(江西专用)高考数学二轮复习 专题限时集训(七)第7讲 解三角形配套作业 文(解析版)
(江西专用)高考数学二轮复习 专题限时集训(十三)B第13讲 直线与方程、圆与方程配套作业 文(解析版).pdf
专题限时集训(十三)B[第13讲 直线与方程、圆与方程](时间：30分钟) 1．已知点A(－1，1)和圆C：x＋y－10x－14y＋70＝0，一束光线从点A出发，经过x轴反射到圆C的最短路程是( )若直线3x＋y＋a＝0过圆x＋y＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为( )A．－1 ．－3 ．直线x－y＋m＝0与圆x＋y－2x－1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是( )－3<m<1 ．－4<m<2直线＋y－2＝0与圆O：x＋y＝4交于A，B两点，则·＝( )－2－4 5．圆心在曲线y＝x<0)上，并且与直线y＝－1及轴都相切的圆的方程是( )(x＋2)＋(y－1)＝2(x－2)＋(y＋1)＝4(x－2)＋(y－1)＝4 (x＋2)＋(y－1)＝4直线tx＋y－t＋1＝0(t∈R)与圆x＋y2x＋4y－4＝0的位置关系为( )相交 ．相切相离 ．以上都有可能若圆(x－1)＋(y＋1)＝R上有且仅有两个点到直线＋3＝11的距离等于1，则半径R的取值范围是( )两个圆x＋y＋2ax＋a－4＝0与x＋y－4by－1＋4b＝0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R，ab≠0，则＋的最小值为( ) B. C．1 D．3 9．已知点A(－2，0)，B(1，)是圆x＋y＝4上的定点，经过点B的直线与该圆交于另一点C，当△ABC面积最大时，直线BC的方程是________过P(－2，4)及Q(3，－1)两点，且在x轴上截得的弦长为6的圆方程是________已知点P的坐标(x，y)满足过点P的直线l与圆C：x＋y2＝14相交于A，B两点，则|AB|的最小值为________河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面9 ，拱圈内水面宽22 ，一船只在水面以上部分高6.5 ，船顶部宽4 ，可通行无阻，如图13－1.近日水位暴涨了2.7 ，船已经不船员必须加重船载，降低船身在水面以上的高度，则船身必须降低________才能通过桥洞．(精确到0.01 ) 图13－1专题限时集训(十三)【基础演练】 [解析] 如图，易知最短距离过圆心，首先找出A(－1，1)关于x轴的对称点A′(－1，－1)，则最短距离为|CA′|－r.又圆方程可化为：(x－5)＋(y－7)＝2，则圆心C(5，7)，r＝2，则|CA′|－r＝－2＝10－2＝8，即最短路程为8. 2． [解析] 因为圆x＋y＋2x－4y＝0的圆心为(－1，2)，由直线3x＋y＋a＝0过圆心得：a＝1. [解析] 圆的方程为(x－1)＋y＝2，由不等式，解得－3<m<1，C中的m范围． [解析] 直线＋y－2＝0与圆O：x＋y＝4交于A(1，)，B(2，0)，＝2.【提升训练】 [解析] 设圆心坐标为x，，根据题意得＋1＝－x，解得x＝－2，此时圆心坐标为(－2，1)，圆的半径为2，故所求的圆的方程是(x＋2)＋(y－1)＝4. [解析] 圆的方程为(x－1)＋(y＋2)＝3，圆心到直线的距离d＝，故直线与圆相交，或者由直线tx＋y－t＋1＝0(t∈R)过定点(1，－1)，该点在圆内得直线与圆相交． [解析] 圆心到直线的距离为2，又圆(x－1)＋(y＋1)＝R上有且仅有两个点到直线4x＋3y＝11的距离等于1，故半径R的取值范围是1<R<3(画图)． [解析] 两圆有三条公切线，说明两圆外切．两个圆的方程分别为(x＋a)＋y＝2，x＋(y2b)2＝1，所以a，b满足＝3，即a＋4b＝9，所以＋＝(a＋4b)＋＝＋＋5＋2＝1，等号当且仅当a＝2b时成立．＝1 [解析] AB的长度恒定，故△ABC面积最大，只需要C到直线AB的距离最大即可．此时，C在AB的中垂线上，k＝，AB的中垂线方程为y－＝－＋，代入x＋y＝4得C(1，－)，所以直线BC的方程是x＝1.(x－1)＋(y－2)＝13或(x－3)＋(y－4)＝25 [解析] 设圆方程为(x－a)＋(y－b)＝r，则或 [解析] 要使过点P的直线l与圆C的相交弦长最小，则需圆心C到直线l的距离最大．当CP⊥l时，圆心C到直线l的距离最大，而当点P取直线x＋y＝4与x＝1的交1，3)时，|CP|取得最大值，此时|AB|取最小值，且|AB|＝2＝4.(如图)． 12．0.38 [解析] 在正常水位时，设水面与桥横截面的交线为x轴，过最高点且与水面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A，B，D三点的坐标分别为(－11，0)，(11，0)，(0，9)．又圆心C在y轴上，故可设C(0，b)． 因为|CD|＝|CB|，所以9－b＝，解得b＝－所以圆拱所在圆的方程为：＋＝＝当x＝2时，求得y≈8.820，即桥拱宽为4 的地方距正常水位时的水面约8.820 ，距涨水后的水面约6.120 ，因为船高6.5 ，顶宽4 ，所以船身必须降低6.5－6.120＝0.38()以上，船才能顺利通过桥洞． 高考学习网： 高考学习网：。
高考数学(文)二轮复习配套作业(解析版)：专题限时集训(五)A(江西省专用)
专题限时集训(五)A[第5讲导数在研究函数中的应用](时间：45分钟)1．直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝x 3＋ax ＋1相切于点(2，3)，那么b 的值为( )A ．－3B ．9C ．－15D ．72．函数f (x )＝x ＋2cos x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上有最大值，那么取得最大值时x 的值为( ) A ．0B.π6C.π3D.π23．函数f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1，1]上的最大值是( )A ．－2B ．0C ．2D ．44．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1有极大值又有极小值，那么a 的取值范围是________．5．函数f (x )＝ax 2－b 在区间(－∞，0)内是减函数，那么a ，b 应满足( )A ．a <0且b ＝0B ．a >0且b ∈RC ．a <0且b ≠0D ．a <06．设P 点是曲线f (x )＝x 3－3x ＋23上的任意一点，若P 点处切线的倾斜角为α，那么角α的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，πB.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫5π6，π C.⎣⎡⎭⎫2π3，π D.⎝⎛⎭⎫π2，5π67．有一机器人运动的位移s (单位：m)与时间t (单位：s)之间的函数关系为s (t )＝t 2＋3t，那么该机器人在t ＝2时的瞬时速度为( )A.194m/sB.174m/s C.154m/sD.134m/s 8．定义在区间[0，a ]上的函数f (x )的图像如图5－1所示，记以A (0，f (0))，B (a ，f (a ))，C (x ，f (x ))为顶点的三角形面积为S (x )，那么函数S (x )的导函数S ′(x )的图像大致是( )图5－1图5－29．已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2的图像在点(－1，2)处的切线恰好与直线3x ＋y ＝0平行，若f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递减，那么实数t 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，1]C ．[－2，－1]D ．[－2，＋∞)10．已知直线y ＝e x 与函数f (x )＝e x 的图像相切，那么切点坐标为________．11．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ，n ∈[－1，1]，那么f (m )＋f ′(n )的最小值是________．12．已知函数f (x )＝x 4－2ax 2，若0<x ≤1时，函数f (x )的图像上任一点处的切线斜率均小于1，那么实数a 的范围为________．13．已知函数f (x )＝1－x ax＋ln x .(1)若函数f (x )在[1，＋∞)上为增函数，求正实数a 的取值范围；(2)讨论函数f (x )的单调性．14．已知函数f (x )＝(x －k )2e x k. (1)求f (x )的单调区间；(2)若对于任意的x ∈(0，＋∞)，都有f (x )≤1e，求k 的取值范围．15．设函数f (x )＝a ln x －bx 2(x >0)．(1)若函数f (x )的图像在x ＝1处与直线y ＝－12相切， ①XX 数a ，b 的值；②求函数f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上的最大值；(2)当b ＝0时，若不等式f (x )≥m ＋x 对所有的a ∈⎣⎡⎦⎤0，32，x ∈(1，e 2]都成立，XX 数m 的取值范围．数学解析下载见： :// 学优高考网 /down/2013-2/11/1034079.shtml。
【创新设计】(江西专用)高考数学二轮复习 专题训练 规范练一 三角函数与解三角形 理
规范练一 三角函数与解三角形1．已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3A cos x ，A 2cos 2x (A ＞0)，函数f (x )＝m ·n 的最大值为6.(1)求A ；(2)将函数y ＝f (x )的图象左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24上的值域． 解 (1)f (x )＝m ·n ＝3A sin x cos x ＋A2cos 2x ＝A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 因为A ＞0，由题意知A ＝6.(2)由(1)得f (x )＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位后得到y ＝6sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6＝ 6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象； 再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到 y ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3的图象； 因此g (x )＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24，所以4x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π6， 故g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24上的值域为[－3,6]． 2．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2cos 2x －1. (1)求函数f (x )的单调增区间；(2)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且a ＝1，b ＋c ＝2，f (A )＝12，求△ABC 的面积．解 (1)∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2cos 2x －1＝32sin2x －12cos2x ＋cos2x ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. ∴函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． (2)∵f (A )＝12，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12. 又0＜A ＜π，∴π6＜2A ＋π6＜13π6. ∴2A ＋π6＝5π6，故A ＝π3. 在△ABC 中，∵a ＝1，b ＋c ＝2，A ＝π3， ∴1＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即1＝4－3bc .∴bc ＝1.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝34. 3．已知函数f (x )＝cos x (sin x －3cos x )(x ∈R )．(1)求函数f (x )的最大值以及取最大值时x 的取值集合；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝－32，a ＝3，b ＋c ＝23，求△ABC 的面积．