高等数学第十一章第六节

9 d d ( sin z ) d z 0 0 0 2

2
( sin z ) d d d z
1
o 1 x
y


3
思考: 若 改为内侧, 结果有何变化? 若 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算?
例2. 计算曲面积分
1 2 其中 是旋转抛物面 z ( x y 2 ) 2
I ( x 3 z x) d y d z x 2 yz d z d x x 2 z 2 d x d y. z 解: 作取下侧的辅助面 2 ( x, y ) D x y : x 2 y 2 1 1 : z 1 1 用极坐标 1 I 用柱坐标

A n d S 为向量场 A 通过


2.定义：在场中点 M(x, y, z) 处 P Q R 记作 div A x y z 称为向量场 A 在点 M 的散度.
例5 求下列向量 A 穿过曲面Σ流向指定侧的通量. ① A xi yj zk Σ：正方体 0 x 1,0 y 1,0 z 1的全表面，流向外侧. ② A yzi xzj xyk Σ：圆柱 x 2 y 2 a 2 (0 z b)

n n
当 > 0 时, 说明流入 的流体质量少于
流出的, 表明 内有泉; 当 < 0 时, 说明流入 的流体质量多于流出的, 表明
内有洞 ;
当 = 0 时, 说明流入与流出 的流体质量相等 .
根据高斯公式, 流量也可表为
③
设有向量场 A( x , y , z ) ,在场内作包围点M V V 的闭曲面 , 包围的区域为 ,记体积为 .若 当V 收缩成点 M 时,
*二、物理意义----通量与散度
1.定义: 设有向量场
A( x, y, z ) P( x, y, z ) i Q( x, y, z ) j R( x, y, z ) k
其中P, Q, R 具有连续一阶偏导数, 是场内的一片有向
曲面, 其单位法向量 n, 则称
有向曲面 的通量(流量) . 即 通量 Pdydz Qdzdx Rdxdy
出的流体的总质量. 左端解释： 即流体的质量： 不可压缩流体 （假设密度为1）
分布在Ω内的源头在
单位时间内所产生的
通过闭曲面的流体质量. 右端解释： 单位时间内离开闭区域Ω的
的流体的总质量.
的流体的总质量.
若 为方向向外的闭曲面, 则单位时间通过 的流量为
P d y d z Q d z d x Rdx d y
z轴的柱面的一部分，取外侧.
根据三重积分的计算法


R dv z
{
D xy
z2 ( x , y )
z1 ( x , y )


R dv z
{
D xy
z2 ( x , y )
z1 ( x , y )
R dz } dx dy z

{ R[ x , y, z2 ( x , y )] R[ x , y, z1 ( x , y )]}dxdy.
1 1
d x d ydz (1) ( x ) d x d y
2
o
x
1y
13 12

2
0
Dxy
d

1 0
d

2 0
cos d
2
使用Guass公式时应注意:
1. P , Q , R是对什么变量求偏导数;
2.是否满足高斯公式的条件;
3.Σ 是取闭曲面的外侧.
散度绝对值的大小反映了源的强度. 若向量场 A 处处有 div A 0 , 则称 A 为无源场. 例如, 匀速场 v (v x , v y , v z ) (其中v x , v y , v z 为常数 ),
div v 0
故它是无源场.
*例7. 置于原点, 电量为 q 的点电荷产生的场强为 q q ( r 0) E 3 r 3 ( x, y , z ) r r
求 div E . x y z 3 解: div E q 3 x r y r z r 3
r 2 3x 2 r 2 3 y 2 r 2 3z 2 q 5 5 5 r r r ( r 0) 0
如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于 G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域.
G G G
一维单连通
二维单连通
一维单连通
二维不连通
一维不连通
二维单连通
例1. 用Gauss 公式计算 其中 为柱面 及平面 z = 0 , z = 3 所围空间 z 闭域 的整个边界曲面的外侧. 3 解: 这里 P ( y z ) x, Q 0, R x y 利用Gauss 公式, 得 原式 = ( y z ) d x d y d z (用柱坐标)
的全表面，流向外侧.
例6 求下列向量场 A 的散度. A e xy i cos( xy) j cos( xz2 )k
P Q R ( x y z )dv Pdydz Qdzdx Rdxdy
是单位时间内源头散发 表示流量，此处也叫通量.
证明 设闭区域 在面 xoy 上的投影区域为D xy .
z
由1 , 2 和 3 三部分组成, 1 : z z1 ( x , y ) ，取下侧
2 3
1

2 : z z2 ( x , y )，取上侧
3 : 是以 Dxy 的边界
o
为准线而母线平行于
D xy
y
x
R dz } dx dy z

Gauss公式的实质
表达了空间闭区域上的三重积分与其边界 曲面上的曲面积分之间的关系. 使用Guass公式时应注意:
1. P , Q , R是对什么变量求偏导数; 2.是否满足高斯公式的条件;
3.Σ 是取闭曲面的外侧.
设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成 的区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域;
P Q R M x y z 此式反应了流速场在点M 的特点: 其值为正,负或 0, 分别反映在该点有流体涌出, 吸入, 或没有任何变化.
说明: 由引例可知, 散度是通量对体积的变化率, 且
div A 0 表明该点处有正源, div A 0 表明该点处有负源, div A 0 表明该点处无源,
2 D xy
R( x , y, z )dxdy 0.
3
于是
R( x , y, z )dxdy


{ R[ x , y, z2 ( x , y )] R[ x , y, z1 ( x , y )]}dxdy,
D xy
R 所以 z d x d y d z R d x d y 若 不是 XY–型区域 , 则可引进辅助面 将其分割成若干个 XY–型区域, 在辅助面 正反两侧面积分正负抵消, 故上式仍成立 . P 类似可证 d v Pd y d z x Q d v Qd z d x y 三式相加, 即得所证 Gauss 公式： P Q R d v x y z P d y d z Q d z d x R d xdy --------高斯公式
I 2 ( x y z ) d xdydz

Dx y
h d xd y
z
2
利用质心公式, 注意 x y 0
4 2 z d x d ydz h

1 h h
o x
2 z z 2 d z h
0
h

y
4
1 4 h 2
2 2 例4. 设 为曲面 z 2 x y , 1 z 2 取上侧, 求

在 1 上 , 0 记 , 1所围区域为, 则 2
I (
1
)( x 2 cos y 2 cos z 2 cos ) d S
1
Dx y
2
( x y z ) d x d y d z
h2 d x d y
介于 z = 0 及 z = 2 之间部分的下侧. （上一节例题）
解法2: 作辅助面 1 : z 2, ( x 2 y 2 4) 取上侧
I (
1

1
)( z x)dydz zdxdy
2
1
1


( z 2 x)dydz z d x d y (1 0 1) d V
极限 lim
A dS

V M
V
存在,
div 则称此极限值为A 在点M 处的散度, 记为 A .
散度在直角坐标系下的形式
P Q R ( x y z )dv vndS
1 P Q R 1 ( x y z )dv V vndS V P Q R 1 ( ) ( , , ) vndS 积分中值定理, x y z V
一、高 斯 公 式
P Q R ( x y z )dv Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R 或 ( )dv x y z
( P cos Q cos R cos )dS

这里 是 的整个边界曲面的外侧， cos , cos , cos 是 上点( x , y , z ) 处的法向 量的方向余弦.


由两类曲面积分之间的关系知