结合可靠性的桁架结构形状与尺寸组合优化设计

法， 并且优化结果满 足可靠度 的要 求。
２ ． １ 统 一 设 计 变 量
０ 前
言
本 文通 过设 计变 量 的数 学变 换 ，将两类 不 同量纲 的设 计变量转换 为同一性 质的无量纲设 计变量。具体方法如 下 ：
结 构优化的 目的是得 到满 足结 构要求 ，并且 保证结 构 安 全的荷载较轻或 者费 用较 低 的结 构 。桁 架结 构最 优形状 受 到构件截面 尺寸 的影 响 ，同样 ，结 构最 优尺 寸也受 到桁
式中 ，ｘ 为设计 变量 ；ｙ为随 机变 量 ；Ｗ 为 目标 函数 ，
为ｅ 单元的弹性矩阵和几何矩阵；ｎ 为结构单元数量。
将公式 （ １ ０ ） 两 端对 设计 变量 Ａ ｊ 求导 ，可得单 元对第 ｉ
个设计 变量的灵敏度为 ：
它代表结构的质量 ；Ｐ 为密度 ；Ｌ为杆件 长度 ；Ａ为截面 尺 寸； 、 、 ｒ Ｏ ， － 分别 为 ｉ 号杆的应力 、 拉伸容许应力 、 压缩容许
构可靠性优 化 的难 度要 大得 多 ，所 以 ，目前 大部分 工作 集 中于基于单元 可靠 性的结构尺寸优化设计 。 本文 提出了一种结 合可 靠性 的桁架 结构 形状 与尺 寸组
式 中， 置、 置 和ｘ 分 别为设计 变量 、 设计变量 的下 限值 和
上限值 。 由公式 （ ６ ）可得 ：
≤ ≤ …（ ｉ＝ １ ， ｎ ）
（ ３ ）
≤ ‘
（ ４ ）
｛ ｝ ＝［ Ｄ ］ 。 ［ ］ 。 ｛ “ ｝ 。 （ ｅ＝１ ， ２ …ｎ ）
（ １ Ｏ ）
卢［ Ｃ （ ｘ ， Ｙ ）≤０ ］≥ ‘
（ ５ ）
式 中，［ ｕ ］ 为 ｅ单元 结点位 移列阵 ；［ Ｄ］ 。 、 ［ Ｂ］ 分别
与 尺 寸 组 合 优 化 设 计 ，将 形 状 与 尺 寸 设 计 变 量 转 换 成 无 量
纲设计 变量，进行 统一优 化 ，对优化 结果进行 可靠性评 估 ，
直 至达 到最合理 的结果 ，并将最 终结果与 Ａ Ｎ Ｓ Ｙ Ｓ软件优 化
２ 优化 算法
本文将利用 文献 ［ １ ］ 统一设计 变量思想 ，并对 优化 过程 加 以改进 ，提 出一种 统一变 量后 ，结 合满应 力法 优化 的方
为了使两种变量 之 间达 到较 好 的耦 合 ，取如 下统 一设
计 变量 Ｙ
Ｘｆ— Ｘ ｆ
．
ｓ ｉ ｎ
＝百 —
…
（ ６ ）
架结构形式 的影响 。因此 ，单 纯的做 形状 优化 和单 纯的 做 截面尺寸优化 都不 是最好 的选 择 ，但是 ，同 时优化 设计 变 量会增加一些 问题 ， 优化 问题会 变得更加复杂 。 常规 的确定性结 构 优化设 计没 有考 虑作 用荷载 和结 构 物理与几何参数 的 随机性 ，经传统 结构设 计 得 出的最优 结 构并不能保证结 构有 适 当的可靠 性 水平 。因此结构 可靠 性 优化设计更 为合理 ，但 是 与常规 的结 构优 化设计 相 比，结
结 果做 对比 。以体现 该 方法 的优越 性。该 方法 的有效性 通
过 算例 给予验证。
关 键词 ：形状与尺寸优化 ；可靠度 ；无量 纲 中图分 类号 ：Ｔ Ｕ ３ ２ ３ ． ４ 文献标 志码 ：Ｂ
文章编号 ： １ ６ ７ ２— ４ ０ １ １ （ ２ ０ １ ４ ） Ｏ １— ０ ０ ５ ９— ０ ３
２ ０ １ ４ 年 第 １ 期
第４ ｏ卷 总 第 １ ７ ７期
Ｓ ｉ ｃ ｈ ｕ ａ ｎ Ｂｕ ｉ Ｉ ｄ ｉ ｎ ｇ Ｍａ ｔ ｅ ｒ ｉ ａ ｌ ｓ
Ｉ ・ 』 之材
・ ５ ９・
２ ０ １ ４ 年 ２月
Ｄ Ｏ Ｉ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ６ ７ ２－ ４ ０ １ １ ． ２ ０ １ ４ ． Ｏ １ ． ０ ２ ９
尺寸 ， 直 至达到最合理 的结果 。
－＿ ｛
｛ ｝
（ ９ ）
１ 工 程 结构优 化设 计数 学模 型
桁 架结构优化设计模型如下 ：
Ｆ ｉ ｎ ｄ Ｘ＝（ ｌ ， ２ ， … ）
（ １ ）பைடு நூலகம்
（ ２ ）
式中， ｛ ｝ 是在结构第 Ｊ 个位移 ｕ ｊ 对应的 自由度上施加 单 位虚荷载的位移列阵 。 ２ ． ２ ． ２ 常规模型 中结构单元应力 的灵敏度
量 的灵 敏度 Ｊ ：
（ ８ ）
合优化设计 ，建立 了工程 结构 优化设 计 数学模 型 ，将形 状 与尺 寸设计 变量转换成无量纲设计变量 … ，进 行统一优 化 ，
并对优化 结果进 行 可靠性 评估 ，如 不满 足 ，继续 调整截 面
利用虚荷 载法可得结 构第 Ｊ 个 位移分量对第 ｉ 个设 计变
一
维杆单元 只 能承 受沿 杆 的轴 线方 向的拉 力 或压 力 ，
Ｍ ｉ ｎ ｗ （ ｘ ） ＝ＥＰ Ａ
ｆ ＝１
也只有沿杆的轴线方 向的位移 ，当结构 的位移列 阵求得后 ， 可依据单元结点位 移与 应力 的关系 ，求 得任 一单 元的应 力
列阵为 ：
Ｓ ． ｔ ．
结合 可 靠 性 的 桁 架 结构 形 状 与 尺 寸 组 合优 化 设 计
杨 生意，江 涛
（ 安徽 工业 大 学 ，安徽 马 鞍 山 ２ ４ ３ ０ ３ ２ ）
摘
要 ：文中提 出 了一种 结合 可靠 性的 桁架 结构形 状
应力 、 分别 代 表结 构上 某个 节 点位 移 和相 应 的约 束 值； 卢、 卢 代表 可靠 指标 和最小容许 可靠指标。
Ｘ ｌ－ －Ｘ ＋ｓ ｉ ｎ ｙ ｉ ＝ （ Ｘ — ｆ ） （ ７ ）
由公式 （ ７ ） 将Ｙ ｉ 转化为 ｘ ｉ 过程 中，ｘ ｉ 始终落在其限制
范 围之 内，已经 间接 的考虑 了设计 变量 约束条 件 ，使优 化 过程 中约束 函数 的处理得 到简化 。 ２ ． ２ 可靠指 标及敏 度的计 算 ２ ． ２ ． １ 常规模 型 中结构位 移的灵敏度 由结构平衡 方程 ［ ］ ｛ Ｕ｝＝ ｛ Ｐ ｝