高三数学一轮复习 第2篇 第1节 函数及其表示 理

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3.设函数 f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则 g(x)的表达式是( B ) (A)g(x)=2x+1 (B)g(x)=2x-1 (C)g(x)=2x-3 (D)g(x)=2x+7
解析:法一 ∵g(x+2)=2x+3=2(x+2)-1, ∴g(x)=2x-1. 法二 ∵g(x+2)=2x+3,令 t=x+2,则 x=t-2. ∴g(t)=2(t-2)+3=2t-1. ∴g(x)=2x-1.
与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做
函数f(x)的 值域 ,显然,值域是集合B的子集,函数的 定义域 、
值域和对应关系构成了函数的三要素.
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质疑探究:函数的值域是由函数的定义域、对应关系唯一确定 的吗? (提示:是.函数的定义域和对应关系确定后函数的值域就确定了, 在函数的三个要素中定义域和对应关系是关键) 2.函数的表示法 (1)基本表示方法: 解析法 、图象法、列表法. (2)分段函数:在定义域的不同范围内函数具有不同的解析式, 这类函数称为 分段函数 .分段函数是一个函数,分段函数的定 义域是各段定义域的 并集 ,值域是各段值域的 并集 .
④若
f(x)=|x-1|-|x|,则
f
f
1 2
=0.
其中正确判断的序号是
.
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(3)已知
f:x→-sin
x
是集合
A(A⊆
[0,2π])到集合
B=
0,
1 2
的
一个映射,则集合 A 中的元素个数最多有( )
(A)4 个 (B)5 个 (C)6 个 (D)7 个
解析:(1)选项 A 中,fห้องสมุดไป่ตู้x)=|x|(x∈R),g(x)=x(x≥0),两函数定义域不
f(-x)= 1 x2 = 1 x2 ;当 x>1 或 x<-1 时,-x>1 或-x<-1,
f(-x)=-x+1.
答案:①③⑤
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考点突破
剖典例 找规律
考点一 函数与映射的概念
【例 1】 (1)下列四组函数中,表示相等函数的是( )
(A)f(x)= x2 ,g(x)=( x )2 (B)f(x)= x 1 · x 1 ,g(x)= x2 1 (C)f(x)=2lg x,g(x)=lg x2
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3.映射 设A,B都是非空的集合,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集 合A中的任意一个元素x,在集合B中都有 唯一确定 的元素y与之 对应,那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射.
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基础自测
1.下列各图中,可表示函数 y=f(x)的图象的只可能是( D )
解析:根据函数的定义,对定义域内的任意一个 x 必有唯一 的 y 值和它对应.
同,选项
B
中,由
x x
1 1
0, 0,
得
f(x)的定义域为{x|x≥1},由
x2-1≥0,
⑤若
f(x)=
x
1 x2
1 x
1 x 1,
1或x 1,
则
f(-x)=
1 x
x2
1
x
1 x 1,
1或x 1.
其中真命题有
.(写出所有真命题的序号).
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解析:①正确,但映射不一定是函数,②不正确,如函数 y=x 与 y=x+1,其 定义域与值域完全相同,但不是相等函数,③正确,f(x)是定义域为{1}, 值域为{0}的函数,④不正确,函数 y=2x(x∈N)的图象是分布在射线 y=2x(x≥0)上的无数个孤立的点.⑤正确,当-1≤x≤1 时,-1≤-x≤1,
第二篇 函数、导数及其应用(必修1、 选修2-2)
第1节 函数及其表示
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最新考纲 1.了解构成函数的要素,会求一 些简单函数的定义域和值域;了 解映射的概念. 2.在实际情境中,会根据不同的 需要选择恰当的方法(如图象
法、列表法、解析法)表示 函数. 3.了解简单的分段函数, 并能简单应用(函数分段 不超过三段).
1, x 1, (D)f(x)= 2,1 x 2,
3, x 2,
x
x≤1
1<x<2
x≥2
g(x)
1
2
3
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(2)有以下判断:
①f(x)=
x x
与
g(x)=
1, x 1,
x
0, 0
表示相等函数.
②函数 y=f(x)的图象与直线 x=1 的交点最多有 1 个.
③f(x)=x2-2x+1 与 g(t)=t2-2t+1 是相等函数.
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夯基固本
考点突破
思想方法
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夯基固本
知识梳理
抓主干 固双基
1.函数的概念
设A,B都是非空的 数集 ,如果按照某种确定的对应关系f,使对于
集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对
应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),
x∈A,其中x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数f(x)的 定义域 ,
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2.(2014 高考江西卷)函数 f(x)=ln(x2-x)的定义域为( C )
(A)(0,1)
(B)[0,1]
(C)(-∞,0)∪(1,+∞) (D)(-∞,0]∪[1,+∞)
解析:由题意可得 x2-x>0, 解得 x>1 或 x<0, 所以所求函数的定义域为(-∞,0)∪(1,+∞). 故选 C.
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4.(2014
西安模拟)已知函数
f(x)=
4x
,
x
1,
若
f(x)=2,则
x, x 1,
x=
.
解析:当 x≤1 时,由 4x=2,得 x= 1 ; 2
当 x>1 时,由-x=2,得 x=-2<1,舍去.
∴x= 1 . 2
答案: 1 2
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5.给出下列命题: ①函数是其定义域到值域的映射. ②若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数是相等函数. ③f(x)= x 1 + 1 x 是函数. ④函数 y=2x(x∈N)的图象是一条直线.
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编写意图 函数的概念及其表示是研究函数性质与应用的基础,高 考中常以基本初等函数为载体,考查函数的定义域、值域、解析式的 求法,考查分段函数的求值、解方程、解不等式、最值等问题.本节 围绕高考命题的规律进行设点选题.重点突出函数与映射概念的理解. 函数解析式的求法,待定系数法、换元法与方程思想的应用,难点突 破分段函数及应用,分类讨论思想、数形结合思想,函数与方程思想 的应用,思想方法栏目进一步凸显了分类讨论思想在分段函数问题中 的应用.