直线方程的几种形式教学设计
《直线方程的几种形式》教学设计
《直线方程的几种形式》教学设计鲁统菊《直线方程的几种形式》教学设计课程分析：本节课是在学习了直线斜率和倾斜角基础上，对直线方程几种形式的探究。
直线方程的几种形式是以后研究直线与圆、直线与圆锥曲线的基础，是今后学习整个解析几何的基础，所以，本节课必须重视基础知识、基本方法的学习和掌握，在激发学生学习兴趣、提升学生学习水平上下功夫。
教学重点：各种直线方程的推导，直线的点斜式方程是直线方程的重中之重；教学难点：理解各式直线方程形式的局限性，求直线方程的灵活性，理解直线方程与二元一次方程的对应关系。
学情分析：通过前面内容的学习，学生已经对解析几何这个数学学科有了基本的理解，知道理解析几何是用代数方法研究几何问题。
因为这个节学生基础不是很好，但学习积极性较高，思维活跃，所以教学中既要放手给学生，又要注意引导学生，让学生始终是课堂的主人。
设计理念：本节课的课型为“新授课”，采用“问题探究式”的教学方法。
遵循“探索---研究---使用”的三个层次，提出问题，采用多角度、不同形式的探究过程，让学生积极参与到教学活动中来，并且始终处于积极的问题探究和辨析思考的学习气氛中，让学生动脑思、动口议、动手做，充分发挥学生的主体地位，而且教师要启发的恰到好处。
采用多媒体辅助教学，增强直观性，增大课堂容量，提升效率。
学习目标：掌握由一点和斜率导出直线方程的方法；掌握直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式方程，并能根据条件熟练地求出直线的方程。
通过由一点和斜率导出直线方程的方法的研究，体会数形结合思想，锻炼用代数方法解决几何问题的水平；通过不同形式的自主学习和探究活动，体验数学发现和创新的历程。
发扬学生积极参与、大胆探索的精神以及合作意识；通过让学生体验成功，增强学习数学的兴趣和信心。
教学过程：一、复习引入问题1：什么叫做直线的方程？方程的直线？问题2、A(x1,y1)、B(x2,y2)是直线l上任意两点，其中x1 x2，则直线l的斜率k=__________;垂直于x轴的直线，斜率k________，平行于x轴或与x轴重合的直线，斜率k_______。
直线方程的几种形式教学设计
直线方程的几种形式教学设计教学目标：1.理解直线方程的几种形式：一般式、点斜式、斜截式、截距式。
2.掌握直线方程之间的相互转化。
教学重点：1.直线方程的几种形式。
2.直线方程之间的转化方法。
教学难点：1.理解和运用直线方程的几种形式。
2.掌握直线方程之间的相互转化。
教学准备：1.教材：高中数学教材。
2.工具：黑板、彩色粉笔。
3.素材：直线方程的相关问题。
教学过程：Step 1：导入（5分钟）1.引入直线方程的概念，引发学生对直线方程的思考。
2.提问：你知道直线方程有哪几种形式？Step 2：直线方程的一般式（15分钟）1.介绍直线的一般方程：Ax+By+C=0。
2.提供几个例子，让学生通过观察总结一般式的特点。
3.引导学生进行讨论，指导学生认识到一般式的特点：A、B、C为常数，且A和B不同时为零。
4.给出一个直线的一般式，让学生画出对应的直线。
5.列举一些直线方程，让学生化简为一般式。
Step 3：直线方程的点斜式（15分钟）1.介绍直线的点斜式：y-y1=k(x-x1)。
2.提供几个例子，让学生通过观察总结点斜式的特点。
3.引导学生进行讨论，指导学生认识到点斜式的特点：其中k为斜率，(x1,y1)为直线上一点。
4.给出一个直线的点斜式，让学生画出对应的直线。
5.列举一些直线方程，让学生化简为点斜式。
Step 4：直线方程的斜截式（15分钟）1. 介绍直线的斜截式：y = kx + b。
2.提供几个例子，让学生通过观察总结斜截式的特点。
3.引导学生进行讨论，指导学生认识到斜截式的特点：其中k为斜率，b为截距。
4.给出一个直线的斜截式，让学生画出对应的直线。
5.列举一些直线方程，让学生化简为斜截式。
Step 5：直线方程的截距式（15分钟）1.介绍直线的截距式：x/a+y/b=12.提供几个例子，让学生通过观察总结截距式的特点。
3.引导学生进行讨论，指导学生认识到截距式的特点：其中a为x轴截距，b为y轴截距。
人教版高中必修二《直线与方程》教学案例
人教版高中必修二《直线与方程》教学案例《人教版高中必修二《直线与方程》教学案例》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！第1节直线与方程复习目标：1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式，了解斜截式与一次函数的关系.一、课前预习基础回顾考点1 直线的倾斜角与斜率1.直线的倾斜角(1)定义：x轴_____与直线_____的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角.当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.动态定义：旋转(2)倾斜角的范围为_______________.2.直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的________叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k=______，倾斜角是90°的直线没有斜率.(2)过两点的直线的斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=_________.考点2 直线方程的几种形式关键要素：点，斜率，截距名称条件方程适用范围点斜式斜率k与点(x1，y1)y-y1=k(x-x1)不含直线x=x1斜截式斜率k与直线在y轴上的截距by=kx+b不含垂直于x轴的直线两点式两点(x1，y1)，(x2，y2)=不含直线x=x1(x1=x2)和直线y=y1(y1=y2)截距式直线在x轴、y轴上的截距分别为a、b+=1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax+By+C=0(A，B不同时为0)平面直角坐标系内的直线都适用[双基夯实]一、疑难辨析判断下列结论的正误.(正确的打“√”，错误的打“×”)1.直线的倾斜角越大，其斜率越大.( )2.当直线的斜率不存在时，其倾斜角存在.( )3.过点P(x1，y1)的直线方程一定可设为y-y1=k(x-x1).( )4.直线方程的截距式+=1中，a，b均应大于0.( )二、小题快练1.[2017·贵州模拟]已知直线l经过点P(-2,5)，且斜率为-，则直线l的方程为( )A.3x+4y-14=0B.3x-4y+14=0C.4x+3y-14=0D.4x-3y+14=02.[课本改编]直线x+y+1=0的倾斜角是( )A.B.C.D.3.[课本改编]过两点(0,3)，(2,1)的直线方程为( )A.x-y-3=0B.x+y-3=0C.x+y+3=0D.x-y+3=04.若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为______.考向1 直线的倾斜角与斜率看菜如图，比较直线，，的斜率、、的大小.1.直线2x-y+4=0同时过第()象限A.一，二，三B.二，三，四C.一，二，四D.一，三，四2.直线l1：ax-y+b=0,l2:bx-y+a=0,在同一坐标系下l1和l2的图像是()3.如图，已知直线l1：y=-2x+4与直线l2：y=kx+b(k≠0)在第一象限交于点M.若直线l2与x轴的交点为A(-2，0)，则k的取值范围是_______.拓展：(1)若M在第二象限，则k的取值范围是_______.(2)若M在第四象限，则k的取值范围是_______.【变式训练3】已知直线l：kx-y+1+2k=0(k∈R).(1)证明：直线l过定点;(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围;例1 直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为_______________________.探究1若将题中P(1,0)改为P(-1,0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围.直线l的斜率直线l的倾斜角α区别直线l垂直于x轴时l的斜率不存在直线l垂直于x轴时l的倾斜角是90°联系①直线的斜率与直线的倾斜角(90°除外)为一一对应关系.②当α∈[0°，90°)时，α越大，l的斜率越大;当α∈(90°，180°)时，α越大，l的斜率越大.③所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率.【变式训练1】如果直线l经过A(2,1)，B(1，m2)(m∈R)两点，那么直线l的倾斜角α的取值范围是( )A.0≤α≤πB.0≤α≤或<α<πC.0≤α≤D.≤α<或<α<π考向2 求直线的方程例2 根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(-4,0)，倾斜角的正弦值为;(2)直线过点(-3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12;(3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.【变式训练2】已知△ABC的三个顶点分别为A(-3,0)，B(2,1)，C(-2,3)，求：(1)BC边所在直线的方程;(2)BC边上中线AD所在直线的方程;(3)BC边的垂直平分线DE的方程.触类旁通求直线方程的两种方法(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论.(2)待定系数法，即设定含有参数的直线方程，由条件列出方程(组)，再求出参数，最后将其代入直线方程.考向3 直线方程的应用例3 已知直线l过点M(1,1)，且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点.求：(1)当|OA|+|OB|取得最小值时，直线l的方程;(2)当|MA|2+|MB|2取得最小值时，直线l的方程.【变式训练3】已知直线l：kx-y+1+2k=0(k∈R).(1)证明：直线l过定点;(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围;(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程.核心规律1.明确直线方程各种形式的适用条件点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线;两点式方程不能表示垂直于x、y轴的直线;截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线.2.求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系数法.满分策略1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在;每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率.2.根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围;二是要考虑正切函数的单调性.3.截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为0，这是解题时容易忽略的一点.1.直线的倾斜角与斜率(1)在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按__________方向旋转到和直线重合时所转过的____________称为这条直线的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为__________.(2)倾斜角的范围为________________.(3)倾斜角与斜率的关系：α≠90°时，k=________，倾斜角是90°的直线斜率________.(4)过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=_____________________.2.直线方程的五种基本形式名称方程适用范围点斜式不含直线x=x0斜截式不含垂直于x轴的直线两点式不含直线x=x1(x1≠x2)和直线y=y1(y1≠y2)截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式平面直角坐标系内的直线都适用自我检测1.若A(-2,3)，B(3，-2)，C三点共线，则m的值为________.2.直线l与两条直线x-y-7=0，y=1分别交于P、Q两点，线段PQ的中点为(1，-1)，则直线l的斜率为_______________________________________________________.3.下列四个命题中，假命题是________(填序号).①经过定点P(x0，y0)的直线不一定都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示;②经过两个不同的点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)来表示;③与两条坐标轴都相交的直线不一定可以用方程+=1表示;④经过点Q(0，b)的直线都可以表示为y=kx+b.4.如果A·C<0，且B·C<0，那么直线Ax+By+C=0不通过第________象限.5.已知直线l的方向向量与向量a=(1,2)垂直，且直线l过点A(1,1)，则直线l的方程为______________.二、教学过程探究点一倾斜角与斜率例1 已知两点A(-1，-5)、B(3，-2)，直线l的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，求l的斜率.变式迁移1直线xsinα-y+1=0的倾斜角的变化范围是______________.探究点二直线的方程例2 过点M(0,1)作直线，使它被两直线l1：x-3y+10=0，l2：2x+y-8=0所截得的线段恰好被M所平分，求此直线方程.变式迁移2 求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P(3,2)且在两坐标轴上的截距相等;(2)经过点A(-1，-3)，倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍.探究点三直线方程的应用例3 过点P(2,1)的直线l交x轴、y轴正半轴于A、B两点，求使：(1)△AOB面积最小时l的方程;(2)PA·PB最小时l的方程.变式迁移3 为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图)，另外△EFA内部有一文物保护区不能占用，经测量AB=100m，BC=80m，AE=30m，AF=20m，应如何设计才能使草坪面积最大?拓展延伸：例4 已知实数x，y满足y=x2-2x+2(-1≤x≤1).试求的最大值与最小值.三、回顾与反思：人教版高中必修二《直线与方程》教学案例这篇文章共9802字。
直线方程的几种形式
C．(－2,6)D．(－7,10)
4、经过点P(－2,1)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有()
A．1条B．2条
C．3条D．4条
课堂探究案
题型一、直线方程的点斜式和斜截式
例1．若直线l满足下列条件，求其直线方程．
(1)过点(，－)且斜率为；
(2)过点(2,1)且与x轴平行；
9、已知直线l：y＝kx＋b经过第二、三、四象限，则k与b的符号是________．
10、已知直线mx＋ny＋12＝0在x轴、y轴上的截距分别为－3和4，则m、n的值分别为________，________.
