2导数的概念经典例题(可编辑修改word版)

经典例题透析

类型一：求函数的平均变化率

例 1、求 y = 2x 2 +1 在 x 到 x + ∆x 之间的平均变化率，并求 x = 1， ∆x = 1

时平均变化率的值.

2

∆y 思路点拨: 求函数的平均变化率，要紧扣定义式 ∆x

=

f (x 0 + ∆x ) - f (x 0

) 进行操作. ∆x 解析：当变量从 x 0 变到 x 0 + ∆x 时，函数的平均变化率为

f (x + ∆x ) - f (x ) [2(x + ∆x )2 +1] -[2x 2 +1]

0 0 = 0 0

= 4x + 2∆x

∆x ∆x 0

1 1

当 x 0 = 1， ∆x = 2 时，平均变化率的值为： 4 ⨯1+ 2 ⨯ 2

= 5 .

总结升华：解答本题的关键是熟练掌握平均变化率的概念，只要求出平均变化率的表达式，其他就迎刃

而解.

举一反三：

【变式 1】求函数 y=5x 2+6 在区间[2，2+ ∆x ]内的平均变化率。 【答案】 ∆y = 5(2 + ∆x )2 + 6 - (5⨯ 22 + 6) = 20∆x + 5∆x 2 ，

∆y

所以平均变化率为

∆x

= 20 + 5∆x 。

【变式 2】已知函数 f (x ) = x 2 ，分别计算 f (x ) 在下列区间上的平均变化率：

（1）[1，3]； （2）[1，2]； （3）[1，1.1]； （4）[1，1.001].

【答案】（1）4；（2）3；（3）2.1；（4）2.001.

【变式 3】自由落体运动的运动方程为 s = 1

gt 2 ，计算 t 从 3s 到 3.1s ，3.01s ，3.001s 各段内的平均速度（位

2

移 s 的单位为 m ）。

∆s 【答案】要求平均速度，就是求

∆t

的值，为此需求出∆s 、 ∆t 。

设在[3，3.1]内的平均速度为 v 1，则

∆t 1 = 3.1- 3 = 0.1(s) ，

∆s 1

= s (3.1) - s (3) = 1 g ⨯ 3.12

- 1 g ⨯ 32 = 0.305g (m) 。 2 2

所以v = ∆s 1 = 0.305g

= 3.05g (m / s) 。

∆t 1

0.1

同理v =

∆s 2 = 0.03005g = 3.005g (m / s) 。 2

∆t 0.01 1

2

1- 1+ ∆x 1+ ∆x (1+ 1+ ∆x ) 1+ ∆x (1+ 1+ ∆x ) 1+ ∆x

1

v = ∆s 3 = 0.0030005g = 3.0005g (m / s) 。 3

∆t 0.001

【变式 4】过曲线 y = f (x ) = x 3 上两点 P (1,1) 和Q (1+ ∆x ,1+ ∆y ) 作曲线的割线，求出当∆x = 0.1 时割

线的斜率.

【答案】3.31 当∆x = 0.1 时

(1+ ∆y ) -1

∆y f (1+ ∆x ) - f (1) (1+ ∆x )3 -1 1.13 -1 k PQ = (1+ ∆x ) -1 = ∆x = ∆x = ∆x = 0.1

= 3.31

类型二：利用定义求导数

例 2、用导数的定义，求函数 y =

f (x ) =

1 在 x=1 处的导数。

解析：∵ ∆y = f (1+ ∆x ) - f (1) = 1

-1 1+ ∆x

= =

1-1- ∆x

=

-∆x

∆y

∴

∆x = -

(1+

1 1+ ∆x ) 1+ ∆x

∴ f '(1) = lim ∆y = - 1

。

∆x →0 ∆x 2

总结升华：利用导数的定义求导数的步骤：

∆y 第一步求函数的增量∆y ；第二步求平均变化率 ∆x

；第三步取极限得导数。

举一反三：

【变式 1】已知函数 y = - x

（1） 求函数在 x=4 处的导数.

1

7

（2） 求曲线 y = - x

x 上一点 P (4, - ) 处的切线方程。

4 【答案】

（1） f '(4) = lim

1 f (4 + ∆x ) - f (4) = lim 4 + ∆x

- ( 1

- 2) 4 ∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x

x

x

4 + ∆x 3

7 5 ⎛ 1 - 1 ⎫ - (

2) -∆x - ∆x 4 + ∆x 4 ⎪ 4(4 + ∆x ) + 2

= lim ⎝

⎭ =∆x →0

= lim ⎛ ∆x -1 1

∆x →0 ∆x

⎫ = - 5

， ∆x →0 4(4 + ∆x ) 16 ⎝ 7

（2）由导数的几何意义知，曲线在点 P (4, - 5

) 处的切线斜率为 f '(4) ，

4

∴所求切线的斜率为- 。

16

∴所求切线方程为 y + = - 4 16

(x - 4) ，整理得 5x+16y+8=0。

【变式 2】利用导数的定义求下列函数的导数： （1） f (x ) = c ；

（2） f (x ) = x ；

（3） f (x ) = x 2 ； 1 （4） f (x ) = 。

x

【答案】

（1） ∆y = f (x + ∆x ) - f (x ) = c - c = 0 ， ∆y f (x + ∆x ) - f (x ) ∴

∆x

=

∆x

∆y

= 0 ，

∴ y ' = lim

∆x →0

∆x

= lim 0 = 0 。

∆x →0

（2） ∆y = f (x + ∆x ) - f (x ) = x + ∆x - x = ∆x ，

∆y ∆x

∴ ∆x = ∆x

= 1，

∆y

∴ y ' = lim ∆x →0 ∆x

= lim 1 = 1。

∆x →0 （3） ∆y = f (x + ∆x ) - f (x ) = (x + ∆x )2 - x 2 = 2x ⋅ ∆x + (∆x )2 ，

∆y ∴ ∆x

=

2x ⋅ ∆x + (∆x )2

∆x ∆y

= 2x + ∆x ， ∴ y ' = lim ∆x →0 ∆x

= lim (2x + ∆x ) = 2x 。

∆x →0

（4） ∆y =

f (x + ∆x ) - f (x ) = 1 - 1 x + ∆x x = x - x - ∆x = (x + ∆x ) ⋅ x -∆x

， (x + ∆x ) ⋅ x