云南省昆明光华学校2020学年度高二数学上学期竞赛试题

云南省昆明光华学校2020学年度高二数学上学期竞赛试题

考试时间：120分钟 满分：150分

一．选择题（本大题共10小题，每小题6分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1.若

b a 11<<0，则下列不等式①a+bb ;③a

a

a b +>2中，正确的不等式有（ ） A.1个； B.2个； C.3个； D.4个。 2．不等式|

x 1x +| > x

1x

+的解集是 （ ）

A ．{x | x ≠ –1}

B ．{ x | x > –1 }

C ．{ x | x < 0且x ≠ –1 }

D ．{x | –1 < x < 0

}

3．已知 – 1< x + y < 3，且2 < x – y < 4，则2x +3y 的取值范围是 （ ）

A ．（–

29，2

11

） B ．（–

27，211） C ．（–27，213） D ．（–29，2

13

） 4. 下列函数最小值是2的是 （ ）

A ．1y x x

=+ B .sin csc y x x =+，(0,)2

x π∈ C .2

y =

D .

2y 5. 直线012

=++y a x 与直线03)1(2

=+-+by x a 互相垂直，∈b a ,R ，则||ab 的最小值为

（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

6．已知两点(0,1),(1,0)A B ，若直线(1)y k x =+与线段AB 总有公共点，则k 的取值范围是 （ ）

A .[1,1]-

B .[0,1]

C .[1,0]-

D .[,1∞) 7.已知椭圆2 x 2

+ y 2

=2的两个焦点F 1 F 2，B 为短轴的一个端点，21BF F ∆的外接圆方程为（ ）

A ．x 2

+y 2

=1; B.(x-1)2

+y 2

=4;C. x 2

+ y 2

=4;D. x 2

+(y-1)2

=4 8．在相距4k 米的A 、B 两地, 听到炮弹爆炸声的时间相差2秒, 若声速每秒k 米, 则爆炸地 点P 必在 （ ）

A ．以A ，

B 为焦点, 短轴长为3k 米的椭圆上 .

B ．以AB 为直径的圆上.

C ．以A ，B 为焦点, 实轴长为2k 米的双曲线上 .

D ．以A ，B 为顶点, 虚轴长为3k 米的双曲线上

9．圆心在抛物线x 2=2y(x>0)上，且与y 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ ）

A ．04

1

22

2=-

--+y x y x B ．0122

2=+-++y x y x C ．0122

2

=+--+y x y x

D ．x 04

1

22

2

=+

--+y x y 10．若椭圆)1(12

2>=+m y m x 与双曲线)0(122>=-n y n

x 有相同的焦点F 1、F 2，P 是两曲线的一个交点，则21PF F ∆的面积是

（ ）

A ．4

B ．2

C ．1

D ．

2

1

. 选择题

答案 二、填空题（本大题共5小题，每小题6分，共30分。）

11. 求经过点A （1，－4）且与直线0532=++y x 平行的直线方程

12．已知⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+-≤-+10101y y x y x ，且8442

2+--+=y x y x u ，则u 的最小值为

13 .椭圆14162

2=+

y x 的以点)1,2(-P 为中点的弦所在的直线方程为 14．对于椭圆191622=+y x 和双曲线19

72

2=-y x 有下列命题： ①椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点; ②双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点; ③双曲线与椭圆共焦点;

④椭圆与双曲线有两个顶点相同.

其中正确命题的序号是 .

15．已知点P 为椭圆13

22

=+y x 在第一象限部分上的点，则y x +的最大值等于

三、解答题（本大题共5题，共60分）

16．(本小题满分12分)已知0>c .设:P 函数x

c y =在R 上单调递减.:Q 不等式1

|2|>-+c x x

的解集为R . 如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围.

17．(本小题满分12分)已知圆C ：5)1(2

2

=-+y x ，直线l ：01=-+-m y mx ， （1）求证:对∈m R ，直线l 和圆C 总相交；

（2）设直线l 和圆C 交于A 、B 两点，当||AB 取得最大值时，求直线l 的方程

18．(本小题满分12分)如图，长为6的线段PQ 的端点分别在射线)0(0≤=x y 和)0(0≤=y x

上滑动，点M 在线段PQ 上，且2=．

（1）求点M 的轨迹方程；

（2）若点M 的轨迹与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，求四边形OAMB 面积的最大值．