初中数学人教版九年级上册第二十一章 二次根式教案
九年级数学上册 21.1 二次根式教案 新人教版
（2）学生是否能分和这两种情况进行讨论．
在教师的引导下，学生很容易得到如下结论：
是一个非负数．
通过这一活动的设计，提高学生对所学知识的迁移能力和应用意识；培养学生的分类讨论的思想和归纳概括的能力．
活动3
问题
根据算术平方根的意义填空：
21.1 二次根式
教学目标
知识技能
1．了解二次根式的概念．
2．了解二次根式的基本性质．
数学思考
经历观察、比较、总结二次根式的基本性质的过程，发展学生的归纳概括能力．
解决问题
通过对二次根式的概念和性质的探究，提高数学探究能力和归纳表达能力．
情感态度
学生经历观察、比较、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性与创造性，体验发现的快乐，并提高应用的意识．
通过这组题目的练习，加深对这一性质的理解和应用．对于复杂的题目，要学会分解，化难为易．
活动4
问题
（1）填空：
；；
；．
（2）思考：当时，？
（3）与相等吗？
例3化简：
（1）； （2）．
教师首先引导学生比较活动3与活动4中两组题目的不同之处，注意学生是否观察出：活动3中的题目是对非负数先进行开平方运算，再进行平方运算；而活动4中的题目正好相反，是先进行平方运算，再进行开平方运算．
注重新旧知识的连贯性，使学生有一个由浅入深的学习过程，并体会到学习的内容是融会贯通的．
为学生提供练习的时间和空间，调动学生的主观能动性，激发好奇心和求知欲．
通过题目的练习，使学生加深对所学知识的理解，避免一些常见错误．
活动2
问题
请比较与0的大小．
人教版数学九年级上册21.1.2《二次根式的概念》教学设计
人教版数学九年级上册21.1.2《二次根式的概念》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册21.1.2《二次根式的概念》是整个章节的第二节内容。
在这一节中，我们将引导学生认识二次根式，掌握二次根式的性质和运算方法。
教材首先通过实例引入二次根式的概念，然后通过观察、猜想、归纳等方法，引导学生掌握二次根式的性质。
接着，教材又会介绍二次根式的运算方法，并通过大量的练习，使学生熟练掌握。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了实数的基本概念，对数学知识有一定的理解能力。
但是，对于二次根式这一部分内容，由于其抽象性较强，学生可能会有理解上的困难。
因此，在教学过程中，我需要注重引导学生通过观察、猜想、归纳等方法，自主探究二次根式的性质和运算方法，以提高他们的理解能力和解决问题的能力。
三. 教学目标1.了解二次根式的概念，能正确识别二次根式。
2.掌握二次根式的性质，并能运用性质进行简单的运算。
3.培养学生的观察能力、猜想能力和归纳能力。
四. 教学重难点1.二次根式的概念及其识别。
2.二次根式的性质及其运用。
3.二次根式的运算方法。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、猜想、归纳等方法，自主探究二次根式的性质和运算方法。
2.利用多媒体辅助教学，使抽象的二次根式形象化、直观化。
3.注重练习，以提高学生的动手能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的多媒体课件，用于展示二次根式的形象化和直观化。
2.准备充足的练习题，用于巩固和拓展学生的知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考二次根式的概念。
例如：一个正方形的对角线长度为6cm，求这个正方形的面积。
2.呈现（10分钟）通过多媒体课件，展示二次根式的形象化和直观化，引导学生认识二次根式，并掌握其识别方法。
3.操练（10分钟）让学生通过观察、猜想、归纳等方法，自主探究二次根式的性质。
教师引导学生进行讨论，总结出二次根式的性质。
《二次根式》教学教案
《二次根式》教学教案《二次根式》教学教案（精选6篇）《二次根式》教学教案篇1一、内容和内容解析1、内容二次根式的概念。
2、内容解析本节课是在学生学习了平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根，知道开方与乘方互为逆运算的基础上，来学习二次根式的概念。
它不仅是对前面所学知识的综合应用，也为后面学习二次根式的性质和四则运算打基础。
教材先设置了三个实际问题，这些问题的结果都可以表示成二次根式的形式，它们都表示一些正数的算术平方根，由此引出二次根式的定义。
再通过例1讨论了二次根式中被开方数字母的取值范围的问题，加深学生对二次根式的定义的理解。
本节课的教学重点是：了解二次根式的概念；二、目标和目标解析1、教学目标（1）体会研究二次根式是实际的需要。
（2）了解二次根式的概念。
2、教学目标解析（1）学生能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系，体会研究二次根式的必要性。
（2）学生能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念，知道被开方数必须是非负数的理由，知道二次根式本身是一个非负数，会求二次根式中被开方数字母的取值范围。
三、教学问题诊断分析对于二次根式的定义，应侧重让学生理解“ 的双重非负性，”即被开方数≥0是非负数，的算术平方根≥0也是非负数。
教学时注意引导学生回忆在实数一章所学习的有关平方根的意义和特征，帮助学生理解这一要求，从而让学生得出二次根式成立的条件，并运用被开方数是非负数这一条件进行二次根式有意义的判断。