解 (1)f (x )＝cos x (sin x －3cos x )＝sin x cos x －3cos 2x＝sin 2x 2－3cos 2x 2－32 ＝sin (2x －π3)－32. 当2x －π3＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋5π12，k ∈Z ， 即x ∈{x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z }时，f (x )取最大值1－32. (2)由f (A 2)＝－32，可得sin (A －π3)＝0， 因为A 为△ABC 的内角，所以A ＝π3， 则a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ，由a ＝3，b ＋c ＝23，解得bc ＝1，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝34. 4．已知△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，面积为S ，a cos C ＋3c sin A －b －c ＝0.(1)求角A 的值；(2)若a ＝3，求33S ＋3cos B cos C 取最大值时S 的值． 解 (1)由正弦定理，得sin A ·cos C ＋3sin A ·sin C －sin B －sin C ＝0， ∴sin A ·cos C ＋3sin A ·sin C －sin (A ＋C )－sin C ＝0，sin A ·cos C ＋3sin A ·sin C －sin A cos C －cos A sin C －sin C ＝0，∴3sin A ·sin C －cos A ·sin C －sin C ＝0，又sin C ≠0，∴3sin A －cos A ＝1，即2sin (A －π6)＝1， ∴sin (A －π6)＝12，∵－π6＜A －π6＜5π6， ∴A －π6＝π6，∴A ＝π3. (2)∵b sin B ＝c sin C ＝a sin A ＝332＝2， ∴b ＝2sin B ，c ＝2sin C ，由(1)知C ＝2π3－B ， ∴33S ＋3cos B cos C ＝33·12bc sin A ＋3cos B cos C ＝33·12·2sin B ·2sin C ·32＋3cos B cos C ＝sin B sin C ＋3cos B cos C ＝sin B ·sin (2π3－B )＋3cos B ·cos (2π3－B ) ＝34sin 2 B ＋12sin 2 B －32cos 2 B ＋34sin 2B ＝34sin 2B ＋12·12(1－cos 2B )－32·12(1＋cos 2B )＋34sin 2B ＝3＋14(3sin 2B －cos 2B )＋1－34＝3＋12sin (2B －π6)＋1－34∵0＜B ＜2π3，∴－π6＜2B －π6＜7π6，∴当2B －π6＝π2，即B ＝π3时，原式取得最大值， 此时S ＝12(3)2×sin π3＝32×32＝334.。
江西新高考数学文科二轮复习作业精练精析专题限时集训(七)(含答案详析)
专题限时集训(七)[第7讲 导数在研究函数性质中的应用](时间：45分钟)1．过曲线y ＝x 3＋x －2上一点P 0y ＝4x ，则点P 0的一个坐标是( ) A ．(0，－2) B ．(1，1) C ．(1，4) D ．(－1，－4) 2．函数f(x)＝2ln x ＋x 2－bx ＋a(b>0，a ∈R )在点(b ，f(b))处的切线斜率的最小值是( ) A ．2 2 B ．2 C. 3 D ．13．函数y ＝x 33x －1的图像大致是( )图X7－14．现有四个函数：①y ＝xsin x ，②y ＝xcos x ，③y ＝x|cos x|，④y ＝x2x .它们的部分图像如图X7－2所示，但顺序被打乱，则按照从左到右将图像对应的函数序号排列正确的一组是( )图X7－2A ．④①②③B ．①④③②C ．①④②③D ．③④②①5．函数f(x)＝x ＋sin x(x ∈R )( ) A ．是偶函数且为减函数 B ．是偶函数且为增函数 C ．是奇函数且为减函数 D ．是奇函数且为增函数6．函数f(x)＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1，5)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[4，5]B ．[3，5]C ．[5，6]D ．[6，7]7．定义在R 上的函数f(x)满足R 都有f′(x)<4，则不等式f(x)>4x －3的解集为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)8．已知函数f(x)＝ax －x 3，对区间(0，1)上的任意x 1，x 2，且x 1<x 2，都有f(x 2)－f(x 1)>x 2－x 1成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(0，1)B ．[4，＋∞)C ．(0，4]D ．(1，4]9．设函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意x ∈R 都有f′(x)>f(x)成立，则( ) A ．3f(ln 2)>2f(ln 3) B ．3f(ln 2)＝2f(ln 3) C ．3f(ln 2)<2f(ln 3)D ．3f(ln 2)与2f(ln 3)的大小不确定 10．已知函数f(x)及其导数f′(x)，若存在x 0，使得f(x 0)＝f′(x 0)，则称x 0是f(x)的一个“巧值点”．下列函数中，有“巧值点”的是( )①f(x)＝x 2；②f(x)＝e －x ；③f(x)＝ln x ；④f(x)＝tan x ；⑤f(x)＝1x.A ．①③⑤B ．③④C ．②③④D ．②⑤11．设a 为实数，函数f(x)＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数为f′(x)，且f′(x)是偶函数，则曲线y ＝f(x)在原点处的切线方程为________．12．函数f(x)＝x 3－x 2＋ax ＋b 在点x ＝1处的切线与直线y ＝2x ＋1垂直，则a ＝________．13．已知函数f(x)＝13x 3＋ax 2＋bx(a ，b ∈R )．(1)当a ＝1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若f(1)＝13，且函数f(x)在⎝⎛⎭⎫0，12上不存在极值点，求a 的取值范围．14．已知a>0，函数f(x)＝ax 2－ln x. (1)求f(x)的单调区间；(2)当a ＝18时，证明：方程f(x)＝f ⎝⎛⎭⎫23在区间(2，＋∞)上有唯一解．15．已知函数f(x)＝axx2＋1＋a，g(x)＝aln x－x(a≠0)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求证：当a>0时，对于任意x1，x2∈(]0，e，总有g(x1)<f(x2)成立．专题限时集训(七)1．D [解析] y′＝3x 2＋1，设P 0(x 0，x 30＋x 0－2)，则3x 20＋1＝4，x 0＝±1.验证得其中的一个坐标为(－1，－4)．2．A [解析] f′(x)＝2x ＋2x －b ，则在点(b ，f(b))处的切线斜率k ＝2b＋b ≥2 2.3．C [解析] 函数的定义域是{x ∈R |x ≠0}，排除选项A ；当x<0时，x 3<0，3x －1<0，故y>0，排除选项B ；当x →＋∞时，y>0且y →0，故为选项C 中的图像． 4．C [解析] ①y ＝xsin x 为偶函数，对应第一个图像；②y ＝xcos x 为奇函数，y ′＝cos x －xsin x ，满足cos x －xsin x ＝0的极值点有无数多个，且在原点右侧的两个极值为一正一负，因此②对应第三个图像，选C.5．D [解析] 满足f(－x)＝－f(x)，故函数是奇函数；f′(x)＝1＋cos x ≥0，故函数f(x)是增函数．6．D [解析] f′(x)＝x 2－ax ＋a －1，易得⎩⎪⎨⎪⎧f′（1）≤0，f ′（5）≤0，且⎩⎪⎨⎪⎧f′（6）≥0，a 2≤6，所以6≤a ≤7.7．C [解析] 令g(x)＝f(x)－4x ＋3，则g′(x)＝f′(x)－4，因为f′(x)<4，所以g′(x)＝f′(x)－4<0，所以函数g(x)＝f(x)－4x ＋3在R 上单调递减．又f(1)＝1，所以g(1)＝f(1)－4＋3＝0，所以g(x)＝f(x)－4x ＋3>0的解集为(－∞，1)，即不等式f(x)>4x －3的解集为(－∞，1)．8．B [解析] 问题等价于函数g(x)＝f(x)－x 在(0，1)上为增函数，即g′(x)＝a －1－3x 2≥0，即a ≥1＋3x 2在(0，1)上恒成立，即a ≥4，所以实数a 的取值范围是[4，＋∞)．9．C [解析] 构造函数g(x)＝f （x ）e x，则g′(x)＝f′（x ）e x －f （x ）e x（e x ）2＝f′（x ）－f （x ）e x >0，函数g(x)在R 上单调递增，所以g(ln 2)<g(ln 3)，即f （ln 2）e ln 2<f （ln 3）e ln 3，即3f(ln 2)<2f(ln 3)．10．A [解析] ①即x 2＝2x ，这个方程显然有解，故①符合要求；②即e －x ＝－e －x ，此方程无解，②不符合要求；③即ln x ＝1x ，数形结合可知这个方程也存在实数解，符合要求；④中，f ′(x)＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝1cos 2x ，若f(x)＝f′(x)，即1cos 2x＝tan x ，化简得sin xcos x ＝1，即sin 2x ＝2，方程无解，④不符合要求；⑤中，f ′(x)＝－1x 2，－1x 2＝1x，可得x ＝－1为该方程的解，故⑤符合要求．11．3x ＋y ＝0 [解析] f′(x)＝3x 2＋2ax ＋a －3，f ′(x)是偶函数，因此a ＝0，f(x)＝x 3－3x ，f ′(0)＝－3，所以y ＝f(x)在原点处的切线方程为3x ＋y ＝0.12．－32 [解析] 由题意可知该函数在点x ＝1处的切线的斜率为k ＝－12，f ′(x)＝3x 2－2x ＋a ，所以f′(1)＝3×12－2×1＋a ＝－12，a ＝－32.13．解：(1)当a ＝1时，f ′(x)＝x 2＋2x ＋b. ①若Δ＝4－4b ≤0，即b ≥1时，f ′(x)≥0，所以f(x)为(－∞，＋∞)上为增函数，所以f(x)的增区间为(－∞，＋∞)；②若Δ＝4－4b>0，即b<1时，f ′(x)＝(x ＋1＋1－b)(x ＋1－1－b)，所以f(x)在(－∞，－1－1－b)，(－1＋1－b ，＋∞)上为增函数，f(x)在(－1－1－b ，－1＋1－b)上为减函数．所以f(x)的增区间为(－∞，－1－1－b)，(－1＋1－b ，＋∞)，减区间为(－1－1－b ，－1＋1－b)．综上，当b ≥1时，f(x)的增区间为(－∞，＋∞)；当b<1时，f(x)的增区间为(－∞，－1－1－b)，(－1＋1－b ，＋∞)；减区间为(－1－1－b ，－1＋1－b)．(2)由f(1)＝13，得b ＝－a ，即f(x)＝13x 3＋ax 2－ax ，f ′(x)＝x 2＋2ax －a.令f′(x)＝0，即x 2＋2ax －a ＝0，变形得(1－2x)a ＝x 2，因为x ∈⎝⎛⎭⎫0，12，所以a ＝x 21－2x .令1－2x ＝t ，则t ∈(0，1)，x 21－2x ＝14⎝⎛⎭⎫t ＋1t －2. 因为h(t)＝t ＋1t －2在t ∈(0，1)上单调递减，故h(t)∈(0，＋∞)．由y ＝f(x)在⎝⎛⎭⎫0，12上不存在极值点，得a ＝x 21－2x 在⎝⎛⎭⎫0，12上无解，所以，a ∈(－∞，0]． 综上，a 的取值范围为(－∞，0]．14．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝2ax －1x ＝2ax 2－1x.∵a>0，令f′(x)>0得x>2a 2a ；令f′(x)<0，得0<x<2a2a，∴函数f(x)的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，2a 2a ，单调递增区间为⎝⎛⎭⎫2a 2a ，＋∞. (2)证明：当a ＝18时，f(x)＝18x 2－ln x ，由(1)知f(x)的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，＋∞)，令g(x)＝f(x)－f ⎝⎛⎭⎫23，则g(x)在区间(2，＋∞)单调递增且g(2)＝f(2)－f ⎝⎛⎭⎫23<0，g(e 2)＝e 48－2－118＋ln 23>0， 故方程f(x)＝f ⎝⎛⎭⎫23在区间(2，＋∞)上有唯一解． 15．解：(1)函数f(x)的定义域为R ，f ′(x)＝a （1－x 2）（x 2＋1）2＝a （1－x ）（1＋x ）（x 2＋1）2.当a>0时，当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：1)，(1，＋∞)；当a<0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－1，1)．(2)证明：由(1)可知，当a>0时，f(x)在(0，1)上单调递增，f(x)在(1，e]上单调递减，且f(e)＝aee2＋1＋a>a＝f(0)．所以x∈(0，e]时，f(x)>f(0)＝a.因为g(x)＝aln x－x，所以g′(x)＝ax－1，令g′(x)＝0，得x＝a.①当0<a<e时，由g′(x)>0，得0<x<a；由g′(x)<0，得x>a，所以函数g(x)在(0，a)上单调递增，在(a，e]上单调递减，所以g(x)max＝g(a)＝aln a－a.因为a－(aln a－a)＝a(2－ln a)>a(2－ln e)＝a>0，所以对于任意x1，x2∈(0，e]，总有g(x1)<f(x2)．②当a≥e时，g′(x)≥0在(0，e]上恒成立，所以函数g(x)在(0，e]上单调递增，g(x)max＝g(e)＝a－e<a，所以对于任意x1，x2∈(0，e]，仍有g(x1)<f(x2)．综上所述，对于任意x1，x2∈(0，e]，总有g(x1)<f(x2)．。
