.
返回
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)参数方程xy＝＝gftt， 中的 x，y 都是参数 t 的函数.
返回
3.在平面直角坐标系中，若曲线 C 的参数方程为
x＝2＋ 22t，
y＝1＋
2 2t
x－y－1＝0 (t 为参数)，则其普通方程为____________.
解析：依题意，消去参数可得 x－2＝y－1，即 x－y－1＝0.
返回
4.已知两曲线的参数方程分别为yx＝＝sin5cθos θ， (0≤θ＜π)和
返回
2.参数方程和普通方程的互化
(1)参数方程化普通方程：利用两个方程相加、减、乘、除或
者代入法消去参数. (2)普通方程化参数方程：如果 x＝f(t)，把它代入普通方程，求
出另一个变数与参数的关系 y＝g(t)，则得曲线的参数方程
x＝ft， y＝gt.
参数方程与普通方程互化的注意点 (1)在参数方程与普通方程的互化中，一定要注意变量的范围以及转 化的等价性. (2)普通方程化为参数方程，参数方程的形式不唯一，即如果选用的 参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同.
返回
5.曲线
C
的参数方程为xy＝＝csions
θ， 2θ＋1
(θ 为参数)，则曲线 C
的普通方程为__y_＝__2_－__2_x_2_(－__1_≤__x_≤__1_)_.
解析：由xy＝＝csions
θ， 2θ＋1
(θ 为参数)消去参数 θ，
得 y＝2－2x2(－1≤x≤1).
返回
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)参数方程xy＝＝gftt， 中的 x，y 都是参数 t 的函数.
返回
3.在平面直角坐标系中，若曲线 C 的参数方程为
x＝2＋ 22t，
y＝1＋
2 2t
x－y－1＝0 (t 为参数)，则其普通方程为____________.
解析：依题意，消去参数可得 x－2＝y－1，即 x－y－1＝0.
返回
4.已知两曲线的参数方程分别为yx＝＝sin5cθos θ， (0≤θ＜π)和
返回
2.参数方程和普通方程的互化
(1)参数方程化普通方程：利用两个方程相加、减、乘、除或
者代入法消去参数. (2)普通方程化参数方程：如果 x＝f(t)，把它代入普通方程，求
出另一个变数与参数的关系 y＝g(t)，则得曲线的参数方程
x＝ft， y＝gt.
参数方程与普通方程互化的注意点 (1)在参数方程与普通方程的互化中，一定要注意变量的范围以及转 化的等价性. (2)普通方程化为参数方程，参数方程的形式不唯一，即如果选用的 参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同.
返回
5.曲线
C
的参数方程为xy＝＝csions
θ， 2θ＋1
(θ 为参数)，则曲线 C
的普通方程为__y_＝__2_－__2_x_2_(－__1_≤__x_≤__1_)_.
解析：由xy＝＝csions
θ， 2θ＋1
(θ 为参数)消去参数 θ，
得 y＝2－2x2(－1≤x≤1).