本节课的教学难点为：理解二次根式的双重非负性。
四、教学过程设计1、创设情境，提出问题问题1你能用带有根号的的式子填空吗？（1）面积为3 的正方形的边长为_______，面积为S 的正方形的边长为_______。
（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130?，则它的宽为______。
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：）满足关系 h =5t?，如果用含有h 的式子表示 t ，则t= _____。
新人教版九年级上21.1二次根式教案
新人教版九年级上21.1二次根式教案篇一：数学：人教版九年级上二次根式(教案)数学：人教版九年级上二次根式（教案）一、教学目标1.复习平方根的概念.2.经历从实际问题列二次根式的过程，知道什么是二次根式，会求二次根式有意义的条件.二、教学重点和难点1.重点：二次根式的概念.2.. 三、教学过程（一）复习旧知，导入新课师：从本节课开始，我们要学习新的一章——第二十一章二次根式（板书：第二十一章二次根式）.师：什么是二次根式？这得从平方根说起.师：初二的时候我们学过平方根，那么什么是平方根？（稍停）师：（板书：x=5，并指准）x=5，5是x的什么？（稍停）5是x 的平方；反过来，x是5的什么？（稍停）x是5的平方根.师：（指准x=5）x=5，5是x的平方，x是5的平方根.大家按照老师的说法，自己说几遍.（生自己说）师：哪位同学来说一说？2222生：??（让一两名同学说）师：（指准x=5）x=5，x是5的平方根，那么5的平方根x等于什么呢？（板书：5的平方根x=）生：??（让一两名学生回答）师：x=师：（指准55的算术平方根.师：（指准板书）5的平方根是12的平方根是什么？生：（齐答）.2212的什么？12的算术平方根.师：上面我们复习的是正数的平方根，下面我们来看0的平方根. 师：（板书：x=0，并指准）x=0，x等于什么？生：（齐答）x=0.（师板书：x=0）师：（指准板书）从x=0得出x=0，这说明什么？（稍停）这说明0的平方根为0（板书：0的平方根为0）.师：我们还规定0的算术平方根为0. 师：下面我们再来看负数有没有平方根.师：（板书：x=-5，并指准）一个数的平方等于-5，这样的数有没有？（稍停）任何一个数的平方，或者大于0，或者等于0，不可能小于0，所以这样的数没有（板书：不存在）.这说明什么？（稍停）这说明-5没有平方根（板书：-5没有平方根）.师：（指板书）从上面的讨论，我们可以得出一个结论，什么结论？（稍停）正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.（二）试探练习，回授调节 1.填空：(1)9的平方根是，9的算术平方根是；(2)6的平方根是，6的算术平方根是；(3)0的平方根是，0的算术平方根是. 2.用带根号的式子填空：(1)一个直角三角形的两条直角边的长分别是2和3，则斜边的长为；(2)面积为S的正方形的边长为；(3)跳水运动员从跳台跳下，他在空中的时间t（单位：秒）与跳台高度h（单位：米）满足关系h=5t.如果用含有h的式子表示t，则t=.（三）尝试指导，讲授新课（生报第222222师：式子有什么共同的特点？生：??（问题的答案不是唯一的，鼓励学生发表自己的看法）师：（指准式子）是13S的算术平方h的算术平方根.另一方面，从式子5子）.师：a等于13a等于Sa等于什么？生：（齐答）等于h.S式（板书：叫做二次根式）.师：大家把二次根式的概念读两遍.（生读）师：下面我们来看一道例题.（师出示例题）例当x师：大家看一看这个题目，想一想怎么做这个题目.（生读题思考）师：x-2必须大于等于0.为什么被开方数x-2必须大于等于0？x-2的算术平方根，而负数没有平方根，所以被开方数x-2必须大于等于0.（以下师边讲解边板书，解题过程如下）解：由x-2≥0，得x ≥2. 当x≥2. （四）试探练习，回授调节 3.填空：(1)当a有意义；(2)当x.4.选做题：当x；当x有意义.（五）归纳小结，布置作业2师：本节课我们首先复习了平方根的概念，然后学习了什么是二次根式.（指准板a必须大于等于0（板书：其中a≥0）.（作业：P5习题1，P3练习2）四、板书设计课题：二次根式（第2课时）一、教学目标1.经历探究过程，知道并会简单运用二次根式的基本性质.2.培养探究能力和归纳表达能力. 二、教学重点和难点1.重点：二次根式的基本性质.2.难点：二次根式基本性质的探究.三、教学过程（一）创设情境，导入新课师：上节课我们学习了二次根式的概念，什么样的式子是二次根式？（师出示下面的板书）a≥0）的式子叫做二次根式.师：a必须大于等于0.譬如，.师：明确了二次根式的概念，本节课我们要学习什么？本节课我们要学习二次根式的性质（板书：二次根式的性质）.（二）尝试指导，讲授新课师：二次根式有什么性质？二次根式有三个性质，我们先来看第一个性质.（师出示下面的板书）性质1a≥0）是一个非负数.师：（指准板书）性质1.0，所.a的算术平方根，而a的算术平方根总是大于等于0.师：下面我们来看二次根式的第二个性质.师：，于什么？生：等于3.（直到有学生猜出这个答案，师板书：=3）师：（指式子）等2=3，为什么？（稍停）2（师出示下图）面积＝3师：（指准图）这是一个正方形，这个正方形的面积为3，那么它的边长等于什么？（多让几名同学回答，然后师在图上板书：边长师：3.么？生：??（多让几名同学回答）=3. 师：（板书：=）利用同样的办法，我们可以得到等于什么？师：3，可见，222生：（齐答）等于8.