空间中的平行关系课件
空间向量与平行关系课件
(3)空间直线的向量表达式的两点作用: ①定位置:点A和向量a可以确定直线的_位__置__; ②定点:可以具体表示出l上的任意_一__点__. 3.向量a为平面α的法向量应满足的两个条件 (1)向量a表示直线l的_方__向__向__量__; (2)直线l_⊥__平面α.
4.用向量描述空间平行关系 设空间两条直线l,m的方向向量分别为a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3),两个平面α,β的法向量分别为u=(u1,u2,u3), v=(v1,v2,v3),则有如下结论
则
m
AN
0，
m NM 0，
所以
a 2
x1
0
y1
az1
0，
a 2
x1
a 2
y1
0
z1
0，
所以y1＝－x1＝－2z1.取z1＝1，
所以平面AMN的一个法向量为m＝(2，－2，1)．
同理由
n n
DB DF
可00，，得x2＝－y2，y2＝－2z2.
令z2＝1，
所以平面EFDB的一个法向量为n＝(2，－2，1)．
2.应用向量法证明线面平行问题的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. (2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线. (3)证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表 示.即用平面向量基本定理证明线面平行.
3.证明面面平行的方法 设平面α的法向量为n1=(a1,b1,c1),平面β的法向量为 n2=(a2,b2,c2),则α//β⇔n1∥n2⇔(a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2) (k∈R).
位置关系 向量关系 向量运算关系
l∥m
_a_∥__b_ _a_=_k_b_,_k_∈__R_
空间直线、平面的平行_课件
线线平行
面面平行判定定理: 线面平行 面面平行
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行那么这两 个平面平行．
推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平 面内的两条直线，那么这两个平面平行
面面平行判定定理: 面面平行 线面平行
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线 平行。
几个重要结论
1.平行于同一平面的两平面平行 ； 2.过平面外一点有且只有一个平面与这个平面平行 ； 3.夹在两平行平面间的平行线段相等 。 4、如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都与 另一个平面平行
5.求证：夹在两个平行平面间的平行线段相 等
重要思想方法
直线与平面平行
判定
性质
性质 直线与直线平行
判定 性质
判定 平面与平面平行
× √ × √ √
空间中的平行关 系
理解并掌握空间中线面平行、面面平行的判定方法
理解并掌握空间中线面平行、面面平行的性 质
已知：ab在平面α外，a∥α.求证： b∥α.
(1)(2)(4)(5)
(1)
(2)
(3)
总 结
线线平行
线面平行
线面平行
精品 课件
高中数学必修2
第八章 立体几何初步
空间直线、平面的平行
新人教版
特级教师优秀课件精选
教学目标
理解并掌握直线与直线平行的判定方 法理解并掌握直线与平面的判定方 法理解并掌握直线与平面平行的性质定 理理解并掌握平面与平面平行的判定方 法理解并掌握平面与平面平行的性质定 理能够根据定理写证明过 程
四边形的两条邻边相等。
在平面上,我们容易证明“如果一个角的两边和另一个角的两 边分别平行，那么这两个角相等或互补”。 在空间中,结论是否仍然成立呢?
7.3空间直线平面的平行课件高三数学一轮复习
训练1 如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形 ACEF是矩形，M是线段EF的中点. (1)求证：AM∥平面BDE；
证明 如图，记AC与BD的交点为O，连接OE. 因为O，M分别为AC，EF的中点， 四边形ACEF是矩形， 所以四边形AOEM是平行四边形，所以AM∥OE. 又因为OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE， 所以AM∥平面BDE.
(2)平面BDE∥平面MNG. 证明 因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点， 所以DE∥NG， 又DE⊄平面MNG，NG⊂平面MNG， 所以DE∥平面MNG. 因为M为AB的中点，N为AD的中点， 所以MN为△ABD的中位线， 所以BD∥MN， 又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG， 所以BD∥平面MNG， 又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线， 所以平面BDE∥平面MNG.
行
图形表示
符号表示
a⊂β，b⊂β， a∩b＝P，a∥α， b∥α⇒α∥β
两个平面平行，则其中一 性质 个平面内的直线__平__行__于
另一个平面
两个平面平行，如果另一 性质 个平面与这两个平面_相__交__， 定理 那么两条__交__线__平行
α∥β， a⊂α⇒a∥β
α∥β，α∩γ＝a， β∩γ＝b⇒a∥b
例 4 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，AD∥BC，AB＝BC＝21AD，E，F，H 分别
为线段 AD，PC，CD 的中点，AC 与 BE 交于 O 点，G 是线段 OF 上一点.