高考数学一轮复习 2 参数方程课件 新人教A版
3．直线xy＝＝－2＋1－t，t(t
为参数)与曲线xy＝＝33scions
α α
， (α
为参数)
的交点个数为________．
解析 直线方程可化为 x＋y－1＝0，曲线方程可化为 x2＋
y2＝9，圆心(0，0)到直线
x＋y－1＝0
的距离
d＝
1＝ 2
22＜
3.∴直线与圆相交有两个交点．
诊断自测
1．极坐标方程 ρ＝cos θ 和参数方程xy＝＝2－＋1t－t，(t 为参数) 所表示的图形分别是________．
①直线、直线；②直线、圆；③圆、圆；④圆、直线．
解析 ∵ρcos θ＝x，∴cos θ＝ρx 代入到 ρ＝cos θ，得 ρ ＝ρx ，∴ρ2＝x，∴x2＋y2＝x 表示圆．又∵xy＝＝2－＋1t－，t，相加
为参数)．
(2) 圆 的 方 程 (x － a)2 ＋ (y － b)2 ＝ r2 的 参 数 方 程 为
x＝__a_＋__r_c_o_s_θ__ y＝__b_＋__r_s_in__θ__(θ
为参数)．
(3)椭圆方程xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的参数方程为xy＝＝__ba__sc__ion__s__θθ____ (θ 为参数)． (4)抛物线方程 y2＝2px(p＞0)的参数方程为xy＝＝__22__pp__tt__2__(t 为参 数)．
θ，
(θ 为参数)．
答案
x＝1＋cos y＝sin θ
θ
， (θ 为参数)
考点一 参数方程与普通方程的互化
【例1】 把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示 什么曲线：
x＝1＋12t，
(1) y＝2＋
3 2t
(t
高考数学一轮复习 第二节 参数方程课件 理 新人教A版选修44
例 探
即(x－a)2＋(y－b)2＝t2，它表示一个圆．
课 后
究
作
· 提
(2)当t＝0时，表示点(a，b)．
业
知
能
【答案】 点(a，b)或圆(x－a)2＋(y－b)2＝t2
菜单
新课标 ·理科数学（广东专用）
高
自 主 落
1．将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法与加 考
减消元法，第(2)问中利用了三角恒等变换消去参数．
OB)的倾斜角，称为点P的离心角．
典
例
课
探
后
究
作
·
业
提
知
能
菜单
新课标 ·理科数学（广东专用）
高
自
主
1．(人教A版教材习题改编)将参数方程
考 体
落
验
实 · 固 基
x＝2＋sin2θ y＝sin2θ
， (θ为参数)化为普通方程为________．
· 明 考 情
础
【解析】 将sin2θ＝y代入x＝2＋sin2θ得y＝x－2，
例
数量．
课
探
后
究
作
·
业
提
知
能
菜单
新课标 ·理科数学（广东专用）
自 主
2．对于椭圆
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a＞b＞0)的参数方程
高 考 体
落 实 · 固
x＝acos y＝bsin
θ θ
，
(θ为参数)，θ是椭圆上的点与原点连线
验 · 明 考
基
础 的倾斜角吗？
情
【提示】 不是．如图所示，是点P对应的圆半径OA(或
高中数学 参数方程 PPT课件 图文
，时点 B , C 关于 x 轴对称
那么外接圆的参数方程
是 { x cos ( 为参数 ) y sin
A , B , C 的坐标分别为
(1,0 ), ( 1 , 3 ), ( 1 , 3 ) 22 2 2
设点 M (cos , sin )则
MA 2 MB 2 MC 2 [(cos 1) 2 sin 2 ]
[(cos 1 ) 2 (sin 3 ) 2 ] [(cos 1 ) 2
2
2
2
(sin 3 ) 2 ] 6 2
4、解;(1)2xy70,直线； （2）y 2x2, x[1,1],以(1,2),(1,2)为端点的
一段抛物线； （3）x2 y2 4,双曲线；
纵坐y都 标是 的函,即 数
P(x,y)
x r cos ①
r
o
p0
-5
5
y r sin
并且对于 的每一个允许值,由方程组①
所确定的点P(x,y),都在圆O上.
-5
我们把方程组①叫做圆心在原点、半径为r的圆的
参数方程， 是参数.
思考2:圆心为 O1(a,b)、半径r为 的圆的标准方观程察2 为(xa)2 (yb)2 r2,那么参数方程是?什么呢
探究：如图，一架救援飞机在离灾区地面500m 的高处以100m/s的速度作水平直线飞行，为使投 放的救援物资准确落于灾区指定的地面（不计空 气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？
y
A
M(x,y)
o
x
（1）在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐
标x 、y都是某个变数t的函数，即 x f (t )
高考数学大一轮复习 第二节 参数方程课件 理 苏教版
(2)若直线
l
的参数方程为x＝2－
y＝
2 2t
第二十七页，共31页。
3．(2014·合肥模拟)在平面直角坐标系中，直线 l 的参数方程为
x＝12t，
y＝
22＋
3 2t
(t 为参数)，若以直角坐标系的原点 O 为极点，
x 轴非负半轴为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，曲线
C 的极坐标方程为 ρ＝2cosθ－π4.若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，则|AB|＝________.