（生答师板书：8）篇二：人教版九年级上册教案二次根式121．1 二次根式第一课时教学内容二次根式的概念及其运用教学目标a≥0）的意义解答具体题目．提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．教学重难点关键1a≥0）的式子叫做二次根式的概念；2．难点与关键：利用“a≥0）”解决具体问题．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：问题1：已知反比例函数y=3，那么它的图象在第一象限横、?纵坐标相等的点的坐标x是___________．问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________．A问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________．老师点评：问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以．问题2：由勾股定理得C问题3：由方差的概念得S=二、探索新知a≥0）?的式子叫做二次根式，（学生活动）议一议：1．-1有算术平方根吗？2．0的算术平方根是多少？3．当a0）、x1x≥0，y?≥0）． x?y；第二，被开方数是正数分析或0．x>0）x≥0，y≥0）；不是二次11． xx?y例2．当x分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，?才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x≥当x≥1 31在实数范围内有意义． 3三、巩固练习教材P练习1、2、3．四、应用拓展例3．当x分析+1在实数范围内有意义？ x?11在实数范围内有意义，必须同时满足中的≥0和x?11中的x+1≠0． x?1解：依题意，得??2x?3?0 ?x?1?0由①得：x≥-32由②得：x≠-1当x≥-32且x≠-11x?1在实数范围内有意义．例4(1)已知，求xy的值．(答案:2)(2)，求a2004+b2004的值．(答案:25)五、归纳小结（学生活动，老师点评）本节课要掌握：1a≥0）的式子叫做二次根式，2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．六、布置作业1．教材P8复习巩固1、综合应用5．2．选用课时作业设计．第一课时作业设计一、选择题1．下列式子中，是二次根式的是（）A．BCD．x2．下列式子中，不是二次根式的是（）ABCD．1x3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）A．5 BC．15D．以上皆不对二、填空题1．形如________的式子叫做二次根式．2．面积为a的正方形的边长为________．3．负数________平方根．三、综合提高题1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为，按设计需要，做成正方形，试问底面边长应是多少？2．当x2在实数范围内有意义？3．4.x有（）个．底面应?A．0 B．1 C．2 D．无数5.已知a、b=b+4，求a、b的值．第一课时作业设计答案:一、1．A 2．D 3．B二、1a≥0） 23．没有三、1．设底面边长为x，则=1，解答：3??2x?3?0?x?? 2．依题意得：?，?2 x?0x?0∴当x>-3且x≠0x2在实数范围内没有意义． 34．B5．a=5，b=-4篇三：人教版数学九年级(上)教案教案一、知识回顾1. 9的平方根是9的算术平方根是.2. 3的算术平方根表示为；3的平方根表示为3. 在实数范围内，正数有0的（算术）平方根是；负数（算术）平方根.二、知识点拨知识点1：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号.6. 下列是二次根式的是：.（1）x2＝25 （2）2x?1 （3）x2－x－9＝0（4）2x?6 （5）xy≥0 （6）2（7）12 （8） x7. 当a是怎样的实数时，下列各2a式在实数范围内有意义？ a（1）a?2（2）?1 （3）2a?3（4）?2（5）3?a （6）a（7）?a （8）a2 （9）a32知识点2：一般地，＝a（a≥0）. a）8. 计算：222 （1）（2）（3） .5）（2）3）222 （4）（5）（6）（32））（?）知识点3：一般地，a2＝a （a≥0）.9. 化简：2 （1）（2）?5 （3））22 （5）（4）?1 （6）?2 ）722 （7）（8）? 3知识点4：用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数和字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.三、课后思考10. 已知直角三角形两直角边为a和b，斜边为c.（提示：勾股定理公式：a2＋b2＝c2）（1）如果a＝12，b＝5，求c；（2）如果a＝3，c＝4，求b；（3）如果c＝10，b＝9，求a.11. 已知半径为r cm的圆的面积是半径为2 cm和3 cm的两个圆的面积的和，求r的值.12.（1）?n是整数，求自然数n的值.（2）24n是整数，求正整数n的最小值.13. 当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？1（1）3?x （2） 2x?114. 已知n是正整数，n是整数，求n的最小值.四、中考链接15.