11、已知直线l过点(－4，－1)，且横截距是纵截距的两倍，则直线l的方程为________________．
教学内容
教学设计
课前预习案
预习提纲：
阅读课本 ，并回答下列问题：
1、什么是直线方程的点斜式，它是由什么得出的？
2、什么是直线方程的斜截式？它是怎么得出的？
3、两点式方程的形式是什么？截距式是如何得出的？
4、直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式有什么限制条件？
5、什么是直线方程的一般式？如何有其他形式化为一般式？
(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．
当堂达标检测：
1、不论m为何值时，直线(m－1)x－y＋2m＋1＝0恒过定点()
A．(1，－1)B．(－2,0)
C．(2,3)D．(－2,3)
2、直线y＝－ax＋1与连接A(2,3)，B(－3,2)的线段相交，则a的范围是()
A.B.∪
C.D.∪
3、下列不经过点A(2,1)，B(6，－2)的直线方程是()
12、已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
直线方程的几种形式(一)教学设计
数学基础模块下册
8.2.3 直线方程的几种形式（一）
【教学目标】
1. 掌握直线的点斜式、斜截式，能根据条件熟练地求出直线的点斜式和斜截式方程．
2. 了解根据直线上两点坐标求直线方程的方法．
3. 让学生从学习中进一步体会用代数方法解决几何问题的优点，体会用数形结合的方法解决问题
的魅力．
【教学重点】
直线的点斜式与斜截式方程．
【教学难点】
理解直线的点斜式方程的推导过程．
【教学方法】
这节课主要采用讲练结合、小组合作探究的教学法．引导学生理解推导直线方程的点斜式的过程，认识到点斜式直线方程与斜率坐标公式之间的关系．对于直线方程的斜截式，要使学生认识到斜截式是点斜式的特殊情形.教材在例2中给出了已知两点求直线方程的方法，教师可针对学生的实际情况补充直线方程的两点式，但要求不宜过高.
【教学过程】
1
第八章直线和圆的方程
2
数学基础模块下册
3。
中职数学教学设计——直线的方程
授课题目6.2直线的方程选用教材高等教育出版社《数学》（基础模块下册）授课时长4课时授课类型新授课教学提示本课首先借助几何直观，结合图像认识直线的倾斜角和斜率的定义，直观认识斜率与倾斜角的之间的变化规律以及求直线斜率的计算公式，学习根据条件计算直线的斜率；然后依次介绍点斜式、斜截式、一般式三种形式的直线方程，并分析点斜式、斜截式方程的几何特征；学习根据已知条件求直线的方程，以及将直线方程的点斜式、斜截式和一般式进行相互转化.教学目标通过学习直线的倾斜角与斜率的概念与直线斜率的计算方法，能计算直线的斜率，逐步提升直观想象和数学运算等核心素养；体会直线的点斜式、斜截式方程和一般式方程的推导过程，感知直线的点斜式、斜截式方程和一般式方程之间的互化思想方法，会根据条件求相应形式的直线方程并进行直线的点斜式方程、斜截式方程与一般式方程之间的互化，逐步提升直观想象、数学抽象和逻辑推理等核心素养.教学重点斜率的概念，过两点直线斜率的计算公式；直线的点斜式、斜截式和一般式方程公式的理解及互化.教学难点直线的斜率与其倾斜角之间的关系；直线的点斜式、斜截式和一般式方程公式运用；根据已知条件选择适当形式求直线的方程.教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图情境导入6.2.1. 直线的点斜式方程与斜截式方程随着科技的不断发展,我国基础设施建设越来越完善,高速公路总里程已超过16万公里,位居世界第一.如果把高速公路的某一段近似看成一条直线,其相对于水平地面的倾斜程度怎样表示呢？提出问题引发思考思考分析回答结合生活常识思考探索新知我们知道，两点可以确定一条直线,若已知两个点的坐标,是否可以用两个点的坐标表示直线的倾斜程度？在平面直角坐标系中,如图,过点P可以做出无数条直线,这些直线相对于x轴来说，其倾斜程度是不同的.在平面直角坐标系中,直线的倾斜程度可以用直线l与x轴所成的角度表示.当直线l与x轴相交时, 直线l向上的方向与x轴正方向所成的最小正角α,称为直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,规定倾斜角α=0.因此, 直线l的倾斜角α的取值范围是0≤α＜π.讲解说明展示讲解理解思考领会理解结合图像分析问题，逐步提升直观想象核心素养x-y-1=0.归纳总结引导提问回忆反思培养学生总结学习过程能力布置作业1.书面作业：完成课后习题和学习与训练；2.查漏补缺：根据个人情况对课题学习复习与回顾;3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.说明记录继续探究延伸学习。
《直线的一般式方程》教学设计
巩固概念
（4 分钟）
化为直线的一般式方程，并分别求出 该直线在 x 轴与 y 轴上的截距。
意图： 巩固化点 斜式、 斜截式为一 般式 以 及求 直线 的斜率 和截 距的 方法。
小结升华
（3 分钟）
让学生谈 谈本节课 的收获， 学 生自由发 言、 相互补 充。
意图： 把本节课 零碎的 知识 点进 行归纳整理， 梳理 成系统， 便于学生 整体把 握本 节课 的知识要点。
由下列条件，写出直线的方程，并说 出我们学过的什么形式的直线方程？
展示， 检查学生对 让 学 生 自 旧知的掌握情况， 我 展 示 用 同时给 学习 困难 旧 知 识 解 的同学 进行 临摹 决 问 题 的 指导， 为后面点斜 解答过程。 式、斜截式、一般 式的相 互转 化打 下坚实的基础。 意图： 培养学生
探索概念
（10 分钟）
（1）点斜式转化过程：
（2）斜截式转化过程：
3
表格式教学设计
问题 2： 对于任意一个二元一次方
意图：引导学
探索概念
程 Ax+By+C=0（A，B 不同时为零） ，是 小 组 合 作 生学会 正确 的分 斜截式方程）？再试一试： （1）当 A≠0、B≠0 时，可化为： 表示斜率为： 上截距为： 表示过点： 线。 （3）当 A＝0、B≠0 时，可化为： 表示过点： 线。 （4） 当 A＝0、 B=0 时， 还表示直线吗？ 由以上可知：二元一次方程 Ax+By+C=0 表示直线的条件和优点 有 哪些？ 学生先分 小组讨论、 选代表发 言， 教师引 导归纳得 出直线的 一般式方 程。 且 且 ， 的直线。 生 抢 答 并 分类讨论的思想。 给 出 转 化 为后面 归纳 直线 轴 的过程， 体 的一般式作铺垫。 会 二 元 一 同时也 为后 面比 次 方 程 ： 较一般 式的 优点 的直 Ax+By+C=0 作好储备。 表示直线 的条件和 的直 一 般 性 特 点。
教案直线的参数方程
课题：直线的参数方程（1）教学设计教学目标:(一）知识目标1．了解直线参数方程的建立过程，会与普通方程进行互化；2. 初步掌握运用参数方程解决问题，理解其中参数t 的几何意义. (二)能力目标1.通过思考引入，让学生感受学习直线参数方程的必要性；2.通过学习直线的参数方程探究直线与圆锥曲线的位置关系，培养学生数形结合以及运算求解能力. (三）情感目标1.培养学生的探究,研讨,综合自学应用能力；2.培养学生分析问题，解决问题的能力. 教学重点:1.联系数轴、向量积等知识；2.求出直线的参数方程. 教学难点:通过向量法，建立参数t 与点在直角坐标系中的坐标y x ,之间的联系. 教学过程： 一、学前准备(1)若由a b →→与共线，则存在实数λ，使得 . (2)设e →为a →方向上的 ，则a →=︱a →︱e →.(3)已知=AB y x B y x A 则),,(),,(2211.==y x ),( . (4)经过点00(,)M x y ，倾斜角为()2παα≠的直线的普通方程为 .(5)直线0=++C By Ax 的斜率=k ，倾斜角α与斜率k 的关系为 . 二、新课讲授探究新知（预习教材P35～P36，找出疑惑之处）1、选择怎样的参数，才能使直线上任一点M 的坐标,x y 与点0M 的坐标00,x y 和倾斜角α 联系起来呢？由于倾斜角可以与方向联系，M 与0M 可以用距离或线段0M M 数量的大小联系，这种“方向”和“有向线段数量大小”启发我们想到利用向量工具建立直线的参数方程. 如图，在直线上任取一点(,)M x y ，则0MM = ，而直线l 的单位方向向量e →=（ ， ）因为M 0//e，所以存在实数t R ∈，使得0MM = ，即有()()00,cos ,sin x x y y t αα--=，因此，经过点00(,)M x y ，倾斜角为()2παα≠的直线的参数方程的标准形式为：)(sin cos 00为参数t t y y t x x ⎩⎨⎧+=+=αα当堂训练（1）经过点)5,1(0M ,倾斜角为3π的直线l 的参数方程为 . （2）直线)(20cos 20sin 3为参数t s t y t x ⎝⎛=+=︒︒的倾斜角是( )︒20.A ︒70.B ︒110.C ︒160.D2、直线l 的参数方程的几种形式直线的参数方程形式不是唯一的，令ααsin ,cos ==b a ,则直线参数方程的标准形式可以是)1,0,(22200=+≥⎩⎨⎧+=+=b a b t bty y atx x 为参数直线的参数方程的一般式可以写成)(00为参数t dt y y ctx x ⎩⎨⎧+=+=，这里R d c ∈,,其中122=+d c 时，t有明确的几何意义，当122≠+d c 时，t 没有明确的几何意义. 直线的参数方程的一般式化为直线的参数方程的标准式的方法：),,0,,0()()(2222222222222222022220b dc da d c c t t d c db dcd a d c c t t d c d t d c d c d y y t d c d c c x x =+-=+-'=⋅+-≤=+=+'=⋅+≥⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅+++=⋅+++=时，令，时，令其中，3、直线的参数方程中参数的几何意义x参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0t =.由于α为直线的倾斜角,且),0[πα∈，α是第二象限角，0sin ≥α.