高三数学一轮复习第2篇第1节函数及其表示理

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新高考数学人教版一轮课件第二章第一节函数及其表示

2．设函数f(x)＝ ________．
2x，x＜2， x＋2x3，x≥2，
答案：(0,2)∪(3，＋∞)
若f(x0)＞1，则x0的取值范围是
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题型三分段函数多维探究
高考对分段函数的考查多以选择题、填空题的形式出现，试题难度一般较小．常见的命题角度有：(1)分段函数的函数求值问题；(2)分段函数的自变量求值问题；(3)分段函数与不等式问题.
考法(一) 分段函数求值问题
[例1] (1)已知函数f(x)＝floxg＋2x，3，x≥x＜6，6，则f(－1)的值为(
[例1] (多选题)(2021·深圳模拟)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标
均为整数的点称为整点，若函数f(x)的图象恰好经过n(n∈N*)个整点，则
称函数f(x)为n阶整点函数．给出下列函数：
其中是一阶整点函数的是( AD )
A．f(x)＝sin 2x
B．g(x)＝x3
C．h(x)＝13x
D．φ(x)＝ln x.
x＋1，－1＜x＜0， 2x，x≥0，
若实数
a满足f(a)＝f(a－1)，则f1a＝( A．2
) B．4
C．6
D．8
(2)设函数f(x)＝ ________．
x2－1，x≥2， log2x，0＜x＜2，
若f(m)＝3，则实数m的值为
[解析] (1)由题意得a≥0且－1＜a－1＜0，即0＜a＜1，由f(a)＝f(a－1)，即2a＝ a，解得a＝14，则f1a＝f(4)＝8. (2)当m≥2时，由m2－1＝3，得m2＝4，解得m＝2；当0＜m＜2时，由 log2m＝3，解得m＝23＝8(舍去)．综上所述，m＝2.

高三一轮总复习高效讲义第2章第1节函数的概念及其表示课件

解析：设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，又 f(0)＝c＝3．所以 f(x)＝ax2＋bx＋3，所以 f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3－(ax2＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2．所以44aa＝＋42， b＝2，所以ab＝＝－1，1，所以函数 f(x)的解析式为 f(x)＝x2－x＋3．答案：f(x)＝x2－x＋3
解：(1)(换元法)设 1－sin x＝t，t∈[0，2]，则 sin x＝1－t，∵f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x， ∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2]．即 f(x)＝2x－x2，x∈[0，2]． (2)(配凑法)∵fx＋1x ＝x2＋x12 ＝x＋1x 2 －2， ∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
(2)函数 f(x)＝l4osgin2xx，，xx>≤0，0，
则 f－5π4 ＝4sin
－5π4 ＝－4sin π＋π4
＝4sin
π 4
＝2
2
所以 ff－5π4 ＝f2
2 ＝log22
2
3 ＝log222
＝32
．
答案：(1)C (2)D
[思维升华] 分段函数的求值问题的解题思路 (1)求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现 f[f(a)]的形式时，应从内到外依次求值． (2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．
2
2．抽象函数的定义域的求法 (1)若已知函数 f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数 f(g(x))的定义域由 a≤g(x)≤b 求出； (2)若已知函数 f(g(x))的定义域为[a，b]，则 f(x)的定义域为 g(x)在 x∈[a，b]时的值域．

高三数学一轮复习第二篇函数导数及其应用第1节函数及其表示课件理

第二篇函数、导数及其应用(必修1、选修2-2)
六年新课标全国卷试题分析
高考考点、示例分布图
命题特点 1.高考在本篇一般命制 2～3 道小题,1 道解答题,分值占 22～27 分. 2.高考基础小题主要考查函数奇偶性的判断,比较大小,分段函数求值等. 3.高考综合性较强的小题考查导数、不等式以及函数的零点的综合等;考查数形结合的思想. 4.解答题一般都是两问的题目,第一问考查求曲线的切线方程,求函数的单调区间,由函数的极值点或已知曲线的切线方程求参数,属于基础问题.第二问利用导数证明不等式,不等式恒成立求参数的取值范围,求函数的零点等问题.考查函数的思想,转化的思想及分类讨论的思想.
x3
为( )
(A)(2,3)
(B)(2,4]
(C)(2,3)∪(3,4] (D)(-1,3)∪(3,6]
4 x 0,
解析:(1)依题意知