（2009·株洲）若使二次根式x?2在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A. x＞2B. x≥2C. x＜2D. x≤2200916.（2009·天津）若x、y为实数，且x?2?y?2?0，则的值为 . xy17.（2009·哈尔滨）36的算术平方根是（）A. 6B. ±6C.D. ±618.（2009·荆门）?9的平方根是（）A. 81B. ±3C. 3D. －319.（2009·宜宾）9的平方根是（）A. 3B. －3C. ±3D.±3220.（2009·怀化）若a?2?b?3?（c?4）?0，则a－b＋c＝.21.（2009·福州）请写出一个比5小的整数：022.（2009·江苏）计算：?2?（1?2）?4223.（2009·江西）计算：（?2）?（3?5）??2?（?3）024.（2009·南充）计算：（??2009）??3?2。
新人教版九(上)第二十一章《二次根式》全章精品教案
21.3二次根式的加减法（1）教学目标：（1） 理解和掌握二次根式加减的方法．（2）利用二次根式进行的加减根式的计算和化简．教学重点：二次根式加减教学难点：二次根式加减运算．教学过程：一、情景导入与练习：由乘法分配律，我们可以得到()bc ac c b a +=+ 反过来 ()c b a bc ac +=+这是运算律在实数范围内也适用，如 ()520515551555=+=+；().333523532-=-=- 上面的二次根式,515,5535,32都是最简二次根式。
把最简同类二次根式合并，就是二次根式的加减法运算。
二、探究与训练：例1．计算：（1）3233-，（2）a a 23+（3）a b b a 2323-+-解：（1）3233-=3)23(-=3（2）a a 23+=a )23(+=a 5（3）a b b a 2323-+-=b a )32()23(+-+-=b a +归纳要点：①同类二次根式的合并方法：合并同类二次根式时，根号部分(视为一个整体)不变，只需将根号的系数相加减②利用整体思想和类比方法，合并同类项与合并二次根式实际上是同一种变形。
练习1。
计算：（1）323+（2）223+－32+（3）a b b a 4223-+-例2．计算：（1）3250+（2）1827227+-（3）4832714122+- 解：（1）3250+=2425+=29（2）1827227+-=232333+-=33（3）原式=31233334343433314322222+⨯-=⨯+⨯⨯-⨯=31239434+-=93140312944=⎪⎭⎫ ⎝⎛+- 总结：只有先化简为最简二次根式后，才能合并同类二次根式练习2：计算：（1）18128-+ （2）453227--例3 计算⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-75813125.0 分析：根据去括号法则，首先去掉原式的括号，然后把原式中的各个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式分别合并。
人教版数学九年级上册21.1.2《二次根式的概念》教案
人教版数学九年级上册21.1.2《二次根式的概念》教案一. 教材分析人教版数学九年级上册21.1.2《二次根式的概念》是该册的一个重点和难点。
本节课主要介绍二次根式的概念，包括二次根式的定义、性质和运算。
通过本节课的学习，学生将能够理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质和运算，为后续学习二次根式的应用打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了实数、有理数、无理数等基础知识，对数的运算也有一定的了解。
但是，学生对二次根式的概念和性质可能还比较陌生，需要通过本节课的学习来掌握。
此外，学生可能对二次根式的运算有一定的困难，需要通过实例和练习来加深理解。
三. 教学目标1.理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质和运算。
2.能够运用二次根式的知识解决实际问题。
3.培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次根式的概念和性质。
2.二次根式的运算。
五. 教学方法采用问题驱动法、实例教学法、合作学习法等教学方法。
通过问题引导学生思考，通过实例讲解和练习让学生理解和掌握二次根式的概念和性质，通过合作学习让学生互相交流和解决问题。
六. 教学准备1.PPT课件。
2.教学实例和练习题。
3.黑板和粉笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾实数、有理数、无理数等基础知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（15分钟）讲解二次根式的定义，通过实例让学生理解二次根式的概念。
讲解二次根式的性质，让学生掌握二次根式的基本性质。
3.操练（20分钟）让学生进行二次根式的运算练习，引导学生运用二次根式的性质和运算法则进行计算。
在此过程中，教师要及时给予指导和反馈，帮助学生巩固所学知识。
4.巩固（10分钟）通过一些典型的例题和练习题，让学生进一步理解和掌握二次根式的概念和性质，能够熟练地进行二次根式的运算。
5.拓展（10分钟）让学生思考和讨论二次根式在实际问题中的应用，引导学生将所学知识运用到实际问题中，提高学生的解决问题的能力。
人教版九年级数学上册《二十一章 二次根式 21.1 二次根式》优质课教案_14