第八页，共31页。
2．已知直线xy＝＝－2－1＋21t，12t
(t 为参数)与圆 x2＋y2＝4 相交于 B，C
两点，则|BC|的值为________．
解析：∵x＝2－12t＝2－ 22t′， y＝－1＋12t＝－1＋ 22t′，
t′＝ 22t代入 x2＋y2
＝4，得2－ 22t′2＋－1＋ 22t′2＝4，t′2－3 2t′＋1＝0， ∴|BC|＝|t′1－t′2|＝ t′1＋t′22－4t′1t′2＝
第二十五页，共31页。
[课堂练通考点]
1．(2013·重庆高考)在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的
正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为 ρcos θ＝4 的直线与
曲线yx＝＝tt32， (t 为参数)相交于 A，B 两点，则|AB|＝________.
解析：ρcos θ＝4 化为直角坐标方程为 x＝4
在直线 l 上．
(1)求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程； (2)圆 C 的参数方程为xy＝＝s1i＋n αcos α， (α 为参数)，试判断
直线 l 与圆 C 的位置关系．
第二十一页，共31页。
高考数学第一轮章节复习课件 第二节 参数方程
AB 1 3 2.
答案：B
6．实数x、y满足3x2＋2y2＝6x，求x2＋y2的最大
值
．
解：令x＝1＋cosθ，
，代入x2＋y2得x2＋y2
＝ 1 (cos 2)2 9 .
2
2
当答co案sθ：＝41时，(x2＋y2)max＝4.
1．化参数方程为普通方程 消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方 程，消去参数的常用方法有：①代入消去法；②加减消 去法；③乘除消去法；④三角恒等式消去法．
关系以及弦长计算，有时比较方便．方法是：
把
代入圆锥曲线C：F(x，y)
＝0，即可消去x，y；
而得到关于t的一元二次方程：at2＋bt＋c＝
0(a≠0)．
则①当Δ＜0时，l与C无交点；②当Δ＝0时，l与C 有一个公共点；③当Δ＞0时，l与C有两个公共点，此时方 程at2＋bt＋c＝0有两个不同的实根t1，t2，把参数t1，t2 代入l的参数方程，即可求得l与C的两个交点M1、M2的坐 标；另外，由参数t的几何意义，可知弦长|M1M2|＝|t1－ t2|＝
代入圆的方程得
r2＝(2cosα－1)2＋sin2α＝3(cosα－
≤r2≤9，∵r＞0，∴半径r的取值范围是
答案：
(α为参数) ．
5．直线
(t为参数)被曲线
(θ为
参数)所截得的弦长为
.
解析：直线方程可化为 3x y 3 0, 曲线方程可化为 x2 y 2 1.
3 由
∴x＝0或x＝1. 可得交点为A(0， )，B(1,0)．
2
2
×cosθ×2sinθ＋4sin2θ
＝2＋2sin2θ＋sin2θ＝3＋sin2θ－cos2θ
＝3＋ 2 sin(2 ) ≤ 3 2,
答案：B
6．实数x、y满足3x2＋2y2＝6x，求x2＋y2的最大
值
．
解：令x＝1＋cosθ，
，代入x2＋y2得x2＋y2
＝ 1 (cos 2)2 9 .
2
2
当答co案sθ：＝41时，(x2＋y2)max＝4.
1．化参数方程为普通方程 消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方 程，消去参数的常用方法有：①代入消去法；②加减消 去法；③乘除消去法；④三角恒等式消去法．
关系以及弦长计算，有时比较方便．方法是：
把
代入圆锥曲线C：F(x，y)
＝0，即可消去x，y；
而得到关于t的一元二次方程：at2＋bt＋c＝
0(a≠0)．
则①当Δ＜0时，l与C无交点；②当Δ＝0时，l与C 有一个公共点；③当Δ＞0时，l与C有两个公共点，此时方 程at2＋bt＋c＝0有两个不同的实根t1，t2，把参数t1，t2 代入l的参数方程，即可求得l与C的两个交点M1、M2的坐 标；另外，由参数t的几何意义，可知弦长|M1M2|＝|t1－ t2|＝
代入圆的方程得
r2＝(2cosα－1)2＋sin2α＝3(cosα－
≤r2≤9，∵r＞0，∴半径r的取值范围是
答案：
(α为参数) ．
5．直线
(t为参数)被曲线
(θ为
参数)所截得的弦长为
.
