高三年级理数试卷

高三年级理数试卷
本试卷分第I 卷（选择题60分）和第Ⅱ卷（非选择题90分）两部分。

一共6页。

共24题。

本试卷共150分，考试时间120分钟.祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷 （60分）
一、选择题（每小题5分，共60分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序
号填涂在答题卡上）
1.集合{}Z x x x A ∈≤+=,21,{}
11,3≤≤-==x x y y B ，则=B A ( ) A ．(]1,∞-
B.[]1,1-
C.φ
D.{}1,0,1-
2.若z 是复数，且()13=+i z (i 为虚数单位)，则z 的值为 ( )
A ．i +-3 B.i --3 C.i +3 D.i -3
3．已知甲、乙两名篮球运动员某十场比赛得分的茎叶图如图所示， 则甲、乙两人在这十场比赛中得分的平均数与方差的大小关系为( ) A ． 乙甲x x < 22x x S S <<乙甲，乙甲 B. 乙甲x x < 22
x x S S <>乙甲，乙甲 C. 乙甲x x >2
2x x S S >>乙甲，乙甲
D. 乙甲
x x > 2
2
x x S S
><乙
甲，乙甲
4. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．2
B ．1
C ．
23 D ．1
3
5．设x ，y 满足360
20,3x y x y x y --≤⎧⎪
-+≥⎨⎪+≥⎩
若目标函数z=ax+y （a>0）
的最大值为14，则a=（ ）
A ．1
B ．2
C ．23
D ．
539
6.等差数列{n a }前n 项和为n s ，满足4020s s =，则下列结论中正确的是（ ） A 、30s 是n s 中的最大值 B 、30s 是n s 中的最小值 C 、30s =0 D 、60s =0
乙 甲 8 6 4 3 1 5
8 6 3 2 4 5
8 3 4 9 4
5 0
1 3 1 6 7
9
7．阅读右面程序框图，任意输入一次(01)x x ≤≤与
(01)y y ≤≤，则能输出数对(,)x y 的概率为（ ）
A ．13
B ．
23 C ．14
D ．34
8.若函数sin()y A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||2
π
ϕ<
）在一
个周期内的图象如图所示，,M N 分别是这段图象的最高点和最低点，且⋅=0，（O 为坐标原点）则A ω⋅=（ ） A 、
6
π
B
C
D
9.已知双曲线221916
x y -=，其右焦点为F ，P 其上一点，点M
=1，0=⋅，
则
的最小值为（ ）
A 3
C 2
10.设D 是正123P P P ∆及其内部的点构成的集合，点0P 是123PP P ∆的中心，若集合0{|,||||,1
,2,3}i S P P D PP PP i =∈≤=，则集合S 表示的平面区域是 ( ) A ． 三角形区域
B ．四边形区域
C ． 五边形区域
D ．六边形区域
11．如图，已知平面α⊥平面β，A 、B 是平面α与平面β的 交线上的两个定点，,DA CB ββ⊂⊂，且DA α⊥，
CB α⊥，
4AD =，8BC =，6AB =，在平面α上有一个动点P ， 使得APD BPC ∠=∠，则PAB ∆的面积的最大值是（ ）
A
2
3
9 B 536 C 12 D 24
12．已知函数()||,()x
x
a
f x e a R e =+
∈在区间[0,1]上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ． [0,1]a ∈ B ． ]0,1[-∈a C. [1,1]a ∈- D. ),[],(2
2
+∞⋃--∞∈e e a
β
α
A C
B
P D
第Ⅱ卷（ 90分）
角为
，则塔高为14.已知函数()f x 满足：(1)4
f =
，4()()()(),(,)f x f y f x y f x y x y R =++-∈，则(2010)f =____________．
15.在平面直角坐标系中，定义点),(),,(2211y x Q y x P 之间的“直角距离”为
||||),(2121y y x x Q P d -+-=。

若),(y x C 到点)9,6(),3,1(B A 的“直角距离”相等，其中
实数y x ,满足93,100≤≤≤≤y x ，则所有满足条件的点C 的轨迹的长度之和为
__________
16半径为1的鸡蛋（视为球体）放入 其 中，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为
三、解答题（共6个小题，共70分）
17. （本小题满分12分）对于给定数列{}n a ，如果存在实常数,p q ，使得1n n a pa q +=+对于任意*
n N ∈都成立，我们称数列{}n a 是 “M 类数列”．
（Ⅰ）已知数列{}n b 是 “M 类数列”且2n b n
=，