二次根式第一课时一、教学目标1.核心素养：通过学习二次根式的概念，培养学生数感和符号意识．2.学习目标（1）根据算术平方根的意义了解二次根式的概念,能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系.（2）知道被开方数必须是非负数的理由,会求二次根式有意义的条件.3.学习重点从算术平方根的意义出发理解二次根式的概念.4.学习难点二次根式有意义的条件.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务任务1 回顾：什么叫算术平方根？任务2 阅读教程P2，思考：什么叫二次根式？二次根式有意义的条件是什么？2.预习自测1．面积为3的正方形的边长为（）A.3B.3±C. 3-D. 92. 面积为S 的正方形的边长为（ ） A.s B.s ± C. s -D. 2s 3. 当x 为何值时，x 有意义（ ）A.0>xB.0<xC. 0≥xD. 0≤x预习自测1.A2.A3.C（二）课堂设计1.知识回顾（1）平方根：25的平方根是±5,3的平方根是3±，0的平方根是0，-5没有平方根.（2）算术平方根：25的算术平方根是5,3的算术平方根是3，0的算术平方根是0，-5没有算术平方根.2.问题探究问题探究一 什么样的式子是二次根式？★活动一 回顾旧知，整体感受用带根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点？（1）面积为2的正方形的边长为，面积为S 的正方形边长为 ；（2）一个长方形硬纸板，长是宽的2倍，面积为130cm2,则它的宽为 cm ；（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用时间t （单位：秒）与开始落下时与地面高度h （单位：米）满足关系h=5t2．如果用含h 的式子表示t ，那么t= .活动二 总结反思，得出概念上面结果都是一些正数的算术平方根，我们知道一个正数有两个平方根；0的平方根是0；在实数范围里内负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0. 二次根式的概念：一般地，我们把形如a (a ≧0)的式子叫做二次根式.二次根式具备哪些特点？（1）有二次根号；（2）被开方数不能小于0.活动三 牛刀小试 初步运用例1.式子：2，x 1，2x ，5-，32，5a 中，二次根式的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4【知识点：二次根式的定义】 详解：2，2x ，5-是二次根式，因此有3个，选C.点拨：二次根式是一种表示方法，既要看形式是否带有二次根号，又要看被开方数是否为非负数.问题探究二 二次根式有意义的条件是怎样的？▲活动一 回顾旧知 开启新知（1）式子：2，0，3-有意义吗？（2）对于任意实数a ，a 一定有意义吗？（3）实数x 满足什么条件，二次根式2-x 有意义？点拨：二次根式是否有意义的关键是看被开方数是否为非负数，因此，三个问题的结果显而易见.（1）式子：2，0有意义，3-没有意义；（2）对于任意实数a ，a 不一定有意义，因为a 有可能为负数；（3）二次根式2-x 要有意义，只需02≥-x 即可，即2≥x .活动二 牛刀小试 初步运用例2.当a 取怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？【知识点：二次根式有意义的条件】（1）2a （2）12+a （3）11-a详解：（1）2a 中，无论a 取何值，2a 都有意义；（2）12+a 中，无论a 取何值，12+a 都是一个正数，所以，无论a 取何值，12+a 都有意义；（3）11-a 中，01>-a ，即1>a .点拨：二次根式是否有意义的关键是看被开方数是否为非负数，如果式子中，除了二次根式外，还有其它形式的式子，如（3），还得综合考虑，既要考虑二次根式有意义，还要考虑整个式子有意义.3.课堂小结【知识梳理】 形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式.二次根式有意义的条件：被开方数为非负数.【重难点突破】二次根式有意义的条件探究．①当给定的代数式只是二次根式形式时，只需要满足被开方数为 即可；②当给定的代数式不只含有二次根式时，则要全面综合考虑，如：代数式21-x 有意义的条件就应同时满足：2-x ≠0和2-x ≥0，即2-x >0. 4.随堂检测1.下列各式不是二次根式的是（ ） A. 9 B. )0(≥a a C. 3- D. 0【知识点：二次根式的定义】【参考答案】C【思路点拨】判定一个式子是否是二次根式，首先看是否带有有二次根号；然后看被开方数是否为非负数.2.下列式子中，二次根式的个数是（ ）（1）31；（2）5-；（3）22+x ；（4）3x ；（5）35A. 1B.2C.3D. 4【知识点：二次根式的定义】【参考答案】B【思路点拨】判定一个式子是否是二次根式，首先看是否带有二次根号；然后看被开方数是否为非负数.因此，（1）（3）是二次根式.3.若式子5-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A. 5≥xB. 5>xC. 5<xD. 5≤x【知识点：二次根式有意义的条件】【参考答案】A【思路点拨】二次根式有意义的条件就是被开方数要为非负数。
新人教版九(上)第二十一章《二次根式》全章精品教案-2.doc
21.2二次根式的乘除（1）教学目的：1、使学生掌握积的算术平方根的性质，会根据这一性质熟练的化简二次根式。