解析：直线方程可化为 3x y 3 0, 曲线方程可化为 x2 y 2 1.
3 由
∴x＝0或x＝1. 可得交点为A(0， )，B(1,0)．
2
2
×cosθ×2sinθ＋4sin2θ
＝2＋2sin2θ＋sin2θ＝3＋sin2θ－cos2θ
＝3＋ 2 sin(2 ) ≤ 3 2,
高三数学一轮复习第2课时参数方程课件文新人教A选修44.ppt
数方程为x＝ 3＋21t，
y＝2＋
3 2t
(t 为参数)，曲线 C 的参
数方程为xy＝＝44scionsθθ， (θ 为参数)． (1)将曲线 C 的参数方程化为普通方程； (2)若直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点，求线段 AB
的长．
解析： (1)x2＋y2＝16.
(2)将x＝ 3＋21t
x＝3＋2t， y＝－2＋t (t 为参数)距离的最小值．
解析： (1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C2：6x42 ＋y92＝1. C1 为圆心是(－4,3)，半径为 1 的圆．
C2 为中心是坐标原点，焦点在 x 轴上，长半
轴长是 8，短半轴长是 3 的椭圆．
(2)当 t＝π2时，P(－4,4)、Q(8cos θ，3sin θ)，
值 tM＝t1＋2 t2(由此可求|M2M|及中点坐标)．
已知直线 l 经过点 P(1,1)，倾斜角 α＝π6， (1)写出直线 l 的参数方程； (2)设 l 与圆 x2＋y2＝4 相交于两点 A，B，求
点 P 到 A，B 两点的距离之积．
解析： (1)直线的参数方程为
x＝
1＋tcos
π， 6
以下两种情况：
x＝acosφ
椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的参数方程是__y_＝__b_s_in__φ_，
其中 φ 是参数．
x＝bcos φ
椭圆xb22＋ay22＝1(a>b>0)的参数方程是__y_＝__a_s_in__φ_，
其中 φ 是参数．
参数方程化为普通方程
1．将参数方程化为普通方程的过程就是消 去参数的过程．常用的消参方法有代入消参、 加减消参、三角恒等式消参等． 2．往往需要对参数方程进行变形，为消参 创造条件．
高考数学一轮复习全程复习构想数学(理)第二节 参数方程(课件)
第二节 参数方程
必备知识—基础落实
关键能力—考点突破
·最新考纲· 1．了解参数方程，了解参数的意义． 2．能选择恰当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程．
·考向预测·
考情分析：参数方程与普通方程互化，参数方程的应用，参数方程 与极坐标方程的综合应用将是高考考查的热点，题型仍将是解答题．
学科素养：通过参数方程的应用考查数学建模_________α∈[0，2π)．
关键能力—考点突破
2．如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数．求圆x2＋y2－x＝0的参 数方程．
反思感悟 消去参数的三种方法：
(1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数； (2)利用三角恒等式消去参数； (3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消 去参数． 将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大 或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和 y的取值范围．
反思感悟 极坐标方程与参数方程综合问题的解题策略 (1)求交点坐标、距离、线段长．可先求出直角坐标方程，然后求 解． (2)判断位置关系．先转化为平面直角坐标方程，然后再作出判断． (3)求参数方程与极坐标方程综合的问题．一般是先将方程化为直角 坐标方程，利用直角坐标方程来研究问题．
解析：(1)由题意得，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sin θ，所以ρ2＝4ρsin θ，又x2 ＋y2＝ρ2，y＝ρsin θ，
代入上式化简可得，x2＋y2－4y＝0， 所以曲线C2的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4.
