第8章 梁的弯曲应力与强度计算.
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工程力学
8 梁的弯曲应力与强度计算
8 梁的弯曲应力与强度计算
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力 8.2 弯曲正应力的强度条件 8.3 梁的剪应力及其强度条件 8.4 提高弯曲强度的措施
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
横截面上有弯矩又有剪力。 例如：AC和DB段。 称为横力弯曲(剪切弯曲)。
(b)
1 M
EIz
由上面两式，得纯弯曲时正应力的计算公式：
M y
Iz 将弯矩 M 和坐标 y 按规定的正负代入，所得到的正应力若为
正，即为拉应力，若为负则为压应力。
一点的应力是拉应力或压应力，也可由弯曲变形直接判定。 以中性层为界，梁在凸出的一侧受拉，凹入的一侧受压。
只要梁有一纵向对称面，且载荷作用于这个平面内，上面的 公式就可适用。
M
min M
max
max
8 梁的弯曲应力与强度计算 对于中性轴不是对称轴的横截面？ 求得相应的最大正应力
My
IZ
yc max yt max
y
M
z
y
8 梁的弯曲应力与强度计算
σ t max Myt max IZ
σ cmax Mycmax IZ
y c max
yt max
σ c max
M
z
σ t max
8 梁的弯曲应力与强度计算
例：长为l的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F，已
知b＝120mm，h＝180mm、l＝2m，F＝1.6kN，试求B截面上 a、b、c各点的正应力。
A l2
F B
C
l2
h6
a
b
h
h2 c
b
8 梁的弯曲应力与强度计算
b＝120mm，h＝180mm、l＝2m，F＝1.6kN
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
8.1.2 横力弯曲时横截面上的正应力 在工程实际中，一般都是横力弯曲，此时，梁的横截面上不
但有正应力还有剪应力。因此，梁在纯弯曲时所作的平面假设和 各纵向纤维之间无挤压的假设都不成立。
虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但是应用纯弯曲时正 应力计算公式来计算横力弯曲时的正应力，所得结果误差不大， 足以满足工程中的精度要求。且梁的跨高比 l/h 越大，其误差越小。
d
式(a)表明线应变ε与它到中性层的距
离 y 成正比。
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
yd d y
(a)
d
物理关系：
因为纵向纤维之间无正应力，每一纤维都是单向拉伸或压缩。
当应力小于比例极限时，由胡克定律知
E
将 (a) 代入上式，得 E y
(b)
式(b)表明横截面上任意一点的正应力σ 与该点到中性轴的距离 y
成正比。
在中性轴上：y＝0， σ＝0。
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
静力学关系
FN
dA
A
M y
z dA
A
Mz
y dA
A
FN
dA 0
A
(c)
M y
z dA 0
A
(d)
M z A y dA Me
(e)
将式 E y
代入式(c)，得
A
dA
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.2 弯曲正应力的强度条件
对于宽为 b ，高为 h 的矩形截面
Wz
Iz ymax
bh3 /12 h/2
bh2 6
对于直径为 D 的圆形截面
Wz
Iz ymax
D4 / 64
D/2
D3
32
对于内外径分别为 d 、D 的空心圆截面
Wz
Iz ymax
D4 (1 4 ) / 64
D/2
D3
32
(1 4 )
8 梁的弯曲应力与强度计算
当中性轴为对称轴时，y表m示ax 最大应力点到中性轴
的距离，横截面上的最大正应力为
σ max M ymax
Iz
WZ
IZ ymax
M
W W Z
称为ma抗x 弯截面模量
z
C y
ymax
Z
ymax
8 梁的横弯截曲面应上力正与应强力度的计画算法：
min
My
Iz
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.2 弯曲正应力的强度条件
横力弯曲时，弯矩随截面位置变化。一般情况下，最大正应
力 max 发生在弯矩最大的截面上，且离中性轴最远处。即
引用记号 则
max
M max ymax Iz
