华师版九年级数学上册《解直角三角形》全章整合与提升

全章整合与提升
5．如图，在 2×2 的网格中，以顶点 O 为圆心，以 2 个单位长度
为半径作圆弧，交图中格线于点 A，则 tan∠ABO 的值为( )
A．2－ 3
B．2
C．2＋ 3
D．3
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【点拨】连结 OA，过点 A 作 AC⊥OB 于点 C，则 AC＝1. ∵在 Rt△AOC 中，OA＝2，AC＝1，∴OC＝ OA2－AC2＝ 22－12 ＝ 3.∵OB＝2，∴BC＝OB－OC＝2－ 3， ∴在 Rt△ABC 中，tan∠ABO＝ABCC＝2－1 3＝2＋ 3.
解：原式＝12× 23＋ 22× 22＋ 23×12＝1＋2
3 .
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(2) 2sin30°＋tan60°－cos45°＋tan30°；
解：原式＝
2×12＋
3－
22＋
33＝4
3
3 .
(3)cos60°＋ 22sin45°＋tan30°·cos30°. 解：原式＝12＋ 22× 22＋ 33× 23＝12＋12＋12＝32.
华师版 九年级上
第24章 解直角三角形
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1D 2D
3 见习题 4 见习题
5C
6 见习题
7B
8 见习题
9
25 5
3 10 5
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11 45°或135° 12 见习题 13 见习题
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1．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，a，b，c 分别是∠A，∠B，∠C
全章整合与提升 解：如图，过点 E 作 EF⊥AC 于 F，则四边形 CDEF 为矩形，
∴EF＝CD，CF＝DE＝10 m.
设 AC＝x m，则 CD＝EF＝x m，BF＝(x－16)m. 在 Rt△BEF 中，∠EBF＝60°，tan∠EBF＝EBFF， ∴x－x16＝ 3， ∴x＝24＋8 3≈37.8.
∴APCB＝APEP＝2， ∴5－4 a＝2 或a－4 5＝2，解得 a＝3 或 a＝7. ∴a 的值为 3 或 7.
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7．如图，已知“人字梯”的 5 个踩档把梯子等分成 6 份，从上往 下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条 60 cm 长的 绑绳 EF，tanα＝52，则“人字梯”的顶端离地面的高度 AD 是 () A．144 cm B．180 cm C．240 cm D．360 cm
答：乙楼的高度 AC 约为 37.8 m.
求 sin∠APD 的值． 解：如图，连结 CE，DE，过 D 作 DM⊥CE 于 M. ∵BC∥AE，BC＝AE，∴四边形 ABCE 是平行四边形， ∴CE∥AB， ∴∠APD＝∠ECD.
全章整合与提升 ∵△ECD 的面积＝3×4－12×1×4－12×2×3－12×1×3＝121， ∴12CE·DM＝121. ∵CE＝ 17，
【答案】C
全章整合与提升 6．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝4，AD＝5，P 是射线 BC 上的
动点，过点 P 作 PE⊥AP，交射线 DC 于点 E，射线 AE，BC 交于点 F，设 BP＝a. (1)当点 P 在线段 BC 上时(点 P 与点 B，C 都不重合)，试用含 a 的代数式表示 CE 的长；
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9．如图，在 4×4 的正方形方格纸中，小正方形的顶点称为格点， △ABC 的顶点都在格点上，则∠BAC 的余弦值是___2__5___． 5
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10．如图，网格中的每一个正方形的边长都是 1，△ABC 的每一 个顶点都在网格线的交点处，则 sinA＝____35____________.
【点拨】过点 B 作 BD⊥AC 于点 D，
∵AB＝ 12＋22＝ 5，BC＝3，AC＝ 22＋42＝2 5，
∴S△ABC＝12×3×2＝12×2
பைடு நூலகம்
5×BD，解得
BD＝3
5
5 .
35
在 Rt△ABD 中，sinA＝BADB＝
5 5
＝35.
全章整合与提升 11．在△ABC 中，AB＝ 2，AC＝ 10，tan C＝13，则∠ABC 的
全章整合与提升 【点拨】设 EF 交 AD 于 O，根据题意可知△AFO∽△ACD，OF ＝12EF＝30 cm，∴ODFC＝AAFC，∴D30C＝26.5，∴CD＝72 cm. ∵tanα＝52，∴ADDC＝52，∴AD＝52×72＝180(cm)．
【答案】B
全章整合与提升 8．某商场将一广告牌(AB)放置在商场大楼的顶部(如图所示)．小
全章整合与提升 ∵BP＝3，BC＝5，∴PC＝BC－BP＝2. ∴PF＝PC＋FC＝2＋3＝5. ∴PF＝AD. 又∵AD∥PF，∴四边形 APFD 是平行四边形． 在 Rt△APB 中，AB＝4，BP＝3，∠B＝90°， ∴AP＝5＝PF. ∴四边形 APFD 是菱形．
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(3)当 tan∠PAE＝12时，求 a 的值． 解：根据 tan∠PAE＝12易得APEP＝2. 易知△ABP∽△PCE，
∴DM＝111717. ∵CD＝ 10，
∴sin∠APD＝sin∠ECD＝DCMD ＝111717÷ 10＝11171070.