(湖南专用)高考数学二轮复习 专题限时集训(七)配套作业 理.pdf
专题限时集训([第7讲 解三角形](时间：45分钟) 1．在△ABC中，若A＝60，BC＝4，AC4，则角B的大小为( )°或135在△ABC中，已知AB＝2BC＝4，A＝30，则△ABC的面积为( ) C．2 D．2 3．已知向量p＝(，)，q＝(－，)，若A，B，C是锐角△ABC的三个内角，则p与q的夹角为( )锐角 ．直角．钝角 ．以上都不对如图7－1，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 ，∠ACB＝45，∠CAB＝105后，就可以计算出A，B两点的距离为( ) 图7－1 m B．50 m C．25 m D. m 5．已知△ABC的面积为，AC＝，∠ABC＝，则△ABC的周长等于( )＋ C．2＋ 6．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝80，b＝100，A＝30，则此三角形( )一定是锐角三角形一定是直角三角形一定是钝角三角形可能是直角三角形，也可能是锐角三角形在斜△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝，则角A＝( ). B. C. D. 8．如图7－2，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD，2AB＝，BC＝2BD，则的值为( ) 图7－2 B. C. D. 9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，b＋c－bc＝a，且＝－4，则△ABC的面积等于________如图7－3，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，测得∠BCD＝15，∠BDC＝30，CD＝30 ，并在C测得A的仰角为60，则塔的高度AB＝________ 图7－3在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知－＝，且c＝，则△ABC的面积的最大值为________在四边形ABCD中，AB＝2，BC＝CD＝4，AD＝6，A＋C＝(1)求AC的长；(2)求四边形ABCD的面积．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且满足＝，b＋c＝6.＝3.(1)求a2)求的值．已知在△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知向量m＝(＋，－)，n＝(－，)，且m⊥n.(1)求角C的大小；(2)若a＝b＋，试求(A－B)的值．专题限时集训(七)【基础演练】 [解析] 在△ABC中，若A＝60，BC＝4，AC＝4，由正弦定理得：＝，代入解得＝又AC<BC，所以B＝45D [解析]由＝＝＝，得C＝90所以AC＝＝2，所以△ABC的面积为S＝＝2 [解析] 设p，q的夹角为θ，则＝－AcosB＋＝－(A＋B)＝，所以p，q的夹角为锐角． [解析] 在△ABC中，由正弦定理得＝，AB＝ m. 【提升训练】 [解析] 设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，利用三角形面积公式和余弦定理得：b＝，＝，3＝a＋c－2ac×，所以3＝(a＋c)－3ac得a＋c＝3，即△ABC的周长等于3＋ [解析] 由正弦定理，得＝，即＝，解得＝，所以B∈或B∈当B∈时，A＋B∈，则C∈，故△ABC是钝角三角形；当B∈时，△ABC也是钝角三角形．综上，△ABC一定是钝角三角形．故选. 7．B [解析] ∵＝＝－2，＝，－2＝，∵△ABC为斜三角形，∴，∴＝1，∵A∈(0，)，∴2A＝，A＝ [解析] 设BD＝a，则由题意可得：BC＝2a，ABAD＝，在△DAB中，由余弦定理得：＝＝＝，所以＝＝在△ABC中，由正弦定理得，＝，所以＝，解得＝，故选 [解析] 根据余弦定理可得＝＝，故A＝由＝－4，可得bc＝－4，得bc＝8.所以S＝＝2 [解析] 在△BCD中，根据正弦定理得＝＝＝15在中，AB＝BC·＝15＝15 [解析] 因为4－＝，所以2[1－(A＋B)]－2＋1＝，＋2－2＋1＝，即－＋＝0，解得＝由余弦定理得＝＝，＝a＋b－7≥2ab－7，ab≤7.(当且仅当a＝b＝时，“＝”成立)从而S＝·7·＝，即S的最大值为 解：(1)如图，连接AC，依题意可知，B＋D＝，在△ABC中，由余弦定理得AC＝2＋4－2×2×4sB＝20－16，在△ACD中，由余弦定理得AC＝6＋4－2×6×4＝52－48＝52＋48由20－16＝52＋48，解得＝－，从而AC＝20－16＝28，即AC＝2(2)由(1)可知＝＝，所以S四边形ABCD＝S＋S＝＋＝2＋6＝8解：(1)∵＝，∴＝2－1＝又∵＝3，即bc＝3，∴bc＝5，又b＋c＝6，∴或由余弦定理得a＝b＋c－2bc＝20，∴a＝2(2) ＝＝＝－＝，∴＝2－1＝－，原式＝－＝解：1)由题意得m·n＝(－)＋(－)＝0，即＝＋－由正弦定理得c＝a＋b－ab，再由余弦定理得＝＝，∴C＝(2)方a2＝b＋，∴＝＋，即－＝，从而－＝，即－＝＋B＋＝，∴－＝，即－－＝，从而＝－，(A－B)＝＝＝－＝－＋＝方法二：设R为△ABC外接圆半径，所以(A－B)＝－＝＝＝＝＝方法三：＝＝＝＝，＝＝＝，＝，＝，∴(A－B)＝－＝C＝ 高考学习网： 高考学习网：。
江西新高考数学文科二轮复习作业精练精析专题限时集训(一)B(含答案详析)
专题限时集训(一)B[第1讲 集合与常用逻辑用语](时间：30分钟)1．设集合A ＝{x|－3<x<1}，B ＝2∩B 等于( )A ．(－3，0)∪(0，1)B ．(－1，0)∪(0，1)C ．(－2，1)D ．(－2，0)∪(0，1)2．已知集合A ＝{x|x 2－2x －3<0}，B ＝{y|1≤y ≤4}，则下列结论正确的是( )A ．A ∩B ＝ B ．(∁U A)∪B ＝(－1，＋∞)C ．A ∩B ＝(1，4]D ．(∁U A)∩B ＝[3，4]3．“a>1”是“a 2>1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．命题“存在x ∈R ，使得e x <x ”的否定是( )A ．存在x ∈R ，使得e x >xB ．任意x ∈R ，都有e x ≥xC ．存在x ∈R ，使得e x ≥xD ．任意x ∈R ，都有e x >x5．设a ，b 是平面α内两条不同的直线，l 是平面α外的一条直线，则“l ⊥a ，l ⊥b ”是“l ⊥α”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．若集合A ＝{0，1}，B ＝{－1，a 2}，则“a ＝1”是“A ∩B ＝{1}”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件 D7．已知集合M ＝{1，2，3}，N ＝I ＝{1，2，3，4，5}，则图X1－1所示的阴影部分表示的集合为( )A ．{1}B ．{2，3}C ．{4}D ．{5}8．设x ，y ∈R ，则“x ≥1且y ≥2”是“x ＋y ≥3”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．在△ABC 中，“A ＝30°”是“sin A ＝12”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件10．S n 是数列{a n }的前n 项和，则“S n 是关于n 的二次函数”是“数列{a n }为等差数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件11．若命题“存在实数x ，使x 2＋ax ＋1<0”的否定是真命题，则实数a 的取值范围为________．12．设有两个命题p ，q.其中p ：对于任意的x ∈R ，不等式ax 2＋2x ＋1>0恒成立；命题q ：f(x)＝(4a －3)x 在R 上为减函数．如果两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数a 的取值范围是________．13．对于非空实数集A ，记A *＝{y|任意x ∈A ，都有y ≥x}．设非空实数集合M ，P ，满足M P.给出以下结论：①P *M *；②M *∩P ＝；③M ∩P *≠．其中正确的结论是________．(写出所有正确结论的序号)14．已知全集U ＝R ，非空集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －2x －（3a ＋1）<0，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －a 2－2x －a <0.命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B.若q 是p 的必要条件，则实数a 的取值范围是________．专题限时集训(一)B1．D [解析] B ＝{x|log 2|x|<1}＝(－2，0)∪(0，2)，所以A ∩B ＝(－2，0)∪(0，1)．2．D [解析] 因为A ＝{x|x 2－2x －3<0}＝{x|－1<x<3}，则∁U A ＝{x|x ≥3或x ≤－1}，所以A ∩B ＝{x|1≤x<3}，(∁U A)∪B ＝{x|x ≥1或x ≤－1}，(∁U A)∩B ＝{x|3≤x ≤4}．故选D.3．A [解析] a 2>1a<－1或a>1，显然选A.4．B [解析] 特称命题的否定为全称命题，故选B.5．C [解析] 当a ，b 不相交时，则“l ⊥α”不一定成立；当“l ⊥α”时，一定有“l ⊥a ，l ⊥b ”．故“l ⊥a ，l ⊥b ”是“l ⊥α”的必要不充分条件．故选C.6．A [解析] a ＝1A ∩B ＝{1}；A ∩B ＝{1}a ＝±1，故为充分不必要条件．7．C [解析] M ∩N ＝{2，3}，则阴影部分表示的集合为{4}．8．A [解析] “x ≥1且y ≥2”“x ＋y ≥3”，而“x ＋y ≥3”/ “x ≥1且y ≥2”，故为充分不必要条件．9．A [解析] 因为在△ABC 中，若sin A ＝12，则A ＝30°或A ＝150°，所以“A ＝30°”是“sin A ＝12”的充分不必要条件，故选A. 10．D [解析] 若S n 是关于n 的二次函数，则设为S n ＝an 2＋bn ＋c(a ≠0)，则当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝2an ＋b －a ，当n ＝1时，S 1＝a ＋b ＋c ，只有当c ＝0时，数列{a n }才是等差数列；若数列{a n }为等差数列，则S n ＝na 1＋n （n －1）d 2＝n 22d ＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，当d ≠0时为二次函数，当d ＝0时，为一次函数，所以“S n 是关于n 的二次函数”是“数列{a n }为等差数列”的既不充分也不必要条件．11．[－2，2] [解析] 该命题的否定为“x ∈R ，x 2＋ax ＋1≥0”，则Δ＝a 2－4≤0，－2≤a ≤2.12.⎝⎛⎭⎫34，1∪(1，＋∞) [解析] 当a ＝0时，不等式为2x ＋1>0，显然不能恒成立，故a ＝0不适合；当a ≠0时，不等式ax 2＋2x ＋1>0恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a>0，Δ＝22－4a<0，解得a>1. 若命题q 为真，则0<4a －3<1，解得34<a<1. 由题意，可知p ，q 一真一假．当p 真q 假时，a 的取值范围是{a|a>1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a ≤34或a ≥1＝{a|a>1}； 当p 假q 真时，a 的取值范围是{a|a ≤1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪34<a<1＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪34<a<1. 所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫34，1∪(1，＋∞)．13．① [解析] 根据题意，对于非空实数集A ，记A *＝{y|x ∈A ，y ≥x}，则可以得到集合A *中的元素大于或者等于集合A 中的元素．因此可知①P *M *成立．对于②M *∩P ＝，M *和P 中可能有相同的元素，因此错误．对于③M ∩P *≠，M *与P 中不可能有公共元素，因此错误，故答案为①.14.⎣⎡⎭⎫－12，13∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13，3－52 [解析] ∵a 2＋2>a ，∴B ＝{x|a<x<a 2＋2}． ①当3a ＋1>2，即a>13时，A ＝{x|2<x<3a ＋1}． ∵p 是q 的充分条件，∴A B.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a ＋1≤a 2＋2，即13<a ≤3－52. ②当3a ＋1＝2，即a ＝13时，A ＝，不符合题意； ③当3a ＋1<2，即a<13时，A ＝{x|3a ＋1<x<2}， 由A B 得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3a ＋1，a 2＋2≥2，∴－12≤a<13. 综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－12，13∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13，3－52.。