2、使学生会用公式和文字两种语言形式来表示积的算术平方根的性质3、熟练掌握公式：).0,0(≥≥=⋅b a ab b a （a ≥0，b ≥0）教学重点：理解并掌握积的算术平方根的性质 教学难点：理解并掌握积的算术平方根的性质 教学过程： 一、复习计算（1）94⨯ ；94⨯ （2）01.0100⨯；01.0100⨯问：从计算的结果中你发现什么规律？ 答：9494⨯=⨯ 01.010001.0100⨯=⨯二、新课请同学把上面的计算归纳出一般的表达式 答： ()0,0≥≥=⋅b a ab b a这就是说，两个非负数的算术平方根的积，等于这两个非负数的积的算术平方根。
算术平方根的积等于积的算术平方根。
这里应注意，各因式必须是非负数。
练习：填空 （1）mn n m =⋅成立的条件是___________。
（2）b a b a )1(1+=⋅+成立的条件是___________。
我们可以运用这一性质化简二次根式。
例1．计算：（1）53⨯ （2）2731⨯（3）100812⨯⨯ 解：(1)=1553=⨯ (2)=2731⨯=9=3 (3)=100812⨯⨯=25=5练习1：计算（1）52⨯（2）123⨯（3）721288⨯把()0,0≥≥=⋅b a ab b a 反过来，就得到()0,0≥≥⋅=b a b a ab例2．化简（1）8116⨯ （2） 2000 （3） 108解：（1）8116⨯=8116⨯=3694=⨯(2) 2000=520510251004=⨯=⨯⨯ (3) 108=36332394394=⨯=⨯⨯=⨯⨯练习2：化简（1）27（2）48（3）54 （4）80（5）200 （6）12149⨯ （7）1527⨯例3．计算：（1）714⨯ （2）10253⨯（3）xy x 313⨯（4）5632243⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯ （5）()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-73141358 解：（1）714⨯=714⨯=272⨯=272⨯=27（2）10253⨯=10523⨯⨯⨯=2256⨯⨯=256⨯⨯=230（3）xy x 313⨯=xy x 313⨯=y x 2=y x ∙2=y x（4）5632243⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=782563843⨯⨯-=⨯⨯-=74-（5）()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-73141358=()71035273135418⨯=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯- =21025225225522=⨯⨯=⨯=⨯⨯ 练习3.计算 (1) 245⨯ (2) 1826⨯- (3)a ab 8123⨯(4)54123)8532(⨯-(5) y 4 (6) 3216c ab (7) 3532n m例4. 计算（1）b a 10253⨯ （2）xy x 11010-⋅ （3）()mn m m 422212+-⋅分析：可以根据二次根式的乘法法则及乘法运算律进行计算。
人教版九年级数学上第二十一章21.1二次根式教学设计
教学目的1．使学生掌握最简二次根式的定义，并会应用此定义判断一个根式是否为最简二次根式；2．会运用积和商的算术平方根的性质，把一个二次根式化为最简二次根式。
教学重点最简二次根式的定义。
教学难点一个二次根式化成最简二次根式的方法。
教学过程一、复习引入1．把下列各根式化简，并说出化简的根据：2．引导学生观察考虑：化简前后的根式，被开方数有什么不同？化简前的被开方数有分数，分式；化简后的被开方数都是整数或整式，且被开方数中开得尽方的因数或因式，被移到根号外。
3．启发学生回答：二次根式，请同学们考虑一下被开方数符合什么条件的二次根式叫做最简二次根式？二、讲解新课1．总结学生回答的内容后，给出最简二次根式定义：满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式：(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；(2)被开方数中不含能开得尽的因数或因式。
最简二次根式定义中第(1)条说明被开方数不含有分母；分母是1的例外。
第(2)条说明被开方数中每个因式的指数小于2；特别注意被开方数应化为因式连乘积的形式。
2．练习：下列各根式是否为最简二次根式，不是最简二次根式的说明原因：3．例题：例1 把下列各式化成最简二次根式：例2 把下列各式化成最简二次根式：4．总结把二次根式化成最简二次根式的根据是什么？应用了什么方法？当被开方数为整数或整式时，把被开方数进行因数或因式分解，根据积的算术平方根的性质，把开得尽方的因数或因式用它的算术平方根代替移到根号外面去。
当被开方数是分数或分式时，根据分式的基本性质和商的算术平方根的性质化去分母。
此方法是先根据分式的基本性质把被开方数的分母化成能开得尽方的因式，然后分子、分母再分别化简。
三、巩固练习1．把下列各式化成最简二次根式：2．判断下列各根式，哪些是最简二次根式？哪些不是最简二次根式？如果不是，把它化成最简二次根式。
四、小结本节课学习了最简二次根式的定义及化简二次根式的方法。
同学们掌握用最简二次根式的定义判断一个根式是否为最简二次根式，要根据积的算术平方根和商的算术平方根的性质把一个根式化成最简二次根式，特别注意当被开方数为多项式时要进行因式分解，被开方数为两个分数的和则要先通分，再化简。
新人教版数学九上优秀教案：21·1二次根式
的概念及其三个运算性质.