反思感悟 椭圆的参数方程实质是三角代换，有关椭圆上的动点距 离的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用椭圆的参数方程 转化为三角函数的最大值、最小值求解．
必备知识—基础落实
关键能力—考点突破
·最新考纲· 1．了解参数方程，了解参数的意义． 2．能选择恰当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程．
·考向预测·
考情分析：参数方程与普通方程互化，参数方程的应用，参数方程 与极坐标方程的综合应用将是高考考查的热点，题型仍将是解答题．
学科素养：通过参数方程的应用考查数学建模_________α∈[0，2π)．
关键能力—考点突破
2．如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数．求圆x2＋y2－x＝0的参 数方程．
反思感悟 消去参数的三种方法：
(1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数； (2)利用三角恒等式消去参数； (3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消 去参数． 将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大 或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和 y的取值范围．
反思感悟 极坐标方程与参数方程综合问题的解题策略 (1)求交点坐标、距离、线段长．可先求出直角坐标方程，然后求 解． (2)判断位置关系．先转化为平面直角坐标方程，然后再作出判断． (3)求参数方程与极坐标方程综合的问题．一般是先将方程化为直角 坐标方程，利用直角坐标方程来研究问题．
解析：(1)由题意得，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sin θ，所以ρ2＝4ρsin θ，又x2 ＋y2＝ρ2，y＝ρsin θ，
代入上式化简可得，x2＋y2－4y＝0， 所以曲线C2的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4.
反思感悟 椭圆的参数方程实质是三角代换，有关椭圆上的动点距 离的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用椭圆的参数方程 转化为三角函数的最大值、最小值求解．
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由题意知 l 与 C 相切,
于是 1= 2k ,即 3k2=1, 1 k2
解得 k=± 3 . 3
答案:± 3 3
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5.给出下列命题:
①曲线的参数方程中的参数都有实际意义;
②参数方程与普通方程互化后表示的曲线是一致的;
③圆的参数方程中的参数θ与椭圆的参数方程中的参数 的几何意义相同; ④普通方程化为参数方程,参数方程的形式不唯一.
(4)若 M0 为线段 M1M2 的中点,则 t1+t2=0.
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7
基础自测
1.参数方程
x y
3t t2
2 2, 1
(0≤t≤5)表示的曲线为(
A
)
(A)线段 (B)双曲线的一支
(C)圆弧 (D)射线
解析:参数方程化为普通方程为 x=3(y+1)+2, 即 x-3y-5=0,由于 x=3t2+2∈[2,77], 故曲线为线段.故选 A.
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解:
x
t
1 t
sin
,
①
y
t
1 t
cos
.②
(1) 当 t≠±1 时,由①得 sin θ= x , t1 t
由②得 cos θ= y , t 1 t
∴( x )2+( y )2=1,
t1
t 1
t
t
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它表示中心在原点,长轴长为 2 t 1 , t
短轴长为 2 t 1 ,焦点在 x 轴上的椭圆; t
其中正确的是
.(写出所有正确命题的序号)
解析:①错误.曲线的参数方程中的参数,可以具有物理意义,可以具有几何意
义,也可以没有明显的实际意义.
②正确.两方程互化后所表示的曲线相同.
③错误.圆的参数方程中的参数θ表示半径的旋转角,而椭圆的参数方程中的 参数 表示对应的大圆或小圆半径的旋转角,也就是椭圆的离心角. ④正确.用参数方程解决动点的轨迹问题,若选用的参数不同,那么所求得的
第2节 参数方程
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1
最新考纲 1.了解参数方程及其 参数的意义.
2.能选择适当的参数写出直线、圆 和椭圆的参数方程.