(江西专用)高考数学二轮复习 专题限时集训(六)B第6讲 三角恒等变换与三角函数配套作业 文(解析版).pdf
专题限时集训(六)B[第6讲 三角恒等变换与三角函数](时间：45分钟) 1．在△ABC中，条件甲：A0，ω>0)的图像向左平移个单位后得到的图像关于原点对称，则ω的值可能为( )已知f(x)＝，x∈R，(x)的图像与f(x)的图像关于点，0对称，则在区间[0，2]上满足f(x)≤(x)的x的取值范围是( ) B. C. D. 8．设函数f(x)＝(ωx＋φ)＋(ωx＋φ)ω>0，|φ|0)的部分图像如图6－3所示，设P是图像的最高点，A，B是图像与x轴的交点，则＝( ) 图6－3 C. D. 10．已知＝，＋＝，则－的值为________已知，(α－β)＝，(α＋β)＝－，则＋＝________若2＋＝3，则＋的取值范围为________已知函数f(x)＝＋＋＋(其中x∈R，0<φ<)的图像关于直线x＝对称．(1)求φ的值；(2)求函数f(x)在区间上的最小值．已知向量p＝(－，a)，q＝(a，2－)，函数(x)＝p·q－5(a∈R，a≠0)．(1)求函数(x)(x∈R)的值域；(2)当a＝2时，若对任意的t∈R，函数y＝(x)，x∈(t，＋b]的图像与直线y＝－1有且仅有两个不同的交点，试确定b的值(不必证明)，并求函数y＝(x)在[0，b]上的单调递增区间．15．已知函数f(x)＝2＋＋－＋.(1)求f(x)的值域和最小正周期；(2)若对任意x∈，m＋2＝0恒成立，求实数m的取值范围．专题限时集训(六)【基础演练】 [解析] 等价于：－＝(－)·(sinA＋)<0，而＋，故－，故A<B；反推也成立，故A0)，得ω＝2.又f(－x)＝f(x)，所以φ＋＝k＋(k∈Z)，即φ＝k＋(k∈Z)．又|φ|0时，－2a×1＋2a－5≤(x)≤－2a×(－1)＋2a－5.所以(x)的值域为[－5，4a－5]．同理，当a<0时，(x)的值域为[4a－5，－5]．(2)当a＝2时，y＝(x)＝－4－1，由题设及函数y＝f(x)的最小正周期为可知，b的值为由＋2k＋＋2k，k∈Z，得＋k＋k，k∈Z.因x∈[0，]，所以k＝0，函数y＝(x)在[0，]上的单调递增区间为解：(1)f(x)＝2＋＋－2＋＝＋－＝＋－＋－＝2＋－－1≤＋，－2－＋－－，又T＝＝，即f(x)的值域为[－2－，2－]，最小正周期为(2)当x∈时，2x＋，＋，此时f(x)＋＝2＋[，2]．由m[f(x)＋]＋2＝0知，m≠0，且f(x)＋＝－，≤－，即解得－－1.即实数m的取值范围是 高考学习网： 高考学习网：。
江西省南昌八中2016-2017学年高考二轮复习(理科)《三角函数与解三角形》专项训练(无答案)
三角函数与解三角形专项训练1、在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若tan tan tan 1)A C A C +=-.（1）求角B ；（2）如果2b =，求ABC ∆面积的最大值.2、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos sin sin 2B C B C --⋅=（1）求角A ；（2）若a =4，求△ABC 面积的最大值.3、在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin sin sin C a b A B a c+=--. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）点D 满足2BD BC = ，且线段3AD =，求2a c +的最大值.4、 已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =-+.（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，若2,1,22A f b c ⎛⎫===⎪⎝⎭，求a 的值.5、已知函数()cos ωω=f x x x 21cos 2ω-+x （0ω>），与()f x 图象的对称轴3π=x 相邻的()f x 的零点为12π=x .（Ⅰ）讨论函数()f x 在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性；（Ⅱ）设V ABC 的内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，且=c ()1=f C ，若向量()1,sin =u r m A 与向量()2,sin =r n B 共线，求a ，b 的值.6、设锐角三角形ABC 的内角C B,A,的对边分别为c b,a,，222=+-b a c ．（1）求B 的大小；（2）求cos sin A C +的取值范围．7、已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，c ＝asin C －ccos A.(1)求A ； (2)若a ＝2，△ABC 的面积为，求b ，c.8、在ABC ∆中， 223=4cos A cosA +．(1)求角A 的大小；(2)若2a =，求ABC ∆的周长l 的取值范围．9、已知函数2()sin()cos().()2sin 632x f x x x g x ππ=-+-=。
(课程标准卷地区专用)高考数学二轮复习 专题限时集训(七)第7讲 解三角形配套作业 文(解析版).pdf
专题限时集训(七) [第7讲 解三角形] (时间：45分钟) 1．在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2＋c2－b2＝ac，则角B的值为( ) A. B.C.或D.或 2．在ABC，已知A＝45°，AB＝，BC＝2，则C＝( ) A．30° B．60° C．120° D．30°或150° 3．ABC的外接圆半径R和ABC的面积的大小都等于1，则sinAsinBsinC的值为( ) A. B. C. D. 图7－1 4．如图7－1，要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为( ) A．10 m B．20 m C．20 m D．40 m 5．在ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝3，c＝8，B＝60°，则sinA的值是( ) A. B. C. D. 6．若满足条件C＝60°，AB＝，BC＝a的ABC有两个，那么a的取值范围是( ) A．(1，) B．(，) C．(，2) D．(1,2) 7．ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a，b，c成等比数列，且c＝2a，则cosB＝( ) A. B. C. D. 8．在ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，则ABC的面积等于( ) A. B.C.或D.或 9．在ABC中，已知sinAsinB∶sinC＝23∶4，则cosC＝________. 10．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A船到灯塔C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40°处，A、B两船间的距离为3 km，则B船到灯塔C的距离为________km. 11．在ABC中，A＝60°，BC＝，D是AB边上的一点，CD＝，BCD的面积为1，则AC的长为________． 12．ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且满足csinA＝acosC. (1)求角C的大小； (2)求sinA－cosB＋的最大值，并求取得最大值时A，B的大小． 13．设ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且(2b－c)cosA＝acosC. (1)求角A的大小； (2)若角B＝，BC边上的中线AM的长为，求ABC的面积． 14．如图7－2所示，AB是南北方向道路，P为观光岛屿，Q为停车场，PQ＝5.2 km.某旅游团游览完岛屿后，乘游船回停车场Q.已知游船以13 km/h的速度沿方位角θ的方向行驶，且sinθ＝.游船离开观光岛屿3分钟后，因事耽搁没有来得及登上游船的游客甲为了及时赶到停车地点Q与游客团会合，决定立即租用小船先到达道路M处，然后乘出租汽车到点Q(设游客甲到达道路M后能立即乘到出租车)．假设游客甲乘小船行驶的方向是方位角α，出租汽车的速度为66 km/h. (1)设sinα＝，问小船的速度为多少时，游客甲才能和游船同时到达Q地？ (2)设小船速度为10 km/h，请你替游客甲设计小船行驶的方位角α，当角α的余弦值是多少时，游客甲能按计划以最短的时间到达Q地？ 图7－2 专题限时集训(七) 【基础演练】 1．A [解析] ＝cosB＝，又0<B<π，B＝. 2．A [解析] 根据正弦定理得，＝，所以sinC＝，因为C(0，π)，所以C＝30°或150°.又因为A＝45°，且AB<BC，所以C＝30°. 3．D [解析] 根据三角形面积公式和正弦定理S＝absinC＝2RsinA·2RsinB·sinC＝2R2sinAsinBsinC，将R＝1和S＝1代入得，sinAsinBsinC＝. 4．D [解析] 设电视塔的高度为x，则BC＝x，BD＝x.在BCD中，根据余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40xcos120°，即x2－20x－800＝0，解得x＝－20(舍去)，或者x＝40.故电视塔的高度为40 m. 【提升训练】 5．D [解析] 根据余弦定理得b＝＝7，根据正弦定理＝，解得sinA＝. 6．C [解析] 由正弦定理得＝，所以a＝2sinA.而C＝60°，所以0°<CAB<120°.又因为ABC有两个，所以asin60°时，t′<0， 又y＝cosα在α0，上是减函数， 当方位角α满足cosα＝时，t取最小值， 即游客甲能按计划以最短时间到达Q地． 高考学习网： 高考学习网：。
(江西专用)高考数学二轮复习 专题限时集训(十五)A第15讲 圆锥曲线热点问题配套作业 文(解析版).pdf