二、探究新知
(一)定义及非负性
学生独立完成后，教师订正； 算 术 平 方 根 的 意
活动 1、填空，完成课本思考 1：
并引导学生观察得出：四个 义 是 得 出 二 次 根
65 ， S ， 2 ， h
式子表示的都是非负数的算 式的性质的基础，
术平方根.
复习算术平方根
5
教师可指出算术平方根即正 的 意 义 便 于 理 解
活动 2、观察其形式上的共同点，被开方数的共同点，说明各式所表 的平方根.
定义、归纳性质.
示的共同意义.
活动 3、给出二次根式的定义，介绍二次根式的读法.
活动 4、思考下列问题：
① 9 的运算结果是 3， 9 是不是二次根式？3 是不是？ ②定义中为什么要加 a ≥0？若 a<0， a 表示什么？有无意义？ ③当 a=0 时， a 表示什么？结果是什么？当 a>0 时， a 表示什
3.
2
a和
a2 的运算、化简
教学难点
a <0 时 a2 的化简.
教学过程设计
教学程序及教学内容
师生行为
设计意图
一、复习引入
点题，板书课题.
导语设计：在勾股定理和四边形两章中，已经用到过简单的二次根式
运算，在本章中将系统地学习二次根式的运算。本课只学习二次根式
让学生了解本章 的学习内容和本 课的学习目标.
作课类别 教学媒体
知识
教
技能
学
过程
目
方法
标
情感
Байду номын сангаас态度
教学重点
示范课 课 题
第二十一章二次根式 21.1 二次根式 多媒体
新人教版九(上)第二十一章《二次根式》全章精品教案-1.doc
21.3二次根式的加减(4)教学目的：1、使学生运用平方差公式进行二次根式的混合运算；2、理解两个含二次根式的式子互为有理化因式的概念，并会求含二次根式的代数式的有理化因式；3、会将分母为含两个二次根式的和（或差）的式子进行化简，并求出这些式子的近似值。
教学重点：运用平方差公式进行二次根式的混合运算及将分母为两个二次根式的和（或差）的式子进行化简教学难点：掌握分母有理化的多种方法 教学过程： 一、复习在整式乘法公式中平方差公式是什么？答：22))((b a b a b a -=-+，这个公式对二次根式也适用。
二、新课1、运用平方差公式进行二次根式的混合运算 例1 计算：（1）()()6363-+ （2）()()by ax by ax 5252---问：请同学们观察上面各题中，相乘的两个代数式的结构有什么特点？ 两数的和与这两数的差相乘，可以运用平方差公式，进行计算化简。
解：（1）()()6363-+=22)6()3(-=3-6= -3（2）()()by ax by ax 5252---=()()ax by ax by 2525+---=22)2()5(ax by --=25by-4ax问：上面各题的运算结果有什么共同特点？答：运算结果都是有理数或有理式，不再含有二次根式。
两个含二次根式的代数式，如果它们的积不含有二次根式，我们把这两个代数式叫做 互为有理化因式。
2、互为有理化因式的应用首先要根据互为有理化因式的概念，判断两个含二次根式的式子是否互为有理化因式。
例如：a 与a 或a 2；63+与63-是互为有理式因式。
而a 与a 2，52+与72-不是互为有理式因式。
其次要根据互为有理化因式的概念求出一个含二次根式的代数式的有理化因式。
例2 求下列各式的有理化因式：（1）38a ； （2）625+; (3)ab a -2;（4）b a a +-3； （5）n m n m -++； （6）y x --。
人教版九年级数学上册《二十一章 二次根式 21.1 二次根式》优质课教案_6
《二次根式》第1课时教案设计一、内容和内容解析1．内容二次根式的概念. 2．内容解析本节课是在学生学习了平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根，知道开方与乘方互为逆运算的基础上，来学习二次根式的概念. 它不仅是对前面所学知识的综合应用，也为后面学习二次根式的性质和四则运算打基础. 教材先设置了三个实际问题，这些问题的结果都可以表示成二次根式的形式，它们都表示一些正数的算术平方根，由此引出二次根式的定义. 再通过例1讨论了二次根式中被开方数字母的取值范围的问题，加深学生对二次根式的定义的理解. 本节课的教学重点是：了解二次根式的概念；二、目标和目标解析 1.教学目标（1）体会研究二次根式是实际的需要．（2）了解二次根式的概念． 2. 教学目标解析（1）学生能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系，体会研究二次根式的必要性．（2）学生能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念，知道被开方数必须是非负数的理由，知道二次根式本身是一个非负数，会求二次根式中被开方数字母的取值范围．三、教学问题诊断分析对于二次根式的定义，应侧重让学生理解“的双重非负性，”即被开方数≥0是非负数，的算术平方根≥0也是非负数.教学时注意引导学生回忆在实数一章所学习的有关平方根的意义和特征，帮助学生理解这一要求，从而让学生得出二次根式成立的条件，并运用被开方数是非负数这一条件进行二次根式有意义的判断. 本节课的教学难点为：理解二次根式的双重非负性. 四、教学过程设计1．创设情境，提出问题问题1你能用带有根号的的式子填空吗？（1）面积为3 的正方形的边长为_______，面积为S 的正方形的边长为_______．（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m?，则它的宽为______m．（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h =5t?，如果用含有h 的式子表示t ，则t= _____．师生活动：学生独立完成上述问题，用算术平方根表示结果，教师进行适当引导和评价. 【设计意图】让学生在填空过程中初步感知二次根式与实际生活的紧密联系，体会研究二次根式的必要性．