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2
编写意图 参数方程与普通方程的互化,直线与圆的参数方程及应用 是高考重点考查的内容,难度不大.本节围绕高考命题的规律进行设 点选题,重点突出参数方程与普通方程的互化、直线与圆参数方程的 应用,转化与化归思想的应用,主要体现在考点一、考点二的选题和 反思归纳上,难点突破参数方程与坐标方程的综合应用,主要体现在 考点三的选题和反思归纳上,规范答题栏目突破了参数方程与坐标方 程综合问题的解决方案和思维流程.课时训练以考查基础知识和基本 方法为主,注重基本运算及方程的应用,题题切中高考命题的增长点.
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8
2.已知☉O
的参数方程为
x
y
cos sin
,
(θ为参数),则☉O
上的点到直线
x
y
2 1
4 t,
5 3t 5
(t
为参数)的距离最大值为(
C)
(A)2 (B)1 (C)3 (D)5 解析:圆 O 的普通方程为 x2+y2=1. 直线的普通方程为 3x+4y-10=0,
圆心 O(0,0)到该直线的距离为 10 =2, 5
(θ为参数)
y y0 Rsin
x Rcos,
y
R sin
(θ为参数)
x
y
a cos, a sin
(
为参数)
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6
3.直线的参数方程的标准形式的应用
过点
M0(x0,y0),倾斜角为α的直线
l
的参数方程是
x y
x0 y0
t cos t sin
, .
(t
是参数).
若 M1,M2 是 l 上的两点,其对应参数分别为 t1,t2,则
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5
2.直线、圆、椭圆的参数方程
曲线 过点 M(x0,y0),倾斜角为α的直线 l
圆心在点 M0(x0,y0),半径为 R 的圆
圆心在原点,半径为 R 的圆
椭圆 x2 + y 2 =1(a>b>0) a2 b2
参数方程
x x0 t cos,
y
y0
t
sin
(t 为参数)
x x0 R cos ,
当 t=±1 时,y=0,x=±2sin θ,x∈[-2,2], 它表示以 A(-2,0),B(2,0)为端点的线段. 综上知,t≠±1 时方程表示焦点在 x 轴上的椭圆, t=±1 时方程表示以 A(-2,0),B(2,0)为端点的线段. (2)当θ≠ kπ (k∈Z)时,
故圆 O 上的点到直线的距离最大值为 2+1=3.
故选 C.
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3.与参数方程
x
t,
(t 为参数)等价的普通方程为( D )
y 2 1 t
(A)x2+ y 2 =1 4
(B)x2+ y 2 =1(0≤x≤1) 4
(C)x2+ y 2 =1(0≤y≤2) (D)x2+ y 2 =1(0≤x≤1,0≤y≤2)
曲线的参数方程的形式就不同. 答案:②④
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考点突破
剖典例 找规律
考点一 参数方程与普通方程的互化
【例 1】 已知参数方程:
x
t
1 t
sin
,
(t≠0)
y
t
1 t
cos
.
(1)若 t 为常数,θ为参数,判断方程表示什么曲线?
(2)若θ为常数,t 为参数,方程表示什么曲线?
(1)M1,M2 两点的坐标分别是(x0+t1cos α,y0+t1sin α),(x0+t2cos α, y0+t2sin α). (2)|M1M2|=|t1-t2|. (3)若线段 M1M2 的中点 M 所对应的参数为 t,则 t= t1 t2 ,中点 M 到定点
2
M0 的距离|MM0|=|t|= t1 t2 . 2
4
4
解析:由 y=2 1 t 可得 y≥0,
且 t∈(-∞,1],
又 x= t , 故 x≥0 且 t≥0.
故 t∈[0,1],x∈[0,1],y∈[0,2],故选 D.
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4.若直线 l:y=kx 与曲线 C:
x
y
2 cos sin
,
(θ为参数)有唯一公共点,则
k=
.
பைடு நூலகம்
解析:曲线 C 的普通方程为(x-2)2+y2=1.
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夯基固本
考点突破
规范答题
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4
夯基固本
知识梳理
抓主干 固双基
1.曲线的参数方程 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x,y 都是某个变
数
t
的函数
x
y
f g
t t
, ,
并且对于 t 的每一个允许值,上式所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上,则称
上式为这条曲线的参数方程,其中变数 t 称为参变数,简称 参数 .