(1)求证：AP∥平面 BEF；
证明 如图，连接 EC，因为 AD∥BC，BC＝12AD， 所以BC∥AE，BC＝AE， 所以四边形ABCE是平行四边形，所以O为AC的中点. 又因为F是PC的中点，所以FO∥AP， 因为FO⊂平面BEF，AP⊄平面BEF， 所以AP∥平面BEF.
空间向量与平行关系
服/务/教/师 免/费/馈/赠
返回菜单
数学-选修2-1
【解】以点 A 为原点，AD、AB、AS 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴、z 轴，建立如图所示的坐标系，则 A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)， D12，0，0，S(0,0,1)．
(1)∵SA⊥平面 ABCD， ∴A→S＝(0,0,1)是平面 ABCD 的一个法向量． (2)∵AD⊥AB，AD⊥SA，∴AD⊥平面 SAB， ∴A→D＝12，0，0是平面 SAB 的一个法向量．
A．6 和－10
B．－6 和 10
C．－6 和－10
D．6 和 10
服/务/教/师 免/费/馈/赠
返回菜单
数学-选修2-1
【解析】 因为 a 与 b 平行，∴42＝－x3＝5y， 解得 x＝－6，y＝10. 【答案】 B
服/务/教/师 免/费/馈/赠
返回菜单
数学-选修2-1
3．若 u＝(2，－3,1)是平面 α 的一个法向量，则下列向量中能
【思路探究】 两直线的方向向量满足什么条件能说明它们平 行．
服/务/教/师 免/费/馈/赠
返回菜单
数学-选修2-1
【解】以点 D 为坐标原点，分别以D→A，D→C，D→D1为正交基底 建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为 1，则 A(1,0,0)， E0，0，12，C1(0,1,1)，F1，1，12，
服/务/教/师 免/费/馈/赠
返回菜单
数学-选修2-1
【证明】 如图所示，分别以 DA，DC，DD1 所在的直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设 DA＝a，DC＝b，DD1＝c， 则得下列各点的坐标：A(a,0,0)，C1(0，b，c)，E23a，23b，c，Fa，b3，23c.
高中数学 3-2-1 空间向量与平行关系课件 新人教A版选修2-1
(3)①∵u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)， ∴u·a＝－6＋8－2＝0， ∴u⊥a，∴l⊂α 或 l∥α. ②∵u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)，u＝－14a， ∴u∥a，∴l⊥α. ③∵u＝(4,1,5)，a＝(2，－1,0)，∴u 与 a 不共 线，也不垂直，∴l 与 α 斜交．
图2
证明：方法一：以D为原点，DA，DC，DD1所在 直线分别为x，y，z轴建立如图2所示的空间直角坐标 系．
设正方体的棱长为2， 则A(2,0,0)，D1(0,0,2)，C(0,2,0)， B(2,2,0)，O1(1,1,2)，
∴A→D1＝ (－ 2, 0,2)，C→D1 ＝(0，－ 2,2)， B→O1＝ (－ 1，－ 1,2)， ∴B→O1＝12A→D1＋12C→D1， ∴B→O1与A→D1、C→D1共面， ∴B→O1∥平面 ACD1.又 BO1⊄平面 ACD1， ∴BO1∥平面 ACD1.
[点评] 用向量法证明线面平行常用三种方法：一 是证明直线上某个向量与平面内某一向量共线；二是 证明直线上的某个向量与平面内的两个不共线向量共 面，且不在平面内；三是证明直线上某个向量与平面 的法向量垂直．
迁移体验3 如图6，在长方体OAEB－O1A1E1B1中， OA＝3，OB＝4，OO1＝2，点P在棱AA1上，且AP＝ 2PA1，点S在棱BB1上，且SB1＝2BS，点Q、R分别是 O1B1、AE的中点，求证：PQ∥RS.