所以e的方向总是向上的，当M M 0与e (直线的单位方向向量)同向时，0>t ，当M M 0与e反向时，0<t ，当M 与M 0重合时，0=t .4、用直线l 的参数方程求弦长和弦的中点坐标的方法①已知直线l 过),(00y x M ，倾斜角为α，l 与圆锥曲线相交于B A ,两点，则求弦长AB 的方法如下：将直线l 的参数方程)(sin cos 00为参数t t y y t x x ⎩⎨⎧+=+=αα代入圆锥曲线的方程，消去y x ,得到关于t 的一元二次方程，由判别式∆和韦达定理得到21t t +，21t t 的值，代入弦长公式21221214)(t t t t t t AB -+=-=，M 到两交点的距离之积为21t t MB MA =∙. ②弦的中点坐标对应的参数221t t t +=，先计算221tt t +=，再把t 代入直线l 的参数方程，即得到弦中点的坐标.三、知识应用例．已知直线:10l x y +-=与抛物线2y x =交于A 、B 两点，求线段AB 的长和点(1,2)M -到A ，B 两点的距离之积.四、课堂检测直线)(,2333,211为参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=和圆1622=+y x 交于B A ,两点，则B A ,的中点坐标为（ ）)3,3.(-A )3,3.(--B )3,3.(-C )3,3.(-D五 、课堂小结（1）经过点00(,)M x y ，倾斜角为()2παα≠的直线的参数方程的标准形式为：)(s i n c o s 00为参数t t y y t x x ⎩⎨⎧+=+=αα，其中参数t 具有明确的意义. （2）直线的标准方程主要用来解决过定点的直线与圆锥曲线相交时的弦长或距离，它可以避免求交点时解方程组的繁琐运算，但是应用直线的参数方程时，应先判别是否是标准形式，再考虑t 的几何意义.(3)弦长公式21221214)(t t t t t t AB -+=-=，定点M 到两交点的距离之积为21t t MB MA =∙.弦的中点坐标对应的参数221t t t +=. 六、高考衔接(2016江苏)在平面直角坐标系xoy 中，已知直线l 的参数方程为)(23211为参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=，椭圆C 的参数方程为)(sin 2cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==y x .设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.七、作业布置课本p39 习题2.3第3题 八、课后反思。
《直线的一般式方程》教案与导学案和同步练习
《2.2.3直线的一般式方程》教案【教材分析】本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习直线的一般式方程直线的一般式方程是直线的点斜式，斜截式，两点式，截距式方程的综合表示形式，与前面学习的其他形式的直线方程的一个不同点是：直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线，而点斜式、斜截式、两点式方程，都不能表示与x轴垂直的直线.通过研究直线方程的几种形式，指出它们都是关于x，y的二元一次方程，然后从两个方面进一步研究直线和二元一次方程的关系，使学生明确一个重要事实：在平面直角坐标系中，任何一条直线的方，可以写成关于x，y的一元二次方程；反过来，任何一个关于x，y的一次方程都表示一条直线，为以后继续学习“曲线和方程”打下基础.本节内容是本章的基础内容，也是本章的重点内容，对前面学习两直线位置关系的判定提供了必要的基础支持，也是后面要学习的两直线的交点、点到直线的距离、两平行线间的距离等知识的必需形式.大纲把教学目标定位在“掌握直线的一般方程”，属于较高层次的要求.本节课注重综合分析归纳，是高中数学教学的重要方面.【教学目标与核心素养】【教学重点】：了解二元一次方程与直线的对应关系，掌握直线的一般形式【教学难点】：能根据所给条件求直线方程，并能在几种形式间相互转化【教学过程】1.在方程Ax+By+C=0(A,B 不同时为零)中,A,B,C 为何值时,方程表示的直线(1)平行于x 轴;(2)平行于y 轴;(3)与x 轴重合;(4)与y 轴重合. 答案:当A=0时,方程变为y=-CB ,当C≠0时表示的直线平行于x 轴,当C=0时与x 轴重合;当B=0时,方程变为x=-CA ,当C≠0时表示的直线平行于y 轴,当C=0时与y 轴重合.2.直线方程2x+3y+1=0化为斜截式为 ; 化为截距式为 . 解析:方程化为3y=-2x-1,则y=-23x-13;方程化为2x+3y=-1,得-2x-3y=1,即x -12+y-13=1.答案:y=-23x-13; x -12+y-13=13.两条直线的位置关系3.判断下列两组直线是否平行或垂直:三、达标检测1．思考辨析(1)二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)可表示平面内的任何一条直线．( )(2)当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)表示的直线过原点．( )(3)当B＝0，A≠0时，方程Ax＋By＋C＝0表示的直线与y轴平行．( )(4)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化．( ) 答案(1)√(2)√(3)×当C＝0时，直线与y轴重合．(4)×当直线与坐标轴平行或重合时，不能转化为截距式或斜截式．2.两直线ax-by-1=0(ab≠0)与bx-ay-1=0(ab≠0)的图象可能是图中的哪一个( )解析:当a<0,b>0时,直线ax-by=1在x轴上的截距1a<0,在y轴上的截距-1b <0;bx-ay=1在x轴上的截距1b>0,在y轴上的截距-1a>0.只有B满足.故选B.答案:B3．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( ) A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0四、小结五、课时练【教学反思】通过复习回顾已经学习过的四种直线方程的表示形式，找出其其局限性，思考是否存在一种更为完美的代数形式可以表示平面中的所有直线？学生探究“平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x、y的二元一次方程表示吗？”引导学生分类讨论，使学生对直线方程的一般式有了更深入的理解。
高中数学新课程创新教学设计案例--直线方程的几种形式
23直线方程的几种形式教材分析这节内容介绍了直线方程的几种要紧形式：点歪式、两点式和一般式，并简单介绍了歪截式和截距式．直线方程的点歪式是其他直线方程形式的本源，因此它是本节学习的重点．在推导直线方程的点歪式时，要使学生理解：〔1〕建立点歪式的要紧依据是，通过直线上一个定点与这条直线上任意一点的直线是唯一的，其歪率等于k．〔2〕在得出方程后，要把它变成方程y－y1＝k〔x－x1〕．因为前者表示的直线缺少一个点P1〔x1，y1〕，而后者才是这条直线的方程．〔3〕当直线的歪率不存在时，不能用点歪式求它的方程，这时的直线方程为x＝x1．在学习了点歪式的本源上，进一步介绍直线方程的其他几种形式：歪截式、两点式、截距式和一般式，并探究它们的适用范围和相互联系与区不．通过研究直线方程的几种形式，指出它们基本上关于x，y的二元一次方程，然后从两个方面进一步研究直线和二元一次方程的关系，使学生明确一个重要事实：在平面直角坐标系中，任何一条直线的方程，都能够写成关于x，y的一次方程；反过来，任何一个关于x，y的一次方程都表示一条直线，为以后接着学习“曲曲折折线和方程〞打下本源．因为这局限内容较为抽象，因此它是本节学习的难点．教学目标1.在“直线与方程〞和直线的歪率本源上，引导学生探究由一个点和歪率推导出直线方程，初步体会直线方程建立的方法．2.理解和把握直线方程的点歪式，并在此本源上研究直线方程的其他几种形式，把握它们之间的联系与区不，并能依据条件熟练地求出直线方程．3.理解直线和二元一次方程的关系，并能用直线方程解决和研究有关咨询题．4.通过直线方程几种形式的学习，初步体会知识发生、开发和运用的过程，培养学生多向思维的能力．任务分析这节内容是在学习了直线方程的概念与直线的歪率本源上，具体地研究直线方程的几种形式，而这几种形式的要害是推导点歪式方程．因此，在推导点歪式方程时，要使学生理解：明确直线的歪率和直线上的一个点，这条直线就确定了，进而直线方程也就确定了．求直线方程确实是基本把直线上任一点用歪率和直线上明确点来表示，如此由两点的歪率公式即可推出直线的点歪式方程．在直线的点歪式方程本源上，由学生推出直线方程的其他几种形式，并使学生明确直线方程各种形式的使用范围，以及它们之间的联系与区不．关于直线和方程的一一对应关系是本节课的难点，在论证直线和方程的关系时，一方面分歪率存在与歪率不存在两类，另一方面又分B≠0与B＝0两类．这种“两分法〞的分类，科学严密，可培养学生全面系统和周密地讨论咨询题的能力．教学设计一、咨询题情境飞逝的流星形成了一条漂亮的弧线，这条弧线能够瞧作满足某种条件的点的集合．在平面直角坐标系中，直线也能够瞧作满足某种条件的点的集合．为研究直线咨询题，须要建立直线的方程．直线可由两点唯一确定，也可由一个点和一个方一直确定．假如明确直线上一个点的坐标和歪率，那么如何建立这条直线的方程呢？二、建立模型1.教师提出一个具体的咨询题假如直线l通过点A〔－1，3〕，歪率为－2，点P在直线l上运动，那么点P的坐标满足什么条件？设点P的坐标为〔x，y〕，那么当P在直线l上运动时〔除点A外〕，点P与定点A 确定的直线确实是基本l，它的歪率恒为－2，因此＝－2，即2x＋y－1＝0．显然，点A〔－1，3〕满足此方程，因此，当点P在直线l上运动时，其坐标〔x，y〕满足方程2x＋y－1＝0．2.教师明晰一般地，设直线l通过点P1〔x1，y1〕，且歪率为k，关于直线l上任意一点P〔x，y〕〔不同于点P1〕，当点P在直线l上运动时，PP1的歪率始终为k，因此，即y－y1＝k〔x－x1〕．能够验证：直线l上的每个点〔包括点P1〕的坐标基本上那个方程的解；反过来，以那个方程的解为坐标的点都在直线l上，那个方程确实是基本过点P1、歪率为k的方程，我们把那个方程喊作直线的点歪式方程．当直线l与x轴垂直时，歪率不存在，其方程不能用点歪式表示，但因为直线l上每一点的横坐标都等于x1，因此它的方程是x＝x1．