求它对应的实常数,p q 的值；
（Ⅱ）若数列{}n c 满足11c =，()
*12n n n c c n N +-=∈，求数列{}n c 的通项公式．并判断{}
n c 是否为“M 类数列”，说明理由．
18. （本小题满分12分）符合下列三个条件之一，某名牌大学就可录取：
①获国家高中数学联赛一等奖（保送录取，联赛一等奖从省高中数学竞赛优胜者中考试选拔）； ②自主招生考试通过并且高考分数达到一本分数线（只有省高中数学竞赛优胜者才具备自主招生考试资格）；③高考分数达到该大学录取分数线（该大学录取分数线高于一本分数线）． 某高中一名高二数学尖子生准备报考该大学，他计划：若获国家高中数学联赛一等奖，则保送录取；若未被保送录取，则再按条件②、条件③的顺序依次参加考试．
已知这名同学获省高中数学竞赛优胜奖的概率是0.9，通过联赛一等奖选拔考试的概率是0.5，
通过自主招生考试的概率是0.8，高考分数达到一本分数线的概率是0.6，高考分数达到该大学录取分数线的概率是0.3．
（I ）求这名同学参加考试次数ξ的分布列及数学期望； （II ）求这名同学被该大学录取的概率．
19. （本小题满分12分） 如图，在底面为直角梯形的
四棱锥P A B C D
-中90A D B C A B C ∠=，∥°，P D ⊥平面A B C D ，A D =1
，A
B ，4B
C =． ⑴求证：B
D ⊥P C ；
⑵求直线AB 与平面PDC 所成的角； ⑶设点E 在棱P C 上，PC PE λ=， 若DE ∥平面PAB ，求λ的值.
20.设椭圆E: 22
221x y a b
+=（a,b>0）过M （2
，
两点，O 为坐标原点，
（I ）求椭圆E 的方程；
（II ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且
OA OB ⊥
？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，若不存在说明理由。

21. 设函数ln ()ln ln(1)1x
f x x x x
=
-+++. A
P
E
C
D
B
（Ⅰ）求()f x 的单调区间和极值；
（Ⅱ）是否存在实数a ，使得关于x 的不等式()f x a ≥的解集为(0,)+∞？若存在，求a 的取值范围；若不存在，试说明理由.
请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． （22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图，AB 、CD 是圆的两条平行弦，BE //AC ，BE 交CD 于E 、交圆于F ，过A 点的切线交DC 的延长线于P ，PC =ED =1，PA =2． （I ）求AC 的长；
（II ）求证：BE ＝EF ．
（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 在极坐标系中, O 为极点, 半径为2的圆C 的圆心的极坐标为(2,)3
π
.
⑴求圆C 的极坐标方程；
⑵P 是圆C 上一动点，点Q 满足3O P O Q
=
，以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，求点Q 的轨迹的直角坐标方程.
（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知1|2|1<-x ，1|2|2<-x ．
（I ）求证：6221<+<x x ，2||21<-x x ；
（II ）若1)(2+-=x x x f ，求证：||5|)()(|||212121x x x f x f x x -<-<-．
参考答案
1—5:DBDCB,6—10:DACBD,11—12：CC 13:50米 14：12 15
16
18.解：（I ）4,2=ξ， …………（2分）
55.05.09.0)9.01()2(=⨯+-==ξP
45.0)5.01(9.0)4(=-⨯==ξP …………（4分） （或45.055.01)4(=-==ξP ）
6分） （II ）设该同学参加2、4次考试被录取的概率分别是1P 、2P ，则
48.05.09.03.01.01=⨯+⨯=P …………（8分） 243.03.0)8.01()5.01(9.06.08.0)5.01(9.02=⨯-⨯-⨯+⨯⨯-⨯=P ………（10分） 该同学被该校录取的概率=+21P P 0.723 …………（12分）
19. 解：【方法一】（1）证明：由题意知D C = 则222
B C D B D C B D D C
+∴⊥=，， P D A B C D B D P D P D C D D ⊥∴⊥= 面而，，，
..B D P D C P C P D C B D P C ∴⊥∴⊥ 面在面内， （4分） （2）∵DE ∥AB ，又P D ⊥平面A B C D . ∴平面PDC ⊥平面A B C D . 过D 作DF //AB 交B C 于F
过点F 作F G ⊥C D 交C D 于G ,则
∠FDG 为直线AB 与平面PDC 所成的角.
