解析几何100题经典大题汇编
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距离 多 1 。即动点 P 到点 F (2,0) 的距离等于它到直线 x = −2 的距离 则 ( x − 2) 2 + y 2 =| x + 2 |
3
π
两边平方 ( x − 2) 2 + y 2 = ( x + 2) 2 化简可得： y 2 = 8 x （II）如图,作 AC ⊥ l , BD ⊥ l 设 A , B 的横坐标分别为 x A , xB 则 | FA |=| AC |= x A + C
∴ Δ＝ （2km）2－4（k2＋2）（m2－1） ＝4（k2－2m2＋2）>0 （*）
x1＋x2＝
－2km m －1 ， x1x2＝ 2 2 k ＋2 k ＋2
A A A E E
…7 分
2
………8 分
∵ AP ＝3 ∴－x1＝3x2 ∴
−2 x2 x1 + x2 =
2 x1 x2 = −3 x2
4
p2 > 0. （不写，不扣分） 4 p2 由韦达定理， x1 + x 2 = 3 p, x1 x 2 = . ．……………………………3 分 4 p p 由抛物线的定义， | AB |= ( x1 + ) + ( x 2 + ) = 3 p + p = 4 p. 2 2 2 从而 4 p = 8,2 p = 4. 所求抛物的方程为 y = 4 x. ．…………………6 分 （2），易得 y1 y 2 = − p 2 , y1 + y 2 = 2 p. ．……………………………7 分
y
A
p 2
α
B F
D p p =| FA | cos α + + B 2 2 =| FA | cos α + 4 4 解得 | FA |= 1 − cos α 同理 | FB |= 4− | FB | cos α 4 解得 | FB |= 1 + cos α 记 m 与 AB 的交点为 E 1 1 4 4 ) − | FE |=| FA | − | AE | =| FA | − | AB | = ( 2 1 − cos α 1 + cos α 2 4 cos α = sin 2 α | FE | 4 ∴| FP |= = cos α sin 2 α 4 故 | FP | − | FP | ⋅ cos 2α = (1 − cos 2α ) = 8 sin 2 α 【山东省苍山县 2014 届高三上学期期末检测理】22．（本题满分 14 分） 如图，斜率为 1 的直线 l 过抛物线 Ω : y= 2 px( p > 0) 的焦点 F，与抛物线交于两点 A， B。 （1）若|AB|=8，求抛物线 Ω 的方程； （2）设 P 是抛物线 Ω 上异于 A，B 的任意一点，直线 PA，PB 分别交抛物线的准线于 M， N 两点，证明 M，N 两点的纵坐标之积为定值（仅与 p 有关）。
所以可设双曲线的方程是
2a 2 4a 2 x x = , . ①[来源:学科网 ZXXK] 1 2 a2 − 3 a2 − 3 由已知， D (0, a ) ，因为 DA = ( 3 − 2) DB ， 设A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ), 则x1 + x 2 =
所以可得 x1 = ( 3 − 2) x 2 . ②…………10 分
＝ 2 ， 2 ∴a＝1，b＝c＝ 2 2
2
…………………3 分
故 C 的方程为：y ＋ ＝1 1 2 （2）当直线斜率不存在时： m = ±
x2
…………4 分
1 2
…………5 分
当直线斜率存在时：设 l 与椭圆 C 交点为 A（x 1，y1），B（x2，y2）
y kx + m = 2 2 2 得（k ＋2）x ＋2kmx＋（m －1）＝0………6 分 ∴ 2 2 1 2 x + y =
5 4
x2 ∴所求椭圆的方程为： + y2 = 1 2
5 ⑵设直线 l 的方程为：y=k（x-1）A(x1，y1) ,B(x2，y2)，M( ,0)[来源:学科网 ZXXK] 4
5
x2 2 1 +y = 联立 2 消去y得：（ 1 + 2k 2）x 2 - 4k 2 x + 2k 2 - 2 = 0 y=k ( x-1)
综上 m 的取值范围为 − 1 ≤ m < −
1 1 或 < m ≤ 1 ………………12 分 2 2
