第二节函数的和差积商的求导 导数与微分

四、2 x y 2 0和2 x y 2 0.
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i 1
i 1
(2) [Cf ( x)] Cf ( x);
(3)
n
[
fi ( x)]
f1( x) f2( x) fn( x)
i 1
f1( x) f2( x) fn( x)
nn
fi( x) fk ( x); i1k 1 ki
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二、例题分析
25 4
二、1、
1 2x ；
(1 x x 2 )2
2、10x 2 ln10 ； (10 x 1)2
3、
2
csc
x[(1 x (1
2 )cot x2 )2
x

2
x
]
；
4、
1； 18
5、(a ) x ( b )a ( x )b (ln a a b). bxa b x
三、( b , b2 4ac). 2a 4a
y 2 3x2 令 y 0 2 3x2 0
x1
2 3
x2
2 3
切点为 2, 4 6 3 9
2, 4 6 3 9
所求切线方程为 y 4 6 和 y 4 6
9
9
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练习题
一、填空题： 1、设 y x sin x ，则y = __________. 2、设 y 3a x e x 2 ，则dy =__________. x dx 3、设 y e x ( x 2 3 x 1),则dy = __________. dx x0 4、设 y 2 tan x sec x 1,则y =_________. 5、设 y f ( x) 3 x 2 ,则 f ( 0 ) =________. 5 x 5 6、曲线 y sin x 在 x 0处的切线与 x 轴 正向的 2 夹角为_________.
lim
h
h
h0
v( x h)v( x)

u(
x)v( x) u( [v( x)]2
x)v(
x)
结论：f (x)在x处可导.
且[u(x) ] v(x)

u(x)v(x) u(x)v(x) v2 (x)
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推论
n
n
(1) [ fi ( x)] fi( x);
同理可得 (csc x) csc x cot x.
例5 求 y sinh x 的导数 .
解
y

(sinh
x)

1 [
(e
x
e x )]
1 (e x
e x ) cosh x.
2
2
同理可得 (cosh x) sinh x
(tanh
x)

1 cosh 2
x)v( x)h
x

h)
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lim [u( x h) u( x)]v( x) u( x)[v( x h) v( x)]
h0
v( x h)v( x)h
u( x h) u( x) v( x) u( x) v( x h) v( x)
三、求抛物线 y ax2 bx c 上具有水平切线的点.
四、写出曲线 y x 1 与x 轴交点处的切线方程. x 上页 下页 返回
练习题答案
一、1、
x(sin x 2x

cos
x) ；2、3a x
ln a

ex

2 x2
；
3、 2 ； 4、sec x(2 sec x tan x)；5、3 ；6、 .
[u(x) ] u(x)v(x) u(x)v(x)
v(x)
v2 (x)
f ( x) lim f ( x h) f ( x)
h0
h u( x h) u( x)

lim v( x h) v( x)
h0
h

lim
h0
u(
x

h)v( v( x
x) u( h)v(
(2) [u(x) v(x)] u(x)v(x) u(x)v(x);
(3)
[u(x) ] v(x)

u(x)v(x) u(x)v(x) v2 (x)
(v(x) 0).
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证明（1）：
条件：f (x) u(x) v(x) 结论：f '(x) u'(x) v'(x)
例1 求 y x3 2x2 sin x 的导数 .
解 y 3x 2 4x cos x.
例2 求 y sin 2x ln x 的导数 . 解 y 2sin x cos x ln x
y 2cos x cos x ln x 2sin x ( sin x) ln x 2 sin x cos x 1 x
第二节 函数的和、差、积、 商的求导法则
一、和、差、积、商的求导法则 二、例题分析 三、小结 思考题
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一、和、差、积、商的求导法
定理
如果函数u(x), v(x)在点x处可导,
则它们的和、差、积、商(分母不为零)在点x处也可导,
(1) [u(x) v(x)] u(x) v(x);
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二、计算下列各函数的导数：
1、 y

1
1 x
x2
；2、 y

10 x 10 x

1 1
；
3、 y 2csc x ； 1 x2
4、 f ( x) 1 t ,求f (4) ； 1 t
5、 y a x b a x b (a 0, b 0). b x a

V
(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x)]
这表示，函数 f (x) 在点x 处也可导，且 f '(x) u'(x) v'(x)
以上结果简单地写成(：u v)' u' v'
类似地可得证明（2）(：u v)' u' v' 上页 下页 返回


证明(3)：
？
u(x), v(x)在x处可导
f (x)在x处可导，且
x
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例6
设
f
(x)

x, ln(1
x),
x0 ,
求f ( x).
x0
解 当x 0时, f ( x) 1,
当x 0时,
f ( x) lim ln(1 x h) ln(1 x)
h0
h
lim 1 ln(1 h )
h0 h
1 x
三、小结
注意: [u( x) v( x)] u( x) v( x); [u( x)] u( x) . v( x) v( x)
分段函数求导时, 分界点导数用左右导数求.
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思考题
求曲线 y 2x x3上与 x轴平行
的切线方程.
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思考题解答
x
sec2
x
即 (tan x) sec2 x.
同理可得 (cot x) csc2 x.
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例4 求 y sec x 的导数 .
解
y (sec x) ( 1 ) cos x

(cos cos 2
x) x

sin x cos2 x
sec x tan x.
而函数 u(x), v(x)在点 x处可导
由导数定义有：
u'(x) v'(x)

lim f '(x)
f (x h) f (x)
h0
h

hlim0[u(xhh)u(x)

v(
xh)v(x) h
]


lim h0
[u(
x

h)

v(
x

h)] h

[u(
x)
2 cos 2x ln x 1 sin 2x. x
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例3 求 y tan x 的导数 .
解 y (tan x) (sin x )
cos x
(sin x) cos x sin x(cos x)

cos2 x

cos2 x cos2
sin2 x
x

1 cos2
1, 1 x
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当x 0时,
f (0)

lim
h0
(0

h)
ln(1 h

0)
1,
f(0)

lim
h0
ln[1

(0

h)] h

ln(1

0)

1,
f (0) 1.

f
( x)


1, 1
1 x
,
x0 x0.
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