x2

5x

6

0,
x3
即
4 x 4, x 2,且x
3,
即函数的定义域为(2,3)∪(3,4].故选 C.
答案: (1)C
f(x)的
,显然,值域是集合B的子集,值函域数的
、值域和对应关系构成
了函数的定三义要域素.
2.函数的表示法
(1)基本表示方法: 解析法、图象法、列表法.
(2)分段函数:在定义域的不同范围内函数具有不同的解析式,这类函数称为
分段函数.分段函数是一个函数,分段函数的定义域是各段定义域的
段值域的
. 并集
知识链条完善把散落的知识连起来
【教材导读】 1.函数的值域是由函数的定义域、对应关系唯一确定的吗? 提示:是.函数的定义域和对应关系确定后函数的值域就确定了,在函数的三个要素中定义域和对应关系是关键. 2.分段函数是一个函数还是几个函数? 提示:是一个函数.只不过是在自变量不同的取值范围上,对应关系不同而已. 3.函数与映射之间有什么关系? 提示:函数是特殊的映射,映射是函数的推广,只有集合A,B为非空数集的映射才是函数.

高考数学全程一轮复习第二章函数第一节函数的概念及表示课件

第一节函数的概念及表示
课前自主预习案
课堂互动探究案
课前自主预习案
必备知识 1.函数的概念一般地，设A，B是非空的__实__数_集___，如果对于集合A中的___任_意____ 一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有_唯__一_确__定__的数y 和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝ f(x)，x∈A. 2．函数的三要素 (1)函数的三要素：__定_义__域___、_对_应__关__系__和__值__域____. (2)两个函数只有当__定__义_域___和_对_应__关__系__分别相同时，这两个函数才
问题思考·夯实技能【问题1】若两个函数的定义域和值域都相同，那么这两个函数是同一函数吗？请举例说明．
提示：不是．例如函数y＝x与函数y＝2x的定义域和值域都是R，但这两个函数不是同一函数．
【问题2】请你将函数f(x)＝|x＋1|用分段函数形式表示？并用图象法表示．
提示：f(x)＝ቊx−+x −1，1，x ≥x <−1−，1.
22，则f(f(1))＝(
)
A．2 C．4
B．3 D．5
答案：A
解析：当x＝1时，f(1)＝21＋1＝3，当x＝3时，f(3)＝|3－5|＝2，所以f(f(1))＝f(3) ＝2.
相同．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有解析式法、列表法、图象法． 4．分段函数在一个函数的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数．
【常用结论】 1．直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点． 2．几种常见函数的定义域 (1)f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合． (2)f(x)为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合． (3)f(x)为对数式时，函数的定义域是使真数为正数、底数为正且不为1的实数集合． (4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}． (5)f(x)为指数式时，函数的定义域是使底数大于0且不等于1的实数集合．

高三数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第1课时函数及其表示精品课件

结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．奇偶性
知识点
指数与指数函数
对数与对数函数
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1.了解指数函数模型的实际背景． 2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运
算．
3.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性与指数函数图象通过的特殊点．
4.知道指数函数是一类重要的函数模型．
• 4．函数的表示法：解析法、
图象法、列表法．
• 5．分段函数 • 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不
同的式子来表示．这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
1．函数y＝ x－1＋ln(2－x)的定义域是( )
• 1．求函数定义域的步骤
• 对于给出具体解析式的函数而言，函数的定义域就是使函数解析式有
意义的自变量x取值的集合，求解时一般是先寻找解析式中的限制条件，建立不等式，再解不等式求得函数定义域，当函数y＝f(x)由实际问题给出时，注意自变量x的实际意义．
• 2．求抽象函数的定义域时：
• (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出．
(3)在f(x)＝2f1x x－1中，用1x代替x，得f1x＝2f(x) 1x－1，将f1x＝2fxx－1代入f(x)＝2f1x x－1中，可求得f(x)＝23 x＋13.
• 【变式训练】 2.(1)已知f(1－cos x)＝sin2x，求f(x)； • (2)已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，试求f(x)的
知识点
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1.了解构成函数的要素；了解映射的概念．