专题限时集训(十五)A[第15讲 圆锥曲线热点问题](时间：45分钟) 1．已知方程＋＝1(k∈R)表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是( )或k>3 已知两定点F(－1，0)，F(1，0)且|F是|PF与的等差中项，则动点P的轨迹方程是( )＋＝1 ＋＝1＋＝1 ＋＝1以抛物线y＝8x上的任意一点为圆心作圆与直线x＋2＝0相切，这些圆必过一定点，则这一定点的坐标是( )(0，2) ．(2，0) (4，0) D．(0，4)双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(1，2)在“上”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是( )(，＋∞) ．(，＋∞)(1，) ．(1，) 5．双曲线x－y＝1的左焦点为F，点P为左支下半支上任意一点(异于顶点)，则直线PF的斜率的变化范围是( )(－∞，0) (1，＋∞)(－∞，0)∪(1，＋∞) (－∞，－1)∪(1，＋已知两点M(－2，0)，N(2，0)，点P为坐标平面内的动点，满足||＋＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程是( )＝8x ．＝－8x＝4x ．＝－4x若曲线y＝与直线y＝k(x－2)＋3有两个不同的公共点，则实数k的取值范围是( ) C．－1<k≤－10)一条渐近线的倾斜角为，离心率为e，则的最小值为________设椭圆＋＝1(a>b>0)的中心、右焦点、右顶点依次分别为O，F，G，且直线x＝与x轴相交H，则最大时椭圆的离心率为________正方体ABCD－A的棱长为1，点M在棱AB上，AM＝，点P是平面ABCD内的动点，且点P到直线A的距离与点P到M的距离的平方差为，则P点的轨迹是________12．已知焦点在x轴上的椭圆C过点(0，1)，且离心率为，Q为椭圆C的左顶点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，若直线l垂直于x轴，求∠AQB的大小．在平面直角坐标系xOy中，点E到两点F(－1，0)，(1，0)的距离之和为2，设点E的轨迹为曲线C.(1)写出C的方程；(2)设过点F(1，0)的斜率为k(k≠0)的直线l与曲线C交于不同的两点M，N，点P在y轴上，且|PM|＝|PN|，求点P纵坐标的取值范围．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，左、右顶点分别为A，C，上顶点为B，O为原点，P为椭圆上任意一点，过F，B，C三点的圆的圆心坐标为(m，n)．(1)当m＋n≤0时，求椭圆的离心率的取值范围；(2)在(1)的条件下，椭圆的离心率最小时，若点D(b＋1，0)，(＋)·的最小值为，求椭圆的方程．专题限时集训(十五)【基础演练】 [解析] 由题意，解得1<k，所以e＝＝.又e>1，所以所求的范围是(1，)．【提升训练】 [解析] 数形结合法，与渐近线斜率比较，可得答案为 [解析] 根据||＋＝0得＋(x－2)＝0，即(x＋2)＋y＝(x－2)，即y＝－8x. [解析] 易错：将曲线y＝转化为x－y＝4时不考虑纵坐标的范围；另外没有看清过点(2，3)且与渐近线y＝－x平行的直线与双曲线的位置关系．正确答案 [解析] 由抛物线的定义，|PF|＝d＋1，d＝|PF|－1，d＋d＝d＋|PF|－1，显然当PF垂直于直线x－y＋4＝0时，d＋d2最小．此时d＋|PF|为点F到直线x－y＋4＝0的距离为＝，所以d＋d的最小值为－1. 9. [解析] 已知即＝，此时b＝且双曲线的离心率为＝2，所以＝＝，等号当且仅当a＝时成立． [解析] 根据已知O(0，0)，F(c，0)，G(a，0)，H，0，所以＝＝＝e－e＝－e－＋，所以当最大时e＝抛物线 [解析] 如图，以点A为坐标原点建立直角坐标系，设P(x，y)，则P到A的距离为，P到点M的距离为1＋x－x－－y＝，化简即得y＝，故点P的轨迹为抛物线． 12．解：(1)设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)，且a＝b＋c由题意可知：b＝1，＝解得a＝4，所以椭圆C的标准方程为＋y＝1.(2)由(1)得Q(－2，0)．设A(x，y)，B(x，y)．由直线l垂直于x轴时，则直线l的方程为x＝－由解得 或不妨设点A在x轴上方，则A，B，则直线AQ的斜率k＝＝1，直线BQ的斜率k＝＝－1.因为k＝－1，所以AQ⊥BQ，所以∠AQB＝，即∠AQB的大小为解：(1)由题设知|EF＋|EF＝2，根据椭圆的定义，点E的轨迹是焦点为F，F，长轴长为2的椭圆．设其方程为＋＝1(a>b>0)，则c＝1，a＝，b＝1，所以E的方程为＋y＝1.(2)依题设直线l的方程为y＝k(x－1)．将y＝k(x－1)代入＋y＝1并整理得(2k2＋1)x－4k＋2k－2＝0，＝8k＋8>0.设M(x，y)，N(x2，y2)，则x＋x＝，x＝设MN的中点为Q，则x＝，y＝k(x－1)＝－，即Q，因为k≠0，所以直线MNy＋＝－－令x＝0解得y＝＝当k>0时，因为2k＋，所以0<y；当k<0时，因为2k＋－2，所以－综上，点P纵坐标的取值范围是－，0∪0，.解：(1)设半焦距为c，由题意得FC，BC的中垂线方程分别为x＝，y－＝，于是圆心坐标为所以m＋n＝＋，即ab－bc＋b－ac≤0，即(a＋b)(b－c)≤0，所以b≤c，于是b，即a＝b＋c，所以e＝，即(2)由(1)知e＝，a＝＝，此时椭圆方程为＋＝1.设P(x，y)，则－c，所以(＋)·＝－x＋c＝(x－1)＋c－当c≥时，上式的最小值为c－，即c－＝，求得c＝2；当0<c<时，上式的最小值为()2－＋c，即()2－＋c＝，解得c＝，与0<c<矛盾，舍去．综上所述，椭圆的方程为＋＝1. 高考学习网： 高考学习网：。
高考数学(文)二轮复习配套作业(解析版)：专题限时集训(四)A(江西省专用)
专题限时集训(四)A[第4讲不等式与简单的线性规划](时间：30分钟)1．如果a ，b ，c ，d 是任意实数，那么( )A ．a >b ，c ＝d ⇒ac >bdB ．a 3>b 3，ab >0⇒1a <1bC.a c >b c⇒a >b D ．a 2>b 2，ab >0⇒1a <1b2．不等式1x <12的解集是( ) A ．(－∞，2) B ．(2，＋∞)C ．(0，2)D ．(－∞，0)∪(2，＋∞)3．已知向量a ＝(x －1，2)，b ＝(4，y )，若a ⊥b ，那么9x ＋3y 的最小值为( )A ．23B ．6C ．12D ．3 24．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋4≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，那么z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－4B ．－2C ．0D ．25．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ≤3，x ＋y ＋k ≥0，且z ＝2x ＋4y 的最小值为－6，那么常数k 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．26．若x ∈(1，2)时，不等式ax 2－2ax －1<0恒成立，那么a 的取值范围是( )A ．[－1，1]B ．(－1，1)C ．(－∞，－1]D ．[－1，＋∞)7．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤4，ax ＋by ＋c ≤0且目标函数z ＝2x ＋y 的最大值为7，最小值为1，那么a ＋b ＋c a＝( ) A ．－2B ．2C ．1D ．－18．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x （x >0），e x （x ≤0）(e ＝2.718…)，那么不等式f (x )－1≤0的解集为( ) A ．(－∞，0]∪[e ，＋∞) B ．(－∞，1]C ．(－∞，e]D ．∅9．已知点M (x ，y )的坐标满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －2≥0，那么此不等式组确定的平面区域的面积S 的大小是( )A ．1B ．2C ．3D ．410．若ab >0，且A (a ，0)，B (0，b )，C (－2，－2)三点共线，那么ab 的最小值为( )A ．4B ．16C ．22D ．4 211．一批货物随17列货车从A 市以v km/h 匀速直达B 市，已知两地铁路路线长400km ，为了安全，两列货车间距离不得小于v 202km ，那么这批货物全部运到B 市，最快需要________h(不计货车的车身长)．12．如果直线2ax －by ＋14＝0(a >0，b >0)和函数f (x )＝m x ＋1＋1(m >0，m ≠1)的图像恒过同一个定点，且该定点始终落在圆(x －a ＋1)2＋(y ＋b －2)2＝25的内部或圆上，那么b a的取值范围是________．13．设a >0，b >0，且方程x 2＋ax ＋2b ＝0与方程x 2＋2bx ＋a ＝0都有实数根，那么a ＋b 的最小值为________．数学解析下载见： :// 学优高考网 /down/2013-2/11/1034079.shtml。
（江西专用）2022高考数学二轮复习 专题限时集训（七）B解三角形（解析版）
专题限时集训七B[第7讲解三角形]时间：45分钟1．在△ABC中，a，b分别是角A，B所对的边，条件“a co B”成立的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．满足A＝30°，BC＝10的△ABC恰好有不同两个，则边AB的长的取值范围为A．0，10C．10，20 D．[10，20]3．已知圆的半径为4，a，b，c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝16错误!，则三角形的面积为A．2错误! B．8错误!4．一船向正北航行，看见正西方向有相距10 n mie的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是A．5 n mie/h B．5错误! n mie/hC．10 n mie/h D．10错误! n mie/h5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＋c2－b2tan B＝错误!ac，则角B 的值为或错误!或错误!6．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c若∠C＝120°，c＝错误!a，则A．a>bB．a22A0，∴co A＝错误!，又∵A∈0，π，∴A＝错误!2法一：由已知|错误!－错误!|＝1，∴|错误!|＝1，即a＝1，由正弦定理得：b＝错误!＝错误!in B，c＝错误!in C，＝a＋b＋c＝1＋错误!in B＋in C＝1＋错误![in B＋in A＋B]＝1＋2错误!＝1＋2in错误!∵A＝错误!，∴B∈错误!，∴B＋错误!∈错误!，∴in错误!∈错误!，故△ABC的周长的取值范围是2，3]．法二：周长＝a＋b＋c＝1＋b＋c，由1及余弦定理得：1＝b2＋c2－2bc co A，∴b2＋c2＝bc＋1，∴b＋c2＝1＋3bc≤1＋3错误!错误!，∴b＋c≤2，又b＋c>a＝1，∴＝a＋b＋c∈2，3]，即△ABC的周长的取值范围是2，3]．。
(江西专用)高考数学二轮复习 专题限时集训(六)B第6讲 三角恒等变换与三角函数配套作业 文(解析版)
专题限时集训(六)B[第6讲 三角恒等变换与三角函数](时间：45分钟)1．在△ABC 中，条件甲：A <B ；条件乙：cos 2A >cos 2B ，则甲是乙的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若函数y ＝sin x ＋f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上单调递增，则函数f (x )可以是( )A ．1B ．cos xC ．sin xD ．－cos x3．已知锐角α的终边上一点P (sin40°，1＋cos40°)，则锐角α＝( ) A ．80° B ．70° C ．20° D ．10° 4．函数y ＝1－2sin 2x －π4是( )A ．最小正周期为π的偶函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为π2的偶函数D ．最小正周期为π2的奇函数5．已知sin θ＝45，且sin θ－cos θ>1，则sin2θ＝( )A ．－2425B ．－1225C ．－45 D.24256．若将函数y ＝A cos x －π6sin ωx ＋π6(A >0，ω>0)的图像向左平移π6个单位后得到的图像关于原点对称，则ω的值可能为( )A ．2B ．3C ．4D ．57．已知f (x )＝sin x ，x ∈R ，g (x )的图像与f (x )的图像关于点π4，0对称，则在区间[0，2π]上满足f (x )≤g (x )的x 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，7π4C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，3π2 8．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )A ．f (x )在0，π2上单调递减B ．f (x )在π4，3π4上单调递减C ．f (x )在0，π2上单调递增D ．f (x )在π4，3π4上单调递增9．函数y ＝sin(πx ＋φ)(φ>0)的部分图像如图6－3所示，设P 是图像的最高点，A ，B 是图像与x 轴的交点，则tan ∠APB ＝( )图6－3A ．8 B.18 C.87 D.7810．已知m sin α＝ncos α，cos 2αm 2＋sin 2αn 2＝10cos 2α3n 2，则sin 2α－cos 2α的值为________． 11．已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，则sin α＋cos α＝________．12．若2sin 2α＋sin 2β＝3sin α，则sin 2α＋sin 2β的取值范围为________． 13．已知函数f (x )＝sin2x ＋π4cos φ＋cos2x ＋π4sin φ(其中x ∈R ，0<φ<π)的图像关于直线x ＝π6对称．(1)求φ的值；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上的最小值．14．已知向量p ＝(－cos2x ，a )，q ＝(a ，2－3sin2x )，函数f (x )＝p ·q －5(a ∈R ，a ≠0)． (1)求函数f (x )(x ∈R )的值域；(2)当a ＝2时，若对任意的t ∈R ，函数y ＝f (x )，x ∈(t ，t ＋b ]的图像与直线y ＝－1有且仅有两个不同的交点，试确定b 的值(不必证明)，并求函数y ＝f (x )在[0，b ]上的单调递增区间．