【山东省济南一中 2014 届高三上学期期末理】21. （本小题满分 12 分）已知椭圆 E 的长轴 的一个端点是抛物线 y 2 = 4 5 x 的焦点，离心率是 （1）求椭圆 E 的方程； （2）过点 C（—1，0），斜率为 k 的动直线与椭圆 E 相交于 A、B 两点，请问 x 轴上是否存 在点 M，使 MA ⋅ MB 为常数？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由。 【 答 案 】 21. 解 ： （ 1 ） 根 据 条 件 可 知 椭 圆 的 焦 点 在
解析几何解答题100题精选
【山东省滕州二中 2014 届高三上学期期中理】22: （本小题满分 14 分）如图, F 为双曲线
C:
x2 y2 − = 1(a > 0, b > 0) 的右焦点, P 为双曲线 C 在第一象限内的一点, M 为左准线上 a2 b2
（Ⅰ）推导双曲线 C 的离心率 e 与 λ 的关系式； （Ⅱ）当 λ = 1 时, 经过点 (1,0) 且斜率为 − a 的 直线交双曲线于 A, B 两点, 交 y 轴于点 D , 且
2
－2km 2 m －1 2 消去 x2，得 3（x1＋x2） ＋4x1x2＝0，∴3（ 2 ） ＋4 2 ＝0………9 分 k ＋2 k ＋2 整理得 4k m ＋2m －k －2＝0
2 2 2 2
m2＝ 时，上式不成立；m2≠ 时，k2＝
2
1 4
1 4
2－2m ， 2 4m －1
A E
2
………10 分
6 3
x 轴 ， 且
a = 5, 又c = ea =
6 30 = b ,故 × 5= 3 3
a2 − c2
………………3 分
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= 5−
10 5 x2 y 2 = , 故所求方程为 + = 1, 即 x 2 + 3 y 2 = 5 5 3 3 5 3
（2）假设存在点 M 符合题意，设 AB： y = k ( x + 1), 代入 E : x 2 + 3 y 2 = 5 得：
2－2m 1 1 2 ∴k ＝ 2 ≥ 0，∴ − 1 ≤ m < − 或 < m ≤ 1 4m －1 2 2 2－2m 1 1 2 代入（*）得 − 1 < m < − 或 < m < 1 把k＝ 2 4m －1 2 2 ∴ −1 < m < −
2
1 1 或 < m <1 2 2
2
…………11 分
) 的直线与曲线 C 交于 A, B 两点，线段 AB 的 2 垂直平分线 m 交 x 轴于点 P ，证明： | FP | − | FP | ⋅ cos 2α 为定值，并求出此定值. 【答案】23、解:（I）设动点 P ( x, y ) ，动点 P 到点 F (2,0) 的距离比它到直线 x = −1 的
(3k 2 + 1) x 2 + 6k 2 x + 3k 2 − 5 = 0
………………4 分
设A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ), M (m,0) 则 x1 + x 2 = −
6k 2 3k 2 − 5 x x = , 1 2 3k 2 + 1 3k 2 + 1
………6 分
uuu r uuu r 1 6m + 14 MA ⋅ MB = (k 2 + 1) x1 x2 + (k 2 − m)( x1 + x1 ) + k 2 + m 2 = m 2 + 2m − − ……10 分 3 3(3k 2 + 1)
由题意，判别式 ∆ = ( −3 p ) − 4 ⋅
2
设 P ( x0 , y 0 ) 。将 x 0 = 得 PA : y − y 0 =
2 y − y0 y0 y2 ( x − x0 ), , x1 = 1 代入直线 PA 的方程 y − y 0 = 1 x1 − x0 2p 2p
2p ( x − x0 ). ．……………………………9 分[来源:学科网 ZXXK] y1 + y 0 2p 同理直线 PB 的方程为 y − y 0 = ( x − x0 ) ．……………… 10 分 y2 + y0 p 将 x = − 代入直线 PA，P B 的方程得 2 y0 y2 − p 2 y 0 y1 − p 2 , yN = . ．……………………………12 分 yM = y2 + y0 y1 + y 0
2
P m
x
【答案】22．解：设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ), （1）由条件知直线 l : y = x −
p . ．……1 分 2
p p2 y = x − , 由 = 0. …………2 分 2 消去 y，得 x 2 − 3 px + 4 2 y = 2 px
2a 2 ). ∴ e 2 − λe − 2 = 0. ………………6 分 c （Ⅱ）当 λ = 1 时,得 e = 2,∴ c = 2a, b = 3a.