图3
解析：∵AD、AB、AS 是两两垂直的线段， ∴以 A 为原点，以射线 AD、AB、AS 所在直 线为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立坐标系， 则 A(0,0,0)、D(12，0,0)、C(1,1,0)，S(0,0,1)， A→D＝(12，0,0)是平面 SAB 的法向量，
2021版新高考数学一轮复习第八章8.3空间中的平行关系课件新人教B版
第三节ꢀ空间中的平行关系内容索引【教材·知识梳理】1.直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言此平面内图形语言符号语言平面外一条直线与_________l∥a，因为______判定的一条直线平行，则该直线定理与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)a⊂α，l⊄α___________，所以l∥α一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与l∥α，因为_______ _______α∩β=b_________，l⊂β，性质定理交线此平面的_____与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)所以l∥b2.平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言a∥β，因为________相交直线判一个平面内的两条_________b∥β，a∩b=P，________________a ⊂α，b ⊂α定与另一个平面平行，则定这两个平面平行(简记为理“线面平行⇒面面平行”)____________，所以α∥βα∥β，因为_________性如果两个平行平面同时和质α∩γ=a，___________β∩γ=b 相交第三个平面_____，那么它定理_________，交线们的_____平行所以a∥b【常用结论】1.两个平面平行，则其中任意一个平面内的直线与另一个平面平行.2.三种平行关系的转化：线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有关的证明题的指导思想，解题中既要注意一般的转化规律，又要看清题目的具体条件，选择正确的转化方向.【知识点辨析】ꢀ(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(ꢀꢀ)(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线.(ꢀꢀ)(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.(ꢀꢀ)(4)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面.(ꢀꢀ)(5)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.(ꢀꢀ)(6)平行于同一条直线的两个平面平行.(ꢀꢀ)提示：(1) ×.若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α或a⊂α.(2)×. 一条直线与一个平面平行，那么它与平面内的直线可能平行，也可能是异面直线.(3)×.如果一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.(4)×.若平面外的一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面.(5)√.这两条直线没有公共点.(6)×.平行于同一条直线的两个平面平行或相交.【易错点索引】序号易错警示典题索引考点一、T3 1证明线面平行时忽略该直线不在平面内致误考点二、T2利用线面平行的性质定理时不会找过该直线的2考点二、T1平面3证明面面平行时忽略两直线相交致误考点三、角度1【教材·基础自测】1.(必修2 P44练习BT2改编)平面α∥平面β的一个充分条件是(ꢀꢀ)A.存在一条直线a,a∥α,a∥βB.存在一条直线a,a⊂α,a∥βC.存在两条平行直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥αD.存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α【解析】选D.若α∩β=l,a∥l,a⊄α,a⊄β,则a∥α,a∥β,故排除A.若α∩β=l,a⊂α,a∥l,则a∥β,故排除B.若α∩β=l,a⊂α,a∥l,b⊂β,b∥l,则a∥β,b∥α,故排除C.2.(必修2 P46练习AT1改编)下列命题中正确的是(ꢀꢀ)A.若a,b是两条直线,且a∥b,那么a平行于经过b的任何平面B.