15．已知函数f (x )＝2cos x ＋π3sin x ＋π3－3cos x ＋π3.(1)求f (x )的值域和最小正周期；(2)若对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6，m []f （x ）＋3＋2＝0恒成立，求实数m 的取值范围．专题限时集训(六)B【基础演练】1．C [解析] cos 2A >cos 2B 等价于：sin 2A －sin 2B ＝(sin A －sin B )·(sin A ＋sin B )<0， 而sin A ＋sin B >0，故sin A －sin B <0，故A <B ；反推也成立，故A <B 是cos 2A >cos 2B 的充要条件．2．D [解析] 因为y ＝sin x －cos x ＝2sin x －π4，令－π2≤x －π4≤π2，得－π4≤x ≤3π4，满足题意，所以f (x )可以是－cos x .3．B [解析] 依题意得点P 到坐标原点的距离为sin 240°＋（1＋cos40°）2＝2＋2cos40°＝2＋2（2cos 220°－1）＝2cos20°.由三角函数的定义可得cos α＝sin40°2cos20°＝2sin20°cos20°2cos20°＝sin20°＝cos70°，因为点P 在第一象限，且角α为锐角，所以α＝70°.故选B.4．B [解析] 由已知得y ＝cos2x －π4＝cos π2－2x ＝sin2x ，因此函数y ＝1－2sin 2x －π4是最小正周期为π的奇函数．故选B.【提升训练】5．A [解析] 依题意得cos θ＝±35.又因为sin θ－cos θ>1，所以cos θ＝－35，于是sin2θ＝2sin θcos θ＝2×45×－35＝－2425.6．D [解析] 平移后得到的函数图像的解析式是f (x )＝A cos x ·sin ωx ＋π6ω＋π6，这个函数是奇函数，由于y ＝cos x 是偶函数，故只要使得函数y ＝sin ωx ＋π6ω＋π6是奇函数即可，根据诱导公式和正弦函数性质，则只要π6ω＋π6＝k π(k ∈Z )即可，即ω＝6k －1(k ∈Z )，所以ω的可能值为5.7．B [解析] 设(x ，y )为g (x )的图像上任意一点，则其关于点π4，0对称的点为π2－x ，－y ，由题意知该点必在f (x )的图像上，所以－y ＝sin π2－x ，即g (x )＝－sin π2－x ＝－cos x .依题意得sin x ≤－cos x ，即sin x ＋cos x ＝2sin x ＋π4≤0.又x ∈[0，2π]，解得3π4≤x ≤7π4.故选B.8．A [解析] 依题意，得f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)＝2sin ωx ＋φ＋π4，由T ＝2πω＝π(ω>0)，得ω＝2.又f (－x )＝f (x )，所以φ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝kπ＋π4(k ∈Z )．又|φ|<π2，所以φ＝π4.于是f (x )＝2cos2x ，它在0，π2上单调递减．9．A [解析] 作出点P 在x 轴上的投影C ，因为函数周期为T ＝2ππ＝2，则|AC |＝14T ＝12，|PC |＝1.在Rt △APC 中，tan ∠APC ＝|AC ||PC |＝12，同理tan ∠BPC ＝|BC ||PC |＝32，所以tan ∠APB ＝tan (∠APC ＋∠BPC )＝12＋321－12×32＝8.故选A.10．±12 [解析] 由m sin α＝n cos α得m ＝n sin αcos α，代入第二个等式中，有cos 4αn 2sin 2α＋sin 2αn 2＝10cos 2α3n2，从而3sin 4α＋3cos 4α＝10sin 2αcos 2α， 解得sin 22α＝34，cos 22α＝14，从而sin 2α－cos 2α＝－cos2α＝±12.11.36565 [解析] 由已知sin(α－β)＝513，cos(α＋β)＝－45，所以sin2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)·sin(α－β)＝－35×1213＋－45×513＝－5665.则(sin α＋cos α)2＝1＋sin2α＝1－5665＝965，当π2<α<3π4时，sin α＋cos α>0，即sin α＋cos α＝36565.12.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，54∪{2} [解析] 由已知得sin 2α＋sin 2β＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α－322＋94，又∵0≤sin 2β＝3sin α－2sin 2α≤1， 解得：0≤sin α≤12或sin α＝1，∴0≤－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α－322＋94≤54或－⎝⎛⎭⎪⎫sin α－322＋94＝2， ∴sin 2α＋sin 2β的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，54∪{2}．13．解：(1)函数f (x )＝sin2x ＋π4＋φ.又y ＝sin x 的图像的对称轴方程为x ＝k π＋π2(k ∈Z )，令2x ＋π4＋φ＝k π＋π2，将x＝π6代入，得φ＝k π－π12(k ∈Z )． ∵0<φ<π，∴φ＝11π12.(2)由(1)知f (x )＝sin2x ＋7π6.由－π2≤x ≤0，得π6≤2x ＋7π6≤7π6，∴当2x ＋7π6＝7π6，即x ＝0时，f (x )min ＝－12.14．解：(1)f (x )＝p ·q －5＝－a cos2x －3a sin2x ＋2a －5 ＝－2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a －5.因为x ∈R ，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1，当a >0时，－2a ×1＋2a －5≤f (x )≤－2a ×(－1)＋2a －5. 所以f (x )的值域为[－5，4a －5]．同理，当a <0时，f (x )的值域为[4a －5，－5]． (2)当a ＝2时，y ＝f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，由题设及函数y ＝f (x )的最小正周期为π可知，b 的值为π. 由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z . 因为x ∈[0，π]，所以k ＝0，函数y ＝f (x )在[0，π]上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3.15．解：(1)f (x )＝2sin x ＋π3cos x ＋π3－23cos 2x ＋π3＝sin2x ＋2π3－3⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos2x ＋2π3＋1 ＝sin2x ＋2π3－3cos2x ＋2π3－ 3＝2sin2x ＋π3－ 3.∵－1≤sin2x ＋π3≤1，∴－2－3≤2sin2x ＋π3－3≤2－3，又T ＝2π2＝π，即f (x )的值域为[－2－3，2－3]，最小正周期为π. (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，23π，∴sin2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1，此时f (x )＋3＝2sin2x ＋π3∈[3，2]．由m [f (x )＋3]＋2＝0知，m ≠0，且f (x )＋3＝－2m，∴3≤－2m ≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋3≤0，2m ＋2≥0，解得－233≤m ≤－1.即实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－233，－1.。
(江西专用)高考数学二轮复习 专题限时集训(二十一)B第21讲 不等式选讲配套作业 文(解析版)
专题限时集训(二十一)B[第21讲不等式选讲](时间：30分钟)1．函数y＝|x－4|＋|x－6|的最小值为________．2．不等式3≤|5－2x|<9的解集为________．3．若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________．4．若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是________．5．对于x∈R，不等式|x＋10|－|x－2|≥8的解集为________．6．当a>0，a≠1时，函数f(x)＝log a(x－1)＋1的图象恒过定点A，若点A在直线mx－y＋n＝0上，则4m＋2n的最小值是________．7．若Rt△ABC中，斜边AB＝2，内切圆的半径为r，则r的最大值为________．8．若log2x＋log2y≥4，则x＋y的最小值为________．9．设f(x)＝2|x|－|x＋3|，则不等式f(x)≤7的解集S＝________．10．设x，y∈R，且xy≠0，则⎝⎛⎭⎪⎫x2＋1y2⎝⎛⎭⎪⎫1x2＋4y2的最小值为________．11．对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________．12．如果对任意的正实数x，不等式x＋ax≥1恒成立，则a的范围是________．13．若实数x，y，z∈(1，＋∞)，且xyz＝100，则lg x·lg y·lg z有最大值________．14．已知|cosα|≥12，则1＋sinα＋1－sinα的最小值是________．专题限时集训(二十一)B1．2 [解析] y＝|x－4|＋|x－6|≥|x－4＋6－x|＝2.2．(－2，1]∪[4，7) [解析] 3≤|5－2x|<9⇔⎩⎪⎨⎪⎧|2x－5|<9，|2x－5|≥3⇔⎩⎪⎨⎪⎧－9<2x－5<9，2x－5≥3或2x－5≤－3⇔⎩⎪⎨⎪⎧－2<x<7，x≥4或x≤1，得x ∈(－2，1]∪[4，7)．3．a ≥3或a ≤－3 [解析] 令t ＝|x ＋1|＋|x －2|得t 的最小值为3，即有|a |≥3， 解得a ≥3或a ≤－3.4．(－∞，3] [解析] 由绝对值的几何意义得|x ＋1|＋|x －2|≥3， 要使得|x ＋1|＋|x －2|≥a 恒成立，则a ≤3，即a ∈(－∞，3]． 5．[0，＋∞) [解析] 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－10，－x －10＋x －2≥8或⎩⎪⎨⎪⎧－10<x ≤2，x ＋10＋x －2≥8或⎩⎪⎨⎪⎧x >2，x ＋10－x ＋2≥8，解得x ∈[0，＋∞)．本题也可以用绝对值的几何意义去解．6．2 2 [解析] 由题意知点A (2，1)，故2m ＋n ＝1. ∴4m＋2n≥24m·2n＝222m ＋n＝2 2.当且仅当4m ＝2n ，即2m ＝n ，即n ＝12，m ＝14时取等号．∴4m ＋2n的最小值为2 2.7.2－1 [解析] ∵r ＝a ＋b －c 2＝a ＋b2－1，而4＝a 2＋b 2≥（a ＋b ）22，∴(a ＋b )2≤8，∴a ＋b ≤22，∴r ≤2－1.8．4 [解析] ∵log 2x ＋log 2y ＝log 2xy ≥4＝log 2(2)4，∴xy ≥4且x ，y 都是正数，∴x ＋y ≥2xy≥24＝4.9．[－4，10] [解析] f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x ，x <－3，－3x －3，－3≤x ≤0，x －3，x >0.如图，函数y ＝f (x )的图像与直线y ＝7相交于横坐标为x 1＝－4，x 2＝10的两点， 由此得S ＝[－4，10]．10．9 [解析] ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2＝1＋4x 2y 2＋1x 2y 2＋4≥5＋24x 2y 2·1x 2y2＝9，当且仅当4x 2y 2＝1x 2y2时“＝”号成立．11．5 [解析] |x －2y ＋1|＝|(x －1)－2(y －1)|≤|x －1|＋|2(y －2)＋2|≤1＋2|y －2|＋2≤5，当x ＝0，y ＝3时，|x －2y ＋1|取得最大值5.12.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ [解析] 由x ＋a x ≥1(x >0)知：x 2－x ＋a ≥0对任意的正实数x 恒成立，则Δ≤0，∴a ≥14.13.827 [解析] lg x ·lg y ·lg z ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫lg x ＋lg y ＋lg z 33＝（lg xyz ）327827. 14. 3 [解析] 令y ＝1＋sin α＋1－sin α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＋cos α2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2－cos α2，又|cos α|≥12，∴y 2＝2＋2|cos α|≥3，∴y ≥ 3.。