考虑：〔1〕方程与方程y－y1＝k〔x－x1〕表示同一图形吗？〔2〕每一条直线都可用点歪式方程表示吗？［例题］求满足以下条件的直线方程．〔1〕直线l1：过点〔2，5〕，k＝－1．〔2〕直线l2：过点〔0，1〕，k＝－.〔3〕直线l3：过点〔2，1〕和点〔3，4〕．〔4〕直线l4：过点〔2，3〕平行于y轴．〔5〕直线l5：过点〔2，3〕平行于x轴．参考答案：〔1〕x＋y－7＝0．〔2〕y＝－x＋1．〔3〕3x－y－5＝0．〔4〕x＝2．〔5〕y＝3．［练习］求以下直线方程．〔1〕明确直线l的歪率为k，与y轴的交点P〔0，b〕．〔假如直线l的方程为y＝kx＋b，因此称b是直线l在y轴上的截距，那个方程喊直线的歪截式方程〕〔2〕明确直线l通过两点P1〔x1，y1〕，P2〔x2，y2〕．〔假如直线l的方程为y－y1＝〔x－x1〕，〔x1≠x2〕，因此那个方程喊直线的两点式方程〕〔3〕明确直线l通过两点A〔ａ，0〕，B〔0，b〕，其中ab≠0．〔假如直线l的方程为，〔ab≠0〕，因此a，b分不称为直线l在x轴、y轴上的截距，那个方程喊直线的截距式方程〕进一步考虑讨论：前面所学的直线方程的几种形式基本上关于x，y的二元一次方程，那么任何一条直线的方程是否为关于x，y的二元一次方程？反过来，关于x，y的二元一次方程都表示一条直线吗？通过学生讨论后，师生共同明晰：在平面直角坐标系中，每一条直线的方程基本上关于x，y的二元一次方程．事实上，当直线歪率存在时，它的方程可写成y＝kx＋b，它可变形为kx－y＋b＝0，假如设A＝k，B＝－1，C＝b，它的方程可化为Ax＋By＋C＝0；当直线歪率不存在时，它的方程可写成x＝x1，即x－x1＝0，设A＝1，B＝0，C＝－x1，它的方程可化为Ax＋By＋C ＝0．即任何一条直线的方程都能够表示为Ax＋By＋C＝0；反过来，关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0，〔A，B不全为0〕的图像是一条直线．事实上，关于方程Ax＋By＋C＝0，〔A，B不全为0〕，当B≠0时，方程可化为y＝－x－，它表示歪率为－，在y轴上截距为－的直线；当B＝0时，A≠0，方程可化为x＝－，它表示一条与ｙ轴平行或重合的直线．综上可知：在平面直角坐标系中，直线与关于x，y的二元一次方程是一一对应的．我们把方程Ax＋By＋C＝0，〔A，B不全为0〕喊作直线的一般式方程．三、解释应用［例题］1.明确直线l通过点〔－2，5〕，且歪率为－．〔1〕求直线的一般式方程．〔2〕求直线在x轴、y轴上的截距．〔3〕试画出直线l．解答过程由学生讨论回复，教师适时点拨．2.求直线l：2x－3y＋6＝0的歪率及在x轴与y轴上的截距．解：明确直线方程可化为y＝x＋2，因此直线l的歪率为，在y轴上的截距为2．在方程2x－3y＋6＝0中，令y＝0，得x＝－3，即直线在x轴上的截距为－3．［练习］1.求满足以下条件的直线方程，并画出图形．〔1〕过原点，歪率为－2．〔2〕过点〔0，3〕，〔2，1〕．〔3〕过点〔－2，1〕，平行于x轴．〔4〕歪率为－1，在y轴上的截距为5．〔5〕在x轴、y轴上的截距分不为3，－5．2.求过点〔3，－4〕，且在两条坐标轴上的截距相等的直线方程．3.设直线l的方程为〔m2－2m－3〕x＋〔2m2＋m－1〕y＝2m－6，依据以下条件确定m 的值．〔1〕直线l在x轴上的截距为－3．〔2〕直线l的歪率为1．〔3〕直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为10．四、拓展延伸1.在直线方程y－1＝k〔x－1〕中，k取所有实数，可得到很多条直线，这很多条直线具有什么共同特点？2.在直线方程Ax＋By＋C＝0中，当A，B，C分不满足什么条件时，直线有如下性质：〔1〕过坐标原点．〔2〕与两坐标轴都相交．〔3〕只与x轴相交．〔4〕只与y轴相交．〔5〕与x轴重合．〔6〕与y轴重合．3.直线方程的一般式与几种特不形式有什么区不与联系？你能讲明它们的适用范围以及相互转化的条件吗？参考答案：1.直线过点〔1，1〕，它不包括直线x＝1．2.〔1〕C＝0．A，B不全为0；〔2〕A，B都不为0．〔3〕A≠0，B＝0，C≠0．〔4〕A＝0，B≠0，C≠0．〔5〕A＝0，B≠0，C＝0．〔6〕A≠0，B＝0，C＝0．3.略．点评这篇案例在直线与方程和直线的歪率本源上，通过实例探究出过一点且歪率明确的直线的方程，然后按照由特不到一般的方程建立了直线的点歪式方程，在点歪式方程的本源上由学生自主的探究出直线方程的其他形式，并研究了几种直线方程的联系与区不以及它们的适用范围．在案例的设计上注重了知识的发生、开发和适用的过程．在例题与练习的设计上，注重了层次性和知识的完整性的结合，在培养学生的能力上，注重了数学的实质是数学思维过程的教学，显示了数形结合、化回、转化、抽象、概括以及函数与方程的思想．在培养学生创新意识、探究研究、分析解决咨询题的能力等方面，做了一些尝试，显示了新课程的教学理念，能够较好地完本钱节的教育教学任务．。
教学设计5：2.2.2 直线方程的几种形式
2.2.2 直线方程的几种形式整体设计教学分析教材利用斜率公式推导出了直线的点斜式方程，利用直线的点斜式方程推导出了直线的斜截式方程，让学生讨论得出直线的两点式方程，在练习B中给出了直线的截距式方程．值得注意的是本节所讨论直线方程的四种形式中，点斜式方程是基础是一个“母方程”，其他方程都可以看成是点斜式方程的“子方程”．因此在教学中要突出点斜式方程的教学，其他三种方程形式可以让学生自己完成推导．三维目标1．掌握直线的点斜式方程和斜截式方程；了解直线的斜截式方程是点斜式方程的特例，培养普遍联系的辩证思维能力．2．理解直线的两点式方程和截距式方程，并能探讨直线方程不同形式的适用范围，提高学生思维的严密性．3．会求直线方程，提高学生分析问题和解决问题的能力．重点难点教学重点：直线方程的四种形式及应用．教学难点：求直线方程．课时安排1课时教学过程导入新课设计1.我们知道两点确定一条直线，除此之外，在平面直角坐标系中，一个定点和斜率也能确定一条直线，那么怎样求由一点和斜率确定的直线方程呢？教师引出课题．设计2.上一节我们已经学习了直线方程的概念，其中直线y＝kx＋b就是我们本节所要进一步学习的内容，教师引出课题．推进新课新知探究提出问题(1)如左下图所示，已知直线l过P0(x0，y0)，且斜率为k，求直线l的方程．(2)已知直线l 过点P (0，b )，且斜率为k (如右上图)，求直线l 的方程． (3)已知两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1≠x 2，y 1≠y 2，求直线AB 的方程．(4)已知直线l 在x 轴上的截距是a ，在y 轴上的截距是b ，且a ≠0，b ≠0.求证直线l 的方程可写为x a ＋yb ＝1.(这种形式的直线方程，叫做直线的截距式方程)讨论结果：(1)设点P (x ，y )为直线l 上不同于P 0(x 0，y 0)的任意一点，则直线l 的斜率k 可由P 和P 0两点的坐标表示为k ＝y －y 0x －x 0.即y －y 0＝k (x －x 0)．①方程①就是点P (x ，y )在直线l 上的条件．在l 上的点的坐标都满足这个方程，坐标满足方程①的点也一定在直线l 上．方程①是由直线上一点P 0(x 0，y 0)和斜率k 所确定的直线方程，我们把这个方程叫做直线的点斜式方程．特别地，当k ＝0时，直线方程变为y ＝y 0.这时，直线平行于x 轴或与x 轴重合． (2)直线l 的点斜式方程为y －b ＝k (x －0)．整理，得y ＝kx ＋b .这个方程叫做直线的斜截式方程．其中k 为斜率，b 叫做直线y ＝kx ＋b 在y 轴上的截距，简称为直线的截距．这种形式的方程，当k 不等于0时，就是我们熟知的一次函数的解析式． (3)设P (x ，y )是直线AB 上任一点，则k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1，所以直线AB 的点斜式方程为y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)，整理得y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(x 1≠x 2，y 1≠y 2)，这种形式的方程叫做直线的两点式方程．(4)直线l 过点(a ,0)，(0，b )，则直线l 的两点式方程为y －0b －0＝x －a 0－a，整理得x a ＋yb ＝1.这种形式的直线方程，叫做直线的截距式方程．应用示例思路1例1 求下列直线的方程： (1)直线l 1：过点(2,1)，k ＝－1； (2)直线l 2：过点(－2,1)和点(3，－3)．解：(1)直线l 1过点(2,1)，斜率k ＝－1.由直线的点斜式方程，得y －1＝－1(x －2)，整理，得l 1的方程为x ＋y －3＝0. (2)我们先求出直线的斜率，再由点斜式写出直线方程． 直线l 2的斜率k ＝－3－13－(－2)＝－45，又因为过点(－2,1)，由直线的点斜式方程，得y －1＝－45[x －(－2)]，整理，得l 2的方程4x ＋5y ＋3＝0.另解：直线l 2的两点式方程为y －1－3－1＝x ＋23＋2，整理，得4x ＋5y ＋3＝0.点评：为了统一答案的形式，如没有特别要求，直线方程都化为ax ＋by ＋c ＝0的形式． 变式训练分别求出通过点P (3,4)且满足下列条件的直线方程，并画出图形： (1)斜率k ＝2；(2)与x 轴平行；(3)与x 轴垂直．解：(1)这条直线经过点P (3,4)，斜率k ＝2，点斜式方程为y －4＝2(x －3)， 可化为2x －y －2＝0.如图(1)所示．图(1)(2)由于直线经过点P (3,4)且与x 轴平行，即斜率k ＝0，所以直线方程为y ＝4. 如图(2)所示．图(2)(3)由于直线经过点P (3,4)且与x 轴垂直，所以直线方程为x ＝3. 如图(3)所示．图(3)例2 已知三角形三个顶点分别是A (－3,0)，B (2，－2)，C (0,1)，求这个三角形三边各自所在直线的方程．解：如下图，因为直线AB 过A (－3,0)，B (2，－2)两点，由两点式，得y －0x －(－3)＝－2－02－(－3)，整理，得2x ＋5y ＋6＝0，这就是直线AB 的方程；直线AC 过A (－3,0)，C (0,1)两点，由两点式，得y －0x －(－3)＝1－00－(－3)，整理，得x －3y ＋3＝0， 这就是直线AC 的方程；直线BC 的斜率是k ＝1－(－2)0－2＝－32，过点C (0,1)，由点斜式，得y －1＝－32(x －0)，整理得3x ＋2y －2＝0， 这就是直线BC 的方程．