即 λ ⋅ c = e(c −
x2 y2 − = 1 ,…8 分 a 2 3a 2 设 直 线 AB 的 方 程 是 y = − a ( x − 1), 与 双 曲 线 方 程 联 立 得: (3 − a 2 ) x 2 + 2a 2 x − 4a 2 = 0. 由 ∆ = 4a 4 + 16a 2 (3 − a 2 ) > 0 得 0 < a < 2 .
要使上式与 K 无关，则有 6m + 14 = 0, ，解得 m = −
7 7 ，存在点 M (− ,0) 满足题意。12 分 3 3
【山东省济宁市金乡二中 2014 届高三 11 月月考理】23、 （本小题满分 12 分）[来源:学科网] 已知曲线 C 上的动点 P 到点 F (2,0) 的距离比它到直线 x = −1 的距离大 1 . （I）求曲线 C 的方程； （II）过点 F (2,0) 且倾斜角为 α (0 < α <
2 2 ， 椭圆上的点到焦点的最短距离为 1 − , 直线 l 与 y 轴交于点 P （0， 2 2
1
m），与椭圆 C 交于相异两点 A、B，且 AP = 3PB .
（1）求椭圆方程； （2）求 m 的取值范围．
y2 x2 2 c 2 2 2 【答案】21. 解： （1）设 C： 2＋ 2＝1（a>b>0），设 c>0，c ＝a －b ，由条件知 a-c＝ ， a b 2 a
2a 2 4a 2 2 ， , ( 3 − 2 ) x = 2 a2 − 3 a2 − 3 消去 x 2 得 a 2 = 2, 符合 ∆ > 0 ，
由①②得 ( 3 − 1) x 2 = 所以双曲线的方程是
x2 y2 − = 1 ………………14 分 2 6
【山东济南市 2014 界高三下学期二月月考理】已知椭圆 C 的中心为坐标原点 O，焦点在 y 轴上， 离心率 e =
一点, O 为坐标原点, MP = OF , PF = λ OF .
y M
O
P F
DA = ( 3 − 2) DB ，求双曲线的方程.
【答案】22: 解：(Ⅰ)Q MP = OF , ∴ OFPM 为平行四边形. 设 l 是双曲 线的右准线,且与 PM 交于 N 点, OF = c ,
x
Q PF = e PN , PF = λ OF , OF = PM , ∴ λ OF = e PN = e( PM − MN ).