在Rt △DFC 中，∠90D F C =︒，3D F C F =，
∴t a n F D ∠，∴∠60F D G =︒.
即直线AB 与平面PDC 所成角为60︒. （8分）
（3）连结EF ，∵DF ∥AB ，∴DF ∥平面PAB .
又∵DE ∥平面PAB ，
∴平面D E F ∥平面PAB ，∴EF ∥AB .
17
4分
P
E
F
B C
D
A G
P
E
A
又∵1,4,1,
A D
B CB F === ∴1,4P E B F P
C B C ==∴14PE PC = ，即1.4
λ= （12分） 【方法二】如图，在平面ABCD 内过D 作直线DF //AB ，交BC 于F ，分别以DA 、DF 、DP 所在的直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系.
（1）设P D a =
，则(0),)B D P a =
， ∵330B D P C ⋅=-= ，∴B D P C
⊥. （4分） （2）由（1）知B D P D C D B P D C ⊥ 面就是平面
， 由条件知A （1，0，0），B （1，0），
0),0)A D . 设A B P D C 与面所成角大小为，
则||s
i n ||||D B A B D B A B θ⋅=⋅ 09060,θθ︒<<︒∴=︒ ， 即直线A B P D C 与平面所成角
为60︒. （8分） （3）由（2）知C （－30），记P （0，0，a ），则
A B =
）
，(0,0,)D P a = ，P A a = （1，0，-），P C a =-- ）， 而P E P C
λ= ，所以P E a =- （，）， D E D P P E D P P C λ
=+=+ (0,0,)()
a a =+-，=3,.aa λ--）
设n x y z = （，，）为平面PAB 的法向量，则00
A B n P A n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，即00x az =-=⎪⎩，即0y x a z =⎧⎨=⎩. 1z x a
==取，得， 进而得,,n a =
（01），
由//D E P A B 平面,得0D En ⋅=
，∴30a a a λλ+=--，
1
0.4
a λ≠∴=而， （12分）
20. 解:（1）因为椭圆E: 22
221x y a b +=（a,b>0）过M （2 ，两点,
所以2222421611a b a b +=+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩解得2211
8
11
4
a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2284a b ⎧=⎨=⎩椭圆E 的方程为22184x y += （2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点
A,B,OA OB ⊥ ,设该圆的切线方程为y kx m =+解方程组2218
4x y y kx m +==+⎧⎪
⎨⎪⎩得
222()8x kx m ++=,即222(12)4280k x kmx m +++-=,
B
则△=222222164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>,即22
840k m -+>
1222
12241228
12km x x k m x x k ⎧
+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
,
2222222
2
212121212222
(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=
+++要使OA OB ⊥ ,需使12120x x y y +=,即22222
28801212m m k k k
--+=++,所以22
3880m k --=,所以22
3808m k -=≥又22
840k m -+>,所以22238
m m ⎧>⎨≥⎩,所以283m ≥,
即m ≥
或
m ≤,因为直线y kx m =+为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径
为r =,222
228381318
m m r m k ===-++
,r =所求的圆为22
83x y +=,此时圆的切线y kx m =+都满
足3m ≥
或3
m ≤-,而当切线的斜率不存在时切线
为x =与椭圆22184x y +=
的两个交点为
或(满足OA OB ⊥ ,综上, 存在圆心在原点的圆228
3
x y +=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E
恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥
. 因为122
2
1224122812km x x k m x x k ⎧
+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
, 所以2222
2
21212122222
4288(84)()()4()41212(12)km m k m x x x x x x k k k --+-=+-=--⨯=
+++,
||AB ===
== ①当
0k ≠
时||AB =
，因为221448k k ++≥所以
2211
01
8
44k k
<
≤++, 所以
2232321
[1]12
13344k k
<+≤++,所
以||AB ≤当且仅
当k =时取”=”.
