电磁场与电磁波课后答案第1章

第一章习题解答

给定三个矢量、和如下：

求：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）在上的分量；（6）；

（7）和；（8）和。

解（1）

（2）

（3）－11

（4）由，得

（5）在上的分量

（6）

（7）由于

所以

（8）

三角形的三个顶点为、和。

（1）判断是否为一直角三角形；

（2）求三角形的面积。

解（1）三个顶点、和的位置矢量分别为

，，

则，，

由此可见

故为一直角三角形。

（2）三角形的面积

求点到点的距离矢量及的方向。

解，，

则

且与、、轴的夹角分别为

给定两矢量和，求它们之间的夹角和在上的分量。

解与之间的夹角为

在上的分量为

给定两矢量和，求在上的分量。

解

所以在上的分量为

证明：如果和，则；

解由，则有，即

由于，于是得到

故

如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设为一已知矢量，而，和已知，试求。

解由，有

故得

在圆柱坐标中，一点的位置由定出，求该点在：（1）直角坐标中的坐标；（2）球坐标中的坐标。

解（1）在直角坐标系中、、

故该点的直角坐标为。

（2）在球坐标系中、、

故该点的球坐标为

用球坐标表示的场，

（1）求在直角坐标中点处的和；

（2）求在直角坐标中点处与矢量构成的夹角。

解（1）在直角坐标中点处，，故

（2）在直角坐标中点处，，所以

故与构成的夹角为

球坐标中两个点和定出两个位置矢量和。证明和间夹角的余弦为

解由

得到

一球面的半径为，球心在原点上，计算：的值。

解

在由、和围成的圆柱形区域，对矢量验证散度定理。

解在圆柱坐标系中

所以

又

故有

求（1）矢量的散度；（2）求对中心在原点的一个单位立方体的积分；（3）求对此立方体表面的积分，验证散度定理。

解（1）

（2）对中心在原点的一个单位立方体的积分为

（3）对此立方体表面的积分

故有

计算矢量对一个球心在原点、半径为的球表面的积分，并求对球体积的积分。

解

又在球坐标系中，，所以

求矢量沿平面上的一个边长为的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与轴和轴相重合。再求对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。

解

又

所以

故有

求矢量沿圆周的线积分，再计算对此圆面积的积分。

解

证明：（1）；（2）；（3）。其中，为一常矢量。

解 （1）

（2）

（3）设，则，故

一径向矢量场表示，如果，那么函数会有什么特点呢？

解 在圆柱坐标系中，由

可得到

为任意常数。

在球坐标系中，由

可得到

给定矢量函数，试求从点到点的线积分：（1）沿抛物线；（2）沿连接该两点的直线。这个是保守场吗？

解 （1）

（2）连接点到点直线方程为

即

故

由此可见积分与路径无关，故是保守场。

求标量函数的梯度及在一个指定方向的方向导数，此方向由单位矢量定出；求点的方向导数值。

解

故沿方向的方向导数为 点处沿的方向导数值为

试采用与推导直角坐标中相似的方法推导圆柱坐标下的公式 。 解 在圆柱坐标中，取小体积元如题图所示。矢量场沿方向穿出该六面体的表面的通量为

同理

因此，矢量场穿出该六面体的表面的通量为

故得到圆柱坐标下的散度表达式

方程给出一椭球族。求椭球表面上任意点的单位法向矢量。

解 由于

故椭球表面上任意点的单位法向矢量为

题图

现有三个矢量、、为

（1）哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表示？

（2）求出这些矢量的源分布。

解（1）在球坐标系中

故矢量既可以由一个标量函数的梯度表示，也可以由一个矢量函数的旋度表示；

在圆柱坐标系中

故矢量可以由一个标量函数的梯度表示；

直角在坐标系中

故矢量可以由一个矢量函数的旋度表示。

（2）这些矢量的源分布为

，；

，；

，

利用直角坐标，证明

解在直角坐标中

证明

解根据算子的微分运算性质，有

式中表示只对矢量作微分运算，表示只对矢量作微分运算。

由，可得

同理

故有

利用直角坐标，证明

解在直角坐标中

所以

利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明及，试证明之。解（1）对于任意闭合曲线为边界的任意曲面，由斯托克斯定理有

由于曲面是任意的，故有

（2）对于任意闭合曲面为边界的体积，由散度定理有

其中和如题图所示。由斯托克斯定理，有

，

由题图可知和是方向相反的同一回路，则有

所以得到

由于体积是任意的，故有

题图