平面向量的基本定理

分解
a
平移
a
共同起点 e2
B
a
e2
O
A
e1
e1
a OA OB OA 1e1
OB 2 e2
a 1e1 2e2
1．平面向量基本定理
(1)定理：如果向量 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线向 量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数 λ1，λ2，使得a 1 e1 2 e2 .
基底的概念
【例1】若向量 a，b不共线，且c 2a b,d 3a 2b,试判断
向量 c 与 d 能否作为基底 .
思路分析：要判断c ，d 能否作为基底，只需看c ，d 是否 共线，若共线，则不能作为基底；否则可以作为基底．
跟踪练习. 若e1，e2是表示平面内所有向量的一组基底，则 下面的四组向量中不能作为基底的 ( )
直线AB∥直线CD
知识点一 平面向量基本定理
讨论探究
向量 a与向量e1，e2共起点，向量 a 是同一平面内
任一向量e
与
1
e2不共线，探究向量 a 与
e1 ，e2
之
间的关系.
向量 e1 ，e2同一平面内不共线的两个向量，向量 a
是这一平面内的任一向量，探究向量a 与 e1，e2 之间的关系 .
e2 e1
y)(2) i i 0 j (1, 0) j 0i j (0,1)
求证：直线上任意一点P,存在实数t ,，使得OP 关于基底
{OA,OB} 的分解式为OP (1 t)OA OB.
并且满足上式的点P 一定在直线l上.
思路分析：以基底为出发点，应用平面向
量基本定理结合向量共线，推证结论.
令t 1 ,点P是AB的 中 点 ， 则 A 2
P
OP 1（OA OB ) 2
A. e1 e2和e1 e2 C. e1 3e2和e2 3e1
B. 3e1 2e2和4e2 6e1 D. e2和e1 e2
用基底表示向量 【例 2】在▱ABCD 中，设A→C＝ a，B→D＝b，试用 a，b 表示A→B，B→C.
思路分析：画出平行四边形，以 a, b 作为基底，
利用向量加法的三角形或平行四边形法则转化 表示．
2.3.2平面向量正交分解及坐标表示
向量的正交分解
一个平面向量用一组基底e1, e2表示成ａ 1e1 2 e2
的形式，我们称它为向量的分解。当e1, e2互相垂直时， 就称为向量的正交分解。
在平面上，如果选取互相垂直的向量作 为基底时，会为我们研究问题带来方便
平面向量的坐标表示
如图,在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴正方向
B O
A P
B O 课本P97例2
1．已知平行四边形 ABCD，下列各组向量中，是该平面内
所有向量基底的是 ( )
A.A→B，D→C B.A→D，B→C
C.A→D，C→B
D.A→B，D→A
2. 若点o是平行四边形 ABCD 的中心，AB 4e1, BC 6e2, 则3e2 2e1 _______.
(3)第二分配律: (a b ) a b
1实三.数、定理向:,量向 使量 得共.b线b与 的非零充a向要量条a件共：线,有且只有一个
2. 定理的应用：
1).证明 向量共线
2).证明 三点共线: AB=λBC
AB ∥ BC
又B为公共点 A,B,C三点共线
3).证明 两直线平行:
AB=λCD AB∥CD AB与CD不在同一直线上
一、数乘的定义：
一般地,实数 与向量 a
的积是一个向量,记作: a
它的长度和方向规定如下:
(1)| a || || a |;
(2)当
当 (3)当
0
0 0
时时时,,,或aaa的的方方0向向时与与, aaa
的方向相同; 的方向相同;
0
二、数乘的运算律：
(1)结合律:
(a) ()a
(2)第一分配律:Biblioteka Baidu( )a a a
2.已知向量 e1、e2 不共线，实数 x、y 满足(3x－4y)e1＋ (2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则 x－y＝________.
3.如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起， 若A→D＝xA→B＋yA→C，则 x＝_______，y＝______.
1. 平面向量基本定理 2.平面向量基本定理的应用 3.向量的夹角与垂直 4.转化思想方法及其应用
(2)基底：不共线的向量e1 , e2 叫做表示这一平面内所有 向量的一组基底．
2. 定理说明
（1）基底e1、e不2 共线，零向量不能做基底.
（2）定理中向量a 是任一向量，实数1与唯2 一.
（3）1e1 叫2 e做2 向量 关于a 基底 的e分1 , 解e2 式. (4)基底给定时,分解形式唯一.
变式训练. 设向量e1，e2是表示平面内所有向量的
一组基底，若向量a e1 e2 ,向量 b e1 2e2 , 且a // b,则实数 的值为_______ .
知识点二、向量的夹角与垂直 B
: 两个非零向量 a 和 b ,作OA a ， b
OB b ,则AOB
O
a
A
叫做向量 a 和 b 的夹角．注 是同意起:两点向的量必须
3.已知G为ABC 的重心，设 AB a, AC b, 若AG
a b（, R), 则 _______; ________ .
1.下面三种说法： ①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向 量的基底； ②一个平面内有无数多对不共线向量可作该平面所有向量的 基底； ③零向量不可作为基底中的向量， 其中正确的说法是( ) A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
同向的两个单位向量 i、j 作基底.
平面内的任一向量 a ,
有且只有一对实数x,y,使 a xi y j 成立
则称（x，y）是向量 a的坐标
记作： a (x, y)
注意：
a ya
（1）与 a 相等的向量的坐标均为（x,
j
y)
O
x
i
平面向量的坐标表示
注意：
（1）与 a 相等的向量的坐标均为（x,
特别的：
a
B
a
ObB
0
A Bb O
180
A
b
O
a
A
a 与 b同向
a 与 b 反向
90
夹角的范围：
a 与b 垂直， 记作 a b
例2.在等边三角形中，求 (1)AB与AC的夹角； (2)AB与BC的夹角。
C C'
1200
60
A
B
平面向量基本定理的应用 例3.已知点A，B 是直线l上任意两点，点o是直线l 外一点，