高三数学一轮复习第二章函数第1课时函数的概念及其表示课件

x的取值范围A y＝f (x)，x∈A 与x的值相对应的y值的集合_{_f_(_x_)|_x_∈__A_}_A Nhomakorabea√B
C
D
√ √
点拨本例(1)考查对函数概念的理解，注意集合A中任意一个数x在集合B中都有唯一确定的数y与之对应；本例(2)特别注意(x－1)0中x－1≠0；本例(3)要注意 f (x)中的“x”与f (2x＋1)中“2x＋1”的范围一致．
√
√ √
考点三函数解析式的求法求函数解析式的常用方法 (1)待定系数法； (2)换元法； (3)配凑法； (4)构造方程组消元法．
√
4x＋1
x2＋2
11
考点四分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．提醒：(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数． (2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
√ √
√
考点二同一个函数如果两个函数的_定__义__域_相同，并且对__应__关__系__完全一致，即相同的自变量对应的
函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．
√
点拨判断两个函数是否为同一个函数的注意点：(1) f (x)与g(x)的(化简之前)定义域必须相同； (2) f (x)与g(x)的(化简之后)表达式必须相同； (3)二者缺一不可．
第二章函数
考点一函数的概念 1．函数的概念
概念
一般地，设A，B是非__空__的__实__数__集__，如果对于集合A中的任意一个数 x，按照某种确定的对应关系f ，在集合B中都有_唯__一__确__定__的__数__y_和它对应，那么就称f ：A→B为从集合A到集合B的一个函数