【山东省淄博市第一中学2014届高三第一学期期中理】22、（满分14分） 已知点 F1 , F2 分别为椭圆 C :
x2 y2 + = 1(a > b > 0) 的左、右焦点，点 P 为椭圆上任意 a2 b2
一点， P 到焦点 F2 的距离的最大值为 2 + 1 ，且 ∆PF1 F2 的最大面积为 1 （1）求椭圆 C 的方程。 （2）点 M 的坐标为 ( ,0) ，过点 F2 且斜率为 k 的直线 L 与椭圆 C 相交于 A, B 两点。对 于任意的 k ∈ R, MA • MB 是否为定值？若是求出这个定值；若不是说明理由。 1 2 2 2[来源:学科网 ZXXK] 【答案】22.解：⑴由题意可知：a+c= 2 +1 ， ×2c×b=1,有∵a =b +c 2 2 2 2 ∴a =2, b =1, c =1
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π
两边平方 ( x − 2) 2 + y 2 = ( x + 2) 2 化简可得： y 2 = 8 x （II）如图,作 AC ⊥ l , BD ⊥ l 设 A , B 的横坐标分别为 x A , xB 则 | FA |=| AC |= x A + C
∴ Δ＝ （2km）2－4（k2＋2）（m2－1） ＝4（k2－2m2＋2）>0 （*）
x1＋x2＝
－2km m －1 ， x1x2＝ 2 2 k ＋2 k ＋2
A A A E E
…7 分
2
………8 分
∵ AP ＝3 ∴－x1＝3x2 ∴
−2 x2 x1 + x2 =
2 x1 x2 = −3 x2
4
p2 > 0. （不写，不扣分） 4 p2 由韦达定理， x1 + x 2 = 3 p, x1 x 2 = . ．……………………………3 分 4 p p 由抛物线的定义， | AB |= ( x1 + ) + ( x 2 + ) = 3 p + p = 4 p. 2 2 2 从而 4 p = 8,2 p = 4. 所求抛物的方程为 y = 4 x. ．…………………6 分 （2），易得 y1 y 2 = − p 2 , y1 + y 2 = 2 p. ．……………………………7 分
y
A
p 2
α
B F
D p p =| FA | cos α + + B 2 2 =| FA | cos α + 4 4 解得 | FA |= 1 − cos α 同理 | FB |= 4− | FB | cos α 4 解得 | FB |= 1 + cos α 记 m 与 AB 的交点为 E 1 1 4 4 ) − | FE |=| FA | − | AE | =| FA | − | AB | = ( 2 1 − cos α 1 + cos α 2 4 cos α = sin 2 α | FE | 4 ∴| FP |= = cos α sin 2 α 4 故 | FP | − | FP | ⋅ cos 2α = (1 − cos 2α ) = 8 sin 2 α 【山东省苍山县 2014 届高三上学期期末检测理】22．（本题满分 14 分） 如图，斜率为 1 的直线 l 过抛物线 Ω : y= 2 px( p > 0) 的焦点 F，与抛物线交于两点 A， B。 （1）若|AB|=8，求抛物线 Ω 的方程； （2）设 P 是抛物线 Ω 上异于 A，B 的任意一点，直线 PA，PB 分别交抛物线的准线于 M， N 两点，证明 M，N 两点的纵坐标之积为定值（仅与 p 有关）。
所以可设双曲线的方程是
2a 2 4a 2 x x = , . ①[来源:学科网 ZXXK] 1 2 a2 − 3 a2 − 3 由已知， D (0, a ) ，因为 DA = ( 3 − 2) DB ， 设A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ), 则x1 + x 2 =
所以可得 x1 = ( 3 − 2) x 2 . ②…………10 分
＝ 2 ， 2 ∴a＝1，b＝c＝ 2 2
2
…………………3 分
故 C 的方程为：y ＋ ＝1 1 2 （2）当直线斜率不存在时： m = ±
x2
…………4 分
1 2
…………5 分
当直线斜率存在时：设 l 与椭圆 C 交点为 A（x 1，y1），B（x2，y2）
y kx + m = 2 2 2 得（k ＋2）x ＋2kmx＋（m －1）＝0………6 分 ∴ 2 2 1 2 x + y =
5 4
x2 ∴所求椭圆的方程为： + y2 = 1 2
5 ⑵设直线 l 的方程为：y=k（x-1）A(x1，y1) ,B(x2，y2)，M( ,0)[来源:学科网 ZXXK] 4
5
x2 2 1 +y = 联立 2 消去y得：（ 1 + 2k 2）x 2 - 4k 2 x + 2k 2 - 2 = 0 y=k ( x-1)
综上 m 的取值范围为 − 1 ≤ m < −
1 1 或 < m ≤ 1 ………………12 分 2 2