若直线a和平面α满足a∥α,那么a与α内的任何直线平行C.平行于同一条直线的两个平面平行D.若直线a,b和平面α满足a∥b,a∥α,b⊄α,则b∥α【解析】选D.A中,a可以在过b的平面内;B中,a与α内的直线可能异面;C中,两平面可相交;D中,由直线与平面平行的判定定理知,b∥α,正确.3.(必修2 P44 练习BT4改编)如图,长方体ABCD-ABCD中,E为DD的中点,则BD与111111平面AEC的位置关系为________.ꢀ【解析】连接BD,设BD∩AC=O,连接EO,在△BDD1中,O为BD的中点,所以EO为△BDD1的中位线,则BD∥EO,而BD⊄平面ACE,EO⊂平面ACE,所以BD∥平面ACE.111答案:平行考点一ꢀ直线、平面平行的基本问题ꢀ【题组练透】1.如图,P为平行四边形ABCD所在平面外一点,Q为PA的中点,O为AC与BD的交点,下面说法错误的是(ꢀꢀ)A.OQ∥平面PCD C.AQ∥平面PCDB.PC∥平面BDQ D.CD∥平面PAB2.已知a,b表示直线,α,β,γ表示平面,则下列推理正确的是(ꢀꢀ)A.α∩β=a,b⊂α⇒a∥bB.α∩β=a,a∥b⇒b∥α且b∥βC.a∥β,b∥β,a⊂α,b⊂α⇒α∥βD.α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b3.如图是正方体的平面展开图.关于这个正方体,有以下判断:①EC⊥平面AFN;②CN∥平面AFB;③BM∥DE;④平面BDE∥平面NCF.其中正确判断的序号是(ꢀꢀ)A.①③B.②③C.①②④D.②③④4.如图是长方体被一平面所截得的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形状为________.世纪金榜导学号ꢀꢀ【解析】1.选C.因为O为平行四边形ABCD对角线的交点,所以AO=OC,又Q为PA的中点,所以QO∥PC.由线面平行的判定定理,可知A、B正确,又四边形ABCD为平行四边形,所以AB∥CD,故CD∥平面PAB,故D正确.2.选D.选项A中,α∩β=a,b⊂α,则a,b可能平行也可能相交,故A不正确;选项B中,α∩β=a,a∥b,则可能b∥α且b∥β,也可能b在平面α或β内,故B不正确;选项C中,a∥β,b∥β,a⊂α,b⊂α,根据面面平行的判定定理,再加上条件a∩b=A,才能得出α∥β,故C不正确;选项D为面面平行性质定理的符号语言.3.选C.由已知中正方体的平面展开图,得到正方体的直观图如图所示:由⇒FN⊥平面EMC,故FN⊥EC;同理AF⊥EC,故EC⊥平面AFN,故①正确;由CN∥BE,则CN∥平面AFB,故②正确;由图可知BM∥DE显然错误,故③不正确;由BD∥NF得BD∥平面NCF,DE∥CF得DE∥平面NCF,由面面平行判定定理可知平面BDE∥平面NCF,故④正确.4.因为平面ABFE∥平面CDHG,又平面EFGH∩平面ABFE=EF,平面EFGH∩平面CDHG=HG,所以EF∥HG.同理EH∥FG,所以四边形EFGH是平行四边形.答案:平行四边形【规律方法】ꢀ直线、平面间平行的判定方法(1)关注是否符合判定定理与性质定理,并注意定理中易忽视的条件.(2)结合题意构造或绘制图形,结合图形作出判断.(3)利用实物进行空间想象,比较判断.(4)熟记一些常见结论,如垂直于同一条直线的两个平面平行等.【秒杀绝招】ꢀ直接法解T1,因为Q是AP的中点,故AQ∩平面PCD =P,所以AQ∥平面PCD是错误的.考点二ꢀ直线、平面平行的判定与性质ꢀ【典例】1.在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为6的正三角形,SA=SB=SC=15,平面DEFH分别与AB,BC,SC,SA交于D,E,F,H.D,E分别是AB,BC的中点,如果直线SB∥平面DEFH,那么四边形DEFH的面积为________.ꢀ2.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC为正三角形,点D在棱BC上,且CD=3BD,点E,F分别为棱AB,BB1的中点.求证:A1C∥平面DEF.【解题导思】序号1联想解题由直线SB∥平面DEFH,联想到利用线面平行的性质,判定四边形DEFH的形状,进而得到其面积.求证A C∥平面DEF,只要设法在平面DEF上找到与A C 112平行的直线即可,因为CD=3BD,故联想到连接A1B,在△BA1C中由比例关系证明平行关系.【解析】1.取AC的中点G,连接SG,BG.易知SG⊥AC,BG⊥AC,SG∩BG=G,故AC⊥平面SGB,所以AC⊥SB.因为SB∥平面DEFH,SB⊂平面SAB,平面SAB∩平面DEFH=HD,则SB∥HD.同理SB∥FE.又D,E分别为AB,BC的中点,则H,F也为AS,SC的中点,从而得HF∥AC∥DE,且HF=AC=DE,所以四边形DEFH为平行四边形.