Wz
Iz ymax
max
M max Wz
Wz 称为弯曲截面模量。它与截面的几何形状有关，单位为m3。
A
A
A y z dA I yz 0
(自然满足)
y 轴为对称轴，必然有Iyz=0。
将式(b)代入式(e)，得
M y dA E y2 dA
A
A
M
E
Iz
式中1/ρ为梁弯曲后轴线的曲率。
1 M
EIz
EIz 称为梁的弯曲刚度。
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
E y
A
Ey
dA
Biblioteka Baidu
0
E ＝常量，
E y dA 0
A
Sz 0
z 轴（中性轴）通 过截面形心。
梁的轴线在中性层内，其长度不变。
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
E y
(b)
将式(b)代入式(d)，得
M y
z dA 0
A
(d)
M z
y dA M
A
(e)
z dA E y z dA 0
横截面上有弯矩没有剪力。 例如：CD段。 称为纯弯曲。
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
8.1.1 纯弯曲时横截面上的正应力 实验观察变形
纵向线(aa、bb)：变为弧线，凹侧 缩短，凸侧伸长。
横向线(mm、nn): 仍保持为直线， 发生了相对转动，仍与弧线垂直。
平面假设：梁的横截面在弯曲变形后仍然保持平面，且与变 形后的轴线垂直，只是绕截面的某一轴线转过了一个角度。
单向受力假设：各纵向纤维之间相互不挤压。
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
设想梁由平行于轴线的众 多纵向纤维组成，由底部纤维 的伸长连续地逐渐变为顶部纤 维的缩短，中间必定有一层纤 维的长度不变。
中性层：中间既不伸长也 不缩短的一层纤维。
中性轴：中性层与梁的横截面的交线，垂直于梁的纵向对称 面。（横截面绕中性轴转动）
中性轴垂直于纵向对称面。
8 梁的弯曲应力与强度计算
横截面的 对称轴
横截面
中性层
中性轴
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
变形几何关系： 设横截面的对称轴为y 轴，向下为 正，中性轴为 z 轴（位置未定）。
bb yd
bb dx OO OO d
yd d y (a)
A l2
8 梁的弯曲应力与强度计算
8 梁的弯曲应力与强度计算
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力 8.2 弯曲正应力的强度条件 8.3 梁的剪应力及其强度条件 8.4 提高弯曲强度的措施
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
横截面上有弯矩又有剪力。 例如：AC和DB段。 称为横力弯曲(剪切弯曲)。
(b)
1 M
EIz
由上面两式，得纯弯曲时正应力的计算公式：
M y
Iz 将弯矩 M 和坐标 y 按规定的正负代入，所得到的正应力若为
正，即为拉应力，若为负则为压应力。
一点的应力是拉应力或压应力，也可由弯曲变形直接判定。 以中性层为界，梁在凸出的一侧受拉，凹入的一侧受压。
只要梁有一纵向对称面，且载荷作用于这个平面内，上面的 公式就可适用。
M
min M
max
max
8 梁的弯曲应力与强度计算 对于中性轴不是对称轴的横截面？ 求得相应的最大正应力
My
IZ
yc max yt max
y
M
z
y
8 梁的弯曲应力与强度计算
σ t max Myt max IZ
σ cmax Mycmax IZ
y c max
yt max
σ c max
M
z
σ t max
8 梁的弯曲应力与强度计算
例：长为l的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F，已
知b＝120mm，h＝180mm、l＝2m，F＝1.6kN，试求B截面上 a、b、c各点的正应力。
A l2
F B
C
l2
h6
a
b
h
h2 c
b
8 梁的弯曲应力与强度计算
b＝120mm，h＝180mm、l＝2m，F＝1.6kN
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
8.1.2 横力弯曲时横截面上的正应力 在工程实际中，一般都是横力弯曲，此时，梁的横截面上不
但有正应力还有剪应力。因此，梁在纯弯曲时所作的平面假设和 各纵向纤维之间无挤压的假设都不成立。
虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但是应用纯弯曲时正 应力计算公式来计算横力弯曲时的正应力，所得结果误差不大， 足以满足工程中的精度要求。且梁的跨高比 l/h 越大，其误差越小。
d
式(a)表明线应变ε与它到中性层的距
离 y 成正比。
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
yd d y
(a)
d
物理关系：
因为纵向纤维之间无正应力，每一纤维都是单向拉伸或压缩。
当应力小于比例极限时，由胡克定律知
E
将 (a) 代入上式，得 E y
(b)
式(b)表明横截面上任意一点的正应力σ 与该点到中性轴的距离 y
成正比。
在中性轴上：y＝0， σ＝0。
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
静力学关系
FN
dA
A
M y
z dA
A
Mz
y dA
A
FN
dA 0
A
(c)
M y
z dA 0
A
(d)
M z A y dA Me
(e)
将式 E y
代入式(c)，得
A
dA
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.2 弯曲正应力的强度条件
对于宽为 b ，高为 h 的矩形截面
Wz
Iz ymax
bh3 /12 h/2
bh2 6
对于直径为 D 的圆形截面
Wz
Iz ymax
D4 / 64
D/2
D3
32
对于内外径分别为 d 、D 的空心圆截面
Wz
Iz ymax
D4 (1 4 ) / 64
D/2
D3
32
(1 4 )
8 梁的弯曲应力与强度计算
当中性轴为对称轴时，y表m示ax 最大应力点到中性轴
的距离，横截面上的最大正应力为
σ max M ymax
Iz
WZ
IZ ymax
M
W W Z
称为ma抗x 弯截面模量
z
C y
ymax
Z
ymax
8 梁的横弯截曲面应上力正与应强力度的计画算法：
min
My
Iz
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.2 弯曲正应力的强度条件
横力弯曲时，弯矩随截面位置变化。一般情况下，最大正应
力 max 发生在弯矩最大的截面上，且离中性轴最远处。即
引用记号 则
max
M max ymax Iz
Wz
Iz ymax
max
M max Wz
Wz 称为弯曲截面模量。它与截面的几何形状有关，单位为m3。
A
A
A y z dA I yz 0
(自然满足)
y 轴为对称轴，必然有Iyz=0。
将式(b)代入式(e)，得
M y dA E y2 dA
A
A
M
E
Iz
式中1/ρ为梁弯曲后轴线的曲率。
1 M
EIz
EIz 称为梁的弯曲刚度。
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
E y
A
Ey
dA
Biblioteka Baidu
0
E ＝常量，
E y dA 0
A
Sz 0
z 轴（中性轴）通 过截面形心。
梁的轴线在中性层内，其长度不变。
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
E y
(b)
将式(b)代入式(d)，得
M y
z dA 0
A
(d)
M z
y dA M
A
(e)
z dA E y z dA 0
横截面上有弯矩没有剪力。 例如：CD段。 称为纯弯曲。
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
8.1.1 纯弯曲时横截面上的正应力 实验观察变形
纵向线(aa、bb)：变为弧线，凹侧 缩短，凸侧伸长。
横向线(mm、nn): 仍保持为直线， 发生了相对转动，仍与弧线垂直。
平面假设：梁的横截面在弯曲变形后仍然保持平面，且与变 形后的轴线垂直，只是绕截面的某一轴线转过了一个角度。
单向受力假设：各纵向纤维之间相互不挤压。
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
设想梁由平行于轴线的众 多纵向纤维组成，由底部纤维 的伸长连续地逐渐变为顶部纤 维的缩短，中间必定有一层纤 维的长度不变。
中性层：中间既不伸长也 不缩短的一层纤维。
中性轴：中性层与梁的横截面的交线，垂直于梁的纵向对称 面。（横截面绕中性轴转动）
中性轴垂直于纵向对称面。
8 梁的弯曲应力与强度计算
横截面的 对称轴
横截面
中性层
中性轴
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
变形几何关系： 设横截面的对称轴为y 轴，向下为 正，中性轴为 z 轴（位置未定）。
bb yd
bb dx OO OO d
yd d y (a)
A l2