例3 求过点(0,1)，斜率为－12的直线的方程．解：直线过点(0,1)，表明直线在y 轴上的截距为1，又直线斜率为－12，由直线的斜截式方程，得y ＝－12x ＋1.即x ＋2y －2＝0. 变式训练1．直线l ：y ＝4x －2在y 轴上的截距是______，斜率k ＝______.【答案】－2 42．已知直线l ：y ＝kx ＋b 经过第二、三、四象限，试判断k 和b 的符号． 解：如下图所示因为直线l 与x 轴的正方向的夹角是钝角，与y 轴交点位于y 轴的负半轴上，所以k <0，b <0.思路2例4 过两点(－1,1)和(3,9)的直线l 在x 轴上的截距是______，在y 轴上的截距是______． 【解析】直线l 的两点式方程是x ＋13＋1＝y －19－1，当x ＝0时，y ＝3；当y ＝0时，x ＝－32.即直线l 在x 轴上的截距等于－32，在y 轴上的截距等于3.【答案】－323点评：已知直线的截距式方程，可以直接观察得出在两坐标轴上的截距；已知直线的非截距式方程时，令x ＝0，解得y 的值即是在y 轴上的截距，令y ＝0，解得x 的值即是在x 轴上的截距． 变式训练已知直线过点P (－2,3)，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线的方程． 解：因为直线与x 轴不垂直，所以可设直线的方程为y －3＝k (x ＋2)． 令x ＝0，得y ＝2k ＋3； 令y ＝0，得x ＝－3k－2.∴由题意，得12|(2k ＋3)(－3k －2)|＝4.若(2k ＋3)(－3k －2)＝－8，无解；若(2k ＋3)(－3k －2)＝8，解得k ＝－12，k ＝－92.∴所求直线的方程为y －3＝－12(x ＋2)和y －3＝－92(x ＋2)，即x ＋2y －4＝0和 9x ＋2y ＋12＝0.例5 设△ABC 的顶点A (1,3)，边AB 、AC 上的中线所在直线的方程分别为x －2y ＋1＝0，y ＝1，求△ABC 中AB 、AC 各边所在直线的方程．【解析】为了搞清△ABC 中各有关元素的位置状况，我们首先根据已知条件， 画出图形，帮助思考问题．解：如下图，设AC 的中点为F ，则AC 边上的中线BF 为y ＝1.AB 边的中点为E ，则AB 边上中线CE 为x －2y ＋1＝0.设C 点坐标为(m ，n )．在A 、C 、F 三点中A 点已知，C 点未知，F 虽然为未知但其在中线BF 上，满足y ＝1这一条件． 这样用中点公式⎩⎨⎧m ＋12＝F 点横坐标，n ＋32＝F 点纵坐标1.解出n ＝－1.又C 点在中线CE 上，应当满足CE 的方程，则m －2n ＋1＝0. ∴m ＝－3.∴C 点为(－3，－1)．用同样的思路去求B 点．设B 点为(a ，b )，显然b ＝1. 又B 点、A 点、E 点中，E 为中点，B 点为(a ,1)， E 点坐标为(1＋a 2，3＋12)，即(1＋a2，2)．E 点在CE 上，应当满足CE 的方程1＋a2－4＋1＝0，解出a ＝5.∴B 点为(5,1)．由两点式，即可得到AB ，AC 所在直线的方程．l AC ：x －y ＋2＝0.l AB ：x ＋2y －7＝0. 点评：此题思路较为复杂，应从中领悟到两点： (1)中点公式要灵活应用；(2)如果一个点在直线上，则这点的坐标满足这条直线的方程，这一观念必须牢牢地树立起来． 变式训练已知点M (1,0)，N (－1,0)，点P 为直线2x －y －1＝0上的动点，则|PM |2＋|PN |2的最小值为多少？解：∵P 点在直线2x －y －1＝0上， ∴设P (x 0,2x 0－1)．∴|PM |2＋|PN |2＝(2x 0－1)2＋(x 0－1)2＋(2x 0－1)2＋(x 0＋1)2＝2(2x 0－1)2＋2x 20＋2 ＝10x 20－8x 0＋4＝10(x 0－25)2＋125≥125. ∴最小值为125.例6 经过点A (1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程．解：当截距为0时，设y ＝kx ，过点A (1,2)，则得k ＝2，即y ＝2x . 当截距不为0时，设x a ＋y a ＝1或x a ＋y－a ＝1，过点A (1,2)，则得a ＝3，或a ＝－1，即x ＋y －3＝0或x －y ＋1＝0.综上，所求的直线共有3条：y ＝2x ，x ＋y －3＝0或x －y ＋1＝0.点评：本题易漏掉直线y ＝2x ，其原因是忽视了直线方程的截距式满足的条件之一：在两坐标轴上的截距均不为零． 变式训练过点P (4，－3)的直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．解：直线l 在两坐标轴上的截距相等都为0时，直线过(0,0)、(4，－3)，由两点式得直线方程为y ＝－34x ；当直线l 在两坐标轴上的截距相等且不为0时，可以设截距为a ，直线方程为x a ＋ya＝1，过点(4，－3)，解得直线的方程为x ＋y ＝1. 知能训练1．经过点(－2，2)，倾斜角是30°的直线的方程是( ) A ．y ＋2＝33(x －2) B ．y ＋2＝3(x －2) C ．y －2＝33(x ＋2) D ．y －2＝3(x ＋2) 【答案】C2．已知直线方程y －3＝3(x －4)，则这条直线经过的已知点，倾斜角分别是( ) A ．(4,3)，60° B ．(－3，－4)，30° C ．(4,3)，30° D ．(－4，－3)，60°【答案】A3．直线方程可表示成点斜式方程的条件是( )A ．直线的斜率存在B ．直线的斜率不存在C ．直线不过原点D ．不同于上述答案 【答案】A4．直线y ＝－3(x －2)绕点(2,0)按顺时针方向旋转30°所得的直线方程是______． 【解析】直线y ＝－3(x －2)的倾斜角为120°，绕点(2,0)按顺时针方向旋转30°后，倾斜角为120°－30°＝90°，则所得直线方程是x ＝2，即x －2＝0. 【答案】x －2＝05．已知△ABC 的顶点坐标为A (－1,5)、B (－2，－1)、C (4,3)，M 是BC 边上的中点． (1)求AB 边所在的直线方程； (2)求中线AM 的长； 解：(1)由两点式写方程，得y －5－1－5＝x ＋1－2＋1，即6x －y ＋11＝0. (2)设M 的坐标为(x 0，y 0)，则由中点坐标公式，得x 0＝－2＋42＝1，y 0＝－1＋32＝1，故M (1,1)，AM ＝(1＋1)2＋(1－5)2＝2 5.6．已知如下图，正方形边长是4，它的中心在原点，对角线在坐标轴上，求正方形各边及对称轴所在直线的方程．【解析】由于正方形的顶点在坐标轴上，所以可用截距式求正方形各边所在直线的方程．而正方形的对称轴PQ 、MN 、x 轴、y 轴则不能用截距式，其中PQ 、MN 应选用斜截式，x 轴，y 轴的方程可以直接写出． 解：因为|AB |＝4，所以|OA |＝|OB |＝42＝2 2. 因此A 、B 、C 、D 的坐标分别为(22，0)、(0,22)、(－22，0)、(0，－22)． 所以AB 所在直线的方程是x22＋y 22＝1，即x ＋y －22＝0.BC 所在直线的方程是x －22＋y22＝1，即x －y ＋22＝0.CD 所在直线的方程是x －22＋y－22＝1，即x ＋y ＋22＝0.DA 所在直线的方程是x22＋y －22＝1，即x －y －22＝0. 对称轴方程分别为x ±y ＝0，x ＝0，y ＝0.拓展提升如下图，要在土地ABCDE 上划出一块长方形地面(不改变方向)，问如何设计才能使占地面积最大？并求出最大面积(单位：m)．解：如下图，建立直角坐标系，在线段AB 上任取一点P 分别向CD 、DE 作垂线，划得一矩形土地．∵AB 方程为x 30＋y 20＝1，∴P (x ,20－2x3)(0≤x ≤30)，则S 矩形＝(100－x )[80－(20－2x 3)]＝－23(x －5)2＋6 000＋503(0≤x ≤30)，∴当x ＝5，y ＝503，即P (5，503)时，(S 矩形)max ＝18 0503(m 2)．课堂小结本节课学习了：1．直线方程的四种形式； 2．会求直线方程；3．注意直线方程的使用条件，尤其关注直线的斜率是否存在从而分类讨论．设计感想本节教学设计，以课程标准为指南，对直线方程的四种形式放在一起集中学习，这样有利于对比方程的适用范围，比教材中分散学习效果要好，特别是应用示例思路2的总体难度较大，适用于基础扎实、学习有余力的同学．。
《直线的两点式方程》示范课教学设计【高中数学】
《直线的两点式方程》教学设计1.掌握直线方程的两点式和使用条件.2.掌握直线方程的截距式和使用条件.3.对直线的截距有一个全面的认识.教学重点：直线的两点式的表示.教学难点：直线的两点式的表示的使用条件.环节一：引入新课 我们继续来探究直线的另一种代数表示：直线的两点式方程. 在上节课中，我们通过已知直线上一点和直线的方向，探究了直线的点斜式和斜截式方程；那么这节课我们继续来研究.环节二：课堂探究问题1：如何表示出经过两点111(,)P x y ，222(,)P x y 的直线的方程？答案：已知两点的坐标111(,)P x y ，222(,)P x y ，（12≠x x ），求出直线l 的斜率2121-=-y y k x x ，将点111(,)P x y 及斜率k 代入直线l 的点斜式方程，得211121()--=--y y y y x x x x . 追问：是否可以将211121()--=--y y y y x x x x 进行变形？ 答案：若直线上的两点横纵坐标均不相同，则12≠x x ，12≠y y ，直线的斜率存在且不为0，可将211121()--=--y y y y x x x x 两侧同时除以21-y y ，得到直线l 方程可表示为112121y y x x y y x x --=-- . 可利用方程112121y y x x y y x x --=--将直线的几何特征进行代数表示，这就是经过两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，（其中12x x ≠，且12y y ≠）的直线的两点式方程，简称两点式.◆教学目标 ◆教学重难点◆ ◆教学过程问题2：能否说明直线的两点式的几何意义？