(江西专用)高考数学二轮复习 专题限时集训(六)A第6讲 三角恒等变换与三角函数配套作业 文(解析版)
专题限时集训(六)A[第6讲 三角恒等变换与三角函数](时间：45分钟)1．sin15°＋cos165°的值为( ) A.22 B ．－22 C.62 D ．－622．设0≤x <2π，且1－sin2x ＝sin x －cos x ，则( ) A ．0≤x ≤π B.π4≤x ≤7π4C.π4≤x ≤5π4 D.π2≤x ≤3π23．设cos(x ＋y )sin x －sin(x ＋y )cos x ＝1213，且y 是第四象限的角，则tan y2的值是( )A ．±23B ．±32C ．－32D ．－234．设函数y ＝2sin2x ＋π3的图像关于点P (x 0，0)成中心对称，若x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，则x 0＝________．5．函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，给出下列三个命题：①函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π8上是减函数； ②直线x ＝π8是函数f (x )的图像的一条对称轴；③函数f (x )的图像可以由函数y ＝2sin2x 的图像向左平移π4个单位而得到．其中正确的是( ) A ．①③ B ．①② C ．②③ D ．①②③6．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω>0，|φ|<π2的部分图像如图6－1所示，则ω，φ的值分别为( )图6－1A.12，π3B.12，π6 C ．2，π3 D ．2，π67．设f (x )是定义域为R ，最小正周期为3π2的函数，若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x －π2≤x <0，sin x （0≤x <π），则f－15π4等于( ) A ．0 B ．1 C.22 D ．－228．已知函数f (x )＝sin x ＋3cos x ，设a ＝f π7，b ＝f π6，c ＝f π3，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a9．已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图像的一条对称轴是直线x ＝5π3，则函数g (x )＝a sin x＋cos x 的最大值是( )A.223 B.233C.43D.26310．已知sin x ＝13，sin(x ＋y )＝1，则sin(2y ＋x )＝________．11．已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，且tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，则α＋β的值为________．12．已知函数f (x )＝cos x sin x (x ∈R )，给出下列四个命题： ①若f (x 1)＝－f (x 2)，则x 1＝－x 2； ②f (x )的最小正周期是2π；③f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上是增函数； ④f (x )的图像关于直线x ＝3π4对称．其中真命题是________．(把你认为正确的答案都填上) 13．已知函数f (x )＝32sin2x －12(cos 2x －sin 2x )－1，x ∈R ，将函数f (x )的图像向左平移π6个单位后得函数g (x )的图像，设△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . (1)若c ＝7，f (C )＝0，sin B ＝3sin A ，求a ，b 的值；(2)若g (B )＝0且m ＝(cos A ，cos B )，n ＝(1，sin A －cos A tan B )，求m ·n 的取值范围．14．已知函数f (x )＝sin x ＋π6＋sin x －π6＋cos x ＋a (a ∈R ，a 为常数)． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若函数f (x )在－π2，π2上的最大值与最小值之和为3，求实数a 的值．15．设x ∈R ，函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)ω>0，－π2<φ<0的最小正周期为π，且f π4＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在如图6－2所示的坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图像； (3)若f (x )>22，求x 的取值范围．图6－2专题限时集训(六)A【基础演练】1．B [解析] 方法1：sin15°＋cos165°＝sin15°－cos15°＝2sin15°·cos45°－cos15°sin45°＝2sin(－30°)＝－22. 方法2：显然sin15°－cos15°<0，(sin15°－cos15°)2＝1－sin30°＝12，故sin15°－cos15°＝－22. 2．C [解析] 因为1－sin2x ＝（sin x －cos x ）2＝|sin x －cos x |，又1－sin2x ＝sin x －cos x ，所以|sin x －cos x |＝sin x －cos x ，则sin x －cos x ≥0，即sin x ≥cos x .又0≤x <2π，所以π4≤x ≤5π4.3．D [解析] 由cos(x ＋y )sin x －sin(x ＋y )cos x ＝1213得sin[x －(x ＋y )]＝－sin y ＝1213，所以sin y ＝－1213.又y 是第四象限的角，所以cos y ＝513，于是tan y 2＝1－cos y sin y ＝1－513－1213＝－23.故选D.4．－π6 [解析] 由正弦函数的性质知，正弦函数图像的对称中心是其与x 轴的交点，∴y ＝2sin2x 0＋π3＝0，又x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，∴x 0＝－π6.故填－π6. 【提升训练】5．B [解析] 将x ＝π8代入解析式得y ＝2，故②符合；函数f (x )的图像可以由函数y＝2sin2x 的图像向左平移π8个单位而得到，故③不符合．6．C [解析] 周期T ＝2πω＝5π6－－π6＝π，解得ω＝2，令2×－π6＋φ＝0，得φ＝π3.故选C. 7．C [解析] 依题意得f －15π4＝f －15π4＋3π2×3＝f 3π4＝sin 3π4＝22.故选C. 8．B [解析] 依题意得f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin x ＋π3，因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上单调递增，所以f π7<f π6，而c ＝f π3＝2sin 2π3＝2sin π3＝f (0)<f π7，所以c <a <b .9．B [解析] 因为f (x )＝sin x ＋a cos x 的图像的一条对称轴直线是x ＝5π3，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 5π3＋a cos 5π3＝1＋a 2，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪－32＋12a ＝1＋a 2，即34a 2＋32a ＋14＝0，求得a ＝－33.于是g (x )max ＝1＋a 2＝1＋13＝233.故选B. 10.13 [解析] 依题意由sin(x ＋y )＝1得x ＋y ＝2k π＋π2(k ∈Z )，所以y ＝2k π＋π2－x (k ∈Z )．于是sin(2y ＋x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2＋y ＝sin π2＋y ＝cos y ＝cos2k π＋π2－x ＝cosπ2－x ＝sin x ＝13.故填13.11．－2π3 [解析] ∵tan α＋tan β＝－33<0，tan α·tan β＝4>0，∴tan α<0，tan β<0，∴α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴α＋β∈(－π，0)， 又tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，∴α＋β＝－2π3.12．③④ [解析] 对f (x )＝cos x sin x ＝12sin2x ，画出函数的图像，分析知③，④是正确的．故填③，④.13．解：(1)f (x )＝32sin2x －12(cos 2x －sin 2x )－1 ＝32sin2x －12cos2x －1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1.f (C )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C －π6－1＝0，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C －π6＝1，所以C ＝π3.由正、余弦定理知：a 2＋b 2－2ab cos π3＝7，b ＝3a ，解得：a ＝1，b ＝3.(2)g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，g (B )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6－1＝0，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝1，B ＝π6， ∴m ·n ＝cos A ＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A －33cos A ＝12cos A ＋32sin A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6. ∵B ＝π6，∴A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，56π，得A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6∈(0，1]，即m ·n ∈(0，1]．14．解：(1)依题意，得f (x )＝2sin x cos π6＋cos x ＋a＝3sin x ＋cos x ＋a ＝2sin x ＋π6＋a .所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π.(2)因为x ∈－π2，π2，所以－π3≤x ＋π6≤2π3.所以当x ＋π6＝－π3，即x ＝－π2时，f (x )min ＝f －π2＝－3＋a ；当x ＋π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )max ＝f π3＝2＋a .由题意，有(－3＋a )＋(2＋a )＝3，解得a ＝3－1.15．解：(1)∵函数f (x )的最小正周期T ＝2πω＝π(ω>0)，∴ω＝2.∵f π4＝cos2×π4＋φ＝cos π2＋φ＝－sin φ＝32，且－π2<φ<0，∴φ＝－π3.(2)由(1)知f (x )＝cos2x －π3，列表如下：图像如图．(3)∵f (x )>22，即cos2x －π3>22， 得2k π－π4<2x －π3<2k π＋π4，k ∈Z ，即2k π＋π12<2x <2k π＋712π，k ∈Z ，即k π＋π24<x <k π＋724π，k ∈Z .∴所求x 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪k π＋π24<x <k π＋724π，k ∈Z .。