2023年高考数学一轮复习第二章函数1函数的概念及其表示练习含解析

函数的概念及其表示考试要求 1.了解函数的含义，会求简单函数的定义域和值域.2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用．知识梳理 1．函数的概念一般地，设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A . 2．函数的三要素(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数． 3．函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 4．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．常用结论1．直线x ＝a 与函数y ＝f (x )的图象至多有1个交点．2．在函数的定义中，非空数集A ，B ，A 即为函数的定义域，值域为B 的子集．3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数．( × ) (2)函数y ＝f (x )的图象可以是一条封闭曲线．( × ) (3)y ＝x 0与y ＝1是同一个函数．( × ) (4)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥0，x 2，x ＜0的定义域为R .( √ )教材改编题1．下列各曲线表示的y 与x 之间的关系中，y 不是x 的函数的是( )答案 C2．(多选)下列各组函数是同一个函数的是( ) A ．f (x )＝x 2－2x －1，g (s )＝s 2－2s －1B ．f (x )＝x －1，g (x )＝x 2－1x ＋1C ．f (x )＝x 2，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0D ．f (x )＝－x 3，g (x )＝x －x 答案 AC3．(2022·长沙质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤0，log 3x ，x >0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12等于( )A ．－1B ．2C.3D.12答案 D解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝log 312<0， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫f⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝31log 23＝12.题型一函数的定义域例1 (1)(2022·武汉模拟)函数f (x )＝1ln x ＋1＋4－x 2的定义域为( ) A ．[－2,0)∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2]答案 B解析要使函数有意义，则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x ＋1≠1，4－x 2≥0，解得－1<x ≤2且x ≠0，所以x ∈(－1,0)∪(0,2]．所以函数的定义域为(－1,0)∪(0,2]．(2)若函数f (x )的定义域为[0,2]，则函数f (x －1)的定义域为________．答案 [1,3]解析 ∵f (x )的定义域为[0,2]， ∴0≤x －1≤2，即1≤x ≤3， ∴函数f (x －1)的定义域为[1,3]．延伸探究将本例(2)改成“若函数f (x ＋1)的定义域为[0,2]”，则函数f (x －1)的定义域为________．答案 [2,4]解析 ∵f (x ＋1)的定义域为[0,2]， ∴0≤x ≤2， ∴1≤x ＋1≤3， ∴1≤x －1≤3， ∴2≤x ≤4，∴f (x －1)的定义域为[2,4]．教师备选1．(2022·西北师大附中月考)函数y ＝lg(x 2－4)＋x 2＋6x 的定义域是( ) A ．(－∞，－2)∪[0，＋∞) B ．(－∞，－6]∪(2，＋∞) C ．(－∞，－2]∪[0，＋∞) D ．(－∞，－6)∪[2，＋∞) 答案 B解析由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4>0，x 2＋6x ≥0，解得x >2或x ≤－6.因此函数的定义域为(－∞，－6]∪(2，＋∞)．2．已知函数f (x )＝x1－2x ，则函数f x －1x ＋1的定义域为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，－1)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)D ．(－∞，－1)∪(－1,1) 答案 D解析令1－2x>0，即2x<1，即x <0.∴f (x )的定义域为(－∞，0)．∴函数f x －1x ＋1中，有⎩⎪⎨⎪⎧x －1<0，x ＋1≠0，解得x <1且x ≠－1.故函数f x －1x ＋1的定义域为(－∞，－1)∪(－1,1)．思维升华 (1)求给定函数的定义域：由函数解析式列出不等式(组)使解析式有意义． (2)求复合函数的定义域①若f (x )的定义域为[m ，n ]，则在f (g (x ))中，由m ≤g (x )≤n 解得x 的范围即为f (g (x ))的定义域．②若f (g (x ))的定义域为[m ，n ]，则由m ≤x ≤n 得到g (x )的范围，即为f (x )的定义域．跟踪训练1 (1)函数f (x )＝11－4x2＋ln(3x －1)的定义域为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤13，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，14 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 答案 B解析要使函数f (x )＝11－4x2＋ln(3x －1)有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－4x 2>0，3x －1>0⇒13<x <12. ∴函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12. (2)已知函数f (x )的定义域为[－2,2]，则函数g (x )＝f (2x )＋1－2x的定义域为__________．答案 [－1,0]解析由条件可知，函数的定义域需满足⎩⎪⎨⎪⎧－2≤2x ≤2，1－2x≥0，解得－1≤x ≤0，所以函数g (x )的定义域是[－1,0]．题型二函数的解析式例2 (1)(2022·哈尔滨三中月考)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，则f (x )的解析式为________．答案 f (x )＝lg2x －1(x >1) 解析令2x＋1＝t (t >1)，则x ＝2t －1，所以f (t )＝lg 2t －1(t >1)，所以f (x )＝lg2x －1(x >1)． (2)已知y ＝f (x )是二次函数，若方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，则f (x )＝________. 答案 x 2＋2x ＋1解析设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ，∴2ax ＋b ＝2x ＋2，则a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝x 2＋2x ＋c ，又f (x )＝0，即x 2＋2x ＋c ＝0有两个相等实根． ∴Δ＝4－4c ＝0，则c ＝1. 故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(3)已知函数对任意的x 都有f (x )－2f (－x )＝2x ，则f (x )＝________. 答案 23x解析 ∵f (x )－2f (－x )＝2x ，① ∴f (－x )－2f (x )＝－2x ，② 由①②得f (x )＝23x .教师备选已知f (x )满足f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2x ，则f (x )＝________.答案－2x 3－43x解析 ∵f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2x ，①以1x代替①中的x ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －2f (x )＝2x，②①＋②×2得－3f (x )＝2x ＋4x，∴f (x )＝－2x 3－43x.思维升华函数解析式的求法(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；(4)解方程组法．跟踪训练2 (1)已知f (1－sin x )＝cos 2x ，则f (x )＝________. 答案－x 2＋2x ，x ∈[0,2] 解析令t ＝1－sin x ， ∴t ∈[0,2]，sin x ＝1－t ，∴f (t )＝1－sin 2x ＝1－(1－t )2＝－t 2＋2t ，t ∈[0,2]， ∴f (x )＝－x 2＋2x ，x ∈[0,2]．(2)(2022·黄冈质检)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x2＝x 4＋1x4，则f (x )＝__________.答案 x 2－2，x ∈[2，＋∞)解析 ∵f ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x22－2，∴f (x )＝x 2－2，x ∈[2，＋∞)．题型三分段函数例3 (1)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cosπx ，x ≤1，f x －1＋1，x >1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f⎝ ⎛⎭⎪⎫－43的值为( ) A.12B ．－12C ．－1D ．1 答案 D解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝f⎝ ⎛⎭⎪⎫43－1＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋1＝cosπ3＋1＝32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3＝cos2π3＝－12， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝32－12＝1.(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋3，x >0，x 2－4，x ≤0，若f (a )＝5，则实数a 的值是__________；若f (f (a ))≤5，则实数a 的取值范围是__________．答案 1或－3 [－5，－1]解析 ①当a >0时，2a＋3＝5，解得a ＝1；当a ≤0时，a 2－4＝5，解得a ＝－3或a ＝3(舍)．综上，a ＝1或－3.②设t ＝f (a )，由f (t )≤5得－3≤t ≤1. 由－3≤f (a )≤1，解得－5≤a ≤－1. 教师备选1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6，x >1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x <1，则f (f (2022))等于( )A ．－32B.22C.32D. 2 答案 B解析 f (2022)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2022π＋π6＝sin π6＝12，∴f (f (2022))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1212⎛⎫ ⎪⎝⎭＝22. 2．(2022·百校联盟联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≥0，－x 2，x <0，若对于任意的x ∈R ，|f (x )|≥ax ，则a ＝________. 答案 0解析当x ≥0时，|f (x )|＝x 3≥ax ，即x (x 2－a )≥0恒成立，则有a ≤0；当x <0时，|f (x )|＝x 2≥ax ，即a ≥x 恒成立，则有a ≥0，所以a ＝0.思维升华分段函数求值问题的解题思路(1)求函数值：当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．跟踪训练3 (1)(2022·河北冀州一中模拟)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x－3，x ≥1，x 2＋1，x <1.