参数变异对动力吸振器动态性能的影响

令 X0 = F1 / k1 ;ω1 = ( k1 / m1 ) 1/ 2 ;ω2 = ( k2 / m2 ) 1/ 2 ;
μ= m2 / m1 ; λ = ω2 /ω1 ; η = ω/ω1 ; ζ1 = c1 /
(2 m1 k1 ) ;ζ2 = c2 / ( 2 m2 k2 ) ; X0 为由 F1 引起 的静变形. 动力放大系数β1 和β2 为主系统和动 力吸振器振幅与静变形之比 ,
性能分析 随着动力吸振系统 3 种参量变异系数增大 ,2 共振峰消失 (见图 8 和 9) . 使放大系数大于 3 的 激振频带由 8. 330 ～ 11. 730 Hz ,变为 7. 661 ～
β1 = | X1 / X0 | = | (λ2 - η2 ) + 2jζ2λη| / | [1 +μλ2 - η2 + 2jη(ζ1 +μζ2λ) ] [ (λ2 - η2 ) + 2jζ2λη] - μλ2 (λ+ 2jζ2η) 2 | ; 源自文库β2 = | X2 / X0 | = | λ2 + 2jζ2λη| / | [1 +μλ2 - η2 + 2jη(ζ1 +μζ2λ) ] [ (λ2 - η2 ) + 2jζ2λη] - μλ2 (λ+ 2jζ2η) 2 | .
¨x1
c1 + c2
¨x2 + - c2
- c2 c2
x1 +
x2
k1 + k2 - k2 x1
F1 ( t)
=
,
(1)
- k2
k2
x2
0
式中 x1 和 x2 为稳态响应复振幅.
因为稳态响应占主要地位 , 所以仅考虑其特
解
x = [ x1 ( t) , x2 ( t) ] T = [ X1 , X2 ] T ejωt . (2)
,
(4)
当λ=η,β1 = 0 时 ,效率最高. 当ζ2 = ∞时 ,
β1 = 1/ | 1 - η2 - μη2 | .
(5)
结合式 (4) 和 (5) 可以得到 :
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第4期
杨 琳等 : 参数变异对动力吸振器动态性能的影响
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η4
-
2 (1
+λ2 2+
+ μλ2 μ
)η2
+
2λ2 2 +μ
=
0.
(6)
结合 (6) 解出λ的表达式为
λ = 1/ (1 +μ) .
从而有动力吸振器刚度的最佳取值
k2opt = μk1 / (1 +μ) 2 . 由动力吸振器减振达到最优效果 ,得
由图 4 可知 ,λ变化 ,使得公共点 P 和 Q 的纵 坐标值偏离 ,破坏了最优条件.
图 4 动力吸振器刚度对系统动态性能的影响曲线
d. 最优阻尼比和刚度 比的 确定. 当 ζ2 = 0
时 ,β1 变为 :
β1
= |
(1 +μλ2
| λ2 - η2 | - η2 ) (λ2 - η2 )
- μλ4 |
Effects of parameter variances on dynamic characteristics
of dynamic vibration absorbers
Y an g L i n S u R on g h ua He Zen g
(College of Civil Engineering and Mechanics , Huazhong U niversity of Science and Technology , Wuhan 430074 , China)
3μ 2 (1 +μ)
m1 k1 .
于是 ,可根据最优的μ值 ,计算 k2 和 c2 .
2. 2 质量随机时动力吸振器动态性能分析
从图 5 可以看出 , 质量变异系数δ的增大使
得峰值前移 ,共振频带带宽加大.
图 6 刚度变异服从均匀分布时β1 的变化曲线 图 7 均匀分布时β1 变化曲线的局部放大图
(3)
2 含随机参数的系统动态性能
2. 1 确定性动力吸振系统最优参数选取 首先假定主系统中 c1 =ζ1 = 0. a. 质量比 μ的选取. 由图 2 可知 , 动力吸振
器质量越大 ,动力吸振器减振频带越宽 ,相应的减
图 3 动力吸振器阻尼对系统动态性能的影响曲线
c. 固有频率比λ对动力吸振器动态性能的 影响. 假定μ= 0. 010 ,ζ2 = 0. 1 ,选取不同λ值进行 分析.
第38卷 第4期 2010年 4月
华 中 科 技 大 学 学 报 (自然科学版) J . Huazho ng U niv. of Sci. & Tech. (Nat ural Science Editio n)
Vol. 38 No . 4 Ap r. 2010
参数变异对动力吸振器动态性能的影响
点 P 和 Q 峰值消失 ,共振频带变宽. 最优时 , 激振 频率在 8. 252～11. 687 Hz 之间使放大系数大于 , 当变异达到 30 %时激振频率范围为 7. 791～12.