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专题限时集训(七)[第7讲解三角形](时间：45分钟)1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2＋c2－b2＝3ac，则角B的值为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π32．在△ABC，已知A＝45°，AB＝2，BC＝2，则C＝( )A．30° B．60°C．120° D．30°或150°3．△ABC的外接圆半径R和△ABC的面积的大小都等于1，则sin A sin B sin C的值为( )A.14B.32C.34D.124．如图7－1，要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为( )图7－1A．10 2 m B．20 mC．20 3 m D．40 m5．在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝3，c＝8，B＝60°，则sin A 的值是( )A.316 B.314 C.3316 D.33146．若满足条件C ＝60°，AB ＝3，BC ＝a 的△ABC 有两个，那么a 的取值范围是( ) A ．(1，2) B ．(2，3) C ．(3，2) D ．(1，2)7．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且c ＝2a ，则cos B ＝( )A.14B.34C.24 D.238．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积等于( ) A.32 B.34 C.32或 3 D.32或349．三角形ABC 中，三内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，且满足tan A －tan B tan A ＋tan B ＝b ＋c c ，则sin B ＋sin C 的范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 B ．(0，1] C.⎝⎛⎦⎥⎤32，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1 10．在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos C ＝________．11．已知A 船在灯塔C 北偏东80°处，且A 船到灯塔C 的距离为2 km ，B 船在灯塔C 北偏西40°处，A ，B 两船间的距离为3 km ，则B 船到灯塔C 的距离为________km.12．在△ABC 中，A ＝60°，BC ＝10，D 是AB 边上的一点，CD ＝2，△BCD 的面积为1，则AC 的长为________．13．锐角三角形ABC 中，∠B ＝2∠A ，则ba的取值范围为________．14．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b cos C ＝(2a －c )cos B .(1)求角B的大小；(2)若y＝cos2A＋cos2C，求y的最小值．15．已知复数z1＝b cos C＋(a＋c)i，z2＝(2a－c)cos B＋4i，且z1＝z2，其中A，B，C为△ABC的内角，a，b，c为角A，B，C所对的边．(1)求角B的大小；(2)若b＝22，求△ABC的面积．16．如图7－2所示，AB 是南北方向道路，P 为观光岛屿，Q 为停车场，PQ ＝5.2 km.某旅游团游览完岛屿后，乘游船回停车场Q .已知游船以13 km/h 的速度沿方位角θ的方向行驶，且sin θ＝513.游船离开观光岛屿3分钟后，因事耽搁没有来得及登上游船的游客甲为了及时赶到停车地点Q 与游客团会合，决定立即租用小船先到达道路M 处，然后乘出租汽车到点Q (设游客甲到达道路M 后能立即乘到出租车)．假设游客甲乘小船行驶的方向是方位角α，出租汽车的速度为66 km/h.(1)设sin α＝45，问小船的速度为多少时，游客甲才能和游船同时到达Q 地？(2)设小船速度为10 km/h ，请你替游客甲设计小船行驶的方位角α，当角α的余弦值是多少时，游客甲能按计划以最短的时间到达Q 地？图7－2专题限时集训(七)【基础演练】1．A [解析] ∵a 2＋c 2－b 22ac ＝cos B ＝32，又0<B <π，∴B ＝π6.2．A [解析] 根据正弦定理得，2sin45°＝2sin C ，所以sin C ＝12，因为C ∈(0，π)，所以C ＝30°或150°.又因为A ＝45°，且AB <BC ，所以C ＝30°.3．D [解析] 根据三角形面积公式和正弦定理S ＝12ab sin C ＝122R sin A ·2R sin B ·sin C ＝2R 2sin A sin B sin C ，将R ＝1和S ＝1代入得，sin A sin B sin C ＝12.4．D [解析] 设电视塔的高度为x ，则BC ＝x ，BD ＝3x .在△BCD 中，根据余弦定理得3x 2＝x 2＋402－2×40x cos120°，即x 2－20x －800＝0，解得x ＝－20(舍去)，或者x ＝40.故电视塔的高度为40 m.【提升训练】5．D [解析] 根据余弦定理得b ＝32＋82－2×3×8cos60°＝7，根据正弦定理3sin A＝7sin60°，解得sin A ＝3314.6．C [解析] 由正弦定理得ABsin C＝BCsin A，所以a ＝2sin A .而C ＝60°，所以0°<∠CAB <120°.又因为△ABC 有两个，所以a sin60°<3<a ，即3<a <2.7．B [解析] 由题意得b 2＝ac ，又c ＝2a ，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－a ×2a2a ×2a＝34. 8．D [解析] 依题意与正弦定理得AB sin C ＝ACsin B，即sin C ＝AB ·sin B AC ＝32，∴C ＝60°或C ＝120°.当C ＝60°时，A ＝90°，则△ABC 的面积等于12AB ·AC ＝32；当C ＝120°时，A ＝30°，则△ABC 的面积等于12AB ·AC ·sin A ＝34.所以△ABC 的面积等于32或34.9．C [解析] 由正弦定理及利用切化弦思想可将原式化为：sin A cos B －cos A sin Bsin A cos B ＋cos A sin B＝sin B ＋sin Csin C，化简得到：sin(A －B )＝sin B ＋sin C ，又在三角形中，sin C ＝sin(π－A －B )＝sin(A ＋B )， 故：sin(A －B )＝sin B ＋sin(A ＋B )，利用两角和与差公式打开并整理得：cos A ＝－12，∴A ＝2π3，B ＋C ＝π3，从而sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋B ， 由0<B <π3，得到sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋B ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32，1，即所求sin B ＋sin C 的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤32，1. 10．－14 [解析] 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C可得，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，由此设a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k (k >0)．由余弦定理可得，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝（2k ）2＋（3k ）2－（4k ）22×2k ×3k ＝－14.11.6－1 [解析] 由题意可得，∠ACB ＝120°，AC ＝2，AB ＝3，设BC ＝x ，则由余弦定理可得，AB 2＝BC 2＋AC 2－2BC ×AC cos120°，即32＝x 2＋22－2×2x cos120°，整理得x 2＋2x ＝5，解得x ＝6－1或x ＝－6－1(舍去)．故填6－1.12.233 [解析] 由△BCD 的面积为1，可得12×CD ×BC ×sin ∠DCB ＝1，即sin ∠DCB ＝55，所以cos ∠DCB ＝255.在△BCD 中，由余弦定理可知，cos ∠DCB ＝CD 2＋BC 2－BD 22CD ×BC ＝255，解得BD ＝2，所以cos ∠DBC ＝BD 2＋BC 2－CD 22BD ×BC ＝31010.由在△BCD 中，∠DBC 对应的边长最短，所以∠DBC为锐角，所以sin ∠DBC ＝1010.在△ABC 中，由正弦定理BC sin A ＝AC sin B 可得，AC ＝BC ·sin B sin A＝10×101032＝233. 13．(2，3) [解析] 由正弦定理知：b a ＝sin B sin A ＝sin2Asin A＝2cos A ，由于△ABC 为锐角三角形，故角A ，B ，C 都为锐角，从而A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，B ＝2A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，C ＝π－3A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，由此求出：A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4，故b a ＝2cos A ∈(2，3)． 14．解：(1)由正弦定理可得：sin B cos C ＝2sin A cos B －sin C cos B ，即sin(B ＋C )＝2sin A cos B ，∵0<A <π，∴sin A ≠0，∴cos B ＝12，∴B ＝π3.(2)由(1)可知2A ＋2C ＝4π3，y ＝cos 2A ＋cos 2C ＝1＋cos2A 2＋1＋cos2C2＝1＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos2A ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3－2A＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos2A －32sin2A ＝1－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6，∵0<2A <4π3，∴－π6<2A －π6<7π6，则当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝1，即A ＝π3时，y 的最小值为12.15．解：(1)∵z 1＝z 2，∴b cos C ＝(2a －c )cos B ①，a ＋c ＝4②， 由①得2a cos B ＝b cos C ＋c cos B ③，在△ABC 中，设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k (k >0)，则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ，代入③得 2sin A cos B ＝sin B cos C ＋sin C cos B ，2sin A cos B ＝sin(B ＋C )＝sin(π－A )＝sin A ， ∵0<A <π，∴sin A >0， ∴cos B ＝12.∵0<B <π，∴B ＝π3.(2)∵b ＝22，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ⇒a 2＋c 2－ac ＝8，④由②得a 2＋c 2＋2ac ＝16，⑤ 由④⑤得，ac ＝83，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×83×32＝233.16．解：(1)如图所示，作PN ⊥AB ，N 为垂足，∠PQM ＝θ，∠PMQ ＝π－α，sin θ＝513，sin α＝45，cos θ＝1213，cos α＝35.在Rt △PNQ 中，PN ＝PQ sin θ＝5.2×513＝2，QN ＝PQ ·cos θ＝5.2×1213＝4.8.在Rt △PNM 中，MN ＝PN tan α＝243＝1.5，PM ＝PN sin α＝245＝2.5，∴MQ ＝QN －MN ＝4.8－1.5＝3.3.设游船从P 到Q 所用时间为t 1 h ，游客甲从P 经M 到Q 所用时间为t 2 h ，小船速度为v 1 km/h ， 则t 1＝PQ 13＝5.213＝26513＝25，t 2＝PM v 1＋MQ 66＝2.5v 1＋3.366＝52v 1＋120.由已知，得t 2＋120＝t 1，即52v 1＋120＋120＝25，∴v 1＝253.于是，当小船的速度为253km/h 时，游客甲才能和游船同时到达Q 地．(2)在Rt △PMN 中，PM ＝PN sin α＝2sin α，MN ＝PN tan α＝2cos αsin α，∴QM ＝QN －MN ＝4.8－2cos αsin α.于是t ＝PM 10＋QM 66＝15sin α＋455－cos α33sin α＝1165×33－5cos αsin α＋455.∵t ′＝1165×5sin 2α－（33－5cos α）cos αsin 2α＝5－33cos α165sin 2α， ∴令t ′＝0，得cos α＝533.当cos α<533时，t ′>0；当cos α>533时，t ′<0，又y ＝cos α在α∈0，π2上是减函数，∴当方位角α满足cos α＝533时，t 取最小值， 即游客甲能按计划以最短时间到达Q 地．。