则f (f (－1))＝________，f (x )的最小值是________．答案 0 22－3 解析 ∵f (－1)＝2，∴f (f (－1))＝f (2)＝2＋22－3＝0，当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x－3≥22－3，当且仅当x ＝2时取等号，f (x )min ＝22－3，当x <1时，f (x )＝x 2＋1≥1，x ＝0时取等号， ∴f (x )min ＝1，综上有f (x )的最小值为22－3.(2)(2022·重庆质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >1，x 2－1，x ≤1，则f (x )<f (x ＋1)的解集为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞解析当x ≤0时，x ＋1≤1，f (x )<f (x ＋1)，等价于x 2－1<(x ＋1)2－1，解得－12<x ≤0；当0<x ≤1时，x ＋1>1，此时f (x )＝x 2－1≤0，f (x ＋1)＝log 2(x ＋1)>0，∴当0<x ≤1时，恒有f (x )<f (x ＋1)；当x >1时，f (x )<f (x ＋1)⇔log 2x <log 2(x ＋1)恒成立．综上知，不等式f (x )<f (x ＋1)的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.课时精练1．(2022·重庆模拟)函数f (x )＝3－xlg x的定义域是( ) A ．(0,3) B ．(0,1)∪(1,3) C ．(0,3] D ．(0,1)∪(1,3]答案 D解析 ∵f (x )＝3－xlg x，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≥0，lg x ≠0，x >0，解得0<x <1或1<x ≤3，故函数的定义域为(0,1)∪(1,3]．2．若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )答案 B解析 A 中函数定义域不是[－2,2]；C 中图象不表示函数；D 中函数值域不是[0,2]． 3．(2022·安徽江淮十校联考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －12，x <1，a x ，x ≥1，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝8，则a 等于( ) A.12 B.34 C ．1 D ．2答案 D解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝4×78－12＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝f (3)＝a 3，得a 3＝8，解得a ＝2.4．设函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝x ，则f (x )的表达式为( )A.1＋x1－x(x ≠－1) B.1＋xx －1(x ≠－1) C.1－x1＋x(x ≠－1) D.2xx ＋1(x ≠－1) 答案 C解析令t ＝1－x 1＋x ，则x ＝1－t1＋t ，∴f (t )＝1－t 1＋t ，即f (x )＝1－x1＋x(x ≠－1)．5．如图，点P 在边长为1的正方形的边上运动，M 是CD 的中点，当P 沿A －B －C －M 运动时，设点P 经过的路程为x ，△APM 的面积为y ，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )答案 A解析由题意可得y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，0≤x ＜1，34－x4，1≤x ＜2，54－12x ，2≤x ≤52.画出函数f (x )的大致图象，故选A.6．(多选)下列函数中，与y ＝x 是同一个函数的是( ) A ．y ＝3x 3B ．y ＝x 2C ．y ＝lg10xD ．y ＝10lg x答案 AC解析 y ＝x 的定义域为x ∈R ，值域为y ∈R ，对于A 选项，函数y ＝3x 3＝x 的定义域为x ∈R ，故是同一函数；对于B 选项，函数y ＝x 2＝||x ≥0，与y ＝x 的解析式、值域均不同，故不是同一函数；对于C 选项，函数y ＝lg10x＝x ，且定义域为R ，故是同一函数；对于D 选项，y ＝10lg x＝x 的定义域为(0，＋∞)，与函数y ＝x 的定义域不相同，故不是同一函数．7．(多选)(2022·张家界质检)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x ≤a ，2x，x >a ，若f (1)＝2f (0)，则实数a可以为( ) A ．－1B ．0C ．1D ．2 答案 AB 解析若a <0，则f (0)＝1，f (1)＝2，f (1)＝2f (0)成立；若0≤a <1，则f (0)＝1，f (1)＝2，f (1)＝2f (0)成立；若a ≥1，则f (0)＝1，f (1)＝0，f (1)＝2f (0)不成立．综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，1)．8．(多选)具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数满足“倒负”变换的函数的是( ) A ．f (x )＝x －1xB ．f (x )＝ln1－x1＋xC ．f (x )＝1ex x-D ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1答案 AD解析对于A ，f (x )＝x －1x，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足题意；对于B ，f (x )＝ln1－x1＋x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝ln x －1x ＋1≠－f (x )，不满足；对于C ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝111e xx -＝ex －1，－f (x )＝1ex x--≠f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，不满足；对于D ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )满足“倒负”变换，故选AD.9．已知f (x 5)＝lg x ，则f (100)＝________. 答案 25解析令x 5＝100，则x ＝15100＝2510， ∴f (100)＝25lg 10＝25.10．函数f (x )＝ln(x －1)＋4＋3x －x 2的定义域为________．答案 (1,4]解析依题意⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，4＋3x －x 2≥0，解得1<x ≤4，∴f (x )的定义域为(1,4]．11．(2022·广州质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2a x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，则实数a的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 解析 ∵当x ≥1时，f (x )＝ln x ≥ln1＝0，又f (x )的值域为R ，故当x <1时，f (x )的值域包含(－∞，0)．故⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，1－2a ＋3a ≥0，解得－1≤a <12.12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x <0，1，x >0，则不等式xf (x )＋x ≤2的解集是________．答案 [－2,0)∪(0,1] 解析当x <0时，f (x )＝x ，代入xf (x )＋x ≤2得x 2＋x －2≤0，解得－2≤x <0；当x >0时，f (x )＝1，代入xf (x )＋x ≤2，解得0<x ≤1. 综上有－2≤x ＜0或0＜x ≤1.13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ．(0，＋∞) C ．(－1,0) D ．(－∞，0)答案 D解析当x ≤0时，函数f (x )＝2－x是减函数，则f (x )≥f (0)＝1.作出f (x )的大致图象如图所示，结合图象知，要使f (x ＋1)＜f (2x )，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0，解得x <－1或－1≤x <0，即x <0.14．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋λ，x <1λ∈R，2x，x ≥1，若对任意的a ∈R 都有f (f (a ))＝2f (a )成立，则λ的取值范围是______．答案 [2，＋∞) 解析当a ≥1时，2a≥2. ∴f (f (a ))＝f (2a)＝22a＝2f (a )恒成立．当a <1时，f (f (a ))＝f (－a ＋λ)＝2f (a )＝2λ－a ，∴λ－a ≥1，即λ≥a ＋1恒成立，由题意λ≥(a ＋1)max ，∴λ≥2，综上，λ的取值范围是[2，＋∞)．15．(多选)若函数f (x )满足：对定义域内任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，有f (x 1)＋f (x 2)>2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，则称函数f (x )具有H 性质．则下列函数中具有H 性质的是( )A ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xB ．f (x )＝ln xC ．f (x )＝x 2(x ≥0) D ．f (x )＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x <π2 答案 ACD解析若对定义域内任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，有f (x 1)＋f (x 2)>2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，则点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))连线的中点在点⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22的上方，如图⎝⎛⎭⎪⎫其中a ＝f⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，b ＝f x 1＋f x 22.根据函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，f (x )＝ln x ，f (x )＝x 2(x ≥0)，f (x )＝tan x ⎝⎛⎭⎪⎫0≤x <π2的图象可知，函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，f (x )＝x 2(x ≥0)，f (x )＝tan x ⎝⎛⎭⎪⎫0≤x <π2具有H 性质，函数f (x )＝ln x 不具有H 性质．16．设f (x )是定义在R 上的函数，且f (x ＋2)＝2f (x )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，－1<x <0，b e 2x，0≤x ≤1，其中a ，b 为正实数，e 为自然对数的底数，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a b 的取值范围为________．答案 (2e ，＋∞)解析因为f (x ＋2)＝2f (x )，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋4＝(2)2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2e b ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋a ＝2(a －1)，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，所以2(a －1)＝2e b ，所以a ＝2e b ＋1，因为b 为正实数，所以a b＝2e b ＋1b＝2e ＋1b∈(2e ，＋∞)，故a b的取值范围为(2e ，＋∞)．。