382 Hz. 2. 4 阻尼随机时动力吸振器动态性能分析
如图 7 所示阻尼的变异对β1 影响不大. 2. 5 质量 、刚度 、阻尼均随机时动力吸振器动态
Abstract : Effect s of rando m variatio n parameter o n dynamic p roperties of dynamic vibratio n abso rber was analyzed quantiatively by Mo nte Carlo met hod. The result s indicate t hat in all of t he parameters t he variatio n of mass is mo st influential . The increase of t he variabilit y of t he main system and dynam2 ic vibratio n absorber mass coefficient can make t he peak of magnificatio n advance. It means reso nance p roduces at lower f requency. It widens t he band widt h of excited f requency which induces reso nance. Wit h increasing of t he variatio n of stiff ness , t he band widt h of f requency which p roduces multiple am2 plificatio n factor extended too . However , t he infectio n of damp variatio nal parameter can not co m2 pared wit h mass and stiff ness. When add t he variet y of t he parameter of mass stiff ness and damp , t he peaks of P and Q die away. The new peak appears bet ween t hem. It means t he dynamic p roperties vi2 bratio n absorber is removed f ro m optimum. Net o nly amplit ude but al so t he variet y cofficient , t he dyramic p roperties of dynamic vibratio n abso rber has been imp ro ued after optimum. Key words : dynamic vibratio n absorber ; excite f requency ; dynamic characteristic ; amplificatio n co n2
杨 琳 苏荣华 何 锃
(华中科技大学 土木工程与力学学院 , 湖北 武汉 430074)
摘要 : 采用蒙特卡罗方法 ,针对参数的随机变化对动力吸振系统动态性能的影响进行了定量分析. 结果表明 , 在系统的动力学参数中 ,主系统和动力吸振器质量系数的变异对动力吸振系统的动态性能影响最大 ,变异的 增大会使动力放大系数峰值前移 ,即在较低的激振频率下便产生共振 ,产生共振的激励频率的带宽大幅增加. 随刚度变异的增加 ,且多倍放大系数的频率范围也明显扩大. 而阻尼参数的变异对动力吸振系统动态性能的 影响相对较小. 参数耦合变异时 , P 和 Q 两个峰值拐点逐渐消退 ,并逐渐出现新的峰值 ,动力吸振器的动态性 能已远离最优状态. 比较发现 ,优化后动力吸振系统的动态性能有较大改善 ,不仅在振幅上有所减小 ,而且能 适应更大的变异. 关 键 词 : 动力吸振器 ; 激振频率 ; 动态特性 ; 放大系数 ; 变异系数 中图分类号 : O232 文献标识码 : A 文章编号 : 167124512 (2010) 0420125204
ζ2 2P
=
μ 8 (1 +μ) 3
3-
μ 2 +μ ;
ζ2 2Q
=
μ 8 (1 +μ) 3
3+
μ 2 +μ .
通常情况下 , μν 1 因此. 动力吸振器与主系
统的最佳阻尼比可写为
ζ2opt = { 3μ/ [ 8 (1 +μ) 3 ]} 1/ 2 , 从而得出动力吸振器阻尼的最佳取值
μ c2opt = (1 +μ) 2
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华 中 科 技 大 学 学 报 (自然科学版)
结构的内部不可避免地存在着变异性[11] , 因此就 随机动力吸振器动态性能分析而言 , 考虑其参数 的随机性具有重要的意义.
振效果越好.
1 动力学模型
如图 1 所示 ,主系统质量为 m1 ,刚度为 k1 ,阻 尼为 c1 ,外界的简谐激振力 F1 ( t) = F1 ejωt ;动力吸 振器质量为 m2 ,刚度为 k2 ,阻尼为 c2 .
收稿日期 : 2009207205. 作者简介 : 杨 琳 (19832) ,女 ,博士研究生 , E2mail : yanglin83521 @gmail. com. 基金项目 : 国家自然科学基金资助项目 (10872075) .
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第 38 卷
图 2 动力吸振器质量对系统动态性能的影响曲线
b. 阻尼比 ζ2 的选取. 假定 μ= 0. 010 , λ= 1. 0 ,由图 3 可知 , 阻尼的存在使得恢复力不能抵 消激振力的作用 ,且减振频带宽度变大.
图 1 动力吸振系统模型
该动力吸振系统的运动方程为 :
m1 0 0 m2
图 8 3 种变量服从均匀分布时β1 的变化曲线
图 5 质量变异服从均匀分布时β1 的变化曲线 1 —δ= 0 ; 2 —δ= 5 %; 3 —δ= 10 %; 4 —δ= 20 %; 5 —δ= 30 % (下同)
2. 3 刚度随机时动力吸振器动态性能影响 由图 6 可知 ,随着刚度变异系数的增大 ,公共
stant ; variet y coefficient
动力吸振器是安装在主系统上 ,由质量 、阻尼 块 、弹簧组成的机械结构[1] . 它能有效地降低主系 统的振动[2～4 ] , 而动力吸振器的设计通常是建立 在固定参数基础上的[5,6] , 不考虑动力吸振器参
数的变化. 实际情况中 ,动力吸振器只在激励频率 接近固有频率时起作用 ,而激励的是多频激励 ,不 是单一的激励频率[7] , 已有很多文章对于这一问 题进行了论述[8～10 ] . 同时随着时间的推移 , 机械