又AC⊥SB,SB∥HD,DE∥AC,所以DE⊥HD,所以四边形DEFH为矩形,其面积S=HF·HD=答案:2.如图,连接AB,A B,交于点H,A B交EF于点K,连接DK,111因为ABB A为矩形,所以H为线段A B的中点,因为点E,F分别为棱AB,BB的中点,所1111K=3BK,以点K为线段BH的中点,所以A1又因为CD=3BD,所以A C∥DK,又A C⊄平面DEF,DK⊂平面DEF,所以A C∥平面DEF.111【规律方法】1.利用判定定理判定直线与平面平行,关键是找平面内与已知直线平行的直线.可先直观判断平面内是否已有,若没有,则需作出该直线,常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.2.判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点).(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α).(3)利用面面平行的性质(α∥β,a⊂α⇒a∥β;α∥β,a⊄β,a∥α⇒a∥β).【变式训练】1.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上.若EF∥平面AB1C,则线段EF的长度为________.ꢀ【解析】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,所以AC=2.又E为AD中点,EF∥平面AB C,EF⊂平面ADC,平面ADC∩平面AB C=AC,11所以EF∥AC,所以F为DC中点,所以EF=AC=.答案:2.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形,AB∥CD,∠BAD=60°,AB=2,CD=4,E 为PC的中点.求证:BE∥平面PAD.【证明】设F为PD的中点,连接EF,FA.因为EF为△PDC的中位线,所以EF∥CD,且EF=CD=2.又AB∥CD,AB=2,所以AB EF,故四边形ABEF为平行四边形,所以BE∥AF.又AF⊂平面PAD,BE⊄平面PAD,所以BE∥平面PAD.考点三面面平行的判定与性质及平行的综合问题命考什么:(1)考查面面平行的判定与性质定理的应用.(2)考查直线、平题面平行的综合问题.(3)考查直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素精养.解怎么考:以柱、锥等几何体为载体,考查证明线线、线面、面面平行.读新趋势:考查作已知几何体的截面或求截面面积问题.1.证明面面平行的方法学(1)面面平行的定义.霸(2)面面平行的判定定理.好(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.方(4)两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行.法(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的性质相互转化.2.交汇问题:常联系柱、锥等几何体命题,考查平行、垂直或空间角.命题角度1面面平行的判定与性质【典例】如图所示,在三棱柱ABC-A B C中,E,F,G,H分别是AB,AC,A B,A C的中1111111点,求证:(1)B,C,H,G四点共面.∥平面BCHG.(2)平面EFA1【证明】(1)因为G,H分别是A B,A C的中点,1111所以GH是△A B C的中位线,所以GH∥B C.11111又因为B1C1∥BC,所以GH∥BC,所以B,C,H,G四点共面.(2)因为E,F分别是AB,AC的中点,所以EF∥BC.因为EF⊄平面BCHG,BC⊂平面BCHG,所以EF∥平面BCHG.又G,E分别为A B,AB的中点,A B∥AB且A B=AB,所以A G∥EB,A G=EB, 11111111所以四边形A EBG是平行四边形,所以A E∥GB.11E⊄平面BCHG,GB⊂平面BCHG,又因为A1所以AE∥平面BCHG.1又因为A E∩EF=E,A E,EF⊂平面EFA,111∥平面BCHG.所以平面EFA1命题角度2平行关系的综合应用【典例】如图所示,四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,在侧面PBC内,有BE⊥PC于E,且BE=a,试在AB上找一点F,使EF∥平面PAD.世纪金榜导学号【解析】在平面PCD内,过E作EG∥CD交PD于G,连接AG,在AB上取点F,使AF=EG,因为EG∥CD∥AF,EG=AF,所以四边形FEGA为平行四边形,所以FE∥AG.又AG⊂平面PAD,FE⊄平面PAD,所以EF∥平面PAD.所以F即为所求的点.又PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BC,又BC⊥AB,所以BC⊥平面PAB.