② 当0k =时
,||3
AB =
. ③ 当AB 的斜率不存在时, 两个交点
为(
,)33±
或(33
-±,所以此
时||AB =
综上, |AB |
||AB ≤
: ||AB ∈ 21. 22
1ln 11ln '()(1)(1)1(1)x x
f x x x x x x x =--+=-++++. ……2分
故当(0,1)x ∈时，'()0f x >， (1,)x ∈+∞时，'()0f x <.
所以，()f x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减. 由此知
()f x 在(0,)+∞的极大值为(1)l n f =，没有极小
值. ……4分 （Ⅱ）（ⅰ）当0a ≤时， 由于(1)ln(1)ln ln(1)(ln(1)ln )
()011x x x x x x x x f x x x
++-+++-=
=>++，
故关于x 的不等式()f x a ≥的解集为(0,).+∞ ……8分
（ⅱ）当0a >时，由ln 1()ln(1)1x f x x x =+++ 知(2)n f =ln 21ln(1)122n n n
+++，其中n 为正整数，且有22211ln(1)1log (1)222
a a n n a e n e +<⇔<-⇔>--. ……10分
又2n ≥时，ln 2ln 2ln 22ln 2(1)121(11)1
2
n n n n n n n n =<=-+++-. 且2ln 24ln 2112a n a
<⇔+-. 取整数0n 满足202log (1)a
n e >--，04ln 21n a >
+，且02n ≥， 则0000ln 21(2)ln(1)12222
n n n n a a f a =++<+=+， 即当0a >时，关于x 的不等式()f x a ≥的解集不是(0,)+∞.
综合（ⅰ）（ⅱ）知，存在a ，使得关于x 的不等式()f x a ≥的解集为(0,)+∞，且a 的取值范围为(,0]-∞. ……12分
22.解：（I ）1,2,2==⋅=PC PA PD PC PA ，4=∴PD ， …………（2分）
又2,1=∴==CE ED PC ，,,CAB PCA CBA PAC ∠=∠∠=∠
CBA PAC ∆∆∴∽，AB
AC AC PC =∴
， 22=⋅=∴AB PC AC ，2=∴AC …………（5分） （II ） 2==AC BE ，2=CE ，而EF BE ED CE ⋅=⋅， …………（8分）
2212=⋅=∴EF ，BE EF =∴． …………（10分） （23）（本小题满分10分）
解：（1）设M ),(θρ是圆C 上任一点，过C 作C H O M
⊥于H 点，则在R t △CO H 中，c o s O H O C C O H =⋅∠，而3
C O H C O M πθ∠=∠=-，1122O H O M ρ==，2O C =，
所以12c o s 23πρθ=-，即4c o s ()3πρθ=- 为所求的圆C 的极坐标方程. ( 5分) （2）设(,)Q ρθ点的极坐标为，由于3O P O Q
= ， 所
以1(,)3P ρθ点的极坐标为代入⑴中方程
得14c o s ()33
πρθ=-，
即6c o s 3s i n
ρθ=， ∴
26c o s s i n ρ=，226x y x +=,
∴点Q 的轨迹的直角坐标方程为2260
x y x =. (10分)
（24）（本小题满分10分）
证明：（I ）∵1|2|1<-x ，∴1211<-<-x ，即311<<x ， …………（2分）
同理312<<x ，∴6221<+<x x ，
∵|2||2||)2()2(|||212121-+-≤---=-x x x x x x ，
∴2||21<-x x ； …………（5分）
（II ）|1||||||)()(|2121212
22121-+-=+--=-x x x x x x x x x f x f ，…………（8分） ∵6221<+<x x ，∴51121<-+<x x ，
∴||5|)()(|||212121x x x f x f x x -<-<-
…………（10分）。