【山东省济南一中 2014 届高三上学期期末理】21. （本小题满分 12 分）已知椭圆 E 的长轴 的一个端点是抛物线 y 2 = 4 5 x 的焦点，离心率是 （1）求椭圆 E 的方程； （2）过点 C（—1，0），斜率为 k 的动直线与椭圆 E 相交于 A、B 两点，请问 x 轴上是否存 在点 M，使 MA ⋅ MB 为常数？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由。 【 答 案 】 21. 解 ： （ 1 ） 根 据 条 件 可 知 椭 圆 的 焦 点 在
解析几何解答题100题精选
【山东省滕州二中 2014 届高三上学期期中理】22: （本小题满分 14 分）如图, F 为双曲线
C:
x2 y2 − = 1(a > 0, b > 0) 的右焦点, P 为双曲线 C 在第一象限内的一点, M 为左准线上 a2 b2
（Ⅰ）推导双曲线 C 的离心率 e 与 λ 的关系式； （Ⅱ）当 λ = 1 时, 经过点 (1,0) 且斜率为 − a 的 直线交双曲线于 A, B 两点, 交 y 轴于点 D , 且
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－2km 2 m －1 2 消去 x2，得 3（x1＋x2） ＋4x1x2＝0，∴3（ 2 ） ＋4 2 ＝0………9 分 k ＋2 k ＋2 整理得 4k m ＋2m －k －2＝0
2 2 2 2
m2＝ 时，上式不成立；m2≠ 时，k2＝
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2－2m ， 2 4m －1
A E
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………10 分
6 3
x 轴 ， 且
a = 5, 又c = ea =
6 30 = b ,故 × 5= 3 3
a2 − c2
………………3 分
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= 5−
10 5 x2 y 2 = , 故所求方程为 + = 1, 即 x 2 + 3 y 2 = 5 5 3 3 5 3
（2）假设存在点 M 符合题意，设 AB： y = k ( x + 1), 代入 E : x 2 + 3 y 2 = 5 得：
2－2m 1 1 2 ∴k ＝ 2 ≥ 0，∴ − 1 ≤ m < − 或 < m ≤ 1 4m －1 2 2 2－2m 1 1 2 代入（*）得 − 1 < m < − 或 < m < 1 把k＝ 2 4m －1 2 2 ∴ −1 < m < −
2
1 1 或 < m <1 2 2
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…………11 分
) 的直线与曲线 C 交于 A, B 两点，线段 AB 的 2 垂直平分线 m 交 x 轴于点 P ，证明： | FP | − | FP | ⋅ cos 2α 为定值，并求出此定值. 【答案】23、解:（I）设动点 P ( x, y ) ，动点 P 到点 F (2,0) 的距离比它到直线 x = −1 的
(3k 2 + 1) x 2 + 6k 2 x + 3k 2 − 5 = 0
………………4 分
设A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ), M (m,0) 则 x1 + x 2 = −
6k 2 3k 2 − 5 x x = , 1 2 3k 2 + 1 3k 2 + 1
………6 分
uuu r uuu r 1 6m + 14 MA ⋅ MB = (k 2 + 1) x1 x2 + (k 2 − m)( x1 + x1 ) + k 2 + m 2 = m 2 + 2m − − ……10 分 3 3(3k 2 + 1)
由题意，判别式 ∆ = ( −3 p ) − 4 ⋅
2
设 P ( x0 , y 0 ) 。将 x 0 = 得 PA : y − y 0 =
2 y − y0 y0 y2 ( x − x0 ), , x1 = 1 代入直线 PA 的方程 y − y 0 = 1 x1 − x0 2p 2p
2p ( x − x0 ). ．……………………………9 分[来源:学科网 ZXXK] y1 + y 0 2p 同理直线 PB 的方程为 y − y 0 = ( x − x0 ) ．……………… 10 分 y2 + y0 p 将 x = − 代入直线 PA，P B 的方程得 2 y0 y2 − p 2 y 0 y1 − p 2 , yN = . ．……………………………12 分 yM = y2 + y0 y1 + y 0
2
P m
x
【答案】22．解：设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ), （1）由条件知直线 l : y = x −
p . ．……1 分 2
p p2 y = x − , 由 = 0. …………2 分 2 消去 y，得 x 2 − 3 px + 4 2 y = 2 px
2a 2 ). ∴ e 2 − λe − 2 = 0. ………………6 分 c （Ⅱ）当 λ = 1 时,得 e = 2,∴ c = 2a, b = 3a.