所以PB⊥BC.所以PC2=BC2+PB2=BC2+AB2+PA2.设PA=x则PC=,由PB·BC=BE·PC得:a,所以x=a,即PA=a,所以PC= a.又CE=所以即GE=CD=a,所以AF= a.故点F是AB上靠近B点的一个三等分点.【题组通关】【变式巩固·练】1.如图,平面α∥平面β∥平面γ,两条直线a,b分别与平面α,β,γ相交于点A,B,C和点D,E,F.已知AB=2 cm,DE=4 cm,EF=3 cm,则AC的长为______ cm.【解析】因为平面α∥平面β∥平面γ,两条直线a,b分别与平面α,β,γ相交于点A,B,C和点D,E,F,过D作直线平行于a交β于M,交γ于N.连接AD,BM,CN,ME, NF,所以AD∥BM∥CN,ME∥NF,所以因为AB=2 cm,DE=4 cm,EF=3 cm,所以解得BC=cm,所以AC=AB+BC=2+=(cm).答案:2.如图,在正方体ABCD-A B C D中,S是B D的中点,E,F,G分别是BC,DC,SC的中点,111111求证:(1)直线EG∥平面BDD1B 1 .(2)平面EFG∥平面BDD1B 1 .【证明】(1)如图,连接SB,因为E,G分别是BC,SC的中点,所以EG∥SB.又因为SB⊂平面BDD B,EG⊄平面BDD B,1111所以直线EG∥平面BDD1B 1 .(2)连接SD,因为F,G分别是DC,SC的中点,所以FG∥SD.又因为SD⊂平面BDD B,FG⊄平面BDD B,1111所以FG∥平面BDD1B 1 ,又EG⊂平面EFG,FG⊂平面EFG,EG∩FG=G,所以平面EFG∥平面BDD1B 1 .【综合创新·练】1.在四面体ABCD中,M,N分别是面△ACD、△BCD的重心,则四面体的四个面中与MN平行的是________.【解析】如图,连接AM并延长交CD于E,连接BN并延长交CD于F,由重心性质可知, E,F重合为一点,且该点为CD的中点E,由,得MN∥AB,因此,MN∥平面ABC且MN∥平面ABD.答案:平面ABC、平面ABD。
2024届新高考一轮复习人教B版 主题三 第七章 第3节 空间直线、平面的平行 课件(40张)
3.(多选题)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形,AB∥CD,则(
A.平面PAD内任意一条直线都不与BC平行
B.平面PBC内存在无数条直线与平面PAD平行
C.平面PAB和平面PCD的交线不与底面ABCD平行
D.平面PAD和平面PBC的交线不与底面ABCD平行
ABD
)
解析:若平面PAD内存在直线与BC平行,则BC∥平面PAD,
所以A′B′∶AB=3∶7,所以S△A′B′C′∶S△ABC=9∶49.
答案:9∶49
直线、平面平行的基本问题
1.(多选题)平面α与平面β平行的条件可以是( BCD
)
A.α内有无数条直线都与β平行
B.α内的任何直线都与β平行
C.两条相交直线同时与α,β平行
D.两条异面直线同时与α,β平行
解析:当α内有无数条直线与β平行时,α与β可能平行,也可能相交,故A错误;
又EF⊂平面ACE,
BD1⊄平面ACE,
所以BD1∥平面ACE.
答案:平行
3.如图所示,P是三角形ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,α分别交线段PA,PB,PC
于A′,B′,C′,若PA′∶AA′=3∶4,则S△A′B′C′∶S△ABC=
.
解析:由题意,因为平面α∥平面ABC,所以A′B′∥AB,B′C′∥BC,A′C′∥AC,
如果平面外一条直线与此平面
内的一条直线 平行 ,那么该
判定定理
直线与此平面平行(线线平行⇒
线面平行)
一条直线与一个平面平行,如果
过该直线的平面与此平面相交,
性质定理
那么该直线与交线平行(线面平
行⇒线线平行)
图形语言
符号语言
空间直线平面的平行课件-2024届高三数学一轮复习
)
答案 B
解析 ∵在▱AA1B1B中,AM=MA1,BN=NB1,∴AM=BN.又AM∥BN,
∴四边形ABNM是平行四边形,∴MN∥AB.
又MN⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,∴MN∥平面ABC.又MN⊂平面MNEF,平面
MNEF∩平面ABC=EF,∴MN∥EF,∴EF∥AB.在△ABC中,EF≠AB,
∴EF≠MN,∴四边形MNEF为梯形.故选B.
3.设m,n是不同的直线,α,β是不同的平面,则下列命题正确的是(
A.若m∥α,n∥α,则m∥n
B.若m∥α,m∥β,则α∥β
C.若m⊥α,α⊥β,则m∥β
D.若m⊥α,m⊥β,则α∥β
答案 D
解析 A选项,若m∥α,n∥α,则m∥n,或m,n相交或m,n异面,A错误;
EMGHIJ∥平面ACD1,EF∥平面ACD1,则F⊂平面EMGHIJ,观察各选项,ACD
满足.