新高考2023版高考数学一轮总复习第2章第1讲函数的概念及其表示课件

4．y＝ax(a>0 且 a≠1)的值域是___(0_，__＋__∞__)__.
5．y＝logax(a>0 且 a≠1)的值域是___R_.
1．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致．
2．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 3．与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点． 4．定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．
A→B
一个数x，在集合B中都有_唯__一__确__定____的数f(x)和它对应
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
记法
函数y＝f(x)，x∈A
2．函数的定义域、值域 (1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的 __定__义__域___ ；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 {f(x)|x∈A}叫做函数的_值__域____. (2)如果两个函数的定义域相同，并且_对__应__关__系____完全一致，则这两个函数为相等函数．
[解析] 依题意有08≤ －22xx>≤0，8，解得 0≤x<3， ∴g(x)的定义域为[0，3)．
[分析] 求抽象函数定义域的关键，f后面括号内部分取值范围相同．
[解析] 由函数 f(x)的定义域为(－1，0)，则使函数 f(2x＋1)有意义，需满足－1<2x＋1<0，解得－1<x<－12，即所求函数的定义域为－1，－21.
(3)(待定系数法)∵f(x)是一次函数，可设 f(x)＝ax＋b(a≠0)， ∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17. 即 ax＋(5a＋b)＝2x＋17， ∴a5＝ a＋2， b＝17，解得ab＝＝27，. ∴f(x)的解析式是 f(x)＝2x＋7.