问题2 上面得到的式子，，分别表示什么意义？它们有什么共同特征？师生活动：教师引导学生说出各式的意义，概括它们的共同特征：都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根．【设计意图】为概括二次根式的概念作铺垫．2．抽象概括，形成概念问题3 你能用一个式子表示一个非负数的算术平方根吗？师生活动：学生小组讨论，全班交流．教师由此给出二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．【设计意图】让学生体会由特殊到一般的过程，培养学生的概括能力．追问：在二次根式的概念中，为什么要强调“a≥0”？师生活动：教师引导学生讨论，知道二次根式被开方数必须是非负数的理由．【设计意图】进一步加深学生对二次根式被开方数必须是非负数的理解．3．辨析概念，应用巩固例1 当时怎样的实数时，在实数范围内有意义？师生活动:引导学生从概念出发进行思考，巩固学生对二次根式的被开方数为非负数的理解．例 2 当是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？师生活动:先让学生独立思考，再追问．【设计意图】在辨析中，加深学生对二次根式被开方数为非负数的理解．问题4你能比较与0的大小吗？师生活动：通过分和这两种情况的讨论，比较与0的大小，引导学生得出≥0的结论，强化学生对二次根式本身为非负数的理解，【设计意图】通过这一活动的设计，提高学生对所学知识的迁移能力和应用意识；培养学生分类讨论和归纳概括的能力. 4．综合运用，巩固提高练习1 完成教科书第3页的练习. 练习2当x 是什么实数时，下列各式有意义. （1）；（2）；（3）；（4）. 【设计意图】辨析二次根式的概念，确定二次根式有意义的条件. 【设计意图】设计有一定综合性的题目，考查学生的灵活运用的能力，开阔学生的视野，训练学生的思维. 5．总结反思教师和学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题. （1）本节课你学到了哪一类新的式子？（2）二次根式有意义的条件是什么？二次根式的值的范围是什么？（3）二次根式与算术平方根有什么关系？师生活动：教师引导，学生小结. 【设计意图】：学生共同总结，互相取长补短，再一次突出本节课的学习重点，掌握解题方法. 6．布置作业：教科书习题16.1第1，3，5，7，10题．五、目标检测设计 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（） A. B. C. D. 【设计意图】考查对二次根式概念的了解，要特别注意被开方数为非负数． 2. 当时，二次根式无意义．【设计意图】考查二次根式无意义的条件，即被开方数小于0，要注意审题． 3.当时，二次根式有最小值，其最小值是．【设计意图】本题主要考查二次根式被开方数是非负数的灵活运用． 4.对于，小红根据被开方数是非负数，得出的取值范围是≥．小慧认为还应考虑分母不为0的情况．你认为小慧的想法正确吗？试求出的取值范围．。
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第二十一章 二次根式
教材内容
1．本单元教学的主要内容：
二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式．
2．本单元在教材中的地位和作用：
二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础．
教学目标
1．知识与技能
（1）理解二次根式的概念．
（2
（a ≥0）是一个非负数，
）2=a （
a ≥0）（a
≥0）．
（3
（a ≥
0，b ≥0）
；
a ≥0，b>0）
（a ≥0，
b>0）．
（4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减．
2．过程与方法
（1
）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．•再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．
（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，
•并运用规定进行计算．
（3）利用逆向思维，•得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．
（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，•给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的．
3．情感、态度与价值观
通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力． 教学重点
1（a ≥0a ≥0）是一个非负数；）2＝a （a ≥0）；（a ≥0）•及其运用．
2．二次根式乘除法的规定及其运用．
3．最简二次根式的概念．
4．二次根式的加减运算．
教学难点
1a ≥0）2＝a （a ≥0（a ≥
0）的理解及应用．
2．二次根式的乘法、除法的条件限制．
3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式．
教学关键
1．潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点．
2．培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，•培养学生一丝不苟的科学精神．
单元课时划分
本单元教学时间约需11课时，具体分配如下：
21．1 二次根式3课时
21．2 二次根式的乘法3课时
21．3 二次根式的加减3课时
教学活动、习题课、小结2课时。