即 λ ⋅ c = e(c −
x2 y2 − = 1 ,…8 分 a 2 3a 2 设 直 线 AB 的 方 程 是 y = − a ( x − 1), 与 双 曲 线 方 程 联 立 得: (3 − a 2 ) x 2 + 2a 2 x − 4a 2 = 0. 由 ∆ = 4a 4 + 16a 2 (3 − a 2 ) > 0 得 0 < a < 2 .
要使上式与 K 无关，则有 6m + 14 = 0, ，解得 m = −
7 7 ，存在点 M (− ,0) 满足题意。12 分 3 3
【山东省济宁市金乡二中 2014 届高三 11 月月考理】23、 （本小题满分 12 分）[来源:学科网] 已知曲线 C 上的动点 P 到点 F (2,0) 的距离比它到直线 x = −1 的距离大 1 . （I）求曲线 C 的方程； （II）过点 F (2,0) 且倾斜角为 α (0 < α <
2 2 ， 椭圆上的点到焦点的最短距离为 1 − , 直线 l 与 y 轴交于点 P （0， 2 2
1
m），与椭圆 C 交于相异两点 A、B，且 AP = 3PB .
（1）求椭圆方程； （2）求 m 的取值范围．
y2 x2 2 c 2 2 2 【答案】21. 解： （1）设 C： 2＋ 2＝1（a>b>0），设 c>0，c ＝a －b ，由条件知 a-c＝ ， a b 2 a
2a 2 4a 2 2 ， , ( 3 − 2 ) x = 2 a2 − 3 a2 − 3 消去 x 2 得 a 2 = 2, 符合 ∆ > 0 ，
由①②得 ( 3 − 1) x 2 = 所以双曲线的方程是
x2 y2 − = 1 ………………14 分 2 6
【山东济南市 2014 界高三下学期二月月考理】已知椭圆 C 的中心为坐标原点 O，焦点在 y 轴上， 离心率 e =
一点, O 为坐标原点, MP = OF , PF = λ OF .
y M
O
P F
DA = ( 3 − 2) DB ，求双曲线的方程.
【答案】22: 解：(Ⅰ)Q MP = OF , ∴ OFPM 为平行四边形. 设 l 是双曲 线的右准线,且与 PM 交于 N 点, OF = c ,
x
Q PF = e PN , PF = λ OF , OF = PM , ∴ λ OF = e PN = e( PM − MN ).
【山东省淄博市第一中学2014届高三第一学期期中理】22、（满分14分） 已知点 F1 , F2 分别为椭圆 C :
x2 y2 + = 1(a > b > 0) 的左、右焦点，点 P 为椭圆上任意 a2 b2
一点， P 到焦点 F2 的距离的最大值为 2 + 1 ，且 ∆PF1 F2 的最大面积为 1 （1）求椭圆 C 的方程。 （2）点 M 的坐标为 ( ,0) ，过点 F2 且斜率为 k 的直线 L 与椭圆 C 相交于 A, B 两点。对 于任意的 k ∈ R, MA • MB 是否为定值？若是求出这个定值；若不是说明理由。 1 2 2 2[来源:学科网 ZXXK] 【答案】22.解：⑴由题意可知：a+c= 2 +1 ， ×2c×b=1,有∵a =b +c 2 2 2 2 ∴a =2, b =1, c =1