答案：已知直线l 上的两个点111(,)P x y ，222(,)P x y ，（其中12x x ≠，且12y y ≠），在直线l 上任取一点(,)P x y ，则需要满足112=P P P P k k ；其中， 111-=-P P y y k x x ，122121-=-P P y y k x x ，即121121y y y y x x x x --=--.即点(,)P x y 需要满足的方程；但该式中12x x ≠且1x x ≠，只能表示直线上除去点111(,)P x y 之外的其他点；而由于12y y ≠，将该式进行变形，得到112121y y x x y y x x --=--，即可表示直线l.进一步说明直线两点式方程的记忆方式. 追问：直线的两点式方程能表示什么样的直线？答案：直线的两点式方程需满足12x x ≠，且12y y ≠，其中，12x x ≠表示直线的倾斜角90α︒≠，即直线不能垂直于x 轴；12y y ≠表示直线的倾斜角0α︒≠，即直线不能平行于x 轴，换言之，直线的两点式方程只能表示除了平行或垂直于x 轴之外的其他直线.问题3：如果已知直线l 上的两点分别落在x 轴、y 轴上，即已知点(,0)A a ,(0,)B b ，其中0,0a b ≠≠，如何表示这条直线l ？答案：将点(,0)A a ，(0,)B b 其中0,0a b ≠≠代入直线的两点式方程：112121y y x x y y x x --=--，即000y x a b a --=--，1y x a x b a a -==-+-，也就是1x y a b+=； 追问1：如何理解1x y a b+=？ 答案：该式由已知直线过特殊的两个点，即x 轴与y 轴上的两个点，利用直线的两点式方程推导而来.式子中的,a b 为直线与x 轴交点的横坐标和直线与y 轴交点的纵坐标；b 叫做直线l 在y 轴上的截距；a 叫做直线l 在x 轴上的截距，我们将该式称为直线的截距式方程，简称截距式，因此直线的截距式方程也是特殊的两点式方程.追问2：如何记忆并应用直线的截距式方程1x y a b+=？ 答案：截距式的形式简洁，等式左侧为直线上任意点的横纵坐标分别于直线在x 轴，y 轴上的截距的比值的和，右侧是常数1.在应用时，只需通过直线的截距，即可表示直线的方程，其中，由题意与等式形式可知，直线在x 轴，y 轴上的截距均不能为0，即0,0a b ≠≠，由此可知：截距式方程作为特殊的两点式方程，除了不能表示平行于x 轴和y 轴的直线外，当a ，b 都不为0，直线不能过原点.环节三：知识应用例1 已知△ABC 的三个顶点(5,0)A -，(3,3)B -，(0,2)C ，求边BC 、边AC 所在直线的方程，以及边BC 上的中线AM 所在的直线的方程.解：如图，过(3,3)B -，(0,2)C 的两点式方程为203230y x --=---，可整理得523y x =-+，这就是边BC 所在直线的方程.过(5,0)A -，(0,2)C 的截距式方程为152x y +=-，可整理得225y x =+，这就是边AC 所在直线的方程.边BC 上的中线是顶点A 与边BC 中点M 所连线段，由中点坐标公式，可得点M 的坐标为3032(,)22+-+，即31(,)22M -. 过(5,0)A -，31(,)22M - 两点的直线方程为05130522y x -+=--+， 可整理得：151313y x =--.这就是边BC 上的中线AM 所在直线的方程.课时检测 1.写出经过(1,8)A -，(4,2)B -两点的两点式方程；2.写出经点(0,5)，且在两坐标轴上的截距之和为2的直线的方程；3.写出经过(1,2)A ，(2,1)B 两点的两点式方程.答案：1. 将(1,8)A -，(4,2)B -两点代入直线的两点式方程，得8(1)284(1)y x ---=----， 化简为812841y x -+=--+. 2. 解：设直线的截距式方程为1x y a b +=（0,0a b ≠≠）， 则由题意得：52b a b =⎧⎨+=⎩，解得3a =-.所以直线的截距式方程为135x y +=-. 3. 将(1,2)A ，(2,1)B 两点代入直线的两点式方程，得211221y x --=--.。
直线的点斜式、斜截式方程 说课稿 教案 教学设计
课题：直线的点斜式、斜截式方程
课型：新授课
教学目标：
1、知识与技能
（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；
（2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。
（3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.
2、过程与方法
在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程；学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别。
3、情态与价值观
通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题。
教学重点：直线的点斜式方程和斜截式方程。
教学难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用
例3．如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，求直线l 的斜率.( －
3
1)
归纳小结：（1）本节课我们学过那些知识点；（2）直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围是什么？（3）求一条直线的方程，要知道多少个条件？。
直线的两点式方程的教学设计
直线的两点式方程的教学设计引言在数学学科中，直线是一个基础概念，理解直线方程的各种形式以及如何确定直线上的点是数学学习的重要内容。
直线的两点式方程是一种常见的表示直线的方法，其形式为Ax+By+C=0。
本文设计了一节课的教学环节，旨在帮助学生理解直线的两点式方程及其应用。
教学目标通过本课程设计，学生将能够：•理解直线的两点式方程的定义和表示方法•掌握求解直线的两点式方程的方法•运用直线的两点式方程解决几何问题教学内容本节课的教学内容主要包括以下几个部分：1.直线方程的回顾–直线方程的一般式Ax+By+C=0–直线方程的斜截式y=mx+b–直线方程的点斜式y−y1=m(x−x1)2.直线的两点式方程的定义和表示方法–直线的两点式方程的形式：Ax+By+C=0–直线通过两个已知点(x1,y1)和(x2,y2)，代入方程求解系数3.求解直线的两点式方程的步骤及示例–确定已知点(x1,y1)和(x2,y2)–使用两点式方程的形式求解系数A,B,C–将求得的系数代入方程4.直线的两点式方程的应用–求解直线与坐标轴的交点–判断直线是否与坐标轴相交–判断直线是否平行或垂直于坐标轴–解决与直线相关的几何问题教学过程本节课的教学过程设计如下：1.导入新知识–引入直线的两点式方程的定义和表示方法–与已学的直线方程进行对比，强调两点式方程的特点2.概念讲解–解释直线的两点式方程的含义和表达方式–通过示例演示如何利用两点求解直线方程3.练习与讨论–让学生在小组内互相交流，并求解给定的两点求直线方程的问题–引导学生讨论求解步骤和思路4.总结和归纳–与学生一起总结求解直线的两点式方程的方法和要点–强调学生在实际问题中的应用5.拓展练习–提供更多不同难度的直线方程求解问题，让学生进行个人或小组练习–鼓励学生尝试利用直线的两点式方程解决实际问题6.作业布置–布置课后作业，要求学生练习直线方程的求解和应用题目教学评估在教学过程中，可以采用以下方法对学生进行评估：•监控学生在小组讨论中的参与程度和解题能力•针对学生的答疑情况进行评估•课堂练习和作业的完成情况评估学生对知识的掌握程度结束语通过本节课的教学设计，学生将深入了解直线的两点式方程的定义、求解方法及其应用。
高二数学教案 直线的方程9篇
高二数学教案直线的方程9篇直线的方程 1教学目标（1）掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线方程的点斜式、两点式和直线方程的一般式，并能根据条件熟练地求出.（2）理解直线方程几种形式之间的内在联系，能在整体上把握.（3）掌握直线方程各种形式之间的互化.（4）通过直线方程一般式的教学培养学生全面、系统、周密地分析、讨论问题的能力.（5）通过直线方程特殊式与一般式转化的教学，培养学生灵活的思维品质和辩证唯物主义观点.（6）进一步理解直线方程的概念，理解直线斜率的意义和解析几何的思想方法.教学建议1.教材分析（1）知识结构由直线方程的概念和直线斜率的概念导出直线方程的点斜式；由直线方程的点斜式分别导出直线方程的斜截式和两点式；再由两点式导出截距式；最后都可以转化归结为直线的一般式；同时一般式也可以转化成特殊式.（2）重点、难点分析①本节的重点是直线方程的点斜式、两点式、一般式，以及根据具体条件求出.解析几何有两项根本性的任务：一个是求曲线的方程；另一个就是用方程研究曲线.本节内容就是求，因此是非常重要的内容，它对以后学习用方程讨论直线起着直接的作用，同时也对曲线方程的学习起着重要的作用.直线的点斜式方程是平面解析几何中所求出的第一个方程，是后面几种特殊形式的源头.学生对点斜式学习的效果将直接影响后继知识的学习.②本节的难点是直线方程特殊形式的限制条件，直线方程的整体结构，直线与二元一次方程的关系证明.2.教法建议（1）教材中求直线方程采取先特殊后一般的思路，特殊形式的方程几何特征明显，但局限性强；一般形式的方程无任何限制，但几何特征不明显.教学中各部分知识之间过渡要自然流畅，不生硬.（2）直线方程的一般式反映了直线方程各种形式之间的统一性，教学中应充分揭示直线方程本质属性，建立二元一次方程与直线的对应关系，为继续学习“曲线方程”打下基础.直线一般式方程都是字母系数，在揭示这一概念深刻内涵时，还需要进行正反两方面的分析论证.教学中应重点分析思路，还应抓住这一有利时使学生学会严谨科学的分类讨论方法，从而培养学生全面、系统、辩证、周密地分析、讨论问题的能力，特别是培养学生逻辑思维能力，同时培养学生辩证唯物主义观点（3）在强调几种形式互化时要向学生充分揭示各种形式的特点，它们的几何特征，参数的意义等，使学生明白为什么要转化，并加深对各种形式的理解.（4）教学中要使学生明白两个独立条件确定一条直线，如两个点、一个点和一个方向或其他两个独立条件.