第三讲 静电场性质(一) 2012年2月26日

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三. 高斯定律——导体
高斯定律的微分形式
分布电荷产生电场 E ( r )
1 4 0

r r' r r'
3
V'
( r' )dV'
•
•
对上式等号两端取散度；
利用矢量恒等式及矢量积分、微分的性质，得
(r) E( r ) 0
真空中高斯定律的微分形式
图1.2.3 电偶极子的等位线和电力线
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二. 电位与电位函数
图1.2.4 点电荷与接地导体的电场
图1.2.5 点电荷与不接地导体的电场
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二. 电位与电位函数
图1.2.6 均匀场中放进了介质球的电场
图1.2.7 均匀场中放进了导体球的电场
电位是电场中点的标量函数 电位的大小是相对的，电位差是绝对的
静电场中某点的电位即是：静电场力将单位电荷从这 点移动无限远处(零势点)所作的功。
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二. 电位与电位函数
点电荷产生的电位分布：
孤立正点电荷周围的场电位为正：离电荷越远，电位越低。
孤立负点电荷周围的场电位为负：离电荷越远，电位越高。
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一. 静电场的环路定理
静电场力的功与电势能 1. 静电场力是保守力——所作功不因路径不同而改变 2. 静电场力所作的功，等于相应电势能的减少
Aab
b
a
F dl Wa Wb
a点电势能 b点电势能
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一. 静电场的环路定理
高斯定律的积分形式 1 (r) V EdV 0 E( r )
0

V
dV
i
散度定理
E dS q
S 0 i 1
1
n
式中 n 是闭合面包围的点电荷总数。
E 的通量仅与闭
合面S 所包围的净电
图1.2.11 闭合曲面的电通量
荷有关。
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等位线(面)方程:
( x, y , z ) C
当取不同的 C 值时，可得到不同的等位线（面） 等位面越密处，场强越大。
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二. 电位与电位函数
例题：计算电偶级子场中任一点P的电位
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二. 电位与电位函数
例题：均匀带电球面的电场中的电位（结论要记）
的方向一致，若 dl 是电力线的长度元，E 矢量将与 方向一致， 故电力线微分方程 在直角坐标系中：
dl
E dl 0
Ey Ex Ez dx dy dz
微分方程的解即为电力线 E 的方程。
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二. 电位与电位函数

在静电场中电位相等的点的曲面称为等位面，即
场强为零的地方电势不一定为零 电势为零的地方场强一定为零？
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二. 电位与电位函数
例题：画出电偶极子的等位线和电力 线 (r d ) 。
r1
r
r2
在球坐标系中：
1 1 q r2 r1 p ( ) 4 0 r1 r2 4 0 r1r2 q
图1.2.8 点电荷位于一块介质上方的电场
图1.2.9 点电荷位于一块导平面上方的电场
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二. 电位与电位函数
小结：
E
E 0
( p)
参考点
p
E dl
sity
二. 电位与电位函数
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二. 电位与电位函数
例题：试计算均匀带电细圆环轴线上任一点P的电位， 设已知带电量为q
标量积分真方便！ 积分求U—>求梯度—>E 积分求E—>求积分—>U
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二. 电位与电位函数
6)
电力线与等位线（面）
E 线：曲线上每一点切线方向应与该点电场强度E
p0
p0
设P0为参考点
( p)
参考点
p
E dl
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二. 电位与电位函数
5)
场中任意两点的电位差与参考点无关。 同一个物理问题，只能选取一个参考点。 选择参考点尽可能使电位表达式比较简单，且要有意义。
电位参考点的选择原则
例如：点电荷产生的电场：
1 1
d2 d2 r1 ( r 2 rd cos ) 2 ，r2 ( r 2 rd cos ) 2 4 4
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二. 电位与电位函数
用二项式展开，又有
r1
r d，得
d r1 r cos 2
r 2
r
代入上式，得
d r2 r cos 2
？
(
)
4) E与 的积分关系 E dl dl 把dl展开 [ dx dy dz] d
x y z
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二. 电位与电位函数
d ( p ) ( p0 ) E dl
p p
2)
已知电荷分布，求电位：
以点电荷为例推导电位：
E( r )
q

1 r r' 3 r r' r r'
4 0 r r'
0

r r'
3
E( r ) 4 qr r' ( r )
q ( r ) C 4 0 r r'

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静电场性质（一）
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本讲主要内容 1. 静电场的环路定理 2. 静电场中的电位及其特性
3. 电位的计算 4. 等位面与电位梯度
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矢量计算知识要点回顾
一个矢量场的旋度是一个矢量函数，而一个矢量场的散度是一 个标量函数； 旋度描述的是矢量场中各点的场量与涡旋源的关系，而散度描 述的是矢量场中各点的场量与通量源的关系； 如果矢量场所在的全部空间中，场的旋度处处为零，则这个场 中不可能存在旋涡源，因而称之为无旋场(或保守场)； 如果矢量场所在的全部空间中，场的散度处处为零，则这个场 中不可能存在通量源，因而称之为无源场(或管形场)； 在旋度公式中，矢量场的场分量分别只对其垂直方向的坐标变 量求偏导数，所以矢量场的旋度描述的是场分量在与其垂直的方 向上的变化率； 在散度公式中，矢量场的场分量分别只对x，y，z求偏导，所以 矢量场的散度描述的是场分量沿着各自方向上的变化率。
静电场环路定理
表述：静电场中场强沿任意闭合环路的线积分恒 等于零，即：
E dl 0
L
证明：因为静电场力是保守力，a点出发回到a的作功为0
F dl qE dl 0
L L
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一. 静电场的环路定理
例题1 已知电场E=(x/2+2y)ex + 2xey(V/m)，求在该电场中移 动电荷Q=-20 μC所作的功: (1)从原点到点(4,0,0)；(2) 从(4,0,0)到(4,2,0)；(3)从(4,2,0)到(0,0,0)
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一. 静电场的环路定理
静电场重要基本性质之二
静电场是无旋场，其微分形式即为：
E 0
静电场两个基本方程：
E d s
S
q
i
i
E dl 0
L
0
静电场两个基本特性：有源无旋
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一. 静电场的环路定理
回忆：电场基本性质 对放入其内的任何电荷都有力的作用
F 对于电场强度的理解： E q0
电场强度是从电场对电荷的作用力的角度与研究电场的性质 电场强度是电场中的点的矢量函数 电场强度对移动负荷作功有何性质？
电场力对移动电荷作功
电力线微分方程（球坐标系）：
将 E 和 E r 代入上式， 解得Ｅ线方程为
dr rd Er E
r C ' sin
2
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二. 电位与电位函数
电力线与等位线（面）的性质： E 线不能相交;
E线愈密处，场强愈大;
E 线与等位线（面）正交； E线起始于正电荷，终止于负电荷;
一. 静电场的环路定理
静电场的旋度 点 电 荷
E( r )
E( r )
q 4 0
q 4 0

r r' r r'
r r' r r'
3
3

E( r ) 0
可以证明，上述结论适用于点电荷群和连续分布电荷产生的电场。
即任一分布形式的静电荷产生的电场的旋度恒等于零。
三. 高斯定律——导体
图1.2.12
闭合面外的电荷对场的影响
重要结论：S面上的E 是由系统中全部电荷
产生的。
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三. 高斯定律——导体
静电平衡时导体的性质
导体内电场强度E为零；
导体是等位体，导体表面为等位面；
电场强度垂直于导体表面； • 电荷分布在导体表面，且