高考数学一轮复习第2章函数的概念及基本初等函数(Ⅰ)第1节函数及其表示课件理新人教A版

●命题角度三分段函数与不等式问题
【例 4】 (2019 届湖北四地七校联考)已知函数 f(x)＝12x－7，x<0，
若
log2（x＋1），x≥0，
f(a)<1，则实数 a 的取值范围是( )
A．(－∞，－3)∪[0，1)
B．(－3，0)
C．(－3，1)
D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
[解析] 因为 f(a)<1，所以a12<0a，－7<1或alo≥g20（，a＋1）<1，得－3<a<0 或 0≤a<1.所以实数 a 的取值范围是(－3，1)，故选 C．
|跟踪训练|
1．(2019 届定州模拟)下列函数中，满足 f(x2)＝[f(x)]2 的是( )
A．f(x)＝ln x
B．f(x)＝|x＋1|
C．f(x)＝x3
D．f(x)＝ex
解析：选 C 对于函数 f(x)＝x3，有 f(x2)＝(x2)3＝x6，[f(x)]2＝(x3)2＝x6，所以 f(x2)＝[f(x)]2，
考点一函数解析式的求法【例 1】 (1)若 f1＋1x＝x12－1，则 f(x)＝________. (2)若 f(x)为有理函数，且 f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，则 f(x)＝________． (3)已知 f(x)＋2f1x＝x＋1，则 f(x)＝________．
[解析] (1)解法一(配凑法)：
考点二分段函数——多维探究高考对分段函数的考查多以选择题、填空题的形式出现，试题难度一般较小．常见的命题角度有：(1)分段函数求值问题；(2)分段函数的自变量求值问题；(3)分段函数与不等式问题．
●命题角度一分段函数求值问题
【例 2】 (2020 届成都摸底)已知函数 f(x)＝sinπx＋π6，x≤0，则 f(－2)＋f(1)＝ 2x＋1，x>0，

高考数学一轮复习第二章《函数》第一节函数的概念及其表示

BC
C
易错提醒本题在换元时容易忽视新元的取值范围致误.
关键能力·突破
考点一求函数的定义域
角度1 求给定解析式的函数的定义域
例1
角度2 求抽象函数的定义域
例2
C
B
迁移应用
B
考点二求函数的解析式
例3
迁移应用
B
考点三分段函数
角度1 分段函数的求值问题
例4
B
C
C
角度2 分段函数的值域问题
例5
D
D
方法感悟求分段函数的值域的方法（1）代数法：先分别求出每段函数的最值，再取其最大者为最大值，最小者为最小值，即可得到分段函数的值域.（2）几何法：作出分段函数的图象，根据图象即可得到分段函数的值域.
角度3 分段函数的不等式问题
例6
方法感悟涉及分段函数的不等式问题，主要表现为解不等式，当自变量取值不确定时，往往要分类讨论求解；当自变量取值确定，但分段函数中含有参数时，只需依据自变量的情况，直接代入相应解析式求解.
迁移应用
BD
自变量
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数.注意判断两个函数是不是同一个函数时，若解析式可以化简，则要注意化简过程的等价性.
解析法、列表法、图象法.
（2）相关概念：分段函数的定义域是各段定义域的______，值域是各段值域的______.分段函数虽由几个部分构成，但它表示的是一个函数，各部分函数的定义域不可以相交.注意一个分段函数的解析式要把每一段写在一个大括号内，各段函数的定义区间端点应不重不漏.
第二章函数
第一节函数的概念及其表示
必备知识·整合