两点确定一条直线，这是学生很早就接触的几何公理，然而在解析几何，平面向量等理论中，直线或向量的方向是极其重要的要素，解析几何中刻画直线方向的量化形式就是斜率.因此，直线方程的两点式和点斜式在直线方程的几种形式中占有很重要的地位，而已知两点可以求得斜率，所以点斜式又可推出两点式（斜截式和截距式仅是它们的特例），因此点斜式最重要.教学中应突出点斜式、两点式和一般式三个教学高潮.求直线方程需要两个独立的条件，要依不同的几何条件选用不同形式的方程.根据两个条件运用待定系数法和方程思想求直线方程.（5）注意正确理解截距的概念，截距不是距离，截距是直线（也是曲线）与坐标轴交点的相应坐标，它是有向线段的数量，因而是一个实数；距离是线段的长度，是一个正实数（或非负实数）.（6）本节中有不少与函数、不等式、三角函数有关的问题，是函数、不等式、三角与直线的重要知识交汇点之一，教学中要适当选择一些有关的问题指导学生练习，培养学生的综合能力.（7）直线方程的理论在其他学科和生产生活实际中有大量的应用.教学中注意联系实际和其它学科，教师要注意引导，增强学生用数学的意识和能力.（8）本节不少内容可安排学生自学和讨论，还要适当增加练习，使学生能更好地掌握，而不是仅停留在观念上.教学设计示例直线方程的一般形式教学目标：（1）掌握直线方程的一般形式，掌握直线方程几种形式之间的互化.（2）理解直线与二元一次方程的关系及其证明（3）培养学生抽象概括能力、分类讨论能力、逆向思维的习惯和形成特殊与一般辩证统一的观点.教学重点、难点：直线方程的一般式.直线与二元一次方程（、不同时为0）的对应关系及其证明.教学用具：计算机教学方法：启发引导法，讨论法教学过程：下面给出教学实施过程设计的简要思路：教学设计思路：（一）引入的设计前边学习了如何根据所给条件求出直线方程的方法，看下面问题：问：说出过点（2，1），斜率为2的，并观察方程属于哪一类，为什么？答：直线方程是，属于二元一次方程，因为未知数有两个，它们的最高次数为一次.肯定学生回答，并纠正学生中不规范的表述.再看一个问题：问：求出过点，的，并观察方程属于哪一类，为什么？答：直线方程是（或其它形式），也属于二元一次方程，因为未知数有两个，它们的最高次数为一次.肯定学生回答后强调“也是二元一次方程，都是因为未知数有两个，它们的最高次数为一次”.启发：你在想什么（或你想到了什么）？谁来谈谈？各小组可以讨论讨论.学生纷纷谈出自己的想法，教师边评价边启发引导，使学生的认识统一到如下问题：【问题1】“任意都是二元一次方程吗？”（二）本节主体内容教学的设计这是本节课要解决的第一个问题，如何解决？自己先研究研究，也可以小组研究，确定解决问题的思路.学生或独立研究，或合作研究，教师巡视指导.经过一定时间的研究，教师组织开展集体讨论.首先让学生陈述解决思路或解决方案：思路一：…思路二：………教师组织评价，确定最优方案（其它待课下研究）如下：按斜率是否存在，任意直线的位置有两种可能，即斜率存在或不存在.当存在时，直线的截距也一定存在，直线的方程可表示为，它是二元一次方程.当不存在时，直线的方程可表示为形式的方程，它是二元一次方程吗？学生有的认为是有的认为不是，此时教师引导学生，逐步认识到把它看成二元一次方程的合理性：平面直角坐标系中直线上点的坐标形式，与其它直线上点的坐标形式没有任何区别，根据直线方程的概念，方程解的形式也是二元方程的解的形式，因此把它看成形如的二元一次方程是合理的.综合两种情况，我们得出如下结论：在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一条表示这条直线的关于、的二元一次方程.至此，我们的问题1就解决了.简单点说就是：直线方程都是二元一次方程.而且这个方程一定可以表示成或的形式，准确地说应该是“要么形如这样，要么形如这样的方程”.同学们注意：这样表达起来是不是很啰嗦，能不能有一个更好的表达？学生们不难得出：二者可以概括为统一的形式.这样上边的结论可以表述如下：在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一条表示这条直线的形如（其中、不同时为0）的二元一次方程.启发：任何一条直线都有这种形式的方程.你是否觉得还有什么与之相关的问题呢？【问题2】任何形如（其中、不同时为0）的二元一次方程都表示一条直线吗？不难看出上边的结论只是直线与方程相互关系的一个方面，这个问题是它的另一方面.这是显然的吗？不是，因此也需要像刚才一样认真地研究，得到明确的结论.那么如何研究呢？师生共同讨论，评价不同思路，达成共识：回顾上边解决问题的思路，发现原路返回就是非常好的思路，即方程（其中、不同时为0）系数是否为0恰好对应斜率是否存在，即（1）当时，方程可化为这是表示斜率为、在轴上的截距为的直线.（2）当时，由于、不同时为0，必有，方程可化为这表示一条与轴垂直的直线.因此，得到结论：在平面直角坐标系中，任何形如（其中、不同时为0）的二元一次方程都表示一条直线.为方便，我们把（其中、不同时为0）称作直线方程的一般式是合理的.【动画演示】演示“直线各参数.gsp”文件，体会任何二元一次方程都表示一条直线.至此，我们的第二个问题也圆满解决，而且我们还发现上述两个问题其实是一个大问题的两个方面，这个大问题揭示了直线与二元一次方程的对应关系，同时，直线方程的一般形式是对直线特殊形式的抽象和概括，而且抽象的层次越高越简洁，我们还体会到了特殊与一般的转化关系.（三）练习巩固、总结提高、板书和作业等环节的设计在此从略直线的方程 2教学目标（1）掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线方程的点斜式、两点式和直线方程的一般式，并能根据条件熟练地求出直线的方程.（2）理解直线方程几种形式之间的内在联系，能在整体上把握直线的方程.（3）掌握直线方程各种形式之间的互化.（4）通过直线方程一般式的教学培养学生全面、系统、周密地分析、讨论问题的能力.（5）通过直线方程特殊式与一般式转化的教学，培养学生灵活的思维品质和辩证唯物主义观点.（6）进一步理解直线方程的概念，理解直线斜率的意义和解析几何的思想方法.教学建议1.教材分析（1）知识结构由直线方程的概念和直线斜率的概念导出直线方程的点斜式；由直线方程的点斜式分别导出直线方程的斜截式和两点式；再由两点式导出截距式；最后都可以转化归结为直线的一般式；同时一般式也可以转化成特殊式.（2）重点、难点分析①本节的重点是直线方程的点斜式、两点式、一般式，以及根据具体条件求出直线的方程.解析几何有两项根本性的任务：一个是求曲线的方程；另一个就是用方程研究曲线.本节内容就是求直线的方程，因此是非常重要的内容，它对以后学习用方程讨论直线起着直接的作用，同时也对曲线方程的学习起着重要的作用.直线的点斜式方程是平面解析几何中所求出的第一个方程，是后面几种特殊形式的源头.学生对点斜式学习的效果将直接影响后继知识的学习.②本节的难点是直线方程特殊形式的限制条件，直线方程的整体结构，直线与二元一次方程的关系证明.2.教法建议（1）教材中求直线方程采取先特殊后一般的思路，特殊形式的方程几何特征明显，但局限性强；一般形式的方程无任何限制，但几何特征不明显.教学中各部分知识之间过渡要自然流畅，不生硬.（2）直线方程的一般式反映了直线方程各种形式之间的统一性，教学中应充分揭示直线方程本质属性，建立二元一次方程与直线的对应关系，为继续学习“曲线方程”打下基础.直线一般式方程都是字母系数，在揭示这一概念深刻内涵时，还需要进行正反两方面的分析论证.教学中应重点分析思路，还应抓住这一有利时使学生学会严谨科学的分类讨论方法，从而培养学生全面、系统、辩证、周密地分析、讨论问题的能力，特别是培养学生逻辑思维能力，同时培养学生辩证唯物主义观点（3）在强调几种形式互化时要向学生充分揭示各种形式的特点，它们的几何特征，参数的意义等，使学生明白为什么要转化，并加深对各种形式的理解.（4）教学中要使学生明白两个独立条件确定一条直线，如两个点、一个点和一个方向或其他两个独立条件.两点确定一条直线，这是学生很早就接触的几何公理，然而在解析几何，平面向量等理论中，直线或向量的方向是极其重要的要素，解析几何中刻画直线方向的量化形式就是斜率.因此，直线方程的两点式和点斜式在直线方程的几种形式中占有很重要的地位，而已知两点可以求得斜率，所以点斜式又可推出两点式（斜截式和截距式仅是它们的特例），因此点斜式最重要.教学中应突出点斜式、两点式和一般式三个教学高潮.求直线方程需要两个独立的条件，要依不同的几何条件选用不同形式的方程.根据两个条件运用待定系数法和方程思想求直线方程.（5）注意正确理解截距的概念，截距不是距离，截距是直线（也是曲线）与坐标轴交点的相应坐标，它是有向线段的数量，因而是一个实数；距离是线段的长度，是一个正实数（或非负实数）.（6）本节中有不少与函数、不等式、三角函数有关的问题，是函数、不等式、三角与直线的重要知识交汇点之一，教学中要适当选择一些有关的问题指导学生练习，培养学生的综合能力.（7）直线方程的理论在其他学科和生产生活实际中有大量的应用.教学中注意联系实际和其它学科，教师要注意引导，增强学生用数学的意识和能力.（8）本节不少内容可安排学生自学和讨论，还要适当增加练习，使学生能更好地掌握，而不是仅停留在观念上.教学设计示例直线方程的一般形式教学目标：（1）掌握直线方程的一般形式，掌握直线方程几种形式之间的互化.（2）理解直线与二元一次方程的关系及其证明（3）培养学生抽象概括能力、分类讨论能力、逆向思维的习惯和形成特殊与一般辩证统一的观点.教学重点、难点：直线方程的一般式.直线与二元一次方程（、不同时为0）的对应关系及其证明.教学用具：计算机教学方法：启发引导法，讨论法教学过程：下面给出教学实施过程设计的简要思路：教学设计思路：（一）引入的设计前边学习了如何根据所给条件求出直线方程的方法，看下面问题：问：说出过点（2，1），斜率为2的直线的方程，并观察方程属于哪一类，为什么？答：直线方程是，属于二元一次方程，因为未知数有两个，它们的最高次数为一次.肯定学生回答，并纠正学生中不规范的表述.再看一个问题：问：求出过点，的直线的方程，并观察方程属于哪一类，为什么？答：直线方程是（或其它形式），也属于二元一次方程，因为未知数有两个，它们的最高次数为一次.肯定学生回答后强调“也是二元一次方程，都是因为未知数有两个，它们的最高次数为一次”.启发：你在想什么（或你想到了什么）？谁来谈谈？各小组可以讨论讨论.学生纷纷谈出自己的想法，教师边评价边启发引导，使学生的认识统一到如下问题：【问题1】“任意直线的方程都是二元一次方程吗？”（二）本节主体内容教学的设计这是本节课要解决的第一个问题，如何解决？