考点二
线面平行的判定与性质(多考向探究)
考向1.直线与平面平行的判定
典例突破
例2.(2023江西南昌三模)如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD与ABEF
均为直角梯形,AD∥BC,AF∥BE,DA⊥平面
∴BB1=2CD, =2,
∴OE∥GD,又OE⊄平面AA1C1C,GD⊂平面AA1C1C,
∴OE∥平面AA1C1C.
(2)解连接AC1,则GD∥AC1,OE∥AC1,
∴A,C1,O,E四点共面.
又AO∩BC=F,∴F∈AO,F∈平面AC1EO.
又F∈BC,BC⊂平面BB1C1C,
∴F∈平面BB1C1C.
系如何?
提示 平行或异面.
2.面面平行的判定与性质
第八章 第三节 直线、平面平行的判定与性质 课件(共58张PPT)
第三节 直线、平面平行的判定与性质
栏目一 知识·分步落实 栏目二 考点·分类突破 栏目三 微专题系列
栏目导引
课程标准
考向预测
1.以立体几何的定义、公理和定理为
出发，借助长方体，通过直观感知， 考情分析： 直线与平面以及平面与
了解空间中线面平行的有关性质与 平面平行的判定和性质仍会是高考
所以 A1G 綊 EB，所以四边形 A1EBG 是平行四边形，
所以 A1E∥GB. 因为 A1E⊄平面 BCHG，GB⊂平面 BCHG， 所以 A1E∥平面 BCHG. 又因为 A1E∩EF＝E，所以平面 EFA1∥平面 BCHG.
1．如图，平面 α∥平面 β，△PAB 所在的平面与 α，β分别交于 CD，AB，
平行命题的判断 (1)解决与平行相关命题的判断问题，以与平行相关的判定定理和性质定 理为依据，注意定理中相关条件的检验，必须进行严密的逻辑推理． (2)如果判断某个命题错误，则往往利用正方体或其他几何体作为模型构 造反例说明．
直线与平面平行的判定与性质 角度一 直线与平面平行的判定
如图所示，斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中，点 D，D1 分别为 AC，A1C1 的中点．求证：
BC∥平面ADF
BC⊂平面BCPQ
⇒BC∥PQ.
平面BCPQ∩平面ADF＝PQ
PQ∥BC
PQ⊄平面ABCD PQ∥平面 ABCD.
BC⊂平面ABCD
应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时 需要经过已知直线作辅助平面来确定交线．该定理的作用是由线面平行转化 为线线平行．
1．(2020·深圳市统一测试)如图，在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是平行四边形，点 M，
高考 空间中的平行关系 课件(共52张PPT)
第八章
立体几何
【名师点评】
利用线面平行的性质定
理证明线线平行,关键是找出过已知直
线的平面与已知平面的交线.
栏目 导引
第八章
立体几何
考点4
平面与平面平行的性质
平面与平面平行的判定与性质,同直线
与平面平行的判定与性质一样,体现了
转化与化归的思想. 性质过程的转化实施,关键是作辅助平 面,通过作辅助平面得到交线,就可把面 面平行化为线面平行并进而化为线线平
定定理即可证明.
栏目 导引
第八章
立体几何
【证明】 △ABC 中,E、F 分别为 AB、AC 的中点, ∴EF∥BC. 又∵EF⃘ 平面 BCGH,BC⊂平面 BCGH, ∴EF∥平面 BCGH. 又∵G、F 分别为 A1C1、AC 的中点, ∴A1G FC. ∴四边形 A1FCG 为平行四边形. ∴A1F∥GC.
α∥c ③ ⇒α∥β β∥c α∥c ⑤ ⇒α∥a a∥c α∥γ ④ ⇒α∥β β∥γ a∥γ ⑥ ⇒α∥ α∥γ
栏目 导引
第八章
立体几何
其中正确的命题是( A.①②③ B.①④⑤ C.①④
)
D.①④⑤⑥
答案：C
栏目 导引
第八章
立体几何
4.正 方体 ABCD－ A1B1C1D1 中,E是 DD1 的中点,则BD1与平面ACE的位置关系为 __________.