全章整合与提升 13．如图，某地有甲、乙两栋建筑物，小明于乙楼楼顶 A 点处看
甲楼楼底 D 点处的俯角为 45°，走到乙楼 B 点处看甲楼楼顶 E 点处的俯角为 30°，已知 AB＝6 m，DE＝10 m．求乙楼的 高度 AC.(参考数据： 2≈1.41， 3≈1.73，结果精确到 0.1 m)
的对边，若 3a＝4b，则 cosB 的值是( D )
A．53
B．35
C．54
D．45
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2．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝3，则下列结
论正确的是( D )
A．sin
A＝
5 2
C．sin A＝21313
B．cos A＝23 D．tan A＝255
全章整合与提升 3．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，a，b，c 分别是∠A，∠B，∠C
全章整合与提升 解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AB＝CD＝4，BC＝AD＝5，∠B＝∠BCD＝90°. ∵BP＝a，∴PC＝5－a. ∵AP⊥PE，∴∠APE＝90°. ∴∠APB＋∠CPE＝90°. ∵∠APB＋∠BAP＝90°，∴∠CPE＝∠BAP. ∴△ABP∽△PCE. ∴CBEP＝APCB. ∴CaE＝5－4 a，即 CE＝－a24＋5a.
度数为________． 【点拨】①∠ABC 是锐角时，如图①所示．过 A 作 AD⊥BC 于 D.
∵tan C＝13＝ACDD，∴可设 AD＝x，CD＝3x， 由勾股定理得 x2＋(3x)2＝( 10)2，解得 x＝1(负值已舍去)，
∴AD＝1.
∵sin∠ABC＝AADB＝
1＝ 2
22，∴∠ABC＝45°；
明在商场大楼的广场上的点 D 处，用 1 米高的测角仪 CD，从 点 C 测得广告牌的底部 B 的仰角为 37°，然后向商场大楼的正 方向走了 4 米到达点 F 处，又从点 E 测得广告牌的顶部 A 的 仰角为 45°.已知商场大楼高 BM＝17 米，且点 A，B，M 在同 一直线上，求广告牌 AB 的高度(结果精确到 0.1 米，参考数据：
C、D，AB 和 CD 相交于点 P，求 tan∠CPB 的值．小马同学 是这样解决的：连结格点 B、E 可得 BE∥CD，则∠ABE＝ ∠CPB，连结 AE，那么∠CPB 就变换到 Rt△ABE 中，则 tan∠CPB 的值为3____________________；
全章整合与提升 (2)如图②，在边长为 1 的正方形网格中，AB 和 CD 相交于点 P，
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②∠ABC 是钝角时，如图②所示． 过 A 作 AD⊥BC，交 CB 的延长线于点 D. 同①得，∠ABD＝45°，∴∠ABC＝135°. 综上所述，∠ABC 的度数为 45°或 135°.
【答案】45°或135°
全章整合与提升 12．(1)如图①，在边长为 1 的正方形网格中，连结格点 A、B 和
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(2)当 a＝3 时，试判断四边形 APFD 的形状，并说明理由； 解：四边形 APFD 是菱形．理由如下： 当 a＝3 时，CE＝－32＋4 5×3＝32. ∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AD∥BF.∴△AED∽△FEC.
∴AFDC＝DCEE.∴F5C＝4－3 32，∴FC＝3. 2
3≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)．
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解：如图，延长 CE 交 AM 于点 N，则∠ANC＝90°. 设 AB＝x 米，则 AN＝x＋(17－1)＝x＋16(米)， 在 Rt△AEN 中，∠AEN＝45°，∴EN＝AN＝(x＋16)米， 在 Rt△BCN 中，∠BCN＝37°，∴tan∠BCN＝BCNN≈0.75＝34， ∴x＋171－6＋1 4≈34，解得 x≈1.3，∴广告牌 AB 的高度约为 1.3 米．
的对边，a＝2 6，b＝6 2，解这个直角三角形．
解：由题意得 c＝ a2＋b2＝ （2 6）2＋（6 2）2＝ 96＝4 6. ∵sin A＝ac＝24 66＝12，∴∠A＝30°， ∴∠B＝90°－∠A＝60°.
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4．求下列各式的值： (1)12cos30°＋ 22cos45°＋sin60°·cos60°；