自己先研究研究，也可以小组研究，确定解决问题的思路.学生或独立研究，或合作研究，教师巡视指导.经过一定时间的研究，教师组织开展集体讨论.首先让学生陈述解决思路或解决方案：思路一：…思路二：………教师组织评价，确定最优方案（其它待课下研究）如下：按斜率是否存在，任意直线的位置有两种可能，即斜率存在或不存在.当存在时，直线的截距也一定存在，直线的方程可表示为，它是二元一次方程.当不存在时，直线的方程可表示为形式的方程，它是二元一次方程吗？学生有的认为是有的认为不是，此时教师引导学生，逐步认识到把它看成二元一次方程的合理性：平面直角坐标系中直线上点的坐标形式，与其它直线上点的坐标形式没有任何区别，根据直线方程的概念，方程解的形式也是二元方程的解的形式，因此把它看成形如的二元一次方程是合理的.综合两种情况，我们得出如下结论：在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一条表示这条直线的关于、的二元一次方程.至此，我们的问题1就解决了.简单点说就是：直线方程都是二元一次方程.而且这个方程一定可以表示成或的形式，准确地说应该是“要么形如这样，要么形如这样的方程”.同学们注意：这样表达起来是不是很啰嗦，能不能有一个更好的表达？学生们不难得出：二者可以概括为统一的形式.这样上边的结论可以表述如下：在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一条表示这条直线的形如（其中、不同时为0）的二元一次方程.启发：任何一条直线都有这种形式的方程.你是否觉得还有什么与之相关的问题呢？【问题2】任何形如（其中、不同时为0）的二元一次方程都表示一条直线吗？不难看出上边的结论只是直线与方程相互关系的一个方面，这个问题是它的另一方面.这是显然的吗？不是，因此也需要像刚才一样认真地研究，得到明确的结论.那么如何研究呢？师生共同讨论，评价不同思路，达成共识：回顾上边解决问题的思路，发现原路返回就是非常好的思路，即方程（其中、不同时为0）系数是否为0恰好对应斜率是否存在，即（1）当时，方程可化为这是表示斜率为、在轴上的截距为的直线.（2）当时，由于、不同时为0，必有，方程可化为这表示一条与轴垂直的直线.因此，得到结论：在平面直角坐标系中，任何形如（其中、不同时为0）的二元一次方程都表示一条直线.为方便，我们把（其中、不同时为0）称作直线方程的一般式是合理的.【动画演示】演示“直线各参数.gsp”文件，体会任何二元一次方程都表示一条直线.至此，我们的第二个问题也圆满解决，而且我们还发现上述两个问题其实是一个大问题的两个方面，这个大问题揭示了直线与二元一次方程的对应关系，同时，直线方程的一般形式是对直线特殊形式的抽象和概括，而且抽象的层次越高越简洁，我们还体会到了特殊与一般的转化关系.（三）练习巩固、总结提高、板书和作业等环节的设计在此从略直线的方程 3教学目标（1）掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线方程的点斜式、两点式和直线方程的一般式，并能根据条件熟练地求出直线的方程.（2）理解直线方程几种形式之间的内在联系，能在整体上把握直线的方程.（3）掌握直线方程各种形式之间的互化.（4）通过直线方程一般式的教学培养学生全面、系统、周密地分析、讨论问题的能力.（5）通过直线方程特殊式与一般式转化的教学，培养学生灵活的思维品质和辩证唯物主义观点.（6）进一步理解直线方程的概念，理解直线斜率的意义和解析几何的思想方法.教学建议1.教材分析（1）知识结构由直线方程的概念和直线斜率的概念导出直线方程的点斜式；由直线方程的点斜式分别导出直线方程的斜截式和两点式；再由两点式导出截距式；最后都可以转化归结为直线的一般式；同时一般式也可以转化成特殊式.（2）重点、难点分析①本节的重点是直线方程的点斜式、两点式、一般式，以及根据具体条件求出直线的方程.解析几何有两项根本性的任务：一个是求曲线的方程；另一个就是用方程研究曲线.本节内容就是求直线的方程，因此是非常重要的内容，它对以后学习用方程讨论直线起着直接的作用，同时也对曲线方程的学习起着重要的作用.直线的点斜式方程是平面解析几何中所求出的第一个方程，是后面几种特殊形式的源头.学生对点斜式学习的效果将直接影响后继知识的学习.②本节的难点是直线方程特殊形式的限制条件，直线方程的整体结构，直线与二元一次方程的关系证明.2.教法建议（1）教材中求直线方程采取先特殊后一般的思路，特殊形式的方程几何特征明显，但局限性强；一般形式的方程无任何限制，但几何特征不明显.教学中各部分知识之间过渡要自然流畅，不生硬.（2）直线方程的一般式反映了直线方程各种形式之间的统一性，教学中应充分揭示直线方程本质属性，建立二元一次方程与直线的对应关系，为继续学习“曲线方程”打下基础.直线一般式方程都是字母系数，在揭示这一概念深刻内涵时，还需要进行正反两方面的分析论证.教学中应重点分析思路，还应抓住这一有利时使学生学会严谨科学的分类讨论方法，从而培养学生全面、系统、辩证、周密地分析、讨论问题的能力，特别是培养学生逻辑思维能力，同时培养学生辩证唯物主义观点（3）在强调几种形式互化时要向学生充分揭示各种形式的特点，它们的几何特征，参数的意义等，使学生明白为什么要转化，并加深对各种形式的理解.（4）教学中要使学生明白两个独立条件确定一条直线，如两个点、一个点和一个方向或其他两个独立条件.两点确定一条直线，这是学生很早就接触的几何公理，然而在解析几何，平面向量等理论中，直线或向量的方向是极其重要的要素，解析几何中刻画直线方向的量化形式就是斜率.因此，直线方程的两点式和点斜式在直线方程的几种形式中占有很重要的地位，而已知两点可以求得斜率，所以点斜式又可推出两点式（斜截式和截距式仅是它们的特例），因此点斜式最重要.教学中应突出点斜式、两点式和一般式三个教学高潮.求直线方程需要两个独立的条件，要依不同的几何条件选用不同形式的方程.根据两个条件运用待定系数法和方程思想求直线方程.（5）注意正确理解截距的概念，截距不是距离，截距是直线（也是曲线）与坐标轴交点的相应坐标，它是有向线段的数量，因而是一个实数；距离是线段的长度，是一个正实数（或非负实数）.（6）本节中有不少与函数、不等式、三角函数有关的问题，是函数、不等式、三角与直线的重要知识交汇点之一，教学中要适当选。
高中数学教案直线方程
高中数学教案直线方程
教学目标：
1. 理解直线的定义及直线方程的含义；
2. 掌握利用点斜式、截距式和一般式求解直线方程的方法；
3. 能够应用直线方程解决实际问题。
教学重点：
1. 点斜式、截距式和一般式的直线方程求解方法；
2. 直线方程应用题的解决能力。
教学步骤：
一、导入（5分钟）
教师通过引入一个真实的例子引出直线的概念及方程的含义，让学生了解直线方程的基本概念。
二、讲解直线方程的表示方法（10分钟）
1. 点斜式：y - y1 = k(x - x1)；
2. 截距式：x/a + y/b = 1；
3. 一般式：Ax + By + C = 0。
三、练习及拓展（15分钟）
教师通过一些练习题让学生巩固以上三种表示方式的求解方法，并引导学生拓展到更复杂的题目中。
四、综合应用（15分钟）
教师出一些应用题，要求学生利用所学的知识解决实际问题，如求两直线的交点等。
五、总结（5分钟）
教师对本节课所学内容进行总结，强调重点，巩固学生的知识。
六、作业布置（5分钟）
布置相应的作业，用以巩固所学知识。
教学反思：
通过本节课的学习，学生可以掌握直线方程的基本概念及解题方法，从而提高解决实际问题的能力。
同时，教师要注意引导学生理解概念，注重实际应用，使学生学以致用。
直线方程的几种形式教学设计
《直线方程的几种形式》教学设计教学目标：1 会求直线的点斜式、斜截式、一般式方程；2 掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的三种基本形式及它们之间的关系。
重点：点斜式直线方程的推导（点斜式是直线方程的重中之重） 难点：直线与二元一次方程的对应关系复习引入：直线的斜率公式是什么？ )(211212x x x x y y k ≠--= 讲授新知：1 由直线的斜率公式引领学生推导出直线的点斜式方程：)(00x x k y y -=-例题讲解：求直线l 经过点)1,2(且斜率1-=k ，求直线l 的方程；学生练习：练习A )3()2()1(1学生口头展示2 由学生上节课学习的直线b kx y +=讲解直线的斜截式方程的含义及应用学生练习：练习A )6()5(1提问：是否所有直线的方程都可以设为直线的点斜式或者是斜截式方程？设计意图：深化学生对直线方程的点斜式、斜截式的理解，明确必须在斜率存在时才能设出两种直线的方程，而当斜率不存在时，直线的方程需具体问题具体分析，往往借助直线的图象写出特殊直线的方程。
学生练习：练习A)4()3(33 直线一般式方程0By+CAx的引入，阐释其含义。
=+提问：如何根据直线方程的一般式求得直线的斜率及在y轴上的截距。
设计意图：体会由直线方程的一般式向斜截式（点斜式）方程的转化过程，理解直线方程的内在联系。
课堂小结：求直线方程的问题时，往往需要根据题意设出直线的方程或由直线的图象直接求得，但最终结果一般情况下都需化为一般式；而直线的一般式方程又可以转化为直线的斜截式方程，斜截式方程又为点斜式方程的特殊形式，由此体会直线方程的内在联系及相互转化。
作业：自行了解直线方程的两点式及截距式方程。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
直线方程的几种形式
数学组田红芳
一、教学目的：
1. 掌握由一个点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式，并能根据条件熟练地求出满足已知条件的直线方程根据不同的需要，进行直线方程的特殊形式之间的互相转化
2.通过让学生经历直线方程的发现过程，以提高学生分析、比较、概括、化归的数学能力,使学生初步了解用代数方程研究几何问题的思路，培养学生综合运用知识解决问题的能力
3.在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体会数、形的统一美，激发学生学习数学的兴趣，对学生进行对立统一的辩证唯物主义观点的教育，培养学生勇于探索、勇于创新的精神
二、教学重点：直线方程的点斜式的推导及运用
三、教学难点：直线与方程对应关系的说明以及运用各种形式的直线方程时，应考虑使用范围并进行分类讨论
四、教学过程：
五、板书设计。