栏目 导引
第八章
立体几何
又 A1F⊄平面 BCGH,CG⊂平面 BCGH, ∴A1F∥平面 BCGH. 又∵A1F∩EF＝F, ∴平面 A1EF∥平面 BCGH.
栏目 导引
第八章
立体几何
【名师点评】
第47讲空间中的平行关系 公开课一等奖课件
因为平面 ABC∥平面 DEFG，平面 ABC∩平面 ADEB＝ AB，平面 DEFG∩平面 ADEB＝DE， 所以 AB∥DE，所以 AB∥FM，又 AB＝DE，所以 AB＝ FM，所以四边形 ABFM 是平行四边形，即 BF∥AM. 又 BF⊄平面 ACGD，故 BF∥平面 ACGD，故选 A.
证明：连接 B1C，与 BC1 相交于 O，连接 OD，如图． 因为四边形 BCC1B1 是矩形，所以 O 是 B1C 的中点． 又 D 是 AC 的中点，所以 OD∥AB1. 因为 AB1⊄平面 BDC1，OD⊂平面 BDC1， 所以 AB1∥平面 BDC1.
【拓展演练 2】 (2012· 广东省深圳市模拟)如图，AA1、BB1 为圆柱 OO1 的 母线， BC 是底面圆 O 的直径， D、 E 分别是 AA1、 CB1 的中点， DE⊥平面 CBB1.证明：DE∥平面 ABC.
证明：连接 EO，OA. 因为 E，O 分别为 B1C，BC 的中点， 1 所以 EO∥BB1，且 EO＝ BB1. 2 1 又 DA∥BB1，且 DA＝ BB1， 2 所以 DA 綊 EO， 所以四边形 AOED 是平行四边形， 即 DE∥OA，DE⊄平面 ABC，OA⊂平面 ABC 所以 DE∥平面 ABC.
2．(原创)如图，矩形 ABCD 中，E，F 分别在线段 BC 和 AD 上，EF∥AB，将矩形 ABEF 沿 EF 折起．记折起后 的矩形为 MNEF，且平面 MNEF⊥平面 ECDF，则下列叙述 不正确的是( D ) A．NC∥平面 MFD B．NC∥MD C．EF 与 ND 异面 D．EF∥NC
三
平面与平面平行的判定与性质
【例 3】(2012· 东北四校第二次联考)如图，边长为 1 的正
空间向量与平行关系 课件
【解析】1.选A.(-2，0，2)=-2(1，0，-1),故v1∥v2，又l1和
l2不重合，所以直线l1和l2的位置关系是平行.
2.存在.如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD-
A1B1C1D1的棱长为1，则E(1，1 ，0)，F(1，0，1 )，C 0，1，0 ，
2
3
假设在DD1上存在一点G，使CG∥EF则，CG EF，由于点G在z
2.∵l∥α，∴l的方向向量与平面α的法向量垂直，
则2, m,1 (1, 1 , 2) 0,
2 2 1 m 2 0标系，则有D(0，0，0)，A(2，
0，0)，B1(2，2，2)，C1(0,2,2),E(2，2，1)，F(0，0，
1)，所以 FC1 0，2，1，AD 2，0，0，AE 0，2，1，C1B1 2，0，0,
A(0，0，0)，A1(0，0，4)，B(1，0，0)，
B1(1，0，4)，C1(0，2，4).
(1) AB1 1，0，4,AC1 0，2，4,
设平面AB1C1的法向量为n=(x,y,z)，则 n AB1且n AC1,
即
x 4z 0, 2y 4z 0,
令z=1，则x=-4,y=-2，
类型 三 利用空间向量处理线面平行与面面平行问题
【典型例题】
1.已知平面α的一个法向量是(2，3，-1)，平面β的一个法
向量是(4，λ,-2),若α∥β，则λ的值是( )
A. 10
B.-6
C.6
D.10
3
3
2.已知l∥α,且l的一个方向向量为(2,m,1),平面α的一个法
向量为 (1, 1 , 2)，则m=_________.
2.利用空间向量证明两个平面平行的思路方法 (1)直接证明法:建立空间直角坐标系,分别求出两个平面的法向 量,证明两个法向量平行. (2)间接证明法:根据两个平面平行的判定定理,把证明两个平面 平行转化为证明线面平行或线线平行,再利用空间向量证明.