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3.设函数 f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则 g(x)的表达式是( B ) (A)g(x)=2x+1 (B)g(x)=2x-1 (C)g(x)=2x-3 (D)g(x)=2x+7
解析:法一 ∵g(x+2)=2x+3=2(x+2)-1, ∴g(x)=2x-1. 法二 ∵g(x+2)=2x+3,令 t=x+2,则 x=t-2. ∴g(t)=2(t-2)+3=2t-1. ∴g(x)=2x-1.
⑤若
f(x)=
x
1 x2
1 x
1 x 1,
1或x 1,
则
f(-x)=
1 x
x2
1
x
1 x 1,
1或x 1.
其中真命题有
.(写出所有真命题的序号).
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解析:①正确,但映射不一定是函数,②不正确,如函数 y=x 与 y=x+1,其定义域与值域完全相同,但不是相等函数,③正确,f(x)是定义域为{1}, 值域为{0}的函数,④不正确,函数 y=2x(x∈N)的图象是分布在射线 y=2x(x≥0)上的无数个孤立的点.⑤正确,当-1≤x≤1 时,-1≤-x≤1,
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4.(2014
西安模拟)已知函数
f(x)=
4x
,
x
1,
若
f(x)=2,则
x, x 1,
x=
.
解析:当 x≤1 时,由 4x=2,得 x= 1 ; 2
当 x>1 时,由-x=2,得 x=-2<1,舍去.
∴x= 1 . 2
答案: 1 2
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5.给出下列命题: ①函数是其定义域到值域的映射. ②若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数是相等函数. ③f(x)= x 1 + 1 x 是函数. ④函数 y=2x(x∈N)的图象是一条直线.
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3.映射设A,B都是非空的集合,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射.
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基础自测
1.下列各图中,可表示函数 y=f(x)的图象的只可能是( D )
解析:根据函数的定义,对定义域内的任意一个 x 必有唯一的 y 值和它对应.
与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做
函数f(x)的值域 ,显然,值域是集合B的子集,函数的定义域、
值域和对应关系构成了函数的三要素.
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质疑探究:函数的值域是由函数的定义域、对应关系唯一确定的吗? (提示:是.函数的定义域和对应关系确定后函数的值域就确定了, 在函数的三个要素中定义域和对应关系是关键) 2.函数的表示法 (1)基本表示方法: 解析法、图象法、列表法. (2)分段函数:在定义域的不同范围内函数具有不同的解析式, 这类函数称为分段函数 .分段函数是一个函数,分段函数的定义域是各段定义域的并集 ,值域是各段值域的并集 .
第二篇函数、导数及其应用(必修1、选修2-2)
第1节函数及其表示
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最新考纲 1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念. 2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象
法、列表法、解析法)表示函数. 3.了解简单的分段函数, 并能简单应用(函数分段不超过三段).
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2.(2014 高考江西卷)函数 f(x)=ln(x2-x)的定义域为( C )
(A)(0,1)
(B)[0,1]
(C)(-∞,0)∪(1,+∞) (D)(-∞,0]∪[1,+∞)
解析:由题意可得 x2-x>0, 解得 x>1 或 x<0, 所以所求函数的定义域为(-∞,0)∪(1,+∞). 故选 C.
同,选项
B
中,由
x x
1 1
0, 0,
得
f(x)的定义域为{x|x≥1},由
x2-1≥0,
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编写意图函数的概念及其表示是研究函数性质与应用的基础,高考中常以基本初等函数为载体,考查函数的定义域、值域、解析式的求法,考查分段函数的求值、解方程、解不等式、最值等问题.本节围绕高考命题的规律进行设点选题.重点突出函数与映射概念的理解. 函数解析式的求法,待定系数法、换元法与方程思想的应用,难点突破分段函数及应用,分类讨论思想、数形结合思想,函数与方程思想的应用,思想方法栏目进一步凸显了分类讨论思想在分段函数问题中的应用.
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夯基固本
考点突破
思想方法
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夯基固本
知识梳理
抓主干固双基
1.函数的概念
设A,B都是非空的数集 ,如果按照某种确定的对应关系f,使对于
集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对
应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),
x∈A,其中x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数f(x)的定义域 ,
f(-x)= 1 x2 = 1 x2 ;当 x>1 或 x<-1 时,-x>1 或-x<-1,
f(-x)=-x+1.
答案:①③⑤
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考点突破
剖典例找规律
考点一函数与映射的概念
【例 1】 (1)下列四组函数中,表示相等函数的是( )
(A)f(x)= x2 ,g(x)=( x )2 (B)f(x)= x 1 · x 1 ,g(x)= x2 1 (C)f(x)=2lg x,g(x)=lg x2
1, x 1, (D)f(x)= 2,1 x 2,
3, x 2,
x
x≤1
1<x<2
x≥2
g(x)
1
2
3
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(2)有以下判断:
①f(x)=
x x
与
g(x.
②函数 y=f(x)的图象与直线 x=1 的交点最多有 1 个.
③f(x)=x2-2x+1 与 g(t)=t2-2t+1 是相等函数.
④若
f(x)=|x-1|-|x|,则
f
f
1 2
=0.
其中正确判断的序号是
.
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(3)已知
f:x→-sin
x
是集合
A(A⊆
[0,2π])到集合
B=
0,
1 2
的
一个映射,则集合 A 中的元素个数最多有( )
(A)4 个 (B)5 个 (C)6 个 (D)7 个
解析:(1)选项 A 中,f(x)=|x|(x∈R),g(x)=x(x≥0),两函数定义域不